Programa de Apoio à Produção de Material...
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Programa de Apoio à Produção de Material Didático
Eliete Maria Gonçalves
Vanilda Miziara Mello Chueiri
FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
São Paulo
2008
©Pró-Reitoria de Graduação, Universidade Estadual Paulista, 2008.
Gonçalves, Eliete Maria G635f Funções reais de uma variável real / Eliete Maria Gonçalves [e] Vanilda Miziara Mello Chueiri. – São Paulo : Cultura Acadêmica : Universidade Estadual Paulista, Pró- Reitoria de Graduação, 2008 233 p.
ISBN 978-85-98605-62-3
1. Funções de variáveis reais. I. Título. II. Chueiri, Vanilda Miziara Mello.
CDD 515.83
Ficha catalográfica elaborada pela Coordenadoria Geral de Bibliotecas da Unesp
Universidade Estadual Paulista
ReitorMarcos Macari
Vice-ReitorHerman Jacobus Cornelis Voorwald
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Pró-Reitor de PesquisaJosé Arana Varela
Pró-Reitora de Extensão UniversitáriaMaria Amélia Máximo de Araújo
Pró-Reitor de AdministraçãoJulio Cezar Durigan
Secretária GeralMaria Dalva Silva Pagotto
Cultura Acadêmica EditoraPraça da Sé, 108 - Centro
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COMISSÃO EXECUTIVA
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APOIO TÉCNICO
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PROJETO GRÁFICO
PROGRAMA DE APOIO À PRODUÇÃO DE MATERIAL DIDÁTICO
Considerando a importância da produção de material didático-
pedagógico dedicado ao ensino de graduação e de pós-graduação,
a Reitoria da UNESP, por meio da Pró–Reitoria de Graduação
(PROGRAD) e em parceria com a Fundação Editora UNESP (FEU),
mantém o Programa de Apoio à Produção de Material Didático de
Docentes da UNESP, que contempla textos de apoio às aulas, material
audiovisual, homepages, softwares, material artístico e outras mídias,
sob o selo CULTURA ACADÊMICA da Editora da UNESP, dis-
ponibilizando aos alunos material didático de qualidade com baixo
custo e editado sob demanda.
Assim, é com satisfação que colocamos à disposição da comu-
nidade acadêmica mais esta obra, “Funções Reais De Uma Variável
Real”, de autoria das Professoras Dra. Eliete Maria Gonçalves e
Dra. Vanilda Miziara Mello Chueiri, da Faculdade de Ciências do
Campus de Bauru, esperando que ela traga contribuição não apenas
para estudantes da UNESP, mas para todos aqueles interessados no
assunto abordado.
SUMÁRIO
Apres entação.......................................................................
1 Definições e terminologia..........................................................2 Função do 1o grau.......................................................................3 Inequação do 1o grau..................................................................4 E quação do 2o grau.....................................................................5 Função do 2o grau.......................................................................6 Inequação do 2o grau..................................................................7 Função polinomial.......................................................................8 Função potência...........................................................................9 Função racional..........................................................................10 Módulo de um número real...................................................11 Função modular.......................................................................12 E quação modular.....................................................................13 Inequação modular..................................................................14 Função exponencial................................................................15 E quação exponencial.............................................................16 Inequação exponencial..........................................................17 L ogaritmo...................................................................................18 Função logarítmica.................................................................19 E quação logarítmica...............................................................20 Inequação logarítmica............................................................21 Funções hiperbólicas.............................................................22 R eferências B ibliográficas....................................................S obre as Autoras................................................................
09
11
35
47
53
57
73
79
97111
119
123
135
139
147
153
155
165
175
193
201
207
231
233
APRESENTAÇÃO
Ao longo dos últimos anos, vem-se constatando que muitos alunos
ingressantes nos cursos superiores da área de Ciências Exatas têm
apresentado falhas de formação matemática, tanto conceituais, quan-
to de raciocínio lógico ou de traquejo algébrico. Assim, o processo
de ensino e aprendizagem fica prejudicado, especialmente nas disci-
plinas do primeiro ano desses cursos. Nestas, as deficiências apre-
sentadas pelos alunos quanto aos conteúdos matemáticos fundamen-
tais têm causado sérios problemas. Tem-se constatado que grande
parte dos calouros tem falhas ou desconhece esses conceitos funda-
mentais e, por conseqüência, outros relacionados. Com o objetivo de
auxiliar os alunos no estudo das principais funções elementares, as
quais são abordadas, predominantemente, no Ensino Médio, desen-
volveu-se esse texto, apresentando conceitos básicos sobre tais fun-
ções (com exceção das funções trigonométricas, que são tratadas em
outro texto), com exemplos comentados e representação geométrica.
Com a apresentação de exercícios detalhadamente resolvidos, obje-
tivou-se mostrar ao estudante estratégias de resolução e encaminha-
mento, chamando a atenção para os erros mais freqüentes, usando
todo o mecanicismo necessário para que ele atente a todas as “pas-
sagens”, ou seja, todo o “algebrismo” utilizado que ele, muitas ve-
zes, desconhece. Em suma, pretende-se que o aluno, revendo objeti-
vamente esses conteúdos já tratados anteriormente no Ensino Médio,
“revisite” os conceitos e domine as técnicas de que necessita para
bem acompanhar o que é discutido nas disciplinas de seu curso de
graduação.
A decisão de reunir em um único texto todas as principais funções
elementares (com exceção, como já se disse, das funções trigonomé-
tricas) deve-se ao fato de que nos livros utilizados no Ensino Médio
elas são apresentadas em três ou mais volumes. Isso faz com que o
aluno, muitas vezes, não se anime a consultar vários livros diferen-
tes para tirar suas dúvidas. Embora a apresentação em um único tex-
to o torne extenso, com uma grande quantidade de conteúdo e in-
formações, também é verdade que o torna mais prático para a con-
sulta do estudante, que tem todas as informações de que necessita
em um único volume.
Assim, este é um texto de acompanhamento para as disciplinas dos
cursos da área de Ciências Exatas que utilizem os conceitos aqui a-
bordados, que pode ser consultado pelo aluno sempre que necessitar.�
1 DEFINIÇÕES E TERMINOLOGIA
O conceito de função é um dos mais importantes em toda a Mate-
mática e fora dela. A função pode expressar uma relação de interde-
pendência, uma relação de causa e efeito ou uma correspondência
bem definida.
As leis de Engenharia, de Economia e de outras Ciências se expri-
mem, freqüentemente, através de funções, o que as torna instrumen-
to de trabalho permanente. Independentemente do ramo considera-
do, quase sempre se verifica que os objetos principais de investiga-
ção são funções. Portanto, dominar este assunto é condição primária
para um desenvolvimento científico sério e eficaz.
Apresentam-se, aqui, as principais definições sobre funções, com
exemplos e gráficos, quando possível. Não há, aqui, a pretensão de
se apresentar um texto completo sobre o assunto, mas sim, um texto
objetivo, que estimule o estudante estudar os conceitos fundamen-
tais.
Esses conceitos são apresentados por itens. Os exemplos resolvidos
e comentados têm o objetivo de proporcionar ao estudante uma as-
similação segura dos conceitos apresentados. Não se trata, portanto,
de problemas de adestramento mecânico, mas sim de exercícios que
levem o aluno a trabalhar corretamente, dando todos os passos in-
dispensáveis e fundamentando todas as operações, de acordo com a
teoria que foi exposta.
O conceito de função oferece a perspectiva de compreender e rela-
cionar fenômenos naturais por meio de um instrumental matemático
de grande poder. É tão importante que é preciso deixá-lo claro, sem
qualquer possibilidade de confusão. Há exemplos de função que ex-
primem fatos puramente matemáticos, outros que exprimem fenô-
menos físicos ou, ainda, de outra natureza.
Exemplos:
1) A área de um círculo de raio r é dada por A = π.r2. Assim, A é um
número que depende do valor atribuído a r. Diz-se, então, que A é
função de r.
Este exemplo exprime um fato puramente matemático.
2) Considerando a aceleração da gravidade constante e igual a
g = 9,8 m/s2, tem-se que o peso p de um corpo depende de sua mas-
sa m, ou seja, p é função de m: p = f(m).
12
Este exemplo mostra uma função que representa um fenômeno físi-co.
3) De acordo com a lei de Poiseuille, a velocidade do sangue percor-
rendo o eixo central de uma artéria do corpo humano de raio r é da-
da por 2rCv ⋅= , onde C é uma constante. Logo, a velocidade v do
sangue é função do raio r da artéria.
A função deste exemplo exprime um fenômeno biológico.
4) Se P reais forem investidos com uma taxa de juros anual j e os ju-
ros forem capitalizados anualmente, o saldo S, após t anos, será da-
do por: ( )tj1PS +⋅= reais. Vê-se, assim, que S é função de t.
Neste exemplo tem-se uma função que representa um fato econômi-co.
Definição. Dados dois conjuntos não vazios A e B, considere-se o
produto cartesiano de A por B, denotado por A x B:
( ){ }BbeAa/b,aBA ∈∈=× .
Todo subconjunto R de A x B é denominado uma relação de A em
B.
Notação. Se o par (a, b) é um elemento de R, ou seja, se a está na re-
lação R com b, denota-se por aRb.
Definição. Dados dois conjuntos não vazios A e B, a relação f de A
em B é uma função (ou aplicação) de A em B se, para todo elemen-
to x de A, existe um único elemento y de B tal que (x, y) ∈ f.
FIGURA 1
13
Define-se, em geral, uma função f de A em B mediante uma lei que
associa a cada elemento de A um único elemento de B, através da
seguinte notação:
f(x)y x
B A:f
=
→
�.
A representação gráfica é apresentada na Figura 1.
Exemplo: Se { }3,1,0,1,2A −−= e { }4,3,2,1,0B = , a correspondência
f que associa a cada elemento x de A o elemento y de B tal que 22 yx = tem a representação gráfica mostrada na Figura 2.
FIGURA 2
A relação f é uma função de A em B, pois, para cada elemento x de
A, existe um único elemento y de B tal que 22 yx = .
Nomenclatura e notações
O conjunto A é chamado domínio de f . Notação: D(f).
Então, ( ) { }xemdefinidaéf/AxfD ∈= , ou seja:
( ) ( ){ }Rxf/AxfD ∈∈= .
O conjunto B é o contra-domínio de f . Notação: ( )fCD .
As variáveis x e y são, respectivamente, a variável independente e a
variável dependente. Então, diz-se que y é função da variável x ou
que y depende de x.
O conjunto imagem de f é dado por:
14
( ) ( ){ }xfycom,Ax/ByfIm =∈∃∈= .
Uma vez que a função f é uma relação, tem-se que f pode ser re-
presentada por um conjunto de pares ordenados, isto é:
( ) ( ){ }xfyeAx/y,xf =∈= .
Na Figura 1, tem-se: ( ) ( ) ( ) ( ){ }s,d,r,c,q,b,q,af = .
Então:
( ) { }d,c,b,afD = ; ( ) { }t,s,r,q,pfCD = ; ( ) { }s,r,qfIm = .
Na Figura 2, tem-se: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }3,3,1,1,0,0,1,1,2,2f −−= .
Assim:
( ) { }3,1,0,1,2fD −−= ; ( ) { }4,3,2,1,0fCD = ; ( ) { }3,2,1,0fIm = .
Em geral, tem-se ( ) ( )fCDfIm ⊂ .
Usualmente, trabalha-se com funções em que os conjuntos domínio
e contra-domínio são subconjuntos de R , isto é:
)x(fyx
RB RA:f
=
⊆→⊆
� .
Nesse caso, f é uma função real de uma variável real.
Quando a variável dependente y está isolada, diz-se que a função é
dada na forma explícita: ( )xfy = .
Se a variável y não está isolada, a função está dada na forma implíci-
ta: F(x, y) = 0.
Observação: dada uma função na forma implícita, nem sempre é
possível colocá-la na forma explícita, como, por exemplo, no caso
da função dada por ( ) 0yxyxsen =−+⋅ .
Igualdade de funções
Dadas duas funções f e g , diz-se que f = g se, e somente se, são sa-
tisfeitas as condições: ( ) ( ) AgDfD == e ( ) ( )xgxf = f(x) = g(x), pa-
ra todo x do domínio.
Exemplo: a função ( ) 2xxf += tem domínio RA = . Considerando
a função ( ) 2xxg += , com a restrição de que 2x −> , conclui-se
que as duas funções, embora definidas pela mesma expressão analí-
tica, são diferentes, já que seus domínios são diferentes.
15
Tomando-se, agora, a função 2x
4x)x(h
2
−
−= , seu domínio é o con-
junto ( ) { }2x/RxhD ≠∈= .
Para todo x ≠ 2, pode-se escrever:
2x)x(h2x
)2x)(2x()x(h
2x
4x)x(h
2
+=⇔−
+−=⇔
−
−= .
Importante: ( )xh é equivalente à função 2x + somente para os va-
lores de x ≠ 2.
Conclusão: as funções ( ) 2xxf += , ( ) 2xxg += e 2x
4x)x(h
2
−
−= ,
embora tenham expressões analíticas equivalentes, são diferentes
entre si, pois têm domínios diferentes:
( ) 2xxf += : ( ) RfhD =
( ) 2xxg += : ( ) { }2x/RxgD −>∈=
2x
4x)x(h
2
−
−= : ( ) { }2x/RxhD ≠∈=
Essas funções assumem o mesmo valor, para todo x > -2 e x ≠ 2, já
que têm expressões equivalentes. Por exemplo, se x = 3, tem-se que
f(3) = g(3) = h(3) = 5.
As funções f e h assumem o mesmo valor, para todo x ≠ 2. Por
exemplo, se x = -4, tem-se que f(-4) = h(-4) = -2.
Conseqüências da definição de função
Com freqüência, as funções surgem de relações algébricas entre va-
riáveis. Uma equação envolvendo x e y determina y como função de
x se tal equação for equivalente a uma fórmula que exprima univo-
camente y em termos de x.
Exemplo: a equação 6.x + 2.y = -3 pode ser resolvida para y, isto é,
pode ser escrita na forma 2
3x3
2
3x6y −⋅−=
−⋅−= , que define y
como função de x.
Nesse caso, pode-se exprimir também x em função de y:
2
1y
3
1
6
3y2x −⋅−=
−⋅−= , que define x em função de y.
16
Também se podem ter outras variáveis envolvidas numa equação,
sendo que cada uma delas pode ser explicitada em relação à outra.
Exemplo: considere-se a fórmula de conversão da temperatura da es-
cala Fahrenheit à escala Celsius: 9
32F
5
C −= . Pode-se escrever:
• C como função de F: 9
)32F(5C
−⋅= ;
• F como função de C: 325
C9F +
⋅= .
Assim, para saber, por exemplo, quantos graus Celsius correspon-
dem a 212 graus Fahrenheit, faz-se: C1009
)32212(5C o
=−⋅
= .
Para saber quantos graus Fahrenheit correspondem à temperatura de
25oC, faz-se: F7732
5
259F o
=+⋅
= .
Em muitos casos, o processo de resolução para y leva a mais de um
valor de y.
Exemplo: se xy2= , então: �= xy2 �= xy xy = ou
xy −= .
FIGURA 3
Assim, a equação xy2= não determina y como função de x. Sepa-
17
radamente, cada uma das fórmulas xy = e xy −= define y co-
mo função de x, de modo que, de uma equação, obtêm-se duas fun-
ções. As Figuras 3 e 4 mostram os gráficos de xy2= e das funções
xy = e xy −= .
FIGURA 4
Cuidados com a definição de uma função: é preciso compreender a
fórmula, ou a lei que define uma função.
Exemplos:
1) Considere-se ( ) 1xxf 2+= ; quer-se calcular ( )hxf + .
Um erro muito comum que se observa é escrever:
( ) 1hxhxf 2++=+ , ou, ainda, ( ) 1hxhxf 22
++=+ . O erro está
na interpretação do símbolo ( ) 1xxf 2+= . Quando se escreve, por
exemplo, ( )3f , o número 3 está no lugar de x; então:
( ) 10133f 2=+= .
Quando se escreve ( )hxf + , a expressão ( )hx + está no lugar de x;
então:
( ) ( ) 1hhx2x1hxhxf 222++⋅⋅+=++=+ .
Assim:
18
• ( ) ( ) 11x1xf222
++=+ ;
•( )
11x
11
1x
1
1x
1f
2
2
++
=+��
���
�
+=�
�
���
�
+, para x ≠ -1;
• ( ) 1##f 2+= .
2) Considere-se x
1)x(f = (x ≠ 0); então:
•a1
1)a1(f
−=− , com a ≠ 1;
•hx
1)hx(f
+=+ , x ≠ -h;
• 1x
1x
1
1
1x
1f +=
+
=��
���
�
+, com x ≠ -1;
•)hx(x
1
h
)hx(x
h
h
)hx(x
)hx(x
h
x
1
hx
1
h
)x(f)hx(f
+⋅−=
+⋅
−
=+⋅
+−
=
−+=
−+
sendo h ≠ 0 e x ≠ -h.
Definições e Gráficos
A imagem geométrica de R é uma reta orientada, como mostra a
Figura 5.
FIGURA 5
Há uma correspondência biunívoca entre os números reais e os pon-
tos da reta, isto é, a cada número real x, corresponde um ponto P da
reta orientada e a cada ponto P da reta, corresponde um número real
x.
Denota-se por 2R (ou seja, R x R ) o conjunto dos pares ordenados
de números reais:
( ){ }RyeRx/y,xR 2∈∈= .
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A imagem geométrica do 2R é um plano de coordenadas cartesia-
nas ortogonais. Existe uma correspondência biunívoca entre pares
ordenados de números reais e pontos do plano (Figura 6).
FIGURA 6
O eixo Ox é chamado eixo das abscissas e o eixo Oy, eixo das or-
denadas. O plano, munido do sistema aqui descrito é, usualmente,
chamado plano coordenado ou, simplesmente, plano Oxy.
São dadas, nos sub-itens seguintes, algumas definições importantes
sobre funções reais de uma variável real, isto é, funções do tipo:
)x(fyx
RB RA:f
=
⊆→⊆
�,
com representações geométricas no plano coordenado.
Gráfico de uma função f. Uma vez que a função f pode ser repre-
sentada por um conjunto de pares ordenados, seu gráfico é um sub-
conjunto de 2R , isto é,
( ) ( ) ( ) ( ){ }xfyefDx/y,xfGr =∈= ,
ou, equivalentemente,
( ) ( )( ) ( ){ }fDx/xf,xfGr ∈= .
O conjunto domínio da função está situado no eixo das abscissas do
plano coordenado (Ox) e o contradomínio, no eixo das ordenadas
(Oy). A cada x em D(f), corresponde um único número real
( )xfy = , o qual é um elemento do conjunto Im(f) (Figura 7).
20
FIGURA 7
Lembrando que uma relação f é uma função se, e somente se, a ca-
da elemento x de seu domínio corresponde um único y, conclui-se
que para que um gráfico represente uma função, somente um ponto
( )y,x do gráfico pode ter abscissa x (Figura 7). Logo, cada reta ver-
tical intercepta o gráfico de f em apenas um ponto.
Alguns exemplos de gráficos que não representam funções: circun-
ferências, elipses e parábolas com eixo de simetria horizontal (Figu-
ra 8).
FIGURA 8
21
Zeros e sinais de funções
Quando se tem a representação gráfica de uma função ( )xfy = , de-
termina-se facilmente o seu sinal:
• se o ponto ( )( )xf,x do gráfico situa-se acima do eixo Ox, o valor
de f em x é positivo;
• se o ponto está abaixo do eixo Ox, o valor da função é negativo em
x;
• se o ponto está sobre o eixo Ox, o valor da função em x é zero.
Os pontos do gráfico da função que interceptam o eixo Ox são do ti-
po ( )0,x , ou seja, ( ) 0xfy == , e, portanto, são as soluções da equa-
ção ( ) 0xf = .
Os valores de x tais que ( ) 0xf = são as raízes da equação, também
chamados de zeros da função f .
Mostram-se, a seguir, gráficos de uma função ( )xfy = interceptan-
do o eixo Ox em três pontos distintos, ou seja, a função f tem três
zeros x1, x2 e x3 (Figura 9), em dois pontos coincidentes (Figura 10)
e em ponto algum (Figura 11).
FIGURA 9
Observe, na Figura 9, que, quando o gráfico da função atravessa o
eixo Ox, ela muda de sinal, isto é, passa do negativo para o positivo
e vice-versa. Têm-se os seguintes sinais para f :
• negativa, nos intervalos ( )1x,∞− e ( )32 x,x ;
22
• positiva, nos intervalos ( )21 x,x e ( )∞,x 3 .
No gráfico da Figura 9, mostra-se uma função com três zeros distin-
tos; há, entretanto, funções que possuem zero duplo e funções que
não têm zeros, como nos gráficos das Figuras 10 e 11, respectiva-
mente.
FIGURA 10
O gráfico da função f da Figura 10 mostra que ( ) 0xf ≥ , ∀ x ∈ R ;
no caso da função da Figura 11, tem-se que ( ) 0xf > , ∀ x ∈ R .
FIGURA 11
Exemplo: seja ( )1xx)x(f 2−⋅= . Para algum a < 0, determine o sinal
de ( )3,0f)a1(f ⋅+− . Em seguida, verifique se existe algum zero de
f no intervalo [ ]3,0;a1 +− .
Tem-se:
23
( ) ( )=−+⋅−⋅+−=−+−⋅+−=+− 1aa21)a1(1)a1()a1()a1(f 22
( )2a)1a(a −⋅−⋅= ;
por outro lado: ( ) ( )109,03,013,03,0)3,0(f 2−⋅=−⋅= .
Assim, vem:
( ) � � ( )�����������
00000
109,03,0)2a()1a(a3,0f)a1(f
<><<<
−⋅⋅−⋅−⋅=⋅+− ,
ou seja, ( ) 03,0f)a1(f >⋅+− .
Observou-se, acima, que 0)a1(f <+− e que ( ) 03,0f < , ou seja, a
função f não muda de sinal no intervalo [ ]3,0;a1 +− . Assim, a fun-
ção pode não ter zeros neste intervalo ou, se tiver, terá um número
par de zeros no intervalo, isto é, dois zeros, no caso da função estu-
dada. É fácil ver, neste exemplo, que os zeros de f são os números
reais -1, 0 e 1 e que os dois primeiros pertencem ao intervalo
[ ]3,0;a1+− .
Função composta
Dados os conjuntos não vazios A, B e C e as funções
)x(fyx
B A:f
=
→
� e
)y(gzy
C B:g
=
→
�,
chama-se função composta de g com f a função C A:fg →� ,
definida por: ( )( ) ( )( )xfgxfg =� .
A representação gráfica da definição é mostrada nas Figuras 12 e 13.
FIGURA 12
24
Observações: a composição de g com f , denotada por fg � , é lida
g composta com f ou, então, g bola f . Não se trata, evidentemen-
te, do produto de g por f , denotado por fg ⋅ . Além disso, como se
mostrará no Exemplo 2, tem-se, em geral, que ( )( ) ( )( )xgfxfg �� ≠ ,
ou seja, g composta com f é diferente, em geral, de f composta
com g .
FIGURA 13
Exemplos:
1) Considerem-se os conjuntos { }3,2A = , { }3,2,1B = e { }6,4,2C =
e as funções definidas por:
1xyx
B A:f
−=
→
� e
y2zy
C B:g
⋅=
→
�.
FIGURA 14
Então, as funções f e g são dadas pelos seguintes conjuntos de pa-
res ordenados: ( ) ( ){ }2,3,1,2f = e ( ) ( ) ( ){ }6,3,4,2,2,1g = .
25
A representação gráfica dessas funções é mostrada na Figura 14.
Note que a função composta de g e f é a função:
C A:fgh →= � , definida por:
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 2x21x21xgxfgxfgxh −⋅=−⋅=−=== �
( )( ) 2x2xfg −⋅=∴ � .
Assim, tem-se, por exemplo, que ( )( ) 22222fg =−⋅=� . Conforme
se pode observar na Figura 14, o elemento x = 2 ∈ A é levado, pela
f , no elemento y = 1 ∈ B, que, por sua vez, é levado, pela g , no e-
lemento z = 2 ∈ C. Ou seja:
FIGURA 15
A função composta fgh �= leva o elemento x = 2 ∈ A diretamen-
te ao elemento z = 2 ∈ C. Analogamente, ( )( ) 42323fg =−⋅=� .
2) Considerem-se as funções
( ) 1xxfx
R R:f
+=
→
� e
( ) 3xxgx
R R:g
=
→
�.
Tomando, por exemplo, x = 1, tem-se:
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 2111f1f1gf1gf 3=+====� .
Equivalentemente, pode-se fazer:
( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 1xxgf1xxfxgfxgf 333+=∴+=== ��
e, portanto, vem:
( )( ) 2111gf 3=+=� ,
valor esse obtido através da composição de f e g .
Por outro lado, considerando-se, novamente, x = 1, tem-se:
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 822g11g1fg1fg 3===+==� .
Observe que a composição de g com f é dada por:
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )331xxfg1x1xgxfgxfg +=∴+=+== �� ,
26
ou seja,
( )( ) ( ) 82111fg 33==+=� .
Esse exemplo deixa claro que, em geral, tem-se
( )( ) ( )( )xgfxfg �� ≠ .
Função par e função ímpar
A função f é dita par se satisfaz a relação ( ) ( )xfxf −= , para todo
ponto x de seu domínio. Se for satisfeita a relação ( ) ( )xfxf −−= ,
diz-se que f é ímpar. É claro que, para que seja possível determinar
se f é par ou ímpar, deve-se ter –x pertencente ao domínio da fun-
ção, para todo x de seu domínio.
Graficamente, as funções pares e ímpares apresentam a seguinte
propriedade:
• se f é par, seu gráfico é simétrico em relação ao eixo Oy;
• se f é ímpar, seu gráfico apresenta simetria em relação à origem
do plano cartesiano.
Os gráficos das Figuras 16 e 17 ilustram essas definições.
Para se determinar analiticamente se a função é par ou ímpar, toma-
se a expressão da função e substitui-se x por –x, se possível.
FIGURA 16
Exemplos:
1) Se ( ) 3x2xf 2+⋅= , então:
27
( ) ( ) ( )xf3x23x2xf 22=+⋅=+−⋅=− ∴ f é par.
FIGURA 17
2) Se ( ) 35 x2x3xg ⋅−⋅= , então:
( ) ( ) ( ) ( )xgx2x3x2x3xg 3535=⋅+⋅−=−⋅−−⋅=− ∴ g é ímpar.
3) Se ( ) 1x5x3xh 4+⋅−⋅= , então:
( ) ( ) ( ) 1x5x31x5x3xh 44+⋅+⋅=+−⋅−−⋅=− ∴ h não é par,
nem ímpar, já que não satisfaz nenhuma das duas definições.
Observação: como se disse acima, para que seja possível estudar a
paridade de uma função f , é preciso que –x pertença ao domínio da
função, para todo x de seu domínio. Isso indica que nem sempre se
pode efetuar esse estudo da paridade. Além disso, mesmo que se
possa, é freqüente que se conclua que a função não é par, nem ím-
par.
Função crescente e decrescente
Se existe uma dependência funcional entre as variáveis x e ( )xfy =
e sendo essas variáveis ordenadas, é possível que y cresça com x ou
28
decresça, conforme x cresce. Assim, tem-se:
• ( )xfy = é crescente se 21 xx ≤ � ( ) ( )21 xfxf ≤
• ( )xfy = é decrescente se 21 xx ≤ � ( ) ( )21 xfxf ≥
As representações gráficas dessas definições são mostradas nas Fi-
guras 18 e 19.
FIGURA 18
FIGURA 19
Função bijetora
Conceitos importantes no estudo de funções são os de função injeto-
ra e função sobrejetora. Para uma dada função f , define-se:
• ( )xfy = é injetora se:
( ) ( ) 2121 xxxfxf =�= , ou seja, 2121 xxyy =�= .
Isto significa que cada y pertencente ao conjunto Im(f) é imagem de
um único x do domínio de f . Equivalentemente, tem-se:
29
( ) ( )2121 xfxfxx ≠�≠ . Assim, elementos distintos do domínio de
f têm imagens diferentes.
Por outro lado, tem-se:
• ( )xfy = é sobrejetora se ( )fCDy∈∀ , ( ) ( )xfy/fDx =∈∃ , isto
é: ( ) ( )fCDfIm = .
Isto significa que todo elemento do contra-domínio de f é imagem
de pelo menos um x do domínio de f .
Se f é uma função de R em R , tem-se, graficamente, que:
• se f é injetora, toda reta horizontal que intercepta o gráfico de f
o faz em um único ponto;
• se f é sobrejetora, toda reta horizontal intercepta o gráfico de f
em pelo menos um ponto.
Assim, para que f seja ao mesmo tempo injetora e sobrejetora, toda
reta horizontal deve interceptar o gráfico de f em um único ponto
(Figura 20).
FIGURA 20
É fácil ver que uma função que é sempre crescente ou sempre de-
crescente em seu domínio é injetora. A Figura 21 mostra uma fun-
ção que não é injetora, nem sobrejetora.
Quando a função é, ao mesmo tempo, injetora e sobrejetora, diz-se
que ela é bijetora. Assim, uma função é bijetora quando cada ele-
mento do contra-domínio é imagem de um único elemento de seu
domínio.
30
FIGURA 21
Função inversa
Se uma função f é bijetora, ela admite inversa, ou seja, é inversível.
