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ESTADO DE MATO GROSSO

SECRETARIA DE ESTADO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO

CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP

IV SEMINÁRIO DE INFORMÁTICA NA EDUCAÇÃO 2009

ATIVIDADES DO CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL COM

AUXÍLIO DO SOFTWARE GEOGEBRA

Ministrante:

Profª. Ms. Vera Lúcia Vieira de Camargo

profveracamargo@gmail.com

RESUMO

Este mini-curso tem como objetivo desenvolver atividades da disciplina de Cálculo

Diferencial e Integral para funções de uma variável utilizando os recursos computacionais

gráficos e algébricos do Software GeoGebra. Assim, construir gráficos de funções e/ou

curvas, observar intuitivamente a existência de limites num ponto dado por representação

gráfica, a interpretação geométrica da derivada através da visualização da reta tangente ao

gráfico da curva num ponto e a determinação da integral pela Soma de Riemann, são

exemplos de algumas situações didáticas que serão exploradas neste minicurso, numa

abordagem computacional dinâmica que favorece ao estudante experimentar, visualizar,

abstrair, conjecturar, explicar e generalizar, caminho que se configura o “fazer matemática”.

Palavras-Chave: Cálculo, GeoGebra, Derivadas, Integrais.

PÚBLICO DIRECIONADO

O mini-curso é destinado a alunos da graduação em Matemática ou Engenharia que já

tenham cursado a disciplina de Cálculo I .

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O Software GeoGebra

O Software GeoGebra é um software livre de matemática dinâmica que reúne

Geometria, Álgebra e Cálculo e foi objeto de tese de doutorado de Markus Hohenwarter, da

Universidade de Salzburgo, na Áustria, criado com o objetivo de se obter um instrumento

adequado ao ensino da Matemática combinando procedimentos algébricos e geométricos. O

software é um sistema dinâmico de geometria, de equações e de coordenadas e ao mesmo

tempo possui a vantagem de que uma expressão na janela algébrica corresponde a um objeto

na janela geométrica e vice-versa. Além disso, se caracteriza como meio interativo e

dinâmico, cujas representações gráficas se movimentam conforme são alterados seus

parâmetros. Diante de suas características, o GeoGebra permite determinar derivadas e

integrais de funções, além de identificar pontos singulares de uma função, como raízes e

extremos. O software pode ser obtido no endereço eletrônico: http://www.Geogebra.org/cms/

Várias das atividades aqui apresentadas foram baseadas em [3].

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Atividade 1 - Familiarizando com o software

Iniciaremos com os comandos básicos do software, para que o estudante familiarize

com os recursos disponíveis e em seguida apresentamos algumas atividades voltadas ao

ensino do Cálculo Diferencial e Integral de funções de uma variável.

Há duas formas de fornecer instruções ao software: via Barra de ferramentas ou pelo

campo de entrada.

As barras de ferramentas lembram a do Software Cabri Geometre, só que com mais

opções. Já no campo entrada ou comando escrito tem-se acesso a maioria dos comandos da

barra de ferramentas com a vantagem de se poder escrever em língua portuguesa. Por

exemplo, podemos escrever Função[ ], Derivada [ ], Tangente[ ] dentre outros.

Na janela de visualização à direita ficam os objetos geométricos e na Janela de Álgebra à

esquerda fica anotada toda informação algébrica dos objetos que estão na janela de

visualização. Caso se pretenda conhecer o que foi feito passo a passo em uma construção o

programa oferece a função protocolo de construção que pode ser acessado no comando

exibir.

Exemplo:

Usando a ferramenta NOVO PONTO e CÍRCULO DEFINIDO PELO CENTRO E UM

DE SEUS PONTOS pode-se criar uma circunferência de centro num ponto A e

que passa por P. Por ex. A(2,1) e que passa pelo ponto P(0,1).

OBS: Você pode inserir um ponto digitando diretamente na caixa de entrada ou clicando no

ponto.

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Uma vez feita a construção, podemos ver o objeto na janela de visualização e as informações

algébricas na janela de Álgebra.

Observe que as cores dos objetos têm significados:

- Azul escuro: São objetos livres de qualquer vínculo. Com a ferramenta MOVER

ativada é possível move-los para qualquer lugar. Tente movimentar os pontos nesta cor de sua

construção.

- Azul claro: São objetos livres, mas vinculados a um outro objeto, como por exemplo, um

ponto sobre uma curva. Inscreva um ponto sobre a circunferência construída.

