Aula 09 - Exemplos Resolvidos

CURSO SOBRE A NBR 6118:2003 – CONCRETO ARMADO AULA 9 – DIMENSIONAMENTO DE LAJES - EXEMPLOS RESOLVIDOS

1

1

Exemplo resolvido 1 – Verificação da necessidade de armadura de cisalhamento

Neste exemplo será feita a verificação da necessidade de armadura de cisalhamento em uma laje usual de edifício. A laje de vãos 3m por 4m está representada na Figura 1. Os apoios serão consideradas como apoios simples e perfeitamente engastados, sem deslocabilidade vertical. A laje vai estar submetida a uma combinação última normal (ELU) de 8,4 kN/m2.

Dados do problema:

Figura 1 - Laje de 3m x 4m.

A laje tem uma espessura de 8 cm, e um fck de 20 MPa. A altura útil estimada para essa laje é de 6 cm.

Esforço cortante de cálculo máximo Vd

As reações de apoio dessa laje foram calculadas usando as prescrições do ítem 14.7.6.1 b). As inclinações das charneiras plásticas para o cálculo das reações estão na Figura 2. A máxima reação de apoio corresponde à reação do lado engastado maior com um valor de 9,97 kN/m.

Figura 2 - Esforço Cortante de Cálculo Máximo.

Portanto:

m

mmkN

LAq

Vd 4

9,12

144,8 22

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⋅=

⋅=

Vd = 9,97 kN ( na seção do apoio, ao longo de 1m)


2

2

Resistência de projeto ao cisalhamento VRd1

Esse valor deve ser comparado com a resistência de projeto ao cisalhamento VRd1 que é dada por:

VRd1 = [τRd k (1,2+40 ρ1) + 0,15 σcp ].bwd

No caso do exemplo:

τRd = 0,25.fctd = 0,25. fctk,inf/γc =0,25. 0,7.0,3. fck 2/3 / 1,4 = 0,276 MPa = 276 kN/m2.

k = 1 (admitindo que só metade da armadura inferior chega a apoio)

ρ1 = 0,0015 (admitindo armadura mínima no negativo)

σcp = 0 (não existe força normal atuando na laje)

d = 0,06 m

bw = 1 m

Logo:

( )[ ] 06,010015,0402,112761 ⋅⋅⋅+⋅=RdV

VRd1 = 20,87 kN (ao longo de 1 metro)

Ou seja:

Vd << VRd1 A laje possui segurança adequada em relação ao ELU de força cortante.

Deve-se notar que, mesmo adotando valores para k e para ρ1 mínimos, o valor de VRd1 foi muito superior ao necessário.


3

3

Exemplo resolvido 2 – Avaliação da abertura de fissuras

Será avaliada a abertura de fissura de uma laje unidirecional de concreto de um edifício residencial.

Dados do problema:

Vão de 5 m;

Concreto C-20 (fck = 20 MPa);

Aço CA-50;

Altura h = 12 cm.

As cargas permanentes que atuam na laje são de 4,0 kN/m e as acidentais de 3,2 kN/m.

O cobrimento adotado foi de 2 cm, e para a armadura principal foi prevista a utilização de barras de bitola 10 mm.

A análise estrutural dessa laje forneceu, para a seção crítica: Mgk = 12,5 kN.m; Mqk = 10,0 kN.m.

Momento de cálculo para o ELU:

Md = Mk.γf = (Mgk+Mqk).γf = (12,5+10).1,4 = 31,5 kN.m

Altura útil estimada:

d = h- c - φ/2 = 12 – 2 – 1/2 = 9,5 cm

Posição da linha neutra:

O dimensionamento, no ELU, forneceu a seguinte posição da linha neutra:

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅⋅⋅−−⋅⋅=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⋅⋅⋅−−⋅⋅=

4,10,2

5,9100425,0

3150115,925,1

425,01125,1

22cdw

d

fdb

Mdx

x = 4,13 cm.