Isto acontece porque se cada ( )fCDy∈ é imagem de um único
( )fDx ∈ , então entre os valores de x e de y se estabelece uma rela-
ção biunívoca. Assim, interpretando os valores de y como valores da
variável independente e os valores de x como valores da função, ob-
tém-se x como função de y: ( )ygx = . Esta função chama-se inversa
da função ( )xfy = .
Notação: ( )yfxf 11 −−=∴ .
FIGURA 22
31
Logo, como conseqüência imediata, tem-se que o domínio de f
passa a ser a imagem de 1f − e a imagem de f torna-se o domínio de 1f − : ( ) ( )fImfD 1
=− e ( ) ( )fDfIm 1
=− (Figura 22).
Para se determinar analiticamente a inversa de uma função dada f ,
utiliza-se o seguinte procedimento:
• isola-se a variável x na expressão dada de f ;
• troca-se y por x e x por y.
Os gráficos de f e de 1f − são simétricos em relação à reta y = x.
Exemplos:
1) A função dada pela expressão analítica ( ) 1x2xfy +⋅== tem
D(f) = R e CD(f) = R . Além disso, f é crescente em R e, portan-
to, é injetora. Como todo y de R é imagem de algum x do domínio,
isto é, Im(f) = CD(f) = R ; conclui-se que f é sobrejetora e, portan-
to, bijetora. Assim, é possível determinar sua inversa.
Utilizando-se o procedimento indicado, tem-se:
• isola-se x: y = 2.x + 1 � 2
1yx
−= ;
• trocam-se as variáveis x e y: 2
1xy
−= .
FIGURA 23
32
Logo, a função inversa da função dada é: 2
1x)x(fy 1 −
==− . Os
gráficos de f e de 1f − são indicados na Figura 23.
2) Seja a função dada por:
2x x
R R :f
=
→
y�.
Com o objetivo de obter a função inversa de f , é necessário verifi-
car se ela é injetora e sobrejetora. Observe que:
• f não é sobrejetora, pois, por exemplo, ( )fCD2y ∈−= e não é a
imagem de nenhum ( )fDx ∈ . Genericamente: todo y < 0 não é i-
magem de nenhum elemento ( )fDx ∈ . Para que f seja sobrejetora,
é necessário fazer: ( ) ( ) +== RfImfCD . Logo, redefine-se a função,
escrevendo-a da seguinte maneira:
2x x
R R :f
=
→+
y�.
Essa função é, agora, sobrejetora.
• f não é injetora, pois cada +∈ Ry é imagem de x e de –x ∈ R .
Logo, é necessário também fazer uma restrição no domínio de f .
Por exemplo, pode-se fazer ( ) += RfD , isto é, pode-se redefinir a
função mais uma vez:
2x x
R R :f
=
→++
y�.
Dessa forma, f é, agora, injetora e sobrejetora, isto é, f é bijetora;
pode-se, finalmente, determinar sua inversa: yxxy 2=�= ∴
xy = é a função desejada.
A Figura 24 mostra os gráficos de f (depois de feitas as restrições
no domínio e no contra-domínio) e de 1f − .
Outra forma: pode-se obter uma outra função inversa da função dada
inicialmente fazendo ( ) −= RfD e ( ) ( ) +
== RfImfCD . Ou seja, re-
definindo a função da seguinte maneira:
33
2x x
R R :f
=
→+−
y�,
o que torna a função f , como anteriormente, bijetora. Então:
yxxy 2−=�= ∴ xy −= .
FIGURA 24
Os gráficos de f (com a nova restrição do domínio) e de 1f − são
mostrados na Figura 25.
FIGURA 25
34
3) Para uma dada função inversível y = f(x), explicar o que signifi-
cam as notações: ( )xf 1− , ( )1xf − e ( )[ ] 1xf
− . É verdadeira a afirma-
ção: ( ) ( ) ( )[ ] 111 xfxfxf−−−
== ?
Os significados das notações são:
• ( )xf 1− denota a função inversa da função ( )xf ;
• ( )1xf − denota a imagem, pela função f , do inverso de x. Ou seja,
é a função f calculada no ponto x
1x 1
=− : ( ) �
�
���
�=
−
x
1fxf
1 ;
• ( )[ ] 1xf
− denota o inverso da imagem de x através da função f , isto
é, é o inverso do valor que a função f assume no ponto x:
( )[ ]( )xf
1xf
1=
− .
Pelos significados explicados acima, fica evidente que a afirmação
de que ( ) ( ) ( )[ ] 111 xfxfxf−−−
== é falsa. Para exemplificar, considere-
se a função do Exemplo 1: ( ) 1x2xf +⋅= . Tem-se:
• a inversa dessa função é 2
1x)x(fy 1 −
==− ;
• pela definição de função, tem-se, para um número real não nulo x:
( ) 1x
21
x
12
x
1fxf 1
+=+��
���
�⋅=�
�
���
�=
− ;
• pelos conceitos de função e de inverso de um número real não nu-
lo, tem-se:
( )[ ]( ) 1x2
1
xf
1xf
1
+⋅==
− ,
que está definido para todo número real x tal que 2.x + 1 ≠ 0.
Assim, é evidente que ( ) ( ) ( )[ ] 111 xfxfxf−−−
≠≠ .
Apenas a título de exemplificação, considere-se x = 2. Então:
( ) ( )2
1
2
122fxf
11=
−==
−−
( ) ( ) 212
12
2
1f2fxf
11=+⋅=�
�
���
�==
−−
( )[ ] ( )[ ]( ) 5
1
122
1
2f
12fxf
11=
+⋅===
−− .
2 FUNÇÃO DO 1o GRAU
Definição. Dados os números reais a � 0 e b, chama-se função do 1o
grau (ou função afim) a função de R em R que a cada número real
x associa o valor a.x + b.
Notação:
bxa x
R R :f
+⋅=
→
y�.
Tem-se, assim: ( ) RfD = e ( ) RfIm = .
Exemplos: são funções do 1o grau:
3
5x7,0 x
R R :f
+⋅=
→
y� ;
x2 x
R R :f
⋅−=
→
y� ;
1x2 x
R R :f
−⋅=
→
y�.
Observações:
1) Quando b = 0, tem-se ( ) xaxf ⋅= , que é chamada função linear.
2) Quando a = 0, tem-se ( ) bxf = , que associa a cada valor da variá-
vel x a mesma imagem b. Essa função é chamada função constante.
Gráfico da função do 1o grau
O gráfico de uma função do 1o grau é uma reta não paralela nem ao
eixo Ox e nem ao eixo Oy.
Exemplos:
1) Considere-se a função definida pela lei ( ) 3x2xfy +⋅== . Pro-
curam-se, em particular, os pontos em que a reta intercepta os eixos
Ox e Oy. Tem-se:
• o ponto no qual a reta intercepta o eixo Ox tem ordenada y = 0.
Então, faz-se:
��
���
�−∴−=�=+⋅�= 0,
2
3P
2
3x03x20y
• o ponto no qual a reta intercepta o eixo Oy tem abscissa x = 0. En-
tão:
( )3,0Q3y302y0x ∴=�+⋅=�=
O gráfico dessa função é mostrado na Figura 1.
36
FIGURA 1
FIGURA 2
2) No caso da função constante ( ) bxf = , o gráfico é uma reta para-
lela ao eixo Ox, situada acima ou abaixo desse eixo, dependendo do
sinal de b, ou coincidente com ele, quando b = 0, conforme se vê
nos gráficos da Figura 2.
De um modo geral, dada a função ( ) bxaxfy +⋅== , tem-se:
• quando a reta intercepta o eixo Ox, tem-se que ( ) 0xfy == . Logo,
37
vem:
��
���
�−∴−=�=+⋅�= 0,
a
bP
a
bx0bxa0y ;
• quando a reta intercepta o eixo Oy tem abscissa x = 0. Então:
( )b,0Qbyb0ay0x ∴=�+⋅=�=
Significado dos coeficientes
Analisar-se-á o significado dos números reais a e b da função do 1o
grau ( ) bxaxfy +⋅== , cujo gráfico é uma reta r.
(a) coeficiente b: como se viu anteriormente, o gráfico da função f
intercepta o eixo Oy no ponto ( )b,0 . Portanto, b é o valor algébrico
do segmento determinado pela origem do sistema da coordenadas
cartesianas e pelo ponto ( )b,0 . O coeficiente b é, por esse motivo,
chamado de coeficiente linear da reta.
FIGURA 3
(b) coeficiente a: considerem-se os pontos ( )111 y,xP e ( )222 y,xP
pertencentes ao gráfico de f , ou seja, pertencente à reta r. Tem-se:
( )
( )�
+⋅==�∈
+⋅==�∈
bxaxfyrP
bxaxfyrP
2222
1111;
então:
38
( )12
121212
xx
yyaxxayy
−
−=�−⋅=− .
Na Figura 3 tem-se a representação gráfica desse quociente. No tri-
ângulo QPP 21 , α é o ângulo formado entre a reta r e o semi-eixo
positivo do eixo Ox. Desse triângulo, vem:
α=�−
−==α tga
xx
yy
QP
QPtg
12
12
1
2 .
Por esse motivo, α= ��� recebe o nome de coeficiente angular da
reta r ou inclinação da reta r.
Observação: se a > 0, tem-se que 0tg >α , ou seja, o ângulo α é tal
que 2
0π
<α< . Assim, a função ( ) bxaxf +⋅= é crescente (Figuras
4-(a) e 4-(b)).
FIGURA 4-(a)
Se a < 0, então 0tg <α , ou seja, o ângulo α é tal que π<α<π
2 e a
função ( ) bxaxf +⋅= é decrescente (Figuras 5-(a) e 5-(b)).
Exemplo: a reta y = x é denominada bissetriz do 1o e 3
o quadrantes,
já que se tem: o451tg1a =α�=α�= ;
por outro lado, tem-se b = 0, ou seja, a reta intercepta o eixo Oy no
39
ponto (0, 0) e, portanto, passa pela origem do sistema de coordena-
das cartesianas ortogonais. Seu gráfico é mostrado na Figura 6.
FIGURA 4-(b)
FIGURA 5-(a)
40
FIGURA 5-(b)
FIGURA 6
Sinal da função do 1o grau
Estudar o sinal da função do 1o grau ( ) bxaxfy +⋅== é determi-
nar quais são os valores da variável x para os quais se tenha
( )xfy = positivo ou negativo. Para tal estudo, deve-se determinar,
primeiramente, o zero da função f , ou seja, a raiz da equação
( ) 0xf = . Tem-se:
a
bx0bxa −=�=+⋅ .
41
Assim, a
bx −= é o zero da função f e é a abscissa do ponto de in-
terseção do gráfico de f com o eixo Ox, como se viu anteriormente.
Analisam-se, a seguir, os sinais que a função f assume. Conforme
mostra a Figura 4, se 0a > , a função é crescente e tem-se:
���
��
>�−>
<�−<
0ya
bx
0ya
bx
,
independentemente do sinal de b.
Como se pode ver na Figura 5, se 0a < , a função é decrescente e
tem-se:
���
��
<�−>
>�−<
0ya
bx
0ya
bx
,
independentemente do sinal de b.
Observações:
1) Analisando-se os gráficos apresentados na Figura 4, em que se
tem 0a > , ou seja, função crescente, observa-se que, tomando-se
valores de x maiores do que o zero da função a
bx −= , tem-se
0y > , isto é, os valores de y têm o mesmo sinal do coeficiente a.
Por outro lado, tomando-se valores de x menores do que a
bx −= ,
tem-se 0y < , isto é, os valores de y têm o sinal contrário ao do coe-
ficiente a. Essas conclusões podem ser representadas através do dia-
grama da Figura 7.
FIGURA 7
42
2) Analisando-se, agora, os gráficos apresentados na Figura 5, em
que se tem 0a < , ou seja, função decrescente, observa-se que, to-
mando-se valores de x maiores do que o zero da função a
bx −= ,
tem-se 0y < , isto é, os valores de y têm o mesmo sinal do coefici-
ente a. Por outro lado, tomando-se valores de x menores do que
a
bx −= , tem-se 0y > , isto é, os valores de y têm o sinal contrário
ao do coeficiente a. O diagrama da Figura 8 mostra essas conclu-
sões.
FIGURA 8
Vê-se, assim, que as conclusões sobre os sinais da função são as
mesmas, independentemente do sinal do coeficiente a:
• a
bx −< � y tem o sinal contrário ao sinal de a;
• a
bx −> � y tem o mesmo sinal de a.
O diagrama da Figura 9 mostra essas conclusões.
FIGURA 9
Exemplos:
1) Estudar os sinais da função ( ) 3x2xfy +⋅== .
Fazendo ( ) 0xf = , vem:
2
3x03x2 −=�=+⋅ ,
ou seja, 2
3x −= é o zero da função f , ou seja, seu gráfico intercep-
43
ta o eixo Ox no ponto ��
���
�− 0,
2
3P . A função f tem coeficiente
a = 2 > 0. Então:
• 2
3x −< � y tem o sinal contrário ao sinal de a, ou seja, 0y < ;
• 2
3x −> � y tem o mesmo sinal de a, ou seja, 0y > .
Assim, a função f é negativa no intervalo ��
���
�−∞−
2
3, e positiva no
intervalo ��
���
�+∞− ,
2
3. O diagrama da Figura 10 mostra essas conclu-
sões.
FIGURA 10
FIGURA 11
Além disso, como se viu anteriormente, a reta intercepta o eixo Oy
no ponto ( )3,0Q . O gráfico da Figura 11, já mostrado na Figura 1,
ilustra o que se acabou de concluir. Como se vê, para os valores de x
44
menores do que 2
3− , o segmento de reta se situa abaixo do eixo Ox,
ou seja, os valores de ( )xfy = são negativos. Para os valores de x
maiores do que 2
3− , o segmento de reta se situa acima do eixo Ox,
ou seja, os valores de ( )xfy = são positivos.
2) Estudar os sinais da função ( ) 1x3xfy −⋅−== .
Fazendo ( ) 0xf = , vem:
3
1x01x3 −=�=−⋅− ,
ou seja, 3
1x −= é o zero da função f e, portanto, seu gráfico inter-
cepta o eixo Ox no ponto ��
���
�− 0,
3
1P .
A função f tem coeficiente a = -3 < 0. Então:
• 3
1x −< � y tem o sinal contrário ao sinal de a, ou seja, 0y > ;
• 3
1x −> � y tem o mesmo sinal de a, ou seja, 0y < .
Isto é, a função f é positiva no intervalo ��
���
�−∞−
3
1, e negativa no
intervalo ��
���
�+∞− ,
3
1.
O diagrama de sinais mostrado na Figura 12 ilustra essas conclu-
sões.
FIGURA 12
No caso da função dada, seu gráfico intercepta o eixo Oy no ponto
( )1,0Q − , conforme se pode ver na Figura 13.
45
FIGURA 13
FIGURA 14
Observações:
1) Uma reta r paralela ao eixo das ordenadas é tal que todos os seus
pontos ( )y,x têm a mesma abscissa x = k e, portanto, esta é sua e-
46
quação. Essa reta pode estar à direita ou à esquerda do eixo Oy, de-
pendendo de k ser positivo ou negativo, ou pode ser coincidente
com este eixo, se k = 0, conforme mostra a Figura 14. É importante
destacar que a equação x = k não representa uma função do 1o grau.
Na verdade, não representa sequer uma função, pois, para um mes-
mo valor de x, há infinitos valores de y, como se vê nos gráficos da
Figura 14.
2) A função ( )x
1xfy == não representa uma função do 1
o grau,
pois pode ser escrita na forma ( ) 1xxfy −== , o que mostra que o
expoente da variável x é –1. Portanto, seu gráfico não é uma reta,
como mostra a Figura 15.
FIGURA 15
3 INEQUAÇÃO DO 1º GRAU
É toda sentença matemática que exprime uma relação de desigual-
dade do tipo 0bxa ≤+⋅ ou 0bxa ≥+⋅ . Também se podem ter as
desigualdades 0bxa <+⋅ ou 0bxa <+⋅ que são desigualdades es-
tritas. Nessas desigualdades, a e b são números reais, com 0a ≠ .
Resolver uma inequação, a exemplo da resolução de uma equação, é
determinar os valores da variável que tornam verdadeira a sentença
matemática. Entretanto, no caso de uma equação do 1º grau, obtém-
se apenas um valor da variável que satisfaz a equação e, no caso de
uma inequação do 1º grau, podem-se obter infinitos valores da vari-
ável que a satisfaçam.
Exemplos:
1) Resolver a inequação x + 1 ≥ 0.
Resolver essa inequação significa determinar quais são os valores de
x para os quais se tem x + 1 ≥ 0. Isso equivale a estudar o sinal da
função y = x + 1, isto é, equivale a determinar quais os valores de x
tornam a função maior ou igual a zero. Lembrando que uma função
somente pode mudar de sinal quando seu gráfico intercepta o eixo
Ox, determina-se, primeiramente, o zero dessa função, para, em se-
guida, determinar os sinais que ela assume, como segue:
1x01x −=�−+ .
Então, a função 1xy += pode mudar de sinal apenas no ponto
1x −= . Tomando-se qualquer valor de x menor do que –1, observa-
se que a função tem sinal negativo. Por exemplo, para 2x −= , tem-
se 0112y <−=+−= . Da mesma forma, tomando-se qualquer valor
de x maior do que –1, observa-se que a função tem sinal positivo.
Por exemplo, para x = 1, tem-se 0211y >=+= . Tem-se, assim, o
diagrama de sinais para a função 1xy += da Figura 1.
FIGURA 1
Verifica-se, na Figura 1, que a função assume valores maiores do
que zero para valores de x maiores do que -1 e que se anula para es-
se valor: 1x −≥ � 0y ≥ . Logo, os valores de x que tornam verda-
deira a sentença 01x ≥+ são aqueles que são maiores ou iguais a
48
1− , ou seja, o conjunto solução da inequação dada é:
{ }1x/RxS −≥∈= , ou seja, [ )+∞−= ,1S .
2) Resolver a inequação 0x23 <⋅− .
Como se viu no exemplo anterior, é preciso estudar o sinal da fun-
ção x23y ⋅−= ; primeiramente, determina-se o zero da função, ou
seja, a raiz da equação 0x23 =⋅− . Tem-se:
2
3x0x23 =�=⋅− .
Logo, a função pode mudar de sinal apenas no valor 2
3x = . To-
mando-se um valor qualquer de x menor do que 2
3, por exemplo,
0x = , vê-se que a função assume valores positivos. Por outro lado,
tomando um valor qualquer de x maior do que 2
3, por exemplo,
3x = , vê-se que a função assume valores negativos. Os sinais da
função são os mostrados na Figura 2.
FIGURA 2
Assim, o conjunto solução da inequação dada é:
��
���
�+∞=
�
��
>∈= ,2
3
2
3x/RxS .
3) Resolver a inequação 0x3
1x2≤
−
+⋅.
É importante observar que não se trata, aqui, de resolver separada-
mente inequações com o numerador e o denominador da fração. O
que se procuram são os valores da variável x que tornem a fração
menor ou igual a zero. Levando-se em conta que o sinal de uma fra-
ção depende dos sinais de seu numerador e de seu denominador, é
preciso estudar, separadamente, os sinais das funções que compõem
a fração, para depois estudar o sinal do quociente dessas duas fun-
ções. Assim, tem-se:
49
• função do numerador: 1x2y +⋅= . Repetindo o procedimento dos
exemplos anteriores, vem:
2
1x01x2 −=�=+⋅ ;
logo, os sinais dessa função são os que se vêem na Figura 3.
FIGURA 3
• função do denominador: x3y −= . Repetindo o procedimento dos
exemplos anteriores, vem:
3x0x3 =�=− ;
a Figura 4 mostra os sinais dessa função.
FIGURA 4
É preciso, agora, determinar os valores de x que tornam a fração
menor ou igual a zero. A maneira mais prática de se fazer isso é co-
locar os dois diagramas apresentados nas Figuras 3 e 4, respeitando
a relação de ordem das raízes das duas funções, e “dividir” os valo-
res de x do numerador pelos do denominador em cada intervalo en-
tre as raízes. Tem-se, então, a Figura 5.
FIGURA 5
Nesta figura, vê-se que:
• tomando valores de x menores do que 2
1− , os valores da função
do numerador são negativos, enquanto que os da função do denomi-
50
nador são positivos. Assim, o quociente entre esses valores é negati-
vo;
• tomando valores de x entre 2
1− e 3, os valores das duas funções
são positivos. Logo, o quociente entre esses valores é positivo;
• tomando valores de x maiores do que 3, os valores da função do
numerador são positivos, enquanto que os da função do denomina-
dor são negativos. Portanto, o quociente entre esses valores é nega-
tivo.
Em 2
1x −= a fração se anula, pois esse valor anula o numerador da
fração. O valor 3x = deve ser descartado, pois ele anula o denomi-
nador da fração, tornando-a sem sentido. Então, os valores de x que
tornam a fração menor ou igual a zero são aqueles que são menores
ou iguais a 2
1− ou maiores do que 3, isto é:
( )+∞∪��
���
�−∞−=
�
��
>−≤∈= ,32
1,3xou
2
1x/RxS .
Apenas a título de verificação, considere-se um valor de x que seja
menor que 2
1− , por exemplo, 2x −= . Tem-se:
( )( )
05
3
23
122
x3
1x2<−=
−−
+−⋅=
−
+⋅,
ou seja, esse valor de x satisfaz a inequação proposta. Isso ocorrerá
com todos os valores de x menores do que 2
1− .
Tomando-se, agora, um valor de x maior do que 3, por exemplo,
5x = , vem:
02
11
53
152
x3
1x2<−=
−
+⋅=
−
+⋅,
confirmando que a fração terá valor negativo sempre que se toma-
rem valores de x maiores do que 3.
Por outro lado, tomando-se um valor entre 2
1− e 3, por exemplo,
1x = , tem-se:
02
3
13
112
x3
1x2>=
−
+⋅=
−
+⋅,
isto é, a fração será positiva sempre que se tomar x nessa condição.
51
É claro que o único valor de x que torna a fração nula é 2
1x −= .
4) A inequação bxa ≥≥ tem solução para quaisquer valores de a e
b?
A expressão bxa ≥≥ é equivalente a duas desigualdades simultâ-
neas, ou seja, que devem acontecer ao mesmo tempo: ax ≤ e bx ≥ .
Assim, a única situação em que a expressão bxa ≥≥ está correta é
quando ba ≥ . Por exemplo, se a = 4 e b = 2, os valores de x que sa-
tisfazem as desigualdades 2x4 ≥≥ são aqueles que são maiores ou
iguais a 2 e menores ou iguais a 4, ou seja, são os valores de x que
pertencem ao intervalo [2, 4].
Se ba < , por exemplo, se a = 2 e b = 4, escrever bxa ≥≥ , ou seja,
escrever 4x2 ≥≥ , significa encontrar valores de x que satisfaçam,
ao mesmo tempo, as desigualdades 2x ≤ e 4x ≥ . É claro que não
existem valores de x que sejam, ao mesmo tempo, menores ou iguais
a 2 e maiores ou iguais a 4 e, portanto, a inequação bxa ≥≥ não
tem solução neste caso.
É claro que tudo o que disse acima também é válido para desigual-
dades estritas, ou seja, para inequações da forma bxa >≥ , ou
bxa ≥> , ou bxa >> .
4 EQUAÇÃO DO 2O GRAU
É uma equação da forma 0cxbxa 2=+⋅+⋅ , onde, obrigatoriamen-
te, se tem 0a ≠ . Para se resolver essa equação, escreve-se:
0a
cx
a
bx0
a
cx
a
bxa 22
=+⋅+�=��
���
�+⋅+⋅ .
Com a finalidade de se obter o quadrado de uma soma no primeiro
membro da expressão, faz-se:
�=+⋅
−��
���
�
⋅+�
�=+��
���
�
⋅−�
�
���
�
⋅+⋅
⋅⋅+
0a
c
a4
b
a2
bx
0a
c
a2
b
a2
bx
a2
b2x
2
22
222
2
22
2
22
a4
ca4b
a2
bx0
a4
ca4b
a2
bx
⋅
⋅⋅−=�
�
���
�
⋅+�=
��
�
�
��
�
�
⋅
⋅⋅−−�
�
���
�
⋅+�
Fazendo ca4b2⋅⋅−=∆ , vem:
2
2
a4a2
bx
⋅
∆=�
�
���
�
⋅+ .
Analisa-se, agora, o sinal de ∆:
• se ∆ > 0, vem:
a2
bx
a2a2
bx
a4a2
bx
2 ⋅
∆±−=�
⋅
∆±
⋅−=�
⋅
∆±=
⋅+ ,
isto é, a equação tem duas raízes reais distintas:
a2
bxe
a2
bx 21
⋅
∆−−=
⋅
∆+−= ;
• se ∆ = 0, vem: a2
bx0
a2
bx
⋅−=�=
⋅+ , isto é, há duas raízes reais
iguais, isto é, a equação tem uma raiz real de multiplicidade 2, ou ra-
iz dupla;
• se ∆ < 0, a equação não tem raízes reais.
Quando se considera a função quadrática cxbxa 2+⋅+⋅=y , pode-
se fazer sua representação gráfica no plano Oxy, que é uma parábo-
la. Para isso, utilizam-se, quando há, os zeros da função (isto é, as
raízes reais da equação 0cxbxa 2=+⋅+⋅ ) e as coordenadas do
vértice V, as quais podem ser obtidas a partir dos zeros da função,
utilizando o fato de que esse ponto pertence ao eixo de simetria da
parábola e, portanto, sua abscissa deve ser igual ao ponto médio en-
54
tre eles. Analisam-se duas situações:
• ∆ ≥ 0, quando se têm os zeros: a2
bxe
a2
bx 21
⋅
∆−−=
⋅
∆+−= . En-
tão, vem:
a2
b
2
a2
b2
2
a2
b
a2
b
2
xxx 21
V⋅
−=⋅
⋅−
=⋅
∆−−+
⋅
∆+−
=+
= .
Para se obter a ordenada do vértice, substitui-se o valor encontrado
de Vx na função cxbxay 2+⋅+⋅= :
a4a4
ca4b
a4
ca4b
a4
ca4b2b
ca2
b
a4
bac
a2
bb
a2
bay
2222
2
2
22
V
⋅
∆−=
⋅
⋅⋅−−=
⋅
⋅⋅+−=
⋅
⋅⋅+⋅−=
=+⋅
−⋅
⋅=+��
���
�
⋅−⋅+�
�
���
�
⋅−⋅=
Assim, tem-se que ��
���
�
⋅
∆−
⋅−
a4,
a2
bV .
• ∆ < 0, quando as raízes da equação 0cxbxa 2=+⋅+⋅ são com-
plexas:
a2
ibxe
a2
ibx 21
⋅
∆⋅−−=
⋅
∆⋅+−= , onde 1i −= é a unidade ima-
ginária. Mesmo nessa situação, tem-se:
a2
b
2
a2
b2
2
a2
ib
a2
ib
2
xxx 21
V⋅
−=⋅
⋅−
=⋅
∆⋅−−+
⋅
∆⋅+−
=+
= ,
o que acarreta que a4
yV⋅
∆−= .
Conclui-se, assim, que as coordenadas do vértice da parábola são
��
���
�
⋅
∆−
⋅−
a4,
a2
bV , independentemente da existência ou não de zeros
reais, isto é, qualquer que seja o sinal do discriminante ∆.
Exemplos:
1) Dada a equação 05x3x2 2=−⋅+⋅ , tem-se:
2
5xou1x
4
73x49409 −==�
±−=�=+=∆ .
55
Assim, o conjunto solução da equação, em R, é: �
��
−= 1,2
5S . Em N,
o conjunto solução da equação é { }1S = .
2) No caso da equação 01xx 2=−+− , tem-se:
2
31x34101xx01xx 22 −±
=�−=−=∆=+−�=−+− .
Lembrando que o número complexo i é, por definição, 1i −= ,
vem:
( )
2
3i1xou
2
3i1x
2
3i1
2
311x
⋅+=
⋅−=�
⋅±=
⋅−±= .
Vê-se, assim, que a equação somente tem solução no conjunto C dos
números complexos: ��
�
��
�� ⋅⋅+⋅⋅−
=2
3i1,
2
3i1S . Em R, o conjun-
to solução é vazio: Φ=S .
Observação: pode-se fazer estudo semelhante para determinar os ze-
ros de uma função quadrática com a forma cybya 2+⋅+⋅=x , on-
de a ≠ 0. Fazendo-se x = 0, obtém-se a equação 0cybya 2=+⋅+⋅
que é exatamente o mesmo tipo de equação estudado até agora. A-
penas tem-se a variável y ao invés da variável x. Assim, têm-se as
mesmas conclusões:
• se ∆ > 0, há duas raízes reais distintas:
a2
bye
a2
by 21
⋅
∆−−=
⋅
∆+−= ;
• se ∆ = 0, há duas raízes reais iguais: a2
by
⋅−= ;
• se ∆ < 0, não há raízes reais.
Nesse caso, as coordenadas do vértice V são tais que a ordenada yv é
o ponto médio entre y1 e y2, ou seja, a2
byV
⋅−= e, por conseqüên-
cia, a abscissa é o valor de x que se obtém substituindo esse valor de
y na função cybyax 2+⋅+⋅= :
56
a4xV
⋅
∆−= , ou seja, o vértice é �
�
���
�
⋅−
⋅
∆−
a2
b,
a4V .
