Teoria da Computao

Agosto - 2015

Professor: Giomar Sequeiros O.

Email: giomar.olivera@anhanguera.com

Contedo

Relaes e Funes

Aula 2

Relaes e Funes

Teoria da Computao2

Relaes

Teoria da Computao 3

A matemtica lida com afirmaes sobre objetos e as

relaes entre eles.

Ex.: Menor que uma relao entre objetos do tipo

numrico. Ela vlida para 4 e 7, mas no para 4 e 2 ou 4

e 4

Como representar tais relaes utilizando a linguagem dos

conjuntos?

Relaes

Teoria da Computao 4

Podemos pensar em uma relao como um conjunto.

Intuitivamente, os objetos que pertencem a uma relao so

a combinao de elementos individuais para os quais a

relao satisfeita.

Ex.: a relao menor que pode ser representada pelo

conjunto de todos os pares de nmeros onde o primeiro

menor do que o segundo.

Relao menor que: {{1, 2}, {2, 7}, {3, 8}} ???????

Relaes: Par ordenado

Teoria da Computao 5

Par ordenado (a, b):

a e b so componentes do par ordenado a = b permitido (a, b) (b, a) para a b

Dois pares ordenados (a, b) e (c, d) so iguais se a = c e b

= d.

Relaes: Produto cartesiano

Teoria da Computao 6

Def.: o produto cartesiano entre dos conjuntos A e B,

denotado por A x B, o conjunto de todos os pares

ordenados (a, b) tais que a A e b B.

Ex: {1, 3, 9} X {b, c, d} = {(1, b), (1, c), (1, d), (3, b), (3, c),

(3, d), (9, b), (9, c), (9, d)}

Relaes

Teoria da Computao 7

Def.: uma relao binria entre dois conjuntos A e B

um subconjunto de A X B.

Ex1.: {(1, b), (3, d), (9, c)} uma relao binrio entre

{1, 3, 9} e {b, c, d}

Ex2.: {(i, j): i, j N e i < j} a relao binria menor que. Tal relao binria um subconjunto de N X N.

Relaes

Teoria da Computao 8

Sejam 1,, n objetos quaisquer. Dizemos que (1,,) uma n-tupla ordenada.

Uma n-tupla (1,,) igual a uma m-tupla (1,,) se e somente se m = n e = para =1,2,,

2-tupla = par ordenado

3-tupla = tripla

4-tupla = quadrupla

5-tupla = quntupla

6-tupla = sxtupla

Relaes

Teoria da Computao 9

Podemos calcular o produto cartesiano de n conjuntos:

1 2 = (1,,) onde

Um subconjunto de tal produto cartesiano chamado de

relao n-ria.

n = 1: relao unria

n = 2: relao binria

n = 3: relao ternria

Funes

Teoria da Computao 10

Def.: Uma funo de um conjunto A para um conjunto B

uma relao binria R de A em B com a seguinte

propriedade: para cada elemento , existe um nico par ordenado em R cujo primeiro elemento .

Ex.: Seja C o conjunto de cidades do Brasil e S o

conjunto de estados.

1 = { (,): , , } 2 = { (,): ,, }

1 funo? 2 funo?

Funes

Teoria da Computao 11

Def.: Uma funo de um conjunto A para um conjunto B

uma relao binria R de A em B com a seguinte

propriedade: para cada elemento , existe um nico par ordenado em R cujo primeiro elemento .

Ex.: Seja C o conjunto de cidades do Brasil e S o

conjunto de estados.

1 = {,:,, } 2 = {,:,, }

1 funo? Sim 2 funo? No

Funes

Teoria da Computao 12

Notao: :, onde uma funo de A em B.

A chamado domnio e B o contradomnio de .

Seja , ()=,. Logo, (,).

() a imagem de no conjunto B segundo a funo

Funo injectora

Teoria da Computao 13

Seja : uma funo de em , dita Injetora se para quaisquer dois elementos ,, ()().

Ex.: Seja C o conjunto de cidades do Brasil e S o conjunto

de estados. Considere a funo : definida como: ()=

Funo sobrejectora

Teoria da Computao 14

A funo : dita sobrejetora se cada elemento de for a imagem, segundo , de algum elemento de A.

Ex.: Seja C o conjunto de cidades do Brasil e S o conjunto

de estados. Considere a funo : definida como:()=

Funo bijectora

Teoria da Computao 15

A funo : dita sobrejetora se cada elemento de for a imagem, segundo , de algum elemento de A.

Ex.: Seja C o conjunto de cidades do Brasil que so

capitais e S o conjunto de estados. Considere a funo

: definida como: ()=

Funo inversa

Teoria da Computao 16

Def.: o inverso de uma relao binria , denotado por 1 , simplesmente a relao {(,):(,)}.

Ex.: 2=11

1={(,):,, } 2={(,):,, }

Funo inversa

Teoria da Computao 17

O inverso de uma funo no necessariamente uma

funo.

Funo inversa

Teoria da Computao 18

O inverso de uma funo no necessariamente uma

funo.

Funo inversa

Teoria da Computao 19

O inverso de uma funo no necessariamente uma

funo.

Logo, se bijetora, 1 funo

Funes

Teoria da Computao 20

Seja :, uma funo.

Ento: 1(()) =, (1()) = ,

Funes

Teoria da Computao 21

Se Q e R so duas relaes binrias, ento sua

composio Q o R a relao

{(,): ,(,) (,) }

Logo, a composio de duas funes : e : uma funo :, tal que ()=(()),

Exerccios

Teoria da Computao 22

1 .Escreva explicitamente cada um dos produtos

cartesianos abaixo:

a) {1} x {1, 2} x {1, 2, 3} b) x {1, 2} c) 2{1,2} x {1, 2}

2.Seja R={(a, b), (a, c), (c, d), (a, a), (b, a)}. Diga:

a) O que R o R (composio de R com R)?

b) O que R-1 (inverso de R)