Como o aço empregado é CA-50, temos que x2-3=0,259.d = 2,46 cm e x3-4=0,628.d = 5,97 cm e estes são, respectivamente, os limites dos domínios 2 e 3, como mostrado na Figura 3. Assim, a peça está no Domínio 3.

Figura 3 – Limites entre os domínios 2 e 3.


4

4

Área de armadura correspondente:

( ) ( )223,9

13,44,05,915,150

31504,0

cmxdf

MA

yd

ds =

⋅−⋅⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

−⋅=

Detalhamento:

Adotando φ10 mm (0,8 cm2) dispostos a cada s=8,5 cm tem-se a armadura efetiva As= 9,41 cm2/m. A Figura 4 mostra o detalhe dessa laje.

Figura 4 - Seção transversal da faixa de 1 m da laje

A seguir são apresentados os passos necessários para a determinação da abertura de fissuras:

1. Momento em serviço para combinação freqüente de ações:

Obtido com fator da combinação ψ1= 0,4 , resulta:

Md,ser = Mgk+ψ1.Mqk → Mk,ser = 12,5 + 0,4 (10,0) = 16,5 kN.m

2. Relação dos módulos do aço e do concreto

204760

210000

⋅==

cs

se E

Eα

865,9=eα

3. Linha neutra em serviço (Estádio II)

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⋅⋅⋅

++−⋅

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++−=

41,9865,95,91002

11.100

41,9865,9.

..211.

.

se

w

w

seII A

dbb

Ax

αα

cmxII 37,3=

8,5

0,5

8,5 8,5 8,5

9,5

8,5

2


5

5

4. Tensão na armadura

2, /933,2041,9.

337,3

5,9

1650

.3

mkNA

xd

M

sII

serds =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=σ

MPas 33,209=σ

5. Área para a fissuração

))1(82.(100).8.( +=+= φcBA crcr

21000cmAcr =

6. Taxa de armadura para a fissuração

100041,9

==cr

sr A

Aρ

00941,0=rρ

7. Resistência à tração do concreto para abertura de fissura

Usa-se o valor médio fctm=0,3.fck2/3 [MPa] :

MPaf mct 21,220.3,0 3/2, ==

8. Estimativa da abertura de fissura

Usando φ (em mm) e 1η =2,25 da Tabela 8.2 da NBR 6118:2003:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⋅

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= 45

00941,04

.000.21033,209

.25,25,12

1045

4..

.5,12 11

rs

s

E ρσ

ηφω = 0,17 mm

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅⋅⋅

⋅=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅=

21,233,2093

000.21033,209

25,25,1210.3

.5,12 ,12

mct

s

s

s

fEσσ

ηφω = 0,10 mm

Verifica-se que o valor de abertura de fissura dessa laje será de 0,10 mm e assim respeita os limites para qualquer classe de agressividade mostrada na Tabela 13.3 da norma.

Quando o valor da abertura de fissura for excessivo pode-se alterar a armadura, usando bitolas menores, ou aumentar as dimensões da peça para reduzir a tensão em serviço e assim diminuir a abertura de fissura esperada.


6

6

Exemplo resolvido 3 – Avaliação da deformação excessiva em laje unidirecional

Este exemplo vai mostrar a verificação da flecha em uma laje de concreto bi-apoiada (unidirecional), com um vão de cálculo de 4 metros, altura de 10 cm, que usa concreto C-20 e aço CA-50. Para essa verificação vai-se utilizar uma faixa de laje com largura de 1m.

O cobrimento é de 2 cm, adotado de acordo com a classe de agressividade ambiental do local da obra.

Cargas

- permanentes: mkNhg c /5,2251,0 =⋅=⋅= γ

- acidental de 3,0 kN/m2 (NBR 6120 - escola)

Obs: Nesse caso não foi previsto nenhum carregamento devido ao revestimento.

