ÁTOMO DE ÁTOMO DE HIDROGÊNIOHIDROGÊNIO

Tratamento quântico requer a Tratamento quântico requer a solução da equação de Schrsolução da equação de Schröödingerdinger

Aplica-se o modelo de partícula Aplica-se o modelo de partícula quântica sob condições de contorno quântica sob condições de contorno para resolver a equação de para resolver a equação de SchrSchröödinger e determinar as funções dinger e determinar as funções de onda e as energias permitidas do de onda e as energias permitidas do átomo.átomo.

Para uma partícula numa caixa unidimensional as Para uma partícula numa caixa unidimensional as condições de contorno impõem um número condições de contorno impõem um número quântico.quântico.

Para o sistema tridimensional do Átomo de Para o sistema tridimensional do Átomo de Hidrogênio, cada dimensão introduz um número Hidrogênio, cada dimensão introduz um número quântico.quântico.

Há ainda um quarto número quântico Há ainda um quarto número quântico relacionado ao Spin do elétron.relacionado ao Spin do elétron.

As energias permitidas obtidas como soluções As energias permitidas obtidas como soluções são dadas por:são dadas por:

Sendo n = 1, 2, 3,...Sendo n = 1, 2, 3,...

eVnna

keEn 220

2 606,1312

Este resultado concorda exatamente Este resultado concorda exatamente com o modelo de Bohr.com o modelo de Bohr.

As energias permitidas dependem As energias permitidas dependem somente do número quântico somente do número quântico principal n.principal n.

Exercício: A série de Balmer para o Exercício: A série de Balmer para o átomo de hidrogênio corresponde às átomo de hidrogênio corresponde às transições eletrônicas que terminam transições eletrônicas que terminam no estado com número quântico no estado com número quântico n n = = 2, como mostrado na figura.2, como mostrado na figura.

(a)(a) Considere o fóton com maior Considere o fóton com maior comprimento de onda; determine comprimento de onda; determine sua energia e seu comprimento de sua energia e seu comprimento de onda. onda.

(b)(b) Considere a raia espectral de Considere a raia espectral de menor comprimento de onda; menor comprimento de onda; encontre a energia e o comprimento encontre a energia e o comprimento de onda do fóton.de onda do fóton.

A imposição das condições de A imposição das condições de contorno levam também a dois novos contorno levam também a dois novos números quânticos: número números quânticos: número quântico orbital (quântico orbital (l l ) e número ) e número quântico magnético orbital ( mquântico magnético orbital ( mll ).).

ll e m e mll estão relacionados com o estão relacionados com o momento angular do átomo.momento angular do átomo.

O número quântico orbital informa-nos O número quântico orbital informa-nos sobre a forma das órbitas.sobre a forma das órbitas.

o valor de o valor de ll define o momento angular define o momento angular do elétron, sendo que o aumento do do elétron, sendo que o aumento do seu valor implica o aumento seu valor implica o aumento correspondente do valor do momento correspondente do valor do momento angular. angular.

O número quântico magnético (mO número quântico magnético (mll)) especifica a orientação permitida para especifica a orientação permitida para uma nuvem eletrônica no espaço.uma nuvem eletrônica no espaço.

ll = 0 : corresponde ao subnível = 0 : corresponde ao subnível ss, onde , onde existe somente uma orientação (existe somente uma orientação (mmll = 0). = 0).

ll = 1 : corresponde ao subnível = 1 : corresponde ao subnível pp, onde , onde existem três orientações permitidas, que existem três orientações permitidas, que surgem em decorrência dos três valores de surgem em decorrência dos três valores de mmll (+1, 0, -1). (+1, 0, -1).

Os três orbitais Os três orbitais pp são denominados são denominados ppxx, , ppyy e e ppzz e são orientados de acordo com os três e são orientados de acordo com os três eixos cartesianos (x, y e z). eixos cartesianos (x, y e z).

ll = 2 : corresponde ao subnível = 2 : corresponde ao subnível dd onde existem onde existem cinco orientações permitidas, ou seja, cinco cinco orientações permitidas, ou seja, cinco valores de valores de mmll (-2, -1, 0, +1, +2). (-2, -1, 0, +1, +2).

São designados por São designados por ddzz22 (orientação coincidente (orientação coincidente

com o eixo z), com o eixo z), ddxx22

yy22 (orientação coincidente com (orientação coincidente com

os eixos x e y, simultaneamente), os eixos x e y, simultaneamente), ddxyxy (orientado (orientado entre os eixos x e y), entre os eixos x e y), ddyzyz (orientado entre os eixos (orientado entre os eixos y e z) e y e z) e ddxzxz (orientado entre os eixos x e z). (orientado entre os eixos x e z).

A partir da solução da equação de A partir da solução da equação de SchrSchröödinger temos os seguintes valores dinger temos os seguintes valores permitidos para esses números quânticos:permitidos para esses números quânticos:

n n é um inteiro que pode variar de 1 até é um inteiro que pode variar de 1 até .. Para um valor particular de Para um valor particular de n:n:l l é um inteiro que pode variar de 0 até é um inteiro que pode variar de 0 até n n - 1 - 1 Para um valor particular de Para um valor particular de ll::mmll é um inteiro que pode variar de - é um inteiro que pode variar de - ll até até l .l .

