Aula 00 Teoria do Consumidor (Parte 1)

Profa. Natália França

Aula 00

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Microeconomia para Anpec

Aula 00 – Teoria do

Consumidor (Parte 1)


Prof. NATÁLIA FRANÇA


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Sumário

APRESENTAÇÃO ....................................................................................................................................... 3

COMO ESTE CURSO ESTÁ ORGANIZADO .................................................................................................. 4

TEORIA DO CONSUMIDOR ....................................................................................................................... 6

PROPRIEDADES DAS PREFERÊNCIAS DO CONSUMIDOR ................................................................................................. 6

CURVAS DE INDIFERENÇA......................................................................................................................................... 8

Propriedades das Preferências e as Curvas de Indiferença ................................................................................ 10

TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO ........................................................................................................................ 11

FUNÇÃO UTILIDADE .............................................................................................................................................. 12

Utilidade Marginal ......................................................................................................................................... 13

EXEMPLOS DE PREFERÊNCIAS ................................................................................................................................. 14

Substitutos Perfeitos ...................................................................................................................................... 14

Complementares Perfeitos ............................................................................................................................. 15

Preferências bem-comportadas ...................................................................................................................... 16

Preferências côncavas.................................................................................................................................... 17

Preferências quase-lineares ............................................................................................................................ 18

Preferências lexicográficas ............................................................................................................................. 18

Males ............................................................................................................................................................ 19

Neutros ......................................................................................................................................................... 20

Função Elasticidade de Substituição Constante (CES)...................................................................................... 21

Preferências homotéticas ............................................................................................................................... 21

RESTRIÇÃO ORÇAMENTÁRIA .................................................................................................................................. 23

Alterações na Reta Orçamentária ................................................................................................................... 24

EQUILÍBRIO DO CONSUMIDOR ................................................................................................................................ 27

Maximização da Utilidade .............................................................................................................................. 27

Exemplos de Demanda Marshalliana .............................................................................................................. 32

Função Utilidade Indireta ............................................................................................................................... 34

Problema de Minimização da Despesa ............................................................................................................ 36

Função Dispêndio .......................................................................................................................................... 38

QUESTÕES COMENTADAS PELA PROFESSORA ....................................................................................... 39

LISTA DE QUESTÕES............................................................................................................................... 85

GABARITO ............................................................................................................................................. 98

RESUMO DIRECIONADO ........................................................................................................................ 99

REFERÊNCIAS ....................................................................................................................................... 105


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Apresentação

Olá! Tudo joia? Meu nome é Natália França e é excelente ter você por aqui!

A preparação para o exame da Associação Nacional dos Centros de Pós-

Graduação em Economia (Anpec) requer esforço e dedicação, e irei te ajudar nessa

caminhada. Antes, vou falar um pouco sobre mim.

Formei-me com excelência em Economia pelo Ibmec Minas em 2011. No final

daquele ano, fiz a prova da Anpec e ingressei no mestrado do programa de Pós-

Graduação em Economia da Universidade Federal do Ceará (CAEN/UFC) em 2012.

Finalizei o doutorado em 2019 no CAEN/UFC, tendo um período na Rice University

no Texas.

Concomitante a minha carreira acadêmica, ingressei no mundo dos concursos públicos. Fui aprovada para

o cargo de Analista Administrativo (Economia) na Ebserh em 2018 e para o cargo de Auditor de Controle Interno

na Controladoria e Ouvidoria Geral do Estado do Ceará (CGE/CE) em 2019. Atualmente estou como professora

substituta no Departamento de Economia Aplicada na UFC.

Não existe fórmula mágica para aprovação em concursos e provas. Temos que ter foco, disciplina,

persistência, além de fazer revisões e resolver muitas questões! Nesse sentido, materiais de qualidade são

essenciais para potencializar nossos resultados positivos. E aqui está a chave para o seu sucesso, pode contar

comigo!

Nesse curso de MICROECONOMIA que estamos iniciando agora, você verá, ao longo de vários materiais

escritos (PDFs), teoria combinada com a resolução de várias questões de provas passadas da Anpec. Minha

meta é lhe fornecer um material objetivo, focado e de alta qualidade, de forma a lhe auxiliar na sua conquista

em ingressar na Pós-Graduação em Economia.

Ah.... Acompanhe minhas redes sociais para ficar por dentro do meu trabalho e conferir dicas de estudo:

https://www.youtube.com/channel/UCRVwQ5xxU-LmFGFbqREbMiA

@prof.natalia.franca

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Como este curso está organizado

Para cobrir os pontos em Microeconomia cobrados no edital da Anpec, o nosso curso está organizado da

seguinte forma:

Aula Data Conteúdo do edital

00 21/12/2020 Teoria do Consumidor (parte 1) - Teorias cardinal e ordinal. Curvas de

indiferença. Limitação orçamentária. Equilíbrio do consumidor.

01 31/01/2021

Teoria do Consumidor (parte 2) - Mudanças de equilíbrio devidas à variação

de preços e renda (equação de Slutsky): efeito-preço, efeito-renda e efeito-

substituição. Comprando e vendendo. Preferência revelada. Números

índices.

02 10/02/2021

Curva de Demanda (parte 1) – Curva de Engel. Curva de demanda.

Deslocamento da curva e ao longo da curva. Elasticidade-preço,

elasticidade renda, elasticidades-preço cruzadas. Elasticidades

compensadas e não-compensadas. Classificação de bens: normais,

inferiores, bens de Giffen, substitutos, complementares.

03 20/02/2021

Curva de Demanda (parte 2) - Excedente do consumidor. Estática

comparativa. Variação equivalente. Variação compensatória. Demanda de

mercado e receita total, média e marginal.

04 06/03/2021 Incerteza - Escolha envolvendo risco.

05 25/03/2021

Oferta do Produtor (parte 1)

1. Teoria da produção - Fatores de produção. Função de produção e suas

propriedades. Isoquantas. Elasticidade de substituição. Rendimentos de

fator, rendimentos de escala. Função de produção com proporções fixas e

proporções variáveis. Combinação ótima de fatores. Firma multiprodutora.

Aula

Extra 05/04/2021

Oferta do Produtor (parte 2)

2. Custo - Custo de Produção. Curvas de isocusto. Função de custo; curto e

longo prazo; custo fixo e variável. Custo marginal; custo médio.

3. Curva de Oferta da Firma e da Indústria de curto e longo prazos.

06 20/04/2021

Mercados (parte 1)

1. Concorrência Perfeita - O equilíbrio da empresa em concorrência perfeita:

a curva de oferta; deslocamento da curva e mudança ao longo da curva;

curto e longo prazo; elasticidade-preço da oferta. Equilíbrio do mercado:

posição de equilíbrio, deslocamento das curvas de procura e de oferta.


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Aula

Extra

2

14/05/2021

Mercados (parte 2)

2. Monopólio - Equilíbrio da empresa monopolista. Discriminação de preços;

barreiras à entrada. Comparação com o mercado de concorrência perfeita.

3. Concorrência Monopolística - Diferenciação do produto. Equilíbrio da

empresa em concorrência monopolística: curto e longo prazo. Comparação

com o mercado de concorrência perfeita.

07 31/05/2021

Mercados (parte 3)

4. Oligopólio - Caracterização da estrutura oligopolística.

4.1 Modelos Clássicos - Cournot, Bertrand e Edgeworth; fatias de mercado;

cartéis; liderança de preços; comparação com o mercado de concorrência

perfeita.

4.2 Modelos de mark-up - Princípio do custo total; curva de demanda

quebrada; concentração e barreiras à entrada; diferenciação e

diversificação do produto.

5. Formação de Preços e Fatores de Produção.

08 15/06/2021 Equilíbrio Geral - Troca Pura. Troca com Produção. Caixa de Edgeworth.

09 29/06/2021 Bens Públicos.

10 13/07/2021 Externalidades.

11 27/07/2021 Economia da Informação - Seleção adversa. Perigo Moral. Modelo de

Sinalização. Modelo de Principal Agente.

12 10/08/2021 Teoria dos Jogos - Equilíbrio de Nash. Equilíbrio de Nash em Estratégias

Mistas. Jogo Repetido. Equilíbrio Perfeito em Subjogos.

Como o assunto referente a Teoria do Consumidor é bastante extenso e cai bastante na prova da Anpec,

eu o dividi em mais de uma aula. O mesmo acontece com Estruturas de Mercado.

Nessa primeira aula, vamos ver os seguintes assuntos:

Teoria do Consumidor (parte 1) - Teorias cardinal e ordinal. Curvas de indiferença. Limitação orçamentária. Equilíbrio do

consumidor.

Então vamos começar logo, não é mesmo? Bons estudos!


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Teoria do Consumidor

Na aula de hoje iremos estudar como o consumidor escolhe os bens e serviços que vai consumir em uma

economia de mercado. Iremos assumir que os indivíduos compram as melhores cestas dentre aquelas que

podem adquirir. Para tanto, devemos considerar tanto as preferências dos indivíduos, como suas restrições

orçamentárias (lembre-se de que os desejos são infinitos, mas os recursos são escassos...).

Animados? Vamos começar nossos estudos pelas propriedades das preferências do consumidor.

Propriedades das Preferências do Consumidor

Antes de começarmos a estudar as preferências do consumidor, vamos definir o que são cestas de bens e

como podemos representá-las. Uma cesta de bens é um conjunto de um ou vários bens, com quantidades não

negativas. Seja uma cesta de bens x, composta por um número finito, n, de bens cujas quantidades são

denotadas por 𝑥𝑖. Podemos expressar a cesta x como x = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛). Muitas vezes, para fins de

simplificação, considera-se que existem apenas dois bens em uma dada cesta.

Vamos, agora, definir o conjunto de consumo, que representa todas as cestas de bens que um indivíduo

pode consumir, sendo denotado por X. Em uma versão bem simples (sem tantas restrições de consumo), o

conjunto de consumo expressa todas as cestas com quantidades não negativas de bens:

𝑋 = ℝ𝑛 = {𝑥 ∈ ℝ𝑛; 𝑥𝑖 ≥ 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 1,… , 𝑛}

Esse conjunto consumo é um conjunto convexo. Ou seja, se x e y são elementos de X, então uma cesta

que seja uma média ponderada das duas, como 𝑤 = 𝛼𝑥 + (1 − 𝛼)𝑦, também é um elemento de X, sempre que

𝛼 ∈ [0,1].

Antes de avançarmos ainda mais no estudo da matéria, vamos ver a notação que representa as relações

de preferência dos consumidores. Sejam as cestas de bens x, y e z pertencentes ao conjunto consumo, ou seja,

x, y, z ∈ X. Se a cesta x é ao menos tão boa quanto a cesta y, escrevemos x ≽ y. Se o indivíduo considera a cesta

x estritamente melhor do que a cesta y, escrevemos x ≻ y (lê-se x é preferida a y). Agora se o consumidor é

indiferente entre as duas cestas, escrevemos x ∼ y, indicando que ambas as cestas geram o mesmo nível de

satisfação. Importante destacar que o símbolo ≻ denota uma relação de preferência forte ou estrita; ≽, uma

relação de preferência fraca e ∼, uma relação de indiferença.

As relações de preferência forte, fraca e indiferença estão interligadas entre si. Por exemplo, se x é ao

menos tão boa quanto a y (x ≽ y) e, ao mesmo tempo, y é ao menos tão boa quanto a x (y ≽ x), o indivíduo é

indiferente entre as duas cestas (x ∼ y). Da mesma forma, se x é ao menos tão boa quanto a y (x ≽ y), mas

sabemos que y não é ao menos tão boa quanto a x (y ⋡ x), esse consumidor considera x estritamente melhor

que y (x ≻ y).

Agora que já conhecemos a representação das relações de preferências do consumidor, podemos fazer

algumas suposições sobre o comportamento dos indivíduos. Três hipóteses fundamentais, os axiomas da

preferência, são elencadas a seguir:

1) Integralidade/Completude – as preferências do consumidor são completas, ou seja, o consumidor

consegue comparar duas cestas quaisquer dentro do seu conjunto de consumo. Por exemplo, ou o consumidor

prefere x a y, ou y a x, ou é indiferente entre elas: ou x ≽ y, ou y ≽ x, ou x ∼ y. Importante destacar que essas

preferências não dependem dos preços dos bens.


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2) Transitividade – se o consumidor prefere a cesta x a y, e prefere y a z, então, pela transitividade, ele irá

preferir x a z. Logo: se x ≽ y e y ≽ z, então x ≽ z. A relação de indiferença também atende a propriedade da

transitividade.

3) Reflexividade – toda cesta é ao menos tão boa quanto ela mesma: x ≽ x. A reflexividade decorre da

completude, quando temos y = x.

Uma relação de preferência que atende esses axiomas é uma relação de preferência racional.

Vamos esquematizar os axiomas das preferências para você assimilar melhor:

Vejamos outras propriedades das preferências do consumidor:

4) Continuidade – sejam as cestas de bens y e z, de forma que o consumidor prefere y a z: y ≻ z. Suponha

uma cesta x, com quantidades de bens muito parecidas com as quantidades em y. Pela continuidade das

preferências, esse consumidor também irá preferir x a z: x ≻ z. A continuidade nos diz que as preferências do

consumidor não apresentam “saltos”, ou seja, ele não faz mudanças bruscas no ordenamento entre as cestas

de repente.

Mais formalmente, podemos dizer que a relação de referência ≽ é contínua se ela é preservada no limite.

Ou seja, para quaisquer sequências {(𝑥𝑛, 𝑦𝑛)}𝑛=1∞ com 𝑥𝑛 ≽ 𝑦𝑛 para todo n, 𝑥 = lim

𝑛→∞𝑥𝑛 e 𝑦 = lim

𝑛→∞𝑦𝑛, nós

temos 𝑥 ≽ 𝑦.

5) Monotonicidade – o consumidor prefere aquelas cestas com quantidades mais elevadas de bens

(quanto mais, melhor). Uma relação de preferência é (fracamente) monótona se 𝑥 ≫ 𝑦 (ou seja, 𝑥𝑖 > 𝑦𝑖 para

todo 𝑖) , implica 𝑥 ≻ 𝑦. A monotonicidade forte ou estrita nos diz que se 𝑥 ≥ 𝑦 e 𝑥 ≠ 𝑦 (ou seja, 𝑥𝑖 ≥ 𝑦𝑖 para

todo 𝑖) implica que 𝑥 ≻ 𝑦, ou seja, se a cesta x possui quantidades estritamente maiores que y em pelo menos

um dos bens, a cesta x é preferível a cesta y.

Se a relação de preferência é (fracamente) monótona, podemos ter indiferença no caso em que

aumentamos a quantidade de alguns bens, e não de todos. Por sua vez, a monotonicidade forte implica que se

x é maior que y para algum bem e é não menor para os outros, então x é estritamente preferida a y.

Monotonicidade forte implica monotonicidade.

6) Não saciedade local – o consumidor jamais estará satisfeito com a cesta atual. Ou seja, sempre haverá

uma cesta y na vizinhança da cesta consumida, x: (|x − y|) < ε, com ε > 0, tal que y ≻ x.

Monotonicidade implica não saciedade local.

7) Convexidade – o consumidor prefere diversificação no consumo (médias preferíveis aos extremos).

Quando a relação de preferência é (fracamente) convexa, temos que se y ≽ x e z ≽ x, então 𝛼𝑦 + (1 − 𝛼)𝑧 ≽

Axiomas das preferências

Integralidade (Completude)

Transitividade

Reflexividade


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x para todo 𝛼 ∈ [0,1]. A convexidade forte ou estrita nos diz que se y ≽ x, z ≽ x e y ≠ z, então 𝛼𝑦 + (1 − 𝛼)𝑧 ≻

x para todo 𝛼 ∈ (0,1).

Convexidade forte implica convexidade fraca, mas a recíproca não é verdadeira.

Bem legal essa parte das propriedades das preferências, né?! Vamos dar continuidade na matéria. E

lembre-se de beber água, hein!

Curvas de Indiferença

A curva de indiferença consiste em uma representação gráfica das preferências do consumidor. Uma

curva de indiferença contém todas as cestas de bens em relação às quais o consumidor é indiferente, ou

seja, geram o mesmo nível de satisfação.

No gráfico a seguir, representamos no eixo horizontal a quantidade do bem 1, 𝑥1, e no eixo vertical, a

quantidade do bem 2, 𝑥2. O consumidor é indiferente entre as cestas x, y e z, pois estas cestas estão sobre a

mesma curva de indiferença. Esse mesmo consumidor não é indiferente entre x e w, por exemplo, dado que

elas estão em curvas de indiferença distintas.

Pela monotonicidade das preferências, as curvas de indiferença mais altas estão associadas a cestas

melhores. Dessa forma, no gráfico a seguir, o consumidor prefere w em relação às cestas x, y e z (w está em

uma curva de indiferença mais alta).

Importante: As curvas de indiferença que representam níveis distintos de satisfação não se cruzam. Isso por causa da

racionalidade das preferências.

Conjunto Fracamente Preferido

O conjunto fracamente preferido associado a uma cesta x̃ contém as cestas ao menos tão boas

quanto a essa cesta: {x ∈ X: x ≽ x̃ }. Vale dizer que a curva de indiferença é o limite (ou contorno) inferior do

conjunto fracamente preferido.

A relação de preferências é convexa quando o conjunto fracamente preferido é convexo. Ou seja, se

as cestas x e y pertencem ao conjunto fracamente preferido, a média ponderada entre elas, 𝑡𝑥 + (1 − 𝑡)𝑦 com

𝑡 ∈ [0,1], também pertencerá, conforme vemos no gráfico a seguir.


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Vamos ver em uma questão como esse tema já foi cobrado em prova?

ANPEC – 2001 – Questão 1

Em relação à teoria das preferências, julgue os itens a seguir:

(0) Se as preferências de um consumidor forem convexas, então para qualquer cesta 𝐱 = {x1, x2}, em que x1

e x2 são as quantidades consumidas dos bens 1 e 2, o conjunto formado pelas cestas que o consumidor

considera inferiores a 𝐱 é um conjunto convexo.

RESOLUÇÃO:

Olha a pegadinha!!!

O enunciado trocou a palavra superiores por inferiores. Quando as preferências são convexas, o conjunto

fracamente preferido (que contém as cestas SUPERIORES a x) é convexo.

Muita atenção aos detalhes na hora da prova. Tenho certeza que você vai se garantir!

Resposta: FALSO

Ponto de Saciedade

O ponto de saciedade representa a melhor cesta para o consumidor, indicada por (�̅�𝟏, �̅�𝟐) no gráfico

abaixo, e quanto mais perto dela estiver, melhor o consumidor estará. Antes que esse ponto seja alcançado,

é possível melhorar a satisfação do indivíduo elevando a quantidade de qualquer um dos bens, tendo em vista

que, diante desse aumento, nos movemos para uma curva de indiferença mais próxima ao ponto de saciedade.

A partir do ponto em que o consumidor está saciado, aumentos na quantidade consumida do bem reduzem a

sua satisfação (violando, portanto, a hipótese da monotonicidade), visto que estaremos caminhando para uma

curva de indiferença mais distante do ponto de saciedade. Ou seja, a partir do ponto de saciedade, os bens

passam a ser males.


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Transformação Monotônica e Curvas de Indiferença

Seja a função v(x) = f(u(x)), sendo f uma função estritamente crescente definida na imagem de u(x),

ou seja, f ′(u(x)) > 0. Assim, v(x) é denominada uma transformação monotônica de u(x). Importante você

saber que a transformação monotônica preserva o ordenamento dos números, ou seja, se 𝑢1 > 𝑢2, então

𝑓(u1) > 𝑓(𝑢2).

Aplicando uma transformação monotônica em uma relação de preferência, temos que a curva de

indiferença da transformação monotônica tem o mesmo formato que a curva de indiferença da preferência

original. Isso porque ambas as curvas de indiferença representam a mesma relação de preferências.

Propriedades das Preferências e as Curvas de Indiferença

As propriedades das preferências do consumidor afetam as curvas de indiferença, conforme podemos ver

no esquema a seguir:

ContinuidadeGarante a existência (e a continuidade) das curvas de

indiferença

Racionalidade Curvas de indiferença distintas não se cruzam

Não saciedade local Curvas de indiferença não podem ser grossas

Monotonicidade fraca

Curvas de indiferença não podem ter inclinação positiva

Monotonicidade forte

Curvas de indiferença têm inclinação negativa

Preferências bem-comportadas

Curvas de indiferença negativamente inclinadas


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Vamos ver uma questão de prova que aborda esse tema.


Em relação à teoria das preferências, julgue os itens a seguir:

(0) Os pressupostos de que as preferências são completas e transitivas garantem que curvas de indiferença

distintas não se cruzam.

RESOLUÇÃO:

Sabemos que se as preferências forem racionais (completas, reflexivas e transitivas), curvas de indiferença

distintas não se cruzam, ou seja, o item é verdadeiro.

Você pode ter se questionado do fato que o item citou apenas os axiomas da completude e da transitividade,

não tendo mencionado o da reflexividade. Mas lembre-se de que a reflexividade decorre diretamente da

completude das preferências.

Resposta: VERDADEIRO

Taxa Marginal de Substituição

A taxa marginal de substituição (TMS) é a taxa à qual o consumidor está disposto a trocar um bem

pelo outro, para manter seu nível de satisfação constante. Em outras palavras, dado que o consumo do bem

1 seja reduzido, a TMS indica quantas unidades a mais do bem 2 são necessárias para que o consumidor

permaneça sobre a mesma curva de indiferença (representada por �̅� no gráfico):

Importante você saber que a TMS é a inclinação da curva de indiferença no ponto:

𝑇𝑀𝑆(𝑥1, 𝑥2) =𝑑𝑥2𝑑𝑥1

Você também deve ter em mente que aplicar uma transformação monotônica na relação de

preferência não altera a TMS entre os bens.

Além disso, curvas de indiferença de preferências estritamente convexas apresentam TMS

decrescente (em módulo), ou seja, a taxa à qual o indivíduo está disposto a trocar 𝑥1 por 𝑥2 diminui à medida

que a quantidade de 𝑥1 aumenta.


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Função Utilidade

A função utilidade consiste em uma maneira matemática de representar as preferências do

consumidor. Tal função atribui números reais a todas as cestas do conjunto consumo, sendo que cestas mais

preferidas recebem números mais altos (e cestas indiferentes recebem o mesmo valor):

𝑢: X → R tal que x ≽ y ↔ u(x) ≥ u(y)

Importante

Uma relação de preferência pode ser representada por uma função utilidade somente se for racional. Mas será que toda

relação de preferência racional pode ser representada por uma função utilidade? NÃO! Veremos o caso das preferências

lexicográficas, que não podem ser representadas por uma função utilidade.

A continuidade da relação de preferência é suficiente para a existência de uma função utilidade que a represente. Mais

ainda, a continuidade da relação de preferência garante a existência de uma função utilidade contínua.

Teoria Ordinal: Importa apenas o ordenamento das cestas em termos da função utilidade, e não a magnitude dos valores.

Ou seja, se o consumidor prefere a cesta x à cesta y, basta que a utilidade de x seja maior que a utilidade de y, não

importando os valores assumidos. Logo, é possível aplicar transformações monotônicas na função utilidade. A Teoria

do Consumidor que estamos estudando baseia-se na utilidade ordinal.

Já sob a ótica da utilidade cardinal (Teoria Cardinal), o tamanho dos valores da função utilidade importa. A Lei da Utilidade

Marginal Decrescente (a utilidade marginal diminui à medida que se aumenta o consumo do bem) só faz sentido no

contexto da Teoria Cardinal da utilidade.

A transformação monotônica de uma função utilidade é uma função utilidade que representa as

mesmas preferências que a função utilidade original. Se 𝑓(𝑢) é uma transformação monotônica de 𝑢(. ),

então:

𝑓(𝑢(𝑥)) ≥ 𝑓(𝑢(𝑦)) ↔ 𝑢(𝑥) ≥ 𝑢(𝑦) ↔ 𝑥 ≽ 𝑦

Temos, portanto, que a função utilidade que representa uma relação de preferências não é única.

Vamos ver mais uma questão de prova?


Com base na abordagem ordinal da teoria do consumidor é correto afirmar que:

(0) A função de utilidade é arbitrária até qualquer transformação monótona crescente de si mesma.

RESOLUÇÃO:

Com base na Teoria Ordinal importa apenas o ordenamento das cestas em termos da função utilidade. Dessa

forma, a transformação monotônica de uma função utilidade é uma função utilidade que representa as mesmas

preferências que a função utilidade original.


Muitas vezes é conveniente assumir que a função utilidade seja diferenciável. Porém, existem

preferências contínuas que não são representadas por uma função utilidade diferenciável (como é o caso das

preferências Leontieff, que representam bens complementares perfeitos).


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Propriedades das Preferências e Função Utilidade

A monotonicidade forte das preferências faz com que a função utilidade seja crescente em cada um de

seus argumentos.

Preferências convexas são representadas por uma função utilidade quase-côncava. Isto é, sejam 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋

e 𝛼 ∈ [0,1]. Se 𝑢(𝑥) ≥ 𝑢(𝑦), então:

𝑢(𝛼𝑥 + (1 − 𝛼)𝑦) ≥ min{𝑢(𝑥), 𝑢(𝑦)}

Já a convexidade forte das preferências dá origem a funções utilidade estritamente quase-côncavas.

Nesse sentido, sejam 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 e 𝛼 ∈ (0,1). Se 𝑥 ≠ 𝑦 𝑒 𝑢(𝑥) ≥ 𝑢(𝑦), então:

𝑢(𝛼𝑥 + (1 − 𝛼)𝑦) > min{𝑢(𝑥), 𝑢(𝑦)}

Toda função Cobb-Douglas 𝑈(𝑥, 𝑦) = 𝐴𝑥𝛼𝑦𝛽 com A, 𝛼 e 𝛽 positivos é uma função quase-côncava.

Atenção: a convexidade da relação de preferência NÃO implica a concavidade da função utilidade.

As propriedades de crescimento e quase-concavidade da função utilidade são preservadas por transformações

monotônicas.

Utilidade Marginal

A utilidade marginal (Umg) de um bem indica a utilidade (benefício) adicional obtida, dado um

aumento de uma unidade na quantidade consumida desse bem.

Supondo uma função utilidade diferenciável, a utilidade marginal do bem i, 𝑈𝑚𝑔𝑖, é:

𝑈𝑚𝑔𝑖 =∂u(𝑥1, … , 𝑥𝑛)

∂𝑥𝑖, 𝑥 ∈ X

Algumas considerações sobre propriedades das preferências e a utilidade marginal:

1) Monotonicidade forte – todos os bens têm utilidade marginal positiva (Umg > 0).

2) Monotonicidade fraca – todos os bens têm utilidade marginal não negativa (Umg ≥ 0).

Também é importante você saber que aplicar uma transformação monotônica na relação de

preferência não altera o sinal da utilidade marginal.

A seguir iremos ver como a taxa marginal de substituição entre dois bens se relaciona com as respectivas

utilidades marginais:

𝑇𝑀𝑆(𝑥1, 𝑥2) =𝑑𝑥2𝑑𝑥1

= −𝑈𝑚𝑔1𝑈𝑚𝑔2

Generalizando para o caso com n bens, a TMS entre os bens i e j pode ser escrita como:

𝑇𝑀𝑆(𝑥𝑖, 𝑥𝑗) = −𝑈𝑚𝑔𝑖𝑈𝑚𝑔𝑗

Essa relação entre a TMS e as utilidades marginais será bastante útil quando estudarmos o equilíbrio do

consumidor.

Outra questão de prova para treinarmos:


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(2) Utilidades marginais positivas implicam taxa marginal de substituição negativa.

RESOLUÇÃO:

Sabemos que a taxa marginal de substituição entre dois bens pode ser escrita como:

𝑇𝑀𝑆(𝑥1, 𝑥2) = −𝑈𝑚𝑔1𝑈𝑚𝑔2

Se ambas as utilidades marginais forem positivas, a TMS será negativa.


Como vocês estão até aqui? Espero que tudo joia. Antes de continuar, faça uma pausa para beber água.

Nós rendemos mais nos estudos com o corpo hidratado.

Exemplos de Preferências

Vamos ver, agora, alguns exemplos de preferências que caem bastante na prova da Anpec.

Substitutos Perfeitos

Quando os bens são substitutos perfeitos, o consumidor troca um bem pelo outro a uma taxa constante,

indicando uma taxa marginal de substituição constante. Nesse tipo de preferência, o indivíduo se importa

apenas com a quantidade total consumida, de modo que as curvas de indiferença são representadas por

linhas retas.

Preferências do tipo substitutos perfeitos são convexas, mas NÃO são estritamente convexas.

Exemplo: um consumidor indiferente entre lápis vermelhos ou azuis; indiferente entre um hambúrguer

ou duas fatias de pizza.

A função utilidade quando os bens são substitutos perfeitos é dada por:

𝑈(𝑥1, 𝑥2) = 𝑎𝑥1 + 𝑏𝑥2; 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ+


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|𝑇𝑀𝑆(𝑥1, 𝑥2)| =𝑎

𝑏

Atenção: Seja a seguinte função:

𝑉(𝑥1, 𝑥2) = [𝑈(𝑥1, 𝑥2)]2 = (𝑎𝑥1 + 𝑏𝑥2)

2 = 𝑎2𝑥12 + 2𝑎𝑏𝑥1𝑥2 + 𝑏

2𝑥22

Essa função é uma função utilidade e também representa bens substitutos perfeitos, pois é um exemplo de uma

transformação monotônica de 𝑈(𝑥1, 𝑥2).

