Aula 06

MATEMÁTICA / ESTATÍSTICA / RAC. LÓGICO – ICMS/SP TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS

Prof. Arthur Lima – Aula 06

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AULA 06: MATEMÁTICA FINANCEIRA

SUMÁRIO PÁGINA

0. Resumo 01

1. Operações de desconto 03

2. Amortizações 23

3. Fluxos de pagamentos e recebimentos 42

4. Questões apresentadas na aula 68

5. Gabarito 87

Olá!

Hoje veremos os tópicos restantes de Matemática Financeira do nosso curso.

São eles:

Descontos: simples, composto. Desconto racional e desconto comercial.

Amortizações: Sistema francês (Tabela Price). Sistema de amortização constante.

Sistema misto. Fluxo de caixa. Valor atual. Taxa interna de retorno.

São tópicos aparentemente complicados, mas que podemos traduzir em

exemplos simples, de fácil entendimento. Sugiro bastante atenção à aula de hoje,

pois acertar esse tipo de questão pode ajudá-lo a posicionar-se entre os candidatos

aprovados em seu concurso. Tenha uma boa aula!

0. RESUMO

Veja na tabela abaixo um resumo dos tópicos da aula de hoje.

Fórmulas e definições

Desconto:

D = N – A

Desconto simples:

- Racional (por dentro): 1

NA

j t=

+ ×




- Comercial (por fora): (1 )A N j t= × − ×

- Relação entre o desconto por dentro e por fora: Df = Dd x (1 + j x t)

- Relação entre a taxa de desconto por fora e por dentro: 1 1

f d

tj j

− =

Desconto composto:

- Racional (por dentro): (1 )t

NA

j=

+

- Comercial (por fora, bancário): (1 )tA N j= × −

- Relação entre a taxa de desconto por fora e por dentro: 1 1

1f dj j

− =

- Obter o fator de acumulação de capital, (1 )tj+ , em tabelas

Amortização: P = A + J

Apenas a amortização (A) reduz o saldo devedor.

Os juros (J) são calculados sobre o saldo devedor do início do período.

Sistema francês (tabela price): prestações iguais.

Prestação: (1 )

(1 ) 1

n

n

j jP VP FRC VP

j× += × = ×+ −

J = SD x j

A = P – J

Fator de Recuperação de Capital (FRC): é o inverso do Fator de Valor Atual de

uma série de pagamentos iguais ( n ja ¬ )

Sistema de Amortização Constante (SAC): a amortização é A = VP / n

Juros = SD x j

P = A + J

Sistema de Amortização Misto (SAM):

Price

2SAC

SAM

P PP

+=

Valor atual de um único valor futuro: (1 )t

VFVP

j=

+

Valor atual de uma série de recebimentos ou pagamentos iguais: usar o Fator de




Valor Atual n ja ¬ , lembrando que 1

n jaFRC¬ =

Fluxo de caixa de um projeto: formado por todos os desembolsos (pagamentos,

saídas) e todas as entradas de capital (recebimentos) ao longo de um período

Valor presente líquido (VPL) e Taxa interna de retorno (TIR):

VPL = Valor atual das entradas – Valor atual dos desembolsos

TIR � taxa que torna o VPL = 0

1. OPERAÇÕES DE DESCONTO

Imagine que você é proprietário de um comércio e recebeu de um cliente um

cheque “pré-datado” para pagamento de uma venda efetuada. O cheque, no valor

de R$1000,00, tem data de vencimento para daqui a 3 meses. Entretanto, você

precisa renovar o estoque de seu comércio, motivo pelo qual precisa de dinheiro

agora – e não daqui a 3 meses. Pensando assim, você vai ao banco, que se oferece

para ficar com o cheque, aguardando a data correta de depósito, e te adiantar o

valor em dinheiro. O banco não fará essa operação “de graça”. Para isso, o gerente

te informa que será cobrada a taxa de desconto simples de 5% ao mês. Assim, o

banco não te entregará R$1000,00, mas sim R$850,00. Isto é, ao efetuar a

operação, o seu título (no caso, um cheque) sofreu o desconto de R$150,00, que é

a remuneração do banco por ter antecipado 850 reais para você.

Nesta situação, temos um título de crédito (cheque) com um determinado

valor nominal N = 1000 reais (também conhecido como “valor de face”) e prazo de

vencimento t = 3 meses. Esse título sofre uma operação de desconto, cuja taxa de

desconto simples é j = 5% ao mês. Como resultado, você recebe apenas o valor

atual do título, isto é, A = 850 reais, e o banco retém o valor do desconto D = 150

reais.

O exemplo acima tem o intuito de auxiliá-lo a entender em que consiste uma

operação de desconto, muito comum no comércio que trabalha com recebimentos a

prazo (cheques “pré-datados”, duplicatas, notas promissórias etc.). Repare que o

desconto é, em sua essência, uma operação inversa à aplicação de juros sobre um




investimento. Nos próximos tópicos veremos as operações de desconto cobradas

em seu edital.

Para começar, lembre-se que o desconto é a diferença entre o valor nominal

e o valor atual do título de crédito:

D = N – A

1.1 DESCONTO SIMPLES

O desconto simples é aquele correspondente ao regime de juros simples.

Existem duas formas principais de cálculo do desconto simples de um título de

crédito: o desconto racional e o desconto comercial.

Desconto racional simples (por dentro)

Em uma operação de desconto racional simples (também conhecido como

desconto “por dentro”), a relação entre o valor nominal (N) e valor atual (A) do título

é dada por:

1N

Aj t

=+ ×

Utilizando a fórmula acima, podemos calcular qual seria o valor atual (A)

daquele cheque do exemplo dado acima. Lembrando que N = 1000, j = 5% ao mês

e t = 3 meses, temos:

A = 1000 / (1 + 0,05 x 3)

A = 1000 / 1,15

A = 869,56

Isto é, se o banco tivesse utilizado o desconto “por dentro”, você receberia,

naquele momento, R$869,56. Em outras palavras, o valor atual do seu cheque seria

de R$869,56, apesar de seu valor de face ser R$1000,00. O valor do desconto

seria:

D = N – A




D = 1000 – 869,56

D = 130,44

Assim, o banco teria efetuado um desconto de R$130,44 para ficar com o seu

cheque, aguardando a data de vencimento do mesmo.

Desconto comercial simples (por fora, bancário)

Em uma operação de desconto comercial simples (desconto “por fora”), a

relação entre o valor nominal (N) e o valor atual (A) de um título é dada por:

(1 )A N j t= × − ×

Esta operação é também conhecida como “desconto bancário simples”.

Utilizando a fórmula acima, também podemos calcular qual seria o valor atual (A)

daquele cheque do exemplo dado acima:

A = 1000 x (1 - 0,05 x 3)

A = 1000 x (0,85)

A = 850

Veja que o gerente do banco provavelmente se referia a esse desconto.

Assim, você recebeu R$850,00. Este é o valor atual do seu cheque, apesar de seu

valor de face ser R$1000,00. O valor do desconto foi:

D = N – A

D = 1000 – 850

D = 150

Assim, o banco efetuou um desconto de R$150,00 para ficar com o seu

cheque, aguardando a data de vencimento do mesmo.

Veja que, no exemplo, eu apenas mencionei “desconto simples”, não

explicitando se o desconto foi racional ou comercial. Em várias questões de sua

prova ocorrerá o mesmo. Diante desta situação, você deve se lembrar que o




desconto comercial também é chamado desconto bancário (típico de operações

efetuadas pelos bancos). Assim, não sendo mencionado que o desconto a ser

aplicado é o racional, você deve usar o desconto comercial / bancário / por fora.

Para finalizar o estudo de desconto simples, é bom você saber que existe

uma relação entre as taxas de desconto simples por dentro (jd) e por fora (jf) que

levam um determinado valor nominal ao mesmo valor atual, que é:

1 1

f d

tj j

− =

A título de exemplo, veja que a mesma taxa (5% ao mês) levou o valor

nominal N = 1000 reais ao valor atual R$869,56, quando aplicado o desconto por

dentro, e ao valor atual R$850,00, quando aplicado o desconto por fora. Se

quiséssemos saber qual taxa de desconto por fora é equivalente à taxa de desconto

por dentro de 5% ao mês, para um título com vencimento em t = 3 meses, teríamos:

1/jf – 1/0,05 = 3

jf = 0,0434 = 4,34%

Observe que, de fato, aplicando a taxa de desconto comercial (por fora) jf =

4,34%, obtemos o mesmo valor atual que havíamos obtido com a taxa de 5% ao

mês no desconto por dentro:

A = 1000 x (1 – 0,0434 x 3) = 869,56

Por outro lado, se aplicarmos a mesma taxa j tanto ao desconto por fora

quanto ao desconto por dentro, vimos que os valores atuais (A) serão diferentes e,

conseqüentemente, os valores dos descontos (D) serão diferentes também. A

fórmula abaixo relaciona o desconto por dentro com o desconto por fora, quando é

aplicada a mesma taxa j:

Df = Dd x (1 + j x t)

No nosso exemplo, vimos que Df = 150 e Dd = 130,44, para j = 5% ao mês e t

= 3 meses. Veja que, de fato,

Df = Dd x (1 + j x t)

150 = 130,44 x (1 + 0,05 x 3)

150 = 150

1.2 DESCONTO COMPOSTO




Em muitos casos o desconto dado pelo banco numa operação como esta

segue o regime de juros compostos. Se isso ocorre, temos uma operação de

desconto composto, que também se divide em racional ou comercial.

Desconto racional composto (por dentro)

Aqui, a relação entre o valor nominal (N) e atual (A) do título de crédito é

dada por:

(1 )t

NA

j=

+

Novamente, o valor do desconto é dado por D = N – A. Utilizando o mesmo

exemplo que trabalhamos acima, teríamos:

A = 1000 / (1 + 0,05)3 = 1000 / 1,053

A = 863,83

Isto é, se o cheque com valor nominal de 1000 reais for descontado, no

regime de desconto racional composto, à taxa de 5% ao mês, 3 meses antes do seu

vencimento, você receberá R$863,83. O desconto será de:

D = 1000 – 863,83 = 136,16

Desconto comercial composto (por fora)

Aqui, a relação entre o valor nominal (N) e atual (A) do título de crédito é

dada por:

(1 )tA N j= × −

Novamente, o valor do desconto é dado por D = N – A. Utilizando o mesmo

exemplo que trabalhamos acima, teríamos:

31000 (1 0,05)

857,37

A

A

= × −=

Isto é, se o cheque com valor nominal de 1000 reais for descontado, no

regime de desconto comercial composto, à taxa de 5% ao mês, 3 meses antes do

seu vencimento, você receberá R$857,37. O desconto foi de:

D = 1000 – 857,37 = 142,62




A relação entre a taxa de desconto composto por dentro (jd) e por fora (jf) que

levam um determinado valor nominal ao mesmo valor atual, que é:

1 11

f dj j− =

Vejamos alguns exercícios sobre operações de desconto.

1. CESGRANRIO – ANP – 2008) A Empresa Serra Verde Ltda. levou ao Banco

quatro duplicatas no valor de R$32.500,00 cada uma, com vencimento para 90, 120,

150 e 180 dias, respectivamente, para descontá-las. O Banco ofereceu à empresa

uma taxa de desconto simples de 3,45% ao mês. Com base nos dados acima e

considerando o ano comercial, o valor do desconto pago pela empresa no ato do

empréstimo, em reais, foi

(A) 20.182,50

(B) 25.750,00

(C) 26.910,00

(D) 32.187,50

(E) 33.637,50

RESOLUÇÃO:

Neste caso, a empresa levou ao banco 4 duplicatas, cada uma com valor

nominal N = 32500. O tempo “t” de vencimento de cada uma, em meses, era de 3,

4, 5 e 6 meses, respectivamente (considerando o mês comercial de 30 dias). A taxa

de desconto simples foi j = 3,45% ao mês. Assim, podemos calcular o valor atual A

de cada título, que é o valor recebido pela empresa na ocasião do desconto,

utilizando a fórmula de desconto simples comercial:

(1 )A N j t= × − ×

Para a primeira duplicata, temos:

32500 (1 0,0345 3) 29136,25A = × − × =

Para a segunda, temos:

32500 (1 0,0345 4) 28015A = × − × =

Para a terceira, temos:

32500 (1 0,0345 5) 26893,75A = × − × =

Para a quarta, temos:

32500 (1 0,0345 6) 25772,5A = × − × =




Portanto, ao todo a empresa recebeu o valor atual A = 109871,50. Dado que

a soma do valor nominal das quatro duplicatas era N = 4 x 32500 = 130000, o valor

pago pela empresa a título de desconto foi de:

D = N – A

D = 130000 – 109871,50 = 20182,50

Resposta: A

Obs.: note que optamos pelo desconto comercial, e não pelo desconto

racional, por se tratar de uma operação bancária.

2. CESGRANRIO – TJ/RO – 2008) Uma empresa obtém do Banco um crédito de

R$23.335,00, correspondente a uma duplicata descontada, pelo prazo de 28 dias, a

uma taxa de juros simples de 2,48% ao mês. O valor, em reais, da duplicata levada

ao Banco pela empresa foi

(A) 24.105,32

(B) 23.887,76

(C) 23.853,33

(D) 23.553,00

(E) 23.533,55

RESOLUÇÃO:

Aqui o valor atual, isto é, aquele obtido pela empresa no momento do

desconto no banco, foi A = 23335. A taxa de juros simples é de 2,48% ao mês, e o

prazo de antecipação do recebimento foi t = 28 dias, isto é, t = 28/30 mês

(considerando o mês comercial de 30 dias). Usando a fórmula do desconto

comercial simples, temos:

2823335 (1 0,0248 )

3023887,93

N

N

= × − ×

=

Assim temos, embora aproximadamente, a resposta da letra B.

Resposta: B

3. CESGRANRIO – TRANSPETRO – 2011) Uma empresa obteve um desconto de

uma duplicata no valor de R$ 12.000,00 no Banco Novidade S/A, com as seguintes

condições:




• Prazo do título: 2 meses

• Taxa de desconto simples cobrada pelo banco: 2,5% ao mês

Considerando-se exclusivamente as informações acima, o valor creditado na conta

corrente da empresa, em reais, foi de

(A) 11.660,00

(B) 11.460,00

(C) 11.400,00

(D) 11.200,00

(E) 11.145,00

RESOLUÇÃO:

Aqui, a duplicata tinha valor nominal N = 12000. O exercício informou ainda

que t = 2 meses e j = 2,5% ao mês (desconto simples). O enunciado pede o valor

que foi creditado na conta da empresa, isto é, o valor atual A. Colocando as

informações dadas na fórmula de desconto comercial simples, temos:

12000 (1 )

12000 (1 0,025 2)

11400

A j t

A

A

= × − ×= × − ×=

Resposta: C.

4. ESAF – AFRFB – 2005) Edgar precisa resgatar dois títulos. Um no valor de R$

50.000,00 com prazo de vencimento de dois meses, e outro de R$ 100.000,00 com

prazo de vencimento de três meses. Não tendo condições de resgatá-los nos

respectivos vencimentos, Edgar propõe ao credor substituir os dois títulos por um

único, com vencimento em quatro meses. Sabendo-se que a taxa de desconto

comercial simples é de 4% ao mês, o valor nominal do novo título, sem considerar

os centavos, será igual a:

a) R$ 159.523,00

b) R$ 159.562,00

c) R$ 162.240,00

d) R$ 162.220,00

e) R$ 163.230,00

RESOLUÇÃO:

Para resolver essa questão, vamos seguir os passos abaixo:

- calcular o valor atual de cada um dos 2 títulos;




- somar esses valores atuais, descobrindo com isso o valor atual do novo título;

- calcular o valor nominal deste novo título.