A tabela a seguir resume as condições A tabela a seguir resume as condições de existência dos números quânticos:de existência dos números quânticos:

Todos os estados com o mesmo número Todos os estados com o mesmo número quântico principal formam uma camada. quântico principal formam uma camada.

As camadas são identificadas pelas letras As camadas são identificadas pelas letras K, L, M, .. . , que designam os estados K, L, M, .. . , que designam os estados para os quais para os quais n n = 1,2,3, . . . = 1,2,3, . . .

todos os estados com valores dados de todos os estados com valores dados de n n e e ll formam uma subcamada. formam uma subcamada.

Com base nas práticas iniciais da Com base nas práticas iniciais da espectroscopia, as letras espectroscopia, as letras s, p, d, f, s, p, d, f, g, g, h, h, ... ... são usadas para designar as subcamadas são usadas para designar as subcamadas para as quais para as quais ll = 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...= 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

Exemplos: a subcamada identificada por Exemplos: a subcamada identificada por 3p 3p tem os números quânticos tem os números quânticos n n = 3 e = 3 e ll = = 1;1;

a subcamada a subcamada 2s 2s tem os números tem os números quânticos quânticos n n = 2 e = 2 e ll = 0. = 0.

Essas notações estão resumidas Essas notações estão resumidas na Tabela abaixo: na Tabela abaixo:

Orbitais dos primeiros três níveis energéticos (“K", “L" e “M") Orbitais dos primeiros três níveis energéticos (“K", “L" e “M")

Estados com números quânticos que Estados com números quânticos que violam as regras dadas na Tabela violam as regras dadas na Tabela anterior não podem existir.anterior não podem existir.

Exemplo: um estado Exemplo: um estado 2d, 2d, que teria que teria n n = 2 e = 2 e ll = 2, não pode existir - o maior valor = 2, não pode existir - o maior valor permitido para permitido para ll é é n n - 1, ou 1 neste caso.- 1, ou 1 neste caso.

Exercício: Para um átomo de hidrogênio, Exercício: Para um átomo de hidrogênio, determine o número de estados orbitais determine o número de estados orbitais correspondendo ao número quântico correspondendo ao número quântico principal principal

n = 2 e calcule as energias destes estados.n = 2 e calcule as energias destes estados.

O NÚMERO QUÂNTICO O NÚMERO QUÂNTICO MAGNÉTICO DO SPINMAGNÉTICO DO SPIN

Necessidade de um novo número Necessidade de um novo número quântico devido a uma caracteristica quântico devido a uma caracteristica não usual nos espectros de certos não usual nos espectros de certos gases, como o vapor de sódio. gases, como o vapor de sódio.

Um exame mais detalhado de uma Um exame mais detalhado de uma das raias proeminentes do sódio das raias proeminentes do sódio mostra que ela é, de fato constituída mostra que ela é, de fato constituída por duas raias muito próximas, o que por duas raias muito próximas, o que é denominado um dubleto. é denominado um dubleto.

O comprimento de onda dessas raias O comprimento de onda dessas raias ocorre na região amarela do ocorre na região amarela do espectro em 589,0 nm e 589,6 nm. espectro em 589,0 nm e 589,6 nm.

1925: esse dubleto foi detectado 1925: esse dubleto foi detectado pela primeira vez.pela primeira vez.

os modelos atômicos da época não os modelos atômicos da época não podiam explicá-lo. podiam explicá-lo.

Samuel Goudsmidt e George Uhlenbeck Samuel Goudsmidt e George Uhlenbeck (Wolfgang Pauli), propuseram um novo (Wolfgang Pauli), propuseram um novo número quântico, chamado de número número quântico, chamado de número quântico do spin.quântico do spin.

Para descrever o número quântico do spin, Para descrever o número quântico do spin, é conveniente (mas incorreto) pensar no é conveniente (mas incorreto) pensar no elétron como girando sobre seu eixo ao elétron como girando sobre seu eixo ao orbitar o núcleo em um modelo planetário.orbitar o núcleo em um modelo planetário.

A direção na qual o vetor momento A direção na qual o vetor momento angular do spin pode apontar é quantizada angular do spin pode apontar é quantizada - só pode ter duas direções, como - só pode ter duas direções, como mostrado na figura:mostrado na figura:

Explicação: Na presença de um campo Explicação: Na presença de um campo magnético, a energia do sistema magnético, a energia do sistema composto pelo elétron e pelo campo composto pelo elétron e pelo campo magnético é ligeiramente diferente para magnético é ligeiramente diferente para as duas direções de spin.as duas direções de spin.

esse número quântico adicional dobra o esse número quântico adicional dobra o número de estados permitidos pelos número de estados permitidos pelos outros números quânticos. outros números quânticos.