Importante você saber que uma utilidade marginal decrescente indica um certo grau de substituição entre

os bens. No entanto, uma utilidade marginal decrescente NÃO é condição necessária para que os bens

sejam substitutos. Basta lembrar-se dos bens substitutos perfeitos, que apresentam uma utilidade marginal

constante.

Atenção em como isso já foi cobrado em prova, hein!



(1) O princípio da utilidade marginal declinante é imprescindível para garantir a substituição entre bens.

RESOLUÇÃO:

Sabemos que utilidade marginal decrescente implica em certo grau de substituição entre os bens. Mas isso não

é uma condição necessária, dado que para os bens substitutos perfeitos temos substituição entre eles e

utilidade marginal constante.

Resposta: FALSO

Complementares Perfeitos

Também denominadas preferências Leontieff ou proporções fixas. Quando são complementares

perfeitos, os bens só geram satisfação quando consumidos juntos e em proporções fixas. Dessa forma, qualquer

bem excedente dessa proporção não gera nenhuma satisfação adicional para o consumidor, de modo que as

curvas de indiferença tenham um formato de vértice (“L”).

A TMS, no caso de complementares perfeitos, é zero ou infinita.

Preferências do tipo complementares perfeitos são convexas, mas NÃO são estritamente convexas.

Exemplo: em geral, o pé direito de um par de sapato é consumido junto do pé esquerdo; uma pessoa pode

consumir sempre uma xícara de café com três colheres de açúcar.


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A função utilidade de bens complementares perfeitos é:

𝑈(𝑥1, 𝑥2) = min{𝑎𝑥1, 𝑏𝑥2} ; 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ+

As constantes a e b indicam as proporções nas quais os bens são consumidos.


Nesse tipo de preferências, as curvas de indiferença são estritamente convexas, ou seja, o consumidor

prefere uma diversificação no consumo. Essas preferências também são fortemente monotônicas.

A TMS é decrescente (em módulo): basta perceber que a inclinação da curva de indiferença diminui

conforme nos deslocamos da esquerda para a direita no eixo horizontal.

Um exemplo bem conhecido de preferências bem-comportadas consiste nas preferências do tipo Cobb-

Douglas.

A função utilidade de preferências do tipo Cobb-Douglas pode ser escrita como:

𝑈(𝑥1, 𝑥2) = 𝑥1𝑎𝑥2

𝑏; 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ+

|𝑇𝑀𝑆(𝑥1, 𝑥2)| =𝑎

𝑏

𝑥2𝑥1


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Para funções utilidade do tipo Cobb-Douglas, a TMS depende da razão entre a quantidade consumida

de ambos os bens, e não da quantidade absoluta.

Aplicar o logaritmo natural é uma transformação monotônica útil no caso de uma Cobb-Douglas:

ln𝑈(𝑥1, 𝑥2) = 𝑎 ln 𝑥1 + 𝑏 ln 𝑥2

Vejamos uma questão que aborda dois exemplos de preferências vistos até aqui.


Em relação às funções de utilidade dos consumidores é correto afirmar que:

(0) Para um consumidor com uma função de utilidade do tipo U(X, Y) = X0,4. Y0,6, os bens X e Y são substitutos

perfeitos.

RESOLUÇÃO:

Muito importante que vocês reconheçam os tipos de preferência mais comuns só de “bater o olho” na função

utilidade.

Claramente a função U(X, Y) = X0,4. Y0,6 refere-se a uma preferência do tipo Cobb-Douglas, e não substitutos

perfeitos. Bens substitutos perfeitos são representados por funções utilidade que são linhas retas.

Resposta: FALSO

Preferências côncavas

Nessa situação, as curvas de indiferença são côncavas em relação à origem. A TMS é crescente (em

módulo): a inclinação da curva de indiferença aumenta conforme nos deslocamos da esquerda para a direita

no eixo horizontal.

Importante você saber que, no caso de preferências côncavas, o consumidor irá preferir uma

especialização no consumo de uma única mercadoria (lembre-se de que em preferências convexas, há

diversificação no consumo). Podemos verificar esse fato no gráfico a seguir. Note que a combinação linear entre

as cestas x e y, com 𝑡 ∈ [0,1], situa-se em uma curva de indiferença mais baixa, propiciando, portanto, um

menor nível de satisfação.


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Preferências quase-lineares

Para preferências quase-lineares, as curvas de indiferença são versões deslocadas de uma curva de

indiferença. No diagrama a seguir, temos a representação de curvas de indiferença para preferências quase-

lineares em relação ao bem 2.

Uma relação de preferência quase-linear em relação ao bem 2 pode ser representada pela seguinte função

utilidade:

𝑈(𝑥1, 𝑥2) = 𝑣(𝑥1) + 𝑥2

|𝑇𝑀𝑆(𝑥1, 𝑥2)| = 𝑣′(𝑥1)

Você deve ter notado que a TMS depende exclusivamente da quantidade do bem 1 quando a preferência

é quase-linear em relação ao bem 2. De fato, nesse tipo de preferência, a TMS depende somente da

quantidade de um dos bens.

Preferências lexicográficas

As preferências lexicográficas seguem a lógica da organização dos dicionários: quando vamos colocar

palavras em ordem alfabética, primeiro verificamos o ordenamento da primeira letra (independente das


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demais); se houver coincidência na primeira letra, analisamos a segunda; e assim sucessivamente. Nesse

sentido, sejam as cestas x = (x1, x2) e y = (y1, y2). As preferências lexicográficas são definidas como:

x ≽ y ↔ {x1 > y1} ou {x1 = y1 e x2 ≥ y2 }

O consumidor prefere a cesta com maior quantidade do bem 1, independente do bem 2. Caso haja

empate na quantidade desse bem, o consumidor prefere a cesta com mais unidades do bem 2. Se as quantias

de todos os bens forem iguais, as cestas são indiferentes para o consumidor.

Conforme verificamos no gráfico abaixo, não podemos formar curvas de indiferença para essas

preferências, teremos, na verdade, pontos de indiferença.

Iremos, agora, verificar que as preferências lexicográficas não são contínuas. Sejam as cestas x e y,

conforme vemos no gráfico acima. A cesta x é preferida a y (x ≻ y): ambas têm a mesma quantidade do bem 1,

mas x tem mais unidades do bem 2. Você pode perceber que na vizinhança de x, existem cestas que são

inferiores a y (de modo que haja uma inversão abrupta nas preferências do consumidor). Nesse sentido, as

preferências lexicográficas não são contínuas.

Vamos ver um exemplo que mostra que as preferências lexicográficas não são contínuas. Sejam as sequências de cestas

𝑥𝑛 = (1/𝑛, 0) e 𝑦𝑛 = (0,1). Para todo n, temos 𝑥𝑛 ≻ 𝑦𝑛, pois 1/𝑛 > 0.

Será que essa relação de preferência é preservada no limite? Temos lim𝑛→∞

𝑦𝑛 = (0,1) ≻ (0,0) = lim𝑛→∞

𝑥𝑛. Ou seja, o

ordenamento das cestas se inverte no limite, de forma que as referências lexicográficas não sejam contínuas.

As preferências lexicográficas são racionais, fortemente monotônicas e estritamente convexas, mas não são contínuas.

Como essa relação de preferência não é contínua, NÃO é possível construir uma função utilidade para as preferências

lexicográficas.

Males

Temos um mal quando aumentos na quantidade consumida reduzem o nível de satisfação do

consumidor. Na figura a seguir são representadas curvas de indiferença com um bem no eixo horizontal e um

mal no eixo vertical. Você pode perceber que as curvas de indiferença têm inclinação positiva (ou seja, TMS


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positiva), indicando que aumentos na quantidade consumida do mal devem ser compensadas por aumentos no

consumo do bem. Por fim, lembre-se que um mal viola a hipótese da monotonicidade.

Mais uma questão para a gente praticar!



(4) Taxa marginal de substituição positiva implica que um dos produtos é um desbem.

RESOLUÇÃO:

A taxa marginal de substituição entre dois bens pode ser escrita como:

𝑇𝑀𝑆(𝑥1, 𝑥2) = −𝑈𝑚𝑔1𝑈𝑚𝑔2

Se a TMS é positiva, uma das utilidades marginais é negativa, indicando que temos um mal (desbem).


Neutros

Um bem é classificado como neutro quando a quantidade consumida não interfere na satisfação do

consumidor. No gráfico a seguir, o bem 2 é neutro, enquanto que mais unidades do bem 1 geram um maior

nível de satisfação para o indivíduo, de forma que as curvas de indiferença tenham o formato de linhas verticais.

Nesse caso, a TMS é infinita em qualquer ponto da curva.


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Função Elasticidade de Substituição Constante (CES)

A função utilidade CES (do inglês constant elasticity of substitution) tem um formato especial, ela

apresenta a elasticidade de substituição constante (não se preocupe, que veremos em aula posterior o que é

elasticidade de substituição, mas já lhe adianto que ela capta o grau de facilidade/dificuldade em que o

consumidor troca um bem por outro).

Considere que existem apenas dois bens, cujas quantidades são denotadas por 𝑥1 e 𝑥2. Então, a função

utilidade CES pode ser escrita como:

𝑢(𝑥1, 𝑥2) = [𝛼1𝑥1𝜌+ α2𝑥2

𝜌]1𝜌

Dependendo do valor do parâmetro 𝜌, essa função representa algumas preferências conhecidas.

𝜌 > 1: curvas de indiferença côncavas em relação à origem

𝜌 ≤ 1: preferências convexas

𝜌 = 1: substitutos perfeitos

𝜌 = 0: Cobb-Douglas

𝜌 = −∞: complementares perfeitos

Outra representação da função utilidade CES que você pode ver é a seguinte:

𝑢(𝑥1, 𝑥2) =𝑎𝑥1

𝜌

𝜌+𝑏𝑥2

𝜌

𝜌, 𝑎 > 0, 𝑏 > 0, 𝜌 ≠ 0

𝑢(𝑥1, 𝑥2) = 𝑎 ln 𝑥1 + 𝑏 ln 𝑥2 , 𝑎 > 0, 𝑏 > 0, 𝜌 = 0

Preferências homotéticas

Uma função 𝒗:ℝ+𝒏 → ℝ é dita uma função homotética se é uma transformação monotônica

(estritamente crescente) de uma função homogênea. Ou seja, existe uma transformação monotônica 𝑧 ⟼

𝑔(𝑧) de ℝ+ e uma função homogênea 𝑢:ℝ+𝑛 → ℝ+ tal que 𝑣(𝑥) = 𝑔(𝑢(𝑥)) para todo x no domínio.

Mais especificamente, uma relação de preferência é homotética se, e somente se, admite uma função de

utilidade homogênea de grau um:


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𝑢(𝜆𝑥) = 𝜆𝑢(𝑥) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝜆 > 0

Seja a função 𝑢:ℝ+𝑛 → ℝ uma transformação monotônica. Então, u é homotética se, e somente se, para

quaisquer cestas de consumo 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ+𝑛 :

𝑢(𝑥) ≥ 𝑢(y) ↔ 𝑢(𝛼𝑥) ≥ 𝑢(αy) ∀ 𝛼 > 0

Em relação às curvas de indiferença de preferências homotéticas, essas curvas estão relacionadas por

meio de uma expansão proporcional ao longo de raios que partem da origem. Isto é,

se 𝑥 ∼ 𝑦 então 𝛼𝑥 ∼ 𝛼𝑦 ∀ 𝛼 ≥ 0 e x, y ∈ X

O gráfico a seguir ilustra curvas de indiferença para preferências homotéticas.

Ao longo desses raios que partem da origem, a TMS é constante. Em outras palavras, no caso de funções

homotéticas, a TMS é uma função homogênea de grau zero. Para quaisquer i e j, e qualquer cesta de consumo

𝑥 ∈ ℝ+𝑛 :

−𝑈𝑚𝑔𝑥𝑖(𝑡𝑥)

𝑈𝑚𝑔𝑥𝑗(𝑡𝑥)= −

𝑈𝑚𝑔𝑥𝑖(𝑥)

𝑈𝑚𝑔𝑥𝑗(𝑥) ∀ 𝑡 > 0

Ou seja, multiplicar a quantidade de todos os bens por uma mesma constante positiva não altera a taxa

marginal de substituição entre eles.

Além disso, para preferências homotéticas, a TMS depende apenas da razão entre 𝒙𝐢 e 𝒙𝐣, e não da

quantidade absoluta dos bens.

São exemplos de preferências homotéticas: preferências Cobb-Douglas, complementares perfeitos, substitutos

perfeitos e função CES.

Atenção: Preferências quase-lineares NÃO são homotéticas.

Vamos ver uma questão de prova que aborda esse assunto:


Em relação às funções de utilidade dos consumidores é correto afirmar que:

(3) Caso a função utilidade do consumidor seja homotética, a taxa marginal de substituição depende apenas

das quantidades relativas dos bens consumidos e não das quantidades absolutas.


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RESOLUÇÃO:

Acabamos de ver que quando as preferências são homotéticas, a TMS depende apenas da razão entre as

quantidades consumidas, e não da quantidade absoluta dos bens.


Tubo bem até aqui? Vamos continuar, né... Sempre lembrando-se de beber água!

Restrição Orçamentária

Nessa parte da aula, vamos estudar a restrição orçamentária do consumidor. As pessoas não têm

condições de adquirir todas as cestas de bens que desejam (infelizmente... rsrsrs). Essa limitação é imposta pela

escassez de recursos e pelos preços dos bens.

Sejam 𝑝𝑖 o preço do bem i; 𝑝 = (𝑝1, 𝑝2, … , 𝑝𝑛), o vetor de preços dos n bens; e m, a renda que o indivíduo

tem para gastar com o consumo desses bens. Estamos assumindo que não há preços negativos e que os

consumidores, individualmente, não afetam o preço vigente no mercado. A restrição orçamentária postula

que o gasto do consumidor com determinada cesta de bens não pode ser maior do que o montante de

renda que possui:

𝑝1𝑥1 + 𝑝2𝑥2 +⋯+ 𝑝𝑛𝑥𝑛 ≤ 𝑚 𝑜𝑢 ∑𝑝𝑖𝑥𝑖 ≤ 𝑚

𝑛

𝑖=1

O termo 𝑝𝑖𝑥𝑖 indica a quantia de dinheiro gasta na aquisição do bem i.

Podemos definir, portanto, o conjunto orçamentário, denotado por 𝐵𝑝,𝑚, que contém as cestas

compatíveis com a restrição orçamentária, isto é, aquelas cestas cujo custo não excede a renda:

𝐵𝑝,𝑚 = {𝑥 ∈ 𝑋:∑𝑝𝑖𝑥𝑖 ≤ 𝑚

𝑛

𝑖=1

}

Existem duas propriedades desse conjunto que você deve saber:

1) 𝑩𝒑,𝒎 é um conjunto convexo – a combinação linear entre duas cestas pertencentes ao conjunto

orçamentário também estará em 𝐵𝑝,𝑚:

∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐵𝑝,𝑚 e 0 ≤ 𝑡 ≤ 1 → (1 − 𝑡)𝑥 + 𝑡𝑦 ∈ 𝐵𝑝,𝑚

A convexidade de 𝐵𝑝,𝑚 decorre da convexidade do conjunto consumo, X.

2) 𝑩𝒑,𝒎 é homogêneo de grau zero em relação aos preços e à renda – multiplicar a renda e os preços de

todos os bens por uma mesma constante positiva não altera o conjunto orçamentário do consumidor (e

também não altera a escolha ótima desse consumidor):

𝐵𝛼𝑝,𝛼𝑚 = 𝐵𝑝,𝑚 ∀ 𝛼 > 0

A fronteira do conjunto orçamentário, denotada por 𝐿𝑅𝑂𝑝,𝑚, contém as cestas que atendem a restrição

orçamentária com igualdade, isto é, o consumidor gasta exatamente a sua renda na compra dos bens:

𝐿𝑅𝑂𝑝,𝑚 = {𝑥 ∈ 𝑋:∑𝑝𝑖𝑥𝑖 = 𝑚

𝑛

𝑖=1

}


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No caso de 2 bens, essa fronteira é denominada reta orçamentária:

𝑝1𝑥1 + 𝑝2𝑥2 = 𝑚 → 𝑥2 =𝑚

𝑝2−𝑝1𝑝2𝑥1

A razão 𝑝1/𝑝2 é conhecida como preço relativo do bem 1 em relação ao bem 2 e representa a taxa à qual

o mercado está disposto a trocar o bem 1 pelo bem 2 (quantas unidades do bem 2 são necessárias para a

aquisição de uma unidade do bem 1). A inclinação da reta orçamentária, dada pelo negativo desse preço

relativo, corresponde ao custo de oportunidade, indicando que para aumentar o consumo de um bem é preciso

abrir mão do outro.

Bem numerário: Qualquer restrição orçamentária pode ser representada tendo um dos bens como unidade de conta. Esse

bem é denominado numerário. Por exemplo, se o bem 2 for numerário, ele terá seu preço igual a unidade, 𝑝2 = 1, e o

conjunto orçamentário pode ser escrito como:

𝑝1𝑥1 + 𝑥2 +⋯+ 𝑝𝑛𝑥𝑛 ≤ �̃�; 𝑝1 =𝑝1𝑝2, … , 𝑝𝑛 =

𝑝𝑛𝑝2, �̃� =

𝑚

𝑝2

Essa representação é possível, pois o conjunto orçamentário é homogêneo de grau zero nos preços e na renda.

A seguir, temos a representação gráfica do conjunto orçamentário quando existem apenas dois bens, 𝑥1

e 𝑥2. Os interceptos 𝑚/𝑝1 e 𝑚/𝑝2 correspondem à quantidade máxima que o consumidor pode adquirir do bem

1 e do bem 2, respectivamente. Cestas localizadas acima e à direita da reta orçamentária não podem ser

adquiridas pelo consumidor.

Alterações na Reta Orçamentária

O poder de compra das pessoas é afetado quando há mudanças na sua renda ou nos preços dos bens.

Vejamos como a reta orçamentária se altera nessas circunstâncias.

1) Mudanças na renda – mantendo-se os preços constantes, mudanças na renda deslocam paralelamente

a reta orçamentária. Ou seja, a inclinação da curva (preço relativo) não se altera.


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2) Mudanças no preço do bem 1 – mantendo-se a renda e o preço do bem 2 constantes, mudanças no

preço do bem 1 alteram a inclinação da reta orçamentária, ou seja, o preço relativo (o intercepto horizontal é

modificado).

3) Mudanças no preço do bem 2 – mantendo-se a renda e o preço do bem 1 constantes, mudanças no

preço do bem 2 alteram a inclinação da reta orçamentária (o intercepto vertical é modificado)


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4) Impostos e subsídios – tanto a cobrança de impostos, quanto a concessão de subsídios alteram a

restrição orçamentária do consumidor.

4.1) Impostos sobre a quantidade – o consumidor paga uma alíquota t por unidade consumida. Ou seja,

o preço do bem i passa de 𝑝𝑖 para (𝑝𝑖 + 𝑡), alterando a inclinação da reta orçamentária.

4.2) Impostos ad valorem ou sobre o valor – incidem sobre o valor dos bens, e não sobre a quantidade

adquirida. Geralmente são expressos em termos percentuais, representando um percentual 𝜏 do preço do bem.

Nesse caso, o preço do bem i passaria de 𝑝𝑖 para (1 + 𝜏)𝑝𝑖, alterando a inclinação da reta orçamentária.

4.2) Impostos de montante fixo – o governo se apropria de um montante fixo de renda, que não depende

do comportamento dos indivíduos. Logo, há uma redução de renda, provocando um deslocamento paralelo e

para dentro da reta orçamentária (não altera o preço relativo).

4.2) Subsídios – os subsídios afetam a reta orçamentária da mesma forma que os impostos, apenas com

sinal algébrico trocado.

5) Racionamento – quando o racionamento é adotado, existe uma limitação da quantidade que pode ser

consumida. Suponha, por exemplo, que o consumo do bem 1 seja limitado a um nível máximo de �̅�1. O conjunto

orçamentário do consumidor passa a ser representado conforme vemos na figura abaixo. A parte excluída

corresponde às cestas disponíveis para o consumidor, mas com quantidade do bem 1 maior que o limite de �̅�1.


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Nós vimos como o conjunto orçamentário é afetado em cada uma das situações retratadas anteriormente

de maneira isolada. Porém, você deve saber que pode haver uma atuação combinada de mais de uma delas.

Equilíbrio do Consumidor

Anteriormente nessa aula, nós estudamos as preferências e a restrição orçamentária do consumidor.

Nesse tópico iremos juntar essas informações e entender como os indivíduos escolhem as cestas que irão

adquirir. Lembre-se de que estamos assumindo que as pessoas escolhem as melhores cestas (que geram o

maior nível de satisfação) pelas quais elas podem pagar.

Outra hipótese adotada é que o consumidor tem uma relação de preferência racional, contínua, convexa

e localmente não saciável, representadas por uma função utilidade duas vezes diferenciável.

Veremos o problema sob duas óticas: a maximização da utilidade e a minimização da despesa. Sem mais

delongas, vamos direto ao ponto!

Maximização da Utilidade

Sob a formulação do problema de maximização da utilidade, o indivíduo irá escolher a cesta de

consumo, 𝒙 = (𝒙𝟏, … , 𝒙𝒏), que maximiza sua utilidade, dada sua restrição orçamentária, ou seja, dada sua

renda 𝒎 e o vetor de preços dos bens 𝒑 = (𝒑𝟏, … , 𝒑𝒏). Algebricamente, podemos escrever como:

max𝑥1,… ,𝑥𝑛

𝑈(𝑥1, … , 𝑥𝑛)

𝑠𝑢𝑗𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑎 ∑𝑝𝑖𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

≤ 𝑚; 𝑥𝑖 ≥ 0, 𝑖 = 1,… , 𝑛

Assumindo a monotonicidade das preferências (quanto mais, melhor), o consumidor irá gastar toda a sua

renda no consumo dos bens, isto é:

𝑝1𝑥1 +⋯+ 𝑝𝑛𝑥𝑛 = 𝑚

Você deve saber que a solução desse problema existe se preços e renda forem positivos; e as preferências

do consumidor, contínuas. O método de solução utilizado, supondo que a função utilidade é diferenciável, é o

método do multiplicador de Lagrange. O Lagrangeano desse problema pode ser escrito como:


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𝐿 = 𝑈(𝑥1, … , 𝑥𝑛) + 𝜆(𝑚 − 𝑝1𝑥1 −⋯− 𝑝𝑛𝑥𝑛)

Pelas condições de primeira ordem, devemos derivar o Lagrangeano em relação a cada 𝑥𝑖 e a 𝜆, e igualar

tais derivadas a zero:

{

𝜕𝐿

𝜕𝑥𝑖= 0 ∀ i = 1,… , n

𝜕𝐿

𝜕𝜆= 0

Combinando as condições de primeira ordem e assumindo solução interior (quantidades demandadas

positivas), chegamos às seguintes condições:

{

|𝑇𝑀𝑆(𝑥𝑖 , 𝑥𝑗)| =

𝑈𝑚𝑔𝑖(𝑥1, … , 𝑥𝑛)

𝑈𝑚𝑔𝑗(𝑥1, … , 𝑥𝑛)=𝑝𝑖𝑝𝑗

∑𝑝𝑖𝑥𝑖

𝒏

𝒊=𝟏

= 𝑚

Se as preferências do consumidor forem convexas, então as condições de segunda ordem para que o

ótimo seja um ponto de máximo estão atendidas. No caso de preferências estritamente convexas, há apenas

um equilíbrio.

Interpretação do multiplicador de Lagrange: O multiplicador de Lagrange, 𝜆, representa a utilidade marginal da renda.

Ou seja, é a utilidade adicional obtida com cada real gasto na compra de cada um dos bens.

A solução do problema de maximização da utilidade fornece a demanda Marshalliana ou demanda

Walrasiana do consumidor, denotada por 𝑥𝑖(𝑝,𝑚). A função demanda, 𝒙𝒊(𝒑,𝒎), associa uma escolha ótima

do consumidor a cada vetor de preços positivos e renda. Um detalhe importante que você deve saber: o nível

de utilidade varia ao longo da curva de demanda Marshalliana.

Propriedades da Demanda Marshalliana

1) Homogeneidade de grau zero – a função demanda Marshalliana é homogênea de grau zero nos preços e na renda, ou

seja, multiplicar todos os preços e a renda por uma mesma constante positiva não altera a demanda Marshalliana:

𝑥(𝛼𝑝, 𝛼𝑚) = 𝑥(𝑝,𝑚) ∀ 𝑝,𝑚 e 𝛼 > 0

2) Satisfaz a Lei de Walras – o consumidor gasta toda a renda no consumo dos bens:

∑𝑝𝑖𝑥𝑖(𝑝,𝑚) = 𝑚

𝑛

𝑖=1

3) Unicidade/concavidade – se as preferências são convexas (de modo que a função utilidade é quase-côncava), então

𝑥(𝑝,𝑚) é um conjunto convexo. Se as preferências são estritamente convexas (de modo que a função utilidade é

estritamente quase-côncava), então 𝑥(𝑝,𝑚) consiste em um único elemento.

Quando representamos graficamente o caso com apenas dois bens, 𝑥1 e 𝑥2, o consumidor irá escolher

uma cesta na curva de indiferença mais alta que toca a reta de restrição orçamentária. Teremos, portanto, a


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tangência entre as duas curvas de forma que, sendo a taxa marginal de substituição definida, as inclinações de

ambas as curvas serão iguais:

|𝑇𝑀𝑆(𝑥1, 𝑥2)| =𝑈𝑚𝑔1𝑈𝑚𝑔2

=𝑝1𝑝2

Perceba que cestas situadas na curva de indiferença 𝐶𝐼2 fornecem um nível de satisfação mais elevado,

porém não estão disponíveis (estão fora do conjunto orçamentário do consumidor).

Essa condição de tangência é uma condição necessária para o equilíbrio do consumidor, e será uma

condição necessária e suficiente para o caso das preferências convexas. Já sabemos que se as curvas de

indiferença forem estritamente convexas, haverá apenas uma escolha ótima em cada reta orçamentária.

A condição de ótimo pode ser reescrita como:

𝑈𝑚𝑔1𝑝1

=𝑈𝑚𝑔2𝑝2

A relação acima recebe o nome de princípio da igualdade marginal: o consumidor maximiza sua utilidade

quando a utilidade marginal por unidade de renda for igual para todos os bens.

Se a taxa marginal de substituição for diferente da razão de preços (ou seja, a taxa que o consumidor está

disposto a trocar um bem pelo outro é diferente da taxa com a qual o mercado troca um bem pelo outro), o

consumidor pode aumentar sua satisfação alterando sua cesta de consumo, ou seja, não temos um ponto

ótimo. No gráfico do lado esquerdo na figura a seguir, temos que a inclinação da curva de indiferença (a TMS)

é maior que a razão de preços no ponto 𝑥′:

𝑈𝑚𝑔1𝑈𝑚𝑔2

>𝑝1𝑝2→𝑈𝑚𝑔1𝑝1

>𝑈𝑚𝑔2𝑝2

O consumidor pode atingir uma curva de indiferença mais alta (ficando em uma melhor situação) se

trocar parte do consumo do bem 2 pelo bem 1 (o bem 1 tem um ganho adicional por unidade de renda superior

em comparação ao bem 2).

Já no gráfico do lado direito, no ponto 𝑥′′ a TMS é menor que a inclinação da restrição orçamentária:

𝑈𝑚𝑔1𝑈𝑚𝑔2

<𝑝1𝑝2→𝑈𝑚𝑔1𝑝1

<𝑈𝑚𝑔2𝑝2


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Logo, o consumidor pode obter uma cesta melhor se trocar parte do consumo do bem 1 pelo bem 2 (agora

é o bem 2 quem fornece um ganho adicional por unidade de renda mais alto).

Casos Malcomportados

As representações gráficas a seguir (da esquerda para a direita) mostram casos em que temos,

respectivamente, dois pontos de equilíbrio, infinitos equilíbrios e uma situação em que a TMS não é definida

(logo, não vale a condição de tangência). O último gráfico representa o equilíbrio no caso de bens

complementares perfeitos.

Solução de Canto

Uma solução de canto ocorre quando a quantidade consumida de um dos bens é nula, de forma que o

ótimo esteja situado sobre um dos eixos. Quando temos uma solução de canto, a condição de tangência

entre a curva de indiferença e a reta orçamentária NÃO é válida.

A figura a seguir representa duas possibilidades: no gráfico da esquerda, quando a curva de indiferença é

menos inclinada que a reta de restrição orçamentária, o consumidor gasta toda a sua renda no consumo do


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bem 2 (dado que esse bem fornece um ganho marginal por unidade monetária mais alto); já, no gráfico do lado

direito, quando a curva de indiferença é mais inclinada que a reta orçamentária (TMS é maior que a razão de

preços), o indivíduo consome apenas o bem 1.

