Partculas em diversos potenciais estudos quantitativos

1 - Comportamento de uma funo

de onda estacionria

1a - Regies com energia potencial constante

Para certas regies, V(x) = V. Neste caso:

Caso i: E > V

02

22

2

xVEm

xdx

d

m

kVE

2

22

ikxikx eAAex '

V(x)

0 x

i

Exerccio

Mostre que:

soluo de

02

22

2

xVEm

xdx

d

ikxikx eAAex '

Caso ii: E

1c - Descrio do clculo

Procedimento para determinar os estados estacionrios de um potencial quadrado: Em regies de V = constante, (x) = (i) ou (ii)

acima.

Combinar estas funes respeitando as condies de continuidade de (x) e d(x)/dx

2- Exemplos

Potencial degrau

2a.1: E>V0; reflexo parcial

V(x)

0 x

iii

V(x)

0 x

iii

22

0

12

2

2

kVEm

kmE

xikxikII

xikxik

eAeAx

eAeAx

22

11

'

22

'

111

21

1

1

2

21

21

1

'

1

2

kk

k

A

A

kk

kk

A

A

2

1

'

1

A

AR

2

1

2

1

2

A

A

k

kT

2212141kk

kkR

221214

kk

kkT

Solues: Definio

Digamos que a partcula vem da esquerda A2 = 0

Coeficientes de reflexo e transmisso:

Reflexo ou

Transmisso ou

2a.2: E < V0

21

1

1

'

2

21

21

1

'

1

2

ik

k

A

B

ik

ik

A

A

V(x)

0 x

iii

22

0

12

2

2

EVm

kmE

xxII

xikxik

eBeBx

eAeAx

22

11

'

22

'

111

Solues: Definio

Condio necessria: B2 = 0

1

2

21

21

2

'

'

1

ik

ik

A

AR

Coeficientes: Reflexo:

Assim como na mecnica clssica, a partcula totalmente refletida.

Diferenas: P(x>0) = 0

2b.1: barreiras

de potencial

com E>V0

xikxikIII

xikxik

II

xikxik

I

eAeAx

eAeAx

eAeAx

11

212

11

'

33

'

22

'

11

32

21

2

1

2

2'

1

32

21

2

2

2

121

1

1

sin2

sin2

cos

Alekkk

kkiA

Aelkkk

kkilkA

lik

lik

lkkkkkkk

A

AT

lkkkkk

lkkk

A

AR

2

222

2

2

1

2

2

2

1

2

2

2

1

2

1

3

2

222

2

2

1

2

2

2

1

2

222

2

2

1

2

1

'

1

sin4

4

sin4

sin

V(x)

0 x

iii iii

Novamente, assumimos: A3 = 0 e obtemos os coeficientes:

Coeficientes de reflexo e transmisso:

/2sin4

4

0

22

00

0

lVEmVVEE

VEET

Interfermetro Fabry-Perot

2b.1: barreiras de potencial

com E