atomo_de_hidrogenio[1]

8/3/2019 atomo_de_hidrogenio[1]

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Introduo a Qumica Quntica

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# tomo de Hidrognio

Objetivo: Neste captulo veremos o ponto de partida para tomos e molculas, ou seja, o tomode hidrognio. Aps a deduo dos orbitais do tomo de hidrognio, seremos capazes de construir osorbitais para tomos hidrogenoides. Nosso objetivo neste captulo ento representar os orbitais,funes hidrogenoides, em grficos 2D e 3D.

Importante: veremos muitas equaes diferenciais, no entanto o curso no tem por objetivo a

resoluo das mesmas. Portanto no se preocupem com a complexidade das mesmas, mas sim com os

resultados fsicos alcanados.

Se realizamos um experimento para ver onde est uma partcula, ento encontramos umcomportamento de partcula. Por outro lado a onda que carrega a informao acerca de onde est aprobabilidade do eltron. Assim, o fsico Erwin Schrdinger, em 1926, mostrou a famosa equao de

onda incorporando os comportamentos de onda e partcula do eltron:= EHO eltron no est em um lugar definido. Cada vez que buscarmos onde est o eltron, o

encontraremos em um lugar diferente. Para um dado nvel de energia(alguns), se buscarmos a posiovrias vezes veremos algo como um padro de orbita, mas no devemos pensar que os eltrons estomovendo-se em crculos! Felizmente, no faz diferena onde est o eltron, mas sim quanta energia eletem, ou ainda em que Nvel de Energia ele est.

A equao de Schrdinger resulta em uma srie de funes de onda, representadas pela letra (psi). A funo de onda no apresenta um significado fsico. Entretanto, o valor do quadrado da funode onda, 2, descreve a probabilidade de distribuio de um eltron.

Do princpio da Incerteza de Heisenberg, ns no podemos saber a localizao e a velocidade deum eltron ao mesmo tempo. Ento a equao de Schrdinger no nos diz a localizao do eltron, massim descreve uma probabilidade de encontrar o eltron em uma determinada regio do espao, ou emuma certa localizao do tomo.

No modelo de Bohr, o eltron est em uma orbita definida. No modelo de Schrdinger,podemos apenas falar de distribuio de probabilidade para um dado nvel de energia do eltron. Porexemplo, um eltron em um estado fundamental no tomo de hidrognio pode ter uma distribuio deprobabilidade que mostra-se como:

Resolvendo a equao de onda de Schrdinger para o tomo de hidrognio encontramos umasrie de funes de onda(distribuio de probabilidade do eltron) e seus associados nveis de Energia,

Figura 12 - A cor mais intensaindica um maior valor de 2,uma maior probabilidade deencontrar o eltron nestaregio, ou uma maiordensidade eletrnica.


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E. Essas funes de onda so chamadas de orbitais e tem uma energia caracterstica eforma(distribuio).

O nvel de energia mais baixo do tomo de hidrognio tem uma energia de 13,6eV e umaforma (distribuio) como veremos adiante. Veja que o modelo de Bohr tambm apresenta a mesmaenergia, para o eltron no estado fundamental, mas descreve este definido em uma orbita. Antes decontinuarmos, vejamos alguns pontos importantes da equao de Schrdinger:

Somente algumas funes de onda so permitidas, assim como apenas algumas vibraes podemser observadas. Cada funo de onda corresponde a um nvel de energia permitido para o eltron. Assim como no

modelo de Bohr. Cada inteiro n corresponde a um estado atmico caracterizado por uma energia euma funo de onda.

A energia do eltron quantizada. Entretanto, esse conceito de quantizao entra na soluo daequao de Schrdinger naturalmente, ao contrrio da imposio do modelo de Bohr.

Cada funo de onda pode ser interpretada apenas em termos de probabilidade. A teoria no prediza posio exata do eltron.

Para resolvermos a equao de Schrdinger no espao 3D, os trs nmeros inteiros soencontrados,n, l e ml, como consequncia da teoria.

1. Energia para o tomo de Hidrognio.

Consideremos o caso do tomo de hidrognio, um prton na origem interagindo com um eltronde massa me atravs do potencial Coulombico:

r

e

rVo4)(

2

= - 1

onde e a carga do pronto, o a constante de permissividade do vcuo, e r a distncia entre oeltron e o prton.

Orbitais no so literalmente objetos ou caixas,

nos quais os eltrons so colocados. Por questode simplicidade dizemos que os eltrons estoocupando o orbital ou no orbital, apesar de serconceitualmente completamente incorreto.