Você se recorda dos bens substitutos perfeitos? Em geral, temos soluções de canto para esse tipo de

preferências. Isso acontece porque normalmente as pessoas escolhem consumir os bens mais baratos. Mas se

as inclinações da curva de indiferença e da reta orçamentária forem iguais, qualquer cesta sobre a reta

orçamentária é um ponto de ótimo para esse consumidor.

Outro caso em que há uma solução de canto é quando as preferências são côncavas. No gráfico abaixo,

você pode notar que existe um ponto de tangência entre a curva de indiferença e a reta orçamentária, ou seja,

atende a condição necessária do ótimo. Porém, esse ponto não representa um equilíbrio, pois não está situado

na curva de indiferença mais alta (mais distante da origem), que toca a restrição orçamentária. Dessa forma,

temos uma solução de canto (especialização no consumo de um dos bens).

Tudo bem até aqui? Espero que sim. Esse assunto da aula de hoje cai bastante nas provas da Anpec.


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Exemplos de Demanda Marshalliana

Nessa parte da aula vamos aprender como são as demandas Marshallianas de algumas preferências que

nós já conhecemos. Um detalhe: normalmente quando vemos a expressão “demanda” na prova, ela está se

referindo a demanda Marshalliana.

Vamos começar com a Cobb-Douglas, um tipo de preferência bastante recorrente nas provas da Anpec.

Cobb-Douglas

Inicialmente vamos relembrar o formato de uma utilidade Cobb-Douglas:

𝑢(𝑥1, 𝑥2) = 𝑥1𝑎𝑥2

𝑏 , 𝑎, 𝑏 > 0

Pelas condições de primeira ordem do problema de maximização da utilidade, temos:

{|𝑇𝑀𝑆(𝑥1, 𝑥2)| =

𝑈𝑚𝑔𝑥1𝑈𝑚𝑔𝑥2

=𝑝1𝑝2

𝑝1𝑥1 + 𝑝2𝑥2 = 𝑚

Resolvendo esse sistema, obtemos as demandas Marshallianas:

𝑥1∗(𝑝1, 𝑝2, 𝑚) =

𝑎

𝑎 + 𝑏

𝑚

𝑝1

𝑥2∗(𝑝1, 𝑝2, 𝑚) =

𝑏

𝑎 + 𝑏

𝑚

𝑝2

Considerações sobre a demanda Marshalliana para uma Cobb-Douglas

1) O consumidor gasta uma parcela fixa da renda em cada bem:

𝑝1𝑥1∗(𝑝,𝑚)

𝑚=

𝑎

𝑎 + 𝑏

𝑝2𝑥2∗(𝑝,𝑚)

𝑚=

𝑏

𝑎 + 𝑏

2) Bens independentes – a demanda de um bem não é afetada pelo preço do outro.

3) A solução é sempre interior – a quantidade demandada de ambos os bens é positiva.


Sejam dois bens substitutos perfeitos, com função utilidade dada por:

𝑢(𝑥1, 𝑥2) = 𝑎𝑥1 + 𝑥2

A taxa marginal de substituição é:

𝑇𝑀𝑆 = 𝑎

Vimos anteriormente, que, em geral, quando os bens são substitutos perfeitos teremos uma solução de

canto (vai depender da comparação das inclinações da curva de indiferença e da reta orçamentária). Se você

quiser, pode voltar algumas páginas e rever a figura que retrata as soluções de canto antes de prosseguir.


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A demanda Marshalliana dos bens 1 e 2, respectivamente, pode ser escrita como:

𝑥1∗(𝑝,𝑚) =

{

0; 𝑠𝑒

𝑝1𝑝2> 𝑎

0 ≤ 𝑥1∗(𝑝,𝑚) ≤

𝑚

𝑝1; 𝑠𝑒

𝑝1𝑝2= 𝑎

𝑚

𝑝1; 𝑠𝑒

𝑝1𝑝2< 𝑎

𝑥2∗(𝑝,𝑚) =

{

𝑚

𝑝2; 𝑠𝑒

𝑝1𝑝2> 𝑎

0 ≤ 𝑥2∗(𝑝,𝑚) ≤

𝑚

𝑝2; 𝑠𝑒

𝑝1𝑝2= 𝑎

0; 𝑠𝑒 𝑝1𝑝2< 𝑎


Considere, agora, bens complementares perfeitos:

𝑢(𝑥1, 𝑥2) = min {𝑎𝑥1, 𝑥2}

O equilíbrio será um vértice da curva de indiferença sobre a reta de restrição orçamentária (lembre que

não temos a tangência entre as curvas):

{𝑥2 = 𝑎𝑥1

𝑝1𝑥1 + 𝑝2𝑥2 = 𝑚

Graficamente:

A demanda Marshalliana é:

𝑥1∗(𝑝,𝑚) =

𝑚

𝑝1 + 𝑎𝑝2


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𝑥2∗(𝑝,𝑚) =

𝑎𝑚

𝑝1 + 𝑎𝑝2

Preferências Quase-Lineares

Seja uma preferência quase-linear em relação ao bem 2:

𝑢(𝑥1, 𝑥2) = v(𝑥1) + 𝑥2

Para obtermos uma solução explícita, considere a seguinte função utilidade:

𝑢(𝑥1, 𝑥2) = ln 𝑥1 + 𝑥2

Pelas condições de primeira ordem do problema de maximização da utilidade:

{|𝑇𝑀𝑆(𝑥1, 𝑥2)| =

𝑈𝑚𝑔𝑥1𝑈𝑚𝑔𝑥2

=𝑝1𝑝2

𝑝1𝑥1 + 𝑝2𝑥2 = 𝑚

Resolvendo esse sistema, obtemos a seguinte solução interior (que é válida somente quando 𝑝2 < 𝑚). As

demandas Marshallianas são:

𝑥1∗(𝑝1, 𝑝2,𝑚) =

𝑝2𝑝1

𝑥2∗(𝑝1, 𝑝2, 𝑚) =

𝑚 − 𝑝2𝑝2

Você deve ter percebido que a demanda pelo bem 1 não depende da renda quando 𝒑𝟐 < 𝒎 (veremos

em uma aula posterior que isso implica um efeito renda nulo).

Agora, considere que 𝑝2 ≥ 𝑚. Nesse caso teremos uma solução de canto (portanto, NÃO vale a condição

de tangência):

𝑥1∗(𝑝1, 𝑝2,𝑚) =

𝑚

𝑝1

𝑥2∗(𝑝1, 𝑝2,𝑚) = 0

Na solução de canto, a demanda pelo bem 1 depende da renda e não se verifica a tangência entre a

curva de indiferença e a reta de restrição orçamentária.

Neutros e Males

Nesses casos, o consumidor irá gastar toda a sua renda com o bem que ele gosta.

Função Utilidade Indireta

Ao contrário da função utilidade, que mostra a relação entre a utilidade do consumidor e a quantidade consumida; a função utilidade indireta, denotada por 𝒗(𝒑,𝒎), relaciona a utilidade com os preços dos bens e a renda. Ela corresponde ao valor da função utilidade no ponto ótimo (função valor associada ao problema de maximização da utilidade), ou seja, substituímos as demandas Marshallianas na função utilidade:

𝑣(𝑝,𝑚) = 𝑢(𝑥1∗(𝑝,𝑚),… , 𝑥𝑛

∗(𝑝,𝑚))


Aula 00



É importante saber que a função utilidade indireta depende da representação da utilidade. Isto é, se

𝑣(𝑝,𝑚) é a função utilidade indireta sob 𝑢(𝑥), então a função utilidade indireta associada a �̃�(𝑥) = 𝑓(𝑢(𝑥))

é �̃�(𝑝,𝑚) = 𝑓(𝑣(𝑝,𝑚)).

Propriedades da Função Utilidade Indireta

1) Homogênea de grau zero em (𝒑,𝒎) – multiplicar todos os preços e a renda por uma mesma constante positiva não

altera a utilidade indireta:

𝑣(𝛼𝑝, 𝛼𝑚) = 𝑣(𝑝,𝑚) ∀ 𝛼 > 0

2) Estritamente crescente na renda – Se 𝑚1 > 𝑚0, então:

𝑣(𝑝,𝑚1) > 𝑣(𝑝,𝑚0)

3) Não crescente nos preços – Se 𝑝1 > 𝑝0, então:

𝑣(𝑝1, 𝑚) ≤ 𝑣(𝑝0, 𝑚)

4) Quase-convexa em (𝒑,𝒎) – Se 𝑣(𝑝1, 𝑚1) ≤ 𝑣(𝑝0, 𝑚0), então:

𝑣(𝛼𝑝0 + (1 − 𝛼)𝑝1, 𝛼𝑚0 + (1 − 𝛼)𝑚1) ≤ 𝑣(𝑝0, 𝑚0) ∀ 0 < 𝛼 < 1

A quase convexidade da função utilidade indireta não depende da convexidade da função utilidade.

5) Contínua nos preços e na renda.

Você sabia que é possível recuperar as demandas Marshallianas a partir da função utilidade indireta?

Conseguimos isso utilizando a identidade de Roy.

Por meio da Identidade de Roy, podemos obter a relação entre a função utilidade indireta e as demandas Marshallianas.

Se 𝑣(𝑝,𝑚) for diferenciável:

𝑥𝑖(𝑝,𝑚) = −

𝜕𝑣(𝑝,𝑚)𝜕𝑝𝑖

𝜕𝑣(𝑝,𝑚)𝜕𝑚

𝑖 = 1,… , 𝑛

Vamos verificar a função utilidade indireta para três exemplos de preferências (como você já sabe, essas

preferências despencam na prova da Anpec).

Preferências Cobb-Douglas

Função utilidade: 𝑢(𝑥1, 𝑥2) = 𝑥1𝑎𝑥2

𝑏, 𝑎, 𝑏 > 0

Função demanda Marshalliana:

𝑥∗(𝑝1, 𝑝2,𝑚) = (𝑎

𝑎 + 𝑏

𝑚

𝑝1,𝑏

𝑎 + 𝑏

𝑚

𝑝2)

Substituindo as demandas Marshallianas na função utilidade, obtemos a função utilidade indireta:


Aula 00



𝑣(𝑝1, 𝑝2, 𝑚) = (𝑎

𝑎 + 𝑏

𝑚

𝑝1)𝑎

(𝑏

𝑎 + 𝑏

𝑚

𝑝2)𝑏

= (𝑎

𝑝1)𝑎

(𝑏

𝑝2)𝑏

(𝑚

𝑎 + 𝑏)𝑎+𝑏


Função utilidade: 𝑢(𝑥1, 𝑥2) = min {𝑎𝑥1, 𝑥2}

Função demanda Marshalliana:

𝑥∗(𝑝1, 𝑝2, 𝑚) = (𝑚

𝑝1 + 𝑎𝑝2,

𝑎𝑚

𝑝1 + 𝑎𝑝2)

Função utilidade indireta:

𝑣(𝑝1, 𝑝2,𝑚) = min {𝑎𝑚

𝑝1 + 𝑎𝑝2,

𝑎𝑚

𝑝1 + 𝑎𝑝2} =

𝑎𝑚

𝑝1 + 𝑎𝑝2


Função utilidade: 𝑢(𝑥1, 𝑥2) = 𝑎𝑥1 + 𝑥2

Função demanda:

𝑥∗(𝑝1, 𝑝2, 𝑚) =

{

{(0,

𝑚

𝑝2)} ; 𝑠𝑒 𝑝1 > 𝑎𝑝2

{(𝑥1, 𝑥2) ∈ 𝑋: 𝑝1𝑥1 + 𝑝2𝑥2 = 𝑚}; 𝑠𝑒 𝑝1 = 𝑎𝑝2

{(𝑚

𝑝1, 0)} ; 𝑠𝑒 𝑝1 < 𝑎𝑝2

Função utilidade indireta:

𝑣(𝑝1, 𝑝2, 𝑚) =

{

𝑚

𝑝2; 𝑠𝑒 𝑝1 > 𝑎𝑝2

𝑎𝑚

𝑝1=𝑚

𝑝2; 𝑠𝑒 𝑝1 = 𝑎𝑝2

𝑎𝑚

𝑝1; 𝑠𝑒 𝑝1 < 𝑎𝑝2

→ 𝑣(𝑝1, 𝑝2,𝑚) =𝑎𝑚

min {𝑝1, 𝑎𝑝2}

Problema de Minimização da Despesa

O problema de minimização da despesa é o dual do problema de maximização da utilidade. Sob esta

ótica, o consumidor irá escolher a cesta de consumo que minimiza sua despesa, considerando um patamar

mínimo de utilidade que deve ser obtido. Algebricamente, podemos escrever como:

min𝑥1,… ,𝑥𝑛

∑𝑝𝑖𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

𝑠𝑢𝑗𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑎 𝑈(𝑥1, … , 𝑥𝑛) ≥ �̅�; 𝑥𝑖 ≥ 0, 𝑖 = 1,… , 𝑛

O método de solução utilizado, supondo que a função utilidade é diferenciável, é o método do

multiplicador de Lagrange. Quando 𝑈(𝑥1, … , 𝑥𝑛) = �̅�, o Lagrangeano desse problema que pode ser escrito

como:


Aula 00



𝐿 =∑𝑝𝑖𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

+ 𝜆(�̅� − 𝑈(𝑥1, … , 𝑥𝑛))

As condições de primeira ordem são:

{

𝜕𝐿

𝜕𝑥𝑖= 0 ∀ 𝑖 = 1,… , 𝑛

𝜕𝐿

𝜕𝜆= 0

Combinando esses resultados e assumindo uma solução interior, obtemos:

{|𝑇𝑀𝑆(𝑥𝑖, 𝑥𝑗)| =

𝑈𝑚𝑔𝑥𝑖𝑈𝑚𝑔𝑥𝑗

=𝑝𝑖𝑝𝑗

𝑈(𝑥1, … , 𝑥𝑛) = �̅�

A solução desse problema fornece a demanda compensada ou demanda Hicksiana, denotada por ℎ𝑖(𝑝, 𝑢).

Propriedades da Demanda Hicksiana

1) Homogênea de grau zero nos preços – multiplicar todos os preços por uma mesma constante positiva não altera a

demanda Hicksiana:

ℎ(𝛼𝑝, 𝑢) = ℎ(𝑝, 𝑢) ∀ 𝛼 > 0

2) Não excede a utilidade – no ponto de equilíbrio, temos:

𝑈(ℎ1, … , ℎ𝑛) = 𝑈

3) Unicidade/concavidade – se as preferências são convexas, então ℎ(𝑝, 𝑢) é um conjunto convexo. Se as preferências

são estritamente convexas, então ℎ(𝑝, 𝑢) consiste em um único elemento.

A linha de isocusto é a curva de nível da função objetivo e tem a forma 𝑝1𝑥1 + 𝑝2𝑥2 = 𝑘, sendo k o nível de

gasto. Graficamente, a solução fica sobre a linha de isocusto mais baixa que toca a curva de indiferença (restrição

do problema).


Aula 00



Demanda Hicksiana e a Lei da Demanda Compensada

De acordo com a Lei da Demanda Compensada, a demanda Hicksiana (ou demanda compensada) de um bem é não

crescente em relação ao preço desse bem. Ou seja, quando aumenta o preço do bem, a quantidade demandada diminui

(ou não se altera):

𝑝11 > 𝑝1

0 → ℎ11(𝑝1,

1𝑝2, 𝑢) ≤ ℎ10(𝑝1

0, 𝑝2, 𝑢)

Importante: A lei de demanda compensada não é válida para a demanda Marshalliana. Veremos em aula posterior que

os bens de Giffen são um exemplo que a violam (para esses bens, quando o preço do bem aumenta, a quantidade

demandada também sobe).

Função Dispêndio

A função dispêndio, também denominada função despesa, corresponde ao gasto mínimo associado

ao problema de minimização da despesa, sendo expresso como uma função dos preços e do nível de

utilidade. A função despesa, representada por 𝑒(𝑝, 𝑢), é obtida substituindo as demandas Hicksianas na linha

de isocusto:

𝑒(𝑝, 𝑢) = 𝑝1ℎ1∗(𝑝, 𝑢) + ⋯+ 𝑝𝑛ℎ𝑛

∗ (𝑝, 𝑢)

Propriedades da Função Despesa

1) Homogênea de grau um nos preços – multiplicando todos os preços por uma mesma constante positiva, a função

despesa fica multiplicada pela mesma constante:

𝑒(𝛼𝑝, 𝑢) = 𝛼𝑒(𝑝, 𝑢) ∀ 𝛼 > 0

2) Estritamente crescente na utilidade – se 𝑢1 > 𝑢0, então:

𝑒(𝑝, 𝑢1) > 𝑒(𝑝, 𝑢0)

3) Não decrescente nos preços – se 𝑝1 > 𝑝0, então:

𝑒(𝑝1, 𝑢) ≥ 𝑒(𝑝0, 𝑢)

4) Côncava nos preços:

𝑒(𝛼𝑝0 + (1 − 𝛼)𝑝1, 𝑢) ≥ 𝛼𝑒(𝑝0, 𝑢) + (1 − 𝛼)𝑒(𝑝1, 𝑢) ∀ 0 < 𝛼 < 1

5) Contínua nos preços e na utilidade.

Vejamos, agora, como obter as demandas Hicksianas a partir da função despesa.

Por meio do Lema de Shepard, podemos obter a relação entre a função despesa e as demandas Hicksianas. Se 𝑒(𝑝, 𝑢) for

diferenciável:

ℎ𝑖(𝑝, 𝑢) =𝜕𝑒(𝑝, 𝑢)

𝜕𝑝𝑖 𝑖 = 1,… , 𝑛

Relação entre Função Utilidade Indireta e Função Dispêndio


Aula 00



Em algumas questões de prova pode ser útil sabermos como obter a função despesa a partir da função utilidade indireta, e vice-versa. Nesse sentido, é importante você saber que a função utilidade indireta e a função dispêndio são inversas uma da outra:

𝑣(𝑝, 𝑒(𝑝, 𝑢)) = 𝑢

𝑒(𝑝, 𝑣(𝑝,𝑚)) = 𝑚

Relação entre Demanda Marshalliana e Demanda Hicksiana

A relação entre as demandas Marshalliana e Hicksiana é tal que:

𝑥𝑖(𝑝,𝑚) = ℎ𝑖(𝑝, 𝑣(𝑝,𝑚))

ℎ𝑖(𝑝, 𝑢) = 𝑥𝑖(𝑝, 𝑒(𝑝, 𝑢))

Chegamos ao fim da parte teórica da nossa aula de hoje! Vamos treinar bastante resolvendo questões de

provas passadas da Anpec. Então, mãos à obra!!!

Questões comentadas pela professora

1. ANPEC – 2003 – Questão 1

Um consumidor possui a função utilidade cardinal dada por 𝑈(𝑥1, 𝑥2) = 𝑥1𝑥2. Sejam 𝑀 a renda deste

consumidor e 𝑝1 e 𝑝2, os preços:

(0) ceteris paribus, as quantidades ótimas escolhidas por tal consumidor seriam alteradas se a função utilidade

fosse 𝑈(𝑥1, 𝑥2) = 4 + 5(𝑥1𝑥2);

(1) as preferências do consumidor são convexas;

(3) os dois bens são substitutos perfeitos;

(4) a utilidade marginal da renda é dada por 𝑀/(2𝑝1𝑝2).

RESOLUÇÃO:

É extremamente importante “bater o olho” na função utilidade e identificar o tipo de preferência que está

sendo representado. A utilidade apresentada no enunciado representa preferências do tipo Cobb-Douglas. Dito

isso, passemos para a resolução de cada item.

(0) A função 𝑉(𝑧) = 4 + 5𝑧 é estritamente crescente, pois 𝑉′(𝑧) = 5 > 0. Dessa forma, a função 𝑉(𝑥1, 𝑥2) =

4 + 5(𝑥1𝑥2) é uma transformação monotônica de 𝑈(𝑥1, 𝑥2) = 𝑥1𝑥2. Assim, 𝑉(𝑥1, 𝑥2) também é uma função

utilidade e representa as mesmas preferências que a utilidade original (Cobb-Douglas). Ou seja, as escolhas

ótimas NÃO se alteram.

Resposta: FALSO

(1) A funções utilidade Cobb-Douglas são estritamente convexas.


(3) A utilidade representa preferências Cobb-Douglas, e não substitutos perfeitos (a utilidade que representa

bens substitutos perfeitos é linear).


Aula 00



Resposta: FALSO

(4) A utilidade marginal da renda, 𝜕𝑈/𝜕𝑀, mede a variação na utilidade dada uma mudança na renda. Para

isso, devemos escrever a função utilidade em termos da renda, ou seja, vamos substituir as demandas

Marshallianas dentro da função utilidade (e obter a função utilidade indireta).

Sabemos que a demanda Marshalliana é a solução do problema de maximização de utilidade do consumidor.

Se você já for para a prova sabendo o formato da demanda Marshalliana para uma Cobb-Douglas (um tipo de

preferência bem recorrente), você vai ganhar tempo (o que é um recurso escasso). Seja uma utilidade Cobb-

Douglas:

𝑈(𝑥1, 𝑥2) = 𝑥1𝛼𝑥2

𝛽

As demandas Marshallianas são dadas por:

𝑥1 = (𝛼

𝛼 + 𝛽)𝑀

𝑝1 𝑒 𝑥2 = (

𝛽

𝛼 + 𝛽)𝑀

𝑝2

No caso em que 𝑈(𝑥1, 𝑥2) = 𝑥1𝑥2, temos:

𝑥1 = (1

2)𝑀

𝑝1 𝑒 𝑥2 = (

1

2)𝑀

𝑝2

Substituindo na função utilidade:

𝑈(𝑥1, 𝑥2) = (1

2)𝑀

𝑝1(1

2)𝑀

𝑝2= (

1

4)𝑀2

𝑝1𝑝2

A utilidade marginal da renda é:

𝜕𝑈

𝜕𝑀= (

1

2)𝑀

𝑝1𝑝2

Lembrando que o multiplicador de Lagrange no problema de maximização da utilidade corresponde à utilidade

marginal da renda (esse seria um outro meio de responder o item).



A figura abaixo mostra as curvas de indiferença de um consumidor e a direção na qual a utilidade deste

consumidor aumenta.


Aula 00



São corretas as afirmativas:

(0) Existe saciedade.

(1) O indivíduo gosta da diversificação.

(2) O bem 1 é indesejável.

(3) No equilíbrio, o indivíduo só consome um tipo de bem.

(4) A utilidade marginal do bem 2 é não-negativa.

RESOLUÇÃO:

(0) Não temos saciedade para as preferências representadas, dado que 𝑥2 é um bem, ou seja, aumentos na

quantidade consumida elevam a satisfação do consumidor. Apenas 𝑥1 é um mal (quanto menor for a

quantidade consumida, melhor está o consumidor). Teríamos saciedade se tanto 𝑥1 quanto 𝑥2 fosse males.

Resposta: FALSO

(1) Quando o indivíduo se defronta com um bem e com um mal, ele se especializa no consumo do bem (que

aumenta sua utilidade quando consumido). Você deve perceber que a média ponderada entre duas cestas em

uma dada curva de indiferença, situa-se um uma curva mais baixa (com menos satisfação para o indivíduo). No

caso apresentado no enunciado, o indivíduo se especializará no consumo do bem 2.

Resposta: FALSO

(2) Vimos que a utilidade do indivíduo aumenta à medida que o consumo do bem 1 diminui, ou seja, 𝑥1 é um

desbem.


(3) O indivíduo se especializará no consumo do bem 2, representado no eixo vertical.


(4) Como o bem 2 é um bem, aumentos na quantidade consumida elevam a utilidade (ou não a alteram). Logo,

a utilidade marginal do bem 2 é não-negativa. Por sua vez, como 𝑥1 é um mal, ele tem utilidade marginal

negativa.



Aula 00




Seja u(D,M) a função de utilidade de um indivíduo, em que D é o número de unidades de um bem doméstico e

M é o número de unidades de um bem importado. A função de utilidade é uma Cobb-Douglas. Sabe-se que, se

a taxa de substituição econômica de bens importados por domésticos for 0,5, o indivíduo consumirá a mesma

quantidade dos dois bens, em equilíbrio. Pede-se: qual é a taxa marginal de substituição de M por D se a cesta

de consumo é (D, M) = (50, 200)?

RESOLUÇÃO:

A função utilidade Cobb-Douglas pode ser escrita como:

𝑈(𝐷,𝑀) = DαMβ

A taxa marginal de substituição é dada por:

𝑇𝑀𝑆 =𝑈𝑚𝑔D

𝑈𝑚𝑔𝑀=𝛼Dα−1Mβ

𝛽DαMβ−1=𝛼M

𝛽D

O enunciado diz que quando |𝑇𝑀𝑆| = 0,5, o indivíduo consome as mesmas quantidades de ambos os bens, ou

seja, 𝐷 = 𝑀. Dessa forma:

0,5 =𝛼

𝛽

Logo, quando a cesta for (𝐷,𝑀) = (50,200), a TMS será:

𝑇𝑀𝑆 = 0,5200

50= 2

Resposta: 02


Dispondo de renda M, um consumidor deve escolher entre os bens X e Y, cujas quantidades e preços são

representadas, respectivamente, por x e y e px e py. Julgue as afirmativas:

(0) Se sua função de utilidade for U(x, y) = min{x, 4y}, a função demanda de X será x =𝑀

𝑝𝑥+𝑝𝑦

4

.

(1) Se sua função de utilidade for U(x, y) = x + 4y, o consumidor se especializará no consumo de Y, caso 𝑝𝑥

𝑝𝑦<

1

4.

(4) Se sua função de utilidade for U(x, y) = x + ln(𝑦), cœteris paribus, um aumento de renda não provocará

alteração no consumo de X.

RESOLUÇÃO:

(0) A função utilidade U(x, y) = min{x, 4y} representa bens complementares perfeitos. Dessa forma, a demanda

Marshalliana é tal que:

{x = 4y (1)

𝑝𝑥𝑥 + 𝑝𝑦𝑦 = 𝑀 (2)


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Na equação (1), temos y = x/4. Substituindo na restrição orçamentária:

𝑝𝑥𝑥 +𝑝𝑦

4𝑥 = 𝑀 → (

4𝑝𝑥 + 𝑝𝑦

4)𝑥 = 𝑀 → 𝑥 = (

4

4𝑝𝑥 + 𝑝𝑦)𝑀 → 𝑥 =

𝑀

𝑝𝑥 +𝑝𝑦4


(1) A função utilidade U(x, y) = x + 4y representa bens substitutos perfeitos. O consumidor se especializa no bem

que for mais barato em termos do preço relativo. Assim, para que ele gaste toda a sua renda no bem y, a curva

de indiferença deve ser menos inclinada que a reta orçamentária:

|𝑇𝑀𝑆| <𝑝𝑥𝑝𝑦

Temos que:

|𝑇𝑀𝑆| =𝑈𝑚𝑔𝑥

𝑈𝑚𝑔𝑦=1

4

Logo, ele gasta toda a sua renda no consumo y quando

1

4<𝑝𝑥𝑝𝑦

Oposto ao que o enunciado disse. Então fiquem atentos aos detalhes!

Graficamente:

Resposta: FALSO

(4) A função U(x, y) = x + ln(𝑦) é uma função utilidade quase-linear em x. Assumindo uma solução interior

(ambos os bens com quantidades positivas), temos:

{|TMS| =

𝑈𝑚𝑔𝑥

𝑈𝑚𝑔𝑦=𝑝𝑥𝑝𝑦 (1)

𝑝𝑥𝑥 + 𝑝𝑦𝑦 = 𝑀 (2)

Na equação (1):


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1

1/𝑦=𝑝𝑥𝑝𝑦→ 𝑦 =

𝑝𝑥𝑝𝑦

Substituindo na restrição orçamentária:

𝑝𝑥𝑥 + 𝑝𝑦 (𝑝𝑥𝑝𝑦) = 𝑀 → 𝑥 =

𝑀

𝑝𝑥− 1

Podemos perceber que é o consumo do bem y (e não do bem x) é que independe da renda, no caso de uma

solução interior.

Resposta: FALSO


Com base na teoria das preferências, avalie as afirmativas:

(0) Se as preferências entre dois bens para um consumidor são completas, reflexivas, transitivas e monotônicas,

então o módulo da taxa marginal de substituição será decrescente ao longo de suas curvas de indiferença.

(1) Se U(x, y) = 100 + 3 min{x, 2y} for a função de utilidade de um consumidor, as preferências deste serão

convexas.

(2) Se as preferências de um consumidor são transitivas, isso implica que este prefere mais bens do que menos.

(3) Um indivíduo com preferências estritamente côncavas entre dois bens especializa-se no consumo de um

dos bens.

(4) 𝑈(𝑥, 𝑦) = √𝑥𝑦3 é a função de utilidade do consumidor A e 𝑈(𝑥, 𝑦) = 𝑥2𝑦2 + 100 é a função de utilidade do

consumidor B. Caso os dois tenham a mesma renda, suas cestas de consumo serão idênticas.

RESOLUÇÃO:

(0) Cuidado com esse item! O que garante que a taxa marginal de substituição seja decrescente em valor

absoluto é o fato de as curvas de indiferença serem estritamente convexas. Podemos pensar em preferências

convexas, mas com TMS constante, que é o caso dos substitutos perfeitos.