5 FUNÇÃO DO 2O GRAU
É uma função definida por:
( ) cxbxaxf x
R R :f
2+⋅+⋅==
→
y�,
onde, obrigatoriamente, se tem 0a ≠ .
Sendo a não nulo, pode-se ter a > 0 ou a < 0. Todos os resultados
provenientes do estudo que será feito a seguir com os coeficientes b
e c para a > 0, são válidos para a situação em que a < 0. O sinal de a
influi no sentido de concavidade do gráfico da função
cxbxa 2+⋅+⋅=y , que é uma parábola. Se a > 0, a concavidade es-
tá voltada para cima; se a < 0, a concavidade está voltada para bai-
xo. Assim, considerar-se-á, no que se segue, apenas a situação em
que a > 0.
Para se estudar a função quadrática, deve-se verificar se ela possui
ou não zeros reais, ou seja, deve-se verificar se a equação do 20 grau
0cxbxa 2=+⋅+⋅ tem ou não raízes reais. Como se viu anterior-
mente, a resolução dessa equação se faz de maneira simples com a
utilização da conhecida fórmula de Baskara:
a2
bx
⋅
∆±−= ,
onde ca4b2⋅⋅−=∆ é o discriminante.
A parábola tem um eixo de simetria, no qual se localiza seu vértice
V, cujas coordenadas são ��
���
�
⋅
∆−
⋅−
a4,
a2
bV .
No caso da função quadrática como a que se está estudando, o eixo
de simetria é vertical, isto é, coincidente ou paralelo ao eixo Oy.
Têm-se as possibilidades seguintes:
(1) b = c = 0. Nesse caso, a função dada fica: 2xay ⋅= . Então, sen-
do b = 0, tem-se 0x V = , o que acarreta 0yV = . Logo, ( )0,0V , o
que significa que o eixo de simetria da parábola coincide com o eixo
Oy, cuja equação é 0x = . Um gráfico genérico de f é apresentado
na Figura 1.
A "abertura" da parábola depende do valor de a. Considerem-se al-
guns exemplos:
• 1a = : para 1x −= ou 1x = , tem-se 1y = . Logo, os pontos ( )1,1−
e ( )1,1 pertencem ao gráfico;
58
• 2
1a = : para 1x −= ou 1x = , tem-se
2
1y = . Logo, os pontos
��
���
���
���
�−
2
1,1e
2
1,1 pertencem ao gráfico;
• 2a = : para 1x −= ou 1x = , tem-se 2y = . Logo, os pontos (-1, 2)
e (1, 2) pertencem ao gráfico.
FIGURA 1
Os gráficos das funções 2xy = , 2x2
1y ⋅= e 2x2y ⋅= são mostra-
dos na Figura 2. Observa-se que quanto maior for o valor de a, mais
"fechada" é a parábola e quanto mais próximo de zero for o valor de
a, mais "aberto" será o gráfico de f .
Pode-se verificar facilmente que a função ( ) 2xa ⋅=xf é par, pois:
( ) ( ) ( )xfx-f =⋅=−⋅=22
xaxa .
Uma interpretação geométrica interessante que há para a função
( ) 2xa ⋅=xf é que esta pode ser vista como a área de um quadrado
de lado xa ⋅=� , pois a área seria ( ) 22xaxaA ⋅=⋅= .
59
FIGURA 2
(2) b = 0 e c ≠ 0. Nesse caso, a função dada fica: cxa 2+⋅=y . No-
vamente, sendo b = 0, tem-se 0x V = , o que acarreta cyV = . Logo,
( )c,0V , e o eixo de simetria da parábola coincide com o eixo Oy.
FIGURA 3
Como ca4ca40ca4b2⋅⋅−=⋅⋅−=⋅⋅−=∆ e lembrando que se es-
tá considerando a > 0, conclui-se que:
60
• se c > 0 � ∆ < 0 � a função f não tem zeros, isto é, seu gráfico
não intercepta o eixo Ox;
• se c < 0 � ∆ > 0 � a função f tem dois zeros reais, isto é, seu
gráfico intercepta o eixo Ox em dois pontos distintos. Para determi-
nar esses pontos, faz-se:
a
cxcxa0cxa0y 22
−±=�−=⋅�=+⋅�= .
Observe que o número dentro do radical é positivo, já que a e c têm
sinais contrários. Os gráficos que representam as duas situações
consideradas são mostrados nas Figuras 3 e 4.
FIGURA 4
Em qualquer dessas situações, verifica-se que a função
( ) cxax 2+⋅=f é par, pois:
( ) ( ) ( )xcxacxax 22ff =+⋅=+−⋅=− .
(3) b ≠ 0 e c = 0. Nesse caso, a função dada fica: ( ) xbxaxf 2⋅+⋅= .
Então, tem-se:
• a2
bxV
⋅−= e
a4
b
a4
0a4b
a4y
22
V⋅
−=⋅
⋅⋅−−=
⋅
∆−= , ou seja,
��
�
�
��
�
�
⋅−
⋅−
a4
b,
a2
bV
2
61
• 0b2>=∆ , o que indica que a função tem dois zeros distintos, ou
seja, a parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos distintos. Para
determinar esses dois pontos, faz-se:
( )a
bxou0x0bxax0xbxa0y 2
−==�=+⋅⋅�=⋅+⋅�= .
Assim, os pontos de interseção do gráfico com o eixo Ox são:
( ) ��
���
�− 0,
a
bPe0,0P 21 .
Observe que o eixo de simetria da parábola coincide com a reta
a2
bx
⋅−= , já que essa é a abscissa do vértice. Assim, esse valor
deve ser o ponto médio entre os valores x = 0 e a
bx −= , que são os
dois zeros da função. De fato, tem-se:
a2
b
2
a
b
2
a
b0
⋅−=
−
=
��
���
�−+
.
FIGURA 5
Há dois gráficos possíveis para a função ( ) xbxaxf 2⋅+⋅= , depen-
62
dendo do sinal de b:
• se b > 0, então 0a
bx <−=
• se b < 0, então 0a
bx >−= .
Os gráficos são mostrados nas Figuras 5 e 6.
FIGURA 6
A função ( ) xbxaxf 2⋅+⋅= não é par, nem ímpar, pois:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )xfxfexfxf
xbxaxbxaxf 22
−≠−≠−�
�⋅−⋅=−⋅+−⋅=−
(4) b ≠ 0 e c ≠ 0. Nesse caso, a função dada fica:
( ) cxbxaxf 2+⋅+⋅==y .
Então, tem-se a2
bxV
⋅−= e
a4
ca4b
a4y
2
V⋅
⋅⋅−−=
⋅
∆−= . Usando a
fórmula de Baskara para encontrar os zeros da função, vem:
a2
ca4bb
a2
bx0cxbxa0y
22
⋅
⋅⋅−±−=
⋅
∆±−=�=+⋅+⋅�= .
63
Nesse ponto, é preciso estudar as possibilidades para o discriminan-
te:
• se ∆ > 0, a função tem dois zeros distintos, ou seja, a parábola in-
tercepta o eixo Ox em dois pontos distintos:
a2
ca4bbxe
a2
ca4bbx
2
2
2
1⋅
⋅⋅−−−=
⋅
⋅⋅−+−= ;
• se ∆ = 0, a função tem dois zeros iguais, ou seja, a parábola tan-
gencia o eixo Ox no ponto a2
bx
⋅−= ;
• se ∆ < 0, a função não tem zeros reais, ou seja, a parábola não in-
tercepta o eixo Ox.
Em qualquer das situações, o eixo de simetria da parábola coincide
com a reta a2
bx
⋅−= . Têm-se, assim, os gráficos das Figuras 7, 8 e
9.
FIGURA 7
Como no caso (3), a função ( ) cxbxaxf 2+⋅+⋅= não é par, nem
ímpar, pois:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )xfxfexfxf
cxbxacxbxaxf 22
−≠≠�
�+⋅−⋅=+−⋅+−⋅=− .
64
FIGURA 8
FIGURA 9
Observação: conforme se afirmou anteriormente, pode-se repetir to-
do o estudo feito para o caso em que o coeficiente a é menor do que
zero. Excetuando-se o fato de que a parábola terá, nesse caso, con-
cavidade voltada para baixo, todas as conclusões serão as mesmas.
Exemplo: esboçar o gráfico da função ( )22xky −⋅= , para 1k > ,
65
1k = , 1k0 << , 1k −< , 1k −= e 0k1 <<− .
Conforme se pode ver na Figura 10, para valores positivos de k, a
concavidade das parábolas é voltada para cima e para valores de k
menores do que zero, as parábolas são côncavas para baixo. Obser-
va-se, ainda, que, se |k| > 1, a “abertura” da parábola é menor do que
para k = 1, isto é, é “mais fechada”. Se |k| < 1, a parábola é “mais
aberta”.
FIGURA 10
Sinal da função do 2o grau
Estudar o sinal da função do 2o grau ( ) cxbxaxf 2
+⋅+⋅==y é de-
terminar quais são os valores da variável x para os quais se tenha
( )xfy = positivo ou negativo. Para tal estudo, devem-se determinar,
se existirem, os zeros reais da função f , ou seja, as raízes reais da
equação ( ) 0xf = . Tem-se, como se viu anteriormente, as possibili-
dades que se discutem a seguir.
(1) Se ∆ > 0, a função tem dois zeros distintos, ou seja, a parábola
intercepta o eixo Ox em dois pontos distintos x1 e x2, conforme mos-
tra a Figura 7. Vê-se, nesta figura, que para valores de x menores do
66
que x1 ou maiores do que x2, a função tem sinal positivo, que é o
mesmo sinal do coeficiente a da função. Se a variável x assume um
valor entre as duas raízes, a função tem sinal negativo, que é contrá-
rio ao sinal de a. O diagrama de sinais da Figura 11 resume essas
conclusões.
FIGURA 11
É importante observar que, se a < 0, essas mesmas conclusões são
verdadeiras, já que o gráfico da função ( ) cxbxaxf 2+⋅+⋅==y é
como mostra a Figura 12.
FIGURA 12
Observa-se, no gráfico, que para valores de x menores do que x1 ou
maiores do que x2, a função tem sinal negativo, que é o mesmo sinal
do coeficiente a. Se a variável x assume um valor entre as duas raí-
zes, a função tem sinal positivo, que é contrário ao sinal de a. Têm-
se, assim, as mesmas conclusões apresentadas na Figura 11.
(2) Se ∆ = 0, a função tem dois zeros iguais, ou seja, a parábola tan-
gencia o eixo Ox no ponto x1 = x2. Como se vê na Figura 8, a função
tem sinal positivo para todo x diferente da raiz dupla, ou seja, f tem
67
o mesmo sinal do coeficiente a. Essa conclusão também é verdadei-
ra se a < 0, conforme mostra o gráfico da Figura 13. A função é ne-
gativa para todo x diferente da raiz dupla, ou seja, f tem o mesmo
sinal do coeficiente a. A Figura 14 mostra o diagrama de sinais para
o caso em que a função ( ) cxbxaxf 2+⋅+⋅==y tem raiz dupla.
FIGURA 13
FIGURA 14
(3) Se ∆ < 0, a função não tem zeros reais, ou seja, a parábola não
intercepta o eixo Ox. O gráfico da Figura 9 mostra que, nesta situa-
ção, a função é positiva, para todo número real x, ou seja, a função
tem o mesmo sinal do coeficiente a, para todo x. Isso também ocorre
se a < 0, como mostra o gráfico da Figura 15.
Vê-se que a função é negativa, ou seja, tem o mesmo sinal de a, para
todo número real x. Tem-se, assim, o diagrama de sinais da Figura
16.
Observação: pode-se fazer estudo semelhante para uma função qua-
drática com a forma cybya 2+⋅+⋅=x , onde a ≠ 0.
68
Nesse caso, a parábola tem eixo de simetria horizontal, ou seja, co-
incidente ou paralelo ao eixo Ox. Assim, para a construção do gráfi-
co no plano Oxy, procuram-se, além do vértice, os pontos onde o
gráfico da função intercepta o eixo Oy, isto é, os valores de y para
os quais se tem x = 0, ou seja, resolve-se a equação do 2o grau
0cybya 2=+⋅+⋅ .
FIGURA 15
FIGURA 16
Novamente, utiliza-se a fórmula de Baskara para obter as possíveis
raízes da equação que, se existirem, serão da forma:
a2
by
⋅
∆±−= .
A parábola tem um eixo de simetria, no qual se localiza seu vértice
V, cujas coordenadas são ��
���
�
⋅−
⋅
∆−
a2
b,
a4V . Quando ∆ > 0, há duas
raízes reais distintas e, portanto, o gráfico da função intercepta o ei-
xo Oy em dois pontos. Quando ∆ = 0, há duas raízes reais iguais e,
69
assim, a parábola tangencia o eixo Oy no ponto a2
by
⋅
∆±−= . Caso
se tenha ∆ < 0, conclui-se que a parábola não intercepta o eixo Oy.
Em qualquer uma dessas situações, têm-se:
• se a > 0 a concavidade da parábola é voltada para o sentido positi-
vo do eixo Ox, isto é para a direita;
• se a < 0 a concavidade da parábola é voltada para o sentido nega-
tivo do eixo Ox, isto é para a esquerda.
Conclusões análogas às tiradas anteriormente para os coeficientes a,
b e c são verdadeiras também para a função cybya 2+⋅+⋅=x .
Exemplos:
1) Representar graficamente, no 2R , a função:
( ) 3y5y2 2−⋅+⋅== yfx .
O gráfico de uma função como esta, que tem a variável x em função
de y2, é uma parábola com eixo de simetria horizontal. Uma vez que
02a >= , a concavidade está voltada para a direita. Devem-se de-
terminar as coordenadas do vértice e, se existirem, os pontos onde o
gráfico intercepta o eixo Oy, isto é, as raízes da equação
03y5y2 2=−⋅+⋅ . Tem-se:
( ) 49324503y5y2 22=−⋅⋅−=∆�=−⋅+⋅ ;
assim, as raízes reais da equação são: 3y1 −= e 2
1y2 = , ou seja, a
parábola intercepta o eixo Oy nos pontos ( )3,0 − e ��
���
�
2
1,0 . A orde-
nada do vértice é:
a2
by
⋅
∆±−= ;
observe que esse valor de y é o ponto médio entre os valores das raí-
zes da equação:
( )
4
5
2
2
5
2
32
1
−=
−
=
−+
.
Para determinar a abscissa do vértice, pode-se substituir esse valor
70
de y na função ou usar a expressão ��
���
�
⋅−
⋅
∆−
a2
b,
a4V :
• 8
493
4
55
4
52x
4
5y
2
VV −=−��
���
�−⋅+�
�
���
�−⋅=�−= ;
• 8
49
24
49x
a4x VV −=
⋅−=�
⋅
∆−= .
Assim, tem-se o ponto ��
���
�−−
4
5,
8
49V . A Figura 17 apresenta o grá-
fico da função ( )yfx = .
FIGURA 17
2) Representar graficamente, no 2R , a função:
( ) 3y4y3 2−⋅+⋅−== yfx .
Novamente, tem-se uma parábola com eixo de simetria horizontal,
com a concavidade está voltada para a esquerda, já que 03a <−= .
Devem-se determinar as coordenadas do vértice e, se existirem, os
pontos onde o gráfico intercepta o eixo Oy, isto é, as raízes da equa-
ção 03y4y3 2=−⋅+⋅− . Tem-se:
( ) ( ) 020334403y4y3 22<−=−⋅−⋅−=∆�=−⋅+⋅− ;
71
assim, a equação não possui raízes reais, ou seja, a parábola não in-
tercepta o eixo Oy. As coordenadas do vértice são:
• ( ) 3
2
32
4yV =
−⋅−= ;
• ( )
( ) 3
5
34
20x V −=
−⋅
−−= .
Assim, tem-se o ponto ��
���
�−
3
2,
3
5V . O gráfico da função ( )yfx =
dada é a parábola da Figura 18.
FIGURA 18
6 INEQUAÇÃO DO 2º GRAU
É toda sentença matemática que exprime uma relação de desigual-
dade do tipo 0cxbxa 2≤+⋅+⋅ ou 0cxbxa 2
≥+⋅+⋅ . Também se
podem ter as desigualdades 0cxbxa 2<+⋅+⋅ ou
0cxbxa 2>+⋅+⋅ , que são desigualdades estritas. Nessas desi-
gualdades, a, b e c são números reais, com a ≠ 0.
Resolver uma inequação, a exemplo da resolução de uma equação, é
determinar os valores da variável que tornam verdadeira a sentença
matemática. Entretanto, no caso de uma equação do 2º grau, é pos-
sível obterem-se dois valores reais (distintos ou não) que satisfazem
a equação ou nenhum valor real que a satisfaça. No caso de uma i-
nequação do 2º grau, podem-se obter infinitos valores da variável
que a satisfaçam, ou nenhum.
Exemplos:
1) Resolver a inequação 012x8x2<+⋅− .
Resolver essa inequação significa determinar quais são os valores de
x para os quais se tem 012x8x 2<+⋅− . Isso equivale a estudar o
sinal da função 12x8xy 2+⋅−= , isto é, equivale a determinar
quais os valores de x tornam a função menor do que zero. Lembran-
do que uma função somente pode mudar de sinal quando seu gráfico
intercepta o eixo Ox, determinam-se, primeiramente, se existirem,
os zeros dessa função, para, em seguida, determinar os sinais que ela
assume, como segue:
( ) 01612148012x8x22
>=⋅⋅−−=∆�=+⋅− ,
ou seja, essa equação do 2º grau tem duas raízes reais distintas:
2x1 = e 6x 2 = .
Então, a função 12x8xy 2+⋅−= muda de sinal apenas em x = 2 e
em x = 6. Conforme se viu anteriormente, tem-se o diagrama de si-
nais para a função 12x8xy 2+⋅−= , cujo coeficiente de x2
é
a = 1 > 0, mostrado na Figura 1.
FIGURA 1
74
Logo, os valores de x que tornam verdadeira a sentença
012x8x2<+⋅− são aqueles que estão entre x = 2 e x = 6, ou seja,
o conjunto solução da inequação dada é:
{ } ( )6,26x2/RxS =<<∈= .
2) Resolver a inequação 04x11x3 2≤+⋅−⋅− .
Devem-se determinar os valores de x que tornam verdadeira a sen-
tença 04x11x3 2≤+⋅−⋅− , ou seja, deve-se estudar o sinal da fun-
ção 4x11x3y 2+⋅−⋅−= , com o objetivo de determinar os valores
de x para os quais a função é menor ou igual a zero. Determinam-se,
assim, se existirem, os zeros dessa função, para, em seguida, deter-
minar os sinais que ela assume. Tem-se:
( ) ( ) 1694341104x11x322
=⋅−⋅−−=∆�=+⋅−⋅− ,
ou seja, essa equação do 2º grau tem duas raízes reais distintas:
4x1 −= e 3
1x 2 = . Então, a função 4x11x3y 2
+⋅−⋅−= muda de
sinal apenas nesses valores da variável x. Uma vez que o coeficiente
de x2 é a = -3 < 0, tem-se que a função será negativa para qualquer
valor de x menor do que -4 ou maior do que 3
1 e será positiva para
qualquer valor de x entre -4 e 3
1. Tem-se, então, o diagrama da Fi-
gura 2.
FIGURA 2
Logo, os valores de x que tornam verdadeira a sentença
04x11x3 2≤+⋅−⋅− são os que são menores ou iguais a -4 ou
maiores ou iguais a 3
1, ou seja, o conjunto solução da inequação da-
da é:
( ] ��
���
�+∞∪−∞−=
�
��
≥−≤∈= ,3
14,
3
1xou4x/RxS .
75
3) Resolver a inequação 05x3x2 2≥+⋅+⋅ .
Analogamente aos exemplos anteriores, estuda-se o sinal da função
5x3x2y 2+⋅+⋅= , para determinar os valores de x para os quais a
função é maior ou igual a zero. Então, determinam-se, se existirem,
os zeros dessa função, para, em seguida, determinar os sinais que ela
assume. Tem-se:
031524305x3x2 22<−=⋅⋅−=∆�=+⋅+⋅ ,
ou seja, essa equação do 2º grau não tem raízes reais, o que significa
que a função 5x3x2y 2+⋅+⋅= não muda de sinal. Sendo
a = 2 > 0, conclui-se que a função é positiva, para todos os valores
da variável x. Então, o diagrama de sinais é como mostra a Figura 3.
FIGURA 3
Assim, todos os valores de x tornam verdadeira a sentença
05x3x2 2≥+⋅+⋅ , sendo que não há nenhum valor de x que satis-
faça a igualdade, já que a equação não tem raízes reais. O conjunto
solução da inequação dada é:
( )+∞∞−= ,S ou RS = .
4) Resolver a inequação 08x2x 2>−⋅+− .
Estuda-se o sinal da função 8x2xy 2−⋅+−= , para determinar os
valores de x para os quais a função é maior do que zero. Para isso,
determinam-se, se existirem, os zeros dessa função; tem-se:
( ) ( ) 028814208x2x 22<−=−⋅−⋅−=∆�=−⋅+− ,
ou seja, essa equação do 2º grau não tem raízes reais, e, portanto, a
função 8x2xy 2−⋅+−= não muda de sinal. Aqui, tem-se
01a <−= e, portanto, a função é negativa, para todos os valores da
variável x. A Figura 4 mostra o diagrama de sinais.
FIGURA 4
Assim, nenhum valor de x torna verdadeira a sentença
76
08x2x 2>−⋅+− , ou seja, não existe número real x tal que
08x2x 2>−⋅+− . O conjunto solução da inequação dada é, por-
tanto, vazio, isto é: S = Φ.
5) Resolver a inequação 04x20x25 2>+⋅−⋅ .
Resolve-se a equação 04x20x25 2=+⋅−⋅ para verificar se exis-
tem raízes reais, pois a função 4x20x25y 2+⋅−⋅= pode mudar de
sinal somente em seus zeros. Tem-se:
( ) 042542004x20x2522
=⋅⋅−−=∆�=+⋅−⋅ ,
ou seja, essa equação do 2º grau tem duas raízes reais iguais:
5
2xx 21 == .
Assim, como se sabe, a função tem sempre o mesmo sinal, para todo
5
2x ≠ ; como a = 25 > 0, conclui-se que a função é positiva, para to-
do 5
2x ≠ . Tem-se, assim, para a função 4x20x25y 2
+⋅−⋅= , o
diagrama de sinais apresentado na Figura 5.
FIGURA 5
Logo, com exceção do valor 5
2x = , todos os valores reais de x tor-
nam verdadeira a sentença 04x20x25 2>+⋅−⋅ . Portanto, o con-
junto solução da inequação dada é:
�
��
−=��
���
�+∞�
�
���
�∞−=
�
��
≠∈=5
2R,
5
2
5
2,
5
2x/RxS � .
6) São corretas as implicações 1x1x0x1 22±≤�≤�≥− ?
O resultado 1x ±≤ , que não é correto, resume-se, na verdade, à de-
sigualdade 1x −≤ , pois, se x deve ser, ao mesmo tempo, menor ou
igual a 1 e menor ou igual a –1, então é apenas menor ou igual a –1.
Entretanto, como se afirmou, o resultado obtido 1x −≤ não é corre-
to, pois, tomando, por exemplo, x = -2, tem-se:
77
( ) 0341212
<−=−=−− ,
ou seja, esse valor de x não satisfaz a desigualdade 0x1 2≥− . A
seguir, efetua-se o procedimento correto para a resolução deste ine-
quação, como se fez nos exemplos anteriores.
Quer-se determinar os valores de x para que se tenha 0x1 2≥− , ou
seja, quer-se estudar o sinal da função 2x1y −= . Então, determi-
nam-se, se existirem, os zeros dessa função, para, em seguida, de-
terminar os sinais que ela assume. Tem-se:
1xou1x0x1 2=−=�=− .
Uma vez que a função 2x1y −= tem dois zeros distintos e
01a <−= , segue-se que a função é negativa para qualquer valor de
x menor do que -1 ou maior do que 1 e positiva para qualquer valor
de x entre -1 e 1. Tem-se, então, o diagrama de sinais da Figura 6.
FIGURA 6
Assim, os valores de x para os quais se tem 0x1 2≥− pertencem ao
intervalo [ ]1,1− . Observe que o resultado correto dessa inequação é
muito diferente do resultado errado 1x ±≤ .
7 FUNÇÃO POLINOMIAL
Dada a seqüência de números complexos { }n210 a,,a,a,a � , a fun-
ção C C:f → , dada por:
( ) 012n
2n1n
1nn
n axaxaxaxaxf +⋅++⋅+⋅+⋅=−
−−
− � ,
é denominada função polinomial ou polinômio associado à seqüên-
cia dada. Alternativamente, pode-se escrever o polinômio utilizando
somatório:
( ) �=
⋅=
n
0i
ii xaxf .
Os números n210 a,,a,a,a � são chamados coeficientes do polinô-
mio e as parcelas 0a , xa1 ⋅ , 22 xa ⋅ , ..., 1n
1n xa −− ⋅ , n
n xa ⋅ são os
termos do polinômio.
Estudar-se-ão, em particular, as funções polinomiais cujos coeficien-
tes são números reais, ou seja, trabalhar-se-á com funções
R R:f → .
Denomina-se grau do polinômio f , e denota-se por ( )��� ou �∂ , o
número natural p tal que 0ap ≠ e 0a i = , para todo i > p.
Exemplo: sejam a, b, c e d números reais. Então:
(a) ( ) axp = é um polinômio constante, cujo grau é zero;
(b) ( ) )0a(bxaxp ≠+⋅= é um polinômio linear, ou polinômio de
grau 1, ou, ainda, polinômio de 1o grau;
(c) ( ) )0a(cxbxaxp 2≠+⋅+⋅= é um polinômio de grau 2, ou po-
linômio do 2o grau, ou, ainda, polinômio quadrático;
(d) ( ) )0a(dxcxbxaxp 23≠+⋅+⋅+⋅= é um polinômio de grau 3,
ou polinômio do 3o grau, ou, ainda, polinômio cúbico.
Polinômio nulo. Um polinômio f é nulo se, e somente se, todos os
seus coeficientes forem nulos. Ou seja:
0aaaa0f n210 =====⇔= � .
80
Igualdade de polinômios. Dois polinômios f e g são iguais se, e
somente se, seus coeficientes forem ordenadamente iguais. É claro,
então, que f e g têm mesmo grau. Ou seja, dados
( ) 012n
2n1n
1nn
n axaxaxaxaxf +⋅++⋅+⋅+⋅=−
−−
− �
e
( ) 012n
2n1n
1nn
n bxbxbxbxbxg +⋅++⋅+⋅+⋅=−
−−
− � ,
tem-se:
ni1todopara,bagf ii ≤≤=⇔= .
Exemplo: dados os polinômios
( ) 1x3x5xf 23−⋅+⋅= e ( ) 01
22
33 axaxaxaxg +⋅+⋅+⋅= ,
então:
��
�
��
�
�
−=
=
=
=
⇔=
1a
0a
3a
5a
gf
0
1
2
3
.
Operações com polinômios.
1) Adição. Dados os polinômios f e g , chama-se soma de f e g o
polinômio ( )gf + obtido somando-se os termos semelhantes dos po-
linômios, isto é, somando-se os coeficientes das potências iguais de
x.
Exemplo: somar os polinômios:
( ) 5x3x2xf 3+⋅−⋅= e ( ) xx3xxg 24
+⋅−= .
Observe que os polinômios podem ser escritos na forma:
( ) 5x3x0x2x0xf 234+⋅−⋅+⋅+⋅= e
( ) 0xx3x0xxg 234++⋅−⋅+= .
Assim, somam-se os termos correspondentes dos dois polinômios:
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )05x13x30x02x10xgf 234++⋅+−+⋅−+⋅++⋅+=+ ,
ou seja,
( )( ) 5x2x3x2xxgf 234+⋅−⋅−⋅+=+ .
81
2) Subtração. Dados os polinômios f e g , chama-se subtração de f
e g o polinômio ( )gf − obtido subtraindo-se os termos semelhantes
dos polinômios, isto é, subtraindo-se os coeficientes das potências
iguais de x.
3) Multiplicação. Dados os polinômios f e g , chama-se produto de
f e g o polinômio ( )gf ⋅ obtido multiplicando-se cada termo de f
por cada termo de g e, em seguida, somando-se os termos seme-
lhantes.
Exemplo: dados ( ) 3x2xxf 3+⋅−= e ( ) 2xx3xg 2
++⋅−= , tem-se:
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
6xx11x8xx3
6x3x9x4x2x6x2xx3
2xx332xx3x22xx3x
2xx33x2xxgf
2345
223345
2223
23
+−⋅−⋅++⋅−=
=+⋅+⋅−⋅−⋅−⋅+⋅++⋅−=
=++⋅−⋅+++⋅−⋅⋅−++⋅−⋅=
=++⋅−⋅+⋅−=⋅
Alternativamente, pode-se utilizar o dispositivo seguinte, onde se
coloca um polinômio sob o outro e multiplica-se cada termo do po-
linômio que está embaixo por cada termo do polinômio que está em
cima, a exemplo do que se faz com multiplicação de números reais
com dois ou mais algarismos. Ou seja:
6xx11x8xx3
6x4x2
x3x2x
x9x6x3
2xx3
3x2x
2345
3
24
235
2
3
+−⋅−⋅++⋅−
+⋅−⋅+
⋅+⋅−+
⋅−⋅+⋅−
++⋅−
+⋅−
4) Divisão. Dados dois polinômios f e g , sendo g não nulo, divi-
dir f por g significa determinar dois outros polinômios q e r , de
modo que se verifiquem as duas condições seguintes:
(1) frgq =+⋅
(2) ( ) ( )ggrrgr < , ou 0r = ,
82
onde ( )rgr e ( )ggr denotam, respectivamente, o grau dos polinô-
mios r e g .