- Preto: São objetos dependentes de outros objetos. (por exemplo a circunferência obtida)

Explore as barras de ferramentas do software e lembre-se: Primeiro ative a ferramenta

desejada para depois usa-la e para mover objeto é necessário que esteja ativada. Esta

ativação também pode ser feita apertando a tecla ESC.

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Atividade 2 – Funções de 1º e 2º grau

2.1 – Gerando gráficos de funções de 1º grau

a) Insira na tela os parâmetros de a e b utilizando o ícone . Observe o que se pede na

janela que se abre. (número ou ângulo, intervalo e incremento).

Explore as propriedades do objeto (botão direito do mouse), mude a cor, a espessura.

b) Insira no campo de entrada a função baxxf )( utilizando a seguinte sintaxe

f(x)=a*x+b.

c) Clique com o botão direito do mouse sobre a função e explore (cor, estilo).

d) Varie cada um dos parâmetros e anote o que acontece. (Para variar o parâmetro clique em

e posteriormente pressione o botão direito do mouse sobre a bolinha mantendo-a

pressionada vá para a direita e esquerda).

e) Clique com o botão direito sobre os parâmetros ou sobre a reta e selecione o recurso

HABILITAR RASTRO.

f) Movimente um parâmetro por vez (fixe a e movimente b ou vice-versa). O que acontece

quando fixamos o parâmetro b e variamos o a? Limpe a tela utilizando o Menu EXIBIR,

ATUALIZAR JANELA (ou CTRL+f)

O que acontece quando fixamos o parâmetro a e variamos o b?

g) Clique sobre a reta e desabilite o HABILITAR RASTRO.

h) Utilizando o recurso INSERIR TEXTO, insira os seguintes textos separadamente:

- Digite i) função crescente e ii) Função constante e iii) Função decrescente. Para

INSERIR TEXTO, clique em e em seguida

abrirá uma janela:

Depois clique com o botão esquerdo do mouse em cada texto, clique em propriedades -

avançado e escreva na janela gráfica a condição de quando cada mensagem deve aparecer e o

símbolo para igualdade é = com ? em cima.

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OBS: O ícone permite você arraste a área de trabalho ou movimentar os eixos,

conforme o desejado.

2.2 – Gerando gráficos de funções quadráticas

a) Insira inicialmente os parâmetros a, b, c e entre com a função cbxaxxf 2)( .

b) Varie cada um dos parâmetros a, b ou c de cada vez e anote o que acontece. Descreva o

comportamento dos gráficos em cada caso.

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

c) Utilizando o recurso INSERIR TEXTO, insira os textos i) Concavidade voltada para cima e

ii) Concavidade voltada para baixo e assim como procedemos na atividade anterior, indique

as condições para que isto ocorra. Observe no gráfico o que o valor de a influencia no gráfico.

Atividade 3 – Verificando a continuidade da função

3.1 Estudando o comportamento de uma função (crescimento, decrescimento, assíntotas,

pontos de máximo e mínimo)

a) Seja a função x

xxf1

)( . Construa o gráfico da função no GeoGebra.

b) De acordo com o gráfico, o que acontece com a função quando x se aproxima de 0?

- Pela direita: ______________________________________________________________

- Pela esquerda: ____________________________________________________________

c) Qual o domínio da função f(x)? Qual o seu comportamento no ponto 0x ? O que

podemos dizer a respeito do limite e continuidade da função no ponto 0?

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Atividade 4 – Atividades envolvendo Derivadas de função real de uma

variável

4.1 A derivada como limite

a) Construa a função 2)( xxf e utilize o ícone para inserir dois pontos sobre esta

curva, por exemplo, pontos A=(1,1) e B=(2,4).

b) Trace uma reta ligando estes dois pontos.

c) Agora acione o ícone mover e movimente o ponto B se aproximando tanto quanto se

consiga de A.

d) Acione o Rastro na reta obtida.

e) Associe a ilustração obtida considerando a derivada por definição

h

xfhxfxf h

)()(lim)´( 0

.

4.2 Construindo tangentes ao gráfico de uma função

4.2.1 Tangente a uma curva num ponto “a”

Seja a função f definida por 42)( 3 xxxf e o ponto de abscissa 1.

a) Construa o gráfico da reta tangente ao gráfico de f no ponto x = 1.