Muita atenção nos detalhes, hein!!!

Resposta: FALSO

(1) Primeiramente, vejamos que U(z) = 100 + 3z é uma função estritamente crescente, pois U’(z) = 3 > 0. Assim,

a função U(x, y) = 100 + 3 min{x, 2y} é uma função utilidade que representa bens complementares perfeitos,

dado que é uma transformação monotônica de u(x, y) = min{x, 2y}. E no caso de bens complementares

perfeitos, as preferências são convexas.


(2) A característica de preferir mais a menos refere-se à monotonicidade das preferências (e não a

transitividade).

Resposta: FALSO


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(3) De fato, quando as preferências são estritamente côncavas e existem dois bens, o consumidor se especializa

no consumo de um deles, ou seja, ele não gosta de diversificação (visto que a média ponderada entre duas

cestas encontra-se em uma curva de indiferença mais perto da origem, com um nível de satisfação mais baixo).


(4) Perceba que a função 𝑈(𝑥, 𝑦) = 𝑥2𝑦2 + 100 pode ser escrita como 𝑈(𝑥, 𝑦) = 𝑢(𝑥, 𝑦)6 + 100, em que

𝑢(𝑥, 𝑦) = √𝑥𝑦3 .

Tendo em vista que 𝑢(𝑥, 𝑦) > 0, 𝑈(𝑥, 𝑦) é estritamente crescente, pois 𝑈′(𝑥, 𝑦) = 6𝑢(𝑥, 𝑦)5 > 0. Assim

sendo, 𝑈(𝑥, 𝑦) também é uma função utilidade, pois é uma transformação monotônica de 𝑢(𝑥, 𝑦) e ambas as

funções representam as mesmas preferências. Dessa forma, caso os consumidores A e B tenham a mesma

renda, suas cestas de consumo serão idênticas.



Com relação às preferências do consumidor, julgue as afirmativas:

(0) A monotonicidade das preferências do consumidor exige que, dadas duas cestas (𝑥0, 𝑦0) e (𝑥1, 𝑦1), com

𝑥0 ≤ 𝑥1 e 𝑦0 < 𝑦1, então (𝑥1, 𝑦1) ≻ (𝑥0, 𝑦0) em que ≻ denota a preferência estrita.

(1) Se excluirmos os bens classificados como “males”, as curvas de indiferença terão inclinação negativa.

(2) Monotonicidade e preferências não convexas definem preferências bem-comportadas.

(3) Se o consumidor apresenta preferências não convexas, dadas duas cestas A e B com quantidades diferentes

dos mesmos bens x e y, ele prefere uma cesta que contenha média ponderada das quantidades contidas nas

cestas A e B a qualquer uma das cestas A ou B.

(4) Uma lanchonete oferece quatro tipos de sucos: laranja, melão, manga e uva. Um consumidor considera suco

de uva pelo menos tão bom quanto de melão, suco de laranja pelo menos tão bom quanto de manga, suco de

melão pelo menos tão bom quanto de laranja e suco de uva pelo menos tão bom quanto de manga. Esse

consumidor também considera suco de uva pelo menos tão bom quanto de laranja e suco de melão pelo menos

tão bom quanto o de manga. Tal consumidor apresenta preferências completas e transitivas.


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RESOLUÇÃO:

(0) Segundo o gabarito oficial da Anpec, esse item é verdadeiro. Porém ele só é verdadeiro quando se trata de

monotonicidade estrita das preferências. Em sua versão fraca, a monotonicidade postula que uma relação de

preferência é (fracamente) monótona se 𝑥 ≫ 𝑦 (ou seja, 𝑥𝑖 > 𝑦𝑖 para todo 𝑖) , implica 𝑥 ≻ 𝑦.

Resposta: FALSO

(1) O gabarito da Anpec considera esse item como verdadeiro. No entanto, mesmo excluindo os males não

podemos afirmar categoricamente que as curvas de indiferença terão inclinação negativa. Basta nos

lembrarmos dos neutros, por exemplo.

Resposta: FALSO

(2) As preferências bem comportadas são fortemente monotônicas e estritamente convexas. Exemplo:

preferências Cobb-Douglas.

Resposta: FALSO

(3) O consumidor irá preferir a diversificação no caso de preferências CONVEXAS.

Resposta: FALSO

(4) Sejam u = uva, me = melão, l = laranja, ma = manga. Pelas informações apresentadas, temos:

𝑢 ≽ 𝑚𝑒, 𝑙 ≽ 𝑚𝑎, 𝑚𝑒 ≽ 𝑙, 𝑢 ≽ 𝑚𝑎, 𝑢 ≽ 𝑙, 𝑚𝑒 ≽ 𝑚𝑎

As preferências são completas, pois ele é capaz de fazer escolhas para qualquer par de opções de sabor de suco.

Essas preferências pelos sabores de suco também são transitivas, verifica-se que 𝑢 ≽ 𝑚𝑒 ≽ 𝑙 ≽ 𝑚𝑎.



Sendo U(x,y) a função que representa a utilidade atribuída por um consumidor a uma cesta (x,y) qualquer,

julgue as proposições:

(0) Se U(x, y) = Axαyβ, sendo α e β dois números positivos, as preferências do consumidor não são bem-

comportadas.


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(2) Se U (x, y) = min{x, 2y} , a utilidade auferida pelo consumo de uma unidade de x e ¼ de unidade de y é menor

do que a auferida por meia unidade de x e duas unidades de y.

(3) Se U(x, y) é uma função de utilidade do tipo Cobb-Douglas, o consumidor gasta uma proporção fixa de sua

renda com x.

(4) Se U(x, y) = √𝑥 + 𝑦 e se a demanda pelo bem x é interior, então a demanda do bem x não varia localmente

com a renda.

RESOLUÇÃO:

(0) A função utilidade U(x, y) = Axαyβ representa preferências do tipo Cobb-Douglas, que são um exemplo

de preferências bem comportadas.

Resposta: FALSO

(2) Vamos verificar o nível de utilidade auferido com cada cesta de consumo:

U (1, 1/4) = min{1, 2(1/4)}=1/2

U (1/2, 2) = min{1/2, 2(2)}=1/2

Ambas as cestas fornecem a mesma utilidade.

Resposta: FALSO

(3) Uma característica das funções utilidade Cobb-Douglas é que o consumidor gasta uma proporção fixa da

sua renda no consumo dos bens.


(4) A função U(x, y) = √𝑥 + 𝑦 é uma utilidade quase-linear em relação a y. Dessa forma, supondo uma solução

interior (ambas as quantidades positivas), temos que as quantidades demandadas são:

|TMS| =Umgx

Umgy=px𝑝𝑦→1

2(1

√𝑥) =

px𝑝𝑦→ x = 4(

py

𝑝𝑥)2

Assim, a demanda de x não depende da renda.

Nem precisaríamos ter obtido a demanda por x para responder ao item. Bastaria usarmos o fato de que quando

a preferência é quase-linear em relação a y, a demanda por x independe da renda (assumindo uma solução

interior).



Um consumidor tem a função de utilidade u (x, y) = xαy1−𝛼, com 0 < α < 1, em que x é a quantidade do

primeiro bem e y a do segundo. Os preços dos bens são, respectivamente, p e q, e m é a renda do consumidor.

Julgue as afirmações:

(0) A demanda do consumidor pelo primeiro bem será 𝑥 = 𝑚 𝑝⁄ .


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(1) A demanda do consumidor pelo segundo bem será 𝑦 =(1 − 𝛼)𝑚

𝛼𝑞⁄ .

(2) Se m = 1000, 𝛼 = 1/4 e q = 1, então o consumidor irá adquirir 250 unidades do segundo bem.

RESOLUÇÃO:

(0) A função u (x, y) = xαy1−𝛼 representa preferências Cobb-Douglas. Dessa forma, a demanda pelo bem x é:

x =α

α + (1 − α)

𝑚

𝑝= 𝛼

𝑚

𝑝

Resposta: FALSO

(1) A demanda pelo bem y é:

y =(1 − α)

α + (1 − α)

𝑚

𝑞= (1 − α)

𝑚

𝑞

Você saber o formato da demanda para uma Cobb-Douglas sem ter de resolver o problema de maximização irá

lhe poupar bastante tempo na hora da prova.

Resposta: FALSO

(2) Se m = 1000, α = 1/4 e q = 1, a demanda pelo bem y é:

y = (1 −1

4)1.000

1= 750

Resposta: FALSO


Considere uma função de utilidade Cobb-Douglas 𝑈 = 𝑞1𝛼𝑞2

1−𝛼. Julgue as afirmativas abaixo:

(0) A demanda Hicksiana pelo bem 1 tem a forma 𝑞1 = �̅�[𝑝1𝜌+ 𝑝2

𝜌]1𝜌⁄ , p = 0,75.

(2) A demanda Marshalliana pelo bem 1 tem a forma 𝑞1 = 𝐴𝑝11−𝛼𝑝2

𝛼−1𝑊, em que A é uma função de 𝛼 e em

que W é a renda do consumidor.

RESOLUÇÃO:

(0) Para obtermos a demanda Hicksiana, temos de resolver o problema de minimização da despesa do

consumidor:

min𝑞1,𝑞2

𝑝1𝑞1 + 𝑝2𝑞2 𝑠. 𝑎. 𝑞1𝛼𝑞2

1−𝛼 = �̅�

O Lagrangeano é dado por:

𝐿 = 𝑝1𝑞1 + 𝑝2𝑞2 + 𝜆(�̅� − 𝑞1𝛼𝑞2

1−𝛼)

Pelas condições de primeira ordem (derivamos a função Lagrangeano em relação a 𝑞1, 𝑞2 e 𝜆, e igualamos a

zero), temos:


Aula 00



{|𝑇𝑀𝑆| =

𝑈𝑚𝑔𝑞1𝑈𝑚𝑔𝑞2

=𝑝1𝑝2→

𝛼𝑞1𝛼−1𝑞2

1−𝛼

(1 − 𝛼)𝑞1𝛼𝑞2

−𝛼 =𝑝1𝑝2→

𝛼𝑞2(1 − 𝛼)𝑞1

=𝑝1𝑝2→ 𝑞2 =

(1 − 𝛼)𝑞1𝑝1𝛼𝑝2

(1)

𝑈(𝑞1, 𝑞2) = �̅� → 𝑞1𝛼𝑞2

1−𝛼 = �̅� (2)

Substituindo a equação (1) na (2), nós encontramos a demanda Hicksiana do bem 1:

𝑞1𝛼 ((1 − 𝛼)𝑞1𝑝1

𝛼𝑝2)

1−𝛼

= �̅� → 𝑞1𝐻 = (

𝛼𝑝2(1 − 𝛼)𝑝1

)1−𝛼

�̅� (3)

Portanto, o item é falso.

Substituindo a equação (3) em (1), nós obtemos a demanda Hicksiana do bem 2:

𝑞2 =(1 − 𝛼)𝑝1𝛼𝑝2

(𝛼𝑝2

(1 − 𝛼)𝑝1)1−𝛼

�̅� → 𝑞2𝐻 = (

(1 − 𝛼)𝑝1𝛼𝑝2

)

𝛼

�̅�

Resposta: FALSO

(2) No caso de preferências Cobb-Douglas, as demandas Marshallianas são dadas por:

𝑞1𝑀 =

𝛼𝑀

𝑝1 𝑒 𝑞2

𝑀 =(1 − 𝛼)𝑀

𝑝1

Resposta: FALSO

10.ANPEC – 2009 – Questão 2

Julgue as seguintes afirmações:

(0) Um indivíduo consome apenas dois produtos, X e Y, e possui curvas de indiferença sobre estes produtos

bem comportadas (isto é, estritamente convexas e estritamente monotônicas). Se ele é indiferente entre as

cestas (1,3) e (3,1), então a cesta (2,2) deve ser estritamente preferida a qualquer uma das outras.

RESOLUÇÃO:

(0) Como as preferências são estritamente convexas, a média ponderada entre duas cestas indiferentes entre

si será preferida a elas. Temos que a cesta Z = (2, 2) é uma combinação linear entre X e Y da seguinte forma:

𝑍 = 0,5𝑋 + 0,5𝑌

Dessa forma, Z é preferida a X e a Y.



Suponha que há dois bens. O primeiro bem é infinitamente divisível, ou seja, pode ser consumido em qualquer

quantidade x ≥ 0, e o segundo é um bem indivisível, podendo ser consumido apenas nas quantidades y = 0 ou

y = 1. O preço do bem divisível é p = 10 e o do bem indivisível é q = 30. O consumidor tem renda M = 60 e sua

função de utilidade é definida por u(x,0) = x/2 e u(x,1) = 2x – 4. Julgue as afirmativas a seguir:


Aula 00



(0) A quantidade do bem divisível que deixa o consumidor indiferente entre consumir ou não o bem indivisível

é 𝑥0 = 4/3;

(1) A demanda Marshalliana é (x*,y*) = (6,0);

(3) Suponha que o preço do bem divisível ainda é p = 10. Se a renda do consumidor sobe para M’ = 70, então a

demanda Marshalliana é (x**, y**) = (4,0);

RESOLUÇÃO:

(0) O consumidor fica indiferente entre consumir ou não o bem indivisível quando a satisfação obtida em

consumir é igual a satisfação em não consumir. Ou seja:

𝑢(𝑥, 0) = 𝑢(𝑥, 1) →𝑥

2= 2𝑥 − 4 → 𝑥 = 4𝑥 − 8 → 𝑥0 =

8

3

Resposta: FALSO

(1) Sabemos que a demanda Marshalliana é aquela que maximiza a utilidade do consumidor dada a sua restrição

orçamentária. Nesse sentido, vamos comparar as situações em que y = 0 e y = 1.

Quando y = 0:

𝑝𝑥 + 𝑞𝑦 = 𝑀 → 10𝑥 = 60 → 𝑥 = 6

A utilidade obtida com a cesta (6,0) é:

𝑢(6,0) =6

2= 3

Quando y = 1:

𝑝𝑥 + 𝑞𝑦 = 𝑀 → 10𝑥 + 30 = 60 → 𝑥 = 3


𝑢(3,1) = 2𝑥 − 4 = 2

Como 𝑢(6,0) > 𝑢(3,1), a demanda Marshalliana é dada pela cesta (6,0).


(3) Agora p = 10 e M’ = 70. Vamos resolver da mesma forma que o item (1).

Quando y = 0:

𝑝𝑥 + 𝑞𝑦 = 𝑀′ → 10𝑥 = 70 → 𝑥 = 7


𝑢(7,0) =7

2= 3,5

Quando y = 1:

𝑝𝑥 + 𝑞𝑦 = 𝑀′ → 10𝑥 + 30 = 70 → 𝑥 = 4



Aula 00



𝑢(4,1) = 2𝑥 − 4 = 4

Como 𝑢(4,1) > 𝑢(7,0), a demanda Marshalliana é dada pela cesta (4,1) e não (4,0) conforme o item afirmou.

Resposta: FALSO


Com respeito a critérios de decisão, relações de preferência e funções de utilidade, julgue as questões a seguir:

(0) Seja 𝑢(𝑥, 𝑦) uma utilidade homotética. Suponha que 𝑢(𝑥0, 𝑦0) = 𝑢(𝑥1, 𝑦1), em que (𝑥0, 𝑦0) e (𝑥1, 𝑦1) são

duas cestas dadas, e seja t > 0 um escalar positivo. Então 𝑢(𝑡𝑥0, 𝑡𝑦0) = 𝑢(𝑡𝑥1, 𝑡𝑦1);

(1) Seja 𝑢(𝑥, 𝑦) uma utilidade homotética e seja t > 0 um escalar positivo. Denote por 𝑇𝑀𝑔𝑆𝑢(𝑥, 𝑦) a taxa

marginal de substituição da utilidade u na cesta (x, y). Então 𝑇𝑀𝑔𝑆𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑇𝑀𝑔𝑆𝑢(𝑡𝑥, 𝑡𝑦);

(2) Seja ≿ uma relação de preferência monotônica e contínua sobre ℝ+2 e suponha que 𝑢 e 𝑈 são duas funções

numéricas que representam a relação de preferência ≿. Suponha que u(x, y) < U(x, y), para qualquer cesta

(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ+2 . Se 𝑇𝑀𝑔𝑆𝑢(𝑥, 𝑦) e 𝑇𝑀𝑔𝑆𝑈(𝑥, 𝑦) denotam a taxa marginal de substituição da função u e U,

respectivamente, na cesta (x,y), então 𝑇𝑀𝑔𝑆𝑢(𝑥, 𝑦) > 𝑇𝑀𝑔𝑆𝑈(𝑥, 𝑦), para qualquer cesta (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ+2 ;

(3) Considere a função de utilidade u(x, y) = min{2x+ y, x+2y}, em que x denota a quantidade do bem 1 e y a

quantidade do bem 2. Então os bens 1 e 2 são complementares perfeitos;

(4) Considere a relação binária ≿ sobre ℝ+2 definida por (x, y) ≿ (z, w) se, e somente se, 𝑥 ≥ 𝑧 e 𝑦 ≤ 𝑤. Então ≿

é uma relação transitiva e reflexiva, mas não é estritamente monotônica.

RESOLUÇÃO:

(0) Uma relação de preferência monótona é homotética se todas as curvas de indiferença estão relacionadas

por meio de uma expansão proporcional ao longo de raios. Isto é, se 𝑥 ∼ 𝑦, então 𝑡𝑥 ∼ 𝑡𝑦 para qualquer 𝑡 ≥ 0

e x, y ∈ X. Ou seja, se 𝑢(𝑥0, 𝑦0) = 𝑢(𝑥1, 𝑦1), então 𝑢(𝑡𝑥0, 𝑡𝑦0) = 𝑢(𝑡𝑥1, 𝑡𝑦1). Graficamente:


(1) No caso de preferências homotéticas, ao longo dos raios que parte da origem, a taxa marginal de

substituição se mantém constante. Então 𝑇𝑀𝑔𝑆𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑇𝑀𝑔𝑆𝑢(𝑡𝑥, 𝑡𝑦) para t > 0. Dito de outra forma,

quando as preferências são homotéticas, a TMS é uma função homogênea de grau zero.


Aula 00




(2) Como ambas as funções utilidade representam a mesma relação de preferência, a taxa marginal de

substituição será a mesma sob as duas curvas. Isto é, 𝑇𝑀𝑔𝑆𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑇𝑀𝑔𝑆𝑈(𝑥, 𝑦).

Resposta: FALSO

(3) Muito cuidado com esse item, hein! Essa função utilidade não representa nem complementares perfeitos e

nem substitutos perfeitos.

Uma função utilidade para bens complementares perfeitos pode ser escrita como:

𝑢(𝑥, 𝑦) = min{𝑎𝑥, 𝑏𝑦}

Já uma utilidade que representa substitutos perfeitos pode ser expressa por:

𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦

Vamos fazer a representação gráfica da curva de indiferença que representa a função utilidade

u(x, y) = min{2x + y, x + 2y}

Quando 2x + y < x + 2y → x < y, temos que

𝑢 = 2x + y → 𝑦 = 𝑢 − 2𝑥

Quando 2x + y > x + 2y → x > y, temos que

𝑢 = x + 2y → 𝑦 =𝑢

2−𝑥

2

Graficamente:

Resposta: FALSO

(4) Primeiro vamos verificar se a relação de preferência é reflexiva. Uma relação de preferência é reflexiva se

determinada cesta for ao menos tão boa quanto ela mesma: x ≽ x. Temos que:

(𝑥0, 𝑦0) ≽ (𝑥0, 𝑦0) ↔ 𝑥0 ≥ 𝑥0 𝑒 𝑦0 ≤ 𝑦0

Logo, a relação de preferência apresentada no item é reflexiva.


Aula 00



E em relação a transitividade? Uma relação de preferência é transitiva se x ≽ y e y ≽ z implica x ≽ z. Vejamos

se a relação apresentada no enunciado é transitiva.

(𝑥0, 𝑦0) ≽ (𝑥1, 𝑦1) ↔ 𝑥0 ≥ 𝑥1 𝑒 𝑦0 ≤ 𝑦1

(𝑥1, 𝑦1) ≽ (𝑥2, 𝑦2) ↔ 𝑥1 ≥ 𝑥2 𝑒 𝑦1 ≤ 𝑦2

Logo:

(𝑥0, 𝑦0) ≽ (𝑥2, 𝑦2) ↔ 𝑥0 ≥ 𝑥2 𝑒 𝑦0 ≤ 𝑦2

A relação de preferência é transitiva.

Por fim, ela não é estritamente monótona, que é a propriedade que nos diz que quanto mais, melhor. Se

tivermos 𝑥0 = 𝑥2 𝑒 𝑦0 ≤ 𝑦2, vamos ter (𝑥0, 𝑦0) ≽ (𝑥2, 𝑦2), e não a cesta (𝑥2, 𝑦2) como sendo preferida (caso a

relação de preferência fosse monótona).



Considere a seguinte função de utilidade 𝑢(𝑥, 𝑦) = −1

𝑥−1

𝑦, em que x denota a quantidade do bem 1 e y a

quantidade do bem 2. Denote por 𝑃𝑥 o preço do bem 1, por 𝑃𝑦 o preço do bem 2 e por R a renda do consumidor.

Responda V ou F às seguintes alternativas:

(0) A demanda pelo bem 2 é y(Px, Py, R) =𝑅

𝑃𝑦+√𝑃𝑥𝑃𝑦.

(1) A utilidade indireta é dada por V(Px, Py, R) = −𝑃𝑥+𝑃𝑦+√𝑃𝑥𝑃𝑦

2𝑅.

(3) A função demanda hicksiana (ou compensada) pelo bem 1 é ℎ𝑥(𝑃𝑥 , 𝑃𝑦, 𝑢0) = −√𝑃𝑥+√𝑃𝑦

√𝑃𝑦𝑢0.

RESOLUÇÃO:

(0) Você se lembra de que a função utilidade CES pode ser representada por:

𝑢(𝑥, 𝑦) =𝑎𝑥𝛼

𝛼+𝑏𝑦𝛼

𝛼, 𝑎 > 0, 𝑏 > 0, 𝛼 ≠ 0

Dessa forma, a função utilidade 𝑢(𝑥, 𝑦) = −1

𝑥−1

𝑦 é uma função utilidade CES, com 𝑎 = 𝑏 = 1 e 𝛼 = −1.

A partir das condições de primeira ordem do problema de maximização da utilidade, no caso de uma solução

interior, temos:

{|𝑇𝑀𝑆| =

𝑈𝑚𝑔𝑥

𝑈𝑚𝑔𝑦=𝑝𝑥𝑝𝑦→𝑥−2

𝑦−2=𝑝𝑥𝑝𝑦→𝑦2

𝑥2=𝑝𝑥𝑝𝑦→ 𝑦 =

√𝑝𝑥

√𝑝𝑦𝑥 (1)

𝑝𝑥𝑥 + 𝑝𝑦𝑦 = 𝑅 (2)

Vamos substituir (1) na restrição orçamentária:


Aula 00



𝑝𝑥𝑥 + 𝑝𝑦√𝑝𝑥

√𝑝𝑦𝑥 = 𝑅 → (𝑝𝑥 +√𝑝𝑥𝑝𝑦)𝑥 = 𝑅 → 𝑥∗(𝑝𝑥 , 𝑝𝑦, 𝑅) =

𝑅

𝑝𝑥 +√𝑝𝑥𝑝𝑦 (3)

Substituindo (3) em (1), obtemos a demanda pelo bem y:

𝑦 =√𝑝𝑥

√𝑝𝑦(

𝑅

𝑝𝑥 +√𝑝𝑥𝑝𝑦) → 𝑦∗(𝑝𝑥 , 𝑝𝑦, 𝑅) =

𝑅

𝑝𝑦 +√𝑝𝑥𝑝𝑦


(1) Para obtermos a função utilidade indireta, devemos substituir as demandas Marshallianas na função

utilidade:

𝑣(𝑝𝑥 , 𝑝𝑦, 𝑅) = 𝑢(𝑥∗, 𝑦∗) = −

1

𝑅

𝑝𝑥 +√𝑝𝑥𝑝𝑦

−1

𝑅

𝑝𝑦 +√𝑝𝑥𝑝𝑦

=−𝑝𝑥 − 𝑝𝑦 − 2√𝑝𝑥𝑝𝑦

𝑅

Resposta: FALSO

(3) A demanda Hicksiana é a solução do problema de minimização da despesa. No caso de solução interior, no

ótimo, temos:

{

|𝑇𝑀𝑆| =

𝑈𝑚𝑔ℎ𝑥𝑈𝑚𝑔ℎ𝑦

=𝑝𝑥𝑝𝑦→ℎ𝑥−2

ℎ𝑦−2 =

𝑝𝑥𝑝𝑦→ℎ𝑦2

ℎ𝑥2 =

𝑝𝑥𝑝𝑦→ ℎ𝑦 =

√𝑝𝑥

√𝑝𝑦ℎ𝑥 (1)

−1

ℎ𝑥−1

ℎ𝑦= 𝑢0 (2)

Substituindo (1) em (2):

−(ℎ𝑥)−1 − (

√𝑝𝑥

√𝑝𝑦ℎ𝑥)

−1

= 𝑢0 → −(ℎ𝑥)−1 −(

𝑝𝑥−12

𝑝𝑦−12

)(ℎ𝑥)−1 = 𝑢0 → −(

1

ℎ𝑥)(1 +

𝑝𝑦

12

𝑝𝑥

12

) = 𝑢0

−(1

ℎ𝑥)(

𝑝𝑥

12 + 𝑝𝑦

12

𝑝𝑥

12

) = 𝑢0 → ℎ𝑥(𝑝𝑥 , 𝑝𝑦, 𝑢0) = −(√𝑝𝑥 +√𝑝𝑦

√𝑝𝑥𝑢𝑜)

Resposta: FALSO


Com relação ao comportamento dos gastos do consumidor, pode-se afirmar que:

(0) Um consumidor com função de utilidade U(X, Y) = X4 Y1 gastará $20 de cada renda de $100 na aquisição

do bem Y.

(1) No processo de maximização de utilidade, o valor do Multiplicador de Lagrange equivale à utilidade marginal

da renda.


Aula 00



(3) No caso da função de utilidade U(X, Y) = −𝑥−2

2−𝑦−2

2, as preferências do consumidor não permitem a

agregação de demandas individuais para a definição de demanda do mercado (isto é, refletem uma função de

utilidade não homotética).

RESOLUÇÃO:

(0) Você já tem de ir para a prova sabendo que se a função utilidade é uma Cobb-Douglas do tipo 𝑈(𝑋, 𝑌) =

𝑋𝛼𝑌𝛽, sendo M a renda do consumidor, 𝑝𝑋 e 𝑝𝑌 o preço dos bens X e Y, respectivamente, então as demandas

Marshallianas são dadas por:

𝑋 =𝛼

(𝛼 + 𝛽)

𝑀

𝑝𝑋 𝑒 𝑌 =

𝛽

(𝛼 + 𝛽)

𝑀

𝑝𝑌

Dessa forma, a quantidade de renda a ser gasta no bem Y quando U(X, Y) = X4 Y1 e a renda é 100 é dada por:

𝑝𝑌𝑌 =𝛽

(𝛼 + 𝛽)𝑀 =

1

5(100) = 20


(1) No problema de maximização da utilidade, o multiplicador de Lagrange equivale à utilidade marginal da

renda, ou seja, mede as variações na utilidade diante de mudanças na renda. Nós já vimos que a função

Lagrangeano pode ser expressa como:

𝐿 = 𝑈(𝑥, 𝑦) + 𝜆(𝑀 − 𝑝𝑥𝑥 − 𝑝𝑦𝑦)

Pelas condições de primeira ordem:

{

𝜕𝐿

𝜕𝑥= 0 → 𝑈𝑚𝑔𝑥 − 𝜆𝑝𝑥 = 0 → 𝑈𝑚𝑔𝑥 = 𝜆𝑝𝑥 (1)

𝜕𝐿

𝜕𝑦= 0 → 𝑈𝑚𝑔𝑦 − 𝜆𝑝𝑦 = 0 → 𝑈𝑚𝑔𝑦 = 𝜆𝑝𝑦 (2)

𝜕𝐿

𝜕𝜆= 0 → 𝑝𝑥𝑥 + 𝑝𝑦𝑦 = 𝑀 (3)

Diferenciando a função utilidade (estamos assumindo uma função diferenciável):

𝑑𝑈 =𝜕𝑈

𝜕𝑥𝑑𝑥 +

𝜕𝑈

𝜕𝑦𝑑𝑦 → 𝑑𝑈 = 𝑈𝑚𝑔𝑥. 𝑑𝑥 + 𝑈𝑚𝑔𝑦. 𝑑𝑦 (4)

Vamos substituir as equações (1) e (2) em (4):

𝑑𝑈 = 𝜆𝑝𝑥 . 𝑑𝑥 + 𝜆𝑝𝑦 . 𝑑𝑦 → 𝑑𝑈 = 𝜆(𝑝𝑥 . 𝑑𝑥 + 𝑝𝑦 . 𝑑𝑦) (5)

Aplicando diferencial total na restrição orçamentária:

𝑝𝑥 . 𝑑𝑥 + 𝑝𝑦. 𝑑𝑦 = 𝑑𝑀 (6)


𝑑𝑈 = 𝜆𝑑𝑀 → 𝜆 =𝑑𝑈

𝑑𝑀→ 𝜆 = 𝑈𝑚𝑔𝑀

Ou seja, o multiplicador de Lagrange corresponde à utilidade marginal da renda.