Se 0r = , a divisão é chamada exata. Nesse caso, diz-se que f é di-
visível por g .
Nomenclatura:
• f é chamado dividendo;
• g é chamado divisor;
• q é chamado quociente;
• r é chamado resto.
Os polinômios q e r são únicos.
(a) Método de Descartes ou Método dos coeficientes a determinar
Esse método se baseia nos seguintes fatos:
(1) ( ) ( ) ( )qgrggrfgr += , ou seja, ( ) ( ) ( )ggrfgrqgr −=
(2) ( ) ( )ggrrgr < , ou 0r = .
Para aplicá-lo, procede-se da seguinte forma:
(I) calculam-se ( )qgr e ( )rgr ;
(II) constroem-se os polinômios q e r , deixando incógnitos seus
coeficientes;
(III) determinam-se os coeficientes, impondo a igualdade:
rgqf +⋅= .
Exemplo: dividir o polinômio ( ) 1x5x2x4x2xf 235−⋅−⋅+⋅−⋅=
pelo polinômio ( ) 2x5xxg 3+⋅−= .
Tem-se:
( )
( )
( )
( ) ( )���
≤∴<
=�
���
=
=
2rgr3rgr
2qgr
3ggr
5fgr.
Sejam:
( )
( )��
���
+⋅+⋅=
+⋅+⋅=
322
1
322
1
bxbxbxr
axaxaxq;
deve-se ter rgqf +⋅= . Então:
( ) ( )( )32
21
332
21
235
bxbxb
2x5xaxaxa1x5x2x4x2
+⋅+⋅+
++⋅−⋅+⋅+⋅=−⋅−⋅+⋅−⋅
83
Efetuando-se as operações indicadas no segundo membro dessa ex-
pressão e agrupando-se os termos semelhantes, obtém-se:
( )
( ) ( ) ( )332322
121
331
42
51
235
ba2xba5a2xba5a2
xaa5xaxa1x5x2x4x2
+⋅+⋅+⋅−⋅+⋅+⋅−⋅+
+⋅+⋅−+⋅+⋅=−⋅−⋅+⋅−⋅
Igualando-se os coeficientes dos termos de mesmo grau que figuram
no primeiro e no segundo membros dessa expressão, vem:
����
�
����
�
�
−=�−=+⋅
=�−=+⋅−⋅
−=�=+⋅−⋅
=�−=+⋅−
=
=
13b1ba2
25b5ba5a2
2b2ba5a2
6a4aa5
0a
2a
333
2232
1121
331
2
1
Logo, os polinômios procurados são:
( )
( )��
���
−⋅+⋅−=
+⋅=
13x25x2xr
6x2xq
2
2
.
(b) Método da chave
Nesse método, utiliza-se procedimento análogo ao algoritmo da di-
visão numérica. Dividindo-se, por exemplo, o número 14 pelo nú-
mero 3, tem-se:
14
4
3
-12
2
e, portanto, tem-se que:
���
<
+⋅=
32
24314.
Com os polinômios, procede-se de forma análoga.
Exemplo: considerem-se, novamente, os polinômios do Exemplo an-
terior:
( )
( )��
���
+⋅−=
−⋅−⋅+⋅−⋅=
2x5xxg
1x5x2x4x2xf
3
235
.
84
Colocando-os "na chave", fica:
1x5x2x4x2
235−⋅−⋅+⋅−⋅ 2x5x
3+⋅−
Os procedimentos para se obter o quociente e o resto da divisão são:
10) divide-se o termo 5x2 ⋅ pelo termo 3x : 2
3
5
x2x
x2⋅=
⋅; multipli-
ca-se 2x2 ⋅ por ( )xg e verifica-se quanto falta para que o produto
seja igual a ( )xf :
1x5x2x4x2
235−⋅−⋅+⋅−⋅ 2x5x
3+⋅−
235x4x10x2 ⋅−⋅+⋅−
1x5x2x6 23−⋅−⋅−⋅
2x2 ⋅
Obtém-se, assim, o primeiro resto: ( ) 1x5x2x6xr 231 −⋅−⋅−⋅= ,
cujo grau é igual ao grau de ( )xg . Logo, continua-se a divisão. Di-
vide-se, agora, o termo 3x6 ⋅ por 3x : 6x
x63
3
=⋅
. Multiplicando 6
por ( )xg , verifica-se quanto falta para que o produto seja igual a
( )xr1 :
1x5x2x4x2
235−⋅−⋅+⋅−⋅ 2x5x
3+⋅−
235 x4x10x2 ⋅−⋅+⋅−
1x5x2x623
−⋅−⋅−⋅
6x2 2+⋅
12x30x63
−⋅+⋅−
13x25x22
−⋅+⋅−
Obtém-se, assim, o segundo resto da divisão:
( ) 13x25x2xr 22 −⋅+⋅−= . Como o grau de ( )xr2 é menor do que o
grau de ( )xg , a divisão está encerrada e tem-se:
( )
( )��
���
−⋅+⋅−=
+⋅=
13x25x2xr
6x2xq
2
6
.
85
(c) Divisão por um binômio do 10 grau
Tratar-se-á, agora, da divisão de um polinômio f , com ( ) 1fgr ≥ ,
por um polinômio g , com ( ) 1ggr = . Como ( ) ( )ggrrgr < , deve-se
ter ( ) 1rgr < , isto é, ( ) 0rgr = , ou 0r = . Logo, r é um polinômio
constante.
Exemplo: dividir ( ) 1x2x3x4xf 34+⋅+⋅−⋅= por ( ) 1x2xg −⋅= .
Usando o método da chave, tem-se:
1x2x3x4 34
+⋅+⋅−⋅ 1x2 −⋅
34x2x4 ⋅+⋅−
1x2x3
+⋅+− 8
7x
4
1x
2
1x2 23
+⋅−⋅−⋅
23 x2
1x ⋅−
1x2x2
1 2+⋅+⋅−
x4
1x
2
1 2⋅−⋅
1x4
7+⋅
8
7x
4
7+⋅−
8
15
Logo, tem-se:
( )
( )���
���
�
=
+⋅−⋅−⋅=
8
15xr
8
7x
4
1x
2
1x2xq 23
.
Calculando-se o zero do polinômio g , tem-se:
2
1x01x2 =�=−⋅ ;
o valor numérico do polinômio f no ponto 2
1x = é:
86
r8
151
2
12
8
13
16
141
2
12
2
13
2
14
2
1f
34
==+⋅+⋅−⋅=+⋅+��
�
�⋅−�
�
�
�⋅=�
�
�
�.
Isto é, o resto da divisão de f por g é igual ao valor numérico de f
calculado na raiz do divisor. Tem-se, assim, o seguinte teorema:
Teorema do Resto. "O resto da divisão de um polinômio f , com
( ) 1fgr ≥ , pelo polinômio ( ) bxaxg +⋅= é igual ao valor numérico
de f em a
bx −= .".
Caso particular:
"O resto da divisão de um polinômio f , com ( ) 1fgr ≥ , pelo poli-
nômio ( ) axxg −= é igual ao valor numérico de f em ax = ”.
Exemplo: para calcular o resto da divisão do polinômio
( ) 5x2x8x4x3xf 256+⋅−⋅+⋅−⋅= por ( ) 1xxg −= , pode-se efe-
tuar a divisão de f por g e ou, mais diretamente, usar o Teorema do
Resto:
( ) 10528431fr =+−+−== .
Teorema de D'Alembert. "Um polinômio f , com ( ) 1fgr ≥ , é divisí-
vel pelo polinômio ( ) bxaxg +⋅= se, e somente se, a
b− é raiz de
f , ou seja, 0a
bf =�
�
�
�− ."
Particularização. Um polinômio f , com ( ) 1fgr ≥ , é divisível pelo
polinômio ( ) axxg −= se, e somente se, a é raiz de f , ou seja,
( ) 0af = .
Exemplo: para mostrar que ( ) 2xx3xxxf 234+−⋅−+= é divisível
por ( ) ( )1x1xxg −−=+= , pode-se efetuar a divisão de f por g e
mostrar que o resto é zero ou, mais diretamente, usar o Teorema de
D'Alembert:
87
( ) 0213111fr =++−−=−= .
(d) Dispositivo prático de Briot-Ruffini
Dados os polinômios:
( ) ( )
( )��
���
−=
≥≠+⋅++⋅+⋅=−
−
axxg
1ne0aaxaxaxaxf n011n
1nn
n �,
quer-se determinar o quociente e o resto da divisão de f por g .
Como
( )
( )���
=
=
1ggr
nfgr , tem-se que
( )
( )���
==
−=
0rou0rgr
1nqgr,
ou seja, r é uma constante. Assim, tem-se:
( ) 012
23n
3n2n
2n1n
1n bxbxbxbxbxbxq +⋅+⋅++⋅+⋅+⋅=−
−−
−−
− �
Então, vem:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) rbxbxbxbxbax
rxqaxxf
012
22n
2n1n
1n ++⋅+⋅++⋅+⋅⋅−=
=+⋅−=
−−
−− �
Efetuando-se a multiplicação indicada, obtém-se:
ax −
xbxbxbxbxb 02
13
21n
2nn
1n ⋅+⋅+⋅++⋅+⋅−
−− �
012
22n
2n1n
1n bxbxbxbxb +⋅+⋅++⋅+⋅−
−−
− �
012
21n
1n baxbaxbaxba ⋅−⋅⋅−⋅⋅−−⋅⋅−−
− �
( ) ( ) ( ) 0102
211n
1n2nn
1n baxbabxbabxbabxb ⋅−⋅⋅−⋅+⋅⋅−⋅++⋅⋅−⋅+⋅−
−−− �
Igualando os coeficientes correspondentes de ( )xf e de
( ) ( ) rxqax +⋅− , vem:
����
�
����
�
�
+⋅=�=⋅−
+⋅=�=⋅−
+⋅=�=⋅−
+⋅=�=⋅−
+⋅=�=⋅−
=
−−−−−−
−−−−−−
−
0000
110110
221221
2n2n3n2n2n3n
1n1n2n1n1n2n
n1n
abarabar
abababab
abababab
abababab
abababab
ab
�
Esses cálculos tornam-se mais rápidos com a aplicação do seguinte
88
esquema, conhecido como dispositivo prático de Briot-Ruffini:
2a 2na − 1na −
a �������
2nb
1n1n aba
−
−− +⋅ �
1nb
na
−
�������
3nb
2n2n aba
−
−− +⋅ �����
1b
22 aba +⋅ �����
0b
11 aba +⋅ �����
r
00 aba +⋅
1a 0a na
�
�
+
+
×
×
Exemplo: efetuar a divisão do polinômio
( ) 3x4x2x6xf 35−⋅+⋅−⋅= por ( ) 1xxg += .
Observe que o polinômio g pode ser escrito na forma
( ) ( )1xxg −−= e, portanto, o número a utilizado acima é a = -1. En-
tão, vem:
-3
-11
0
8
-2
-1 4 -6 -4
4 0 6
6
Assim, tem-se:
( )
( )��
���
−=
+⋅−⋅+⋅−⋅=
11xr
8x4x4x6x6xq 234
;
Conforme se ressaltou anteriormente, tem-se:
( ) ( ) ( ) ( ) r11342631412161f35
=−=−−+−=−−⋅+−⋅−−⋅=− .
Generalização. Como se viu, o dispositivo prático de Briot-Ruffini
se aplica para o caso em que o divisor é um binômio do tipo
( ) axxg −= . Considerar-se-á, agora, a divisão de um polinômio f ,
com ( ) 1fgr ≥ , pelo polinômio ( ) bxaxg +⋅= .
Dividindo-se f por g , obtém-se um quociente q e um resto r , tais
que:
( ) ( ) ( ) ( )xrxqbxaxf +⋅+⋅= ,
sendo ( ) 0rgr = ou 0r = , isto é, r é uma constante. Então:
89
( ) ( ) rxqa
bxaxf +⋅�
�
�
�+⋅= .
Chamando:
( ) ( )
( )��
��
�
′=+
′=⋅
xga
bx
xqaxq
,
pode-se escrever: ( ) ( ) ( ) rxgxqxf +′⋅′= .
Logo, ( )xq′ é o quociente da divisão de f por ( )a
bxxg +=′ ; o resto
r é o mesmo da divisão anterior de f por g . Assim, vem:
( ) ( ) axqxq ⋅=′ e, portanto, ( )( )
a
xqxq
′= .
Conclui-se, então, que para obter o quociente da divisão de f por
( ) bxaxg +⋅= , toma-se o quociente ( )xq′ da divisão de f por
( )a
bxxg +=′ e o divide por a. O resto da divisão de f por g é o
mesmo da divisão de f por g′ .
Exemplo: dividir o polinômio ( ) 1x5x3x2x4xf 245+⋅−⋅+⋅−⋅=
por ( ) 1x2xg −⋅= .
Tem-se: ( ) ��
�
�−⋅=−⋅=
2
1x21x2xg . Efetua-se, então, a divisão de
f por ( )2
1xxg −=′ , usando o dispositivo prático de Briot-Ruffini:
-5 3 1 -2 0 4
4 0 0 3
4
3−
2
1
2
7−
Assim, tem-se:
( )
( )���
���
�
−=
−⋅+⋅=′
4
3xr
2
7x3x4xq 4
;
Portanto:
90
( )4
7x
2
3x2
2
7x3x4
2
1xq 44
−⋅+⋅=��
�
�−⋅+⋅⋅= .
Observe que:
r4
31
2
15
2
13
2
12
2
14
2
1f
245
=−=+��
�
�⋅−�
�
�
�⋅+�
�
�
�⋅−�
�
�
�⋅=�
�
�
�.
Gráfico da função polinomial. Considere-se a função polinomial
R R:f → , dada por:
( ) 012n
2n1n
1nn
n axaxaxaxaxf +⋅++⋅+⋅+⋅=−
−−
− � ,
ou seja, os coeficientes de f são números reais e a função toma va-
lores no conjunto dos números reais. Esta função está definida para
todos os números reais e, portanto, seu domínio é R . A imagem de
f depende de cada caso em particular.
Há uma estreita relação entre a multiplicidade de um zero da função
e o comportamento do gráfico em sua vizinhança. Se k é um zero do
polinômio f com multiplicidade m, têm-se as seguintes possibilida-
des:
(a) se m for par, então o gráfico da função ( )xfy = tangencia o eixo
Ox no ponto ( )0,kP e não “cruza” o eixo neste ponto, como mos-
tram as Figuras 1-(a) e 1-(b).
(b) se m for ímpar e maior do que 1, então o gráfico da função
( )xfy = tangencia o eixo Ox no ponto ( )0,kP , onde tem um ponto
de inflexão, e o “cruza” neste ponto (Figuras 2-(a) e 2-(b)).
(c) se m for igual a 1 (ou seja, a raiz é simples), então o gráfico da
função ( )xfy = intercepta o eixo Ox no ponto ( )0,kP , mas não é
tangente a esse eixo nesse ponto (Figuras 3-(a) e 3-(b)).
91
FIGURA 1-(a)
FIGURA 1-(b)
92
FIGURA 2-(a)
FIGURA 2-(b)
93
FIGURA 3-(a)
FIGURA 3-(b)
Exemplo: esboçar o gráfico das funções:
(1) 4xy =
Observe que x = 0 é um zero de multiplicidade 4 desta função poli-
nomial. Sendo assim, o gráfico será tangente ao eixo Ox no ponto
P(0, 0), mas não o cruzará nesse ponto e em nenhum outro ponto, já
que y ≥ 0, para todo x. Tem-se, assim, o gráfico mostrado na Figura
4.
94
FIGURA 4
(2) ( )31xy −=
Neste caso, tem-se que x = 1 é um zero de multiplicidade 3 da fun-
ção polinomial. Logo, o gráfico será tangente ao eixo Ox no ponto
P(1, 0), cruzando-o nesse ponto (Figura 5).
FIGURA 5
95
(3) 1xy 3−=
Uma maneira de saber quais são as raízes reais da função dada é fa-
torar o polinômio. Tem-se:
( ) ( )1xx1x1x 23++⋅−=− .
Então, considerando-se a equação 01x3=− , vem:
( ) ( ) 01xxou01x01xx1x01x 223=++=−�=++⋅−�=− .
Da equação 01x =− , segue-se que x = 1 é uma raiz da equação
01x3=− ; já a equação 01xx2
=++ não possui raízes reais. Con-
clui-se, assim, que a função polinomial dada tem apenas a raiz real x
= 1, que é simples. O gráfico é mostrado na Figura 6.
FIGURA 6
8 FUNÇÃO POTÊNCIA
É a função definida por
( ) pxxf x
R R A:f
==
→⊂
y� ,
onde p é uma constante não nula.
O conjunto A, domínio de f , depende de p, assim como o conjunto
imagem de f , denotado por ( )fIm , como se discutirá a seguir.
(I) Se p = n for um número natural não nulo, então ( ) RfD = Nesse
caso, tem-se:
( ) nxxf x
R R :f
==
→
y� .
Exemplos:
1) Se n = 1, tem-se a função ( ) xxf = , chamada função identidade,
cuja representação gráfica é a reta bissetriz do 1o e 3
o quadrantes.
Nesse caso, tem-se ( ) RfD = e ( ) RfIm = (Figura 1).
FIGURA 1
2) Se n = 2, tem-se a função ( ) 2xxf = , que é uma função quadráti-
ca, cuja representação gráfica é a parábola mostrada na Figura 2.
98
Aqui, tem-se ( ) RfD = e ( ) += RfIm .
FIGURA 2
3) Se n = 3, tem-se a função ( ) 3xxf = , que é uma função do 3o
grau, cuja representação gráfica é a parábola cúbica, mostrada na
Figura 3. Aqui, tem-se ( ) RfD = e ( ) RfIm = .
FIGURA 3
99
Observações:
1) Se n é par, a função ( ) nxxf = é par, pois, para todo x ∈ R , tem-
se:
( ) ( ) ( )xfxxxf nn==−=− .
Logo, seu gráfico é simétrico em relação ao eixo Oy, como se pode
ver na Figura 2.
2) Se n é ímpar, a função ( ) nxxf = é ímpar, pois, para todo x ∈ R ,
tem-se:
( ) ( ) ( )xfxxxf nn−=−=−=− .
Logo, seu gráfico é simétrico em relação à origem do sistema de co-
ordenadas cartesianas ortogonais, como se pode ver nas Figuras 1 e
3.
(II) Se n é um número natural não nulo e p = -n, então p é um nú-
mero inteiro negativo. Nesse caso, tem-se ( ) { }0RfD −= , ou seja,
( ) ∗= RfD . Então, a função é definida por:
( )n
n
x
1xxf x
R R :f
===
→
−
∗
y� .
O gráfico de f apresenta, assim, uma descontinuidade no ponto
x = 0, como se verá nos exemplos a seguir.
Exemplos:
1) Se n = 1, tem-se a função ( )x
1xf = , cujo gráfico é a hipérbole
eqüilátera, apresentado na Figura 4. Aqui, tem-se
( ) ( ) ∗== RfImfD .
2) Se n = 2, tem-se a função ( )2x
1xf = , cujo gráfico é apresentado
na Figura 5. Aqui, tem-se ( ) ∗= RfD e ( ) ++
= RfIm .
100
FIGURA 4
FIGURA 5
101
3) Se n = 3, tem-se a função ( )3x
1xf = , cujo gráfico é apresentado
na Figura 6. Aqui, tem-se ( ) ( ) ∗== RfImfD .
FIGURA 6
Observações:
1) Se n é par, a função ( )nx
1xf = é par, pois, para todo x ∈ ∗R ,
tem-se:
( )( )
( )xfx
1
x
1xf
nn==
−=− .
Logo, seu gráfico é simétrico em relação ao eixo Oy, como se pode
ver na Figura 5.
2) Se n é ímpar, a função ( )nx
1xf = é ímpar, pois, para todo x ∈
∗R , tem-se:
( )( )
( )xfx
1
x
1xf
nn−=−=
−=− .
102
Logo, seu gráfico é simétrico em relação à origem do sistema de co-
ordenadas cartesianas ortogonais, como se pode ver nas Figuras 4 e
6.
3) É preciso observar que os gráficos das funções ( )x
1xf = e
( )3x
1xf = , embora tenham as mesmas características, não são i-
guais, pois, tomando-se, por exemplo, 2x = , tem-se, para a função
( )x
1xf = o valor
2
1 e, para a função ( )
3x
1xf = , obtém-se o valor
8
1. Para 8x = , tem-se, para a primeira função, o valor
8
1, e, para a
segunda função, tem-se o valor 512
1. Vê-se, assim, que quando a
variável x cresce, os valores da função ( )3x
1xf = são menores do
que os valores da função ( )x
1xf = , ou seja, a função ( )
3x
1xf =
tende a zero “mais depressa” do que a função ( )x
1xf = . Logo, o
gráfico de ( )3x
1xf = é “mais achatado” do que o da função
( )x
1xf = , em relação ao eixo Ox.
(III) Se n é um número natural não nulo e n
1p = , então, a função é
definida por:
( ) n1
xxf x
R RA :f
==
→⊂
y� .
Nesse caso, o domínio de f depende do número natural n.
Exemplos:
1) Se n = 2, tem-se a função ( ) xxxf 21
== . Logo, tem-se
( ) ( ) +== RfImfD , como se pode constatar no gráfico apresentado
103
na Figura 7.
FIGURA 7
2) Se n = 3, tem-se a função ( ) 3 xxxf 31
== . Logo, tem-se
( ) ( ) RfImfD == . O gráfico de f é apresentado na Figura 8.
FIGURA 8
Observação: note-se que, se n é par, então ( ) += RfD e, se n é ím-
par, ( ) RfD = .
(IV) Existem, ainda, as funções potências com expoentes fracioná-
104
rios e irracionais, como, por exemplo, a função ( ) 32
xxf = , ou
( ) 3 2xxf = . Nesse caso, tem-se ( ) RfD = . O gráfico é apresentado
na Figura 9.
FIGURA 9
Exercício: dada a função x)x(fy == , determinar, a partir dela,
as funções )x(f)x(f1 −= e 1)x(f)x(f2 += . Estudar cada uma delas
quanto ao domínio, imagem, paridade, sinal, gráfico e inversa.
(1) x)x(fy ==
Domínio: ( ) { }0x/RxfD ≥∈= .
Paridade: observe que, se x ≥ 0, então -x ≤ 0. Assim, x)x(f −=−
só está definido se x = 0; logo, no caso particular dessa função, não
é possível estudar a paridade.
Sinal: 0)x(fy ≥= , para todo x ≥ 0.
Gráfico: apresentado na Figura 10.
Imagem: a partir do gráfico de f , pode-se verificar que:
( ) { }0y/RyfIm ≥∈= .
Observe que, se 0x = , então 0y = , ou seja, ( )0,0 é o ponto de in-
terseção do gráfico de f com os eixos Ox e Oy. Um erro comum
que se comete é escrever a função xy = na forma: xy2= , com o
objetivo de eliminar a raiz quadrada. Entretanto, o gráfico que repre-
senta essa equação, apresentado na Figura 11, mostra que, para cada
105
0x > , há dois valores distintos de y, isto é, esse gráfico não repre-
senta uma função. Da relação xy2= obtêm-se duas funções:
xy = e xy −= , cujos gráficos são, respectivamente, o "ramo
superior" e o "ramo inferior" do gráfico da Figura 11.
FIGURA 10
FIGURA 11
Inversa: verifica-se, pelo gráfico, que f é bijetora em seu domínio
e, portanto, admite inversa. Para determiná-la, isola-se x na expres-
são da função:
xyxy 2=�= ;
trocando-se as variáveis x e y, vem: 21 x)x(fy ==− . Quanto aos
106
conjuntos domínio e imagem da função inversa, tem-se:
( ) ( ) { }0x/RxfImfD 1≥∈==
− e ( ) ( ) { }0y/RyfDfIm 1≥∈==
− .
Os gráficos de f e sua inversa estão na Figura 12.
FIGURA 12
Estudam-se, a seguir, as variações de f solicitadas.
(2) x)x(f)x(fy 1 −=−==
Domínio: no caso dessa função, um erro comum que se comete é di-
zer que x− não existe. Deve-se observar que é preciso que o ra-
dicando seja não negativo, ou seja, o raciocínio a ser utilizado é: se -
0x ≤ , então 0x ≥− ; logo, o domínio de 1f é:
( ) { }0x/RxfD 1 ≤∈= .
Paridade: a exemplo do que ocorre com a função f , não é possível
estudar a paridade de 1f , pois ( ) xx)x(f1 =−−=− , que está de-
finida somente para x = 0, já que todo x do domínio de 1f é tal que
0x ≤ .
Sinal: 0)x(fy 1 ≥= , para todo ( )1fDx ∈ .
Gráfico: representam-se, na Figura 13, para fins de comparação, os
gráficos de f e de 1f , os quais têm simetria em relação ao eixo Oy.
107
FIGURA 13
Imagem: a partir do gráfico, pode-se verificar que:
( ) ( ) { }0y/RyfImfIm 1 ≥∈== .
Inversa: assim como f , a função 1f é bijetora em seu domínio e,
portanto, admite inversa: 22 yxxyxy −=�−=�−= ;
trocando-se as variáveis x e y, vem: 211 x)x(fy −==− . Quanto aos
conjuntos domínio e imagem da função inversa, tem-se:
( ) ( ) { }0x/RxfImfD 11
1 ≥∈==− e ( ) ( ) { }0y/RyfDfIm 1
11 ≤∈==− .
Os gráficos de 1f e de 11f− são apresentados na Figura 14.
(3) ( ) x1xf1)x(fy 2 +=+==
Domínio: ( ) ( ) { }0x/RxfDfD 2 ≥∈== .
Paridade: novamente, não é possível estudar a paridade da função
2f .
Sinal: observando-se que, para todo x ≥ 0, tem-se que 0x ≥ , se-
gue-se que 1)x(fy 2 ≥= , e, portanto, 0)x(f2 > .
Gráfico: na Figura 15, representam-se, para fins de comparação, os
gráficos de f e de 2f .
Como ( )xf1)x(f2 += , isto é, somou-se uma unidade a ( )xf , o grá-
fico de 2f é o gráfico de f deslocado de uma unidade no sentido
positivo do eixo Oy.
Imagem: a partir do gráfico, pode-se verificar que:
( ) { }1y/RyfIm 2 ≥∈= .
108
FIGURA 14
FIGURA 15
Inversa: a função 2f é bijetora em seu domínio e, portanto, admite
inversa, dada por:
( ) x1yx1yx1y2
=−�=−�+= ;
trocando-se as variáveis x e y, vem: ( )212 1x)x(fy −==− . Quanto
109
aos conjuntos domínio e imagem da função inversa, tem-se:
( ) ( ) { }1x/RxfImfD 21
2 ≥∈==− e ( ) ( ) { }0y/RyfDfIm 2
12 ≥∈==− .
A Figura 16 mostra os gráficos de 2f e de 12f − .
FIGURA 16
Exercício proposto: dada a função x)x(fy == , determinar, a
partir dela, as funções )x(f)x(f3 −= e )1x(f)x(f4 += . Estudar ca-
da uma delas quanto ao domínio, imagem, paridade, sinal, gráfico e
inversa.
Observação: como se viu, não foi possível estudar a paridade das
funções f , 1f e 2f . Entretanto, tais fatos não aconteceram devido
ao fato das funções envolverem raiz quadrada, podem ocorrer com
outras funções, como se verá adiante. Além disso, há muitas funções
envolvendo radicais que são pares ou ímpares. Como exemplos,
considerem-se as funções ( ) 1xxg 2+= e ( ) 3 xxh = . Tem-
se: D(g) = D(h) = R ; assim, é possível estudar a paridade das duas
funções:
( ) ( ) ( )xg1x1xxg 22=+=+−=− , isto é, g é uma função par;
( ) ( ) ( ) ( )xhxx1xxh 333 −=−=−=−=− , isto é, h é uma função
ímpar.
Mostram-se, na Figura 17, os gráficos de g e h .
110
FIGURA 17
9 FUNÇÃO RACIONAL
É uma função na qual o numerador e o denominador são polinômios
na mesma variável. Assim, uma fração racional é uma fração do ti-
po:
( )( )xG
xF,
onde ( )xF e ( )xG são polinômios na variável x, ou seja,
( )( )
m1m2m
21m
1m
0
n1n2n
21n
1n
0
bxbxbxbxb
axaxaxaxa
xG
xF
+⋅+⋅+⋅+⋅
+⋅+⋅+⋅+⋅=
−−−
−−−
�
�,
com 0a0 ≠ e 0b0 ≠ . A função racional está definida para todos os
valores da variável x tais que ( ) 0xG ≠ .
Se n < m, tem-se uma função racional própria.
Se n ≥ m, tem-se uma função racional imprópria. Neste caso, pode-
se efetuar a divisão do polinômio ( )xF pelo polinômio ( )xG , ob-
tendo-se um quociente e um resto:
( )xQ �( )xR �
( )xG �( )xF �
Pelo algoritmo da divisão, tem-se:
( ) ( ) ( ) ( )xRxGxQxF +⋅= .