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A equao de Schrdinger para o tomo de hidrognio :

r

e

mH

oe 42

22

2

= h - 2

A equao de Schrdinger para o tomo de hidrognio, em coordenadas polares, segue aresoluo geral atravs da chamada separao de varveis (se desejar verificar a resoluo, ver tpicos

extras separao de varivies): (r,,)=R(r)Y(,). Ficando uma parte angular (Y) e uma parte radial(R). A parte angular do orbital do tomo de hidrognio, a prpria equao de onda do rotor rgido.

A parte radial tem nveis de energia:

222

0

4 1

8 nh

eEn

= , com n o nmero quntico principal. - 3

Para tomos denominados de hidrogenoides, podemos rescrever essa soluo:

eVn

ZE

efet

n 6.132

2

, - 4

onde Zefetivo Zefet = Z s, com s uma constante de blindagem, uma soma das contribuies dosoutros eltrons no tomo.

ou: 2

2

.n

ZRE

n

=, onde R a constante de Rydberg


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Exemplo: Para o nmero quntico principal 3, teremos os seguintes valores:

n lDesignao da

subcamada

ml(magntico)

Nmero de orbitais na

subcamada

3 0 3s 0 1

1 3p -1,0,1 3

2 3d -2,-1,0,1,2 5

Os eltrons f tem 7 orbitais na subcamada.

O nmero quntico principal, n- Tem valores inteiro, 1, 2, 3, ...- n aumentando a densidade eletrnica estar mais distante do ncleo- n aumentando o eltron ter nveis de energia mais alto e estar menos ligado ao ncleo

- A energia do tomo de hidrognio depende apenas do nmero quntico nO nmero quntico azimutal (momento angular) l- tem valores inteiros de 0 at (n-1) para cada valor de n- So usadas letras para representar: s (l=0), p (l=1), d (l=2) e f (l=3)- Define a forma do orbital- Determina o nmero de ns do orbital. Existem lsuperfcies nodais com dependncia angular.

Nmero quntico magntico, ml- Tem valor inteiro, entre +l a l, incluindo o zero.- Descreve a orientao do orbital no espao


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Os orbitais do tomo de hidrognio esto mostrados abaixo. Na temperatura ambiente,essencialmente todos os tomos de hidrognio estariam no estado fundamental. Eltrons podem serpromovidos para estados excitados pela absoro de um fton com apropriada quantidade de energia.

2. Funo de onda completa

A forma geral da funo de onda hidrogenoide completa pode ser vista em qualquer livro dequmica quntica. A Tabela 5 abaixo util para mostras a forma das funes radiais 1s, 2s, 2p, 3s, 3p e3d. A Tabela 6 mostra a funo completa de tomos hidrogenoides. Veja que todas tem o exponencial:exp(-Zr/na). Veja tambm que na funo completa a partir das funes do tipo p aparece um termo desenos e cosenos. Veremos mais a seguir como obter a forma grfica destas funes.

Tabela 1 Funes de onda radial hidrogenoides.


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# Orbitais

Tabela Funes de onda para tomos hidrogenoides, para n=1, 2, e 3.Onde Z o nmero atmico e =Zr/a0


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0 2 4 6 8

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

a3/2R(r)

r/a

1s

2s

2p

Figura 1 Grficos da parte radial da funo hidrogenoide, para Z=1, R(1s), R(2s) , R(2p).- Orbital s

Se o orbital tem nmero quntico angular igual a zero, ento chamamos o orbital de s.

0 5 10 15 20 250

0.2

0.4

0.60.541

0

raddis1s r 1,( )

raddis2s r 1,( )

raddis3s r 1,( )

250 r

Figura 2 Funo de distribuio radial.

Figura 3 Esfera com 90% deprobabilidade de encontrar o eltron,em um orbital 1s.


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Como se pode ver o tamanho do orbital s aumenta com o nmero quntico n.

Figura 4 - O nmero de nodos esfricos para os orbitais 1s,2s e 3s

- Orbital p

0 5 100

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10.086

0

raddis2s r 1,( )

r

raddis2p r 1,( )r

9.990 r

Figure 5 Densidade de probabilidade, para 1s, 2s e 2p. O eixo horizontal corresponde a

distncia ao ncleo em unidades de a0=0.29 O eixo vertical a probabilidade. Veja que oeltron 1s no tem n, enquanto que o eltron 2p apresenta (um plano nodal) n no ncleo.O eltron 1s tem uma grande probabilidade prxima ao ncleo, tal que o seu eixo continuaafora da figura.