O primeiro título tem N = 50000, t = 2 meses e j = 4% ao mês. Portanto:

1

(1 )

50000 (1 0,04 2) 46000

A N j t

A

= × − ×= × − × =

O segundo título tem N = 100000, t = 3 meses e j = 4% ao mês. Assim:

2

(1 )

100000 (1 0,04 3) 88000

A N j t

A

= × − ×= × − × =

Para substituir esses dois títulos, o valor atual do novo título deve ser igual à

soma do valor atual dos dois títulos anteriores, isto é:

3 1 2 46000 88000 134000A A A= + = + =

Como este título também tem j = 4%, e tem o prazo de vencimento t = 4

meses, podemos calcular o seu valor nominal:

3 3

3

3

(1 )

134000 (1 0,04 4)

159523,80

A N j t

N

N

= × − ×= × − ×

=

Isto é, o valor nominal do novo título é, aproximadamente, o valor

apresentado na letra A.

Resposta: A

Obs.: note que só podemos somar quantias monetárias se elas estiverem na

mesma data. Isto é, não podemos somar os valores nominais, pois cada um tem um

prazo diferente. Entretanto, os valores atuais são todos definidos na mesma data,

motivo pelo qual podemos somá-los.

5. ESAF – AFRFB – 2005) Um banco deseja operar a uma taxa efetiva de juros

simples de 24% ao trimestre para operações de cinco meses. Deste modo, o valor

mais próximo da taxa de desconto comercial trimestral que o banco deverá cobrar

em suas operações de cinco meses deverá ser igual a:

a) 19 %

b) 18,24 %

c) 17,14 %

d) 22 %

e) 24 %




RESOLUÇÃO:

Veja que o que o banco chama de “taxa efetiva de juros” é, para o cliente, a

taxa efetiva de desconto. Aqui podemos aplicar a fórmula que relaciona o desconto

racional (por dentro) e o desconto comercial (por fora):

1 1

f d

tj j

− =

Foi dada a taxa efetiva, isto é, a taxa de juros segundo o desconto racional

(por dentro), isto é, jd = 24% ao trimestre (isto é, jd = 8% ao mês). Como t = 5

meses:

1 15

0,08fj− =

112,5 5

fj− =

0,05714 5,714% ao mêsfj = =

Como o enunciado pediu a taxa trimestral, temos que multiplicar essa taxa

mensal por 3, obtendo 3 x 5,714% = 17,14% ao trimestre.

Resposta: C

6. FCC – Banco do Brasil – 2010) Um título descontado 2 meses antes de seu

vencimento, segundo uma operação de desconto racional simples e com a

utilização de uma taxa de desconto de 18% ao ano, apresenta um valor atual igual a

R$ 21.000,00. Um outro título de valor nominal igual ao dobro do valor nominal do

primeiro título é descontado 5 meses antes de seu vencimento, segundo uma

operação de desconto comercial simples e com a utilização de uma taxa de

desconto de 2% ao mês. O valor atual deste segundo título é de

(A) R$ 42.160,80.

(B) R$ 41.529,60.

(C) R$ 40.664,40.

(D) R$ 39.799,20.

(E) R$ 38.934,00.

RESOLUÇÃO:




O primeiro título tem j = 18% ao ano, t = 2 meses = 2/12 anos, e A = 21000.

Assim, usando a fórmula do desconto racional simples (conforme mencionado no

enunciado):

1N

Aj t

=+ ×

210002

1 0,1812

N=+ ×

N = 21630

O segundo título tem valor nominal igual ao dobro do valor nominal do

primeiro (21630), ou seja, tem N = 43260. Sabemos ainda que, neste caso, t = 5

meses e j = 2% ao mês. O valor atual, segundo a fórmula de desconto comercial

simples (conforme mencionado no enunciado), é:

(1 )A N j t= × − ×

43260 (1 0,02 5) 38934A = × − × =

Resposta: E

7. FCC – DNOCS – 2010) Dois títulos de valores nominais iguais foram

descontados, em um banco, da seguinte maneira:

Primeiro título: descontado 45 dias antes de seu vencimento, a uma taxa de

desconto de 2% ao mês, segundo uma operação de desconto racional simples,

apresentando um valor atual de R$ 21.000,00.

Segundo título: descontado 60 dias antes de seu vencimento, a uma taxa de

desconto de 1,5% ao mês, segundo uma operação de desconto comercial simples.

Utilizando a convenção do mês comercial, tem-se que a soma dos valores dos

descontos correspondentes é igual a

(A) R$ 1.260,00.

(B) R$ 1.268,80.

(C) R$ 1.272,60.

(D) R$ 1.276,40.

(E) R$ 1.278,90.




RESOLUÇÃO:

O exercício disse para usar o mês comercial, isto é, com 30 dias. Portanto, o

primeiro título tem valor atual A = 21000, prazo de vencimento t = 1,5 mês (isto é,

45/30) e taxa de desconto j = 2% ao mês. Seu valor nominal, segundo a fórmula de

desconto racional simples, é:

210001 0,02 1,5

21630

N

N

=+ ×

=

Portanto, o desconto foi D = N – A = 21630 – 21000 = 630 reais.

O segundo título tem o mesmo valor nominal, isto é, N = 21630; prazo de

vencimento t = 2 meses (isto é, 60/30) e taxa de desconto j = 1,5% ao mês. Seu

valor atual, segundo a fórmula de desconto comercial simples, é:

21630 (1 0,015 2) 20981,10A = × − × =

Portanto, o desconto foi D = N – A = 21630 – 20981,10 = 648,9 reais.

Somando os dois descontos, temos um total de 630 + 648,9 = 1278,9 reais.

Resposta: E

8. FCC – DNOCS – 2010) Uma duplicata é descontada em um banco 50 dias antes

de seu vencimento apresentando um valor atual igual a R$ 31.900,00. Considere

que foi utilizada uma operação de desconto comercial simples, a uma taxa de 2% ao

mês, com a convenção do mês comercial. O valor nominal da duplicata é de

(A) R$ 33.000,00.

(B) R$ 33.600,00.

(C) R$ 32.900,00.

(D) R$ 32.600,00.

(E) R$ 32.800,00.

RESOLUÇÃO:

Aqui temos uma duplicata de valor atual A = 31900, taxa de desconto

comercial simples j = 2% ao mês e prazo para vencimento t = 50 dias, ou melhor, t =

50/30 meses (considerando o mês comercial de 30 dias). Portanto, o valor nominal

é:




31900 (1 0,02 50 / 30)

3190033022,77

0,966

N

N

= × − ×

= =

Temos, aproximadamente, o resultado da letra A.

Resposta: A

9. FCC – MPE-RS – 2008) Uma duplicata é descontada em um banco 45 dias antes

de seu vencimento, segundo uma operação de desconto comercial simples,

apresentando um valor atual igual a R$ 20.055,00. Com a utilização de uma

operação de desconto racional simples, a uma taxa de juros de 40% ao ano, o valor

atual teria sido de R$ 20.000,00. Considerando o ano comercial em ambos os

casos, a taxa de juros anual correspondente à operação de desconto comercial

simples foi de

(A) 36%

(B) 48%

(C) 24%

(D) 45%

(E) 30%

RESOLUÇÃO:

Observe que t = 45 dias, ou melhor, t = 45/360 ano (considerando o ano

comercial de 360 dias). O enunciado disse que, se utilizarmos a taxa de desconto

racional simples j = 40% ao ano, então o valor atual é A = 20000. Calculando o valor

nominal, temos:

1

2000045

1 0,40360

21000

NA

j t

N

N

=+ ×

=+ ×

=

Portanto, o título tem valor nominal N = 21000. Se, na operação de desconto

comercial simples, com o mesmo prazo t = 45/360 ano, o valor atual foi A = 20055,

podemos calcular a taxa de juros aplicada assim:




(1 )

4520055 21000 (1 )

3600,955 1 0,125

0,36 36% ao ano

A N j t

j

j

j

= × − ×

= × − ×

= − ×= =

Resposta: A

10. FCC – SEFAZ-PB – 2006) Ao descontar em um banco, 2 meses antes de seu

vencimento, um título de valor nominal igual a R$ 30.000,00, uma empresa recebe

na data da operação de desconto comercial simples o valor de R$ 28.500,00.

Utilizando a mesma taxa de desconto anterior e ainda a operação de desconto

comercial simples, descontando um título de valor nominal de R$ 24.000,00, 3

meses antes de seu vencimento, receberá

(A) R$ 22.500,00

(B))R$ 22.200,00

(C) R$ 22.000,00

(D) R$ 21.000,00

(E) R$ 20.000,00

RESOLUÇÃO:

Para calcular a taxa de desconto da primeira operação, temos t = 2 meses, N

= 30000 e A = 28500. Sendo uma operação de desconto comercial simples, temos:

(1 )

28500 30000 (1 2)

2,5% ao mês

A N j t

j

j

= × − ×= × − ×

=

Utilizando essa mesma taxa no desconto do título de N = 24000 e t = 3

meses, temos:

(1 )

24000 (1 0,025 3)

22200 reais

A N j t

A

A

= × − ×= × − ×=

Resposta: B

11. FCC – TRF/4ª – 2010) Uma duplicata é descontada em um banco 40 dias antes

de seu vencimento, segundo uma operação de desconto comercial simples. O valor

atual desta duplicata é igual a 97% de seu valor nominal. Considerando a

convenção do ano comercial, tem-se que a taxa anual de desconto utilizada foi de




(A) 15%.

(B) 18%.

(C) 21%.

(D) 24%.

(E) 27%.

RESOLUÇÃO:

Aqui temos t = 40 dias, ou melhor, 40/360 ano (veja que fiz essa mudança

porque o exercício quer a taxa anual). Sendo N o valor nominal, o enunciado diz que

o valor atual A é igual a 97% de N, isto é, A = 0,97N. Assim, na fórmula de desconto

comercial simples, temos:

(1 )

400,97 (1 )

3601

0,97 19

0,27 27% ao ano

A N j t

N N j

j

j

= × − ×

= × − ×

= − ×

= =

Resposta: E

12. ESAF – SEFAZ-SP – 2009) Um título no valor de face de R$ 1.000,00 deve ser

descontado três meses antes do seu vencimento. Calcule o valor mais próximo do

desconto racional composto à taxa de desconto de 3% ao mês.

a) R$ 84,86

b) R$ 90,00

c) R$ 87,33

d) R$ 92,73

e) R$ 82,57

RESOLUÇÃO:

Temos um título com valor nominal (de face) N = 1000, t = 3 meses e j = 3%

ao mês. Na fórmula do desconto racional composto, temos:

3

(1 )

1000915,14

(1 0,03)

t

NA

j

A

=+

= =+

Assim, o desconto foi D = N – A = 1000 – 915,14 = 84,85 reais.




Resposta: A

13. CESGRANRIO – ANP – 2008) A Empresa Vista Linda Ltda. descontou no

Banco da Praça S/A uma duplicata no valor de R$ 28.800,00 com 120 dias de

prazo, a uma taxa de desconto composto de 2,5% ao mês. Com base nos dados

acima e considerando o ano comercial, nos cálculos, o valor líquido creditado pelo

Banco na conta corrente da empresa, em reais, foi

(A) 28 888,08

(B) 28.808,88

(C) 27.062,61

(D) 26.062,12

(E) 26.026,21

RESOLUÇÃO:

Aqui temos N = 28800, j = 2,5% ao mês e t = 120 dias, ou melhor, t = 4

meses (considerando o mês comercial de 30 dias). Portanto, utilizando a fórmula de

desconto comercial composto (pois temos uma operação bancária), temos:

4

(1 )

28800 (1 0,025)

26026,21

tA N j

A

A

= × −= × −=

Resposta: E.

14. ESAF – AFRFB – 2005) O valor nominal de uma dívida é igual a 5 vezes o

desconto racional composto, caso a antecipação seja de dez meses. Sabendo-se

que o valor atual da dívida (valor de resgate) é de R$ 200.000,00, então o valor

nominal da dívida, sem considerar os centavos, é igual a:

a) R$ 230.000,00

b) R$ 250.000,00

c) R$ 330.000,00

d) R$ 320.000,00

e) R$ 310.000,00

RESOLUÇÃO:

Aqui temos que o valor nominal (N) é igual a 5 vezes o desconto (D), isto é:

N = 5 D




ou seja,

D = N / 5

Sabemos também que o valor atual é A = 200000, e que a relação entre o

desconto, o valor nominal e o valor atual é D = N – A. Portanto,

2000005

4200000

5 5250000

D N A

NN

N NN

N

= −

= −

= − =

=

Resposta: B

Atenção: use a tabela abaixo para resolver a questão a seguir, da ESAF – CVM –

2010.

15. ESAF – CVM – 2010) Um título é descontado quatro meses antes do seu

vencimento a uma taxa de desconto de 5% ao mês, sendo o valor do desconto

racional composto calculado em R$ 4.310,00. Marque o valor mais próximo do valor

nominal do título.

a) R$ 20.000,00

b) R$ 24.309,00

c) R$ 21.550,00

d) R$ 25.860,00

e) R$ 15.690,00

RESOLUÇÃO:




O desconto D foi de 4310 reais. Como D = N – A, então:

4310 = N – A

A = N – 4310

Como o enunciado disse que t = 4 meses e j = 5% ao mês, podemos utilizar a

fórmula do desconto racional composto:

4

(1 )

4310(1 0,05)

43101,215524309,41

t

NA

j

NN

NN

N

=+

− =+

− =

=

Resposta: B

Obs.: repare que o valor de (1 + 0,05)4 foi retirado da tabela de fator de

acumulação de capital fornecida, para j = 5% e n = 4.

16. FCC – SEFAZ/PB – 2006) Um título é resgatado 2 anos antes do vencimento,

segundo o critério do desconto racional composto. Se a taxa utilizada foi de 10% ao

ano e o valor do desconto resultou em R$ 4.620,00, o valor nominal do título é

(A) R$ 24.200,00

(B) R$ 24.805,00

(C) R$ 25.410,00

(D) R$ 26.015,00

(E)) R$ 26.620,00

RESOLUÇÃO:

Sendo t = 2 anos, j = 10% ao ano e D = 4620, temos:

D = N – A

4620 = N – A

A = N – 4620

Na fórmula do desconto racional composto:




2

(1 )

4620(1 0,1)

46201,2126620

t

NA

j

NN

NN

N

=+

− =+

− =

=

Resposta: E

17. FCC – SEFAZ/PB – 2006) Dois títulos cujos valores nominais são R$ 16.500,00

e R$ 26.620,00, vencíveis no fim de 1 ano e 3 anos, respectivamente, serão

substituídos por um único título equivalente, vencendo no final de 2 anos. Adotando

a operação do desconto racional composto à taxa de juros compostos de 10% ao

ano, o valor nominal deste único título é

(A) R$ 39.200,00

(B)) R$ 42.350,00

(C) R$ 44.165,00

(D) R$ 44.770,00

(E) R$ 47.432,00

RESOLUÇÃO:

Nessa questão precisaremos calcular o valor atual de cada título, para então

somá-los, obtendo o valor atual do novo título. Após isso, calcularemos o valor

nominal deste novo título.