Assim, vem:
( )( )
( ) ( ) ( )( )
( )( )( )xG
xRxQ
xG
xRxGxQ
xG
xF+=
+⋅= ;
uma vez que ( )( ) ( )( )xGgrxRgr < , a fração ( )( )xG
xR é própria. Logo,
uma fração racional imprópria sempre pode ser escrita como a soma
de um polinômio com uma fração racional própria.
Exemplos:
1) A fração 1x3x
1x23
−⋅+
+⋅ é uma fração racional própria.
2) A fração 2x
1x3x23
5
+
+⋅+⋅ é uma fração racional imprópria, pois o
grau do polinômio do numerador é maior do que o do denominador
e, portanto, é possível efetuar a divisão. Tem-se:
112
1x3x25
+⋅+⋅ 2x3
+
25x4x2 ⋅−⋅−
1x3x4 2+⋅+⋅−
2x2 ⋅
Como o grau do resto ( ) 1x3x4xR 2+⋅+⋅−= é menor do que o
grau do divisor ( ) 2xxG 3+= , não é possível continuar a divisão.
Logo, pode-se escrever:
2x
1x3x4x2
2x
1x3x23
22
3
5
+
+⋅+⋅−+⋅=
+
+⋅+⋅.
3) Dada a função x
1)x(fy == , determinar, a partir dela, as funções
)x(f)x(f1 −= e )1x(f)x(f2 += . Estudar cada uma delas quanto ao
domínio, imagem, paridade, sinal, gráfico e inversa.
(1) x
1)x(fy ==
A primeira observação a ser feita é que essa função não é linear. Es-
se engano é cometido, algumas vezes, porque o expoente da variável
x, aparentemente, é 1. Entretanto, x está no denominador, o que a-
carreta que seu expoente é –1, já que a função pode ser escrita na
forma 1xy −= . Assim, o gráfico de f não é uma reta.
Domínio: ( ) { } ∗=≠∈= R0x/RxfD
Paridade: ( )
)x(fx
1
x
1)x(f −=−=
−=− ; logo, f é uma função ím-
par, o que significa que seu gráfico é simétrico em relação à origem
do sistema cartesiano.
Sinal: a função é diferente de zero, para todo 0x ≠ ; além disso,
tem-se:
• x > 0 � y > 0
• x < 0 � y < 0,
o que pode ser expresso através do diagrama da Figura 1.
113
FIGURA 1
Gráfico: é apresentado na Figura 2.
Observe que, uma vez que f não está definida para 0x = , o gráfico
não intercepta o eixo Oy; como 0y ≠ , o gráfico da função não in-
tercepta o eixo Ox.
FIGURA 2
Imagem: a partir do gráfico, pode-se verificar que:
( ) { } ∗=≠∈= R0x/RyfIm .
Inversa: verifica-se, pelo gráfico, que f é bijetora em seu domínio.
Isso quer dizer que, para todo y ∈ ∗R , existe um único ∗∈ Rx tal
que y é a imagem de x, ou seja, ( )xfy = . Portanto, f admite inver-
sa. Para determiná-la, isola-se x na expressão da função:
y
1x
x
1y =�= ;
114em seguida, trocam-se as variáveis x e y, obtendo-se:
x
1)x(fy 1
==− . Nota-se, assim, que ff 1
=− (Figura 2) e tem-se:
( ) ( ) ∗−== RfImfD 1 e que ( ) ( ) ∗−
== RfDfIm 1 .
(2) x
1)x(f)x(fy 1 −=−==
Domínio: ( ) ( ) { } ∗=≠∈== R0x/RxfDfD 1
Paridade: )x(fx
1
x
1)x(f 11 −==
−−=− ; logo, 1f é uma função ím-
par e, assim como f , seu gráfico é simétrico em relação à origem.
Sinal: a função é diferente de zero, para todo x ≠ 0; além disso, tem-
se:
• x > 0 � y1 < 0
• x < 0 � y1 > 0,
o que pode ser expresso através do diagrama da Figura 3.
FIGURA 3
Gráfico: na Figura 4, representam-se, para fins de comparação, os
gráficos de f e de 1f .
A exemplo de f , o gráfico de 1f também não intercepta os eixos Ox
e Oy.
115
FIGURA 4
Imagem: ( ) ( ) { } ∗=≠∈== R0y/RyfImfIm 1 .
Inversa: assim como f , a função 1f é bijetora em seu domínio e,
portanto, admite inversa, dada por:
x
1)x(fy
y
1x
x
1y 1
1 −==∴−=�−=− ,
ou seja, mais uma vez tem-se que 11
1 ff =− e ( ) ( ) ∗−
== RfImfD 11
1 e
( ) ( ) ∗−== RfDfIm 1
11 .
(3) ( )( ) 1x
1
1x
11xf)x(fy 2
+=
+=+==
Domínio: ( ) { }1x/RxfD 2 −≠∈= .
Paridade: observe que ( )2fDx ∈∃ tal que ( )2fDx ∉− e, portanto,
não é possível estudar a paridade de 2f .
Sinal: a função é diferente de zero, para todo 1x −≠ ; para estudar
os sinais que a função assume, estuda-se o sinal do denominador, já
que o numerador é sempre positivo. Tem-se: 01x =+ � 1x −= ;
116então:
• 1x −> � 0y2 >
• 1x −< � 0y2 < ,
o que pode ser expresso através do diagrama da Figura 5.
FIGURA 5
Gráfico: representam-se, na Figura 6, para fins de comparação, os
gráficos de f e de 2f .
Observe que, uma vez que 2f não está definida para 1x −= , o gráfi-
co não intercepta a reta de equação 1x −= , a qual atua, para 2f ,
como o eixo Oy atua para f . Como 0y ≠ , o gráfico da função não
intercepta o eixo Ox. vê-se, ainda, que o gráfico de 2f é o gráfico de
f transladado de uma unidade no sentido negativo do eixo Ox.
Os gráficos de f e 2f podem dar a impressão de que se intercep-
tam; verifica-se que não, pois, se forem igualadas as expressões que
definem as duas funções, vem:
( ) ( )0
1xx
10
1xx
x1x0
1x
1
x
1
1x
1
x
1=
+�=
+
−+�=
+−�
+= ,
que não tem solução, isto é, não existem pontos de interseção entre
as duas funções.
117
FIGURA 6
Imagem: ( ) ( ) { } ∗=≠∈== R0y/RyfImfIm 2 .
Inversa: assim como f , a função 2f é bijetora em seu domínio e,
portanto, admite inversa, dada por:
1x
1)x(fy
y
11x
y
11x
1x
1y 1
2 −==∴+−=�=+�+
=− .
Tem-se: ( ) ( ) ∗−== RfImfD 2
12 e ( ) ( ) { }1y/RyfDfIm 2
12 −≠∈==− .
Como se sabe, os gráficos de 2f e de 12f − são simétricos em relação
à reta y = x, conforme mostra a Figura 7.
Observa-se, além da simetria dos gráficos em relação à reta y = x,
que, enquanto o gráfico de 2f não intercepta a reta x = -1, o de 12f −
não intercepta a reta 1y −= . Isso é natural, levando-se em conta que
duas funções que são inversas entre si têm domínios e imagens tro-
cados. Assim, se para 2f o domínio não contém o valor de 1x −= ,
para sua inversa 12f − a imagem não contém o valor de 1y −= .
118
FIGURA 7
Exercício proposto: dada a função x
1)x(fy == , determinar, a par-
tir dela, as funções )x(f)x(f3 −= e 1)x(f)x(f4 += . Estudar cada
uma delas quanto ao domínio, imagem, paridade, sinal, gráfico e in-
versa.
10 MÓDULO DE UM NÚMERO REAL
O conceito de módulo de um número é, basicamente, geométrico.
Considere-se, por exemplo, o número real 2 e sua representação na
reta real, identificada com o ponto P da Figura 1.
FIGURA 1
A distância de P à origem O, na unidade de medida da graduação da
reta, é 2. Indica-se essa distância por 2 . Logo, 22 = . Consideran-
do-se, agora, o ponto Q, que representa o número real –2, a distância
de Q à origem O também é 2. Indica-se essa distância por 2− e,
portanto, 22 =− .
Dessa forma, designa-se pelo símbolo x a distância à origem O do
ponto que representa o número real x, ou seja, do ponto de coorde-
nada x. Então, tem-se:
���
<−
≥=
0xse,x
0xse,xx .
Assim, tomando-se novamente o exemplo anterior, tem-se:
• se x = 2, como 2 > 0, tem-se que � �
xx
22 = ;
• se x = -2, como -2 < 0, tem-se que � �
222
xx
=��
�
�
��
�
−−=− .
Propriedades:
(1) 0x ≥ e 0x = se, e somente se, x = 0.
(2) yxyx ⋅=⋅ .
(3) Se y ≠ 0, y
x
y
x= .
(4) xx =− .
120
(5) 22xx = .
Observação: chama-se a atenção para um erro comum cometido pe-
los estudantes, que afirmam que baba +=+ . Tomando-se ape-
nas dois valores de a e b escolhidos arbitrariamente, observa-se que
essa igualdade não é válida sempre:
• se a = 5 e b = 1, vem: �
��
=+=+
==+
61515
6615,
ou seja, baba +=+ ;
• se a = -5 e b = 1, vem: �
��
=+=+−
=−=+−
61515
4415
e, portanto, baba +<+ ;
• se a = 5 e b = -1, vem: ( )
�
��
=+=−+
==−+
61515
4415
e, portanto, baba +<+ ;
• se a = -5 e b = -1, vem: ( )
�
��
=+=−+−
=−=−+−
61515
6615
e, portanto, baba +=+ .
Genericamente falando, demonstra-se que, quaisquer que sejam os
números reais a e b. tem-se:
baba +≤+ ,
chamada desigualdade triangular.
Pergunta-se, então: em que casos é válida a igualdade, ou seja,
quando se pode afirmar que baba +=+ ?
Sendo ba + , a e b números não negativos, a igualdade anterior
é equivalente à seguinte:
( )22baba +=+ ,
ou seja, 222
bba2aba +⋅⋅+=+ .
Uma vez que, para qualquer número real x, tem-se que 22xx = , o
primeiro membro da igualdade anterior fica:
121
( ) 2222bba2ababa +⋅⋅+=+=+ ;
então: babababba2abba2a 2222⋅=⋅=⋅�+⋅⋅+=+⋅⋅+ .
Pela definição de módulo, conclui-se que a.b ≥ 0, ou seja, a igualda-
de baba +=+ é verdadeira se, e somente se, a e/ou b forem nu-
los ou, caso sejam ambos diferentes de zero, tenham o mesmo sinal,
conforme se pôde ver nos exemplos acima.
11 FUNÇÃO MODULAR
Chama-se função modular a função de R em R definida por:
( ) xxf = .
Em notação matemática:
( ) xxfx
R R:f
=
→
� .
Lembrando que o módulo de um número real x é definido por:
���
<−
≥=
0xse,x
0xse,xx ,
tem-se:
( )���
<−
≥=
→
0xse,x
0xse,xxfx
R R:f
� ,
ou seja, a função é definida por duas sentenças, nesse caso, por duas
funções do 1o grau: ( ) xxfy == , se 0x ≥ , e ( ) xxfy −== , se
0x < . Dessa forma, seu gráfico é composto por duas semi-retas,
conforme mostra a Figura 1.
FIGURA 1
Conforme se definiu, o domínio da função é R , mas, como se vê no
gráfico, sua imagem é +R , ou seja, ( ) += RfIm .
124
Exemplos:
1) Esboçar, no 2R , o gráfico da função ( ) 2xxf −= .
Usando a definição de módulo, tem-se:
( )���
<−−−
≥−−=−
02xse,2x
02xse,2x2x .
Assim, a função f fica:
( )( )�
��
<−−−
≥−−=
02xse,2x
02xse,2xxf ;
é preciso saber, então, para que valores de x se tem ( ) 2xxf −= e
para que valores de x se tem ( ) ( ) 2x2xxf +−=−−= . Isso significa
estudar o sinal da função 2xy −= . Tem-se:
x – 2 = 0 � x = 2;
assim, o diagrama de sinais para esta função é como mostra a Figura
2.
FIGURA 2
FIGURA 3
Vê-se, assim, que a função 2xy −= se anula para 2x = , é positiva
125
para os valores de x que são maiores do que 2 e é negativa para os
valores de x que são menores do que 2. Logo, a função dada fica de-
finida da seguinte maneira:
( )���
<+−
≥−=
2xse,2x
2xse,2xxf .
Portanto, seu gráfico se compõe de duas semi-retas: 2xy −= , para
os valores de x que são maiores ou iguais a 2, e 2xy +−= , para os
valores de x que são menores do que 2. Assim, obtém-se o gráfico
apresentado na Figura 3.
Tem-se: ( ) RfD = e ( ) += RfIm .
2) Estudar a função dada por:
12x x
R R :f
−−=
→
y� .
Analogamente ao exemplo anterior, tem-se:
( )���
<−−−
≥−−=−
02xse,2x
02xse,2x2x ,
ou seja,
���
<+−
≥−=−
2xse,2x
2xse,2x2x .
Então, a função f fica definida pelas seguintes sentenças:
( )( )
( )���
<−+−
≥−−=
2xse,12x
2xse,12xxf ,
isto é,
( )���
<+−
≥−=
2xse,1x
2xse,3xxf .
Assim, para construir o gráfico de f , devem ser construídos os grá-
ficos das funções 3xy −= , para os valores de x que são maiores ou
iguais a 2, e 1xy +−= , para os valores de x que são menores do
que 2. Obtém-se, assim o gráfico apresentado na Figura 4.
Nesse caso, vê-se que ( ) { } [ )∞−=−≥∈= ,11y/RyfIm .
3) Estude a função definida por:
126
3x5x2 x
R R :f
2−⋅−⋅=
→
y� .
FIGURA 4
Usando a definição de módulo, mas ressaltando-se que, sob o sím-
bolo de módulo, tem-se a expressão 3x5x2 2−⋅−⋅ , tem-se:
( )( )��
���
<−⋅−⋅−⋅−⋅−
≥−⋅−⋅−⋅−⋅=−⋅−⋅=
03x5x2se,3x5x2
03x5x2se,3x5x23x5x2xf
22
222
É preciso saber, então, para que valores de x se tem
( ) 3x5x2xf 2−⋅−⋅= e para que valores de x se tem
( ) ( ) 3x5x23x5x2xf 22+⋅+⋅−=−⋅−⋅−= . Isso significa estudar o
sinal da função 3x5x2y 2−⋅−⋅= . Tem-se:
3xou2
1x03x5x2 2
=−=�=−⋅−⋅ ;
assim, o diagrama de sinais para esta função é o da Figura 5.
FIGURA 5
127
Vê-se, então, que a função 3x5x2y 2−⋅−⋅= é maior ou igual a
zero para 3xou2
1x ≥−≤ , e que é negativa para 3x
2
1<<− . Por-
tanto, a função f fica definida pelas seguintes sentenças:
( )
���
���
�
<<−+⋅+⋅−
≥−≤−⋅−⋅
=
3x2
1se,3x5x2
3xou2
1xse,3x5x2
xf2
2
.
FIGURA 6
Portanto, seu gráfico se compõe de dois arcos da parábola
3x5x2y 2−⋅−⋅= , para os valores de x que são menores ou iguais
a 2
1− e maiores ou iguais a 3 (parábola com a concavidade voltada
para cima), e um arco da parábola 3x5x2y 2+⋅+⋅−= , para os va-
lores de x que estão entre 2
1− e 3 (parábola com a concavidade vol-
tada para baixo). A Figura 6 mostra os gráficos das funções
128
( ) 3x5x2xf 2−⋅−⋅= e ( ) 3x5x2xg 2
−⋅−⋅= , que é a função
quadrática sem o módulo. Observe-se que o efeito do módulo sobre
a função ( ) 3x5x2xg 2−⋅−⋅= é tornar positivos os valores desta
função que seriam negativos, ou seja, tornar positivos os valores de
y correspondentes aos valores de x que estão entre 2
1− e 3. Os valo-
res de y que correspondem aos valores de x menores ou iguais a
2
1− e maiores ou iguais a 3 são os mesmos para as funções f e g .
4) Dada a função x)x(fy == , determinar, a partir dela, a função
1)x(f)x(f1 += e estudá-la quanto ao domínio, imagem, paridade,
sinal, gráfico e inversa.
(1) x)x(fy ==
Domínio: pela discussão anterior, tem-se: ( ) RfD = .
Paridade: nesse caso, tem-se: )x(fx)x()x(f ==−=− , isto é, f é
uma função par e, portanto, seu gráfico é simétrico em relação ao
eixo Oy.
Sinal: por definição, ( ) 0xf ≥ , ∀ x ∈ D(f).
Gráfico: pela definição de f , é fácil ver que seu gráfico compõe-se
de duas semi-retas: xy = , para 0x ≥ e xy −= , para 0x < , como
mostra a Figura 7.
FIGURA 7
129
Observe que, se 0x = , então 0y = , ou seja, ( )0,0 é o ponto de in-
terseção do gráfico de f com os eixos Ox e Oy.
Imagem: a partir do gráfico, pode-se verificar que:
( ) { }0y/RyfIm ≥∈= .
Inversa: verifica-se, pelo gráfico, que f não é injetora em seu domí-
nio, já que um mesmo y da imagem de f é imagem de dois valores
distintos de x. Logo, f não é bijetora em seu domínio e, portanto,
não admite inversa. Para que seja possível inverter a função, é preci-
so tomar CD(f) = Im(f), para que ela se torne sobrejetora; além dis-
so, é preciso fazer restrições em seu domínio, dividindo-o em dois
subconjuntos: +R e −R . Isso equivale a considerar duas outras fun-
ções:
( ) xxxgy === , se 0x ≥ e ( ) xxxhy −=== , se 0x ≤ .
Os gráficos dessas funções são, respectivamente, os ramos direito e
esquerdo do gráfico de f . Assim, em seus domínios, cada uma delas
é bijetora e pode ser invertida.
Inversas de g e h :
• ( ) xxg 1=
− , com:
( ) ( ) { }0x/RxgImgD 1≥∈==
− e ( ) ( ) { }0y/RygDgIm 1≥∈==
−
• ( ) xxh 1−=
− , com:
( ) ( ) { }0x/RxhImhD 1≥∈==
− e ( ) ( ) { }0y/RyhDhIm 1≤∈==
−
Observe que, além de se ter ( ) ( ) xxgxg 1==
− , seus domínios são
iguais e, portanto, essas funções são iguais, como se pode ver no
gráfico da Figura 8.
FIGURA 8
130
Já no caso de h e 1h − , apesar de se ter ( ) ( ) xxhxh 1−==
− , seus
domínios não são iguais, o que acarreta que essas funções não são
iguais, como se pode ver na Figura 9.
FIGURA 9
(2) ( ) x1xf1)x(fy 1 +=+==
Domínio: ( ) ( ) RfDfD 1 == .
Paridade: nesse caso, tem-se: )x(fx1)x(1)x(f 11 =+=−+=− , isto
é, 1f é uma função par, sendo, assim, seu gráfico simétrico em rela-
ção ao eixo Oy.
Sinal: pela definição de 1f , vê-se claramente que ( ) 0xf1 ≥ ,
( )1fDx ∈∀ .
Gráfico: pela definição de 1f , tem-se:
���
<−
≥+=+==
0xse,x1
0xse,x1x1)x(fy 1
Logo, o gráfico de 1f é composto de duas semi-retas: x1y += , para
x ≥ 0, e x1y −= , para x < 0. Representam-se, na Figura 10, os grá-
ficos de f e de 1f .
131
FIGURA 10
Observe que, se x = 0, então y = 1, ou seja, ( )1,0 é o ponto de inter-
seção do gráfico de f com o eixo Oy. Vê-se que o gráfico de 1f é o
gráfico de f transladado de uma unidade na direção positiva do eixo
Oy.
Imagem: a partir do gráfico, pode-se verificar que:
( ) { }1y/RyfIm 1 ≥∈= .
Inversa: a exemplo da função anterior, 1f não é injetora em seu do-
mínio, já que um mesmo y da imagem de 1f é imagem de dois valo-
res distintos de x. Logo, 1f não é bijetora em seu domínio e, portan-
to, não admite inversa. Para que seja possível inverter a função, di-
vide-se o domínio em dois subconjuntos: +R e −R , ou seja, conside-
ram-se duas outras funções: ( ) x1xgy 1 +== , se x ≥ 0 e
( ) x1xhy 1 −== , se x < 0.
Os gráficos dessas funções são, respectivamente, os ramos direito e
esquerdo do gráfico de 1f . Assim, em seus domínios, cada uma de-
las é bijetora e pode ser invertida. Suas inversas são:
• y = 1 + x � x = y - 1 � y = x - 1; assim: ( ) 1xxg 11 −=− , sendo:
( ) ( ) { }1x/RxgImgD 11
1 ≥∈==− e
132
( ) ( ) { }0y/RygDgIm 11
1 ≥∈==− ;
• y = 1 - x � x = 1 - y � y = 1 - x; assim: ( ) x1xh 11 −=− , sendo:
( ) ( ) { }1x/RxhImhD 11
1 ≥∈==− e
( ) ( ) { }0y/RyhDhIm 11
1 <∈==− .
FIGURA 11
FIGURA 12
133
As funções 1g e 11g− têm leis de definição diferentes, sendo, assim,
diferentes. Já 1h e 11h − têm a mesma lei de definição, mas seus do-
mínios são diferentes e, portanto, elas são diferentes. As Figuras 11
e 12 mostram, respectivamente, os gráficos de 1g e 11g− e de 1h e
11h − .
Exercício proposto: dada a função x)x(fy == , determinar, a par-
tir dela, as funções )x(f)x(f2 −= , )x(f)x(f3 −= e
)1x(f)x(f4 += . Estudar cada uma delas quanto ao domínio, ima-
gem, paridade, sinal, gráfico e inversa.
12 EQUAÇÃO MODULAR
É uma equação onde há módulo da variável ou módulo de uma ex-
pressão envolvendo a variável. Para resolvê-la utiliza-se, basicamen-
te, a definição de módulo.
Exemplos: resolver, em R, as equações:
1) 7x51x3 −⋅=+⋅
A equação dada é resolvida usando-se a definição de módulo, isto é:
( )���
<+⋅+⋅−
≥+⋅+⋅=+⋅
01x3se,1x3
01x3se,1x31x3 .
Como se vê, há duas inequações do 1o grau a serem resolvidas.
Tem-se:
3
1x01x3 −=�=+⋅ ;
o estudo de sinal da função linear 1x3y +⋅= é apresentado na Fi-
gura 1.
FIGURA 1
Logo, tem-se:
• se 1x31x33
1x +⋅=+⋅�−≥ ;
• se ( )1x31x33
1x +⋅−=+⋅�−< .
Resolvem-se, então separadamente, duas equações lineares:
• para 3
1x −≥ , vem:
4x7x51x3 =�−⋅=+⋅ .
Como 3
14 −> , esse valor de x é uma solução da equação.
• para 3
1x −< , vem:
( )4
3x7x51x3 =�−⋅=+⋅− .
136
Como3
1
4
3−> , esse valor de x não serve.
Portanto, a equação dada tem apenas a solução x = 4, ou seja,
{ }4S = .
2) 3x21x +⋅=+
Há, na equação proposta, dois módulos a se considerar:
( )���
<++−
≥++=+
01xse,1x
01xse,1x1x , ou:
( )���
−<+−
−≥+=+
1xse,1x
1xse,1x1x
e
( )���
<+⋅+⋅−
≥+⋅+⋅=+⋅
03x2se,3x2
03x2se,3x23x2 , ou:
( )���
���
�
−<+⋅−
−≥+⋅
=+⋅
2
3xse,3x2
2
3xse,3x2
3x2 .
Na Figura 2 tem-se a representação gráfica dessa situação.
FIGURA 2
Logo, tem-se:
• se 2x3x21x3x23x2
1x1x
2
3x −=�−⋅−=−−�
��
���
−⋅−=+⋅
−−=+�−< ,
que é um valor de x menor que 2
3− e, portanto, é solução da equa-
ção dada;
• se
3
4x3x21x
3x23x2
1x1x1x
2
3−=�+⋅=−−�
��
���
+⋅=+⋅
−−=+�−<≤− ,
que é um valor de x entre 2
3− e -1 e, portanto, é solução da equação
137
dada;
• se 2x3x21x3x23x2
1x1x1x −=�+⋅=+�
��
���
+⋅=+⋅
+=+�−≥ ,
que é um valor de x menor que -1 e, portanto, não serve para essa si-
tuação (mas é solução da equação dada, como se viu acima).
Portanto, o conjunto-solução da equação é: ���
���
−−=3
4,2S .
Observação: a resolução anterior pode ser feita de forma equivalente
e mais simplificada, como segue:
( )3x21xou3x21x
3x2
3x21x −⋅−=++⋅=+�
���
+⋅−
+⋅=+ .
Observe-se que as duas equações aqui obtidas são exatamente as
mesmas obtidas na resolução anterior, já que as equações
3x21x +⋅=+ e 3x21x −⋅−=−− são equivalentes. Assim, nova-
mente obtêm-se as soluções x = -2 e 3
4x −= .
3) 012xx2
=−+ `
Tem-se, aqui, uma equação do 2o grau na variável x . Para facilitar
sua resolução, pode-se fazer xt = e vem:
3tou4t012tt012xx 22=−=�=−+�=−+ .
O valor t = –4 deve ser desprezado, já que não é possível que se te-
nha 4x −= . Para t = 3, vem:
3xou3x3x =−=�= .
Portanto, o conjunto-solução da equação é { }3,3S −= .
13 INEQUAÇÃO MODULAR
É toda sentença matemática que exprime uma relação de desigual-
dade envolvendo termos nos quais a incógnita figura sob o símbolo
de módulo. Resolver uma inequação significa determinar os valores
da variável que a tornem uma sentença numérica verdadeira.
A resolução deste tipo de inequação baseia-se na definição de módu-
lo de um número real: se k é um número real positivo, tem-se:
• se kx > , então, pela definição de módulo, vem:
���
<−
≥=
0xse,x
0xse,xx ;
assim, a desigualdade modular anterior desmembra-se em duas ou-
tras:
kxoukxkx >−>�> ,
isto é,
kxoukx −<> ,
ou seja, os valores de x serão menores do que -k ou maiores do que
k. Aqui, não é possível que se tenha, ao mesmo tempo, kx −< e
kx > , isto é, ocorre uma situação ou outra. A representação gráfica
da desigualdade modular proposta é mostrada na Figura 1.
FIGURA 1
• se kx < , então, de modo análogo ao caso anterior, a desigualdade
modular anterior desmembra-se em duas:
kxoukxkx <−<�< ,
ou seja,
kxoukx −>< .
Nesse caso, pode-se escrever: kxk <<− , ou seja, os valores de x
que satisfazem a inequação devem ser maiores do que –k e menores
do que k. Aqui, deve-se ter, ao mesmo tempo, kx −> e kx < . A
representação gráfica da desigualdade modular proposta é apresen-
tada na Figura 2.
É claro que estas mesmas conclusões são válidas para desigualdades
do tipo ≥ ou ≤ e também para o caso de haver, sob o símbolo de mó-
dulo, uma expressão contendo a variável x.
140
FIGURA 2
Exemplos: resolver as inequações modulares:
1) 53x2 >−⋅
Usando o que se estabeleceu anteriormente, vem:
( ) 53x2ou53x253x2 >−⋅−>−⋅�>−⋅ ,
isto é,
53x2ou53x2 −<−⋅>−⋅ ,
ou seja,
02x2ou08x2 <+⋅>−⋅ .
Há, então, duas inequações do 1o grau para se resolver. Tem-se:
• 08x2 >−⋅ :
4x08x2 =�=−⋅ ;
o estudo de sinal da função linear 8x2y −⋅= está na Figura 3.
FIGURA 3
Portanto, os valores de x que satisfazem essa primeira inequação são
aqueles que são estritamente maiores do que 4. Resolve-se, agora, a
segunda inequação:
• 02x2 <+⋅ :
1x02x2 −=�=+⋅ ,
de onde se tem o estudo de sinal da função 2x2y +⋅= que a Figura
4 mostra. Vê-se, assim, que os valores de x que satisfazem essa se-
gunda inequação são os que são menores do que -1.
FIGURA 4
Uma vez que, a partir da inequação proposta, obtiveram-se as desi-
gualdades 53x2ou53x2 −<−⋅>−⋅ , ou seja, ocorre uma ou ou-
141
tra, deve-se fazer a união das duas soluções encontradas. Uma ma-
neira pratica de fazer isso é usando os diagramas de sinais das Figu-
ras 3 e 4, nos quais se verifica quais são os valores de x que satisfaz
pelo menos uma das soluções das inequações que foram estudadas
separadamente. Têm-se, assim, os diagramas da Figura 5.
FIGURA 5
Portanto, o conjunto-solução da inequação proposta é:
{ } ( ) ( )+∞−∞−=>∨−<∈= ,41,4x1x/RxS � .
2) 3x31 <⋅−
Nesse exemplo, tem-se:
( ) 3x31ou3x313x31 <⋅−−<⋅−�<⋅− ,
isto é,
3x3133x31ou3x31 <⋅−<−�−>⋅−<⋅− .