Momento de cálculo para o ELU

Md = Mk.γf = (Mgk+Mqk).γf

( )mkNMk .0,11

840,35,2 2

=⋅+

=

mkNMd .4,154,10,11 =⋅=

Dimensionamento no ELU:

Altura útil, admitindo φ=10 mm:

d2 = c + φL/2 = 2 + 1/2 = 2,50 cm e;

d = h – d2 = 10 - 2,50 = 7,50 cm

Linha neutra:

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅⋅⋅−−⋅⋅=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⋅⋅⋅−−⋅⋅=

4,10,2

5,7100425,0

1540115,725,1

425,01125,1

22cdw

d

fdb

Mdx

x = 2,43 cm.

Assim como no exemplo anterior, temos que o limite entre os domínios 2 e 3 é: x2-3=0,259.d = 1,94 cm e o limite entre os domínios 3 e 4 é: x3-4 = 0,628.d = 4,71 cm. Logo o dimensionamento se dará no Domínio 3.

Armadura calculada:


7

7

( ) ( )43,24,05,715,150

15404,0

⋅−⋅⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

−⋅=

xdfM

Ayd

ds

As = 5,43 cm2

Armadura adotada: φ 10 c.15 (5,33 cm2/m)

Momento em serviço

O momento em serviço é obtido com o fator ψ2 = 0,4 (Combinação Quase-permanente) da tabela 11.2 da norma:

( )mkNM serd .4,7

840,34,05,2 2

, =⋅⋅+

=

Avaliação do estádio a considerar :

1) Linha neutra em serviço (Estádio II):

Armadura adotada:

As = 5,33 cm2/m

Taxa de armadura:

dbA

w

sd .=ρ 0071,0

)5,7.(10033,5

==dρ

Relação dos módulos do aço e do concreto:

cs

se E

E=α 865,9

20.4760

210000==eα

Assim:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⋅++−

⋅=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++−=

0071,0865,92

11.100

33,5865,9.2

11..

dew

seII b

Ax

ραα

cmxII 33,2=

2) Inércia no estádio II:

23

23

)33,25,7(33,5865,93

33,2100).(.

3.

−⋅⋅+⋅

=−+= IIseIIw

II xdAxb

I α

41827cmIII =


8

8

3) Resistência à tração do concreto:

3/2, .3,0 ckmct ff = = 2,21 MPa

4) Inércia da seção de concreto no estádio I:

1210100

12. 33 ⋅

==hb

I wc

Ic = 8333 cm4

5) Momento de fissuração:

58333.221,0

.5,1. , ==t

cmctr y

IfM α

Mr = 553 kN.cm

Onde α = 1,5 para a seção retangular, e yt = h – x = 10 – 5 = 5 cm

Como Md,ser > Mr a flecha imediata deve ser calculada usando a Inércia equivalente (EI)eq obtida do item 17.3.2.1.1 da norma.

Determinação da rigidez equivalente:

( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= II

a

rc

a

rcseq I

MM

IMM

EEI33

1

( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= 1827.

4,753,5

18333.4,753,5

212933

eqEI

( ) 96656604540.2129]1827).583,0(8333).417,0[(2129 ==+=eqEI kN.cm2

Cálculo da flecha imediata:

1) Carga em serviço:

34,05,22 ⋅+=⋅+= qgpser ψ = 3,7 kN/m = 0,037 kN/cm

2) Flecha equivalente:

cmEI

Lpa

eq

sereq 276,1

9665660400.037,0

.384

5)(.

.44

0 === β

β depende da vinculação sendo3845

para viga bi-apoiada.


9

9

Valor da flecha final (diferida no tempo):

O valor da flecha final, com a consideração do item 17.3.2.1.2 da norma, para um tempo de desforma de 15 dias fica:

( ) cmaaa eqffinal 14,3276,146,21 0 =⋅=⋅+== α

Conclusão

O limite para a flecha final para a razão visual, segundo a Tabela 13.2: L/250 = 400/250 = 1,6cm

O valor de uma contra-flecha mínima, nesse caso, é de CF = 3,14 – 1,6 = 1,54cm. Como L/350 = 1,43cm é o limite recomendado para a contra-flecha, a flecha final, mesmo com contra-flecha superaria ao limite para percepção visual. A solução é aumentar a altura da laje.