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ml=0 ml=1

- Orbitais d, f e g:

(d, ml=0 e ml=1)

(f, ml=0) (g, ml=0)

Figura 6 Orbitais d e f

3- Funo de Distribuio radial

A probabilidade de encontrar um eltron na regio do espao entre, r a r+dr, a + d e a + d. A probabilidade obtida pela integrao sobre o volume:


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- 5

Os harmnicos esfricos so normalizados para 1:

6

- 7

Essa a funo de distribuio radial, a qual multiplicada por dr d a probabilidade deencontrar o eltron entre r e r+dr.

Da: P(r)dr = R2r2dr

0 1 2 3 4

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

1s

P/(Z/a)3

r/a

Figura 7 Densidade de probabilidade associada a parte radial para n=1 l=0.


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Figura 3 Densidade de Probabilidade.

3. Funo Hidrogenoide real

Se l 0 a funo de onda do tomo de hidrognio no simtrica, depende de e (Ylm). Aparte angular do orbital p dado por trs harmnicos esfricos: Y1

0(,) e Y1(,). O mais simplesdestes harmnicos esfricos :


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cos4

3),(

2/10

=lY

cos

sensen

cossen

=

=

=

r

z

ry

r

x

A energia do tomo de hidrognio no depende de m, da 2p1 e 2p-1 tem a mesma energia, soestados degenerados, portanto podemos qualquer combinao linear destes uma autofuno doHamiltoniano com o mesmo autovalor energia, para o hidrognio:

sensen4

3)(

2

1

cossen43)(

21

2/11

11

1

2/1

11

11

==

=+=

YYi

p

YYp

x

x

e p0 = pz

Para os orbitais d:

4. Criando um mapa de contorno e de superfcie (Manual Mathcad, pag. 231)

(JCE, 55 (1978) 442)

(JCE, 58 (1981) 377)

Vamos obter o mapa de contorno e de superfcie dos orbitais 1s, 2s e 2p.Consideremos o orbital 1s, desenhado no plano xy contendo o ncleo em 0,0,0. Neste caso do

orbital 1s, queremos mostrar o grfico da funo exponencial e-r no plano xy, quando z=0. A funopara o grfico da superfcie para o H (distncia em a. u.):


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2/122 )(1),(

yxeyxf

+=

(Pilar, pg 125) - 8

Fazer para esta funo um grid de 5 a +5 para as coordenadas, obtendo o grfico de superfcie(Figura 4).

Figura 5 de: F. L.Pilar Quantum ChemistryA representao do perfil da superfcie, nos leva a Figura 1.Para o orbital 2s: 2s(r)=(2-r) e-r/2 (sem a constante de normalizao).Usamos a mesma tcnica para construir os grficos de (1s)2 e (2s)2 (Figura 5), no

encontraremos muita diferena dos grficos anteriores de (1s) e (2s), respectivamente. A depresso(negativa) o 2s aparecer como uma monte em (2s)2.

Figura 6 Frank L. Pilar, Quantum Chemistry

Para funes cm l > 0 no teremos mais a simetria ao redor do ncleo. A parte radial do 2p (sem a constante de normalizao): R(2p)= re-r. Se escolhermos xz como plano do grfico e fizermosr=(x2 + z2)1/2, teremos o grfico da Figura 6 (tambm escolher o plano yz).


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Figura 7 - Frank L. Pilar, Quantum Chemistry

5. Passos para a construo do grfico:

1. Defina a matriz de valores do grfico2. Escolha GraphScatter Plot do menu de Insert, ou clique no desenho de grfico da

barra. Aparece um grfico 3D em branco.3. Escreva os nomes dos trs vetores separados por virgulas entre parnteses, e.g., (X,Y,Z)/4. Pressione [enter] ou clique fora do grfico.

Figura 7 do manual do MathCad2000


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7. Exerccios utilizando o MathCad:

1. Fazer o grfico das funes (2D) do tomo de hidrognio de densidade de probabilidade da parteradial, para n=1, 2, 3.

2. Fazer a representao grfica de superfcie (3D) dos orbitais 1s, 2s, e 2pz e da densidade.

8.Softwares disponveis para desenhar mapas de contorno e superfcies de orbitais:

PSI88 - Unixhttp://zarbi.chem.yale.edu/~lim/products/psi88/

GopenMol Unix, Windowshttp://www.csc.fi/~laaksone/gopenmol/gopenmol.html

Molden Unix, Windowshttp://www.caos.kun.nl/~schaft/molden/molden.html

Veja tambm:http://webphysics.davidson.edu/Applets/Hydrogenic/default.html

ChemEdit Unixhttp://zarbi.chem.yale.edu/~lim/products/chemedit/index.html

XchemEdit - Unixhttp://zarbi.chem.yale.edu/~lim/products/xchemedit/index.html


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