Há, novamente, duas inequações do 1o grau para se resolver. Tem-
se:
• 0x343x31 >⋅−�−>⋅− :
3
4x0x34 =�=⋅− .
A Figura 6 mostra o estudo de sinal da função linear x34y ⋅−= .
Portanto, os valores de x que satisfazem essa inequação são aqueles
que são estritamente menores do que 3
4.
FIGURA 6
Resolve-se, agora, a segunda inequação:
• 0x320x323x31 >⋅++�<⋅−−�<⋅− :
142
3
2x02x3 −=�=+⋅ ,
de onde se tem o estudo de sinal da função 2x3y +⋅= da Figura 7.
FIGURA 7
Vê-se, assim, que os valores de x que satisfazem essa segunda ine-
quação são os que são maiores do que 3
2− .
Uma vez que, a partir da inequação dada, obtiveram-se as desigual-
dades 3x313 <⋅−<− , que devem ser satisfeitas ao mesmo tempo,
ou seja, deve-se ter x31 ⋅− , simultaneamente, maior do que -3 e
menor do que 3, a solução da inequação dada deverá conter os valo-
res de x que satisfaçam as duas inequações, isto é, deve-se fazer a
interseção das duas soluções, conforme mostra a Figura 8.
FIGURA 8
Portanto, o conjunto-solução da inequação proposta é:
��
��
−=
��
���
<<−∈=3
4,
3
2
3
4x
3
2/RxS .
3) 13x2
1x≤
+⋅
−
De modo análogo ao exemplo anterior, tem-se:
13x2
1x11
3x2
1x≤
+⋅
−≤−�≤
+⋅
−,
isto é, deve-se ter 3x2
1x
+⋅
− , ao mesmo tempo, maior ou igual a –1 e
menor ou igual a 1. Resolvem-se, assim, duas inequações do 1o
143
grau:
(I) 03x2
2x30
3x2
3x21x01
3x2
1x1
3x2
1x≥
+⋅
+⋅�≥
+⋅
+⋅+−�≥+
+⋅
−�−≥
+⋅
−.
No caso desta inequação do 1o grau, é preciso determinar quais são
os valores de x que tornam a fração maior ou igual a zero. Assim, é
preciso estudar, separadamente, o numerador e o denominador.
No caso do numerador (N), tem-se:
3
2x02x3 −=�=+⋅ .
O estudo de sinal da função 2x3y +⋅= é, então, o apresentado na
Figura 9.
FIGURA 9
No caso do denominador (D), tem-se:
2
3x03x2 −=�=+⋅ ,
e, assim, o estudo de sinal da função quadrática 3x2y +⋅= como
mostra a Figura 10.
FIGURA 10
Faz-se, agora, o estudo do sinal de (N) dividido por (D), através dos
sinais mostrados nas Figuras 9 e 10 (Figura 11).
FIGURA 11
Como se procuram os valores de x que tornam a fração maior ou i-
144
gual a zero, consideram-se os que estão nos intervalos ��
��
−∞−
2
3, ou
��
���
�+∞− ,
3
2. O valor
2
3− não pode ser incluído, pois ele anula o de-
nominador da fração; já o valor 3
2− deve ser incluído porque ele
torna nula a fração.
(II) 03x2
4x0
3x2
3x21x01
3x2
1x1
3x2
1x≤
+⋅
−−�≤
+⋅
−⋅−−�≤−
+⋅
−�≤
+⋅
−.
Devem-se determinar, aqui, os valores de x que tornam a fração me-
nor ou igual a zero. Assim, estudam-se, separadamente, o numerador
e o denominador.
No caso do numerador (N), tem-se:
4x04x −=�=−− .
A Figura 12 apresenta o estudo de sinal da função 4xy −−= .
FIGURA 12
O estudo do denominador (D) já foi feito anteriormente, em (I).
Faz-se, agora, o estudo do sinal de (N) dividido por (D), através dos
sinais mostrados nas Figuras 10 e 12 (Figura 13).
FIGURA 13
Como se procuram os valores de x que tornam a fração menor ou
igual a zero, consideram-se os que são menores ou iguais a –4 e
maiores do que 2
3− .
Deve-se fazer, agora, a interseção das soluções obtidas em (I) e (II).
Tem-se, assim, a Figura 14.
145
FIGURA 14
Logo, o conjunto-solução da inequação modular proposta é:
( ] ��
���
�+∞−−∞−=
��
���
−≥∨−≤∈= ,3
24,
3
2x4x/RxS � .
14 FUNÇÃO EXPONENCIAL
Dado um número real a tal que 0a > e 1a ≠ , chama-se função ex-
ponencial de base a a função real que a cada número real x associa o
número real positivo xa .
Em notação matemática:
xayx
R R:f
=
→∗+
� .
Das condições impostas para a base a segue-se que 1a0 << ou
1a > , conforme mostra o diagrama da Figura 1.
FIGURA 1
A representação gráfica da função exponencial pode ser analisada
por meio de exemplos.
Exemplos:
1) Considere-se a função exponencial de base a = 2, isto é, tem-se
1a > : ( ) x2xfy == . Tomando-se alguns valores para a variável x,
constrói-se a tabela:
x -3 -2 -1 0 1 2 3 ...
y
8
12
3=
−
4
12
2=
−
2
12
1=
−
120= 221
= 422=
823
=
...
Localizando-se os pontos em um sistema de coordenadas cartesianas
ortogonais, obtém-se o gráfico mostrado na Figura 2.
Os valores para a variável x foram escolhidos arbitrariamente. To-
maram-se valores inteiros apenas por facilidade de cálculos. Obser-
ve que, quanto menor for o valor de x, mais os pontos do gráfico da
função se aproximam do eixo Ox, sem, entretanto, interceptá-lo, já
que x,02x∀> . Dessa forma, o eixo Ox é uma assíntota da curva.
148
FIGURA 2
2) Considere-se, agora, a função exponencial de base 2
1a = , ou se-
ja, tem-se 1a0 << : ( )x
2
1xfy �
�
���
�== . Tomando-se para a variável x
os mesmos valores do exemplo anterior, tem-se a tabela:
x -2 -1 0 1 2 ...
y 42
12
=��
���
�−
22
11
=��
���
�−
12
10
=��
���
�
2
1
2
11
=��
���
�
4
1
2
12
=��
���
� ...
Localizando-se os pontos em um sistema de coordenadas cartesianas
ortogonais, obtém-se o gráfico mostrado na Figura 3.
Neste caso, quanto maior for o valor de x, mais os pontos do gráfico
da função se aproximam da reta y = 0, sem interceptá-la, ou seja, es-
sa reta é uma assíntota da curva.
Observando-se os dois gráficos, vê-se que, em ambos os casos, o
conjunto imagem da função f é ( ) ∗+= RfIm e que os gráficos inter-
ceptam o eixo Oy no ponto ( )1,0 . Entretanto, no exemplo 1, vê-se
que a função é crescente; já a função do exemplo 2 é decrescente. O
149
crescimento ou decrescimento da função exponencial está associado
à base.
FIGURA 3
Têm-se, assim, as seguintes propriedades para a função exponencial
( ) xaxf = :
(1) ( ) RfD = e ( ) ∗+= RfIm ;
(2) o ponto ( )1,0 pertence ao gráfico de f;
(3) se 1a > , a função é crescente; se 1a0 << , a função é decrescen-
te;
(4) a função é injetora, isto é, 21 xx21 aaxx ≠�≠ , ou, equivalen-
temente, 21xx
xxaa 21 =�= ;
(5) a função, tal como foi definida, é sobrejetora, isto é: xay/Rx,Ry =∈∃∈∀
∗+ .
Exemplos: funções exponenciais crescentes e decrescentes:
1) ( ) ( )x1,3xf =
Função crescente, pois a base é 3,1 > 1.
150
2) ( )x
3
3xf �
�
�
�
��
�
�=
Função decrescente, pois: 13
3< .
3) ( )x
8
3xf
−
��
���
�=
Função crescente, pois: 13
8e
3
8
8
3xx
>��
���
�=�
�
���
�−
.
Resultados importantes:
(1) Sejam R1a ∈> e Rb ∈ . Então, 0b1a b>⇔> .
(2) Sejam ( )1a0Ra <<∈ e Rb ∈ . Então, 0b1a b<⇔> .
(3) Sejam R1a ∈> e Rx,x 21 ∈ . Então, 21xx
xxaa 21 >⇔> .
(4) Sejam ( )1a0Ra <<∈ e Rx,x 21 ∈ . Então:
21xx
xxaa 21 <⇔> .
Exemplos: fazer a representação gráfica das funções seguintes:
1) 12y x−=
Constrói-se uma tabela, tal como:
x -2 -1 0 1 2 ...
y
4
3−
2
1−
0 1 3 ...
e obtém-se o gráfico apresentado na Figura 4. Note-se que, sendo
x,02x∀> , segue-se que x,112x
∀−>− , ou seja, o gráfico sofreu
uma translação vertical de uma unidade, no sentido negativo, em re-
lação ao gráfico da função x2y = , feito anteriormente. Assim, o
gráfico intercepta o eixo Oy no ponto ( )0,0 e a assíntota da curva
passa a ser a reta 1y −= .
151
FIGURA 4
FIGURA 5
152
2) 1x2y −=
Construindo-se a tabela:
x -2 -1 0 1 2 3 ...
y
8
12 3
=−
4
12 2
=−
2
12 1
=− 120
= 221= 422
= ...
tem-se o gráfico da Figura 5.
Neste caso, o gráfico intercepta o eixo Oy no ponto ��
���
�
2
1,0 a assín-
tota da curva é a reta 0y = .
15 EQUAÇÃO EXPONENCIAL
É uma equação cuja incógnita figura no expoente. Existem dois mé-
todos fundamentais para a resolução desse tipo de equação.
1) Método da redução a uma base comum. Esse método é emprega-
do quando ambos os membros da equação, com as transformações
convenientes baseadas nas propriedades de potências, podem ser re-
duzidos a potências de mesma base a ( )1ae0a ≠> . Sendo a fun-
ção exponencial ( ) xaxf = injetora, pode-se concluir que potências
iguais de mesma base têm os expoentes iguais, isto é:
( )1ae0acbaa cb≠>=⇔= .
Exemplos:
1) Dada a equação 322x= , tem-se:
5x22322 5xx=�=�= .
Logo, o conjunto solução é { }5S = .
2) Seja ( )243
13
6xx=
−. Então:
( )
05x6x
5x6x333
13
243
13
2
25x6x
5
x6x6xx22
=+⋅−�
�−=⋅−�=�=�=−⋅−⋅−−
Assim, os valores de x que satisfazem a equação dada são x = 1 e x
= 5, ou seja, { }5,1S = .
3) Considere a equação 05255 x2 2x3x 5x22x=−⋅ ⋅ −⋅−⋅− , sendo
∗Ν∈� . Utilizando-se as propriedades de potências, vem:
x2
2x3
x
10x4
2
2x
x2
2x3
x
10x4
2
2x
x2
2x3
x
5x2
2
2x
55
55505255
⋅
−⋅−⋅+
−
⋅
−⋅−⋅−
⋅
−⋅−⋅−
=�
�=⋅�=−⋅
x2
2x3
x
10x4
2
2x
⋅
−⋅=
−⋅+
−∴
x2
2x3
x2
20x6x2
⋅
−⋅=
⋅
−⋅+� .
154
Assim, vem:
6xou3x018x3x2−==�=−⋅+ .
Uma vez que ∗Ν∈x , o conjunto solução é { }3S = .
4) Dada a equação 912222 5x52x58x5=−+
+⋅+⋅+⋅ , pode-se escrever:
912222222 5x52x58x5=⋅−⋅+⋅
⋅⋅⋅ ,
de onde vem que:
( ) 2x5x5x5x5 2242228
91229123242562 =�=�=�=−+⋅
⋅⋅⋅⋅
5
2x2x5 =�=⋅∴ .
Assim, ���
���
=5
2S .
5) A equação 02294 x1x=+⋅−
+ , com as operações convenientes,
pode ser vista como uma equação do 2o grau na variável x2 , pois:
( ) 0229420229202294 x2xx2x2x1x=+⋅−⋅�=+⋅−�=+⋅−
+⋅+
Fazendo x2t = , tem-se:
02t9t4 2=+⋅−⋅ ,
cujas soluções são t = 2 e 4
1t = .
Então:
1x222t x=�=�= ;
2x224
12
4
1t 2xx
−=�=�=�=− .
Portanto, { }1,2S −= .
2) Método baseado na definição de logaritmo. Quando as equações
exponenciais não podem ser reduzidas a uma igualdade de potências
de mesma base, utilizam-se os logaritmos e suas propriedades. Tal
método será utilizado juntamente com as equações logarítmicas.
16 INEQUAÇÃO EXPONENCIAL
É toda sentença matemática que exprime uma relação de desigual-
dade envolvendo termos nos quais a incógnita figura no expoente.
Resolver uma inequação significa determinar os valores da variável
que a tornem uma sentença numérica verdadeira.
Muitas das inequações exponenciais podem, através de proprieda-
des, ser transformadas em outras equivalentes que possuam, nos dois
membros, potências de mesma base a, sendo 1a0 ≠< . Lembrando
que a função exponencial ( ) xaxf = é crescente, quando 1a > , e de-
crescente, quando 1a0 << , tem-se, para quaisquer números reais b
e c, que:
• se 1a > e cb aa > então cb > ;
• se 1a0 << e cb aa > , então cb < .
Estudar-se-ão apenas as inequações em que é possível proceder da
forma citada. Para inequações nas quais tal procedimento não é pos-
sível, usam-se outros métodos.
Exemplos: resolver as inequações exponenciais:
1) 642x>
Conforme se disse, escrevem-se ambos os membros da inequação
como potências de mesma base. Tem-se, assim:
6x22642 6xx>�>�> ,
pois a base é 12 > .
Logo, o conjunto solução é { } ( )∞+=>∈= ,6Sou6x/RxS .
2) 3
5
3
5
3
51x1x3
<��
���
�<�
�
���
�−+⋅
Há, aqui, duas desigualdades simultâneas, ou seja, duas inequações
que devem ser resolvidas separadamente. O conjunto-solução das
inequações propostas deve satisfazer ambas ao mesmo tempo. Tem-
se, assim:
(I) 02x21x1x33
5
3
51x1x3
<+⋅�−<+⋅���
���
�<�
�
���
�−+⋅
.
Obteve-se uma inequação do 1o grau, cuja solução é:
1x02x2 −=�=+⋅ ;
156
o estudo de sinal da função do 1o grau 2x2y +⋅= é como mostra a
Figura 1.
FIGURA 1
Portanto, os valores de x que satisfazem essa primeira inequação são
aqueles que são estritamente menores do que –1. Resolve-se, agora,
a segunda inequação:
(II) 02x11x3
5
3
51x
<−�<−�<��
���
�−
;
a resolução dessa inequação é:
2x02x =�=− ,
de onde se tem o estudo de sinal da Figura 2.
FIGURA 2
Vê-se, assim, que os valores de x que satisfazem essa segunda ine-
quação são os que são menores do que 2.
FIGURA 3
Deve-se, agora, fazer a interseção das duas soluções encontradas.
Uma maneira pratica de fazer isso é usando os diagramas de sinais
das Figuras 1 e 2, nos quais se verifica quais são os valores de x co-
muns a ambas as soluções das inequações que foram estudadas sepa-
radamente.Têm-se, assim, as conclusões mostradas na Figura 3.
Portanto, o conjunto-solução das desigualdades propostas é:
{ } ( )1,1x/RxS −∞−=−<∈=
3) ( ) ( ) 1x23
1x7,07,0
2+⋅+
≥
157
Tem-se:
( ) ( ) ( ) ( )
01x4x32x43x3
3
1x2
2
1x7,07,07,07,0
22
2
3
1x2
2
1x1x23
1x22
≤+⋅−⋅�+⋅≤+⋅�
�+⋅
≤+
�≥�≥+⋅++⋅+
Tem-se, neste caso, uma inequação do 2o grau; para resolvê-la, de-
terminamos, primeiramente, as raízes reais da equação:
1xou3
1x01x4x3 2
==�=+⋅−⋅ .
A Figura 4 apresenta o estudo de sinal da função quadrática
1x4x3y 2+⋅−⋅= .
FIGURA 4
e, portanto, os valores de x que tornam essa inequação do segundo
grau verdadeira estão no intervalo fechado �
��
1,
3
1, isto é, o conjunto
solução é:
�
��
=
���
���
≤≤∈= 1,3
11x
3
1/RxS .
4) 3437
7
1x 1x
1x 1x
<+ −
− +
Observe-se, primeiramente, que, para que 1x − e 1x + sejam índi-
ces de uma raiz, devem ser números naturais positivos. Assim, é
preciso que x seja um número inteiro maior do que 1. Feita essa res-
trição, resolve-se, agora a inequação, utilizando-se as propriedades
de potência:
( ) 2
3
1x
1x
1x
1x
2
13
1x
1x
1x
1x
1x 1x
1x 1x
777
7
7343
7
7<�<�< +
−−
−
+
+
−
−
+
+ −
− +
2
3
1x
1x
1x
1x<
+
−−
−
+∴ .
A resolução da inequação obtida se faz da seguinte forma:
158
�<−+
−−
−
+�<
+
−−
−
+0
2
3
1x
1x
1x
1x
2
3
1x
1x
1x
1x
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
�<+⋅−⋅
+⋅−⋅−−⋅−⋅−+⋅+⋅� 0
1x1x2
1x1x31x1x21x1x2
( )0
1x2
3x8x32
2
<−⋅
+⋅+⋅−�
No caso desta inequação do 2o grau, é preciso determinar quais são
os valores de x que tornam a fração negativa. Assim, é preciso estu-
dar, separadamente, o numerador e o denominador.
No caso do numerador (N), tem-se:
3xou3
1x03x8x3 2
=−=�=+⋅+⋅− .
O estudo de sinal da função quadrática 3x8x3y 2+⋅+⋅−= é mos-
trado na Figura 5.
FIGURA 5
No caso do denominador (D), tem-se:
( ) 1xou1x01x2 2=−=�=−⋅ ,
e, assim, o estudo de sinal da função quadrática ( )1x2y 2−⋅= é o
da Figura 6.
FIGURA 6
Faz-se, agora, o estudo do sinal de (N) dividido por (D), através dos
sinais mostrados nas Figuras 5 e 6 (Figura 7).
FIGURA 7
159
Vê-se, assim, que os valores de x que tornam a fração negativa estão
em um dos três intervalos: ( )1,−∞− ou ��
���
�− 1,
3
1 ou ( )∞+,3 . Lem-
brando que x deve ser um número inteiro maior do que 1, conclui-se
que o conjunto-solução é:
{ }3x/xS >Ζ∈= .
5) 08264 xx<+⋅−
Tem-se, aqui, uma inequação do 2o grau na “variável” x2t = , já que
a inequação dada pode ser escrita na forma:
( ) 08262 x2x<+⋅− .
Assim, usando a variável auxiliar t, vem:
( ) 08t6t08262 2x2x<+⋅−�<+⋅− .
Resolve-se, então, a equação do 2o grau, para se fazer o estudo de
sinais da função quadrática 8t6ty 2+⋅−= :
4tou2t08t6t2==�=+⋅− .
Na Figura 8 vê-se o estudo de sinal da função.
FIGURA 8
Logo, os valores de t que satisfazem a inequação 08t6t2<+⋅−
são aqueles que estão entre 2 e 4, isto é, 2 < t < 4. Voltando, agora, à
variável x, tem-se:
2x12224224t2 2xx<<�<<�<<�<< .
Portanto, o conjunto-solução da inequação proposta é:
{ } ( )2,12x1/RxS =<<∈= .
6) 0eeee x1xx2>+−−
+⋅ , onde e é o número irracional:
e = 2,71828183...
Reescrevendo a inequação, vem:
( ) ( ) ( ) 0ee1ee0eeeee x2xxx2x>+⋅+−�>+−⋅− .
Novamente, tem-se uma inequação do 2o grau na variável xet = :
160
( ) ( ) ( ) 0et1et0ee1ee 2x2x>+⋅+−�>+⋅+− .
Resolvendo-se a equação do 2o grau, vem:
( ) ( ) ( )222 1ee141e0et1et −=⋅⋅−+=∆�=+⋅+− ;
as raízes reais são, então:
( ) ( )etou1t
2
1e1et ==�
−±+= .
O estudo de sinal da função ( ) et1ety 2+⋅+−= é mostrado na Fi-
gura 9.
FIGURA 9
Logo, os valores de t que satisfazem a inequação
( ) 0et1et2>+⋅+− são: t < 1 ou t > e. Voltando, agora, à variável
x, tem-se;
0xee1e1t 0xx<�<�<�< ;
1xeeet x>�>�> .
Portanto, o conjunto-solução da inequação proposta é:
{ } ( ) ( )+∞∞−=>∨<∈= ,10,1x0x/RxS � .
7) 1x 2x5>
−⋅ , em +R .
É preciso investigar com mais cuidado as possíveis soluções dessa
inequação, já que a base não é uma constante positiva e diferente de
1. Deve-se verificar, inicialmente, se os valores x = 0 e x = 1 satisfa-
zem a inequação proposta.
• se x = 0, tem-se: 0-2
> 1, que é uma sentença não definida, ou seja,
x = 0 não é solução da inequação proposta;
• se x = 1, tem-se: 1-2
> 1, que é uma sentença falsa, ou seja, x = 1
não é solução da inequação proposta.
Tendo já analisados os valores x = 0 e x = 1, resta analisar os casos
em que a base x está entre 0 e 1 e é maior do que 1.
• se 0 < x < 1, tem-se:
02x5xx1x 02x52x5<−⋅�>�>
−⋅−⋅ .
A resolução desta inequação do 1o grau fornece valores de x meno-
161
res do que 5
2. Assim, poderão ser considerados os valores de x que
satisfaçam as condições 0 < x < 1 e 5
2x < , conforme se vê na Figu-
ra 10.
FIGURA 10
• se x > 1, tem-se:
02x5xx1x 02x52x5>−⋅�>�>
−⋅−⋅ .
A resolução desta inequação do 1o grau fornece valores de x maiores
do que 5
2. Assim, poderão ser considerados os valores de x que sa-
tisfaçam as condições x > 1 e 5
2x > (Figura 11).
FIGURA 11
Uma vez que os valores de x estão entre 0 e 1 ou são maiores do que
1, é preciso fazer a união das duas soluções parciais obtidas, obten-
do-se o que mostra a Figura 12.
FIGURA 12
Assim, a solução da inequação dada é:
( )+∞��
���
�=
���
���
>∨<<∈= ,15
2,01x
5
2x0/RxS � .
162
8) 1x 2x7x3 2
≤+⋅−⋅ , em +R .
De modo análogo ao exemplo anterior, faz-se:
• se 0x = x = 0, tem-se: 102≤ , que é uma sentença verdadeira, ou
seja, 0x = é solução da inequação proposta;
• se 1x = , tem-se: 11 2≤
− , que é uma sentença verdadeira, ou seja,
1x = é solução da inequação proposta.
Analisam-se, agora, os casos em que a base x está entre 0 e 1 e é
maior do que 1.
• se 1x0 << , tem-se:
02x7x3xx1x 202x7x32x7x3 22
≥+⋅−⋅�≤�≤+⋅−⋅+⋅−⋅ .
Resolve-se a equação do 2o grau 02x7x3 2
=+⋅−⋅ para obter os
valores que x que satisfazem a inequação 02x7x3 2≥+⋅−⋅ :
2xou3
1x02x7x3 2
==�=+⋅−⋅ .
O estudo de sinal da função 2x7x3y 2+⋅−⋅= , combinado com a
condição de que x deve estar entre 0 e 1, é mostrado na Figura 13.
FIGURA 13
• se 1x > , tem-se:
02x7x3xx1x 202x7x32x7x3 22
≤+⋅−⋅�≤�≤+⋅−⋅+⋅−⋅ .
Resolve-se essa inequação do 2o grau de forma análoga à anterior e
usa-se a condição de que x é maior do que 1, obtendo-se as conclu-
sões da Figura 14.
FIGURA 14
163
Uma vez que os valores de x estão entre 0 e 1 ou são maiores do que
1, faz-se a união das duas soluções parciais mostradas nas Figura 13
e 14, lembrando que 0x = e 1x = também são soluções.
A Figura 15 apresenta essa conclusão.
FIGURA 15
Logo, o conjunto-solução da inequação dada é:
[ ]2,13
1,02x1
3
1x0/RxS ��
��
=
���
���
≤≤∨≤≤∈= .
17 LOGARITMO
Dados dois números reais positivos a e b, com 1a ≠ , chama-se lo-
garitmo de b na base a o número real x tal que ba x= .
Notação: ( )bloga
.
Assim, de acordo com a definição, o logaritmo de um número posi-
tivo em uma base positiva e diferente de 1 é o expoente ao qual se
deve elevar a base para que se obtenha o número. Então:
( ) baxb x
alog =⇔= .
Nomenclatura:
a: base do logaritmo ( 0a > e 1a ≠ );
b: logaritmando ( 0b > );
x: logaritmo ( Rx ∈ ).
O número b também é chamado de antilogaritmo de x na base a e
denotado por:
( )xb logantia
= .
Exemplos: calcular os logaritmos:
1) ( )64log2
Fazendo ( ) x64log2
= , pela definição de logaritmo, vem:
( ) 6x22642x64 6xx
2log =�=�=�= ( ) 664log
2=∴ .
2) ��
�
�
��
�
�
3
3log
3
Tem-se:
2
1x33
3
33x
3
321
xx
3log −=�=�=�=�
�
�
�
��
�
� −
2
1
3
3log
3−=�
�
�
�
��
�
�∴ .
3) ( )25log2,0
Tem-se:
( ) ( ) �=��
���
��=�
�
���
��=�=
2xx
x
2,05
5
125
10
2252,0x25log
166
2x5
1
5
12x
−=���
���
�=�
�
���
��
−
.
Portanto, ( ) 225log2,0
−= .
4) ( )8log3 5,0
Tem-se:
( ) ( ) ( )
2
9x
2
3
3
x
2
1
2
1
22
185,0x8
23
3x
213
1
33
x
x3
5,0log
−=�−=���
���
�=�
�
���
��
�=���
�
�
���
�
���
���
��=�=
−
Assim, ( )2
98log3 5,0
−= .
Conseqüências da definição: sendo a, b e c números reais positivos,
com a ≠ 1, decorrem da definição as seguintes propriedades:
(1) ( ) 01loga
= , pois 1a0=
(2) ( ) 1aloga
= , pois aa1=
(3) ( )
bablog
a = , pois, fazendo ( ) xbloga
= , da definição de loga-
ritmo vem que ba x= , ou seja,
( )ba
bloga = .
(4) ( ) ( ) cbcb loglogaa
=⇔=
De fato, fazendo ( ) xbloga
= , tem-se:
( )
( ) ( )( ) xc
cb
xblog
loglog
loga
aa
a=�
�
��
=
=.
Então:
ba x= e ca x
= , ou seja, b = c.
Pode-se mostrar a equivalência proposta de outra forma, utilizando-
se a definição de logaritmo e a propriedade (3):
( ) ( )( )
bcbacbc
aa
logaloglog =�=�= .
167
Sistema de logaritmos: chama-se sistema de logaritmos de base a
( 0a > e 1a ≠ ) o conjunto de todos os logaritmos dos números reais
positivos na base a.
Por exemplo, o conjunto formado por todos os logaritmos na base 2
dos números reais positivos é o sistema de logaritmos na base 2.
Entre os infinitos sistemas de logaritmos, há dois mais importantes,
que são os mais usados: o sistema de logaritmos de base 10, ou sis-
tema de logaritmos decimais, e o sistema de logaritmos de base e, ou
sistema de logaritmos neperianos.
Lembrete: e é o número irracional e = 2,718281828...
Sistema de logaritmos decimais: é conjunto dos logaritmos na base
10 de todos os números reais positivos.
Notação: ( )xlog10
ou, simplesmente, ( )xlog . É comum, ainda, es-
pecialmente em calculadoras, a notação ( )xLOG .
Sistema de logaritmos neperianos: a base de logaritmos adotada pe-
lo teólogo Neper (1550-1617) foi o número irracional e, que aparece
de maneira natural na resolução de muitos problemas cotidianos. Pe-
lo fato de Neper utilizar essa base, os logaritmos de todos os núme-
ros reais positivos na base e são chamados logaritmos neperianos.
Notação: ( )xloge
ou, simplesmente, ( )xln . É comum, ainda, espe-
cialmente em calculadoras, a notação ( )xLN .
Propriedades dos logaritmos de mesma base. Sejam a, b e c núme-
ros reais tais que a > 0 e a ≠ 1, b, c ∈ ∗+R . Têm-se as seguintes pro-
priedades:
(1) Logaritmo do produto: ( ) ( ) ( )cbcb logloglogaaa
+=⋅ .
Demonstração: sejam:
( )
( )
( )��
��
�
=⋅
=
=
zcb
yc
xb
log
log
log
a
a
a
;
então, da definição de logaritmo, decorre que:
168
��
��
�
⋅=
=
=
cba
ca
ba
z
y
x
.
Então:
yxzaaaaacba yxzyxzz+=�=�⋅=�⋅=
+ ,
ou seja,
( ) ( ) ( )cbcb logloglogaaa
+=⋅ .