Aula 00



(3) A função U(X, Y) = −𝑥−2

2−𝑦−2

2 é uma função utilidade CES. Já sabemos que tal função é homotética. Nesse

sentido, as preferências do consumidor permitem sim a agregação de demandas individuais para a definição

de demanda do mercado.

Resposta: FALSO


(0) A função dispêndio E(p,U) é a função valor associada ao problema de minimização do dispêndio,

condicionado a determinado nível de utilidade �̅� que o consumidor deseja alcançar. As seguintes propriedades

são válidas para essa função: homogeneidade do grau zero nos preços dos produtos, não decrescente nos

preços de cada produto 𝑝𝑖, crescente em U e côncava nos preços.

(1) Sabendo que a função de utilidade indireta de um consumidor é dada por: 𝑉(𝑝1, 𝑝2, 𝑅) =𝑅

2𝑝10,5𝑝2

0,5 é possível

afirmar que a função dispêndio associada a essas preferências é dada por: 𝐸(𝑝1, 𝑝2, 𝑈) = 2𝑝10,5𝑝2

0,5𝑈.

(2) Sabendo que as preferências de um consumidor são representadas pela relação binária descrita abaixo, na

qual a cesta x é fracamente preferível à cesta y se e somente se: 𝑥 ≽ 𝑦 ⇔ 𝑥1 > 𝑦1, ou 𝑥1 = 𝑦1 e 𝑥2 ≥ 𝑦2, é

possível afirmar que essas preferências são completas, transitivas e contínuas.

(4) Um consumidor tem suas preferências pelos bens 𝑥 e 𝑦 representadas pela seguinte função utilidade:

𝑈:𝑅2 → 𝑅,𝑈(𝑥, 𝑦) = −[(𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 3)2]. Essas preferências exibem ponto de saciedade global na cesta

(0,0).

RESOLUÇÃO:

(0) Vamos relembrar as propriedades da função despesa:

1) Homogênea de grau UM nos preços;

2) Estritamente crescente na utilidade;

3) Não decrescente nos preços;

4) Côncava nos preços;


O item é falso, pois afirmou homogeneidade de grau zero (quando é de grau um). Fiquem atentos aos pequenos

detalhes, tá certo?!

Resposta: FALSO

(1) Você se lembra de que a função despesa e a função utilidade indireta são inversas uma da outra?

Sabemos que a utilidade indireta é dada por:

𝑉(𝑝1, 𝑝2, 𝑅) =𝑅

2𝑝10,5𝑝2

0,5

Conforme vimos anteriormente na aula:


Aula 00



𝑣(𝑝, 𝑒(𝑝, 𝑢)) = 𝑢

Logo, vamos substituir 𝑅 por 𝑒(𝑝, 𝑈):

𝑉(𝑝1, 𝑝2, 𝑒(𝑝, 𝑈)) =𝑒(𝑝, 𝑢)

2𝑝10,5𝑝2

0,5 = 𝑈 → 𝑒(𝑝, 𝑢) = 2𝑝10,5𝑝2

0,5𝑈


(2) A relação de preferências apresentada pode representar preferências lexicográficas, que nós sabemos que

são completas e transitivas, mas NÃO são contínuas.

Resposta: FALSO

(4) O ponto de saciedade representa a melhor cesta de consumo para o consumidor, ou seja, uma utilidade

máxima. Seja a função utilidade representada por 𝑈(𝑥, 𝑦) = −[(𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 3)2]. O termo entre colchetes

é sempre ou positivo ou nulo. Dessa forma a função utilidade ou é negativa ou assume valor zero. Assim sendo,

a utilidade máxima é zero, de forma que a cesta que representa o ponto de saciedade (a melhor cesta para o

consumidor) é dada por (𝑥, 𝑦) = (3,3).

Resposta: FALSO


Sobre a Teoria do Consumidor, assinale Verdadeiro ou Falso nas alternativas abaixo:

(0) A hipótese de convexidade das preferências equivale à hipótese de taxa marginal de substituição

decrescente.

(1) Para preferências homotéticas a taxa marginal de substituição depende somente da razão consumida entre

as quantidades dos dois bens e não das quantidades totais de cada bem.

(2) Um consumidor representativo de determinada comunidade com hábitos particulares tem preferências

representadas por 𝑈 = 𝑈𝑡(𝑥𝑡∗, 𝑦) com 𝑥𝑡

∗ = 𝑥𝑡 − 𝑥𝑡−1. Para esse tipo de preferências, coeteris paribus, quanto

mais consumo passado o indivíduo escolher do bem x, menor será o consumo atual escolhido.

(3) Suponha uma estrutura de preferências representada pela seguinte função utilidade: 𝑈(𝑥, 𝑦) = √𝑥𝑦. Agora

suponha que o consumidor está diante de cestas de consumo que geram um nível de utilidade = 10. Neste

contexto, a taxa marginal de substituição para a cesta (5,20) é igual a 1/4.

(4) No ponto de escolha ótima do consumidor, o Multiplicador de Lagrange associado ao problema de

otimização condicionada da utilidade pode ser interpretado como a utilidade marginal da renda.

RESOLUÇÃO:

(0) Conforme o gabarito oficial da Anpec, esse item é verdadeiro. No entanto, seria verdadeira caso se referisse

à convexidade estrita das preferências. Temos o caso dos bens substitutos perfeitos, que são um exemplo de

preferências convexas, mas que tem taxa marginal de substituição constante.

Resposta: FALSO


Aula 00



(1) De fato, no caso de preferências homotéticas, a TMS depende apenas da quantidade relativa consumida dos

bens, e não das quantidades absolutas.


(2) Temos 𝑈 = 𝑈𝑡(𝑥𝑡∗, 𝑦) com 𝑥𝑡

∗ = 𝑥𝑡 − 𝑥𝑡−1. Tudo o mais mantido constante, quanto maior for o consumo

passado, 𝑥𝑡−1, maior terá de ser o consumo presente 𝑥𝑡.

Resposta: FALSO

(3) A função utilidade 𝑈(𝑥, 𝑦) = √𝑥𝑦 é uma Cobb-Douglas. A TMS é:


𝑈𝑚𝑔𝑦=0,5𝑥−0,5𝑦0,5

0,5𝑥0,5𝑦−0,5=𝑦

𝑥

Para a cesta (5, 20):

|𝑇𝑀𝑆| =20

5= 4 ≠

1

4

Resposta: FALSO

(4) Já sabemos que o multiplicador de Lagrange pode ser interpretado como a utilidade marginal da renda.



As afirmativas abaixo se referem à teoria do consumidor. Denomine de R a renda monetária exógena do

consumidor, x1 a quantidade consumida do bem 1, x2 a quantidade consumida do bem 2, p1 o preço do bem 1

e p2 o preço do bem 2. Assinale Falso ou Verdadeiro:

(0) Se U(x1, x2) = (x1x2)2, então a cesta ótima escolhida pelo consumidor é dada por: x1

∗ =1

2

𝑅

𝑝12, x2

∗ =1

2

𝑅

𝑝22.

(1) Se a função utilidade do consumidor é dada por: U(x1, x2) = max (𝑥1

2

𝑥2

3), p1 = 2 e p2 = 3 , então a cesta

ótima escolhida pelo consumidor é dada por: x1∗ =

𝑅

2, x2∗ =

𝑅

3.

(2) Se U(x1, x2) = min{4x12 , 9x2

2}, a cesta ótima é dada por: x1∗ =

2𝑅

3p1 + 2p2, x2∗ =

3𝑅

3p1 + 2p2.

(3) Se U(x1, x2) = ln 𝑥1 + 𝑥2 e supondo solução interior, a cesta ótima escolhida pelo consumidor é dada por:

x1∗ =

𝑝1

p2, x2∗ =

𝑅−𝑝1

p2.

(4) Se U(x1, x2) = 𝑥1 + 2𝑥2, então pode-se dizer que este consumidor substitui uma unidade do bem 1 por 2

unidades do bem 2.

RESOLUÇÃO:

(0) Olha a demanda da Cobb-Douglas aparecendo de novo. Se a utilidade é expressa por 𝑈(𝑥1, 𝑥2) = 𝑥1𝛼𝑥2

𝛽, as

demandas são:


Aula 00



𝑥1∗ = (

𝛼

𝛼 + 𝛽)𝑅

𝑝1 𝑥2

∗ = (𝛽

𝛼 + 𝛽)𝑅

𝑝2

Quando a utilidade é U(x1, x2) = (x1x2)2, temos:

𝑥1∗ = (

2

2 + 2)𝑅

𝑝1= (

1

2)𝑅

𝑝1 𝑥2

∗ = (2

2 + 2)𝑅

𝑝2= (

1

2)𝑅

𝑝2

Resposta: FALSO

(1) Vamos representar as curvas de indiferença para a função utilidade U(x1, x2) = max (𝑥1

2

𝑥2

3).

𝑆𝑒 𝑥12>𝑥23, temos �̅� =

𝑥12→ 𝑥1 = 2�̅�

𝑆𝑒 𝑥23>𝑥12, temos �̅� =

𝑥23→ 𝑥2 = 3�̅�

Olhando para o formato da curva de indiferença, já sabemos que o item é falso. Isso porque no caso de curvas

de indiferença côncavas, temos uma solução de canto. Vejamos, então, qual a cesta ótima.

A reta orçamentária, quando p1 = 2 e p2 = 3, é dada por:

p1x1 + p2x2 = R → 2x1 + 3x2 = 𝑅 → x2 =𝑅

3−2

3x1

Para facilitar a visualização no gráfico, vamos representar duas retas orçamentárias, com 𝑅 = 4�̅� e 𝑅 = 9�̅�:

x2 =4�̅�

3−2

3x1 → x2 = 1,3�̅� −

2

3x1

x2 =9�̅�

3−2

3x1 → x2 = 3�̅� −

2

3x1


Aula 00



O ponto ótimo não é o ponto a, pois é possível obter o mesmo nível de utilidade sob uma reta orçamentária

mais baixa, o ponto b. Assim, no ótimo, o consumidor consome apenas o bem 1:

0 =𝑅

3−2

3x1 → x1 =

𝑅

2

A cesta de equilíbrio é: x1 =𝑅

2 e x2 = 0.

Resposta: FALSO

(2) A função utilidade U(x1, x2) = min{4x12, 9x2

2} representa bens complementares perfeitos. Basta aplicarmos

uma transformação monotônica da seguinte forma:

V(x1, x2) = [U(x1, x2)]1/2 → V(x1, x2) = min{2x1, 3x2}

Dessa forma, as demandas são tais que:

{2x1 = 3x2 → x1 =

3

2x2 (1)

𝑝1x1 + 𝑝2x2 = 𝑀 (2)

Substituindo a equação (1) em (2):

𝑝13

2x2 + 𝑝2x2 = 𝑀 → x2 (

3𝑝1 + 2𝑝22

) = 𝑀 → x2∗ =

2𝑀

3𝑝1 + 2𝑝2 (3)


x1∗ =

3𝑀

3𝑝1 + 2𝑝2

O item inverteu as demandas pelo bem 1 e pelo bem 2. Fiquem atentos!

Resposta: FALSO

(3) A função utilidade U(x1, x2) = ln 𝑥1 + 𝑥2 representa preferências quase-lineares em relação a 𝑥2. Supondo

solução interior, temos:

{

Umgx1Umgx2

=𝑝1𝑝2→1

x1=𝑝1𝑝2→ x1

∗ =𝑝2𝑝1

𝑝1x1 + 𝑝2x2 = 𝑅 → 𝑝1𝑝2𝑝1+ 𝑝2x2 = 𝑅 → x2

∗ =𝑅 − 𝑝2𝑝2


Aula 00



Resposta: FALSO

(4) A função U(x1, x2) = 𝑥1 + 2𝑥2 representa bens substitutos perfeitos. Temos o seguinte:

|𝑇𝑀𝑆| =𝑑𝑥2𝑑𝑥1

=𝑈𝑚𝑔𝑥1𝑈𝑚𝑔𝑥2

=1

2

Essa TMS nos diz que se o consumo do bem 1 reduzir em uma unidade, o consumo do bem 2 terá de aumentar

em meia unidade para que esse consumidor permaneça com o mesmo nível de satisfação inicial. Percebemos,

portanto, que esse consumidor troca uma unidade do bem 1 por meia unidade do bem 2, ou seja, ele troca duas

unidades do bem 1 por uma unidade do bem 2. Oposto ao que o item disse. Então, é bom ter sempre atenção!

Resposta: FALSO


Com relação à racionalidade das escolhas dos consumidores e seus impactos sobre o nível de bem-estar,

observa-se que (assinale falso ou verdadeiro):

(0) Suponha que o consumidor só pode consumir quantidades não negativas dos bens e possui preferências

representadas pela seguinte função utilidade: U(x1, x2 ) = – x1 x2. Pode-se afirmar que as preferências desse

consumidor satisfazem às propriedades de monotonicidade e convexidade.

RESOLUÇÃO:

(0) Essa função utilidade não satisfaz nem a monotonicidade, nem a convexidade.

Pelo gráfico, fica claro que o consumidor obtém uma maior satisfação quanto menor for a quantidade

consumida dos bens (viola a monotonicidade).

Além disso, o consumidor não prefere a média ponderada de duas cestas (ela se encontra em uma curva de

indiferença com um nível mais baixo de satisfação, ou seja, mais distante da origem).

Resposta: FALSO


Aula 00




Considere a função utilidade 𝑈 = 𝑥1𝑥2. Assuma que o indivíduo recebe uma renda fixa “d” e que os preços dos

dois bens são p1 e p2. Julgue as seguintes afirmativas:

(0) As curvas de nível dessa função utilidade têm o formato de hipérboles retangulares.

(1) Para qualquer nível de preços dado a quantidade total gasta com 𝑥1 é diferente da quantidade total

despendida com 𝑥2.

(2) A relação 𝑝2𝑥2 = 𝑝1𝑥1mantém-se para todos os pontos da restrição orçamentária.

(4) A função utilidade indireta derivada tem a seguinte forma: 𝑉(𝑝1, 𝑝2, 𝑑) =𝑑2

4𝑝1𝑝2.

RESOLUÇÃO:

(0) Antes de irmos para a resposta do item, convém dizer que as assíntotas de uma hipérbole retangular são os

eixos do plano cartesiano, sendo representada pela equação xy = c, em que c é uma constante.

As curvas de nível (curvas de indiferença) da função apresentada no enunciado são dadas por 𝑥1𝑥2 = �̅�, sendo

�̅� uma constante. Ou seja, são hipérboles retangulares.


(1) Mais uma vez a Cobb-Douglas... Para a utilidade 𝑈 = 𝑥1𝑥2, as demandas são dadas por:

𝑥1∗ =

1

2

𝑑

𝑝1 𝑒 𝑥2

∗ =1

2

𝑑

𝑝2

A quantidade total gasta com cada bem é:

𝑝1𝑥1∗ =

1

2𝑑 𝑒 𝑝2𝑥2

∗ =1

2𝑑

Ou seja, o consumidor gasta a mesma quantia com ambos os bens (para responder ao item sem resolver contas,

bastava perceber que ambos os bens estão elevados a mesma potência na função utilidade).

Resposta: FALSO

(2) A relação 𝑝1𝑥1 = 𝑝2𝑥2 =1

2𝑑 se mantém apenas no ponto de ótimo.

Resposta: FALSO

(4) Para obtermos a função utilidade indireta, vamos substituir as demandas Marshallianas – já obtemos no

item (0) – dentro da função utilidade:

𝑉(𝑝1, 𝑝2, 𝑑) = (1

2

𝑑

𝑝1) (1

2

𝑑

𝑝2) =

𝑑2

4𝑝1𝑝2




Aula 00



Em relação à curva de demanda compensada, indique quais das afirmações abaixo são verdadeiras e quais são

falsas:

(1) Sempre pode ser encontrada a partir da diferenciação da função de gasto total do consumidor em relação

ao preço do bem.

(2) Ela difere da função de demanda hicksiana porque esta última não mantém a utilidade constante.

(3) Possui inclinação negativa.

RESOLUÇÃO:

(1) A função de gasto total (ou função dispêndio) é a função valor do problema de minimização da despesa do

consumidor, ou seja, substituímos as demandas Hicksianas na restrição orçamentária. E pelo lema de Shepard,

podemos obter as demandas Hicksianas da seguinte forma:

ℎ𝑖(𝑝, 𝑢) =𝜕𝑒(𝑝, 𝑢)

𝜕𝑝𝑖 𝑖 = 1,… , 𝑛


(2) Demanda compensada e demanda Hicksiana são expressões sinônimas.

Resposta: FALSO

(3) A demanda Hicksiana atende a Lei da Demanda Compensada: aumentos no preço do bem reduzem a

quantidade demandada. Ou seja, a curva de demanda compensada tem inclinação negativa.



A respeito das funções utilidades e seus vários formatos, podemos afirmar:

(0) Para um consumidor individual com uma função utilidade na forma U (x, y) = xα yβ; α + β = 1 a

participação dos bens no orçamento individual muda sempre que ocorrer variações nos preços relativos de x e

y.

(1) Um consumidor que assume uma função utilidade na forma 𝑈 (𝑥, 𝑦) = (𝑥 – 𝑥0)𝛼 . (𝑦 – 𝑦0)

𝛽; α + β = 1

sempre vai adquirir no mínimo a quantidade (𝑥0, 𝑦0) dos dois bens.

(2) Na função utilidade 𝑈 (𝑥, 𝑦) = (𝑥 – 𝑥0)𝛼 . (𝑦 – 𝑦0)

𝛽; α + β = 1 a participação de um dos bens no

orçamento doméstico independe da quantidade mínima requerida de cada bem.

(3) A função 𝑈 (𝑥, 𝑦) = min(𝛼𝑥, 𝛽𝑦); α, β > 0 é tal que pessoas que se comportam segundo essa função estão

dispostas a dar a mesma quantidade de y por uma unidade adicional de x, não importando quanto de x já tenha

sido consumido.

RESOLUÇÃO:

(0) Se a função utilidade é escrita como 𝑈 (𝑥, 𝑦) = 𝑥𝛼 𝑦𝛽, sabemos que as demandas são:


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x∗ =𝛼

𝛼 + 𝛽

𝑀

𝑝𝑥 𝑒 𝑦∗ =

𝛽

𝛼 + 𝛽

𝑀

𝑝𝑦

Logo, a participação de cada bem no orçamento é tal que:

pxx∗

𝑀=

𝛼

𝛼 + 𝛽 𝑒

𝑝𝑦𝑦∗

𝑀=

𝛽

𝛼 + 𝛽

Se 𝛼 + 𝛽 = 1:

pxx∗

𝑀= 𝛼 𝑒

𝑝𝑦𝑦∗

𝑀= 𝛽

A participação de cada bem no orçamento é constante, ou seja, NÃO se altera diante de modificações nos

preços relativos. Essa é uma propriedade típica da demanda para uma Cobb-Douglas.

Resposta: FALSO

(1) De acordo com o gabarito oficial da Anpec, esse item é verdadeiro.

A função apresentada no item é uma utilidade Stone-Geary, que é uma generalização da Cobb-Douglas.

Nessa situação, o consumidor deve adquirir quantidades mínimas de cada um dos bens: (𝑥0, 𝑦0). Assim, o

indivíduo irá escolher uma cesta de bens tal que 𝑥 – 𝑥0 ≥ 0 e 𝑦 – 𝑦0 ≥ 0, ou seja, 𝑥 ≥ 𝑥0 e 𝑦 ≥ 𝑦0.

Porém, é necessário que a sua renda seja maior que o gasto com esses bens para que o consumidor possa

comprá-los:

𝑅 > 𝑝𝑥𝑥0 + 𝑝𝑦𝑦0

Como, no item, nada garante que essa cesta esteja disponível no conjunto orçamentário desse consumidor, a

afirmativa se torna falsa.

Vejamos como obter de maneira algébrica as demandas desse consumidor.

Lembre-se de que o indivíduo escolhe o quanto dos bens x e y consumir de modo a maximizar a sua utilidade

condicionada a sua restrição orçamentária:

max𝑥,𝑦

𝑈 (𝑥, 𝑦) = (𝑥 – 𝑥0)𝛼 . (𝑦 – 𝑦0)

𝛽 𝑠. 𝑎. 𝑝𝑥𝑥 + 𝑝𝑦𝑦 = 𝑅∗

Em que, 𝑅∗ = 𝑅 − 𝑝𝑥𝑥0 − 𝑝𝑦𝑦0 é a renda que sobra para o consumidor gastar na escolha dos bens x e y.

Assumindo solução interior, o ótimo se dá na tangência entre a reta orçamentária e a curva de indiferença

(lembrando que a restrição orçamentária deve ser atendida):

{|𝑇𝑀𝑆| =

𝑈𝑚𝑔𝑥

𝑈𝑚𝑔𝑦=𝑝𝑥𝑝𝑦→𝛼(𝑥 – 𝑥0)

𝛼−1 . (𝑦 – 𝑦0)𝛽

𝛽(𝑥 – 𝑥0)𝛼 . (𝑦 – 𝑦0)

𝛽−1=𝑝𝑥𝑝𝑦→𝛼(𝑦 – 𝑦0)

𝛽(𝑥 – 𝑥0)=𝑝𝑥𝑝𝑦→ 𝑦 =

𝑝𝑥𝑝𝑦

𝛽

𝛼(𝑥 – 𝑥0) + 𝑦0 (𝑎)

𝑝𝑥𝑥 + 𝑝𝑦𝑦 = 𝑅∗ (𝑏)

Substituindo (a) em (b):

𝑝𝑥𝑥 + 𝑝𝑦 [𝑝𝑥𝑝𝑦

𝛽

𝛼(𝑥 – 𝑥0) + 𝑦0] = 𝑅

∗ → 𝑝𝑥𝑥 + 𝑝𝑥𝛽

𝛼𝑥 − 𝑝𝑥

𝛽

𝛼𝑥0 + 𝑝𝑦𝑦0 = 𝑅

∗ →

𝑝𝑥𝑥 (𝛼 + 𝛽

𝛼) = 𝑅∗ + 𝑝𝑥

𝛽

𝛼𝑥0 − 𝑝𝑦𝑦0 → 𝑥∗ = (

𝛼

𝛼 + 𝛽)𝑅∗

𝑝𝑥+ (

𝛽

𝛼 + 𝛽)𝑥0 − (

𝛼

𝛼 + 𝛽)𝑝𝑦

𝑝𝑥𝑦0 (𝑐)


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Substituindo (c) em (a):

𝑦 =𝑝𝑥𝑝𝑦

𝛽

𝛼((

𝛼

𝛼 + 𝛽)𝑅∗

𝑝𝑥+ (

𝛽

𝛼 + 𝛽)𝑥0 − (

𝛼

𝛼 + 𝛽)𝑝𝑦

𝑝𝑥𝑦0 – 𝑥0) + 𝑦0 →

𝑦∗ = (𝛽

𝛼 + 𝛽)𝑅∗

𝑝𝑦+ (

𝛼

𝛼 + 𝛽)𝑦0 − (

𝛽

𝛼 + 𝛽)𝑝𝑥𝑝𝑦𝑥0

Perceba que quando 𝑥0 = 0 e 𝑦0 = 0, a solução encontrada corresponde exatamente a Cobb-Douglas.

Resposta: FALSO

(2) Acabamos de ver no item anterior que a participação de AMBOS os bens no orçamento doméstico depende

da quantidade mínima requerida de cada bem. Dessa maneira, a afirmativa é falsa,

E é sempre bom reforçar: beba água.

Resposta: FALSO

(3) A função U (x, y) = min(αx, βy) representa bens complementares perfeitos. A demanda ótima satisfaz

αx = βy, de forma que o consumidor não esteja disposto a trocar nenhuma unidade de um bem pelo outro

(pois se o fizesse reduziria sua utilidade).

Resposta: FALSO


A respeito das relações de preferências da teoria do consumidor é possível afirmar:

(0) Se x ≥ y e x ≠ y, então a cesta de bens x possui no mínimo as mesmas quantidades de cada bem da cesta y.

(1) Relações binárias transitivas e reflexivas são relações de preferências.

(2) Se a relação de preferência é transitiva, então necessariamente a relação de indiferença também é

transitiva.

(3) Relações de preferência simétricas e irreflexivas são transitivas.

(4) A preferência lexicográfica é uma relação de preferência porque é completa, transitiva, contínua e reflexiva.

RESOLUÇÃO:

(0) Conforme o gabarito oficial da Anpec, esse item é falso.

Suponha que ambas as cestas tenham n bens. Se x ≥ y e x ≠ y, a cesta x pode ter a mesma quantidade que a

cesta y em n-1 bens, mas deve ter uma quantidade estritamente superior em pelo menos um deles. Nesse

sentido, x possui no mínimo as mesmas quantidades de cada bem da cesta y.


(1) O item está correto. Lembrando que transitividade, reflexividade e completude são os axiomas das

preferências.



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(2) Sejam as cestas x, y e z pertencentes ao conjunto consumo, X. Pela relação de indiferença, temos:

𝑥 ∼ 𝑦 ↔ 𝑥 ≽ 𝑦 𝑒 𝑦 ≽ 𝑥

𝑦 ∼ 𝑧 ↔ 𝑦 ≽ 𝑧 𝑒 𝑧 ≽ 𝑦

Pela transitividade da relação de preferência:

𝑥 ≽ 𝑦 𝑒 𝑦 ≽ 𝑧 → 𝑥 ≽ 𝑧

𝑧 ≽ 𝑦 𝑒 𝑦 ≽ 𝑥 → 𝑧 ≽ 𝑥

Acabamos de perceber que 𝑥 ≽ 𝑧 e 𝑧 ≽ 𝑥, ou seja, 𝑧 ∼ 𝑥. Portanto, se a relação de preferência é transitiva,

então necessariamente a relação de indiferença também é transitiva.


(3) Seja uma relação de preferência R. Essa relação de preferência é simétrica se:

𝑥 𝑅 𝑦 → 𝑦 𝑅 𝑥 ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋

Por exemplo, a relação de indiferença é simétrica pois 𝑥 ∼ 𝑦 é equivalente a 𝑦 ∼ 𝑥. Podemos dizer, então, que

uma relação de preferência simétrica é transitiva (verificamos a transitividade da indiferença no item anterior).

Já uma relação de preferência é irreflexiva quando:

𝑥 ⋡ 𝑥

Ou seja, a cesta NÃO é ao menos tão boa quanto ela mesma. E não podemos concluir sobre a transitividade de

relações de preferência desse tipo.

Resposta: FALSO

(4) Se cair uma dessa na prova você vai acertar: a preferência lexicográfica é uma relação de preferência

completa, transitiva e reflexiva, mas NÃO é contínua. Como elas não são contínuas, não podem ser

representadas por uma função utilidade.

Resposta: FALSO


Um consumidor tem uma função utilidade Cobb-Douglas convencional tal que U (x, y) = xα yβ; α + β = 1.

Avalie as afirmações abaixo:

(0) Esse consumidor sempre alocará um percentual α de sua renda para comprar o bem x.

(1) Suponha que a renda do consumidor seja de b = R$ 2,00 e que os preços vigentes dos bens no mercado sejam

𝑝x = 0,25 e 𝑝y = 1. Agora suponha que o consumidor aloca sua renda igualmente entre os dois bens, então sua

escolha ótima deve ser x = 1 e y = 4.

(3) Considerando a renda do consumidor como b, então o consumo ótimo do bem y é tal que 𝑦∗ = 𝛽 (𝑏 𝑝𝑦⁄ ).

RESOLUÇÃO:

(0) Quando U (x, y) = xα yβ e α + β = 1, as demandas são:


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𝑥∗ = αM

𝑝𝑥 𝑒 𝑦∗ = β

M

𝑝𝑦

Logo, a participação dos bens na renda são dadas por:

𝑝𝑥𝑥∗

𝑀= α e

𝑝𝑦𝑦∗

𝑀= β


(1) Como o consumidor aloca sua renda igualmente entre os bens, temos 𝜶 = 𝛃. Além disso, sabemos que α +

β = 1. Ou seja, 𝜶 = 𝛃 = 𝟎, 𝟓. Vamos utilizar essa informação e os valores que o item trouxe, e substituir na

demanda obtida no item (0).

𝒙∗ = 𝟎, 𝟓𝟐

𝟎, 𝟐𝟓= 𝟒 𝒆 𝒚∗ = 𝟎, 𝟓

𝟐

𝟏= 𝟏

O item inverteu as quantidades dos bens. Cuidado, hein!

Resposta: FALSO

(3) Conforme vimos no item (0), verdadeiro.



Com relação às preferências do consumidor, é correto afirmar que:

(0) A existência de um bem neutro viola o axioma da monotonicidade, a existência de bens substitutos perfeitos

viola o axioma da convexidade estrita e a existência de preferências lexicográficas viola o axioma de

continuidade.

