Aula 06: Modelagem e Python-MIP - Otimização Linear e Inteira · Aula de Hoje 1 Formato LP 2...

Aula 06: Modelagem e Python-MIPOtimização Linear e Inteira

Túlio A. M. Toffolohttp://www.toffolo.com.br

BCC464/PCC174 – 2019/2Departamento de Computação – UFOP

http://www.toffolo.com.br

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Algoritmo Simplex (Parte 1)

2 / 24 Túlio Toffolo – Otimização Linear e Inteira – Aula 06: Modelagem e Python-MIP

Aula de Hoje

1 Formato LP

2 Exemplo de modelagem 1


4 Aula Prática


Introdução

Formatos conhecidos para entrada de programas lineares:

MPS Mathematical Programming System :

padrão da indústria

pouco intuitivo, confuso e com limitações

LP CPLEX LP file format :

padrão criado para uso com o resolvedor CPLEX

mais fácil e prático do que o formato MPS

aceito nos principais resolvedores modernos

arquivos podem ser convertidos para MPS


Formato LP

Componentes

função objetivo

restrições

informações de variáveis

limites

variáveis inteiras genéricas

variáveis binárias


Problema da Dieta

DIETA.LP

1 Minimize2 custo: 3 x1 + 2.5 x234 Subject to5 vitaminas: 6 x1 + 4 x2 >= 326 proteinas: 5 x1 + 6 x2 >= 3678 End


Resolvendo usando Python-MIP + SolverComando

1 from mip.model import *2 model = Model()3 model.read('dieta.lp')4 model.optimize()

Exemplo Limites1 Optimize a model with 2 rows, 2 columns and 4 nonzeros2 Coefficient statistics:3 Matrix range [4e+00, 6e+00]4 Objective range [2e+00, 3e+00]5 Bounds range [0e+00, 0e+00]6 RHS range [3e+01, 4e+01]7 Presolve time: 0.02s8 Presolved: 2 rows, 2 columns, 4 nonzeros9

10 Iteration Objective Primal Inf. Dual Inf. Time11 0 0.0000000e+00 8.500000e+00 0.000000e+00 0s12 2 1.7750000e+01 0.000000e+00 0.000000e+00 0s1314 Solved in 2 iterations and 0.02 seconds15 Optimal objective 1.775000000e+01


Limites e Integralidade

Podem ser especificadas restrições específicas sobre algumas variáveis

Essas restrições são informadas após a seção das restrições normais epodem ser dos seguintes tipos:

Restrição de limites -Seção Bounds:

Exemplo Limites1 Subject to2 ...3 Bounds4 0 <= x1 <= 405 2 <= x4 <= 3


Limites e Integralidade (cont.)

Para variáveis para as quais não são permitidos valores fracionáriostemos as seções:

General: variáveis inteiras de modo geral

Binary: variáveis inteiras que somente podem assumir valor zero ou um

Exemplo Integralidade1 Subject to2 ...3 General4 x15 x26 Binary7 x3


Aula de Hoje

1 Formato LP



4 Aula Prática


Modelagem - Planejamento da Produção

Nossa companhia fabrica tapetes artesanais, um produto com demanda sazonal.Obtivemos as demandas demanda1, demanda2, . . . , demanda12 para o ano que seinicia. As mesmas variam desde 440 até 920.

Atualmente temos 30 empregados, e cada um faz 20 tapetes por mês e recebe $2.000,00. Estamos sem estoque de carpetes no momento.

As flutuações de demanda podem ser gerenciadas do seguinte modo:

1 trabalho extra: nesse caso paga-se 80% a mais do que o salário regular; cadafuncionário pode ter um máximo de 30% de trabalho a mais no mês;

2 contratar ou despedir: custo de $ 320 e $ 400, respectivamente;

3 manter estoques: custa $ 8 por tapete por mês; atualmente não temos tapetes

estocados e precisamos terminar o ano sem estoque também.

Como atender toda a demanda minimizando os custos de produção ?


Planejamento da Produção - Variáveis

ti trabalhadores no i-ésimo mês; (t0 = 30);

xi número de tapetes feitos i-ésimo mês;

ei número de tapetes feitos utilizando-se trabalho extra nomês i;

ci, di respectivamente: contratados e demitidos no início do mêsi;

ai número de tapetes armazenados ao final do mês i (a0 = 0).