Observação: essa propriedade se generaliza para o logaritmo de um
produto finito de n (n ≥ 2) fatores reais positivos.
(2) Logaritmo do quociente: ( ) ( )cbc
blogloglog
aaa−=�
�
���
�.
Demonstração: sejam:
( )
( )
���
���
�
=��
���
�
=
=
zc
b
yc
xb
log
log
log
a
a
a
;
então, da definição de logaritmo, decorre que:
��
��
�
=
=
=
c
ba
ca
ba
z
y
x
.
Então:
yxzaaa
aa
c
ba yxz
y
xzz
−=�=�=�=− ,
ou seja,
( ) ( )cbc
blogloglog
aaa−=�
�
���
�.
Observações:
1) Se b = 1, tem-se:
169
( ) ( ) ( ) ( )cc0c1c
1
c
bloglogloglogloglog
aaaaaa−=−=−=�
�
���
�=�
�
���
�
Por definição, o oposto de um logaritmo é chamado cologaritmo,
que se denota por logco . Então:
( )cc loglogaa
co −= ou ��
���
�=
c
1c loglog
aaco .
2) Se é sabido que b > 0 e c > 0, então é claro que 0c
b> se pode es-
crever:
( ) ( )cbc
blogloglog
aaa−=�
�
���
�.
Entretanto, se sabe-se apenas que 0c
b> , então, deve-se escrever:
cbc
blogloglog
aaa−=�
�
���
�.
(3) Logaritmo da potência: ( ) ( )bb loglogaa
⋅α=α , para qualquer
número real α .
Demonstração: sejam:
( )
( )�
��
=
=
α yb
xb
log
log
a
a;
então, da definição de logaritmo, decorre que:
�
��
=
=
αba
ba
y
x
.
Então:
( ) xyaaaaba xyxyy⋅α=�=�=�=
⋅ααα ,
ou seja,
( ) ( )bb loglogaa
⋅α=α .
Observações:
1) Em particular, se •Ν∈n , então:
170
( ) ( )bn
1bb logloglog
aa
n
an1
⋅=��
���
�= .
2) Se b > 0, então R,0b ∈α∀>α ; portanto, pode-se escrever:
( ) ( )bb loglogaa
⋅α=α .
Se sabe-se apenas que 0b >α , deve-se escrever:
( ) bb loglogaa
⋅α=α .
Observações:
1) ( ) ( ) ( )cbcb logloglogaaa
±≠± .
Assim, conhecendo-se ( )bloga
e ( )cloga
, pode-se obter facilmente
o logaritmo de cb ⋅ , de c
b e de αb ou de αc . Entretanto, não é pos-
sível conhecer o logaritmo de cb + ou de cb − sem calcular, antes,
o valor de cb + ou cb − .
2) ( ) ( )( )αα≠ bb loglog
aa
De fato, se, por exemplo, α = 3, vem:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =++=⋅⋅= bbbbbbb logloglogloglogaaaa
3
a
( )b3 loga
⋅= (I)
Por outro lado, tem-se:
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )bbbb loglogloglogaaa
3
a⋅⋅= (II)
É claro que (I) � (II).
Exemplos:
1) ( ) ( ) ( ) 41434381 logloglog3
4
33=⋅=⋅== .
2) ( ) ( ) ( ) 313535125 logloglog5
3
55=⋅=⋅== .
3) ( ) ( )23
122 logloglog
1010
3
1031
⋅=��
���
�= .
4) ( ) ( )1xx1xx logloglog101010
++=+⋅ se, e somente se, tem-se
171
x > 0 e 01x >+ , ou seja, se x > 0 e x > -1. Assim, deve-se ter x > 0,
para que a igualdade seja satisfeita. Observe que para que o logarit-
mo do primeiro membro da expressão esteja bem definido, é preciso
que ( ) 01xx >+⋅ .
Estudando essa inequação do 2o grau, tem-se:
( ) 0xx01xx 2>+�>+⋅ .
A equação 0xx 2=+ tem duas raízes reais distintas: 1x −= e
0x = . O estudo de sinais da função quadrática xxy 2+= é mos-
trado na Figura 1.
FIGURA 1
Vê-se, assim, que os valores de x que tornam verdadeira a inequação
são aqueles que são menores do que -1 ou maiores do que zero. En-
tretanto, como se viu anteriormente, para que a equação proposta es-
teja bem definida só se podem considerar os valores de x maiores do
que zero.
Mudança de base. Em certos casos, é preciso transformar logarit-
mos em uma certa base para uma outra base. Por exemplo, na apli-
cação das propriedades operatórias, os logaritmos devem estar todos
na mesma base.
Tem-se o seguinte resultado: se a, b, c ∈ ∗+R , sendo a ≠ 1 e c ≠ 1,
então:
( )( )
( )a
bb
log
loglog
c
c
a= .
Demonstração: sejam:
( )
( )
( )��
��
�
=
=
=
za
yb
xb
log
log
log
c
c
a
;
observe que z ≠ 0, pois a ≠ 1.
Quer-se mostrar que z
yx = . De fato, da definição de logaritmo, de-
172
corre que:
��
��
�
=
=
=
ac
bc
ba
z
y
x
.
Então:
( )z
yxyxzccccca yxzyxzyx
=�=⋅�=�=�=⋅ ,
ou seja,
( )( )
( )a
bb
log
loglog
c
c
a= .
Casos particulares:
(1) Se a, b ∈ ∗+R , sendo a ≠ 1 e b ≠ 1, vem:
( )( )
( ) ( )a
1
a
bb
loglog
loglog
bb
b
a== .
(2) Se a, b ∈ ∗+R , sendo a ≠ 1, vem:
( )( )
( )( )( )a
b
a
bb
ln
ln
log
loglog
e
e
a== .
(3) Se a, b ∈ ∗+R , sendo a ≠ 1 e α ≠ 0, vem:
( ) ( )b1
b loglogaa
⋅α
=α .
Demonstração: para demonstrar essa igualdade, consideram-se dois
casos:
1o Caso: b = 1.
Tem-se:
( ) ( )
( ) ( )�
��
==
== αα
01b
01b
loglog
loglog
aa
aa,
de onde se pode concluir que:
( ) ( )11
1 loglogaa
⋅α
=α .
2o Caso: b ≠ 1.
173
Tem-se:
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )b1
a
11
a
1
a
1
a
bb
log
loglogloglog
loglog
a
bbbb
b
a
⋅α
=
=⋅α
=⋅α
===αα
α
18 FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Dado um número real a tal que 0a > e 1a ≠ , chama-se função lo-
garítmica de base a a função que a cada número real positivo x as-
socia o logaritmo de x na base a. Em linguagem matemática, tem-se:
( )xyx
R R:f
loga
=
→∗+
� .
Vê-se, então, que ( ) ∗+= RfD e ( ) RfCD = . Observe-se que as con-
dições para a base a da função logarítmica são as mesmas da base da
função exponencial xay = , ou seja, tem-se que 1a0 << ou 1a > ,
conforme mostra o diagrama da Figura 1.
FIGURA 1
A representação gráfica da função logarítmica pode ser analisada
por meio de exemplos.
Exemplos:
1) Considere-se a função logarítmica de base a = 2, isto é, tem-se
a > 1: ( ) ( )xxfy log2
== . Para construir o gráfico de f é conveni-
ente atribuir valores a y, que podem ser números reais quaisquer, e
calcular os valores de x correspondentes, como segue:
( )8
12x3x 3
2log ==�−=
−
( )4
12x2x 2
2log ==�−=
−
( )2
12x1x 1
2log ==�−=
−
( ) 12x0x 0
2log ==�=
( ) 22x1x 1
2log ==�=
( ) 42x2x 2
2log ==�=
( ) 82x3x 3
2log ==�=
�
176
Tem-se, assim, a tabela:
x
8
1
4
1
4
1
1 2 4 8 ...
y -3 -2 -1 0 1 2 3 ...
Localizando-se os pontos em um sistema de coordenadas cartesianas
ortogonais, obtém-se o gráfico mostrado na Figura 2.
FIGURA 2
Os valores para a variável y foram escolhidos arbitrariamente. To-
maram-se valores inteiros apenas por facilidade de cálculos. Obser-
ve que, quanto mais próximo de zero for o valor de x, mais os pon-
tos do gráfico da função se aproximam do eixo Oy, sem, entretanto,
interceptá-lo, já que x > 0. Dessa forma, o eixo Oy é uma assíntota
vertical da curva.
2) Considere-se, agora, a função exponencial de base 2
1a = , ou se-
ja, tem-se 0 < a < 1: ( ) ( )xxfy log21== . Tomando-se para a variá-
vel y os mesmos valores do exemplo anterior, tem-se:
177
( ) 82
1x3x
3
log21 =�
�
���
�=�−=
−
( ) 42
1x2x
2
log21 =�
�
���
�=�−=
−
( ) 22
1x1x
1
log21 =�
�
���
�=�−=
−
( ) 12
1x0x
0
log21 =�
�
���
�=�=
( )2
1
2
1x1x
1
log21 =�
�
���
�=�=
( )4
1
2
1x2x
2
log21 =�
�
���
�=�=
( ) 82x3x 3
2log ==�=
�
Tem-se, assim, a tabela:
x
8
1
4
1
4
1
1 2 4 8 ...
y 3 2 1 0 -1 -2 -3 ...
Localizando-se os pontos em um sistema de coordenadas cartesianas
ortogonais, obtém-se o gráfico mostrado na Figura 3.
Neste caso, quanto mais próximo de zero for o valor de x, mais os
pontos do gráfico da função se aproximam da reta x = 0, sem inter-
ceptá-la, ou seja, essa reta é uma assíntota vertical da curva.
Observando-se os dois gráficos, vê-se que, em ambos os casos, o
conjunto imagem da função f é ( ) RfIm = e que os gráficos inter-
ceptam o eixo Ox no ponto ( )0,1 . Entretanto, no exemplo 1, vê-se
que a função é crescente; já a função do exemplo 2 é decrescente. O
crescimento ou decrescimento da função logarítmica está associado
à base.
Têm-se, assim, as seguintes propriedades para a função logarítmica
( ) ( )xxf loga
= :
178
FIGURA 3
(1) ( ) ∗+= RfD e ( ) RfIm = ;
(2) o ponto ( )0,1 pertence ao gráfico de f ;
(3) se 1a > , a função é crescente; se 1a0 << , a função é decrescen-
te;
(4) a função é injetora, isto é, ( ) ( )2a1a21 xxxx loglog ≠�≠ , ou,
equivalentemente, ( ) ( ) 212a1axxxx loglog =�= ;
(5) a função, tal como foi definida, é sobrejetora, isto é:
( )xy/Rx,Ry loga
=∈∃∈∀∗+ .
Exemplos: funções logarítmicas crescentes e decrescentes:
1) ( ) ( )xxf log1,3
=
Função crescente, pois a base é 3,1 > 1.
2) ( ) ( )xxf log 32−=
Função decrescente, pois: 18
1
2
12
3
3<==
− .
179
3) ( ) ( )xxf log3
3=
Função decrescente, pois: 13
3< .
4) ( ) ( )xxf logπ
=
Função crescente, pois: 1>π .
5) ( ) ( )xlnxf =
Função crescente, pois a base é e, que é maior do que 1.
Resultados importantes:
(1) Sejam R1a ∈> e ∗+∈ Rb . Então, ( ) 1b0blog
a>⇔> .
(2) Sejam ( )1a0Ra <<∈ e ∗+∈ Rb . Então, ( ) 1b0blog
a<⇔> .
(3) Sejam R1a ∈> e ∗+∈ Rx,x 21 . Então:
( ) ( ) 212a1axxxx loglog >⇔> , pois a função é crescente.
(4) Sejam ( )1a0Ra <<∈ e ∗+∈ Rx,x 21 . Então:
( ) ( ) 212a1axxxx loglog <⇔> , pois a função é decrescente.
Exemplos:
1) Verificar se são verdadeiras ou falsas as desigualdades:
(a) ( ) ( )2,03 loglog22
>
Verdadeira, pois a base é 2 > 1 e, portanto, a função é crescente.
Como 3 > 0,2, segue-se que ( ) ( )2,03 loglog22
> .
(b) ( ) ( )5,33,2 loglog2,02,0
<
Falsa, pois a base é 12,00 << e, portanto, a função é decrescente.
Como 2,3 < 3,5, segue-se que ( ) ( )5,33,2 loglog2,02,0
> .
(c) ( ) ( )32,013,0 loglog1,01,0
>
Verdadeira, pois a base é 11,00 << e, portanto, a função é decres-
cente. Como 0,13 < 0,32, segue-se que ( ) ( )32,013,0 loglog1,01,0
> .
180
2) Determinar os valores reais de a para que:
(a) ( ) ( )xxf loga
= seja crescente.
Para que a função logarítmica seja crescente, sua base deve ser mai-
or do que 1. Assim, deve-se ter: a – 3 > 1 � a > 4.
(b) ( )
( )xy loga1−
= seja decrescente.
Para que a função logarítmica seja decrescente, sua base deve ser
um valor entre 0 e 1. Assim, deve-se ter: 1a10 <−< .
Têm-se, aqui, duas desigualdades simultâneas:
�
>
<�
�
<−
>−
0a
1a
1a1
0a1 ,
ou seja, deve-se ter 1a0 << .
Observação importante: a função logarítmica de base a e a função
exponencial de base a são inversas entre si, isto é, as funções f e g
definidas por:
( ) ( )xxfx
R R:f
loga
=
→∗+
� e
( ) xaxgx
R R:g
=
→∗+
�
são inversas uma da outra.
Para provar que a afirmação é verdadeira, basta que se prove que
Rgf Ι=� e ∗+
Ι=R
fg � , isto é, que a funções compostas de f e g e
de g e f são iguais, respectivamente, à função identidade de R e à
função identidade de ∗+R . De fato, tem-se:
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) xaafxgfxgf x
a
x log ====� , para todo x ∈ R ;
por outro lado, tem-se:
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )xaxgxfgxfg
x
a
logalog ====� , para todo x ∈ ∗
+R .
Sendo f e g inversas entre si, seus gráficos são simétricos em rela-
ção à reta y = x. Além disso, tem-se: ( ) ( )gImRfD ==∗+ e
( ) ( )gDRfIm == .
Exemplos:
1) Considere-se a função logarítmica do exemplo 1 anterior, ou seja,
a função ( ) ( )xxfy log2
== e a função exponencial de base 2, isto
181
é, a função ( ) x2xgy == .
Atribuindo-se valores convenientes à variável x em ambas as fun-
ções, obtêm-se os gráficos da Figura 4. Observe que o ponto ( )0,1
pertence ao gráfico de f e, portanto, o ponto ( )1,0 pertence ao grá-
fico de g .
FIGURA 4
2) Considere-se, agora, a função logarítmica do exemplo 2 anterior,
ou seja, a função ( ) ( )xxfy log21== e a função exponencial de ba-
se 2
1, isto é, a função ( )
x
2
1xfy �
�
���
�== .
Atribuindo-se valores convenientes à variável x em ambas as fun-
ções, obtêm-se os gráficos apresentados na Figura 5.
3) Considerando-se uma base genérica a, sendo 1a > , as funções
( ) ( )xxfy loga
== e ( ) xaxfy == têm os gráficos da Figura 6.
182
FIGURA 5
FIGURA 6
4) Considerando-se uma base genérica a, sendo 1a0 << , as funções
183
( ) ( )xxfy loga
== e ( ) xaxfy == têm os gráficos da Figura 7.
FIGURA 7
5) Dadas as funções ( ) xexfy == e ( ) xlnxgy == , determinar, a
partir delas, as funções )x(f)x(f1 −= , )x(g)x(g1 −= ,
)1x(f)x(f2 += e )1x(g)x(g2 += . Estudar cada uma delas quanto
ao domínio, imagem, paridade, sinal, gráfico e inversa.
(1) ( ) xexfy == e ( ) xlnxgy ==
A função ( ) xexfy == tem as propriedades da função exponencial
de base 1a > .
No caso da função ( ) xlnxgy == , esta é uma função logarítmica de
base e, isto é, ( )xxlny loge
== e, portanto, tem todas as proprie-
dades da função logarítmica de base 1a > .
Domínio: ( ) RfD = e ( ) ++= RgD .
Paridade:
• ( )
�
−≠=−
−
)x(f
xfe)x(f
x ; logo, f não é par, nem ímpar;
• função g: se 0x > , então 0x <− e, portanto, a função g não está
184
definida em x− . Logo, no caso particular dessa função, não é pos-
sível estudar a paridade.
Sinal: ( ) Rx,0xfy ∈∀>= ; ( ) ++∈∀∈= Rx,Rxgy .
Gráficos: são mostrados nas Figuras 8 e 9.
FIGURA 8
FIGURA 9
Observe, no caso da função exponencial, que, se 0x = , então 1y = ,
185
ou seja, ( )1,0 é o ponto de interseção do gráfico de f com o eixo
Oy. Uma vez que 0ex> , para todo número real x, o gráfico de f
não intercepta o eixo Ox.
No caso da função logarítmica, para 1x = , tem-se 0y = , isto é, o
ponto ( )0,1 é o ponto de interseção do gráfico de g com o eixo Ox.
Como o domínio da função é o conjunto ++R , o gráfico de g não
intercepta o eixo Oy.
Imagem: a partir do gráfico de f , pode-se verificar que:
( ) { }0y/RyfIm >∈= .
No caso da função g , a imagem é o conjunto dos números reais.
FIGURA 10
Inversa: verifica-se, pelo gráfico, que, considerando-se o contrado-
mínio de f como sendo o conjunto ++R , a função é bijetora em seu
domínio e, portanto, admite inversa. No caso da função logarítmica,
ela é bijetora em seu domínio. É fácil ver que essas duas funções são
a inversa uma da outra, pois: yexxlny =�= ;
isolou-se, assim, a variável x na função y = lnx. Trocando x por y,
obtém-se: xey = , ou seja, a inversa da função logarítmica de base e
186
é a função exponencial de base e:
( ) ( ) x11x e)x(gxlnxgyexln)x(fexfy =�===�==−− .
Assim:
( ) ( ) ( )gDRfImfD 1===
++− e ( ) ( ) ( )gImRfDfIm 1===
− .
Os gráficos de f e g , feitos anteriormente e mostrados na Figura
10, são simétricos em relação à reta y = x. Observe-se, por exemplo,
que o ponto ( )e,1 pertence ao gráfico de f e o ponto ( )1,e pertence
ao gráfico de g .
Estudam-se, a seguir, as variações de f e g .
(2) x1 e)x(f)x(fy −
=−== e ( )xln)x(g)x(gy 1 −=−==
Domínio: no caso da função 1f , o domínio é o conjunto dos núme-
ros reais. Já no caso de 1g , deve-se observar que é preciso que o lo-
garitmando seja positivo, ou seja, o raciocínio a ser utilizado é: se
0x < , então 0x >− ; logo, o domínio de 1g é: ( ) ∗−= RgD 1 .
Paridade:
• ( ) ( )
�
−≠==−
−−
)x(f
xfee)x(f
1
1xx1 ; logo, 1f não é par, nem ímpar;
• ( )( ) xlnxln)x(g1 =−−=− ; sendo x um número real negativo,
xln)x(g1 =− não está definido e, portanto, não é possível estudar a
paridade de 1g .
Sinal: 0e)x(fy x1 >==
− , para todo x ∈ D(f1);
( ) Rxln)x(gy 1 ∈−== , para todo ∗−∈ Rx .
Gráfico: representam-se, nas Figuras 11 e 12, para fins de compara-
ção, os gráficos de f e 1f e de g e 1g .
Imagem: a partir do gráfico, pode-se verificar que:
( ) ( )
( ) ( )��
�
==
==++
RgImgIm
RfImfIm
1
1 .
Inversa:
• assim como f , a função 1f é bijetora em seu domínio e, portanto,
admite inversa, dada por:
xlnyylnxylnxey x−=�−=�=−�=
− .
187
FIGURA 11
FIGURA 12
Assim: xln)x(fy 11 −==− .Quanto aos conjuntos domínio e imagem
da função inversa, tem-se:
( ) ( ) ++−== RfImfD 1
11 e ( ) ( ) RfDfIm 1
11 ==− .
• a função 1g também é bijetora em seu domínio e, portanto, admite
inversa:
188
( ) xyy eyexexxlny −=�−=�=−�−= .
Assim: x11 e)x(gy −==− . Quanto aos conjuntos domínio e imagem
da função inversa, tem-se:
( ) ( ) RgImgD 11
1 ==− e ( ) ( ) ∗
−−
== RgDgIm 11
1 .
Os gráficos de 1f e 11f− e 1g e 1
1g− são apresentados, respectiva-
mente, nas Figuras 13 e 14.
FIGURA 13
(3) 1x2 e)1x(f)x(fy +
=+== e ( )1xln)1x(g)x(gy 2 +=+==
Domínio: domínio da função 2f : R .
No caso de 2g , é preciso que o logaritmando seja estritamente posi-
tivo, isto é, deve-se ter 01x >+ . Assim, é preciso estudar a solução
desta inequação, isto é, determinar quais são os valores de x para os
quais se tem 01x >+ .
Isso equivale a estudar os sinais da função 1xy += ; para tanto, de-
termina-se, primeiramente, o zero dessa função, para, em seguida,
determinar os sinais que ela assume, como segue: 1x01x −=�=+
Têm-se, assim, os sinais da função 1xy += mostrados na Figura
15.
189
FIGURA 14
FIGURA 15
Verifica-se, pelo diagrama, que a função assume valores maiores do
que zero para valores de x maiores do que -1: x > -1 � y > 0. Logo,
( ) { }1x/RxgD 2 −>∈= .
Paridade:
• como anteriormente, 2f não é par, nem ímpar;
• não é possível estudar a paridade de 2g .
Sinal: ( ) 0exfy 1x2 >==
+− , para todo x ∈ R ;
( ) ( ) R1xlnxgy 2 ∈+== , para todo ( )2gDx ∈ .
Gráfico: as Figuras 16 e 17 mostram os gráficos de f e 2f e de g e
2g .
Observe que os gráficos de 2f e de 2g são os gráficos de f e de g ,
respectivamente, deslocados de uma unidade no sentido negativo do
eixo Ox.
190
FIGURA 16
FIGURA 17
Os gráficos de f e de 2f não se interceptam. Se isso ocorresse, ter-
se-ia:
( ) ( ) 101xxeexfxf 1xx2 =�+=�=�=
+ ,
que é falso. Assim, ( ) ( ) x,xfxf 2 ∀≠ .
191
Analogamente, não há interseção entre os gráficos de g e de 2g ,
pois:
( ) ( ) ( ) ( ) 101xx1xlnxlnxgxg 2 =�+=�+=�= ,
ou seja, não há ponto comum entre os gráficos, para nenhum valor
de x do domínio dessas funções.
Imagem: a partir dos gráficos de 2f e 2g , verifica-se que
( ) ++= RfIm 2 e ( ) RgIm 2 = .
FIGURA 18
Inversa:
• a função 2f , considerando-se como contradomínio o conjunto
++R , é bijetora em seu domínio e, portanto, admite inversa, dada
por:
( ) ( ) ( ) 1xlny,sejaou,1ylnxyln1xey 1x−=−=�=+�=
+ ;
assim: ( ) 1xln)x(fy 12 −==− . Os conjuntos domínio e imagem da
função inversa são:
( ) ( ) { }0x/RxfImfD 21
2 >∈==− e ( ) ( ) RfDfIm 2
12 ==− .
• a função 2g também é bijetora em seu domínio e, portanto, admite
inversa:
192
( ) 1ey1exe1x1xlny xyy−=�−=�=+�+= .
Logo, 1e)x(gy x12 −==− , sendo os conjuntos domínio e imagem:
( ) ( ) RgImgD 21
2 ==− e ( ) ( ) { }1x/RxgDgIm 2
12 −>∈==− .
Os gráficos de 2f e 12f − e 2g e 1
2g− são apresentados nas Figuras 18
e 19.
FIGURA 19
Exercícios propostos: dadas as funções ( ) xexfy == e
( ) xlnxgy == , determinar, a partir delas, as funções )x(f)x(f3 −=
e )x(g)x(g3 −= e 1)x(f)x(f4 += e 1)x(g)x(g4 += . Estudar ca-
da uma delas quanto ao domínio, imagem, paridade, sinal, gráfico e
inversa.
19 EQUAÇÃO LOGARÍTMICA
É uma equação cuja incógnita faz parte do logaritmando ou da base
de um logaritmo. Para resolver tal equação, utiliza-se, basicamente:
• a definição de logaritmo;
• o fato da função logarítmica ser injetora, isto é:
( ) ( )2a1a21 xxxx loglog ≠�≠ ,
ou, equivalentemente,
( ) ( ) 212a1axxxx loglog =�= ;
• as propriedades de logaritmos em uma mesma base.
Exemplos:
1) Resolver a equação ( ) ( )5x36x5 loglog33
−⋅=−⋅ .
Primeiramente, é preciso lembrar que somente estão definidos os lo-
garitmos cuja base é positiva e diferente de 1 e cujo logaritmando é
positivo. Assim, deve-se ter: 06x5 >−⋅ e 05x3 >−⋅ . Resolven-
do-se essas duas inequações do primeiro grau, conclui-se que os va-
lores de x que satisfazem ambas simultaneamente são tais que
3
5x > . Logo, apenas valores de x nesse intervalo infinito poderão
ser solução da equação dada. Passa-se, agora, à resolução da equa-
ção. Uma vez que se tem a igualdade de dois logaritmos na mesma
base, usando o fato da função logarítmica ser injetora, vem:
( ) ( )2
1x5x36x55x36x5 loglog
33=�−⋅=−⋅�−⋅=−⋅ .
Uma vez que esse valor de x é menor do que 3
5, conclui-se que esse
valor não é solução da equação dada, ou seja, o conjunto-solução é
vazio: Φ=S .
Observação: uma outra forma de se resolver a equação, mais prática
do que a anterior, é determinar o(s) possível(is) valor(es) de x que
satisfaz(em) a igualdade proposta e depois verificar se o(s) valor(es)
encontrado(s) torna(m) positivos todos os logaritmandos que figu-
ram na equação. No caso dessa equação, encontrou-se apenas o va-
lor 2
1x = . Substituindo esse valor nos logaritmandos, tem-se:
194
02
76
2
15
2
1x <−=−⋅�= ,
ou, então:
02
75
2
13
2
1x <−=−⋅�= .
É claro que basta testar em apenas um dos logaritmandos que figu-
ram na equação.
2) Resolver a equação ( ) 24x5x2 2
4log =+⋅+⋅ .
Tem-se, aqui, um outro tipo de equação logarítmica, que pode ser
resolvido usando a definição de logaritmo:
( ) baxb x
alog =⇔= .
Então, vem:
( ) �+⋅+⋅=�=+⋅+⋅ 4x5x2424x5x2 222
4log
2
3xou4x012x5x2 2
=−=∴=−⋅+⋅�
Testando os dois valores encontrados, tem-se:
• ( ) ( ) 016445424x2
>=+−⋅+−⋅�−=
• 01642
35
2
32
2
3x
2
>=+⋅+��
���
�⋅�= .
Logo, vem: �
��
−=2
3,4S .
3) Resolver a equação:
( ) ( ) ( ) ( )1xx31x2x34 loglogloglog2222
+−−=−⋅−⋅− .
Aplicando-se, a ambos os membros, a propriedade do logaritmo de
um quociente, vem:
��
���
�
+
−=�
�
���
�
−⋅
⋅−
1x
x3
1x2
x34loglog
22,
de onde se segue que:
1xou7x07x6x
3x7x24xx31x
x3
1x2
x34
2
22
=−=∴=−⋅+�
�−⋅+⋅−=++⋅−�+
−=
−⋅
⋅−
Vê-se facilmente que o valor x = -7 deve ser descartado. Assim,
195
{ }1S = .
4) Resolver a equação ( )[ ] ( ) 03x2x loglog4
2
4=−⋅− .
Observa-se, aqui, que se tem uma equação do 2o grau na variável
( )xlog4
. Chamando ( ) uxlog4
= , apenas para facilitar a resolução
da equação, vem:
( )[ ] ( ) 3uou1u03u2u03x2x 2
4
2
4loglog =−=�=−⋅−�=−⋅−
Então:
( )4
14x1x1u 1
4log ==�−=�−=
−
( ) 644x3x3u 3
4log ==�=�=
Logo, o conjunto-solução da equação é �
��
= 64,4
1S .
5) Resolver a equação ( ) ( ) ( ) 1xxx logloglog432
=++ .
Para que se possa operar com os logaritmos da equação, deve-se re-
duzi-los à mesma base. Escolhendo trabalhar, por exemplo, na base
2, tem-se:
( )( )
( )
( )
( )1
4
x
3
xx
log
log
log
loglog
2
2
2
2
2=++ .
Observando que ( ) 24log2
= , vem:
( )( )
( ) ( )
( )( )
( )( ) �=⋅
��
�
�
��
�
�+�=⋅
��
�
�
��
�
�++�
�=⋅+⋅+
1x3
1
2
31x
2
1
3
11
1x2
1x
3
1x
loglog
loglog
logloglog
log
22
22
222
2
( )
( )( ) ( )
( )
( )
( )( )
( ) 233
32x
32
233
1x1x
32
233
log
loglog
log
logloglog
log
log
2
2
2
2
2
222
2
+⋅
⋅=�
�
��
�
�
��
�
�
⋅
+⋅=�=⋅
��
�
�
��
�
�
⋅
+⋅�
196
Podem-se utilizar, aqui, algumas das propriedades dos logaritmos,
escrevendo:
( ) ( ) ( )9332 logloglog2
2
22==⋅
( ) ( ) ( )27333 logloglog2
3
22==⋅
( )42 log2
=
Portanto, vem:
( )( )
( ) ( )
( )
( )108
9
427
9x
log
log
loglog
loglog
2
2
22
2
2=
+= .