O elétron não pode ser considerado como O elétron não pode ser considerado como girando fisicamente. girando fisicamente.

evidências experimentais apoiam o fato de que o evidências experimentais apoiam o fato de que o elétron tem alguma propriedade intrínseca que elétron tem alguma propriedade intrínseca que é consistente com um momento angular e que é consistente com um momento angular e que pode ser descrita pelo número quântico do spin. pode ser descrita pelo número quântico do spin.

Arnold Sommerfeld e Paul Dirac: a origem desse Arnold Sommerfeld e Paul Dirac: a origem desse quarto número quântico encontra-se nas quarto número quântico encontra-se nas propriedades relativísticas do elétron, o qual propriedades relativísticas do elétron, o qual requer quatro números quânticos para requer quatro números quânticos para descrevê-lo no espaço-tempo quadridimensional.descrevê-lo no espaço-tempo quadridimensional.

Continuação do exercício anterior: Determine, Continuação do exercício anterior: Determine, para um átomo de hidrogênio, os números para um átomo de hidrogênio, os números quânticos associados com os possíveis estados quânticos associados com os possíveis estados que correspondem ao número quântico principal que correspondem ao número quântico principal n n = 2.= 2.

INTREPRETAÇÃO FÍSICA INTREPRETAÇÃO FÍSICA DOS NÚMEROS DOS NÚMEROS

QUÂNTICOSQUÂNTICOS

A energia de um estado particular A energia de um estado particular depende do número quântico depende do número quântico principal.principal.

Qual a contribuição dos outros três Qual a contribuição dos outros três números quânticos para o nosso números quânticos para o nosso modelo estrutural?modelo estrutural?

O Número Quântico OrbitalO Número Quântico Orbital

Se uma partícula desloca-se em um círculo Se uma partícula desloca-se em um círculo de raio de raio r, r, o módulo do seu momento angular o módulo do seu momento angular em relação ao centro do círculo é em relação ao centro do círculo é

L L = = mvrmvr A direção de L é perpendicular ao plano do A direção de L é perpendicular ao plano do

círculo, e o sentido de L é dado pela regra círculo, e o sentido de L é dado pela regra da mão direita.da mão direita.

De acordo com a física clássica, De acordo com a física clássica, L L pode ter pode ter qualquer valor.qualquer valor.

Contudo, o modelo de Bohr para o Contudo, o modelo de Bohr para o hidrogênio postula que o momento angular hidrogênio postula que o momento angular está restrito a múltiplos inteiros de ħ:está restrito a múltiplos inteiros de ħ:

L = mvr =nħL = mvr =nħ

Esse modelo precisa ser modificado, pois Esse modelo precisa ser modificado, pois prevê (incorretamente) que o estado prevê (incorretamente) que o estado fundamental do hidrogênio fundamental do hidrogênio (n (n = 1) tem = 1) tem uma unidade de momento angular.uma unidade de momento angular.

Nosso modelo quântico mostra que o Nosso modelo quântico mostra que o menor valor da número quântico orbital, menor valor da número quântico orbital, que está relacionado com o momento que está relacionado com o momento orbital, é orbital, é ll = 0, que corresponde a um = 0, que corresponde a um momento angular nulo.momento angular nulo.

De acordo com o modelo quântico, um átomo De acordo com o modelo quântico, um átomo em um estado cujo número quântico principal em um estado cujo número quântico principal é é n n pode ter os seguintes valores pode ter os seguintes valores discretos discretos para o módulo do vetor momento angular:para o módulo do vetor momento angular:

1L L L pode ser nulo: as dificuldade de descrever os resultados pode ser nulo: as dificuldade de descrever os resultados

baseados na mecânica quântica em termos de um modelo baseados na mecânica quântica em termos de um modelo puramente corpuscular. puramente corpuscular.

Não podemos pensar em termos de elétrons percorrendo Não podemos pensar em termos de elétrons percorrendo órbitas bem definidas de forma circular ou de qualquer outra órbitas bem definidas de forma circular ou de qualquer outra forma. forma.

Não podemos pensar em termos de Não podemos pensar em termos de elétrons percorrendo órbitas bem definidas elétrons percorrendo órbitas bem definidas de forma circular ou de qualquer outra de forma circular ou de qualquer outra forma. forma.

o elétron está espalhado no espaço em uma o elétron está espalhado no espaço em uma nuvem de elétrons, com a maior nuvem de elétrons, com a maior "densidade" da nuvem acontecendo onde a "densidade" da nuvem acontecendo onde a probabilidade é maior. probabilidade é maior.

Na interpretação da mecânica quântica, a Na interpretação da mecânica quântica, a nuvem de elétrons para o estado nuvem de elétrons para o estado L L = 0 tem = 0 tem simetria esférica e não apresenta nenhum simetria esférica e não apresenta nenhum eixo fundamental de rotação.eixo fundamental de rotação.

Exercício: Calcule o momento Exercício: Calcule o momento angular orbital para um estado angular orbital para um estado pp do do hidrogênio. Compare-o com o hidrogênio. Compare-o com o momento angular da Terra orbitando momento angular da Terra orbitando o Sol.o Sol.