(1) Para a função utilidade 𝑈(𝑥, 𝑦) = (𝑥𝜌 + 𝑦𝜌)1

𝜌, as taxas marginais de substituição (TMS) nas cestas (2,3) e

(4,6) são idênticas.

(2) Sejam três cestas de bens: A, B e C. Se, para um consumidor temos que A ≻ B, A ~ C e C ~ B, então para este

consumidor se aplica o princípio de que duas curvas de indiferença não se cruzam.

(3) Sejam dois bens x e y, em que nenhum deles é um mal. Se tivermos duas cestas com quantidades

estritamente positivas destes dois bens (x1, y1) e (x2, y2), sendo que x2 ≥ x1 e y2 > y1, então, pela hipótese da

monotonicidade das preferências, temos que: (x2, y2) ≻ (x1, y1).

(4) Supondo que não existem males, a hipótese de convexidade estrita implica que, se houver duas cestas A e

B, com A ~ B, para uma cesta C definida como tA + (1 – t) B, 0 < t < 1, é necessariamente verdade que C ≻ A e C

≻ B.

RESOLUÇÃO:

(0) Pela monotonicidade estrita, se a cesta (𝑥0, 𝑦0) tem quantidades estritamente maiores que a cesta (𝑥1, 𝑦1)

em pelo menos um dos bens, então o indivíduo prefere (𝑥0, 𝑦0). Suponha, por exemplo que o bem y seja neutro,

ou seja, alterações na quantidade consumida não mudam o nível de satisfação do consumidor. Se tivermos


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𝑥0 = 𝑥1 e 𝑦0 > 𝑦1, as duas cestas fornecem o mesmo nível de satisfação (lembra que y é neutro), violando a

hipótese da monotonicidade estrita. Vale destacar que a monotonicidade em sua versão fraca é atendida (se

𝑥0 > 𝑥1 e 𝑦0 > 𝑦1, 𝑥 ≻ 𝑦.

Quando a relação de preferência é convexa, temos que se y ≽ x e z ≽ x, então 𝛼𝑦 + (1 − 𝛼)𝑧 ≽ x para todo

𝛼 ∈ [0,1]. A convexidade forte ou estrita nos diz que se y ≽ x, z ≽ x e y ≠ z, então 𝛼𝑦 + (1 − 𝛼)𝑧 ≻ x para todo

𝛼 ∈ (0,1). No caso de substitutos perfeitos, a combinação linear entre dois pontos sob determinada curva de

indiferença (que é uma reta), situa-se sob a mesma curva de indiferença. Nesse sentido, preferências do tipo

substitutos perfeitos são convexas, mas não são estritamente convexas. Ou seja, a hipótese de convexidade

estrita é violada.

Sabemos que as preferências lexicográficas NÃO são contínuas (pois o ordenamento de preferências não é

preservado no limite, sofre uma mudança abrupta), de forma que não podem ser representadas por uma função

utilidade.


(1) Seja a função utilidade 𝑈(𝑥, 𝑦) = (𝑥𝜌 + 𝑦𝜌)1

𝜌. A TMS é:


𝑈𝑚𝑔𝑦=

1𝜌(𝑥𝜌 + 𝑦𝜌)

1𝜌−1𝜌𝑥𝜌−1

1𝜌(𝑥𝜌 + 𝑦𝜌)

1𝜌−1𝜌𝑦𝜌−1

= (𝑥

𝑦)𝜌−1

Vamos obter a TMS para cada uma das cestas:

|𝑇𝑀𝑆(2,3)| = (2

3)𝜌−1

= |𝑇𝑀𝑆(4,6)| = (4

6)𝜌−1

= (2

3)𝜌−1

Para responder este item, poderíamos ter usado o fato de que a função utilidade 𝑈(𝑥, 𝑦) = (𝑥𝜌 + 𝑦𝜌)1

𝜌 é uma

CES, sendo um exemplo de preferência homotética. E no caso de preferências homotéticas, a TMS depende

apenas das quantidades relativas consumidas, e não das quantidades absolutas. Como 2

3=

4

6, a TMS é a mesma

para ambas as cestas.


(2) Se A ≻ B, A ~ C e C ~ B, temos uma violação ao axioma da transitividade. Vejamos:

Se A ≻ B significa que A está em uma curva de indiferença mais alta que B. Se A ~ C significa que A e C estão

sob a mesma curva de indiferença. Por transitividade, deveríamos ter C em uma curva de indiferença mais alta

em relação a B, o que não ocorre, tendo em vista que C ~ B. Dada essa violação ao axioma da transitividade,

curvas de indiferença distintas se cruzam. Podemos verificar isso no gráfico a seguir:


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Resposta: FALSO

(3) A hipótese da monotonicidade é atendida. Lembre-se de que pela monotonicidade, quanto mais, melhor.


(4) Essa é exatamente a definição de convexidade estrita.



Considere um consumidor com renda R = $ 100, função utilidade U (x, y) = x.y e que se depara com os preços 𝑝𝑥

= $ 2 e 𝑝𝑦 = $ 2. Julgue as proposições:

(0) Na cesta escolhida pelo consumidor, atinge-se a curva de indiferença definida por U = 800.

(1) Se o preço do bem x cair pela metade, a quantidade demandada desse bem dobra.

(4) Na cesta pertencente à nova restrição orçamentária (x, y) = (20,40), o agente maximizador deveria trocar y

por x, pois sua taxa marginal de substituição é igual a dois, superior à taxa de troca exigida pelo mercado: 𝑝𝑥

𝑝𝑦⁄ = 0,5.

RESOLUÇÃO:

(0) A função U (x, y) = x.y representa uma Cobb-Douglas. Logo, as demandas são:

𝑥∗ =𝑅

2𝑝𝑥 𝑒 𝑦∗ =

𝑅

2𝑝𝑦

Conforme os dados apresentados no enunciado, a cesta ótima é:

𝑥∗ =100

2(2)= 25 𝑒 𝑦∗ =

100

2(2)= 25

A utilidade obtida é dada por:

𝑈 = (25)(25) = 625

Resposta: FALSO


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(1) Agora o preço de x é uma unidade monetária. A demanda passa a ser:

𝑥′ =100

2(1)= 50 = 2(25) = 2𝑥∗

De fato, quando o preço de x cai pela metade, a quantidade demandada dobra.


(4) A taxa marginal de substituição entre os bens é:


𝑈𝑚𝑔𝑦=𝑦

𝑥

Na cesta (x, y) = (20,40), temos:

|𝑇𝑀𝑆| =40

20= 2

Nessa situação, o bem x fornece um ganho de utilidade adicional duas vezes maior que y. O preço relativo 𝑝𝑥

𝑝𝑦⁄ = 1 2⁄ indica que o bem x está relativamente mais barato que y. Dessa forma, o indivíduo irá trocar o

bem y pelo bem x (relativamente mais barato e com ganho mais alto) até o ponto em que tenhamos a igualdade

entre o preço relativo e a TMS.



Com relação a uma função de utilidade com dois bens, q1 e q2, do tipo U(q1, q2) = u(q1) + q2, é correto

afirmar que:

(0) Como as curvas de indiferença são deslocamentos paralelos uma da outra, tais preferências são

homotéticas;

(1) As curvas de indiferença tocam o eixo q2 em k, em que k = U(q1, q2);

(2) A inclinação de qualquer curva de indiferença é dada por −𝑑𝑢(𝑞1)

𝑑𝑞1⁄ ;

(4) A demanda por 𝑞1 é independente da renda.

RESOLUÇÃO:

(0) A função utilidade U(q1, q2) = u(q1) + q2 representa preferências quase-lineares em relação ao bem 2.

Tais preferências NÃO são homotéticas e as curvas de indiferença não se deslocam paralelamente (como é o

caso de substitutos perfeitos, cujas curvas de indiferença são linhas retas), o que torna o item falso.

Resposta: FALSO

(1) A curva de indiferença de uma preferência quase-linear toca o eixo do bem no qual ela é quase-linear. No

caso, o bem 2.

Para encontrarmos o intercepto vertical, devemos fazer q1 = 0, por suposição 𝑢(0) = 0:

U(q1, q2) = q2


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(2) A inclinação da curva de indiferença no ponto é dada pela taxa marginal de substituição:

TMS = −Umgq1Umgq2

= −

𝑑𝑢(𝑞1)𝑑𝑞11

= −𝑑𝑢(𝑞1)

𝑑𝑞1


(4) Assumindo uma solução interior (ambos os bens com quantidade positiva), temos:

{|TMS| =

p1𝑝2→𝑑𝑢(𝑞1)

𝑑𝑞1=p1𝑝2 (1)

𝑝1𝑞1 + 𝑝2𝑞2 = 𝑅 (2)

Na equação (1), vemos que a TMS depende exclusivamente da quantidade do bem 1. Desse modo, a demanda

ótima por esse bem será função apenas dos preços relativos (não depende da renda).



Um consumidor tem preferências descritas pela função 𝑈(𝑥, 𝑦) = √𝑥 + √𝑦, sendo os preços dos bens x e y

representados por px e py e a renda por R. Diga se as afirmações que se seguem são falsas ou verdadeiras:

(0) Se 𝑝𝑥 = $ 2, 𝑝𝑦 = $ 1 e R = $ 300 então o agente maximizador de utilidade escolherá a cesta de consumo (x,

y) = (50, 200);

(1) Utilizando os valores calculados no item anterior, 𝜆 =√50

200 representa quanto aumenta o valor de U( x, y)

causado por um pequeno aumento na renda nominal disponível;

(2) A TMS (taxa marginal de substituição) será igual a x/y, que mostra que as curvas de indiferença são

estritamente convexas em relação à origem;

(3) A função demanda pelo bem y é dada pela expressão 𝑦 =1

2

𝑅

𝑝𝑦.

RESOLUÇÃO:

(0) O Lagrangeano associado ao problema de maximização da utilidade pode ser escrito como:

𝐿 = √𝑥 + √𝑦 + 𝜆(𝑅 − 𝑝𝑥𝑥 − 𝑝𝑦𝑦)

Pelas condições de primeira ordem:

{

𝜕𝐿

𝜕𝑥= 0 →

1

2√𝑥− 𝜆𝑝𝑥 = 0 (1)

𝜕𝐿

𝜕𝑦= 0 →

1

2√𝑦− 𝜆𝑝𝑦 = 0 (2)

𝜕𝐿

𝜕𝜆= 0 → px𝑥 + 𝑝𝑦𝑦 = 𝑅 (3)


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A partir das equações (1) e (2), obtemos a condição de equilíbrio:


𝑈𝑚𝑔𝑦=px𝑝𝑦→√𝑦

√𝑥=px𝑝𝑦→ 𝑦 = (

px𝑝𝑦)

2

𝑥 (4)

Substituindo (4) na restrição orçamentária:

px𝑥 + 𝑝𝑦 (px𝑝𝑦)

2

𝑥 = 𝑅 → 𝑥∗ = (𝑅

𝑝𝑥 + 𝑝𝑦)py

𝑝𝑥 (5)

Substituindo (5) em (4), encontramos a demanda pelo bem y:

𝑦∗ = (px𝑝𝑦)

2

(𝑅

𝑝𝑥 + 𝑝𝑦)py

𝑝𝑥→ 𝑦∗ = (

𝑅

𝑝𝑥 + 𝑝𝑦)px𝑝𝑦

Vamos substituir, nas demandas, as informações que o item forneceu (𝑝𝑥 = $ 2, 𝑝𝑦 = $ 1 e R = $ 300):

𝑥∗ = (300

2 + 1)1

2= 50 𝑦∗ = (

300

2 + 1)2

1= 200


(1) Já sabemos que o multiplicador de Lagrange representa a utilidade marginal da renda. Vamos obter o valor

de 𝜆. Na equação (1) do item anterior:

1

2√𝑥− 𝜆𝑝𝑥 = 0 → 𝜆 =

1

2√50(1

2) =

1

4√50=√50

200


(2) Conforme vimos no item (0):


𝑈𝑚𝑔𝑦=1/2√𝑦

1/2√𝑥=√𝑦

√𝑥

Resposta: FALSO

(3) Também de acordo com o item (0):

𝑦(𝑝𝑥 , 𝑝𝑦, 𝑅) = 𝑦∗ = (

𝑅

𝑝𝑥 + 𝑝𝑦)px𝑝𝑦

Resposta: FALSO



(0) A função u(x1, x2) = min{2x1, x2} descreve as mesmas preferências que u(x1, x2) = min {x1,1

2x2};

(1) Curvas de indiferença dadas por x2 = k – u (x1), em que k é uma constante estritamente positiva para cada

curva de indiferença, indicam que x1 e x2 são complementares perfeitos;

(2) As funções de utilidade Cobb-Douglas não geram preferências bem-comportadas;


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(3) A função u(x1, x2) = α ln(x1) + β ln(x2) apresenta curvas de indiferença com o mesmo formato da função

u(x1, x2) = 𝑥1𝛼𝑥2

𝛽;

(4) Se as preferências forem monotônicas, uma diagonal que parta da origem intercepta cada curva de

indiferença apenas uma vez.

RESOLUÇÃO:

(0) A função u(x1, x2) = min{2x1, x2} é uma transformação monotônica de z(x1, x2) = min {x1,1

2x2}, mais

precisamente, u(x1, x2) = 2z(x1, x2). Dessa forma, ambas as funções utilidade representam as mesmas

preferências (bens complementares perfeitos).


(1) Curvas de indiferença do tipo x2 = k – u (x1) representam preferências quase-lineares (e não

complementares perfeitos):

𝑈(x1, x2) = x2 + u (x1)

Resposta: FALSO

(2) As funções utilidade são o exemplo mais famoso de preferências bem comportadas.

Resposta: FALSO

(3) A função u(x1, x2) = α ln(x1) + β ln(x2) é uma transformação monotônica de z(x1, x2) = 𝑥1𝛼𝑥2

𝛽, isto é,

u(x1, x2) = ln z(x1, x2). Portanto ambas representam as mesmas preferências (Cobb-Douglas) e as curvas de

indiferença têm o mesmo formato.


(4) Segundo a propriedade da monotonicidade: quanto mais, melhor. Temos que as curvas de indiferença que

representam preferências monótonas são convexas (por exemplo, a Cobb-Douglas é estritamente monótona)

ou linhas retas (por exemplo, substitutos perfeitos).

Considere uma relação de preferência estritamente monótona e seja uma diagonal que parte da origem e

intercepta essa curva duas vezes, nos pontos x1 e x2. Sejam x3 = x2 − x1 e x4 = x1 − x2. Como x1 e x2 são

quantidades não negativas, ou x3 ou x4 será positivo.

Vamos considerar x3 positivo. Pela monotonicidade, temos:

x1 + x3 ≻ x1 → x2 ≻ x1

Temos uma contradição, pois 𝐱𝟏 e 𝐱𝟐 estão sob a mesma curva de indiferença, ou seja, 𝐱𝟏 ∼ 𝐱𝟐.

Logo, uma diagonal que parta da origem intercepta cada curva de indiferença apenas uma vez.




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As preferências de um consumidor são representadas pela seguinte função utilidade: U (x, y) = xy + 10x. Se a

sua renda mensal for igual a $ 10 e os preços unitários de x e y forem, respectivamente, px = $ 1 e py = $ 2,

avalie a veracidade das seguintes proposições:

(0) No ponto que representa a escolha do consumidor, a taxa marginal de substituição definida por 𝑇𝑀𝑆 =𝑑𝑦

𝑑𝑥|𝑉=𝑐𝑡𝑒

será igual a 1

2;

(1) Tais preferências violam o axioma da convexidade;

(2) O consumidor escolhe uma cesta cuja utilidade assume o valor de U = 100.

(3) Caso o consumidor consuma apenas o bem y, a razão entre a utilidade marginal do bem x e o seu preço é

maior do que a razão entre a utilidade marginal e o preço do bem x, indicando que, se dispusesse de mais renda,

aumentaria o consumo de y.

(4) Caso o preço do bem y aumentasse, a escolha do consumidor não se alteraria.

RESOLUÇÃO:

(0) Cuidado com essa questão.

A condição de tangência entre a curva de indiferença e a reta de restrição orçamentária vale para solução

interior (ambas as quantidades positivas). Se tivermos uma solução de canto, isso não é observado. Nós vamos

ver que, para a função U (x, y) = xy + 10x, teremos uma solução de canto.

Se tivermos uma solução interior, no ótimo:

{|𝑇𝑀𝑆| =

𝑈𝑚𝑔𝑥

𝑈𝑚𝑔𝑦 =

𝑝𝑥𝑝𝑦→𝑦 + 10

𝑥=1

2→ 𝑥 = 2𝑦 + 20 (1)

𝑝𝑥𝑥 + 𝑝𝑦𝑦 = 𝑅 → 𝑥 + 2𝑦 = 10 (2)

Vamos substituir (1) na restrição orçamentária, dada pela equação (2):

2𝑦 + 20 + 2𝑦 = 10 → 𝑦 = −10

4< 0

O que é uma contradição, pois não existe quantidade de bens negativa. Então, não podemos ter uma solução

interior. Vamos comparar as duas soluções de canto possíveis.

Caso 1: 𝑥 = 0 → 2𝑦 = 10 → 𝑦 = 5

Nessa situação, o consumidor obtém uma utilidade de: 𝑈(0,5) = (0)(5) + 10(0) = 0

Caso 2: 𝑦 = 0 → 𝑥 = 10

Nessa situação, o consumidor obtém uma utilidade de: 𝑈(10,0) = (10)(0) + 10(10) = 100

Como 𝑈(10,0) > 𝑈(0,5), a cesta demandada é (10,0).

Vejamos, agora, o valor que a taxa marginal de substituição assume nesse ponto:

|𝑇𝑀𝑆(10,0)| =𝑦 + 10

𝑥=10

10= 1 ≠

1

2

Portanto, percebemos que o item é falso. A questão tenta pegar aquelas pessoas que decoraram que no ótimo

a TMS se iguala à razão de preços. Mas nem sempre isso é verdade. E você vai tirar de letra!


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Outra forma de verificar que o consumidor gasta toda a sua renda no bem x é comparando os benefícios e

custos de cada bem.

Vamos obter a utilidade marginal de cada bem:

𝑈𝑚𝑔𝑥 = 𝑦 + 10 𝑈𝑚𝑔𝑦 = 𝑥

Dada a restrição orçamentária (que limita a quantidade máxima possível de y em 5 unidades e de x, em 10),

temos que a utilidade marginal de x é sempre maior ou igual a utilidade marginal de y.

Além disso, o bem x é relativamente mais barato que o bem y. Dessa forma, x é tanto mais barato quanto

fornece benefício marginal mais elevado que y. Assim, no ótimo, o consumidor aloca toda a sua renda no bem

x, de modo que a cesta demandada é (x, y) = (10, 0).

Uma terceira forma de resolver essa questão seria montar o Lagrangeano com as restrições de Khun-Tucker, o

que tomaria bem mais tempo.

Resposta: FALSO

(1) Pela propriedade da convexidade, as médias são preferíveis aos extremos, ou seja, o consumidor prefere a

diversificação no consumo. Nós sabemos que se as preferências são convexas, a função utilidade é quase-

côncava. Portanto, se verificarmos que a utilidade apresentada é quase-côncava, as preferências atendem o

axioma da convexidade.

Seja uma curva de nível (uma curva de indiferença) da função utilidade:

𝑥𝑦 + 10𝑥 = �̅� → 𝑦 =�̅� − 10𝑥

𝑥

Se essa função for estritamente decrescente, a função utilidade é quase-côncava. Vejamos, então:

𝑑𝑦

𝑑𝑥=−10𝑥 − �̅� + 10𝑥

𝑥2=−�̅�

𝑥2< 0

Dessa forma a função utilidade é quase-côncava e, portanto, a propriedade da convexidade é atendida.

Resposta: FALSO

(2) Vimos no item (0) que a cesta ótima é (x,y) = (10,0). Vamos substituir essa cesta na função utilidade:

𝑈(10,0) = 10(0) + 10(10) = 100


(3) Convém destacar que esse item contém um erro de digitação. Segundo o gabarito da Anpec, a afirmativa é

falsa. Dessa forma, o enunciado deveria ser:

“Caso o consumidor consuma apenas o bem y, a razão entre a utilidade marginal do bem x e o seu preço é maior

do que a razão entre a utilidade marginal e o preço do bem y, indicando que, se dispusesse de mais renda,

aumentaria o consumo de y.”

Se o consumidor gasta toda a sua renda com o bem y, a curva de indiferença é menos inclinada (mais horizontal)

que a reta de restrição orçamentária, como podemos ver no gráfico abaixo. Dessa forma:


𝑈𝑚𝑔𝑦<𝑝𝑥𝑝𝑦→𝑈𝑚𝑔𝑥

𝑝𝑥<𝑈𝑚𝑔𝑦

𝑝𝑦


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Portanto, a razão entre a utilidade marginal do bem x e o seu preço é MENOR do que a razão entre a utilidade

marginal e o preço do bem y, indicando que, se dispusesse de mais renda, aumentaria o consumo de y.

Resposta: FALSO

(4) Vimos no item (0) que o consumidor aloca toda a sua renda no consumo do bem x, pois fornece um benefício

marginal superior e é relativamente mais barato. Assim, se o preço do bem y aumenta, o consumidor continua

consumindo apenas o bem x, ou seja, a escolha não se altera.



A maximização da função utilidade 𝑈(𝑥, 𝑦) = √𝑥𝑦, sujeita à restrição xpx + ypy = R, sendo R a renda

exógena e pi, i = x, y, os preços dos bens, gera as seguintes funções de demanda Marshallianas: 𝑥(𝑝𝑥 , 𝑝𝑦, 𝑅) =1

2

𝑅

𝑝𝑥 e 𝑦(𝑝𝑥 , 𝑝𝑦, 𝑅) =

1

2

𝑅

𝑝𝑦. Avalie as assertivas:

(0) Como a demanda pelo bem x não depende do preço y, aumentos deste último não afetarão a demanda por

x, mesmo com a renda gasta integralmente com os dois bens;

(1) Quando os preços dos dois bens forem $ 2 e a renda igual a $ 4, a função utilidade indireta assume o valor

𝑉(𝑝𝑥 , 𝑝𝑦, 𝑅) = 1;

(2) O exercício de minimização do gasto min xpx + ypy, sujeito a �̅� = √𝑥𝑦, resulta em uma função demanda

compensada ou Hicksiana pelo bem x dada por ℎ𝑥(𝑝𝑥 , 𝑝𝑦 , 𝑈) =√𝑝𝑥

√𝑝𝑦𝑈;

(3) A função gasto resultante do item anterior será e(px, py, U) = 2𝑈√𝑝𝑥𝑝𝑦, expressão que indica que preços

maiores e utilidade maiores requerem gasto maior;

RESOLUÇÃO:

(0) No caso de uma utilidade Cobb-Douglas, a demanda de um bem não depende do preço do outro (os bens

são independentes). Nesse sentido, aumentos no preço de y não afetam mesmo a demanda de x.


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(1) Vamos obter as demandas quando os preços dos dois bens forem $ 2 e a renda igual a $ 4:

𝑥(2,2,4) =1

2

4

2= 1 𝑦(2,2,4) =

1

2

4

2= 1

Vamos, agora, substituir esses valores na função utilidade para obtermos a função utilidade indireta:

𝑣(𝑝𝑥 , 𝑝𝑦 , 𝑅) = 𝑢(𝑥∗, 𝑦∗) → 𝑣(2,2,4) = √(1)(1) = 1


(2) No ótimo do problema de minimização da despesa (supondo solução interior), temos:

{

|𝑇𝑀𝑆| =

𝑈𝑚𝑔ℎ𝑥𝑈𝑚𝑔ℎ𝑦

=𝑝𝑥𝑝𝑦→

12ℎ𝑥−12ℎ𝑦

12

12ℎ𝑥

12ℎ𝑦

−12

𝑝𝑥𝑝𝑦→ℎ𝑦

ℎ𝑥=𝑝𝑥𝑝𝑦→ ℎ𝑦 =

𝑝𝑥𝑝𝑦ℎ𝑥 (1)

𝑈(ℎ𝑥, ℎ𝑦) = �̅� → ℎ𝑥

12ℎ𝑦

12 = �̅� → ℎ𝑥ℎ𝑦 = �̅�

2 (2)

Substituindo a expressão (1) em (2):

ℎ𝑥𝑝𝑥𝑝𝑦ℎ𝑥 = �̅�

2 → ℎ𝑥2𝑝𝑥𝑝𝑦= �̅�2 → ℎ𝑥(𝑝𝑥 , 𝑝𝑦, �̅�) =

√𝑝𝑦

√𝑝𝑥�̅� (3)

Perceba que o item inverteu o denominador e o numerador. Então, bastante atenção!

Vamos substituir (3) em (1) e obter a demanda Hicksiana pelo bem y:

ℎ𝑦 =𝑝𝑥𝑝𝑦

√𝑝𝑦

√𝑝𝑥�̅� → ℎ𝑦(𝑝𝑥 , 𝑝𝑦, �̅�) =

√𝑝𝑥

√𝑝𝑦�̅�

Era possível resolver esse item sem ter que fazer nenhuma conta. Precisaríamos nos lembrar de que a demanda

Hicksiana atende a Lei da Demanda Compensada, ou seja, existe uma relação negativa entre preço do bem e

quantidade demandada.

O item afirmou que a demanda Hicksiana pelo bem x é ℎ𝑥(𝑝𝑥, 𝑝𝑦, 𝑈) =√𝑝𝑥

√𝑝𝑦𝑈, que indica uma relação positiva

entre preço e quantidade demandada. Portanto, o item é falso.

Resposta: FALSO

(3) Para obtermos a função despesa, devemos substituir as demandas Hicksianas na restrição orçamentária:

𝑒(𝑝𝑥 , 𝑝𝑦 , �̅�) = 𝑝𝑥ℎ𝑥(𝑝𝑥 , 𝑝𝑦 , �̅�) + 𝑝𝑦ℎ𝑦(𝑝𝑥 , 𝑝𝑦, �̅�)

𝑒(𝑝𝑥 , 𝑝𝑦, �̅�) = 𝑝𝑥√𝑝𝑦

√𝑝𝑥�̅� + 𝑝𝑦

√𝑝𝑥

√𝑝𝑦�̅� → 𝑒(𝑝𝑥 , 𝑝𝑦 , �̅�) = 2√𝑝𝑥𝑝𝑦�̅�

De fato, maiores os preços e maior a utilidade requerem um nível de gasto mais elevado.

E se você quisesse responder esse item sem ter de resolver o problema de minimização da despesa? Seria

possível? Sim! Lembra que a função despesa é a inversa da função utilidade indireta, que é dada por:


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𝑣(𝑝𝑥 , 𝑝𝑦 , 𝑅) = 𝑢(𝑥∗, 𝑦∗) =

1

2√𝑅

𝑝𝑥

𝑅

𝑝𝑦=1

2

𝑅

√𝑝𝑥𝑝𝑦

Agora, vamos substituir 𝑅 por 𝑒(𝑝𝑥 , 𝑝𝑦, �̅�), e usar o seguinte fato:

𝑣 (𝑝𝑥 , 𝑝𝑦, 𝑒(𝑝𝑥 , 𝑝𝑦 , �̅�)) = �̅�

Então:

1

2

𝑒(𝑝𝑥 , 𝑝𝑦, �̅�)

√𝑝𝑥𝑝𝑦= �̅� → 𝑒(𝑝𝑥 , 𝑝𝑦, �̅�) = 2√𝑝𝑥𝑝𝑦�̅�

Resolvendo dessa segunda forma é bem mais rápido (nem precisaríamos ter resolvido o problema de

minimização da despesa para essa questão na hora da prova).



Com relação às preferências do consumidor, indique quais das afirmações a seguir são verdadeiras e quais são

falsas:

(0) Sendo U(x, y) a função de utilidade em dois bens x e y, U(x, y) = lnx. lny representa uma função de utilidade

quase-linear.

(1) Podemos sempre extrair a transformação monotônica da função de utilidade do tipo Cobb-Douglas.

(2) Uma função de utilidade do tipo U(x, y) = (x + y)0,5 implica que x e y são bens substitutos perfeitos.

(3) Uma função de utilidade do tipo U(x, y) = x + y implica que x e y são bens complementares perfeitos.

(4) f(U) = U2 é uma transformação monotônica apenas para U positivo.

RESOLUÇÃO:

(0) Uma função utilidade é quase-linear quando é linear em um dos bens. Supondo que existem apenas os bens

x e y, uma função quase-linear pode ser representada por U(x, y) = u(x) + y (quase-linear em relação à y) ou

U(x, y) = x + u(y) (quase-linear em relação à x).

Resposta: FALSO

(1) Essa afirmação é verdadeira para qualquer função utilidade, inclusive a Cobb-Douglas. Vamos relembrar

que, com base na Teoria Ordinal da utilidade, importa apenas o ordenamento das cestas em termos da função

utilidade, e não a magnitude dos valores. Ou seja, se o consumidor prefere a cesta x à cesta y, basta que a

utilidade de x seja maior que a utilidade de y, não importando os valores assumidos. Logo, é possível aplicar

transformações monotônicas na função utilidade. A Teoria do Consumidor que estamos estudando baseia-se

na utilidade ordinal.