Planejamento da Produção - Restrições

Variáveis

ti trabalhadoresxi produçãoci contratadosdi demitidosei trab. extraai armazenados

Produção mês i (i = 1, . . . , 12)

xi = 20ti + ei

Máximo prod. com trab. extra (20× 0, 3)

ei ≤ 6ti

Tapetes armezanados no final do mês i

ai = a(i−1) + xi − demandai

Trabalhadores no início do mês i

ti = t(i−1) + ci − di

Não negatividade

ti, xi, ci, ei, ai ≥ 0 ∀i


Planejamento da Produção - Função Objetivo

Variáveis

ti trabalhadoresxi produçãoci contratadosdi demitidosei trab. extraai armazenados

Minimizando os Custos

12∑i=1

2000ti+

8ai+180ei+320ci+400di


Aula de Hoje

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4 Aula Prática


Modelagem - Análise de Investimentos

Um investidor tem 3 alternativas de investimento: A, B e C para o ano que se inicia. Osinvestimentos não são mutuamente exclusivos e o dinheiro proveniente de lucros em umaaplicação pode ser reinvestido em qualquer uma das aplicações. As aplicações têm asseguintes características:

A: disponível no início de cada um dos quatro trimestres; cada R$ investido em A noprincípio do trimestre devolve R$ 1,10 no final do trimestre;

B: disponível no início de cada um dos dois semestres; cada R$ investido em B retornaR$ 1,20 ao final do semestre.

C: disponível somente no início do ano; Cada R$ investido em C devolve R$ 1,40 no

final do ano.

O capital do investidor é de R$ 5.000,00. Como maximizar o capital do investidor até o

final do ano?


Carteira de Aplicações

Variáveis de Decisão

xij : quantidade investida na aplicação i no trimestre j

⇓i ∈ {A,B,C}, j ∈ {1, 2, 3, 4}

xA1, xA2, xA3, xA4, xB1, xB3, xC1


O Fluxo do Capital

xA1

1 2 3 4 5

xA2

xA3

xA4

xB1

xC1

xB3

1,1 xA1

1,1 xA2

1,1 xA3

1,1 xA4

1,2 xB3

1,4 xC1

1,2 xB1


O Fluxo do Capital : Função Objetivo

xA1

1 2 3 4 5

xA2

xA3

xA4

xB1

xC1

xB3

1,1 xA1

1,1 xA2

1,1 xA3

1,1 xA4

1,2 xB3

1,4 xC1

1,2 xB1

Maximize

1, 1xA4 + 1, 2xB3 + 1, 4xC1

(lembre-se que o dinheiro ganho em períodos anteriores pode ser reinvestido.)


O Fluxo do Capital : Restrições

Período 1Os R$ 5.000,00 disponíveis podem ser guardados ou investidos em A,B ou C. Criaremosuma variável artificial g1 que indica a quantidade guardada no período 1.

xA1 + xB1 + xC1 + g1 = 5000

Período 2

xA2 + g2 = 1, 1xA1 + g1

Período n

investimentos em n + guardados em n=

lucros em n + guardados em n− 1


Fluxo de Capital - Modelo

Maximize:

1, 1xA4 + 1, 2xB3 + 1, 4xC1 + g4

Sujeito a:

xA1 + xB1 + xC1 + g1 = 5000

xA2 + g2 = g1 + 1, 1xA1

xA3 + xB3 + g3 = g2 + 1, 1xA2 + 1, 2xB1

xA4 + g4 = g3 + 1, 1xA3

xij ≥ 0 ∀ i, jgj ≥ 0 ∀ j


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1 Formato LP



4 Aula Prática


Parte 1: Modelagem

ExercícioA cia. farmacêutica Margarida fabrica 2 drogas: d1 e d2. As drogas são produzidas pelamistura de dois compostos químicos: q1 e q2. Considerando seu peso total, a droga d1deve apresentar ao menos 65% de q1 e a droga d2 deve apresentar ao menos 55% deq1. A droga d1 vende por R$ 60,00 a grama e a droga d2 vende a R$ 40,00 a grama.Os compostos q1 e q2 podem ser produzidos por dois processos de fabricação, p1 e p2.Executar o processo p1 por uma hora requer 30 gramas de matéria-prima crua, 2 horasde trabalho e produz 15 gramas de cada composto químico. O processo p2 executado poruma hora requer 20 gramas de matéria-prima crua, 3 horas de trabalho 2 produz 20 gramasde q1 e 10 gramas de q2. Considerando a disponibilidade de 120 horas de trabalho e 100gramas de matéria-prima crua, formule o Problema de Programação Linear que maximizao faturamento da cia. Margarida.

Formule um PL que maximiza o faturamento da cia. Margarida.


Parte 2: Implementação

1 Modelar a formulação a seguir no formato LP e em seguida resolvausando o PythonMIP

Exercício anterior (cia. farmacêutica Margarida)

2 Implementar os modelos a seguir usando PythonMIP

Exemplo de Modelagem 1 (Planejamento da Produção)


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