Para o primeiro título, N = 16500, t = 1 ano, j = 10% ao ano. Portanto:

1 1

1650015000

(1 0,1)A = =

+

Para o segundo título, N = 26620, t = 3 anos, j = 10% ao ano. Portanto:

2 3

2662020000

(1 0,1)A = =

+

Somando os valores atuais dos dois títulos, temos o valor atual do novo título:

A = A1 + A2 = 35000

Assim, podemos calcular o valor nominal deste novo título:




2

(1 )

35000(1 0,1)

42350

t

NA

j

N

N

=+

=+

=

Resposta: B

18. FCC – SEFAZ/SP – 2010) Um título é descontado dois anos antes de seu

vencimento segundo o critério do desconto racional composto, a uma taxa de juros

compostos de 10% ao ano, apresentando um valor atual igual a R$ 20.000,00. Caso

este título tivesse sido descontado segundo o critério do desconto comercial

composto, utilizando a taxa de 10% ao ano, o valor atual seria de

(A) R$ 21.780,00

(B) R$ 21.600,00

(C) R$ 20.702,00

(D) R$ 19.804,00

(E) R$ 19.602,00

RESOLUÇÃO:

Vendo a primeira parte do enunciado, temos um título com valor atual A =

20000, se descontado 2 anos antes do vencimento (t = 2 anos) com a taxa j = 10%

ao ano. Com a fórmula do desconto racional composto, conseguimos o valor

nominal N:

220000(1 0,1)

24200

N

N

=+

=

Portanto, o valor nominal do título é 24200 reais. Se o desconto fosse dado

através da fórmula do desconto comercial composto, teríamos:

2

(1 )

24200 (1 0,1)

19602

tA N j

A

A

= × −= × −=

Resposta: E




2. AMORTIZAÇÕES

Ao pegar um dinheiro emprestado no banco, será preciso pagar de volta o

valor contratado inicialmente – chamado de Principal – e o valor dos juros, simples

ou compostos, de acordo com o seu contrato. O seu edital solicitou que você

conhecesse 3 formas diferentes de calcular o valor das parcelas a serem pagas: o

sistema francês (tabela price), o sistema de amortização constante (SAC) e o

sistema misto (SAM).

Seja qual for o sistema de financiamento, você precisa saber que cada

prestação (P) a ser paga é composta de duas partes: os juros (J) incorridos no

período, e a amortização (A) do saldo devedor. Isto é:

P = A + J

A parcela da amortização (A) é a única que efetivamente reduz o valor da

dívida, isto é, reduz o saldo devedor (SD). Portanto, se temos um saldo devedor SD

= 100 reais em um mês, e amortizamos 10 reais (A = 10), o saldo devedor do mês

seguinte será SD = 100 – 10 = 90 reais.

Já a parcela dos juros servem simplesmente para remunerar a instituição que

emprestou o dinheiro. Sobre essa parcela, é essencial lembrar que os juros de um

período são calculados sobre o saldo devedor do início daquele período.

Exemplificando, se estamos devendo SD = 100 reais no início de um mês, e a taxa

de juros é de 3% ao mês, então a parcela de juros incorrida naquele mês é de 3%

multiplicado por 100, totalizando 3 reais. Se, no mês seguinte, o saldo devedor tiver

se reduzido para SD = 90 reais (ou seja, foram amortizados 10 reais), a próxima

parcela de juros será de 3% x 90 = 2,70 reais, e não mais 3.

Vamos agora conhecer cada um dos sistemas de financiamento cobrados no

edital.

2.1 Sistema francês (tabela price)

O sistema francês é aquele onde todas as parcelas tem o mesmo valor. Ele é

muito utilizado na compra de roupas, eletrodomésticos e artigos de consumo em

geral. O valor de cada parcela pode ser calculado através da fórmula abaixo:

(1 )(1 ) 1

n

n

j jP VP

j× += ×+ −

Nesta fórmula, P é o valor da parcela, VP é o valor presente (isto é, o valor à

vista da dívida), j é a taxa de juros compostos aplicada e n é o número de parcelas.




Exemplificando, imagine que vamos comprar um aparelho de microondas

cujo valor à vista é de R$300,00. Pretendemos pagar em 4 parcelas mensais iguais,

com juros de 2% ao mês. Neste caso, VP = 300, j = 2% ao mês e n = 4 meses.

Portanto:

4

4

(1 )(1 ) 1

0,02 (1 0,02)300 78,78

(1 0,02) 1

n

n

j jP VP

j

P

× += ×+ −

× += × =+ −

Isto é, pagaremos 4 parcelas de R$78,78.

Você deve ter percebido que o cálculo matemático de (1 )

(1 ) 1

n

n

j jj

× ++ −

é bem

complicado. Chamando essa parte da fórmula de “FRC”, podemos dizer que:

P FRC VP= ×

Na equação acima, FRC é chamado de “fator de recuperação de capital”

(também designado por K). Normalmente é fornecida uma tabela com valores de

FRC para diferentes valores da taxa de juros j e do número de parcelas “n”.

Em alguns casos, ao invés de ser fornecido o fator de recuperação de capital,

é fornecido o “fator de valor atual” (1 ) 1

(1 )

n

n j n

ja

j j¬+ −=

× + . Repare que este fator é o

inverso de FRC.

Em nosso exemplo, vimos que as 4 parcelas terão o mesmo valor P = 78,78,

afinal estamos trabalhando no sistema Price. Sabemos que a parcela é composta

por duas partes (juros e amortização):

P = J + A

No primeiro mês, o saldo devedor inicial é SD = 300 reais. Como a taxa de

juros é de 2% ao mês, então os juros devidos no primeiro mês são de:

J = 2% x 300 = 6 reais

Como P = 78,78 e J = 6, podemos obter o valor da amortização A no primeiro

mês:

P = J + A

78,78 = 6 + A

A = 72,78

O saldo devedor SD após o primeiro pagamento será igual:




SD = 300 – 72,78 = 227,22

Atenção: cuidado para não calcular SD = 300 – 78,78 = 221,22. Você não

deve subtrair o valor da prestação toda (78,78), mas apenas o valor da amortização

(72,78). O pagamento de juros não reduz o saldo devedor.

No segundo mês, o saldo devedor inicial é SD = 227,22. Portanto, os juros

incorridos no segundo mês são de:

J = 2% x 227,22 = 4,54

Com isso, podemos calcular o valor da amortização paga neste mês:

P = J + A

78,78 = 4,54 + A

A = 74,23

Compare os juros e amortizações do primeiro e segundo mês. Repare que,

apesar da prestação ter tido o mesmo valor, a parcela referente aos juros reduziu, e

a parcela referente à amortização aumentou. Isso ocorre porque, do primeiro para o

segundo mês, temos uma redução do saldo devedor (de 300 para 227,22).

No terceiro mês, SD = 227,22 – 74,23 = 152,98. Portanto:

J = 2% x 152,98 = 3,06

A amortização do terceiro mês é:

P = J + A

78,78 = 3,06 + A

A = 75,72

Podemos colocar tudo isso na tabela a seguir:

Prestação

Saldo

devedor

inicial (SD)

Parcela

(VP x K)

Juros

(SD x j)

Amortização

(P – J)

Saldo

devedor

final

1ª 300 78,78 6 72,78 227,22

2ª 227,22 78,78 4,54 74,23 152,98

3ª 152,98 78,78 3,06 75,72 77,26

4ª 77,26 78,78 1,54 77,26 0

TOTAL - 315,12 15,12 300 -

Observe na tabela acima que:

- o valor da parcela é constante (78,78), totalizando 315,12 reais;




- o saldo devedor reduz-se a cada mês do valor da amortização;

- o valor dos juros reduz-se a cada mês, totalizando 15,12 reais;

- o valor da amortização aumenta a cada mês, totalizando 300 reais;

- o saldo devedor final é, obviamente, zero.

2.2 Sistema de Amortização Constante (SAC)

O sistema de amortização constante (SAC) é muito utilizado no

financiamento para aquisição de imóveis através do Sistema Financeiro de

Habitação. Este sistema tem este nome justamente porque, neste caso, o valor da

Amortização embutido em cada prestação é constante – ao contrário do que ocorre

na tabela price (onde a amortização sempre aumenta).

Se pretendemos comprar um apartamento, financiando R$360.000,00 em

180 meses (15 anos), pagando prestações mensais, o valor da amortização

embutido em cada parcela é dado simplesmente por:

3600002000

180VP

An

= = =

Além deste valor, deve ser pago todo mês o valor dos juros incorridos

naquele período. Lembre-se novamente que esses juros sempre serão calculados

sobre o saldo devedor no início do período. Em nosso exemplo, vamos considerar a

taxa de juros de 1% ao mês. Como o saldo devedor no início do primeiro mês era de

360.000, então os juros devidos ao final do primeiro mês serão de:

J = 1% x 360.000 = 3.600

Portanto, a primeira prestação terá o valor total de:

P = A + J = 2.000 + 3.600 = 5.600

O saldo devedor, logo após o pagamento dessa prestação, será reduzido do

valor da amortização, isto é:

SD = 360.000 - 2.000 = 358.000




Vamos agora calcular o valor da segunda prestação. A amortização é, por

definição, CONSTANTE. Isto é, A = 2.000 novamente. O valor dos juros deve ser

calculado sobre o saldo devedor do início do segundo mês, isto é, sobre 358.000 (e

não mais 360.000!). Portanto:

J = 1% x 358.000 = 3.580

Com isso, o valor da segunda prestação será:

P = A + J = 2.000 + 3.580 = 5.580

Comparando a primeira e a segunda prestações, repare que o valor total

diminuiu. Isto porque, apesar da parcela referente à amortização ter se mantido em

2.000 reais, a parte referente aos juros reduziu-se. Essa redução era esperada,

afinal no início do segundo período o saldo devedor era menor que no início do

primeiro, devido à primeira amortização.

Vamos calcular rapidamente a terceira prestação. Sabemos que A = 2.000, e

o saldo devedor no início do terceiro período é de SD = 358.000 - 2.000 = 356.000.

A parcela de juros será de:

J = 1% x 356.000 = 3.560

Assim, a terceira prestação terá o valor de 2.000 + 3.560 = 5.560 reais.

No sistema de amortização constante, o valor da parcela reduz a cada

período, devido à redução constante do saldo devedor. Repare que, neste caso, a

redução é de 20 reais a cada mês, que corresponde ao percentual de juros (1%)

aplicado sobre o valor da amortização mensal (2.000).

Podemos representar tudo o que vimos aqui através da tabela a seguir:

Prestação

Saldo

devedor

inicial

(SD)

Amortização

(VP / n)

Juros

(SD x j)

Parcela

(A + J)

Saldo

devedor

final

(SD – A)

1ª 360000 2000 3600 5600 358000




2ª 358000 2000 3580 5580 356000

3ª 356000 2000 3560 5560 354000

Observe na tabela acima que:

- o valor da amortização é constante (2000 reais);

- o saldo devedor reduz-se a cada mês do valor da amortização;

- o valor dos juros reduz-se a cada mês, devido à redução do saldo devedor;

- o valor da parcela reduz a cada mês, devido à redução dos juros.

2.3 Sistema de Amortização Misto (SAM)

Agora que você entendeu o Sistema Price e o SAC, você só precisa saber

que o valor da parcela, no sistema de amortização misto (SAM) é a média aritmética

entre o valor que a parcela teria no sistema Price e o valor que ela teria no sistema

SAC:

Price

2SAC

SAM

P PP

+=

Isto é, em um exercício cobrando o SAM, basta você calcular o valor da

parcela em cada um dos outros sistemas e obter a média. É por isso que este

sistema é chamado de MISTO.

Vamos exercitar os conhecimentos relativos à amortização nos exercícios a

seguir.

Atenção: utilize a tabela abaixo para resolver as questões da ESAF – SEFAZ-SP –

2009.




19. ESAF – SEFAZ-SP – 2009) Um financiamento no valor de R$76.060,80 deve

ser pago em 15 prestações semestrais iguais de R$10.000,00, vencendo as

prestações ao fim de cada semestre. Qual o valor mais próximo da parcela que

corresponde à amortização do saldo devedor, na segunda prestação?

a) R$ 2.394,00

b) R$ 7.103,00

c) R$ 2.897,00

d) R$ 2.633,00

e) R$ 7.606,00

RESOLUÇÃO:

Veja que temos todas as prestações iguais, isto é, estamos no sistema

francês (tabela price). Sabendo que o valor inicial da dívida é VP = 76060,80, a

prestação é P = 10000, e o número de prestações é n = 15, temos:

10000 76060,80

7,60608

P K VP

K

K

= ×= ×

=

Procurando esse valor na tabela acima, na linha onde n = 15 prestações,

temos que o valor da taxa de juros correspondente é 10%:

Sabendo disso, podemos analisar cada parcela. O saldo devedor inicial é SD

= 76060,80, portanto os juros incorridos no primeiro período (semestre) são de:

J = 10% x 76060,80 = 7606,08 reais

Como a prestação é de P = 10000, o valor da amortização na primeira

parcela é:




A = P – J = 10000 – 7606,08 = 2393,92 reais

Assim, o saldo devedor passa a ser de SD = 76060,80 – 2393,92 = 73666,88

no início do segundo semestre. Os juros do segundo semestre serão de:

J = 10% x 73666,88 = 7366,68 reais

A amortização do segundo semestre será de:

A = P – J = 10000 – 7366,68 = 2633,31 reais

Temos, aproximadamente, a letra D.

Resposta: D

20. ESAF – CVM – 2010) Uma pessoa tomou um empréstimo imobiliário no valor de

R$ 240.000,00 para ser pago em 120 prestações mensais pelo Sistema de

Amortizações Constantes - SAC, a uma taxa de 1,5% ao mês, sem carência,

vencendo a primeira prestação ao fim do primeiro mês, a segunda ao fim do

segundo mês, e assim sucessivamente. Marque o valor mais próximo da décima

segunda prestação.

a) R$ 5.270,00

b) R$ 5.420,00

c) R$ 5.300,00

d) R$ 5.360,00

e) R$ 5.330,00

RESOLUÇÃO:

Temos o valor inicial da dívida VP = 240000, e o número de prestações n =

120. Assim, o valor da amortização, a cada mês, é de:

A = VP / n = 240000 / 120 = 2000 reais

Se a cada mês amortizamos 2000 reais, isto significa que o saldo devedor

inicial (SD = 240000) reduz-se em 2000 reais a cada mês. Portanto, após 11 meses,

este saldo terá reduzido em 11 x 2000 = 22000 reais. Isto é, ao fim de 11 meses, a

dívida tem saldo:

SD = 240000 – 22000 = 218000 reais

No 12º mês, a parcela de juros deve ser calculada sobre o saldo devedor no

início deste período, isto é, sobre 218000. Portanto:

J = 1,5% x 218000 = 3270 reais

Assim, a 12ª parcela totalizará:




P = J + A = 3270 + 2000 = 5270 reais

Resposta: A


2010.

21. ESAF – CVM – 2010) Um financiamento no valor de R$ 612.800,00 deve ser

pago pelo Sistema Price em 18 prestações semestrais iguais, a uma taxa nominal

de 30% ao ano, vencendo a primeira prestação ao fim do primeiro semestre, a

segunda ao fim do segundo semestre, e assim sucessivamente. Obtenha o valor

mais próximo da amortização do saldo devedor embutido na segunda prestação.

a) R$ 10.687,00

b) R$ 8.081,00

c) R$ 10.000,00

d) R$ 9.740,00

e) R$ 9.293,00

RESOLUÇÃO:

Veja que as prestações são semestrais. Portanto, não devemos trabalhar

com a taxa nominal de 30% ao ano, mas sim 15% ao semestre. O financiamento

tem valor inicial VP = 612800, e será pago em 18 prestações semestrais (n = 18).