10

10

Exemplo resolvido 4 – Avaliação da deformação excessiva em laje unidirecional

Este exemplo vai mostrar a verificação da flecha em uma laje de concreto bi-apoiada (unidirecional), com um vão de cálculo de 4 metros, altura de 10 cm, que usa concreto C-25 e aço CA-50. Para essa verificação vai-se utilizar uma faixa de laje com largura de 1m.

O cobrimento é de 2,5 cm, adotado de acordo com a classe de agressividade ambiental do local da obra.

Cargas

- permanentes: mkNhg c /5,22510,0 =⋅=⋅= γ

- acidental de 3,0 kN/m2 (NBR 6120 - escola)

Obs: Nesse caso não foi previsto nenhum carregamento devido ao revestimento.

Momento de cálculo para o ELU

Md = Mk.γf = (Mgk+Mqk).γf

( )mkNMk .0,11

840,35,2 2

=⋅+

=

mkNMd .4,154,10,11 =⋅=

Dimensionamento no ELU:

Altura útil, admitindo φ=10 mm:

d2 = c + φL/2 = 2,5 + 1/2 = 3,0 cm e;

d = h – d2 = 10 - 3,0 = 7,0 cm

Linha neutra:

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅⋅⋅−−⋅⋅=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⋅⋅⋅−−⋅⋅=

4,15,2

0,7100425,0

1540110,725,1

425,01125,1

22cdw

d

fdb

Mdx

x = 2,05 cm.

Assim como no exemplo anterior, temos que o limite entre os domínios 2 e 3 é: x2-3=0,259.d = 1,81 cm e o limite entre os domínios 3 e 4 é: x3-4 = 0,628.d = 4,40 cm. Logo o dimensionamento se dará no Domínio 3.

Armadura calculada:


11

11

( ) ( )05,24,00,715,150

15404,0

⋅−⋅⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

−⋅=

xdfM

Ayd

ds

As = 5,73 cm2

Armadura adotada: φ 10 c.13 (6,28 cm2/m)

Momento em serviço

O momento em serviço é obtido com o fator ψ2 = 0,4 (Combinação Quase-permanente) da tabela 11.2 da norma:

( )mkNM serd .4,7

840,34,05,2 2

, =⋅⋅+

=

Avaliação do estádio a considerar :

1) Linha neutra em serviço (Estádio II):

Armadura adotada:

As = 6,28 cm2/m

Taxa de armadura:

dbA

w

sd .=ρ 0090,0

)5,7.(10028,6

==dρ

Relação dos módulos do aço e do concreto:

cs

se E

E=α 824,8

23800210000

25.4760

210000===eα

Assim:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⋅++−

⋅=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++−=

0090,0824,82

11.100

28,6824,8.2

11..

dew

seII b

Ax

ραα

cmxII 29,2=

2) Inércia no estádio II:

23

23

)29,2,7(28,6824,83

29,2100).(.

3.

−⋅⋅+⋅

=−+= IIseIIw

II xdAxb

I α

41630cmIII =


12

12

3) Resistência à tração do concreto:

3/23/2, 253,0.3,0 ⋅== ckmct ff = 2,56 MPa

4) Inércia da seção de concreto no estádio I:

1210100

12. 33 ⋅

==hb

I wc

Ic = 8333 cm4

6) Momento de fissuração:

58333.256,0

.5,1. , ==t

cmctr y

IfM α

Mr = 641 kN.cm

Onde α = 1,5 para a seção retangular, e yt = h – x = 10 – 5 = 5 cm

Como Md,ser > Mr a flecha imediata deve ser calculada usando a Inércia equivalente (EI)eq obtida do item 17.3.2.1.1 da norma.


( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= II

a

rc

a

rcseq I

MM

IMM

EEI33

1

( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= 1630.4,741,6

18333.4,741,6

238033

eqEI

( ) 14260483]1630).349,0(8333).651,0[(2380 =+=eqEI kN.cm2

Cálculo da flecha imediata:

1) Carga em serviço:

34,05,22 ⋅+=⋅+= qgpser ψ = 3,7 kN/m = 0,037 kN/cm

2) Flecha equivalente:

cmEI

Lpa

eq

sereq 865,0

14260483400.037,0

.384

5)(.

.44

0 === β

β depende da vinculação sendo3845

para viga bi-apoiada.


13

13

Valor da flecha final (diferida no tempo):

O valor da flecha final, com a consideração do item 17.3.2.1.2 da norma, para um tempo de desforma de 15 dias fica:

( ) cmaaa eqffinal 13,2865,046,21 0 =⋅=⋅+== α

Conclusão

O limite para a flecha final para a razão visual, segundo a Tabela 13.2: L/250 = 400/250 = 1,6cm

O valor de uma contra-flecha mínima, nesse caso, é de CF = 2,13 – 1,6 = 0,53cm. Como L/350 = 400/350 = 1,19cm é o limite recomendado para a contra-flecha, adotou-se 1,0cm para a mesma.

O valor final da flehca é então obtido por:

a – CF = 2,13 – 1,0 = 1,13cm que está abaixo do valor máximo acima calculado. Outra solução seria aumentar a altura da laje.


14

14

Exemplo resolvido 5 – Avaliação da deformação excessiva em laje bidirecional

Este exemplo vai mostrar a verificação da flecha em uma laje bidirecional de concreto maciço, de 8 cm de espessura, usando concreto C-20 e aço CA-50, com dimensões Lx = 400 cm e Ly =450 cm. O cobrimento adotado é de 2 cm. A carga de revestimento é de 1 kN/m2 e 2 kN/m2 de carga acidental para uso comercial em escritório.

Cargas:

1) Peso próprio:

gpp = h.γc = 0,08 . 25 = 2,0 kN/m2

2) Cargas de revestimento:

grev = 1,5 kN/m2

3) Cargas acidentais ( edifício comercial de escritórios):

q = 2,0 kN/m2.

4) Carga total:

p = g + q = 3,5 + 2,0 = 5,5 kN/m2.

O momento de cálculo para o ELU

O momento de cálculo para o ELU vai ser calculado à partir de tabelas de teoria das placas em regime elástico (Carvalho e Figueiredo Filho, 2000) – Anexo I:

Para o Caso 1 (quatro apoios simples)

λ =45,4

=x

y

L

L=1,125 → µx = 5,37 e µy = 4,49

mkNLp

M xxkx .73,4

10045,537,5

100

22

=⋅⋅

=⋅⋅

=µ

mkNLp

M xyky .95,3

10045,549,4

100

22

=⋅⋅

=⋅⋅

=µ

Mdx = Mkx.γf = 4,73 . 1,4 = 6,62kN.m = 662kN.cm


15

15

Dimensionamento da armadura no ELU

O dimensionamento da armadura no ELU relativa ao momento da menor direção:

Mdx = 571 kN.cm

2/43,14,10,2

cmkNf

fc

ckcd ===

γ

Admitindo-se armadura de diâmetro φ=6,3mm:

d = h – (c + φL/2)= 7-(1+0,3) = 5,7 cm

Linha neutra:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅⋅⋅−−⋅⋅=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−=

4,10,2

7,5100425,0

662117,525,1

...425,011..25,1

22cdw

d

fdb

Mdx

x= 1,32 cm.

O valor de x, limite entre os domínios 2 e 3 é: x2-3= 0,256.d = 0,256.5,68 = 1,47cm. Logo, encontra-se no domínio 2.

Armadura calculada: ( ) ( )32,14,07,515,150

6624,0

⋅−⋅⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

−⋅=

xdfM

Ayd

ds

As = 2,95 cm2/m (dimensionada no domínio 2).