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(2) A função U(x, y) = (x + y)0,5 é uma transformação monotônica de Z(x, y) = x + y. Isso porque U(x, y) =

f(Z) = 𝑍0,5, de modo que f′(Z) = 0,5/𝑍0,5 > 0. Assim sendo, U(x, y) também é uma função utilidade e

representa as mesmas preferências que a utilidade original: bens substitutos perfeitos.


(3) Acabamos de ver que a função U(x, y) = x + y representa bens substitutos perfeitos. A função utilidade no

caso de complementares perfeitos pode ser escrita como U(x, y) = min{𝛼𝑥, 𝛽𝑦}, com 𝛼 e 𝛽 constantes

positivas.

Resposta: FALSO

(4) Quando f(U) = U2, temos f′(U) = 2U. Se 𝑈 < 0, então f ′(U) < 0. Assim, f(U) = U2 é uma transformação

monotônica apenas para U positivo.



Considere a função de utilidade U (X, Y) = min {X/ 2, Y} sobre o conjunto de consumo [0, ∞) × [0, ∞), sejam p, q

> 0 os preços dos bens X e Y, respectivamente, sendo r > 0 a renda do consumidor. Julgue como verdadeiros ou

falsos os itens abaixo:

(0) A demanda Marshalliana é a cesta (X, Y) dada por X = Y = r/( 2p + q).

(1) Os bens X e Y são substitutos perfeitos.

(2) Se o consumidor quiser atingir o nível de utilidade u̅, então o menor gasto que deverá efetuar é E(p, q, u̅) =

(2p + q )u̅ .

(3) A demanda Hicksiana (compensada) por cada bem é independente dos respectivos preços.

RESOLUÇÃO:

(0) A utilidade U (X, Y) = min {X/ 2, Y} representa bens complementares perfeitos. Nesse caso, o ótimo se dá em

um vértice da curva de indiferença que satisfaz a reta orçamentária:

{

X

2= Y (1)

𝑝𝑋 + 𝑞𝑌 = 𝑟 (2)

Substituindo (1) na restrição orçamentária:

𝑝𝑋 + 𝑞X

2= 𝑟 → (

2𝑝 + 𝑞

2)𝑋 = 𝑟 → 𝑋(𝑝, 𝑞, 𝑟) =

2𝑟

2𝑝 + 𝑞 (3)

Substituindo (3) em (1), obtemos a demanda pelo bem Y:

𝑌(𝑝, 𝑞, 𝑟) =𝑟

2𝑝 + 𝑞

Como 𝑋(𝑝, 𝑞, 𝑟) ≠ 𝑌(𝑝, 𝑞, 𝑟), o item é falso.

Note que você poderia ter resolvido esse item sem fazer conta alguma.


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Com base na utilidade U (X, Y) = min {X/ 2, Y}, no ponto ótimo sabemos que X/ 2 = Y. Desse modo, claramente

X ≠ Y.

Resposta: FALSO

(1) Os bens são complementares perfeitos. A função utilidade que representa bens substitutos perfeitos é uma

linha reta.

Resposta: FALSO

(2) O problema de minimização da despesa do consumidor pode ser escrito como:

minℎ𝑋,ℎ𝑌

𝑝ℎ𝑋 + 𝑞ℎ𝑌 𝑠. 𝑎. min {ℎ𝑋2, ℎ𝑌} = �̅�

Pela restrição desse problema, temos:

ℎ𝑋2= ℎ𝑌 = �̅� → ℎ𝑋(𝑝, 𝑞, �̅�) = 2�̅� 𝑒 ℎ𝑌(𝑝, 𝑞, �̅�) = �̅�

Para obter a função despesa (menor custo para obter �̅�), devemos substituir as demandas Hicksianas na reta

isocusto:

𝐸(𝑝, 𝑞, �̅�) = 𝑝ℎ𝑋 + 𝑞ℎ𝑌 → 𝐸(𝑝, 𝑞, �̅�) = 𝑝(2�̅�) + 𝑞(�̅�) → 𝐸(𝑝, 𝑞, �̅�) = (2𝑝 + 𝑞)�̅�


(3) Vimos no item (2) que as demandas Hicksianas de cada bem dependem apenas de �̅�, ou seja, não dependem

dos preços.



Um consumidor possui utilidade quase-linear U(x,y) = ln(x) + y, em que ln(x) denota o logaritmo natural de X. O

preço do bem X é p > 0 e o do bem Y é q > 0. Denote por r > 0 a renda do consumidor. Julgue como verdadeiros

ou falsos os itens a seguir:

(3) A utilidade do consumidor é homotética.

(4) Seja e(p, q, uo) a função-dispêndio aos preços (p,q) e nível de utilidade uo. Se p/q > exp(−uo), em que

exp() denota a exponencial de , então e(p, q, uo) = q(1 + uo + ln(p/q)) .

RESOLUÇÃO:

Sempre falo da importância de “bater o olho” na função utilidade e identificar as preferências que estão sendo

representadas. A função U(x,y) = ln(x) + y refere-se a uma preferência quase-linear em relação a y.

Vejamos, agora, a resolução dos itens.

(3) Importante você saber que preferências quase-lineares não são exemplos de funções homotéticas.

Vamos ver o porquê. Preferências homotéticas são representadas por funções utilidade homogêneas, mais

precisamente homogêneas de grau 1:


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u(λ x) = λ u(x) ∀ λ > 0

No caso da utilidade apresentada no enunciado:

U(λ x, λ y) = ln(λ x) + λ y ≠ λ U(x, y)

Temos, portanto, que a utilidade do consumidor não é uma função homogênea, de modo que não seja

homotética.

Poderíamos responder o item de outra forma: usando o fato de que no caso de preferências homotéticas, a

taxa marginal de substituição depende apenas das quantidades relativas de ambos os bens e é uma função

homogênea de grau zero:

TMS(y, x) = TMS(αy, αx) ∀ α > 0

Com base na função U(x,y) = ln(x) + y, temos:

|TMS(y, x)| =Umgx

Umgy=1

x

Percebemos que a TMS depende apenas da quantidade do bem x. Vamos verificar, se ela se trata de uma função

homogênea de grau zero:

|TMS(y, x)| =1

x≠ TMS(αy, αx) =

1

αx

Como a TMS não é homogênea de grau zero, acabamos de mostrar que a utilidade não é homotética.

Resposta: FALSO

(4) A função dispêndio representa o gasto mínimo que o consumidor faz para obter certo nível de utilidade.

Para obtê-la, devemos substituir as demandas Hicksianas (solução do problema de minimização da despesa)

na reta orçamentária.

Então vamos resolver o problema de minimização da despesa:

minx,y 𝑝𝑥 + 𝑞𝑦 𝑠. 𝑎. 𝑈(𝑥, 𝑦) = 𝑢0

O Lagrangeano desse problema é dado por:

𝐿 = 𝑝𝑥 + 𝑞𝑦 + 𝜆(𝑢0 − ln(𝑥) − 𝑦)

Ao simplificarmos as condições de primeira ordem (𝜕𝐿

𝜕𝑥= 0,

𝜕𝐿

𝜕𝑦= 0,

𝜕𝐿

𝜕𝜆= 0), obtemos:

{


𝑈𝑚𝑔𝑦=𝑝

𝑞→1

𝑥=𝑝

𝑞→ 𝑥 =

𝑞

𝑝

ln(𝑥) + 𝑦 = 𝑢0 → ln (𝑞

𝑝) + 𝑦 = 𝑢0 → 𝑦 = 𝑢0 − ln (

𝑞

𝑝)

Se 𝑢0 − ln (𝑞

𝑝) > 0, teremos uma solução interior. Essa condição pode ser escrita como:

𝑢0 − ln (𝑞

𝑝) > 0 → 𝑢0 − (ln 𝑞 − ln 𝑝) > 0 → 𝑢0 − ln 𝑞 + ln𝑝 > 0 → − ln 𝑞 + ln𝑝 > −𝑢0 → ln (

𝑝

𝑞) > −𝑢0


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𝑝

𝑞 > exp(−𝑢0)

O enunciado da questão faz uma afirmação quanto a função dispêndio na situação em que temos solução

interior: ℎ𝑥 =𝑞

𝑝 e ℎ𝑦 = 𝑢0 − ln (

𝑞

𝑝). Vamos substituir essas demandas Hicksianas na reta orçamentária e obter

a função despesa:

e(p, q, uo) = phx + 𝑞ℎ𝑦

e(p, q, uo) = p (𝑞

𝑝) + 𝑞 [𝑢0 − ln (

𝑞

𝑝)] → e(p, q, uo) = q [1 + 𝑢0 − ln (

𝑞

𝑝)]

e(p, q, uo) = q[1 + 𝑢0 − (ln 𝑞 − ln 𝑝)] → e(p, q, uo) = q [1 + 𝑢0 + ln (𝑝

𝑞)]

Portanto, o item é verdadeiro.

Importante destacar que é possível responder esse item sem ter de resolver o problema de minimização da

despesa. Para isso, deveríamos usar a relação existente entre a função dispêndio e a função utilidade indireta

(função valor associada ao problema de maximização de utilidade).

A função utilidade indireta e a função dispêndio são inversas uma da outra:

𝑣(𝑝, q, 𝑒(𝑝, q, 𝑢0)) = 𝑢0



Seja um consumidor com função de utilidade dada por U = X2 + Y2, em que X é a quantidade consumida de

entradas de cinema e Y é a quantidade consumida de pizzas. Com relação a este consumidor, verifique quais

das seguintes afirmações são verdadeiras e quais são falsas:

(0) A taxa marginal de substituição deste consumidor é X/Y.

(1) A cesta (X = 2, Y = 1) e a cesta (X = 1, Y = 2) se encontram sobre a mesma curva de indiferença.

(2) As curvas de indiferença do consumidor são estritamente convexas entre as cestas (X = 2, Y = 1) e (X = 1, Y =

2).

(3) X e Y são substitutos perfeitos.

(4) O bem Y é um mal.

RESOLUÇÃO:

(0) Podemos obter a taxa marginal de substituição de um consumidor por meio da razão entre as utilidades

marginais dos bens:


𝑈𝑚𝑔𝑦=2𝑋

2𝑌=𝑋

𝑌



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(1) Para verificar se as duas cestas situam-se sobre a mesma curva de indiferença, devemos obter o valor da

utilidade associado a cada uma delas.

U(2,1) = (2)2 + (1)2 = 5

U(1,2) = (1)2 + (2)2 = 5

As duas cestas fornecem o mesmo nível de satisfação, U(2,1) = U(1,2), assim ambas estão sobre a mesma

curva de indiferença.


(2) No caso de preferências convexas, as médias são preferíveis aos extremos. Em sua versão estrita, a

convexidade nos diz que se y ≽ x, z ≽ x e y ≠ z, então 𝛼𝑦 + (1 − 𝛼)𝑧 ≻ x para todo 𝛼 ∈ (0,1).

Vamos obter uma média ponderada entre as cestas (X = 2, Y = 1) e (X = 1, Y = 2), com 𝛼 = 0,5. Obtemos a cesta:

(𝑋 = 0,5(2) + 0,5(1), 𝑌 = 0,5(1) + 0,5(2)) = (X = 1,5, Y = 1,5)

Vejamos qual a utilidade obtida com essa cesta:

U(1,5; 1,5) = (1,5)2 + (1,5)2 = 4,5

Como o nível de satisfação obtido com a cesta (X = 1,5, Y = 1,5) é inferior do que o que o consumidor aufere

com as cestas (X = 2, Y = 1) e (X = 1, Y = 2), temos que a hipótese da convexidade foi violada.

Resposta: FALSO

(3) Muito cuidado, hein! Essa função utilidade aparenta ser do tipo substitutos perfeitos, mas não é.

Uma função utilidade que representa bens substitutos perfeitos tem a forma:

U(𝑋, 𝑌) = aX + bY, a, b > 0

Vale destacar que transformações monotônicas dessa função também são funções utilidade e representam

bens substitutos perfeitos.

Resposta: FALSO

(4) Um bem é classificado como um mal quando aumentos na quantidade consumida reduzem a satisfação do

indivíduo. Nesse sentido, os males têm utilidade marginal negativa.

Vejamos a utilidade marginal de Y:

𝑈𝑚𝑔𝑦 = 2𝑌 ≥ 0

Dessa forma, Y NÃO é um mal.

Resposta: FALSO


Considere a Teoria da Utilidade para responder quais das afirmações a seguir são verdadeiras e quais são falsas:

(0) Todos os tipos de preferências podem ser representados pela função de utilidade.


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(1) Sejam dois bens, X e Y. A uma função de utilidade dada por U(X, Y) = XY corresponde uma curva de

indiferença típica dada por Y = cX, em que c é uma constante.

(2) Se dois bens (A e B) forem substitutos perfeitos, pode-se, em geral, representar sua função de utilidade na

forma U(A, B) = c1A + c2B, em que c1 e c2 são constantes positivas.

(3) A inclinação de uma curva de indiferença típica da função de utilidade U(A, B) = c1A + c2B, em que c1 e

c2 são constantes positivas, é - c1/c2.

(4) A transformação monotônica de uma função de utilidade não altera a taxa marginal de substituição (TMS),

porque a TMS é medida ao longo de uma curva de indiferença, e a utilidade permanece constante ao longo da


RESOLUÇÃO:

(0) Em primeiro lugar, cuidado com questões com palavras tipo: “todo”, “nenhum”, “sempre”, “nunca”. Elas

tendem a ser falsas, mas em algumas vezes serão verdadeiras. Então, é bom ter cuidado.

Nem toda relação de preferência pode ser representada por uma função utilidade. Vimos que uma relação de

preferência pode ser representada por uma função utilidade somente se for racional. Mas cuidado aí: nem toda

relação de preferência racional pode ser representada por uma função utilidade (exemplo: preferências

lexicográficas).

Também vimos que a continuidade da relação de preferência é suficiente para a existência de uma função

utilidade que a represente. Mais ainda, a continuidade da relação de preferência garante a existência de uma

função utilidade contínua.

Resposta: FALSO

(1) A função utilidade U(X, Y) = XY representa uma Cobb-Douglas. Uma curva de indiferença é representada

por uma curva de nível da função utilidade. Assim:

U(X, Y) = c → XY = c → Y =c

X, c é uma constante

Resposta: FALSO

(2) De fato, a função utilidade U(A, B) = c1A + c2B representa bens substitutos perfeitos. Qualquer

transformação monotônica dessa função também será uma utilidade representando as mesmas preferências.


(3) A inclinação de uma curva de indiferença num ponto é dada pela taxa marginal de substituição naquele

ponto. Assim, a inclinação de uma curva de indiferença associada à função utilidade U(A, B) = c1A + c2B é:

𝑇𝑀𝑆 = −𝑈𝑚𝑔𝐴

𝑈𝑚𝑔𝐵= −

𝑐1𝑐2


(4) Importante você saber que a transformação monotônica de uma utilidade é também uma função utilidade

e representa as mesmas preferências que a função utilidade original. Nesse sentido, aplicar uma transformação

monotônica não altera a curva de indiferença, não altera a TMS, e também não altera o sinal da utilidade

marginal dos bens.


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Fim da nossa aula de hoje! Aguardo a sua presença em nossa próxima aula!

Saudações,

Prof. Natália França

Lista de questões


Um consumidor possui a função utilidade cardinal dada por 𝑈(𝑥1, 𝑥2) = 𝑥1𝑥2. Sejam 𝑀 a renda deste

consumidor e 𝑝1 e 𝑝2, os preços:

(0) ceteris paribus, as quantidades ótimas escolhidas por tal consumidor seriam alteradas se a função utilidade

fosse 𝑈(𝑥1, 𝑥2) = 4 + 5(𝑥1𝑥2);

(1) as preferências do consumidor são convexas;

(3) os dois bens são substitutos perfeitos;

(4) a utilidade marginal da renda é dada por 𝑀/(2𝑝1𝑝2).


A figura abaixo mostra as curvas de indiferença de um consumidor e a direção na qual a utilidade deste

consumidor aumenta.

São corretas as afirmativas:

(0) Existe saciedade.

(1) O indivíduo gosta da diversificação.


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(2) O bem 1 é indesejável.

(3) No equilíbrio, o indivíduo só consome um tipo de bem.

(4) A utilidade marginal do bem 2 é não-negativa.


Seja u(D,M) a função de utilidade de um indivíduo, em que D é o número de unidades de um bem doméstico e

M é o número de unidades de um bem importado. A função de utilidade é uma Cobb-Douglas. Sabe-se que, se

a taxa de substituição econômica de bens importados por domésticos for 0,5, o indivíduo consumirá a mesma

quantidade dos dois bens, em equilíbrio. Pede-se: qual é a taxa marginal de substituição de M por D se a cesta

de consumo é (D, M) = (50, 200)?


Dispondo de renda M, um consumidor deve escolher entre os bens X e Y, cujas quantidades e preços são

representadas, respectivamente, por x e y e px e py. Julgue as afirmativas:

(0) Se sua função de utilidade for U(x, y) = min{x, 4y}, a função demanda de X será x =𝑀

𝑝𝑥+𝑝𝑦

4

.

(1) Se sua função de utilidade for U(x, y) = x + 4y, o consumidor se especializará no consumo de Y, caso 𝑝𝑥

𝑝𝑦<

1

4.

(4) Se sua função de utilidade for U(x, y) = x + ln(𝑦), cœteris paribus, um aumento de renda não provocará

alteração no consumo de X.


Com base na teoria das preferências, avalie as afirmativas:

(0) Se as preferências entre dois bens para um consumidor são completas, reflexivas, transitivas e monotônicas,

então o módulo da taxa marginal de substituição será decrescente ao longo de suas curvas de indiferença.

(1) Se U(x, y) = 100 + 3 min{x, 2y} for a função de utilidade de um consumidor, as preferências deste serão

convexas.

(2) Se as preferências de um consumidor são transitivas, isso implica que este prefere mais bens do que menos.

(3) Um indivíduo com preferências estritamente côncavas entre dois bens especializa-se no consumo de um

dos bens.

(4) 𝑈(𝑥, 𝑦) = √𝑥𝑦3 é a função de utilidade do consumidor A e 𝑈(𝑥, 𝑦) = 𝑥2𝑦2 + 100 é a função de utilidade do

consumidor B. Caso os dois tenham a mesma renda, suas cestas de consumo serão idênticas.



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Com relação às preferências do consumidor, julgue as afirmativas:

(0) A monotonicidade das preferências do consumidor exige que, dadas duas cestas (𝑥0, 𝑦0) e (𝑥1, 𝑦1), com

𝑥0 ≤ 𝑥1 e 𝑦0 < 𝑦1, então (𝑥1, 𝑦1) ≻ (𝑥0, 𝑦0) em que ≻ denota a preferência estrita.

(1) Se excluirmos os bens classificados como “males”, as curvas de indiferença terão inclinação negativa.

(2) Monotonicidade e preferências não convexas definem preferências bem-comportadas.

(3) Se o consumidor apresenta preferências não convexas, dadas duas cestas A e B com quantidades diferentes

dos mesmos bens x e y, ele prefere uma cesta que contenha média ponderada das quantidades contidas nas

cestas A e B a qualquer uma das cestas A ou B.

(4) Uma lanchonete oferece quatro tipos de sucos: laranja, melão, manga e uva. Um consumidor considera suco

de uva pelo menos tão bom quanto de melão, suco de laranja pelo menos tão bom quanto de manga, suco de

melão pelo menos tão bom quanto de laranja e suco de uva pelo menos tão bom quanto de manga. Esse

consumidor também considera suco de uva pelo menos tão bom quanto de laranja e suco de melão pelo menos

tão bom quanto o de manga. Tal consumidor apresenta preferências completas e transitivas.


Sendo U(x,y) a função que representa a utilidade atribuída por um consumidor a uma cesta (x,y) qualquer,

julgue as proposições:

(0) Se U(x, y) = Axαyβ, sendo α e β dois números positivos, as preferências do consumidor não são bem-

comportadas.

(2) Se U (x, y) = min{x, 2y} , a utilidade auferida pelo consumo de uma unidade de x e ¼ de unidade de y é menor

do que a auferida por meia unidade de x e duas unidades de y.

(3) Se U(x, y) é uma função de utilidade do tipo Cobb-Douglas, o consumidor gasta uma proporção fixa de sua

renda com x.

(4) Se U(x, y) = √𝑥 + 𝑦 e se a demanda pelo bem x é interior, então a demanda do bem x não varia localmente

com a renda.


Um consumidor tem a função de utilidade u (x, y) = xαy1−𝛼, com 0 < α < 1, em que x é a quantidade do

primeiro bem e y a do segundo. Os preços dos bens são, respectivamente, p e q, e m é a renda do consumidor.

Julgue as afirmações:

(0) A demanda do consumidor pelo primeiro bem será 𝑥 = 𝑚 𝑝⁄ .

(1) A demanda do consumidor pelo segundo bem será 𝑦 =(1 − 𝛼)𝑚

𝛼𝑞⁄ .

(2) Se m = 1000, 𝛼 = 1/4 e q = 1, então o consumidor irá adquirir 250 unidades do segundo bem.


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Considere uma função de utilidade Cobb-Douglas 𝑈 = 𝑞1𝛼𝑞2

1−𝛼. Julgue as afirmativas abaixo:

(0) A demanda Hicksiana pelo bem 1 tem a forma 𝑞1 = �̅�[𝑝1𝜌+ 𝑝2

𝜌]1𝜌⁄ , p = 0,75.

(2) A demanda Marshalliana pelo bem 1 tem a forma 𝑞1 = 𝐴𝑝11−𝛼𝑝2

𝛼−1𝑊, em que A é uma função de 𝛼 e em

que W é a renda do consumidor.


Julgue as seguintes afirmações:

(0) Um indivíduo consome apenas dois produtos, X e Y, e possui curvas de indiferença sobre estes produtos

bem comportadas (isto é, estritamente convexas e estritamente monotônicas). Se ele é indiferente entre as

cestas (1,3) e (3,1), então a cesta (2,2) deve ser estritamente preferida a qualquer uma das outras.


Suponha que há dois bens. O primeiro bem é infinitamente divisível, ou seja, pode ser consumido em qualquer

quantidade x ≥ 0, e o segundo é um bem indivisível, podendo ser consumido apenas nas quantidades y = 0 ou

y = 1. O preço do bem divisível é p = 10 e o do bem indivisível é q = 30. O consumidor tem renda M = 60 e sua

função de utilidade é definida por u(x,0) = x/2 e u(x,1) = 2x – 4. Julgue as afirmativas a seguir:

(0) A quantidade do bem divisível que deixa o consumidor indiferente entre consumir ou não o bem indivisível

é 𝑥0 = 4/3;

(1) A demanda Marshalliana é (x*,y*) = (6,0);

(3) Suponha que o preço do bem divisível ainda é p = 10. Se a renda do consumidor sobe para M’ = 70, então a

demanda Marshalliana é (x**, y**) = (4,0);


Com respeito a critérios de decisão, relações de preferência e funções de utilidade, julgue as questões a seguir:

(0) Seja 𝑢(𝑥, 𝑦) uma utilidade homotética. Suponha que 𝑢(𝑥0, 𝑦0) = 𝑢(𝑥1, 𝑦1), em que (𝑥0, 𝑦0) e (𝑥1, 𝑦1) são

duas cestas dadas, e seja t > 0 um escalar positivo. Então 𝑢(𝑡𝑥0, 𝑡𝑦0) = 𝑢(𝑡𝑥1, 𝑡𝑦1);

(1) Seja 𝑢(𝑥, 𝑦) uma utilidade homotética e seja t > 0 um escalar positivo. Denote por 𝑇𝑀𝑔𝑆𝑢(𝑥, 𝑦) a taxa

marginal de substituição da utilidade u na cesta (x, y). Então 𝑇𝑀𝑔𝑆𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑇𝑀𝑔𝑆𝑢(𝑡𝑥, 𝑡𝑦);

(2) Seja ≿ uma relação de preferência monotônica e contínua sobre ℝ+2 e suponha que 𝑢 e 𝑈 são duas funções

numéricas que representam a relação de preferência ≿. Suponha que u(x, y) < U(x, y), para qualquer cesta

(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ+2 . Se 𝑇𝑀𝑔𝑆𝑢(𝑥, 𝑦) e 𝑇𝑀𝑔𝑆𝑈(𝑥, 𝑦) denotam a taxa marginal de substituição da função u e U,

respectivamente, na cesta (x,y), então 𝑇𝑀𝑔𝑆𝑢(𝑥, 𝑦) > 𝑇𝑀𝑔𝑆𝑈(𝑥, 𝑦), para qualquer cesta (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ+2 ;


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(3) Considere a função de utilidade u(x, y) = min{2x+ y, x+2y}, em que x denota a quantidade do bem 1 e y a

quantidade do bem 2. Então os bens 1 e 2 são complementares perfeitos;

(4) Considere a relação binária ≿ sobre ℝ+2 definida por (x, y) ≿ (z, w) se, e somente se, 𝑥 ≥ 𝑧 e 𝑦 ≤ 𝑤. Então ≿

é uma relação transitiva e reflexiva, mas não é estritamente monotônica.


Considere a seguinte função de utilidade 𝑢(𝑥, 𝑦) = −1

𝑥−1

𝑦, em que x denota a quantidade do bem 1 e y a

quantidade do bem 2. Denote por 𝑃𝑥 o preço do bem 1, por 𝑃𝑦 o preço do bem 2 e por R a renda do consumidor.

Responda V ou F às seguintes alternativas:

(0) A demanda pelo bem 2 é y(Px, Py, R) =𝑅

𝑃𝑦+√𝑃𝑥𝑃𝑦.

(1) A utilidade indireta é dada por V(Px, Py, R) = −𝑃𝑥+𝑃𝑦+√𝑃𝑥𝑃𝑦

2𝑅.

(3) A função demanda hicksiana (ou compensada) pelo bem 1 é ℎ𝑥(𝑃𝑥 , 𝑃𝑦, 𝑢0) = −√𝑃𝑥+√𝑃𝑦

√𝑃𝑦𝑢0.


Com relação ao comportamento dos gastos do consumidor, pode-se afirmar que:

(0) Um consumidor com função de utilidade U(X, Y) = X4 Y1 gastará $20 de cada renda de $100 na aquisição

do bem Y.

(1) No processo de maximização de utilidade, o valor do Multiplicador de Lagrange equivale à utilidade marginal

da renda.

(3) No caso da função de utilidade U(X, Y) = −𝑥−2

2−𝑦−2

2, as preferências do consumidor não permitem a

agregação de demandas individuais para a definição de demanda do mercado (isto é, refletem uma função de

utilidade não homotética).


(0) A função dispêndio E(p,U) é a função valor associada ao problema de minimização do dispêndio,

condicionado a determinado nível de utilidade �̅� que o consumidor deseja alcançar. As seguintes propriedades

são válidas para essa função: homogeneidade do grau zero nos preços dos produtos, não decrescente nos

preços de cada produto 𝑝𝑖, crescente em U e côncava nos preços.

(1) Sabendo que a função de utilidade indireta de um consumidor é dada por: 𝑉(𝑝1, 𝑝2, 𝑅) =𝑅

2𝑝10,5𝑝2

0,5 é possível

afirmar que a função dispêndio associada a essas preferências é dada por: 𝐸(𝑝1, 𝑝2, 𝑈) = 2𝑝10,5𝑝2

0,5𝑈.


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(2) Sabendo que as preferências de um consumidor são representadas pela relação binária descrita abaixo, na

qual a cesta x é fracamente preferível à cesta y se e somente se: 𝑥 ≽ 𝑦 ⇔ 𝑥1 > 𝑦1, ou 𝑥1 = 𝑦1 e 𝑥2 ≥ 𝑦2, é

possível afirmar que essas preferências são completas, transitivas e contínuas.

(4) Um consumidor tem suas preferências pelos bens 𝑥 e 𝑦 representadas pela seguinte função utilidade:

𝑈:𝑅2 → 𝑅,𝑈(𝑥, 𝑦) = −[(𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 3)2]. Essas preferências exibem ponto de saciedade global na cesta

(0,0).


Sobre a Teoria do Consumidor, assinale Verdadeiro ou Falso nas alternativas abaixo:

(0) A hipótese de convexidade das preferências equivale à hipótese de taxa marginal de substituição

decrescente.

(1) Para preferências homotéticas a taxa marginal de substituição depende somente da razão consumida entre

as quantidades dos dois bens e não das quantidades totais de cada bem.

(2) Um consumidor representativo de determinada comunidade com hábitos particulares tem preferências

representadas por 𝑈 = 𝑈𝑡(𝑥𝑡∗, 𝑦) com 𝑥𝑡

∗ = 𝑥𝑡 − 𝑥𝑡−1. Para esse tipo de preferências, coeteris paribus, quanto

mais consumo passado o indivíduo escolher do bem x, menor será o consumo atual escolhido.

(3) Suponha uma estrutura de preferências representada pela seguinte função utilidade: 𝑈(𝑥, 𝑦) = √𝑥𝑦. Agora

suponha que o consumidor está diante de cestas de consumo que geram um nível de utilidade = 10. Neste

contexto, a taxa marginal de substituição para a cesta (5,20) é igual a 1/4.

(4) No ponto de escolha ótima do consumidor, o Multiplicador de Lagrange associado ao problema de

otimização condicionada da utilidade pode ser interpretado como a utilidade marginal da renda.