Através da fórmula do sistema price, podemos obter o valor da prestação:




18 15%

1

1612800

1612800 100000

6,127966

n j

P VP FRC VPa

Pa

P

¬

¬

= × = ×

= ×

= × ≅

O enunciado pediu o valor da amortização embutida na segunda prestação.

Para isso, devemos começar a análise a partir da primeira prestação.

Ao longo do primeiro semestre, o saldo devedor era de 612800, já que nada

tinha sido pago ainda. Ao longo deste período, a dívida rendeu juros de 15%. Assim,

os juros do primeiro semestre foram:

J = 612800 x 0,15 = 91920

Como a primeira prestação (assim como as demais) foi de 100.000,00, o

valor pago no primeiro ano a título de amortização é dado por:

P = J + A

100000 = 91920 + A

A = 8080

Assim, dos 100.000 pagos no primeiro semestre, apenas 8.080 foram

destinados à amortizar o valor da dívida, sendo os outros 91.920 utilizados apenas

para pagar os juros. Ao final do primeiro semestre, portanto, a dívida passou a ser

de 612.800 – 8.080 = 604.720.

No segundo semestre, os juros foram 15% do saldo devedor, que era

604.720. Isto é, J = 604720 x 0,15 = 90708. Assim,

P = J + A

100000 = 90708 + A

A = 9292

Portanto, o valor da amortização embutido na segunda prestação foi de 9292

reais (aproximadamente o que temos na letra E).

Resposta: E

Obs.: note que foi preciso lembrar que 1

n j

FRCa ¬

= , e obter na tabela

fornecida o valor de n ja ¬ , para n = 18 e j = 15%.




22. FCC – Banco do Brasil – 2006) Uma pessoa assume, hoje, o compromisso de

devolver um empréstimo no valor de R$ 15000,00 em 10 prestações mensais iguais,

vencendo a primeira daqui a um mês, à taxa de juros nominal de 24% ao ano, com

capitalização mensal. Sabe-se que foi utilizado o Sistema Francês de Amortização

(Sistema Price) e que, para a taxa de juros compostos de 2% ao período, o Fator de

Recuperação de Capital (10 períodos) é igual a 0,111. O respectivo valor dos juros

incluídos no pagamento da segunda prestação é

(A) R$ 273,30

(B)) R$ 272,70

(C) R$ 270,00

(D) R$ 266,70

(E) R$ 256,60

RESOLUÇÃO:

A taxa de juros nominal de 24% ao ano, com capitalização mensal,

corresponde à taxa efetiva de 2% ao mês. Além disso, temos que o valor inicial da

dívida é VP = 15000, e o número de prestações mensais é n = 10. O exercício ainda

disse que o valor do fator de recuperação de capital é FRC = 0,111 para j = 2% ao

período e n = 10 períodos. Portanto, podemos facilmente calcular o valor de cada

parcela:

0,111 15000 1665

P FRC VP

P

= ×= × =

Para calcular os juros da segunda prestação, podemos usar a tabela a

seguir:

Nº da

parcela

Saldo devedor Valor da

Parcela

Juros

(2% x saldo

devedor)

Amortização

1ª 15000 1665 300 1365

2ª 13635

(15000 – 1365)

1665 272,7 1392,3

Portanto, a segunda parcela de 1665 é composta por juros de 272,70 e

amortização de 1392,3.

Resposta: B




23. FCC – Banco do Brasil – 2010) Um empréstimo no valor de R$ 80.000,00

deverá ser pago por meio de 5 prestações mensais, iguais e consecutivas,

vencendo a primeira um mês após a data da concessão do empréstimo. Sabe-se

que foi utilizado o Sistema Francês de Amortização (Tabela Price) com uma taxa de

juros compostos de 3% ao mês, encontrando-se R$ 17.468,00 para o valor de cada

prestação. Imediatamente após o pagamento da primeira prestação, se S

representa o percentual do saldo devedor com relação ao valor do empréstimo,

então

(A) 81% ≤ S < 82%

(B) 80% ≤ S < 81%

(C) 79% ≤ S < 80%

(D) 78% ≤ S < 79%

(E) 77% ≤ S < 78%

RESOLUÇÃO:

O valor dos juros incorridos no primeiro mês é dado pela multiplicação da

taxa de juros mensal pelo saldo devedor no início do mês, isto é:

J = 3% x 80000 = 2400 reais

Se a parcela paga é P = 17468, podemos calcular o valor da amortização

assim:

P = J + A

17468 = 2400 + A

A = 15068 reais

O saldo devedor, após o pagamento da primeira parcela, será reduzido do

valor da amortização. Isto é, o novo saldo devedor será:

SD = 80000 – 15068 = 64932 reais

Para saber qual o percentual da dívida inicial que este novo saldo devedor

representa, basta efetuar a divisão abaixo:

Saldo devedor novo 64932Percentual= 0,811 81,1%

Saldo devedor inicial 80000= = =

Isto é, o novo saldo devedor está entre 81% e 82% do valor inicial do

empréstimo.

Resposta: A




Instruções: Para a resolução da questão a seguir, utilize a tabela financeira abaixo

(Taxa de juros nominal de 24% ao ano, com capitalização mensal)

24. FCC – SEFAZ/PB – 2006) Paulo comprou um automóvel em 10 prestações

mensais, iguais e consecutivas, no valor de R$ 4.400,00 cada uma, vencendo a




primeira 1 mês após a data da compra. A agência de automóveis trabalha com uma

taxa de juros compostos de 2% ao mês. Se Paulo propusesse à agência quitar a

dívida em 15 prestações, vencendo também a primeira 1 mês após a data da

compra, o valor da prestação seria de

(A) R$ 3.600,00

(B) R$ 3.410,00

(C) R$ 3.360,00

(D)) R$ 3.200,00

(E) R$ 3.140,00

RESOLUÇÃO:

Sabendo que as prestações são iguais, estamos diante de um financiamento

pelo sistema price. A tabela é dada para a taxa nominal de 24% ao ano, que

corresponde à taxa efetiva de 2% ao mês. Olhando na tabela, o valor do FRC para n

= 10 prestações é 0,11. Portanto, sabendo que o valor da parcela é P = 4400,

podemos calcular o valor inicial da dívida (VP):

4400 0,11

40000

P FRC VP

VP

VP

= ×= ×

=

Para quitar essa dívida em 15 prestações iguais, com j = 2% ao mês,

podemos ver na tabela fornecida que o fator de recuperação de capital é FRC =

0,08. Assim, podemos obter o valor de cada prestação:

0,08 40000

3200

P FRC VP

P

P

= ×= ×=

Resposta: D

25. FCC – SEFAZ/SP – 2010) Uma dívida no valor de R$ 40.000,00 deverá ser

liquidada em 20 prestações mensais, iguais e consecutivas, vencendo a primeira um

mês após a data da contração da dívida. Utilizou-se o Sistema Francês de

Amortização (Tabela Price), a uma taxa de juros compostos de 2,5% ao mês,

considerando o valor do Fator de Recuperação de Capital (FRC) correspondente

igual a 0,06415 (20 períodos). Pelo plano de amortização, o saldo devedor da

dívida, imediatamente após o pagamento da 2ª prestação, apresenta um valor de

(A) R$ 37.473,15




(B) R$ 36.828,85

(C) R$ 35.223,70

(D) R$ 35.045,85

(E) R$ 34.868,15

RESOLUÇÃO:

Nesta questão, temos VP = 40000, n = 20 meses e j = 2,5% ao mês. Foi dado

ainda que FRC = 0,06415 para n = 20 e j = 2,5%. Portanto, cada prestação terá o

valor de:

0,06415 40000 2566

P FRC VP

P

= ×= × =

Na primeira prestação, os juros são de:

J = 2,5% x 40000 = 1000

Portanto, a amortização é de:

A = P – J = 2566 – 1000 = 1566

Com essa amortização, o valor do saldo devedor é reduzido para:

SD = 40000 – 1566 = 38434

Na segunda prestação, os juros são de:

J = 2,5% x 38434 = 960,85

Portanto, a amortização na segunda prestação totaliza:

A = P – J = 2566 – 960,85 = 1605,15

Após isso, o valor da dívida, logo após o pagamento dessa 2ª prestação, será

reduzido para:

SD = 38434 – 1605,15 = 36828,85

Resposta: B

26. FCC – SEFIN/RO – 2010) A dívida referente à aquisição de um imóvel deverá

ser liquidada pelo Sistema de Amortização Constante (SAC) por meio de 48

prestações mensais, a uma taxa de 2% ao mês, vencendo a primeira prestação um

mês após a data de aquisição. Se o valor da última prestação é de R$ 2.550,00,

tem-se que o valor da 26a prestação é igual a

(A) R$ 3.700,00

(B) R$ 3.650,00

(C) R$ 3.600,00

(D) R$ 3.550,00




(E) R$ 3.500,00

RESOLUÇÃO:

Seja SD o saldo devedor no início do último mês. Sabemos que, após a

amortização deste mês (de valor A), o saldo devedor será zerado. Isto é,

SD – A = 0

SD = A

Isto é, o saldo devedor, logo após o pagamento da penúltima prestação

(início do último mês), é exatamente igual ao valor da amortização mensal (A), que

é constante. Após 1 mês, este valor terá rendido juros de:

J = 2% x A = 0,02A

Portanto, o valor pago na última prestação é igual à soma da amortização e

dos juros, isto é,

P = A + J

2550 = A + 0,02A

2550 = 1,02 A

A = 2500

Isto é, a amortização mensal é de 2500 reais. Se a dívida foi paga em 48

prestações, então a dívida inicial era de:

VP = 48 x A = 48 x 2500 = 120000

Após o pagamento de 25 prestações, o valor amortizado será de:

Valor amortizado = 25 x A = 25 x 2500 = 62500

O saldo devedor será:

SD = 120000 – 62500 = 57500

Portanto, ao longo do 26º mês este saldo devedor renderá juros de:

J = 2% x 57500 = 1150




Como a amortização é constante, no valor de A = 2500, a 26ª prestação será

de:

P = A + J = 2500 + 1150 = 3650

Resposta: B

27. FCC – TRE/AP – 2011) Uma pessoa obteve no Banco Cobra Tudo um

empréstimo para ser pago em 12 parcelas mensais, iguais e consecutivas, de R$

106,09. Após 9 meses, quis quitar sua dívida. Sabendo que a taxa de juros

composta cobrada pelo Banco foi de 3% ao mês, para pagar as três últimas

prestações na data do vencimento da prestação de número 10, essa pessoa

desembolsou (utilizando 4 casas decimais para a taxa de juros) a quantia, em reais,

de

(A) 318,27.

(B) 309,09.

(C) 308,72.

(D) 306,09.

(E) 299,17.

RESOLUÇÃO:

Chamemos de D o valor da dívida (saldo devedor e juros) no momento de

pagar a prestação de número 10. Após o pagamento dessa prestação, sobra um

saldo devedor SD = D – 106,09.

Ao longo do 11º mês, este valor rende juros de 3%, isto é:

J11 = 0,03 x SD = 0,03 x (D – 106,09)

Portanto, ao final deste mês a dívida (saldo devedor e juros) totaliza:

D11 = (D – 106,09) + 0,03 x (D – 106,09) = 1,03 x (D – 106,09)

Com o pagamento da 11ª parcela, a dívida reduz-se em 106,09 reais,

ficando:

1,03 x (D – 106,09) – 106,09




Ao longo do 12º mês, essa dívida rende juros de 3%, e passa a totalizar:

D12 = 1,03 x [1,03 x (D – 106,09) – 106,09]

Ao final do 12º mês, é paga a última prestação de 106,09 e a dívida é zerada.

Portanto,

D12 - 106,09 = 0

1,03 x [1,03 x (D – 106,09) – 106,09] - 106,09 = 0

1,03 x [1,03 x (D – 106,09) – 106,09] = 106,09

1,03 x [1,03 D – 109,27 – 106,09] = 106,09

1,03 x [1,03 D – 215,36] = 106,09

1,0609D – 221,82 = 106,09

D = 309,08

Portanto, a dívida (D) no momento do pagamento da 10ª prestação era de

309,08 reais. Este é o valor que será preciso desembolsar se houver interesse em

quitar o financiamento neste momento.

Resposta: B

28. FCC – TRE/AP – 2011) Uma pessoa adquiriu um imóvel no valor de R$

200.000,00. As economias feitas durante 3 anos possibilitaram que ela desse uma

entrada de R$ 80.000,00. Para pagar o saldo devedor contratou com uma instituição

financeira um financiamento com sistema de amortização constante (SAC).

Sabendo que o financiamento será pago em 10 anos, com prestações mensais,

vencendo a primeira um mês após a data da contratação da dívida, e que a taxa de

juros cobrada pela instituição foi de 1% ao mês, os valores da segunda e da terceira

prestações foram, respectivamente, em reais, de

(A) 1.000 e 1.000.

(B) 1.200 e 1.190.

(C) 2.190 e 2.180.

(D) 2.180 e 2.170.

(E) 2.200 e 2.190.

RESOLUÇÃO:




Aqui vemos que o financiamento contratado foi de 200000 – 80000 = 120000.

Este valor deve ser pago em n = 120 meses (10 anos), com taxa de juros j = 1% ao

mês, pelo sistema SAC. O valor da amortização mensal, que é constante, é de:

A = 120000 / 120 = 1000 reais

Após o pagamento da primeira prestação, a dívida total reduz-se do valor da

amortização. Isto é, a dívida, no início do segundo mês, é de:

SD = 120000 – 1000 = 119000 reais

Ao longo do segundo mês, o saldo devedor renderá juros de 1%, isto é:

J = 1% x 119000 = 1190 reais

A segunda parcela será, portanto:

P = A + J = 1000 + 1190 = 2190 reais

Com isso, já podemos marcar a letra C. Por fins didáticos, vamos calcular a

terceira parcela. O saldo devedor, no início do terceiro mês, será:

SD = 119000 – 1000 = 118000 reais

Os juros deste mês serão de:

J = 1% x 118000 = 1180 reais

A parcela será, portanto:

P = 1000 + 1180 = 2180 reais

Resposta: C




3. FLUXOS DE PAGAMENTOS E RECEBIMENTOS

3.1 VALOR ATUAL E FLUXO DE CAIXA

Você deve se lembrar, da aula de juros compostos, que a fórmula abaixo leva

um capital C a um montante M, daqui há “t” períodos, se aplicado à taxa de juros

compostos j:

(1 )tM C j= × +

Imagine que vamos aplicar certa quantia na data de hoje, isto é, no momento

presente. Chamemos, portanto, o capital C de valor presente ou atual (VP).