Armadura adotada: φ 6,3 c.10,0 (3,12 cm2/m)

Momento em serviço

O Momento em serviço é obtido com o fator ψ2 = 0,4 (Combinação Quase-permanente) da tabela 11.2 da norma:

mkNLg

M xxkgx .01,3

10045,337,5

100

22

=⋅⋅

=⋅⋅

=µ

mkNLq

M xxkqx .72,1

10040,237,5

100

22

=⋅⋅

=⋅⋅

=µ

Mdx,ser = Mgkx+ψ2.Mqkx → Mkx,ser = 3,01 + 0,4.1,72 = 3,69 kN.m

Deve-se observar que está sendo utilizado o momento de serviço correspondente à menor direção da laje (direção x).


16

16

Avaliação do Estádio a considerar:

1) Resistência à tração do concreto: 3/2, .3,0 ckmct ff = = 2,21 MPa

2) Inércia da seção bruta: 433

7,426612

810012

cmhb

I wc =

⋅=

⋅= .

3) Momento de fissuração, com α = 1,5 e yt = h/2 para a seção retangular:

t

cctmr y

IfM .α= =

0,47,4266.221,0

.5,1 Mr = 354 kN.cm

Como Mr < Mk,ser ( 354 kN.cm < 369 kN.cm) deve-se usar o Estádio II.

Linha neutra em serviço (Estádio II):

1) Relação dos módulos do aço e do concreto:

cs

se E

E=α 87,9

20.4760

210000==eα

2) Taxa de armadura:

dbA

w

s

.=ρ 0055,0

)7,5.(10012,3

==ρ e As = 3,12 cm2/m

Temos:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++−

⋅=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++−=

0055,0.87,92

11.100

12,387,9.

211.

.ρα

α

ew

seII b

Ax

mxII 59,1=

Deve-se verificar, também, se Mk,ser < My.

cmkNx

dfAM IIyksy .804

359,1

7,55012,33

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⋅⋅=

Como o momento de serviço é menor que o momento correspondente ao escoamento da armadura pode-se confirmar o Estádio II para a análise.

Inércia no estádio II:

23

23

)59,17,5(12,387,93

59,1100).(.

3.

−⋅⋅+⋅

=−+= IIseIIw

II xdAxb

I α

4650cmIII =



17

17

( ) ccIIa

rc

a

rcseq IEI

MM

IMM

EEI ≤⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⋅⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

33

1

onde:

Ecs = ckf560085,0 ⋅ = 472,44760 ⋅ =21287 MPa = 2129 kN/cm2

9593,0369354

==a

r

MM

9,03

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

a

r

MM

Ic =4267 cm4

III= 650 cm4

Logo:

( ) ( )[ ]{ } cceq IEEI ≤⋅−+⋅= 6509,0142679,02129

(EI)eq = 8137045 kN.cm2

Flecha imediata considerando a rigidez equivalente:

pser = g + 0,4.q = 3,5 + 0,4.2 = 4,3 kN/m = 0,043 kN/cm

cmEI

Lpa

eq

sereq 66,0

8137045400043,0

1200865,5

)(.

.44

0 =⋅

⋅== β

O coeficiente β foi obtido através de tabelas de teoria das placas em regime elástico (Carvalho e Figueiredo Filho, 2000). Está-se supondo, portanto, que os apoios não sofrem deslocamentos verticais significativos.

Flecha final

A flecha final, considerando a inércia equivalente, é:

( ) cmaaa eqfeq 63,166,046,2.1 0 =⋅=+== α

Conclusão

Como L/250 = 1,60 cm é o limite para o deslocamento, a flecha final calculada está praticamente no limite do ELS de deformação excessiva. Neste caso vai ser utilizada uma contra-flecha na execução.

Sugere-se limitar a contra-flecha ao valor L/350 = 400/350 =1,14 cm. Para o caso atual será adotada uma contra-flecha de 1 cm, que é suficiente para respeitar o ELS de deformação excessiva.

Na possibilidade de não se adotar a contra-flecha poderia ser aumentada a espessura.


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I. Anexo – Tabela valores de α para lajes sob carregamento uniforme

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