(Comandos na caixa de entrada: a = 1, 42)( 3 xxxf e

t = Tangente , ^ 3 2* 4a x x

b) Insira outros valores para a, por exemplo a = 2, a = 3, a = -3.

c) Podemos variar o parâmetro a e fazer uma animação no gráfico. Para isso, apague

inicialmente o valor na janela algébrica e entre com o parâmetro a e

f(x)=Tangente[a,f].

d) Clique no parâmetro a com o lado direito do mouse ativar a animação.

e) Clique sobre a reta tangente e selecione a opção HABILITAR TRAÇO.

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4.3 Investigando raízes, extremos e ponto de inflexão

Com o auxílio do GeoGebra encontre as raízes, os extremos locais e ponto de inflexão

da função polinomial

13)( 23 xxxf , através dos comandos na caixa de entrada:

Raiz[f] , Extremo[f] e PontodeInflexão[f].

g) Construa também o gráfico da função derivada da 1ª e derivada da 2ª, por meio dos

seguintes comandos: Derivada[f] e Derivada[f,2]

h) Observe no gráfico possíveis relações entre a função f(x), a derivada da primeira e

derivada da segunda.

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4.3 A relação do coeficiente angular de uma reta tangente com a derivada

a) Insira no campo de entrada a função 2)( xxf e o parâmetro .

b) Insira no campo de entrada a tangente a curva num ponto “a”, através do comando

t=Tangente[a,f].

c) Clique em e posteriormente em e selecione a reta tangente para verificarmos

a sua inclinação.

d) Varie o parâmetro a e observe a variação da inclinação da reta tangente.

e) Se a reta tangente passar por um ponto x qualquer de f, qual a sua inclinação?

e) Marque os pontos A=(0,0), B=(1,1), C=(2,4), D=(-2,4).

f) Variando o parâmetro a, qual a inclinação nos pontos A, B, C e D?

Ponto Coordenadas Inclinação da Tangente

A

B

C

D

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Ponto qualquer

g) De acordo com a tabela, que relação existe entre a inclinação e a função f.

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

h) Para se determinar a derivada de uma função é só entrar com o comando Derivada[f].

Atividade 5 – Somas superior, inferior e integral de funções reais de uma

variável

Calculando a área limitada por uma função e o eixo x por meio da soma de

retângulos (Integral de Riemann)

Para introduzir o conceito de integrais, o GeoGebra oferece a possibilidade de

visualizar com retângulos, as somas das áreas dos retângulos aproximantes (inferiores e

superiores) entre a curva f(x) e o eixo x.

a) Seja a função 1)( 2 xxf no intervalo de [0,4].

Entre na caixa de entrada com g(x), com 0a e 4b e o número n de subintervalos.

a = 0

b = 2

n = 4

SomaInferior[f, a, b, n]

SomaSuperior [f, a, b, n]

- Calcule a integral exata b

a

dxxf )( , a partir do comando Integral[f,a,b] e verifique os

resultados.

- Agora apague a variável n no campo e insira o parâmetro n, com variação de 0 a 1000.

Varie o valor de n, mantendo o mouse pressionado, o que se pode conjecturar quando

n ?

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Lembrando que a integral definida é

n

i

b

a

in dxxfxxf1

)()(lim

b) Para finalizar, vamos trabalhar com a função )ln()( xxf .

- Marque um ponto sobre a curva, utilizando .

- No campo de entrada entre com: Integral[f,0,x(A)].

- Selecione a opção mover e clique em cima do ponto A e arraste-a até que a área

calculada assuma o valor de 1. Para que valor de x isto ocorre?

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

1. ARAÚJO, L.C.L. de. Computação na sala de aula – GeoGebra um bom software livre. In: RPM. Nº

67, 2009, p. 43 – 47.

2. JESUS, R. de Jesus; PEIXOTO, A.; MASCARENHAS, M. Visualizando Funções: Famílias de

Gráficos, retas tangentes e áreas de figuras planas com utilização de software livre. I Bienal da

Sociedade Brasileira de Matemática – SBM, 2002. Disponível em

http://www.mat.ufmg.br/eventos/bienal/textos.html. Acesso em 17/09/09.

3. MISKULIN, R.G.S. et al. Curso de Extensão: Tecnologias da Informação e Comunicação na

formação continuada de professores que ensinam Cálculo Diferencial e Integral I. UNESP. Rio

Claro, 2009.

4. STEWART, J. Cálculo. Vol 1 . 5 ª ed. São Paulo: Ed. Pioneira Thomson Learning, 2006.

Sites:

http://www.GeoGebra.org/cms/