Analogamente, podemos chamar o montante M de valor futuro (VF), pois este é o

valor que o dinheiro assumirá no futuro, isto é, daqui há “t” períodos. Portanto:

(1 )tVF VP j= × +

Vendo a fórmula acima, também podemos dizer que:

(1 )t

VFVP

j=

+

Isto é, se conhecemos certo valor monetário numa data futura, podemos

saber qual é o seu valor equivalente na data atual, presente. Ou seja, podemos

calcular o valor atual daquela quantia. Exemplificando, vamos descobrir quando

1000 reais daqui há 12 meses representam hoje, considerando a taxa de 1% ao

mês. Veja que, neste caso, VF = 1000 reais, afinal este valor foi definido numa data

futura, e não na data de hoje. Assim:

12

(1 )

1000887,44

(1 0,01)

t

VFVP

j

VP

=+

= =+

Portanto, 1000 reais daqui a 12 meses equivalem a 887,44 reais na data de

hoje, isto é, o valor atual daquela quantia é VP = 887,44.

Uma aplicação útil do cálculo do valor atual é na análise de fluxos de caixa.

Um fluxo de caixa é formado por todos os desembolsos (pagamentos, saídas) e

todas as entradas de capital (recebimentos) ao longo de um período, associados a

certo projeto. Imagine que você é um empreendedor, e planejou abrir um negócio.




Fazendo seus cálculos, percebeu que precisaria desembolsar, na data de hoje,

R$7000,00 para abrir o negócio e colocá-lo para funcionar. A partir daí, não

precisaria mais desembolsar nada. Sua estimativa é de que nos próximos 4 anos

você ganhe R$2.000,00 ao final de cada ano com o seu negócio. O gráfico abaixo

representa o desembolso de 7000 reais e os ganhos de 2000 reais distribuídos ao

longo do tempo:

Esse esquema onde temos desembolsos e ganhos distribuídos ao longo do

tempo é o chamado de Fluxo de Caixa de um projeto. Ele nos permite, entre outras

coisas, fazer uma análise importante: vale a pena investir nesse negócio?

A uma primeira vista, talvez você respondesse: “sim, afinal serão investidos

7000 reais e, ao longo dos 4 anos, ganharei 8000 reais, resultando num saldo

positivo de 1000 reais”. Muito cuidado nessa hora. Você deve se lembrar que o

valor do dinheiro se altera no tempo. Isto é, 2000 reais de hoje não valem a mesma

coisa de 2000 reais no final do 4º ano. Exemplificando, considere a taxa de juros de

10% ao ano. Se temos o valor futuro VF = 2000 reais daqui a 4 anos, o valor

presente correspondente é:

4

(1 )

20001366,02

(1 0,1)

t

VFVP

j

VP

=+

= =+

Isto é, os 2000 reais ganhos ao final do 4º ano correspondem ao valor atual

de apenas 1366,02. De fato, se você aplicar hoje 1366,02 num investimento que

pague juros compostos de 10% ao ano, verá que, ao final de 4 anos, terá o

montante de 2000 reais. Vejamos quanto valem, na data de hoje, os 2000 reais

ganhos ao final do 3º ano:




3

(1 )

20001502,62

(1 0,1)

t

VFVP

j

VP

=+

= =+

Podemos fazer essa mesma conta para os 2000 ganhos ao final do 2º e do 1º

anos:

2

1

20001652,89

(1 0,1)

20001818,18

(1 0,1)

VP

VP

= =+

= =+

Somando o valor presente de cada recebimento futuro, temos que o Valor

Atual dos recebimentos futuros é VP = 6339,71. Apesar de, a uma primeira vista, o

nosso negócio ter um ganho de 8000 reais, devemos considerar que, para uma taxa

de juros de 10% ao ano, o valor atual dos recebimentos é de apenas 6339,71.

Comparando este valor com o total investido (7000 reais), vemos que o

negócio não compensa. Isto se a taxa de juros for mesmo 10% ao ano. Se ela fosse

de apenas 1% ao ano, o valor presente dos recebimentos futuros seria de:

1 2 3 4

2000 2000 2000 2000(1 0,01) (1 0,01) (1 0,01) (1 0,01)

1980,19 1960,59 1941,18 1921,96

7803,92

VP

VP

VP

= + + ++ + + +

= + + +=

Assim, valeria a pena investir no negócio, afinal o valor presente dos

recebimentos futuros (7803,92) é superior ao valor investido (7000).

A diferença entre o valor dos recebimentos futuros (entradas) e o valor

investido (desembolsos) é chamada de Valor Presente Líquido (VPL) do negócio,

também conhecido pela sigla em inglês NPV (Net Present Value):


VPL = 7803,92 – 7000 = 803,92

Se o VPL for maior que zero, o valor atual das entradas é maior que o dos

desembolsos, portanto podemos dizer que vale a pena investir no negócio. Caso

contrário, não vale a pena. Lembrando da primeira simulação, onde encontramos

VP = 6339,71, teríamos VPL = 6339,71 – 7000 = -660,29. Portanto, considerando a

taxa de 10% ao ano, não vale a pena investir no negócio, apesar de valer a pena

para a taxa de 1%.




Veja que, dependendo da taxa de juros, a decisão quanto a investir ou não

no negócio pode variar. Na vida real, o investidor normalmente utiliza como taxa de

juros aquele percentual que ele ganharia se investisse seu dinheiro em uma

aplicação financeira. Essa taxa é normalmente chamada de taxa mínima de

atratividade, pois é aquela taxa mínima para que o investidor prefira investir no

negócio ao invés da aplicação financeira. Mas você não precisa se preocupar com

isso, pois nos exercícios de fluxo de caixa a taxa de juros será dada pelo enunciado.

Imagine ainda que, além da opção de investir no negócio acima, com VPL =

803,92 (taxa de 1% ao ano), você também vislumbre a oportunidade de investir em

outro negócio. Entretanto, você só tem recursos para investir em um dos dois

negócios. Analisando o fluxo de caixa previsto para o segundo investimento, você

verifica que VPL = 950 reais (também com a taxa de 1%). Em qual negócio vale

mais a pena investir? Obviamente, no segundo. Isto é, comparando duas

possibilidades de investimento, aquela com maior VPL é a mais interessante.

Veja que o cálculo do valor presente das entradas de capital seria bem

complicado de se efetuar sem uma calculadora, ainda que fossem dados os valores

do fator de acumulação de capital (1 )tj+ em tabela:

1 2 3 4

2000 2000 2000 2000(1 0,01) (1 0,01) (1 0,01) (1 0,01)

VP = + + ++ + + +

Quando temos uma série de pagamentos ou recebimentos iguais, como esta

(5 recebimentos de 2000 reais), o valor atual destes pagamentos pode ser calculado

com o auxílio da tabela de valor atual para uma série de pagamentos iguais. Esta

tabela é muitas vezes fornecida pelos exercícios. Veja abaixo um exemplo:

i / n 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%

1 0,990099 0,980392 0,970874 0,961538 0,952381 0,943396 0,934579 0,925926 0,917431 0,909091

2 1,970395 1,941561 1,91347 1,886095 1,85941 1,833393 1,808018 1,783265 1,759111 1,735537

3 2,940985 2,883883 2,828611 2,775091 2,723248 2,673012 2,624316 2,577097 2,531295 2,486852

4 3,901966 3,807729 3,717098 3,629895 3,545951 3,465106 3,387211 3,312127 3,23972 3,169865

5 4,853431 4,71346 4,579707 4,451822 4,329477 4,212364 4,100197 3,99271 3,889651 3,790787

6 5,795476 5,601431 5,417191 5,242137 5,075692 4,917324 4,76654 4,62288 4,485919 4,355261

7 6,728195 6,471991 6,230283 6,002055 5,786373 5,582381 5,389289 5,20637 5,032953 4,868419

8 7,651678 7,325481 7,019692 6,732745 6,463213 6,209794 5,971299 5,746639 5,534819 5,334926

9 8,566018 8,162237 7,786109 7,435332 7,107822 6,801692 6,515232 6,246888 5,995247 5,759024

10 9,471305 8,982585 8,530203 8,110896 7,721735 7,360087 7,023582 6,710081 6,417658 6,144567

FATOR DE VALOR ATUAL DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS IGUAIS




Em nosso exemplo, temos n = 4 recebimentos e taxa de juros j = 1%.

Procurando o fator 4 1%a ¬ na coluna 1% e linha 4 da tabela acima, encontramos

4 1% 3,901966a ¬ = :

i / n 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%

1 0,990099 0,980392 0,970874 0,961538 0,952381 0,943396 0,934579 0,925926 0,917431 0,909091

2 1,970395 1,941561 1,91347 1,886095 1,85941 1,833393 1,808018 1,783265 1,759111 1,735537

3 2,940985 2,883883 2,828611 2,775091 2,723248 2,673012 2,624316 2,577097 2,531295 2,486852

4 3,901966 3,807729 3,717098 3,629895 3,545951 3,465106 3,387211 3,312127 3,23972 3,169865

5 4,853431 4,71346 4,579707 4,451822 4,329477 4,212364 4,100197 3,99271 3,889651 3,790787

6 5,795476 5,601431 5,417191 5,242137 5,075692 4,917324 4,76654 4,62288 4,485919 4,355261

7 6,728195 6,471991 6,230283 6,002055 5,786373 5,582381 5,389289 5,20637 5,032953 4,868419

8 7,651678 7,325481 7,019692 6,732745 6,463213 6,209794 5,971299 5,746639 5,534819 5,334926

9 8,566018 8,162237 7,786109 7,435332 7,107822 6,801692 6,515232 6,246888 5,995247 5,759024

10 9,471305 8,982585 8,530203 8,110896 7,721735 7,360087 7,023582 6,710081 6,417658 6,144567

FATOR DE VALOR ATUAL DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS IGUAIS

Portanto, podemos dizer simplesmente que:

VP = 4 1%a ¬ x 2000 = 3,901966 x 2000 = 7803,93

Lembre-se ainda que o fator de valor atual n ja ¬ para uma série de

pagamentos iguais é igual ao inverso do Fator de Recuperação de Capital (FRC)

que utilizamos ao estudar a tabela price:

1n ja

FRC¬ =

É importante ter isso em mente, pois a sua prova pode fornecer apenas uma

dessas duas tabelas (FRC ou n ja ¬ ).

3.2 TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR)

Como vimos no exemplo acima, dependendo da taxa de juros considerada o

VPL tem valor positivo ou negativo. Existe, portanto, uma taxa de juros que torna o

VPL igual a zero.

A taxa interna de retorno (TIR) de um investimento é aquela que torna o Valor

Presente Líquido (VPL) igual a zero. Esta é a taxa de juros real do investimento,

também conhecida pela sigla em inglês IRR (Internal Return Rate). A título de




exemplo, veja o que aconteceria no exemplo acima se tivéssemos considerado a

taxa de juros de 5,564% ao ano:

1 2 3 4

2000 2000 2000 2000(1 0,0564) (1 0,0564) (1 0,0564) (1 0,0564)

1894,58 1794,72 1700,13 1610,52

7000

VP

VP

VP

= + + ++ + + +

= + + +=

Ou seja, o valor presente dos recebimentos futuros seria 7000 reais.

Portanto, o valor presente líquido do investimento seria:

VPL = 7000 – 7000 = 0

Isso nos mostra que a taxa interna de retorno do investimento é de 5,564%

ao ano. O que a TIR nos diz? Simples: se temos a possibilidade de colocar o

dinheiro em uma aplicação financeira que pague mais do que a TIR, isto é, que

tenha um rendimento superior a 5,564% ao ano, é melhor deixar o dinheiro na

aplicação financeira. Caso contrário, vale a pena investir no negócio. Isto é, às

vezes, mesmo quando o VPL é positivo (valor atual das entradas é maior que o das

saídas), pode ser que a rentabilidade do negócio seja inferior à que seria obtida na

aplicação financeira, sendo mais interessante deixar o dinheiro investido no banco.

Nota: veja que ao longo da aula de hoje e, em especial, nas últimas seções, fizemos

considerações muito simples. A análise que deve ser efetuada para a tomada de

decisão de um investimento é, em realidade, bem mais complexa do ponto de vista

financeiro, além de envolver diversos outros aspectos não-financeiros. Entretanto, o

nosso foco aqui é ACERTAR AS QUESTÕES DE CONCURSO.

Vamos aos exercícios?




Instruções: use as tabelas abaixo para resolver as questões da prova ESAF – CVM

– 2010.

29. ESAF – CVM – 2010) Calcule o valor mais próximo do valor atual, no início do

primeiro ano, da série abaixo de pagamentos relativos ao fim de cada ano, à taxa de

juros compostos de 12% ao ano:

a) 12.500

b) 15.802

c) 16.275




d) 17.029

e) 14.186

RESOLUÇÃO:

Vamos resolver essa questão de duas formas, uma utilizando apenas a

tabela de Fator de Acumulação de Capital, e a outra utilizando também a tabela de

Fator de Valor Atual fornecida.

Observe que, para cada pagamento com valor futuro VF, o valor atual VP é

dado pela fórmula abaixo, onde a taxa de juros é j = 12% ao ano:

(1 )t

VFVP

j=

+

O primeiro pagamento ocorre em t = 1 ano, e tem VF = 4000. Portanto,

1

40003571,42

(1 0,12)VP = =

+

Observe que a tabela do fator de acumulação de capital nos dá o valor de

(1 )tj+ . Olhando apenas a coluna onde j = 12%, temos:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

4000 4000 4000 3000 3000 3000 1000 1000 1000 1000(1 0,12) (1 0,12) (1 0,12) (1 0,12) (1 0,12) (1 0,12) (1 0,12) (1 0,12) (1 0,12) (1 0,12)

VP = + + + + + + + + ++ + + + + + + + + +

4000 4000 4000 3000 3000 3000 1000 1000 1000 10001,12 1,2544 1,4049 1,5735 1,7623 1,9738 2,2106 2,4759 2,7730 3,1058

VP = + + + + + + + + +

16275VP = (letra C)

Veja que utilizamos apenas a tabela do fator de acumulação de capital. Com

isso, fomos obrigados a fazer vários cálculos. Entretanto, observe que a nossa série

de pagamentos é formada por 3 séries distintas:

- uma de 3 pagamentos iguais de 4000 reais, começando na data zero e tendo seu

primeiro pagamento no 1º ano;

- uma de 3 pagamentos iguais de 3000 reais, começando no 3º ano e tendo primeiro

pagamento no 4º ano;

- uma de 4 pagamentos iguais de 1000 reais, começando no 6º ano e tendo o

primeiro pagamento no final do 7º ano.

Na tabela de valor atual de uma série de pagamentos iguais, podemos

encontrar o fator para n = 3 pagamentos e j = 12% ao ano:




Assim, 3 12% 2,401831a ¬ = . Isto significa que o valor atual de uma série de 3

pagamentos de 4000 reais com taxa de 12% ao ano tem o valor atual:

3 12%1 4000

1 4000 2,401831 9607,32

VP a

VP¬= ×

= × =

Da mesma forma, uma série de 3 pagamentos de 3000 reais com taxa de

12% ao ano tem o valor atual:

3 12%2 3000

2 3000 2,401831 7205,49

VP a

VP¬= ×

= × =

Veja ainda que o fator para n = 4 pagamentos e taxa j = 12% é

4 12% 3,037349a ¬ = . Assim, uma série de 4 pagamentos de 1000 reais com taxa de

12% ao ano tem o valor atual:

4 12%3 1000

3 1000 3,037349 3037,34

VP a

VP¬= ×

= × =

Observe que a primeira série de pagamentos começa na data zero, tendo o

primeiro pagamento no 1º ano. Portanto, VP1 já é o valor dela na data zero.

A segunda série de pagamentos começou no 3º ano (primeiro pagamento no

4º ano). Portanto, o valor VP2 não é o valor dessa série na data zero, mas sim na

data 3. Para trazer este valor para a data zero, precisamos dividir por (1 + 12%)3.