As afirmativas abaixo se referem à teoria do consumidor. Denomine de R a renda monetária exógena do

consumidor, x1 a quantidade consumida do bem 1, x2 a quantidade consumida do bem 2, p1 o preço do bem 1

e p2 o preço do bem 2. Assinale Falso ou Verdadeiro:

(0) Se U(x1, x2) = (x1x2)2, então a cesta ótima escolhida pelo consumidor é dada por: x1

∗ =1

2

𝑅

𝑝12, x2

∗ =1

2

𝑅

𝑝22.

(1) Se a função utilidade do consumidor é dada por: U(x1, x2) = max (𝑥1

2

𝑥2

3), p1 = 2 e p2 = 3 , então a cesta

ótima escolhida pelo consumidor é dada por: x1∗ =

𝑅

2, x2∗ =

𝑅

3.

(2) Se U(x1, x2) = min{4x12 , 9x2

2}, a cesta ótima é dada por: x1∗ =

2𝑅

3p1 + 2p2, x2∗ =

3𝑅

3p1 + 2p2.

(3) Se U(x1, x2) = ln 𝑥1 + 𝑥2 e supondo solução interior, a cesta ótima escolhida pelo consumidor é dada por:

x1∗ =

𝑝1

p2, x2∗ =

𝑅−𝑝1

p2.


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(4) Se U(x1, x2) = 𝑥1 + 2𝑥2, então pode-se dizer que este consumidor substitui uma unidade do bem 1 por 2

unidades do bem 2.


Com relação à racionalidade das escolhas dos consumidores e seus impactos sobre o nível de bem-estar,

observa-se que (assinale falso ou verdadeiro):

(0) Suponha que o consumidor só pode consumir quantidades não negativas dos bens e possui preferências

representadas pela seguinte função utilidade: U(x1, x2 ) = – x1 x2. Pode-se afirmar que as preferências desse

consumidor satisfazem às propriedades de monotonicidade e convexidade.


Considere a função utilidade 𝑈 = 𝑥1𝑥2. Assuma que o indivíduo recebe uma renda fixa “d” e que os preços dos

dois bens são p1 e p2. Julgue as seguintes afirmativas:

(0) As curvas de nível dessa função utilidade têm o formato de hipérboles retangulares.

(1) Para qualquer nível de preços dado a quantidade total gasta com 𝑥1 é diferente da quantidade total

despendida com 𝑥2.

(2) A relação 𝑝2𝑥2 = 𝑝1𝑥1mantém-se para todos os pontos da restrição orçamentária.

(4) A função utilidade indireta derivada tem a seguinte forma: 𝑉(𝑝1, 𝑝2, 𝑑) =𝑑2

4𝑝1𝑝2.


Em relação à curva de demanda compensada, indique quais das afirmações abaixo são verdadeiras e quais são

falsas:

(1) Sempre pode ser encontrada a partir da diferenciação da função de gasto total do consumidor em relação

ao preço do bem.

(2) Ela difere da função de demanda hicksiana porque esta última não mantém a utilidade constante.

(3) Possui inclinação negativa.


A respeito das funções utilidades e seus vários formatos, podemos afirmar:

(0) Para um consumidor individual com uma função utilidade na forma U (x, y) = xα yβ; α + β = 1 a

participação dos bens no orçamento individual muda sempre que ocorrer variações nos preços relativos de x e

y.


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(1) Um consumidor que assume uma função utilidade na forma U (x, y) = (x – x0)α . (y – y0)

β; α + β = 1

sempre vai adquirir no mínimo a quantidade (x0, y0) dos dois bens.

(2) Na função utilidade U (x, y) = (x – x0)α . (y – y0)

β; α + β = 1 a participação de um dos bens no

orçamento doméstico independe da quantidade mínima requerida de cada bem.

(3) A função U (x, y) = min(αx, βy); α, β > 0 é tal que pessoas que se comportam segundo essa função estão

dispostas a dar a mesma quantidade de y por uma unidade adicional de x, não importando quanto de x já tenha

sido consumido.


A respeito das relações de preferências da teoria do consumidor é possível afirmar:

(0) Se x ≥ y e x ≠ y, então a cesta de bens x possui no mínimo as mesmas quantidades de cada bem da cesta y.

(1) Relações binárias transitivas e reflexivas são relações de preferências.

(2) Se a relação de preferência é transitiva, então necessariamente a relação de indiferença também é

transitiva.

(3) Relações de preferência simétricas e irreflexivas são transitivas.

(4) A preferência lexicográfica é uma relação de preferência porque é completa, transitiva, contínua e reflexiva.


Um consumidor tem uma função utilidade Cobb-Douglas convencional tal que U (x, y) = xα yβ; α + β = 1.

Avalie as afirmações abaixo:

(0) Esse consumidor sempre alocará um percentual α de sua renda para comprar o bem x.

(1) Suponha que a renda do consumidor seja de b = R$ 2,00 e que os preços vigentes dos bens no mercado sejam

𝑝x = 0,25 e 𝑝y = 1. Agora suponha que o consumidor aloca sua renda igualmente entre os dois bens, então sua

escolha ótima deve ser x = 1 e y = 4.

(3) Considerando a renda do consumidor como b, então o consumo ótimo do bem y é tal que 𝑦∗ = 𝛽 (𝑏 𝑝𝑦⁄ ).



(0) A existência de um bem neutro viola o axioma da monotonicidade, a existência de bens substitutos perfeitos

viola o axioma da convexidade estrita e a existência de preferências lexicográficas viola o axioma de

continuidade.


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(1) Para a função utilidade 𝑈(𝑥, 𝑦) = (𝑥𝜌 + 𝑦𝜌)1

𝜌, as taxas marginais de substituição (TMS) nas cestas (2,3) e

(4,6) são idênticas.

(2) Sejam três cestas de bens: A, B e C. Se, para um consumidor temos que A ≻ B, A ~ C e C ~ B, então para este

consumidor se aplica o princípio de que duas curvas de indiferença não se cruzam.

(3) Sejam dois bens x e y, em que nenhum deles é um mal. Se tivermos duas cestas com quantidades

estritamente positivas destes dois bens (x1, y1) e (x2, y2), sendo que x2 ≥ x1 e y2 > y1, então, pela hipótese da

monotonicidade das preferências, temos que: (x2, y2) ≻ (x1, y1).

(4) Supondo que não existem males, a hipótese de convexidade estrita implica que, se houver duas cestas A e

B, com A ~ B, para uma cesta C definida como tA + (1 – t) B, 0 < t < 1, é necessariamente verdade que C ≻ A e C

≻ B.


Considere um consumidor com renda R = $ 100, função utilidade U (x, y) = x.y e que se depara com os preços 𝑝𝑥

= $ 2 e 𝑝𝑦 = $ 2. Julgue as proposições:

(0) Na cesta escolhida pelo consumidor, atinge-se a curva de indiferença definida por U = 800.

(1) Se o preço do bem x cair pela metade, a quantidade demandada desse bem dobra.

(4) Na cesta pertencente à nova restrição orçamentária (x, y) = (20,40), o agente maximizador deveria trocar y

por x, pois sua taxa marginal de substituição é igual a dois, superior à taxa de troca exigida pelo mercado: 𝑝𝑥

𝑝𝑦⁄ = 0,5.


Com relação a uma função de utilidade com dois bens, q1 e q2, do tipo U(q1, q2) = u(q1) + q2, é correto

afirmar que:

(0) Como as curvas de indiferença são deslocamentos paralelos uma da outra, tais preferências são

homotéticas;

(1) As curvas de indiferença tocam o eixo q2 em k, em que k = U(q1, q2);

(2) A inclinação de qualquer curva de indiferença é dada por −𝑑𝑢(𝑞1)

𝑑𝑞1⁄ ;

(4) A demanda por 𝑞1 é independente da renda.


Um consumidor tem preferências descritas pela função 𝑈(𝑥, 𝑦) = √𝑥 + √𝑦, sendo os preços dos bens x e y

representados por px e py e a renda por R. Diga se as afirmações que se seguem são falsas ou verdadeiras:


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(0) Se px = $ 2, py = $ 1 e R = $ 300 então o agente maximizador de utilidade escolherá a cesta de consumo (x,

y) = (50, 200);

(1) Utilizando os valores calculados no item anterior, 𝜆 =√50

200 representa quanto aumenta o valor de U( x, y)

causado por um pequeno aumento na renda nominal disponível;

(2) A TMS (taxa marginal de substituição) será igual a x/y, que mostra que as curvas de indiferença são

estritamente convexas em relação à origem;

(3) A função demanda pelo bem y é dada pela expressão 𝑦 =1

2

𝑅

𝑝𝑦.



(0) A função u(x1, x2) = min{2x1, x2} descreve as mesmas preferências que u(x1, x2) = min {x1,1

2x2};

(1) Curvas de indiferença dadas por x2 = k – u (x1), em que k é uma constante estritamente positiva para cada

curva de indiferença, indicam que x1 e x2 são complementares perfeitos;

(2) As funções de utilidade Cobb-Douglas não geram preferências bem-comportadas;

(3) A função u(x1, x2) = α ln(x1) + β ln(x2) apresenta curvas de indiferença com o mesmo formato da função

u(x1, x2) = 𝑥1𝛼𝑥2

𝛽;

(4) Se as preferências forem monotônicas, uma diagonal que parta da origem intercepta cada curva de

indiferença apenas uma vez.


As preferências de um consumidor são representadas pela seguinte função utilidade: U (x, y) = xy + 10x. Se a

sua renda mensal for igual a $ 10 e os preços unitários de x e y forem, respectivamente, px = $ 1 e py = $ 2,

avalie a veracidade das seguintes proposições:

(0) No ponto que representa a escolha do consumidor, a taxa marginal de substituição definida por 𝑇𝑀𝑆 =𝑑𝑦

𝑑𝑥|𝑉=𝑐𝑡𝑒

será igual a 1

2;

(1) Tais preferências violam o axioma da convexidade;

(2) O consumidor escolhe uma cesta cuja utilidade assume o valor de U = 100.

(3) Caso o consumidor consuma apenas o bem y, a razão entre a utilidade marginal do bem x e o seu preço é

maior do que a razão entre a utilidade marginal e o preço do bem x, indicando que, se dispusesse de mais renda,

aumentaria o consumo de y.

(4) Caso o preço do bem y aumentasse, a escolha do consumidor não se alteraria.


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A maximização da função utilidade 𝑈(𝑥, 𝑦) = √𝑥𝑦, sujeita à restrição xpx + ypy = R, sendo R a renda

exógena e pi, i = x, y, os preços dos bens, gera as seguintes funções de demanda Marshallianas: 𝑥(𝑝𝑥 , 𝑝𝑦, 𝑅) =1

2

𝑅

𝑝𝑥 e 𝑦(𝑝𝑥 , 𝑝𝑦, 𝑅) =

1

2

𝑅

𝑝𝑦. Avalie as assertivas:

(0) Como a demanda pelo bem x não depende do preço y, aumentos deste último não afetarão a demanda por

x, mesmo com a renda gasta integralmente com os dois bens;

(1) Quando os preços dos dois bens forem $ 2 e a renda igual a $ 4, a função utilidade indireta assume o valor

𝑉(𝑝𝑥 , 𝑝𝑦, 𝑅) = 1;

(2) O exercício de minimização do gasto min xpx + ypy, sujeito a �̅� = √𝑥𝑦, resulta em uma função demanda

compensada ou Hicksiana pelo bem x dada por ℎ𝑥(𝑝𝑥 , 𝑝𝑦 , 𝑈) =√𝑝𝑥

√𝑝𝑦𝑈;

(3) A função gasto resultante do item anterior será e(px, py, U) = 2𝑈√𝑝𝑥𝑝𝑦, expressão que indica que preços

maiores e utilidade maiores requerem gasto maior;


Com relação às preferências do consumidor, indique quais das afirmações a seguir são verdadeiras e quais são

falsas:

(0) Sendo U(x, y) a função de utilidade em dois bens x e y, U(x, y) = lnx. lny representa uma função de utilidade

quase-linear.

(1) Podemos sempre extrair a transformação monotônica da função de utilidade do tipo Cobb-Douglas.

(2) Uma função de utilidade do tipo U(x, y) = (x + y)0,5 implica que x e y são bens substitutos perfeitos.

(3) Uma função de utilidade do tipo U(x, y) = x + y implica que x e y são bens complementares perfeitos.

(4) f(U) = U2 é uma transformação monotônica apenas para U positivo.


Considere a função de utilidade U (X, Y) = min {X/ 2, Y} sobre o conjunto de consumo [0, ∞) × [0, ∞), sejam p, q

> 0 os preços dos bens X e Y, respectivamente, sendo r > 0 a renda do consumidor. Julgue como verdadeiros ou

falsos os itens abaixo:

(0) A demanda Marshalliana é a cesta (X, Y) dada por X = Y = r/( 2p + q).

(1) Os bens X e Y são substitutos perfeitos.

(2) Se o consumidor quiser atingir o nível de utilidade u̅, então o menor gasto que deverá efetuar é E(p, q, u̅) =

(2p + q )u̅ .

(3) A demanda Hicksiana (compensada) por cada bem é independente dos respectivos preços.


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Um consumidor possui utilidade quase-linear U(x,y) = ln(x) + y, em que ln(x) denota o logaritmo natural de X. O

preço do bem X é p > 0 e o do bem Y é q > 0. Denote por r > 0 a renda do consumidor. Julgue como verdadeiros

ou falsos os itens a seguir:

③ A utilidade do consumidor é homotética.

④ Seja e(p,q,uo) a função-dispêndio aos preços (p,q) e nível de utilidade uo. Se p/q > exp(−uo), em que exp()

denota a exponencial de , então e(p, q, uo) = q(1 + uo + ln(p/q)) .


Seja um consumidor com função de utilidade dada por U = X2 + Y2, em que X é a quantidade consumida de

entradas de cinema e Y é a quantidade consumida de pizzas. Com relação a este consumidor, verifique quais

das seguintes afirmações são verdadeiras e quais são falsas:

(0) A taxa marginal de substituição deste consumidor é X/Y.

(1) A cesta (X = 2, Y = 1) e a cesta (X = 1, Y = 2) se encontram sobre a mesma curva de indiferença.

(2) As curvas de indiferença do consumidor são estritamente convexas entre as cestas (X = 2, Y = 1) e (X = 1, Y =

2).

(3) X e Y são substitutos perfeitos.

(4) O bem Y é um mal.


Considere a Teoria da Utilidade para responder quais das afirmações a seguir são verdadeiras e quais são falsas:

(0) Todos os tipos de preferências podem ser representados pela função de utilidade.

(1) Sejam dois bens, X e Y. A uma função de utilidade dada por U(X, Y) = XY corresponde uma curva de

indiferença típica dada por Y = cX, em que c é uma constante.

(2) Se dois bens (A e B) forem substitutos perfeitos, pode-se, em geral, representar sua função de utilidade na

forma U(A, B) = c1A + c2B, em que c1 e c2 são constantes positivas.

(3) A inclinação de uma curva de indiferença típica da função de utilidade U(A, B) = c1A + c2B, em que c1 e

c2 são constantes positivas, é - c1/c2.

(4) A transformação monotônica de uma função de utilidade não altera a taxa marginal de substituição (TMS),

porque a TMS é medida ao longo de uma curva de indiferença, e a utilidade permanece constante ao longo da



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Gabarito 1. FVFV

2. FFVVV

3. 02

4. VFF

5. FVFVV

6. FFFFV

7. FFVV

8. FFF

9. FF

10. V

11. FVF

12. VVFFV

13. VFF

14. VVF

15. FVFF

16. FVFFV

17. FFFFF

18. F

19. VFFV

20. VFV

21. FFFF

22. VVVFF

23. VFV

24. VVFVV

25. FVV

26. FVVV

27. VVFF

28. VFFVV

29. FFVFV

30. VVFV

31. FVVFV

32. FFVV

33. FV

34. VVFFF

35. FFVVV


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Resumo direcionado

Veja a seguir um resumo que eu preparei com pontos importantes que vimos nesta aula. Importante que

você faça o seu próprio resumo, e depois compare com esse meu.

Uma relação de preferência que atende esses axiomas é uma relação de preferência racional.

Outras propriedades das preferências:

4) Continuidade –as preferências do consumidor não apresentam “saltos”, ou seja, ele não faz mudanças

bruscas no ordenamento entre as cestas de repente.

5) Monotonicidade – o consumidor prefere aquelas cestas com quantidades mais elevadas de bens (quanto

mais, melhor).

6) Não saciedade local – o consumidor jamais estará satisfeito com a cesta atual.

Monotonicidade forte implica monotonicidade.

Monotonicidade implica não saciedade local.

7) Convexidade – o consumidor prefere diversificação no consumo (médias preferíveis aos extremos).

Convexidade forte implica convexidade fraca, mas a recíproca não é verdadeira.

A relação de preferências é convexa quando o conjunto fracamente preferido é convexo.

Propriedades das Preferências e Curvas de Indiferença

Axiomas das preferências

Integralidade (Completude)

Transitividade

Reflexividade


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Curvas de indiferença de preferências estritamente convexas apresentam TMS decrescente (em módulo).

Função Utilidade

Uma relação de preferência pode ser representada por uma função utilidade somente se for racional. Mas nem toda relação

de preferência racional pode ser representada por uma função utilidade (exemplo: preferências lexicográficas).

A continuidade da relação de preferência é suficiente para a existência de uma função utilidade que a represente. Mais ainda,

a continuidade da relação de preferência garante a existência de uma função utilidade contínua.

Teoria Ordinal: Importa apenas o ordenamento das cestas em termos da função utilidade, e não a magnitude dos

valores.

A transformação monotônica de uma função utilidade é uma função utilidade que representa as mesmas

preferências que a função utilidade original.

Utilidade Marginal

1) Monotonicidade forte – todos os bens têm utilidade marginal positiva (Umg > 0).

2) Monotonicidade fraca – todos os bens têm utilidade marginal não negativa (Umg ≥ 0).

Aplicar uma transformação monotônica na relação de preferência não altera o sinal da utilidade marginal.

Taxa Marginal de Substituição

|𝑇𝑀𝑆| =𝑈𝑚𝑔i𝑈𝑚𝑔j


𝑈(𝑥1, 𝑥2) = 𝑎𝑥1 + 𝑥2; 𝑎 ∈ ℝ+

Taxa marginal de substituição constante. São convexas, mas não são estritamente convexas.

ContinuidadeGarante a existência (e a continuidade) das curvas de

indiferença

Racionalidade Curvas de indiferença distintas não se cruzam

Não saciedade local Curvas de indiferença não podem ser grossas

Monotonicidade fraca

Curvas de indiferença não podem ter inclinação positiva

Monotonicidade forte

Curvas de indiferença têm inclinação negativa


Curvas de indiferença negativamente inclinadas


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𝑥1∗(𝑝,𝑚) =

{

0; 𝑠𝑒

𝑝1𝑝2> 𝑎

0 ≤ 𝑥1∗(𝑝,𝑚) ≤

𝑚

𝑝1; 𝑠𝑒

𝑝1𝑝2= 𝑎

𝑚

𝑝1; 𝑠𝑒

𝑝1𝑝2< 𝑎

𝑥2∗(𝑝,𝑚) =

{

𝑚

𝑝2; 𝑠𝑒

𝑝1𝑝2> 𝑎

0 ≤ 𝑥2∗(𝑝,𝑚) ≤

𝑚

𝑝2; 𝑠𝑒

𝑝1𝑝2= 𝑎

0; 𝑠𝑒 𝑝1𝑝2< 𝑎


𝑈(𝑥1, 𝑥2) = min{𝑎𝑥1, 𝑥2} ; 𝑎 ∈ ℝ+

Também denominadas preferências Leontieff ou proporções fixas. A TMS é zero ou infinita. São convexas,

mas não são estritamente convexas.

𝑥1∗(𝑝,𝑚) =

𝑚

𝑝1 + 𝑎𝑝2

𝑥2∗(𝑝,𝑚) =

𝑎𝑚

𝑝1 + 𝑎𝑝2

Preferências Bem-Comportadas

São estritamente convexas e fortemente monotônicas. A TMS é decrescente (em módulo). Exemplo: Cobb-

Douglas. Toda função Cobb-Douglas é quase-côncava.

𝑈(𝑥1, 𝑥2) = 𝑥1𝑎𝑥2

𝑏; 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ+

𝑥1∗(𝑝1, 𝑝2, 𝑚) =

𝑎

𝑎 + 𝑏

𝑚

𝑝1

𝑥2∗(𝑝1, 𝑝2, 𝑚) =

𝑏

𝑎 + 𝑏

𝑚

𝑝2

Algumas propriedades da demanda para uma Cobb-Douglas

1) O consumidor gasta uma parcela fixa da renda em cada bem:

2) Bens independentes – a demanda de um bem não é afetada pelo preço do outro.

3) A solução é sempre interior – a quantidade demandada de ambos os bens é positiva.

Preferências côncavas

A TMS é crescente (em módulo). O consumidor irá preferir uma especialização no consumo de uma única

mercadoria.


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Preferências Quase-Lineares

Uma relação de preferência quase-linear em relação ao bem 2 pode ser representada pela função utilidade:

𝑈(𝑥1, 𝑥2) = 𝑣(𝑥1) + 𝑥2

|𝑇𝑀𝑆| = 𝑣′(𝑥1)

A TMS depende exclusivamente da quantidade do bem 1 quando a preferência é quase-linear em relação ao

bem 2. No caso de solução interior: a demanda pelo bem 1 não depende da renda.

Preferências Lexicográficas

As preferências lexicográficas são racionais, fortemente monotônicas e estritamente convexas, mas não são

contínuas. Não é possível construir uma função utilidade para as preferências lexicográficas.

Neutros e Males

Temos um mal quando aumentos na quantidade consumida reduzem o nível de satisfação do consumidor. As

curvas de indiferença têm inclinação positiva. Um bem é classificado como neutro quando a quantidade

consumida não interfere na satisfação do consumidor. Nesses casos, o consumidor irá gastar toda a sua renda com

o bem que ele gosta.

Função Homotética

É uma transformação monótona (crescente) de uma função homogênea. A TMS é uma função homogênea

de grau zero e depende apenas da razão entre 𝑥i e 𝑥j, e não da quantidade absoluta dos bens. São exemplos de

preferências homotéticas: preferências Cobb-Douglas, complementares perfeitos, substitutos perfeitos e função

CES.

Restrição Orçamentária

𝑝1𝑥1 + 𝑝2𝑥2 +⋯+ 𝑝𝑛𝑥𝑛 ≤ 𝑚 𝑜𝑢 ∑𝑝𝑖𝑥𝑖 ≤ 𝑚

𝑛

𝑖=1

O conjunto orçamentário é convexo e homogêneo de grau zero em relação aos preços e à renda.

Reta Orçamentária

𝑝1𝑥1 + 𝑝2𝑥2 = 𝑚 → 𝑥2 =𝑚

𝑝2−𝑝1𝑝2𝑥1

A razão 𝑝1/𝑝2 é conhecida como preço relativo do bem 1 em relação ao bem 2 representa a taxa à qual o

mercado está disposto a trocar o bem 1 pelo bem 2.

Problema de Maximização da Utilidade

A solução do problema de maximização da utilidade fornece as demandas Marshallianas. Assumindo solução

interior, no ótimo:


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{

|𝑇𝑀𝑆| =

𝑈𝑚𝑔𝑖(𝑥1, … , 𝑥𝑛)

𝑈𝑚𝑔𝑗(𝑥1, … , 𝑥𝑛)=𝑝𝑖𝑝𝑗

∑𝑝𝑖𝑥𝑖

𝒏

𝒊=𝟏

= 𝑚

Essa condição de tangência é uma condição necessária para o equilíbrio do consumidor, e será uma condição

necessária e suficiente para o caso das preferências convexas. Quando temos uma solução de canto, a condição

de tangência entre a curva de indiferença e a reta orçamentária NÃO é válida.

O multiplicador de Lagrange, 𝜆, representa a utilidade marginal da renda.

O nível de utilidade varia ao longo da curva de demanda Marshalliana.

Propriedades da Demanda Marshalliana

1) Homogeneidade de grau zero – a função demanda Marshalliana é homogênea de grau zero nos preços e na renda.

2) Satisfaz a Lei de Walras – o consumidor gasta toda a renda no consumo dos bens:

∑𝑝𝑖𝑥𝑖(𝑝,𝑚) = 𝑚

𝑛

𝑖=1

3) Unicidade/concavidade – se as preferências são convexas (de modo que a função utilidade é quase-côncava), então

𝑥(𝑝,𝑚) é um conjunto convexo. Se as preferências são estritamente convexas (de modo que a função utilidade é estritamente

quase-côncava), então 𝑥(𝑝,𝑚) consiste em um único elemento.

Função Utilidade Indireta

Denotada por 𝑣(𝑝,𝑚), relaciona a utilidade com os preços dos bens e a renda. Ela corresponde ao valor da função utilidade no ponto ótimo, ou seja, substituímos as demandas Marshallianas na função utilidade:

Propriedades da Função Utilidade Indireta

1) Homogênea de grau zero em (𝒑,𝒎)

2) Estritamente crescente na renda

3) Não crescente nos preços

4) Quase-convexa em (𝒑,𝒎)

5) Contínua nos preços e na renda.

Identidade de Roy

𝑥𝑖(𝑝,𝑚) = −

𝜕𝑣(𝑝,𝑚)𝜕𝑝𝑖

𝜕𝑣(𝑝,𝑚)𝜕𝑚

∀ 𝑖 = 1,… , 𝑛


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Problema de Minimização da Despesa

A solução do problema de minimização da despesa fornece as demandas Hicksianas. Assumindo solução

interior, no ótimo:

{|𝑇𝑀𝑆| =

𝑈𝑚𝑔𝑥𝑖𝑈𝑚𝑔𝑥𝑗

=𝑝𝑖𝑝𝑗

𝑈(𝑥1, … , 𝑥𝑛) = �̅�

Propriedades da Demanda Hicksiana

1) Homogênea de grau zero nos preços

2) Não excede a utilidade – no ponto de equilíbrio:

𝑈(ℎ1, … , ℎ𝑛) = 𝑈

3) Unicidade/concavidade – se as preferências são convexas, então ℎ(𝑝, 𝑢) é um conjunto convexo. Se as preferências são

estritamente convexas, então ℎ(𝑝, 𝑢) consiste em um único elemento.

Demanda Hicksiana e a Lei da Demanda Compensada

A demanda Hicksiana (ou demanda compensada) de um bem é não crescente em relação ao preço desse bem.

A lei de demanda compensada não é válida para a demanda Marshalliana. Os bens de Giffen são um exemplo que a violam.

Função Dispêndio

Denotada por 𝑒(𝑝, 𝑢), corresponde ao gasto mínimo associado ao problema de minimização da despesa,

sendo expresso como uma função dos preços e do nível de utilidade. É obtida substituindo as demandas Hicksianas

na reta orçamentária.

Propriedades da Função Despesa

1) Homogênea de grau um nos preços

2) Estritamente crescente na utilidade

3) Não decrescente nos preços

4) Côncava nos preços:


Lema de Shepard

ℎ𝑖(𝑝, 𝑢) =𝜕𝑒(𝑝, 𝑢)

𝜕𝑝𝑖 𝑖 = 1,… , 𝑛

Relação entre Função Utilidade Indireta e Função Dispêndio

A função utilidade indireta e a função dispêndio são inversas uma da outra.


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𝑣(𝑝, 𝑒(𝑝, 𝑢)) = 𝑢

𝑒(𝑝, 𝑣(𝑝,𝑚)) = 𝑚

Relação entre Demanda Marshalliana e Demanda Hicksiana

A relação entre as demandas Marshalliana e Hicksiana é tal que:

𝑥𝑖(𝑝,𝑚) = ℎ𝑖(𝑝, 𝑣(𝑝,𝑚))

ℎ𝑖(𝑝, 𝑢) = 𝑥𝑖(𝑝, 𝑒(𝑝, 𝑢))

Referências

VARIAN, Hal R. Microeconomia-princípios básicos. Elsevier Brasil, 2006.

MAS-COLELL, Andreu et al. Microeconomic theory. New York: Oxford university press, 1995.

VASCONCELOS, Marco Antonio Sandoval de; OLIVEIRA, Roberto Guena de. Manual de microeconomia. São

Paulo, Atlas, 2000.

PINDYCK, Robert S.; RUBINFELD, Daniel L.; RABASCO, Esther. Microeconomia. Pearson Italia, 2013.

Bruno Henrique Versiani Schröder ... [et al.] ; organização Cristiane Alkmin Junqueira Schmidt. Questões ANPEC

Microeconomia: questões comentadas das provas de 2003 a 2012. 2. ed., rev. e atual. – Rio de Janeiro :

Elsevier, 2012.

Bruno Henrique Versiani Schröder ... [et al.] ; organização Cristiane Alkmin Junqueira Schmidt. Questões ANPEC

Microeconomia: questões comentadas das provas de 2010 a 2019. 7. ed., rev. e atual. – Rio de Janeiro :

Elsevier, 2019.

SIMON, Carl P.; BLUME, Lawrence; DOERING, Claus Ivo. Matemática para economistas. Bookman, 2004.

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