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4. Sequncias Montonas e Limitadas

4.1. Definio: Uma sequncia nx limitada se existem nmeros reais A e B tais que

, nA x B n . Quer dizer, nx limitada se existe um intervalo , A B que contm todos os termos da sequncia.

So Sequncias Montonas as que so crescentes, decrescentes, no decrescentes ou no crescentes. 4.2. Definio:

(i) A sequncia nx crescente se: 1 2 3x x x , ou seja, se 1, n nx x n .

(ii) A sequncia nx decrescente se: 1 2 3x x x , ou seja, se 1, n nx x n .

(iii) Dizemos que nx no decrescente se: 1, n nx x n .

(iv) Dizemos que nx no crescente se: 1, n nx x n .

Exemplos:

1) 3 2 1, 4, 7, 10,n uma sequncia crescente e no limitada, pois nx torna-se infinitamente grande para n muito grande.

2) A sequncia 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, no decrescente.

3) 1 1 1

1, , , 2 3n

decrescente e limitada, pois se tomarmos, por exemplo, 0A e 2B temos

0, 2 , nx n .

Observaes:

a) Sequncias como 2

11 , 1

1

n n n

n

ou

1n

n

no so montonas.

b) Muitas sequncias so montonas a partir de certo termo. Por exemplo, a sequncia

13, 2, 0, 4, , 0, 2, 4, 6, 8,

2 crescente a partir do 6 termo.

Exerccios (em aula):

1) Dada a sequncia 3 1

2 1

n

n

, verifique:

a) se ela limitada; b) se ela montona.

Soluo:

melhor saber se a sequncia montona ou no e depois verificar se ela limitada. Comeamos ento pelo item (b).

(b) Em geral no se deve tirar concluses a partir da listagem de alguns termos da sequncia. Note que, a

partir das definies, a sequncia nx crescente se 1 0, n nx x n . J, nx decrescente se

1 0, n nx x n . Devemos, portanto, avaliar a diferena 1n nx x .

2

Sendo 3 1

2 1n

nx

n

, temos:

1

3 1 1 3 1

2 1 1 2 1

3 4 3 1

2 1 2 1

5

2 1 2 1

n n

n nx x

n n

n n

n n

n n

Como o denominador positivo, n , segue que 1 0, n nx x n . Logo, nx decrescente, o que nos faz concluir que montona.

(a) Note que 0, nx n . Portanto, podemos tomar 0A . Como nx decrescente, temos

1 2 3x x x . Assim, podemos at tomar 1 4B x . Portanto, nx limitada, pois

0, 4 , nx n .

2) Dada a sequncia !

10nn

, verifique:

a) se ela montona; b) se ela limitada.

Soluo:

a) Analisemos a diferena 1n nx x :

1 1

1

n+1 1

1

1 ! !

10 10

1 ! 10 ! 10 10 10 10

10 10

10

n n n n

n n

n

n n

n

n nx x

n n

1

1 ! 10 !

10 10n n

n n

1

1

1

1 ! 10 !

10

! 1 10

10

! 9 0, 9

10

n

n

n

n n n

n n

n nn

Portanto, 1 , 10n nx x n , o que nos faz concluir que a sequncia crescente (e portanto,

montona) a partir do 10 termo.

b) Esta sequncia limitada inferiormente por 0 (zero), mas no limitada superiormente. (mas isto ainda no podemos provar!).

Observao: H sequncias cujos termos so indexados a partir de 1n , ou seja, 1n ou 2n ou de outro valor

qualquer. Exemplos: 1

1n

,

1

ln n

[Note que no existe o termo 1x ].

3

Exerccios (para casa):

Faa um estudo da sequncia na , considerando os casos: 1, 1, 0 1,a a a 0, 1 0, 1, 1a a a a .