Analogamente, precisamos dividir o valor VP3 por (1 + 12%)6 para trazê-lo para a

data zero, pois o valor encontrado refere-se ao início daquela série de pagamentos,

que é a data 6.

Assim, devemos efetuar a seguinte soma:




3 6

3 6

2 31

1,12 1,127205,49 3037,34

9607,321,12 1,12

7205,49 3037,349607,32

1,404928 1,9738229607,32 5128,72 1538,81

16274,85

VP VPVP VP

VP

VP

VP

VP

= + +

= + +

= + +

= + +=

Resumindo o que fizemos aqui, bastaria você efetuar o cálculo abaixo:

3 12% 4 12%3 12% 3 6

3000 10004000

(1 12%) (1 12%)a a

VP a ¬ ¬¬

× ×= × + +

+ +

Resposta: C

30. ESAF – CVM – 2010) Pretende-se trocar uma série de oito pagamentos

mensais iguais de R$ 1.000,00, vencendo o primeiro pagamento ao fim de um mês,

por outra série equivalente de doze pagamentos iguais, vencendo o primeiro

pagamento também ao fim de um mês. Calcule o valor mais próximo do pagamento

da segunda série considerando a taxa de juros compostos de 2% ao mês.

a) R$ 750,00

b) R$ 693,00

c) R$ 647,00

d) R$ 783,00

e) R$ 716,00

RESOLUÇÃO:

Aqui temos 8 pagamentos iguais de 1000 reais, com taxa de 2% ao mês. Da

tabela de fator de valor atual para uma série de pagamentos iguais, podemos obter

o fator 8 2% 7,325481a ¬ = . Portanto, o valor atual desta série de pagamentos é:

8 2% 1000 7,325481 1000 7325,48VP a ¬= × = × =

Se este valor vai ser pago em 12 prestações iguais, estamos lidando com o

sistema francês (tabela price) de amortização. Nele, sabemos que o valor de cada

prestação é:




P FRC VP= ×

O fator de recuperação de capital (FRC) é o inverso do fator de valor atual.

Como, da tabela, podemos tirar que 12 2% 10,575341a ¬ = , então o FRC é:

12 2%

1 110,575341

FRCa ¬

= =

Portanto, cada uma das 12 prestações é no valor de:

17325,48 692,69

10,575341

P FRC VP

P

= ×

= × =

Resposta: B

31. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2011) Considere as três afirmativas a seguir:

I - Um fluxo de caixa representa o movimento de entradas e desembolsos de

capitais ao longo de um universo temporal.

II - Taxa Interna de Retorno (TIR) de um fluxo de caixa é aquela para a qual a soma

das entradas de capital é igual à soma dos desembolsos quando a comparação é

efetuada em uma mesma data.

III - Dois fluxos de caixa são equivalentes se têm as mesmas entradas de capital.

Está correto o que se afirma em:

(A) II, apenas.

(B) I e II, apenas.

(C) I e III, apenas.

(D) II e III, apenas.

(E) I, II e III.

RESOLUÇÃO:

Esta questão nos permite revisar os conceitos estudados. Vejamos cada item

proposto.



Verdadeiro. Lembre-se do exemplo onde analisamos qual seria o

investimento (isto é, desembolso) necessário em um determinado negócio e quais




seriam os recebimentos (entradas) ao longo de um determinado período de tempo

(universo temporal).




Verdadeiro. A taxa interna de retorno é aquela que torna o VPL igual a zero.

Como o VPL é a subtração entre os desembolsos e as entradas em uma mesma

data, temos:


0 = Valor atual das entradas – Valor atual dos desembolsos

Valor atual dos desembolsos = Valor atual das entradas

Ou seja, a TIR torna o VPL igual a zero e, consequentemente, a soma das

entradas é igual à soma dos desembolsos, se comparados na mesma data (valor

atual).


Falso. Dois fluxos de caixa com as mesmas entradas de capital, porém em

datas diferentes, não são equivalentes. E dois fluxos de caixa com as mesmas

entradas, porém com desembolsos diferentes, também não são equivalentes.

Resposta: B

32. FCC – Banco do Brasil – 2006) Uma empresa deverá escolher um entre dois

projetos X e Y, mutuamente excludentes, que apresentam os seguintes fluxos de

caixa:

A taxa mínima de atratividade é de 8% ao ano (capitalização anual) e verifica-se que

os valores atuais líquidos referentes aos dois projetos são iguais. Então, o

desembolso D referente ao projeto X é igual a




(A)) R$ 30 000,00

(B) R$ 40 000,00

(C) R$ 45 000,00

(D) R$ 50 000,00

(E) R$ 60 000,00

RESOLUÇÃO:

Para o projeto Y, temos o fluxo de caixa abaixo:

Calculando o valor presente líquido deste investimento, com a taxa de

atratividade j = 8%, temos:

1 2

Valor atual das entradas - Valor atual dos desembolsos

16200 17496VPL = 40000

(1 8%) (1 8%)

15000 15000 40000

10000

VPL

VPL

VPL

=

+ −+ +

= + −= −

O segundo projeto tem o mesmo valor atual líquido, isto é, tem VPL = -10000.

Além disso, o seu fluxo de caixa pode ser visto no esquema abaixo:

Portanto, para o segundo investimento:




1 2


10800 11664-10000=

(1 8%) (1 8%)

10000 10000 10000

30000

VPL

D

D

D

=

+ −+ +

− = + −=

Resposta: A

33. FCC – Banco do Brasil – 2006) Considere o seguinte fluxo de caixa cuja taxa

interna de retorno é igual a 10% ao ano:

O valor de X é igual a

(A) R$ 11 000,00

(B) R$ 11 550,00

(C) R$ 13 310,00

(D) R$ 13 915,00

(E)) R$ 14 520,00

RESOLUÇÃO:

Se a TIR = 10%, então o VPL será igual a zero quando aplicarmos essa taxa

ao fluxo de caixa esquematizado abaixo:

Portanto,




1 2 3


0 173030= 25000

(1 10%) (1 10%) (1 10%)

0 0 13000 250001,21

(25000 13000) 1,21 14520

VPL

X

X

X

=

+ + −+ + +

= + + −

= − × =

Resposta: E

34. FCC – SEFAZ/SP – 2010) O fluxo de caixa abaixo corresponde a um projeto de

investimento (com os valores em reais), em que se apurou uma taxa interna de

retorno igual a 20% ao ano.


(A) R$ 10.368,00

(B) R$ 11.232,00

(C) R$ 12.096,00

(D) R$ 12.960,00

(E) R$ 13.824,00

RESOLUÇÃO:

Se neste fluxo de caixa a TIR = 20%, então o VPL é zero quando essa taxa

de juros é utilizada:

1 2 3


2 30 = (5 13500)

(1 20%) (1 20%) (1 20%)

VPL

X X XX

=

+ + − −+ + +

Para facilitar as contas, podemos multiplicar todos os termos da equação

acima por (1 + 20%)3:




2 1 30 = X (1,2) 2 (1,2) 3 (5 13500) (1,2)

0 1,44 2,4 3 (8,64 23328)

1,8 23328

12960

X X X

X X X X

X

X

× + × + − − ×= + + − −

==

Resposta: D.

35. FCC – SEFIN/RO – 2010) Considere o fluxo de caixa abaixo referente a um

projeto em que o desembolso inicial foi de R$ 25.000,00. A uma taxa de atratividade

de 20% ao ano, o índice de lucratividade do projeto apresenta um valor de 1,176.


(A) R$ 12.000,00

(B) R$ 13.200,00

(C) R$ 14.400,00

(D) R$ 15.000,00

(E) R$ 17.280,00

RESOLUÇÃO:

Dizer que o índice de lucratividade é 1,176 equivale a dizer que o valor atual

das entradas é igual a 1,176 vezes o custo do projeto, isto é, 1,176 x 25000 =

29400. Portanto,

1 2

2160029400

1,2 1,2

29400 150001,2

17280

X

X

X

= +

= +

=

Resposta: E

36. CESGRANRIO – TRANSPETRO – 2011) O instrumento que permite equalizar o

valor presente de um ou mais pagamentos (saídas de caixa) com o valor presente

de um ou mais recebimentos (entradas de caixa) é a(o)




(A) taxa de retorno sobre o investimento

(B) taxa interna de retorno

(C) lucratividade embutida

(D) valor médio presente

(E) valor futuro esperado

RESOLUÇÃO:

A taxa interna de retorno é aquela que torna o VPL = 0 , isto é, torna o valor

atual das entradas igual ao valor atual dos desembolsos (saídas). Letra B.

Resposta: B

37. CESGRANRIO – TRANSPETRO – 2011) A Cia. Renovar S/A encontra-se em

fase de avaliação de propostas de investimentos de capital, como segue.

Admitindo-se que o orçamento de capital esteja limitado a R$ 11.500.000,00, as

alternativas que, somadas, apresentam maior Valor Presente Líquido são:

(A) P + Q + T

(B) P + R + S

(C) P + Q + S

(D) P + Q + R

(E) Q + R + S + T

RESOLUÇÃO:

O valor presente líquido de cada alternativa de investimento é dada pela

diferença entre o valor atual das entradas (coluna “valor presente dos benefícios

líquidos de caixa”) e o valor atual dos desembolsos (coluna “investimento

necessário”). Calculando o VPL de cada investimento, temos:

P � VPL = 7475000 – 5750000 = 1.725.000

Q � VPL = 2530000– 2300000 = 230.000

R� VPL = 1207000 – 1150000 = 57.000




S� VPL = 5635000 – 4600000 = 1.035.000

T� VPL = 4140000 – 3450000 = 690.000

Nosso orçamento está limitado em 11.500.000 reais, isto é, a soma dos

investimentos necessários não pode ser superior a este valor. Para cada alternativa

de resposta, vamos calcular a soma dos VPLs e a soma dos investimentos:

Alternativa Soma dos VPLs Soma dos investimentos

(A) P + Q + T 2645000 11500000

(B) P + R + S 2817000 11500000

(C) P + Q + S 2990000 12650000

(D) P + Q + R 2012000 9200000

(E) Q + R + S + T 2012000 11500000

Veja que a letra C apresenta o maior VPL, porém ela “estoura” o orçamento,

pois o investimento necessário é superior a 11500000. Assim, devemos escolher a

alternativa B, que proporciona o segundo maior VPL e não estoura o orçamento.

Resposta: B.

ATENÇÃO: Seguem abaixo as questões da recente prova d e Auditor Tributário

do Município de São Paulo, o conhecido “ISS/SP”. Trata-se de um ótimo teste

sobre a sua fixação do conteúdo da aula de hoje.

38. FCC - ISS/SP - 2012) Em 05 de janeiro de certo ano, uma pessoa tomou

R$10.000,00 emprestados por 10 meses, a juros simples, com taxa de 6% ao mês.

Após certo tempo, encontrou um outro credor que cobrava taxa de 4% ao mês.

Tomou, então, R$13.000,00 emprestados do segundo credor pelo resto do prazo e,

no mesmo dia, liquidou a dívida com o primeiro. Em 05 de novembro desse ano, ao

liquidar a segunda dívida, havia pago um total de R$5.560,00 de juros aos dois

credores. O prazo do segundo empréstimo foi

a) 4 meses

b) meses e meio

c) 5 meses

d) 5 meses e meio




e) 6 meses

RESOLUÇÃO:

Veja que temos 10 meses entre o início do primeiro empréstimo (5 de janeiro)

e a liquidação do último (5 de novembro). Digamos que o segundo empréstimo foi

tomado “t” meses após o início do primeiro, ou seja, o primeiro empréstimo durou “t”

meses e o segundo durou “10 – t” meses.

Após “t” meses, os juros devidos relativos ao primeiro empréstimo foram de:

10000 0,06 600

J C j t

J t t

= × ×= × × =

Uma vez que este primeiro empréstimo foi liquidado, nos “10 – t” meses finais

apenas o segundo empréstimo, de 13000 reais, rendeu juros. Os juros devidos

relativos a este segundo empréstimo foram de:

13000 0,04 (10 ) 520 (10 )

J C j t

J t t

= × ×= × × − = × −

Portanto, o total de juros devidos nessa operação foi de:

600t + 520x(10-t) = 5200 + 80t

Como foi pago um total de R$5560,00 em juros, podemos dizer que:

5560 = 5200 + 80t

t = 4,5 meses

O segundo empréstimo teve prazo “10 – t” meses, isto é:

10 – t = 10 – 4,5 = 5,5 meses

Temos o resultado da letra D.

Resposta: D

39. FCC - ISS/SP - 2012) Em uma loja, um computador, cujo preço é R$2.200,00,

pode ser vendido nas seguintes condições:

- à vista, com abatimento de 10% no preço ou

- em duas parcelas, sendo a primeira delas dada como entrada, correspondendo a

25% do preço. A segunda, que corresponde ao restante financiado a juros




compostos à taxa de 4% ao mês, deve ser paga ao completar 2 meses da data da

compra.

Se R e S são, respectivamente, os totais pagos no primeiro e no segundo casos, é

verdade que:

a) S = R + R$354,64

b) S + R = R$4.312,00

c) R = S - R$179,52

d) S - R = R$ 99,52

e) S = 2R

RESOLUÇÃO:

No primeiro caso, basta tirarmos 10% do preço inicial. Assim,

R = 2200 – 10%x2200 = 2200 – 220 = 1980 reais

No segundo caso, a entrada é de 25% de 2200, isto é, 25%x2200 = 550

reais. O saldo devedor é de 2200 – 550 = 1650. Este valor será corrigido, por 2

meses, a juros compostos de 2% ao mês, totalizando: 2(1 ) 1650 (1 0,04) 1784,64tM C j= × + = × + =

Deste modo, os pagamentos referentes à segunda opção totalizam:

S = 550 + 1784,64 = 2334,64

Analisando as alternativas de resposta, temos que a letra A (S = R + 354,64)

está correta.

Resposta: A

40. FCC - ISS/SP - 2012) Dois títulos, um com vencimento daqui a 30 dias e outro

com vencimento daqui a 60 dias, foram descontados hoje, com desconto racional

composto, à taxa de 5% ao mês. Sabe-se que a soma de seus valores nominais é

R$5.418,00 e a soma dos valores líquidos recebidos é R$5.005,00. O maior dos

valores nominais supera o menor deles em:

a) R$ 1.502,50

b) R$ 1.484,00

c) R$ 1.417,50

d) R$ 1.215,50

e) R$ 1.195,00

RESOLUÇÃO:




Sabemos que, no caso do desconto racional composto, a relação entre o

valor nominal e o valor atual de um título é dada por:

(1 )t

NA

j=

+

O primeiro título tem vencimento em 30 dias (t = 1 mês), e o segundo em 60

dias (t = 2 meses), e ambos tem taxa j = 5% ao mês. Assim, podemos dizer que:

= 11 1,05

NA � = ×1 1 1,05N A

e

= =2 22 2(1,05) 1,1025

N NA � = ×2 2 1,1025N A

Foi dito ainda que a soma dos valores nominais é de 5418 reais, ou seja:

N1 + N2 = 5418 � 1,05A1 + 1,1025A2 = 5418

E a soma dos valores líquidos recebidos, ou valores atuais, é de 5005 reais:

A1 + A2 = 5005 � A2 = 5005 – A1

Com essas duas equações, podemos obter os valores de A1 e A2,

substituíndo esta expressão encontrada na última equação na anterior:

1,05A1 + 1,1025 (5005 – A1) = 5418

1,05A1 + 5518,01 – 1,1025 A1 = 5418

A1 = 1905

Com isso, temos:

A2 = 5005 – A1 = 5005 – 1905 = 3100

= × = × =1 1 1,05 1905 1,05 2000,25N A

= × = × =2 2 1,1025 3100 1,1025 3417,75N A

Portanto, N2 – N1 = 1417,5, ou seja, o maior valor nominal supera o menor em

1417,5 reais.

Resposta: C

41. FCC - ISS/SP - 2012) Uma dívida, no valor de R$91.600,00, foi paga em 5

parcelas mensais, a primeira delas vencendo ao completar um mês da data do

empréstimo. Sabe-se que foi utilizado o Sistema de Amortização Francês com taxa

de 3% ao mês e que o fator de valor atual correspondente é 4,58. A cota de

amortização da segunda prestação foi:




a) R$ 17.900,60

b) R$ 17.769,56

c) R$ 17.512,53

d) R$ 17.315,45

e) R$ 17.117,82

RESOLUÇÃO:

A prestação, no sistema francês, é dada por:

n i

VPP

a ¬

=

Como foi dito que o fator de valor atual é, neste caso, igual a 4,58, e que o

valor inicial da dívida é de 91600 reais, temos que:

9160020000

4,58n i

VPP

a ¬

= = =

Portanto, serão pagas 5 parcelas de 20000 reais. Os juros devidos devem ser

calculados sempre sobre o saldo devedor. Portanto, no primeiro mês os juros

devidos foram de:

J = 91600 x 0,03 = 2748 reais

Como a parcela paga foi de 20000 reais, então a parte referente à

amortização foi de:

P = J + A

20000 = 2748 + A

A = 17252 reais

Assim, o saldo devedor no início do segundo mês passou a ser de 91600 –

17252 = 74348 reais. E os juros incorridos ao longo deste mês foram de:

J = 74348 x 0,03 = 2230,44 reais

Portanto, a amortização efetuada ao pagar a segunda parcela de 20000 foi

de:

P = J + A

20000 = 2230,44 + A

A = 17769,56 reais

Resposta: B






empréstimo. O sistema utilizado foi o SAC (Sistema de Amortização Constante),

com taxa de 4% ao mês. Nessas condições, é verdade que:

a) a cota de juros da terceira prestação foi R$250,00

b) a cota de amortização da quinta prestação foi R$220,00

c) o valor da décima prestação foi R$350,00

d) o saldo devedor imediatamente após o pagamento da décima-quinta parcela foi

R$1.250,00

e) a cota de juros da última prestação foi R$15,00

RESOLUÇÃO:

No sistema SAC, a amortização que integra cada prestação é dada por:

5000250

20

VPA

n= = =

Também faz parte de cada prestação os juros, que são calculados sobre o

saldo devedor no início de cada período. Com isso, vamos analisar rapidamente

cada alternativa:


Após os dois primeiros períodos, o saldo devedor foi reduzido para 5000 –

2x250 = 4500, uma vez que a amortização mensal é de 250 reais. Portanto, os juros

incorridos no terceiro período foram de 4500 x 0,04 = 180 reais. Alternativa FALSA.

b) a cota de amortização da quinta prestação foi de R$220,00

FALSA, pois já vimos que a amortização mensal é de 250 reais.


Após 9 prestações pagas, o saldo devedor reduziu-se para 5000 – 9x250 =

2750. Os juros incorridos no 10º período foram de 2750x0,04 = 110 reais, de modo

que a décima prestação foi de 110 + 250 = 360 reais. Alternativa FALSA.


R$1250,00

Após 15 parcelas, o saldo devedor reduziu-se para 5000 – 15x250 = 1250.

Alternativa VERDADEIRA.

e) a cota de juros da última prestação foi de R$15,00




Após 19 prestações, o saldo devedor é de 5000 – 19x250 = 250 reais. Assim,

os juros incorridos no 20º mês são de 250x0,04 = 10 reais. Alternativa FALSA.

Resposta: D

43. FCC - ISS/SP - 2012) Uma pessoa investiu R$1.000,00 por 2 meses, recebendo

ao final desse prazo o montante de R$1.060,00. Se, nesse período, a taxa de juros

foi de 4%, então a taxa de inflação desse bimestre foi de aproximadamente:

a) 1,84

b) 1,86

c) 1,88

d) 1,90

e) 1,92

RESOLUÇÃO:

Os juros da aplicação podem ser calculados facilmente assim:

1060 1000 (1 )

0,06 6%

j

j

= × += =

Esses são os juros nominais, isto é, sem levar em conta o efeito da inflação.

Se os juros reais (já levando em conta a inflação) foram de 4%, podemos descobrir

a taxa de inflação pela relação abaixo:

(1 )(1 )

(1 )n

real

jj

i

+ = ++

(1 6%)(1 4%)

(1 )i

+ = ++

i = 0,0192 = 1,92%

Resposta: E

44. FCC - ISS/SP - 2012) Para a aquisição de um equipamento, uma empresa tem

duas opções, apresentadas na tabela abaixo.

Utilizando-se a taxa de 20% ao ano, verifica-se que o módulo da diferença entre os

valores atuais das opções X e Y, na data de hoje, é:




a) zero

b) R$ 1.041,00

c) R$ 2.056,00

d) R$ 2.085,00

e) R$ 2.154,00

RESOLUÇÃO:

Para avaliar as alternativas, devemos trazer todos os valores para o

presente, isto é, calcular todos os valores atuais. Em cada caso, temos 2 fontes de

desembolsos (o custo inicial e a manutenção anual) e uma entrada de recursos (o

valor residual, que é aquele obtido com a venda do equipamento após os 12 anos

de uso). Foi dito que a taxa a ser utilizada é de 20% ao ano, e, para facilitar os

cálculos, foram fornecidos os valores de (1+20%)12 e o fator de valor atual

12 20% 4,44a ¬ = . Assim, vejamos cada opção:

OPÇÃO X:

- Soma dos desembolsos (valores atuais):

12 20%15000 1000 15000 1000 4, 44 19440Desembolsos a reais¬= + × = + × =

- Soma das entradas (valores atuais):

12

1495, 20 1495,20168

(1,20) 8,9Entradas = = =

Deste modo, Entradas – Desembolsos = 168 – 19440 = -19272 reais

OPÇÃO Y:

- Soma dos desembolsos (valores atuais):

12 20%12000 1200 12000 1200 4, 44 17328Desembolsos a reais¬= + × = + × =

- Soma das entradas (valores atuais):

12

996,80 996,80112

(1, 20) 8,9Entradas = = =

Deste modo, Entradas – Desembolsos = 112 – 17328 = -17216 reais

Portanto, a diferença, em módulo, entre as duas opções é de:

17216 ( 19272) 2056− − − =

Resposta: C




***************************

Pessoal, por hoje, é só!!

Até a aula 07, quando iniciamos o conteúdo de Estatística.

Abraço,

Arthur

[email protected]




3. QUESTÕES APRESENTADAS NA AULA

1. CESGRANRIO – ANP – 2008) A Empresa Serra Verde Ltda. levou ao Banco

quatro duplicatas no valor de R$32.500,00 cada uma, com vencimento para 90, 120,

150 e 180 dias, respectivamente, para descontá-las. O Banco ofereceu à empresa

uma taxa de desconto simples de 3,45% ao mês. Com base nos dados acima e

considerando o ano comercial, o valor do desconto pago pela empresa no ato do

empréstimo, em reais, foi

(A) 20.182,50

(B) 25.750,00

(C) 26.910,00

(D) 32.187,50

(E) 33.637,50

2. CESGRANRIO – TJ/RO – 2008) Uma empresa obtém do Banco um crédito de

R$23.335,00, correspondente a uma duplicata descontada, pelo prazo de 28 dias, a

uma taxa de juros simples de 2,48% ao mês. O valor, em reais, da duplicata levada

ao Banco pela empresa foi

(A) 24.105,32

(B) 23.887,76

(C) 23.853,33

(D) 23.553,00

(E) 23.533,55

3. CESGRANRIO – TRANSPETRO – 2011) Uma empresa obteve um desconto de

uma duplicata no valor de R$ 12.000,00 no Banco Novidade S/A, com as seguintes

condições:

• Prazo do título: 2 meses

• Taxa de desconto simples cobrada pelo banco: 2,5% ao mês

Considerando-se exclusivamente as informações acima, o valor creditado na conta

corrente da empresa, em reais, foi de

(A) 11.660,00

(B) 11.460,00

(C) 11.400,00

(D) 11.200,00




(E) 11.145,00

4. ESAF – AFRFB – 2005) Edgar precisa resgatar dois títulos. Um no valor de R$

50.000,00 com prazo de vencimento de dois meses, e outro de R$ 100.000,00 com

prazo de vencimento de três meses. Não tendo condições de resgatá-los nos

respectivos vencimentos, Edgar propõe ao credor substituir os dois títulos por um

único, com vencimento em quatro meses. Sabendo-se que a taxa de desconto

comercial simples é de 4% ao mês, o valor nominal do novo título, sem considerar

os centavos, será igual a:

a) R$ 159.523,00

b) R$ 159.562,00

c) R$ 162.240,00

d) R$ 162.220,00

e) R$ 163.230,00

5. ESAF – AFRFB – 2005) Um banco deseja operar a uma taxa efetiva de juros

simples de 24% ao trimestre para operações de cinco meses. Deste modo, o valor

mais próximo da taxa de desconto comercial trimestral que o banco deverá cobrar

em suas operações de cinco meses deverá ser igual a:

a) 19 %

b) 18,24 %

c) 17,14 %

d) 22 %

e) 24 %

6. FCC – Banco do Brasil – 2010) Um título descontado 2 meses antes de seu

vencimento, segundo uma operação de desconto racional simples e com a

utilização de uma taxa de desconto de 18% ao ano, apresenta um valor atual igual a

R$ 21.000,00. Um outro título de valor nominal igual ao dobro do valor nominal do

primeiro título é descontado 5 meses antes de seu vencimento, segundo uma

operação de desconto comercial simples e com a utilização de uma taxa de

desconto de 2% ao mês. O valor atual deste segundo título é de

(A) R$ 42.160,80.

(B) R$ 41.529,60.




(C) R$ 40.664,40.

(D) R$ 39.799,20.

(E) R$ 38.934,00.

7. FCC – DNOCS – 2010) Dois títulos de valores nominais iguais foram

descontados, em um banco, da seguinte maneira:

Primeiro título: descontado 45 dias antes de seu vencimento, a uma taxa de

desconto de 2% ao mês, segundo uma operação de desconto racional simples,

apresentando um valor atual de R$ 21.000,00.

Segundo título: descontado 60 dias antes de seu vencimento, a uma taxa de

desconto de 1,5% ao mês, segundo uma operação de desconto comercial simples.

Utilizando a convenção do mês comercial, tem-se que a soma dos valores dos

descontos correspondentes é igual a

(A) R$ 1.260,00.

(B) R$ 1.268,80.

(C) R$ 1.272,60.

(D) R$ 1.276,40.

(E) R$ 1.278,90.

8. FCC – DNOCS – 2010) Uma duplicata é descontada em um banco 50 dias antes

de seu vencimento apresentando um valor atual igual a R$ 31.900,00. Considere

que foi utilizada uma operação de desconto comercial simples, a uma taxa de 2% ao

mês, com a convenção do mês comercial. O valor nominal da duplicata é de

(A) R$ 33.000,00.

(B) R$ 33.600,00.

(C) R$ 32.900,00.

(D) R$ 32.600,00.

(E) R$ 32.800,00.

9. FCC – MPE-RS – 2008) Uma duplicata é descontada em um banco 45 dias antes

de seu vencimento, segundo uma operação de desconto comercial simples,




apresentando um valor atual igual a R$ 20.055,00. Com a utilização de uma

operação de desconto racional simples, a uma taxa de juros de 40% ao ano, o valor

atual teria sido de R$ 20.000,00. Considerando o ano comercial em ambos os

casos, a taxa de juros anual correspondente à operação de desconto comercial

simples foi de

(A) 36%

(B) 48%

(C) 24%

(D) 45%

(E) 30%

10. FCC – SEFAZ-PB – 2006) Ao descontar em um banco, 2 meses antes de seu

vencimento, um título de valor nominal igual a R$ 30.000,00, uma empresa recebe

na data da operação de desconto comercial simples o valor de R$ 28.500,00.

Utilizando a mesma taxa de desconto anterior e ainda a operação de desconto

comercial simples, descontando um título de valor nominal de R$ 24.000,00, 3

meses antes de seu vencimento, receberá

(A) R$ 22.500,00

(B))R$ 22.200,00

(C) R$ 22.000,00

(D) R$ 21.000,00

(E) R$ 20.000,00

11. FCC – TRF/4ª – 2010) Uma duplicata é descontada em um banco 40 dias antes

de seu vencimento, segundo uma operação de desconto comercial simples. O valor

atual desta duplicata é igual a 97% de seu valor nominal. Considerando a

convenção do ano comercial, tem-se que a taxa anual de desconto utilizada foi de

(A) 15%.

(B) 18%.

(C) 21%.

(D) 24%.

(E) 27%.




12. ESAF – SEFAZ-SP – 2009) Um título no valor de face de R$ 1.000,00 deve ser

descontado três meses antes do seu vencimento. Calcule o valor mais próximo do

desconto racional composto à taxa de desconto de 3% ao mês.

a) R$ 84,86

b) R$ 90,00

c) R$ 87,33

d) R$ 92,73

e) R$ 82,57

13. CESGRANRIO – ANP – 2008) A Empresa Vista Linda Ltda. descontou no

Banco da Praça S/A uma duplicata no valor de R$ 28.800,00 com 120 dias de

prazo, a uma taxa de desconto composto de 2,5% ao mês. Com base nos dados

acima e considerando o ano comercial, nos cálculos, o valor líquido creditado pelo

Banco na conta corrente da empresa, em reais, foi

(A) 28 888,08

(B) 28.808,88

(C) 27.062,61

(D) 26.062,12

(E) 26.026,21

14. ESAF – AFRFB – 2005) O valor nominal de uma dívida é igual a 5 vezes o

desconto racional composto, caso a antecipação seja de dez meses. Sabendo-se

que o valor atual da dívida (valor de resgate) é de R$ 200.000,00, então o valor

nominal da dívida, sem considerar os centavos, é igual a:

a) R$ 230.000,00

b) R$ 250.000,00

c) R$ 330.000,00

d) R$ 320.000,00

e) R$ 310.000,00


2010.




15. ESAF – CVM – 2010) Um título é descontado quatro meses antes do seu

vencimento a uma taxa de desconto de 5% ao mês, sendo o valor do desconto

racional composto calculado em R$ 4.310,00. Marque o valor mais próximo do valor

nominal do título.

a) R$ 20.000,00

b) R$ 24.309,00

c) R$ 21.550,00

d) R$ 25.860,00

e) R$ 15.690,00

16. FCC – SEFAZ/PB – 2006) Um título é resgatado 2 anos antes do vencimento,

segundo o critério do desconto racional composto. Se a taxa utilizada foi de 10% ao

ano e o valor do desconto resultou em R$ 4.620,00, o valor nominal do título é

(A) R$ 24.200,00

(B) R$ 24.805,00

(C) R$ 25.410,00

(D) R$ 26.015,00

(E)) R$ 26.620,00

17. FCC – SEFAZ/PB – 2006) Dois títulos cujos valores nominais são R$ 16.500,00

e R$ 26.620,00, vencíveis no fim de 1 ano e 3 anos, respectivamente, serão

substituídos por um único título equivalente, vencendo no final de 2 anos. Adotando




a operação do desconto racional composto à taxa de juros compostos de 10% ao

ano, o valor nominal deste único título é

(A) R$ 39.200,00

(B)) R$ 42.350,00

(C) R$ 44.165,00

(D) R$ 44.770,00

(E) R$ 47.432,00

18. FCC – SEFAZ/SP – 2010) Um título é descontado dois anos antes de seu

vencimento segundo o critério do desconto racional composto, a uma taxa de juros

compostos de 10% ao ano, apresentando um valor atual igual a R$ 20.000,00. Caso

este título tivesse sido descontado segundo o critério do desconto comercial

composto, utilizando a taxa de 10% ao ano, o valor atual seria de

(A) R$ 21.780,00

(B) R$ 21.600,00

(C) R$ 20.702,00

(D) R$ 19.804,00

(E) R$ 19.602,00

Atenção: utilize a tabela abaixo para resolver as questões da ESAF – SEFAZ-SP –

2009.

19. ESAF – SEFAZ-SP – 2009) Um financiamento no valor de R$76.060,80 deve

ser pago em 15 prestações semestrais iguais de R$10.000,00, vencendo as




prestações ao fim de cada semestre. Qual o valor mais próximo da parcela que

corresponde à amortização do saldo devedor, na segunda prestação?

a) R$ 2.394,00

b) R$ 7.103,00

c) R$ 2.897,00

d) R$ 2.633,00

e) R$ 7.606,00

20. ESAF – CVM – 2010) Uma pessoa tomou um empréstimo imobiliário no valor de

R$ 240.000,00 para ser pago em 120 prestações mensais pelo Sistema de

Amortizações Constantes - SAC, a uma taxa de 1,5% ao mês, sem carência,

vencendo a primeira prestação ao fim do primeiro mês, a segunda ao fim do

segundo mês, e assim sucessivamente. Marque o valor mais próximo da décima

segunda prestação.

a) R$ 5.270,00

b) R$ 5.420,00

c) R$ 5.300,00

d) R$ 5.360,00

e) R$ 5.330,00


2010.




21. ESAF – CVM – 2010) Um financiamento no valor de R$ 612.800,00 deve ser

pago pelo Sistema Price em 18 prestações semestrais iguais, a uma taxa nominal

de 30% ao ano, vencendo a primeira prestação ao fim do primeiro semestre, a

segunda ao fim do segundo semestre, e assim sucessivamente. Obtenha o valor

mais próximo da amortização do saldo devedor embutido na segunda prestação.

a) R$ 10.687,00

b) R$ 8.081,00

c) R$ 10.000,00

d) R$ 9.740,00

e) R$ 9.293,00

22. FCC – Banco do Brasil – 2006) Uma pessoa assume, hoje, o compromisso de

devolver um empréstimo no valor de R$ 15000,00 em 10 prestações mensais iguais,

vencendo a primeira daqui a um mês, à taxa de juros nominal de 24% ao ano, com

capitalização mensal. Sabe-se que foi utilizado o Sistema Francês de Amortização

(Sistema Price) e que, para a taxa de juros compostos de 2% ao período, o Fator de

Recuperação de Capital (10 períodos) é igual a 0,111. O respectivo valor dos juros

incluídos no pagamento da segunda prestação é

(A) R$ 273,30

(B)) R$ 272,70

(C) R$ 270,00

(D) R$ 266,70

(E) R$ 256,60

23. FCC – Banco do Brasil – 2010) Um empréstimo no valor de R$ 80.000,00

deverá ser pago por meio de 5 prestações mensais, iguais e consecutivas,

vencendo a primeira um mês após a data da concessão do empréstimo. Sabe-se

que foi utilizado o Sistema Francês de Amortização (Tabela Price) com uma taxa de

juros compostos de 3% ao mês, encontrando-se R$ 17.468,00 para o valor de cada

prestação. Imediatamente após o pagamento da primeira prestação, se S

representa o percentual do saldo devedor com relação ao valor do empréstimo,

então

(A) 81% ≤ S < 82%

(B) 80% ≤ S < 81%




(C) 79% ≤ S < 80%

(D) 78% ≤ S < 79%

(E) 77% ≤ S < 78%

Instruções: Para a resolução da questão a seguir, utilize a tabela financeira abaixo

(Taxa de juros nominal de 24% ao ano, com capitalização mensal)




24. FCC – SEFAZ/PB – 2006) Paulo comprou um automóvel em 10 prestações

mensais, iguais e consecutivas, no valor de R$ 4.400,00 cada uma, vencendo a

primeira 1 mês após a data da compra. A agência de automóveis trabalha com uma

taxa de juros compostos de 2% ao mês. Se Paulo propusesse à agência quitar a

dívida em 15 prestações, vencendo também a primeira 1 mês após a data da

compra, o valor da prestação seria de

(A) R$ 3.600,00

(B) R$ 3.410,00

(C) R$ 3.360,00

(D)) R$ 3.200,00

(E) R$ 3.140,00

25. FCC – SEFAZ/SP – 2010) Uma dívida no valor de R$ 40.000,00 deverá ser

liquidada em 20 prestações mensais, iguais e consecutivas, vencendo a primeira um

mês após a data da contração da dívida. Utilizou-se o Sistema Francês de

Amortização (Tabela Price), a uma taxa de juros compostos de 2,5% ao mês,

considerando o valor do Fator de Recuperação de Capital (FRC) correspondente

igual a 0,06415 (20 períodos). Pelo plano de amortização, o saldo devedor da

dívida, imediatamente após o pagamento da 2ª prestação, apresenta um valor de

(A) R$ 37.473,15

(B) R$ 36.828,85

(C) R$ 35.223,70

(D) R$ 35.045,85

(E) R$ 34.868,15

26. FCC – SEFIN/RO – 2010) A dívida referente à aquisição de um imóvel deverá

ser liquidada pelo Sistema de Amortização Constante (SAC) por meio de 48

prestações mensais, a uma taxa de 2% ao mês, vencendo a primeira prestação um

mês após a data de aquisição. Se o valor da última prestação é de R$ 2.550,00,

tem-se que o valor da 26a prestação é igual a

(A) R$ 3.700,00

(B) R$ 3.650,00

(C) R$ 3.600,00




(D) R$ 3.550,00

(E) R$ 3.500,00

27. FCC – TRE/AP – 2011) Uma pessoa obteve no Banco Cobra Tudo um

empréstimo para ser pago em 12 parcelas mensais, iguais e consecutivas, de R$

106,09. Após 9 meses, quis quitar sua dívida. Sabendo que a taxa de juros

composta cobrada pelo Banco foi de 3% ao mês, para pagar as três últimas

prestações na data do vencimento da prestação de número 10, essa pessoa

desembolsou (utilizando 4 casas decimais para a taxa de juros) a quantia, em reais,

de

(A) 318,27.

(B) 309,09.

(C) 308,72.

(D) 306,09.

(E) 299,17.

28. FCC – TRE/AP – 2011) Uma pessoa adquiriu um imóvel no valor de R$

200.000,00. As economias feitas durante 3 anos possibilitaram que ela desse uma

entrada de R$ 80.000,00. Para pagar o saldo devedor contratou com uma instituição

financeira um financiamento com sistema de amortização constante (SAC).

Sabendo que o financiamento será pago em 10 anos, com prestações mensais,

vencendo a primeira um mês após a data da contratação da dívida, e que a taxa de

juros cobrada pela instituição foi de 1% ao mês, os valores da segunda e da terceira

prestações foram, respectivamente, em reais, de

(A) 1.000 e 1.000.

(B) 1.200 e 1.190.

(C) 2.190 e 2.180.

(D) 2.180 e 2.170.

(E) 2.200 e 2.190.

Instruções: use as tabelas abaixo para resolver as questões da prova ESAF – CVM

– 2010.




29. ESAF – CVM – 2010) Calcule o valor mais próximo do valor atual, no início do

primeiro ano, da série abaixo de pagamentos relativos ao fim de cada ano, à taxa de

juros compostos de 12% ao ano:

a) 12.500

b) 15.802

c) 16.275

d) 17.029

e) 14.186




30. ESAF – CVM – 2010) Pretende-se trocar uma série de oito pagamentos

mensais iguais de R$ 1.000,00, vencendo o primeiro pagamento ao fim de um mês,

por outra série equivalente de doze pagamentos iguais, vencendo o primeiro

pagamento também ao fim de um mês. Calcule o valor mais próximo do pagamento

da segunda série considerando a taxa de juros compostos de 2% ao mês.

a) R$ 750,00

b) R$ 693,00

c) R$ 647,00

d) R$ 783,00

e) R$ 716,00

31. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2011) Considere as três afirmativas a seguir:







Está correto o que se afirma em:

(A) II, apenas.

(B) I e II, apenas.

(C) I e III, apenas.

(D) II e III, apenas.

(E) I, II e III.

32. FCC – Banco do Brasil – 2006) Uma empresa deverá escolher um entre dois

projetos X e Y, mutuamente excludentes, que apresentam os seguintes fluxos de

caixa:




A taxa mínima de atratividade é de 8% ao ano (capitalização anual) e verifica-se que

os valores atuais líquidos referentes aos dois projetos são iguais. Então, o

desembolso D referente ao projeto X é igual a

(A)) R$ 30 000,00

(B) R$ 40 000,00

(C) R$ 45 000,00

(D) R$ 50 000,00

(E) R$ 60 000,00

33. FCC – Banco do Brasil – 2006) Considere o seguinte fluxo de caixa cuja taxa

interna de retorno é igual a 10% ao ano:


(A) R$ 11 000,00

(B) R$ 11 550,00

(C) R$ 13 310,00

(D) R$ 13 915,00

(E)) R$ 14 520,00

34. FCC – SEFAZ/SP – 2010) O fluxo de caixa abaixo corresponde a um projeto de

investimento (com os valores em reais), em que se apurou uma taxa interna de

retorno igual a 20% ao ano.





(A) R$ 10.368,00

(B) R$ 11.232,00

(C) R$ 12.096,00

(D) R$ 12.960,00

(E) R$ 13.824,00

35. FCC – SEFIN/RO – 2010) Considere o fluxo de caixa abaixo referente a um

projeto em que o desembolso inicial foi de R$ 25.000,00. A uma taxa de atratividade

de 20% ao ano, o índice de lucratividade do projeto apresenta um valor de 1,176.


(A) R$ 12.000,00

(B) R$ 13.200,00

(C) R$ 14.400,00

(D) R$ 15.000,00

(E) R$ 17.280,00

36. CESGRANRIO – TRANSPETRO – 2011) O instrumento que permite equalizar o

valor presente de um ou mais pagamentos (saídas de caixa) com o valor presente

de um ou mais recebimentos (entradas de caixa) é a(o)

(A) taxa de retorno sobre o investimento

(B) taxa interna de retorno

(C) lucratividade embutida

(D) valor médio presente

(E) valor futuro esperado

37. CESGRANRIO – TRANSPETRO – 2011) A Cia. Renovar S/A encontra-se em

fase de avaliação de propostas de investimentos de capital, como segue.




Admitindo-se que o orçamento de capital esteja limitado a R$ 11.500.000,00, as

alternativas que, somadas, apresentam maior Valor Presente Líquido são:

(A) P + Q + T

(B) P + R + S

(C) P + Q + S

(D) P + Q + R

(E) Q + R + S + T

38. FCC - ISS/SP - 2012) Em 05 de janeiro de certo ano, uma pessoa tomou

R$10.000,00 emprestados por 10 meses, a juros simples, com taxa de 6% ao mês.

Após certo tempo, encontrou um outro credor que cobrava taxa de 4% ao mês.

Tomou, então, R$13.000,00 emprestados do segundo credor pelo resto do prazo e,

no mesmo dia, liquidou a dívida com o primeiro. Em 05 de novembro desse ano, ao

liquidar a segunda dívida, havia pago um total de R$5.560,00 de juros aos dois

credores. O prazo do segundo empréstimo foi

a) 4 meses

b) meses e meio

c) 5 meses

d) 5 meses e meio

e) 6 meses

39. FCC - ISS/SP - 2012) Em uma loja, um computador, cujo preço é R$2.200,00,

pode ser vendido nas seguintes condições:

- à vista, com abatimento de 10% no preço ou

- em duas parcelas, sendo a primeira delas dada como entrada, correspondendo a

25% do preço. A segunda, que corresponde ao restante financiado a juros

compostos à taxa de 4% ao mês, deve ser paga ao completar 2 meses da data da

compra.




Se R e S são, respectivamente, os totais pagos no primeiro e no segundo casos, é

verdade que:

a) S = R + R$354,64

b) S + R = R$4.312,00

c) R = S - R$179,52

d) S - R = R$ 99,52

e) S = 2R

40. FCC - ISS/SP - 2012) Dois títulos, um com vencimento daqui a 30 dias e outro

com vencimento daqui a 60 dias, foram descontados hoje, com desconto racional

composto, à taxa de 5% ao mês. Sabe-se que a soma de seus valores nominais é

R$5.418,00 e a soma dos valores líquidos recebidos é R$5.005,00. O maior dos

valores nominais supera o menor deles em:

a) R$ 1.502,50

b) R$ 1.484,00

c) R$ 1.417,50

d) R$ 1.215,50

e) R$ 1.195,00



empréstimo. Sabe-se que foi utilizado o Sistema de Amortização Francês com taxa

de 3% ao mês e que o fator de valor atual correspondente é 4,58. A cota de

amortização da segunda prestação foi:

a) R$ 17.900,60

b) R$ 17.769,56

c) R$ 17.512,53

d) R$ 17.315,45

e) R$ 17.117,82



empréstimo. O sistema utilizado foi o SAC (Sistema de Amortização Constante),

com taxa de 4% ao mês. Nessas condições, é verdade que:





b) a cota de amortização da quinta prestação foi R$220,00



R$1.250,00

e) a cota de juros da última prestação foi R$15,00

43. FCC - ISS/SP - 2012) Uma pessoa investiu R$1.000,00 por 2 meses, recebendo

ao final desse prazo o montante de R$1.060,00. Se, nesse período, a taxa de juros

foi de 4%, então a taxa de inflação desse bimestre foi de aproximadamente:

a) 1,84

b) 1,86

c) 1,88

d) 1,90

e) 1,92

44. FCC - ISS/SP - 2012) Para a aquisição de um equipamento, uma empresa tem

duas opções, apresentadas na tabela abaixo.

Utilizando-se a taxa de 20% ao ano, verifica-se que o módulo da diferença entre os

valores atuais das opções X e Y, na data de hoje, é:

a) zero

b) R$ 1.041,00

c) R$ 2.056,00

d) R$ 2.085,00

e) R$ 2.154,00




4. GABARITO

01 A 02 B 03 C 04 A 05 C 06 E 07 E

08 A 09 A 10 B 11 E 12 A 13 E 14 B

15 B 16 E 17 B 18 E 19 D 20 A 21 E

22 B 23 A 24 D 25 B 26 B 27 B 28 C

29 C 30 B 31 B 32 A 33 E 34 D 35 E

36 B 37 B 38 D 39 A 40 C 41 B 42 D

43 E 44 C

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