Chama-se atenção para o fato de que não existe uma propriedade pa-
ra o quociente de dois logaritmos, mas sim para o logaritmo de um
quociente. O que se pode fazer para tentar simplificar a expressão do
segundo membro é escrever os dois logaritmos na base 9 ou na base
108. Escolhendo a base 9, vem:
( )( )
( ) ( )2
1
2
99
loglog
loglog
99
9
2==
( )( )
( )2
108108
log
loglog
9
9
2= .
Então:
( )( )
( )
( )
( )( )9
108
1
2
108
2
1
x loglog
log
log
loglog
1089
9
9
9
2=== .
Obtém-se, finalmente, que: ( )9log
1082x = ,
o qual é um valor positivo e, portanto, é solução da equação dada.
Logo, ( )
�
��
=9log
1082S .
6) Resolver a equação ( ) 215x13x3 2
xlog =+⋅−⋅ .
A equação proposta se resolve de maneira análoga à equação do e-
xemplo 3:
197
( ) �=+⋅−⋅�=+⋅−⋅222
xx15x13x3215x13x3log
5xou2
3x015x13x2 2
==∴=+⋅−⋅�
Além de tornar positivo o logaritmando, os valores de x devem ser
positivos e diferentes de 1, já que a variável x está também na base
do logaritmo. Portanto, os dois valores encontrados satisfazem essas
condições, isto é, �
��
= 5,2
3S .
7) Resolver a equação:
( )( )
( )( )2x3x7x15x5 2
4x2
2
4x2loglog +⋅−=+⋅−⋅
−⋅−⋅.
Estando os dois logaritmos a mesma base, vem:
( )( )
( )( )
2
5xou
2
1x
05x12x42x3x7x15x5
2x3x7x15x5
222
2
4x2
2
4x2loglog
==∴
=+⋅−⋅�+⋅−=+⋅−⋅�
�+⋅−=+⋅−⋅−⋅−⋅
Os valores de x que podem ser solução da equação devem satisfazer
as condições:
���
���
≠−⋅>−⋅
>+⋅−
>+⋅−⋅
14x2e04x2
02x3x
07x15x5
2
2
.
Para 2
1x = , tem-se que 034x2 <−=−⋅ e para
2
5x = , tem-se que
14x2 =−⋅ . Assim, não é necessário verificar se as demais condi-
ções são satisfeitas, pois os valores obtidos para a variável x não
servem como solução da equação dada. Logo, Φ=S .
Exercícios propostos: resolver as equações:
(a) ( ) ( )20x4x41x14x5 2
2
2
2loglog −⋅−⋅=+⋅−⋅ { }( )7,3S:.R =
(b) ( )( )( ) 0xlogloglog43
2
1 = { }( )64S:.R =
198
(c) ( ) ( ) 43x3x loglog22
=++− { }( )5S:.R =
(d) ( ) 46x5x2 2
xlog =+⋅+⋅ ( )φ=S:.R
Observação: é possível, agora, resolver algumas equações exponen-
ciais que utilizam logaritmos em sua resolução, conforme se indicou
no estudo das equações exponenciais.
Método baseado na definição de logaritmo. Quando as equações ex-
ponenciais não podem ser reduzidas a uma igualdade de potências
de mesma base, utilizam-se os logaritmos e suas propriedades. Fun-
damentalmente, tem-se que, se a e b são tais que a > 0 e a ≠ 1 e b >
0, então:
( )bxba loga
x=⇔= .
Exemplos:
1) Dada a equação exponencial 32 3x2=
−⋅ , observa-se que não é
possível reduzi-la a uma igualdade de potências de mesma base,
pois:
( ) 244242
23232
232232
xx2
3x2
3
x23x23x2
=�=�
�⋅=�=�=⋅�=⋅
⋅−⋅−⋅
.
Observe que o número 24 não pode ser reduzido a uma potência de
base 4 ou 2. Então, tomando o logaritmo na base 4 de ambos os
membros da equação, vem:
( ) ( )244 loglog4
x
4= .
Uma vez que a função logarítmica é injetora, conclui-se que se dois
logaritmos de mesma base são iguais, então os logaritmandos tam-
bém são. Assim, vem:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )24x244x244 logloglogloglog4444
x
4=�=⋅�= .
Logo o conjunto solução da equação dada é ( ){ }24S log4
= .
2) Considere a equação 5,05 3x4=
−⋅ . Tem-se:
199
( ) ( ) ���
���
�=−⋅�=�=
−⋅−⋅
2
13x45,055,05 logloglog
55
3x4
5
3x4
( ) ( ) ( )
( )24
1
4
3x
23x4213x4
log
logloglog
5
555
−=�
�−=⋅�−=−⋅�
A solução pode ser escrita de outra forma equivalente, utilizando-se
algumas propriedades de logaritmo. Lembrando que:
( ) 3125log5
= e ( ) 4625log5
= ,
vem:
( )[ ]( )
( ) ( )[ ]�−⋅=�−⋅= 2125625
1x23
4
1x loglog
loglog
555
5
( )( )
( )
( )
( )
( )5,62x2
125x
5
2
5
1255x
loglog
log
log
log
loglog
625625
625
625
625
625
625
=���
���
�=�
����
�
���
�−⋅=�
Portanto, o conjunto solução é ( ){ }5,62S log625
= .
3) Dada a equação xxx 4931424 ⋅+⋅= , tem-se:
( ) ( ) 037
22
7
2737222
x2
x2xxx2x
=−��
���
�⋅−
��
�
�
��
�
���
���
��⋅−⋅⋅− .
Fazendo: x
7
2t �
�
���
�= ,
vem:
3tou1t03t2t2=−=�=−⋅− .
A solução t = -1 dessa equação do 2o grau não serve, pois t > 0, para
todo x. Para a solução t = 3, tem-se:
( ) ( )3x37
23
7
2logloglog
72
72
72
xx
=�=���
�
���
���
���
��=�
�
���
�,
ou seja, o conjunto solução da equação proposta é ( )�
��
= 3S log72 .
200
Exercícios propostos: resolver as equações:
(a) 27 x= ( )( ){ }�
���
�� =
2
7 2S:.R log
(b) 4x31x2 37 +⋅−⋅= ( )
��
�
�
��
�
�
��
�
��
��
= 567S:.R
27
49log
20 INEQUAÇÃO LOGARÍTMICA
É toda sentença matemática que exprime uma relação de desigual-
dade envolvendo logaritmos, nos quais a variável pode figurar no
logaritmando, na base do logaritmo, ou em ambos. Resolver uma i-
nequação significa determinar os valores da variável que a tornem
uma sentença numérica verdadeira.
Muitas das inequações logarítmicas podem, através de propriedades,
ser transformadas em outras equivalentes que possuam, nos dois
membros, logaritmos de mesma base a, sendo a < 0 ≠ 1. Lembrando
que a função logarítmica ( ) ( )xxf loga
= é crescente, quando a > 1,
e decrescente, quando a < 0 < 1, tem-se, para quaisquer números re-
ais positivos b e c, que:
• se a > 1 e ( ) ( )cb loglogaa
≥ , então b ≥ c;
• se a < 0 < 1 e ( ) ( )cb loglogaa
≥ , então b ≤ c.
Não se devem esquecer as restrições a que devem estar submetidos o
logaritmando e a base, na resolução das inequações logarítmicas.
Considerar-se-ão três tipos de tais inequações, conforme segue.
1o Tipo: ( )( ) ( )( )xgxf loglog
aa≥ .
Nesse tipo de inequação, em que se tem uma desigualdade entre dois
logaritmos de mesma base, tem-se, de acordo com o descrito acima,
que:
( )( ) ( )( )( ) ( )
( ) ( )���
<<≤
>≥�≥
1a0se,xgxf
1ase,xgxfxgxf loglog
aa.
Não se pode esquecer que os valores de x que satisfazem a inequa-
ção dada devem ser tais que tornem ambas as funções f e g estri-
tamente positivas. É claro que as conclusões acima são análogas, se
a desigualdade for estrita (>).
Esse primeiro tipo de inequação também pode ser proposto com a
desigualdade ≤ (ou <). Nesse caso, tem-se:
( )( ) ( )( )( ) ( )
( ) ( )���
<<≥
>≤�≤
1a0se,xgxf
1ase,xgxfxgxf loglog
aa.
Exemplos: resolver as inequações logarítmicas:
202
1) ( ) ( )91x5 loglog33
≥−⋅
Estando ambos os logaritmos da inequação na mesma base 3, que é
maior do que 1, tem-se:
( ) ( ) 010x591x591x5 loglog33
≥−⋅�≥−⋅�≥−⋅ .
Deve-se, portanto, resolver essa inequação do 1o grau. Tem-se:
2x010x5 =�=−⋅ ;
o estudo de sinal da função 10x5y −⋅= é mostrado na Figura 1.
FIGURA 1
Portanto, os valores de x que satisfazem essa inequação são aqueles
que são maiores ou iguais a 2. Não se pode esquecer de verificar se
esses valores de x tornam positivo o logaritmando, isto é, deve-se ter
01x5 >−⋅ , ou seja, deve-se ter 5
1x > . Conclui-se, assim, que o
conjunto solução da inequação dada é:
{ } [ )∞+=≥∈= ,2Sou2x/RxS .
2) ( ) ( )5x4x loglog21
21
2>⋅−
Primeiramente, analisar-se-ão quais são os valores de x que tornam
o logaritmando positivo, isto é, para que valores de x se tem
0x4x2>⋅− . Isso significa resolver essa inequação do 2
o grau.
Faz-se:
4xou0x0x4x2==�=⋅− ;
assim, tem-se o estudo de sinal da função x4xy 2⋅−= da Figura 2.
FIGURA 2
Logo, os valores de x que satisfizerem a desigualdade proposta de-
verão ser menores do que 0 ou maiores do que 4. Passa-se, então, à
resolução da inequação; uma vez que a base está entre 0 e 1, tem-se:
203
( ) ( ) 05x4x5x4x5x4x 222 loglog21
21 <−⋅−�<⋅−�>⋅− .
Tem-se, novamente, uma inequação quadrática para ser resolvida.
Assim, vem:
5xou1x05x4x2=−=�=−⋅− ;
logo, tem-se o estudo de sinal da função 5x4xy 2−⋅−= da Figura
3.
FIGURA 3
Vê-se, assim, que satisfazem a inequação 05x4x2<−⋅− os valo-
res de x que estão entre –1 e 5. É preciso, agora, fazer a interseção
das soluções parciais (I) e (II), mostrada na Figura 4.
FIGURA 4
Vê-se que o conjunto-solução da inequação dada é:
{ } ( ) ( )5,40,15x40x1/RxS �−=<<∨<<−∈= .
2o Tipo: ( )( ) kxflog
a≥ .
Nesse tipo de inequação, utiliza-se uma das conseqüências da defi-
nição de logaritmo de um número real positivo e expressa-se o nú-
mero k na forma:
( ) ( )k
aaaakk loglog =⋅= .
Dessa forma a inequação fica:
( )( ) ( )k
aaaxf loglog ≥ ,
que é uma inequação do 1o tipo, visto anteriormente. Assim, tem-se:
204
( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( )��
���
<<≤
>≥�≥
1a0se,axf
1ase,axfaxf
k
kk
aaloglog .
Novamente, devem-se ter valores de x que tornem a função f estri-
tamente positiva. As conclusões acima são as mesmas, se a desi-
gualdade for estrita (>); além disso, usa-se procedimento análogo
para a desigualdade ≤ (ou <). Nesse caso, tem-se:
( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( )��
���
<<≥
>≤�≤
1a0se,axf
1ase,axfaxf
k
kk
aaloglog .
Exemplos: resolver as inequações logarítmicas:
1) ( ) 15xlog21 −>−
A restrição que se tem aqui é que 05x >− , ou seja, deve-se ter
5x > . A inequação dada pode ser reescrita na forma:
( ) ( )1
2
15x
2
115x loglogloglog
21
21
21
21
−
��
�
�>−��
�
�
�⋅−>− .
Uma vez que a base está entre 0 e 1, vem:
07x25x2
15x
1
<−�<−���
�
�<−
−
.
Resolvendo-se essa inequação do primeiro grau como anteriormen-
te, conclui-se que se deve ter 7x < . Uma vez que a restrição do lo-
garitmando exige que x > 5, conclui-se que os valores de x que satis-
fazem a inequação dada são os que são maiores do que 5 e menores
do que 7, ou seja, o conjunto-solução é:
{ } ( )7,57x5/RxS =<<∈= .
2) ( ) ( )x1x2 loglog3
2
3+>+
Primeiramente, analisar-se-ão quais são os valores de x que tornam
os dois logaritmandos positivos. É fácil ver que 0x2 2>+ , para to-
do número real x que se tome, ou seja, não há restrições para o loga-
ritmando do primeiro membro da inequação. Quanto ao que está no
segundo membro, vê-se que x deve ser estritamente positivo.
Passa-se, agora, à resolução da inequação propriamente dita. Tem-
205
se:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )�+>+�+>+ x3x2x1x2 logloglogloglog33
2
33
2
3
( ) ( )x3x2 loglog3
2
3⋅>+� ,
onde foram utilizadas conseqüência e propriedade de logaritmos.
Sendo a base maior do que 1, vem:
0x3x2x3x2 22>⋅−+�⋅>+ .
Novamente, há uma inequação do 2o grau para ser resolvida. Tem-
se:
2xou1x02x3x2==�=+⋅− ,
e, portanto, o estudo de sinal da função 2x3xy 2+⋅−= é como
mostra a Figura 5.
FIGURA 5
Vê-se, assim, que satisfazem a inequação 02x3x2>+⋅− os valo-
res de x que são menores do que 1 ou maiores do que 2. Como há a
restrição de que x deve ser maior do que zero, conclui-se que o con-
junto-solução da inequação dada é:
{ } ( ) ( )+∞=>∨<<∈= ,21,02x1x0/RxS � .
3o Tipo: Nesse caso, as inequações são resolvidas fazendo-se, inici-
almente, uma mudança de variáveis. Depois, recai-se no caso anteri-
or.
Exemplos: resolver as inequações logarítmicas:
1) ( )[ ] ( ) 02xx loglog7
2
7>−+
O único logaritmo que aparece na inequação é ( )xlog7
; assim, a
restrição que se tem é que 0x > . Uma vez que o ( )xlog7
aparece
ao quadrado, constata-se que se tem uma inequação do 2o grau na
variável ( )xlog7
. Faz-se, então, a mudança de variável:
206
( ) txlog7
= ,
e obtém-se:
02tt2>−+ .
Assim vem:
1tou2t02tt2=−=�=−+ .
A Figura 6 mostra o estudo de sinal da função 2tty 2−+= .
FIGURA 6
Logo, os valores de t que satisfazem a inequação 02tt2>−+ são
aqueles que são menores do que –2 ou maiores do que 1, ou seja,
tem-se:
• 2t −< :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2
777777x72x2x logloglogloglog
−<�⋅−<�−< ;
sendo a base maior do que 1, vem:
( )49
1x
7
1x7x
22
<���
�
�<�<
−.
• 1t > :
( ) ( ) ( ) 7x7x1x logloglog777
>�>�> .
Lembrando que se deve ter x > 0, conclui-se que o conjunto-solução
da inequação logarítmica dada é:
( )+∞��
�
�=
� �
���
>∨<<∈= ,749
1,07x
49
1x0/RxS � .
21 FUNÇÕES HIPERBÓLICAS
As funções hiperbólicas foram introduzidas em 1757, por Vicenzo
Riccati. Essas funções descrevem o movimento de ondas em sólidos
elásticos e a forma de fios flexíveis e homogêneos, quando suspen-
sos entre dois pontos na mesma altura, como, por exemplo, os fios
da rede elétrica entre dois postes.
As funções hiperbólicas são análogas, em muitos aspectos, às fun-
ções trigonométricas e têm a mesma relação com a hipérbole que as
funções trigonométricas têm com o ciclo trigonométrico.
Primeiramente, é preciso recordar a definição de medida de um ân-
gulo no ciclo trigonométrico, em radianos: um ângulo mede θ radi-
anos se o arco de circunferência determinado por ele mede θ unida-
des de comprimento.
FIGURA 1
Sabendo que um ângulo de θ radianos determina um setor circular
de área 2
θ unidades de área no ciclo trigonométrico, pode-se dizer
que um ângulo mede θ radianos se o setor circular determinado por
ele mede 2
θ unidades de área.
Na Figura 1, tem-se que a área do setor circular AOP é: θ⋅=2
1As .
Esta é a maneira usada para definir medidas de ângulos na hipérbo-
208
le, ou seja, é preciso calcular a área do setor hiperbólico determina-
do. Um ponto sobre a hipérbole de equação 1yx 22=− define um
setor OAP e um ângulo POA (Figura 2).
FIGURA 2
Diz-se que o ângulo POA mede θ se a área do setor OAP é igual a
2
θ unidades de área.
Definição das funções hiperbólicas
Considere-se a hipérbole de equação 1yx 22=− e seu gráfico no
plano Oxy. Tomando-se um ponto P sobre a curva, de modo que o
setor OAP tenha área 2
θ unidades, o ângulo POA tem medida θ .
Seja t a reta tangente à hipérbole em A (Figura 3).
Definem-se:
• cosseno hiperbólico de θ : OQcosh =θ ;
• seno hiperbólico de θ : QPsenh =θ ;
• tangente hiperbólica de θ : ARtgh =θ .
Além dessas funções, têm-se as seguintes:
209
• cotangente hiperbólica de θ : θ
=θtgh
1ghcot ;
• secante hiperbólica de θ : θ
=θcosh
1hsec ;
• cossecante hiperbólica de θ : θ
=θsenh
1hseccos .
FIGURA 3
Relações para as funções hiperbólicas
1) O ponto P pertence à hipérbole; logo, suas coordenadas satisfa-
zem a equação da curva, ou seja:
( ) ( ) 1senhcoshou1QPOQ1yx 222222=θ−θ=−�=−
2) Na Figura 3, vê-se que os triângulos OQP e OAR são semelhan-
tes. Então:
θ
θ=θ=
cosh
senhtgh,sejaou,
OQ
QP
1
AR
3) Usando-se as relações anteriores, provam-se as seguintes relações
conseqüentes:
• θ=θ
=θ
θ−θ=
θ
θ−=θ−
2
22
22
2
22 hsec
cosh
1
cosh
senhcosh
cosh
senh1tgh1
210
θ=θ−∴22 hsectgh1
• θ=θ
=θ
θ−θ=
θ
θ=−θ
2
22
22
2
22 hseccos
senh
1
senh
coshsenh
senh
cosh1ghcot
θ=−θ∴22 hseccos1ghcot
Expressão para senhθθθθ e coshθθθθ em função de eθθθθ
Considerando-se, novamente, a hipérbole de equação 1yx 22=− , a
qual é obtida da hipérbole de equação 1yx =⋅ , através da rotação
de um ângulo de 4
π nos eixos Ox e Oy, e a definição de medida de
ângulos na hipérbole, mostra-se que:
2
eesenh
θ−θ−
=θ e que 2
eecosh
θ−θ+
=θ .
Dessas duas expressões, seguem-se as seguintes:
(a) θθ−θθ−θ
=+
+−
=θ+θ e2
ee
2
eecoshsenh ;
(b) θ−θ
θ−θ
θ−θ
θ−θ
+
−=
+
−
=θ
θ=θ
ee
ee
2
ee
2
ee
cosh
senhtgh ;
Equivalentemente, pode-se escrever:
1e
1e
e
1e
e
1e
e
1e
e
1e
ee
eetgh
2
2
2
2
+
−=
+
−
=
+
−
=+
−=θ
θ⋅
θ⋅
θ
θ⋅
θ
θ⋅
θ
θ
θ
θ
θ−θ
θ−θ
;
(c) 1e
1eghcotou
ee
ee
tgh
1ghcot
2
2
−
+=θ
−
+=
θ=θ
θ⋅
θ⋅
θ−θ
θ−θ
;
(d) θ−θ
+=
θ=θ
ee
2
cosh
1hsec ;
(e) θ−θ
−=
θ=θ
ee
2
senh
1hseccos .
211
Gráficos e propriedades
1) Seno hiperbólico
Considere-se a função 2
eesenhxy
xx −−
== . Pode-se escrever:
��
���
�⋅−+⋅==
−xx e2
1e
2
1senhxy .
Assim, para obter o gráfico da função senhxy = , constroem-se os
gráficos das funções exponenciais x1 e
2
1y ⋅= e x
2 e2
1y −
⋅−= e
somam-se as respectivas ordenadas.
Por exemplo, para x = 0, tem-se:
02
1
2
1yyy
2
1e
2
1y
2
1e
2
1y
0x 210
2
01
=��
���
�−+=+=�
��
��
�
−=⋅−=
=⋅=
�=−
.
Logo, o ponto ( )0,0 pertence ao gráfico da função senhxy = . Ob-
serve-se, ainda, que, como 0ex> e 0e x
>− , para todo número real
x, vem:
(I) xxxxxxxx eeeeee0e00e −−−−−<−�−<−�<�>
(II) xxxxxxxx eeee0ee0e0e <−�+<+−�<−�>−−−−
De (I) e (II), conclui-se que: xxxx eeee <−<−
−− ,
ou seja,
2
e
2
ee
2
e xxxx
<−
<−
−−
,
ou, ainda,
2
esenhx
2
e xx
<<−
−
.
Logo, o gráfico da função senhxy = situa-se entre os gráficos das
funções x1 e
2
1y ⋅= e x
2 e2
1y −
⋅−= . Além disso, a função
senhxy = é ímpar, pois:
( )( )
senhx2
ee
2
ee
2
eexsenh
xxxxxx
−=−
−=−
=−
=−
−−−−−
;
212
portanto, seu gráfico apresenta simetria em relação à origem do sis-
tema de coordenadas cartesianas ortogonais, como se pode ver na
Figura 4.
FIGURA 4
Têm-se, assim, as seguintes propriedades para a função
( ) senhxxf = :
(1) ( ) RfD = e ( ) RfIm = , ou seja, +∞<<∞− senhx . Logo, a fun-
ção senhxy = não é uma função limitada, como ocorre com a fun-
ção trigonométrica senxy = ;
(2) a função é ímpar;
(3) a função é estritamente crescente;
(4) a função é bijetora;
(5) os gráficos das funções x1 e
2
1y ⋅= e x
2 e2
1y −
⋅−= são assínto-
tas curvilíneas do gráfico de f .
2) Cosseno hiperbólico
Considere-se a função 2
eexcoshy
xx −+
== , que pode ser escrita
na forma:
213
xx e2
1e
2
1xcoshy −
⋅+⋅== .
Portanto, para obter o gráfico da função xcoshy = , constroem-se os
gráficos das funções exponenciais x1 e
2
1y ⋅= e x
2 e2
1y −
⋅= e so-
mam-se as respectivas ordenadas.
Por exemplo, para x = 0, tem-se:
12
1
2
1yyy
2
1e
2
1y
2
1e
2
1y
0x 210
2
01
=+=+=�
��
��
�
=⋅=
=⋅=
�=−
.
Logo, o ponto ( )1,0 pertence ao gráfico da função xcoshy = . Além
disso, a função xcoshy = é par, pois:
( )( )
xcosh2
ee
2
ee
2
eexcosh
xxxxxx
=+
=+
=+
=−
−−−−−
;
portanto, seu gráfico apresenta simetria em relação ao eixo Oy, co-
mo se pode ver na Figura 5.
FIGURA 5
Têm-se, assim, as seguintes propriedades para a função
( ) xcoshxf = :
(1) ( ) RfD = e ( ) [ )+∞= ,1fIm , ou seja, +∞<≤ xcosh1 . Portanto, a
função xcoshy = não é uma função limitada, como ocorre com a
função trigonométrica xcosy = ;
(2) a função é par;
(3) a função é decrescente, para 0x < , e crescente, para 0x > ;
214
(4) os gráficos das funções x1 e
2
1y ⋅= e x
2 e2
1y −
⋅= são assíntotas
curvilíneas do gráfico de f .
Observação: Prova-se, usando os princípios da Física, que um cabo
flexível (como, por exemplo, uma linha telefônica ou um cabo de e-
letricidade) suspenso entre dois pontos de mesma altura assume a
forma de uma curva, chamada catenária, cuja equação é
��
���
�⋅=
b
xcoshay , onde a e b são constantes adequadas ao problema.
3) Tangente hiperbólica
Considere-se, a função xx
xx
ee
eetghxy
−
−
+
−== .
Essa função está definida para todos os números reais, já que o de-
nominador é sempre positivo.
Para x = 0, tem-se:
( ) 011
11
ee
ee0tgh0x
00
00
=+
−=
+
−=�=
−
−
.
Logo, o ponto ( )0,0 pertence ao gráfico da função tghxy = . Além
disso, a função tghxy = é ímpar, pois:
( )( )( )
tghxxcosh
senhx
xcosh
xsenhxtgh −=
−=
−
−=− ;
pode-se, também, fazer:
( )( ) ( )
( ) ( )tghx
ee
ee
ee
ee
ee
eextgh
xx
xx
xx
xx
xx
xx
−=+
−−=
+
−=
+
−=−
−
−
−
−
−−−
−−−
.
Assim, seu gráfico apresenta simetria em relação à origem do siste-
ma de coordenadas cartesianas ortogonais. Observe-se, ainda, que:
(I) 1tghxee
ee
ee
eeeeee
xx
xx
xx
xxxxxx
<�+
+<
+
−�+<−
−
−
−
−−−
(II) ( ) �−<+−�−<−−�<−−−−− xxxxxxxxxx eeeeeeeeee
tghx1ee
ee
ee
eexx
xx
xx
xx
<−�+
−<
+
+−�
−
−
−
−
De (I) e (II), conclui-se que 1tghx1 <<− , ou seja, a função
tghxy = é limitada. A Figura 6 mostra o gráfico de f .
215
FIGURA 6
Têm-se as seguintes propriedades para a função ( ) tghxxf = :
(1) ( ) RfD = e ( ) ( )1,1fIm −= , ou seja, 1tghx1 <<− . Portanto, a
função tghxy = é limitada, ao contrário do que ocorre com a fun-
ção trigonométrica tgxy = ;
(2) a função é ímpar;
(3) a função é estritamente crescente;
(4) a função é bijetora em seu domínio;
(5) as retas y = -1 e y = 1 são assíntotas horizontais do gráfico de f .
4) Cotangente hiperbólica
Considere-se a funçãoxx
xx
ee
eeghxcoty
−
−
−
+== .
Observe-se que, para que a função esteja definida, deve-se ter:
0ee xx≠−
− , ou seja:
0e
1e0
e
1e
x
x2
x
x≠
−�≠−
⋅
.
Uma vez que Rx,0ex∈∀> , vem:
1e,sejaou,01e x2x2≠≠−
⋅⋅ .
Para que isso ocorra, deve-se ter 0x2 ≠⋅ , isto é, 0x ≠ .
Assim, o domínio da função ghxcoty = é:
{ } ( ) ( )+∞∪∞−=−==∗ ,00,0RRD .
A função ghxcoty = é ímpar, pois:
216
( )( )
ghxcottghx
1
xtgh
1xghcot −=−=
−=− ;
pode-se, também, fazer:
( )( ) ( )
( ) ( )ghxcot
ee
ee
ee
ee
ee
eexghcot
xx
xx
xx
xx
xx
xx
−=−
+−=
−
+=
−
+=−
−
−
−
−
−−−
−−−
.
Logo, seu gráfico apresenta simetria em relação à origem do sistema
de coordenadas cartesianas ortogonais. Observe-se, ainda, que:
(I) para 0x > , tem-se:
ghxcot1ee
ee
ee
eeeeee
xx
xx
xx
xxxxxx
<�−
+<
−
−�+<−
−
−
−
−−−
(II) para 0x < , tem-se que xx ee −< e, portanto, 0ee xx
<−− . En-
tão, vem:
( ) �+<−−�+<+−�<−−−−− xxxxxxxxxx eeeeeeeeee
1ghxcotoughxcot1ee
ee
ee
eexx
xx
xx
xx
−<>−�−
+>
−
−−�
−
−
−
−
De (I) e (II), conclui-se que 1ghxcot −< ou 1ghxcot > e, portanto,
a função não é limitada. A Figura 7 mostra o gráfico de f.
FIGURA 7
217
Têm-se as seguintes propriedades para a função ( ) ghxcotxf = :
(1) ( ) { }0RfD −= e ( ) ( ) ( )+∞∪−∞−= ,11,fIm ;
(2) a função é ímpar;
(3) a função é estritamente decrescente;
(4) a função é bijetora em seu domínio;
(5) as retas y = -1 e y = 1 são assíntotas horizontais e a reta x = 0 é
assíntota vertical do gráfico de f .
5) Secante hiperbólica
Considere-se a função xx
ee
2hxsecy
−+
== .
Assim como ocorre com a função tghxy = , o domínio dessa função
é R . Para x = 0, tem-se:
( ) 111
2
ee
20hsec0x
00=
+=
+=�=
−,
ou seja, o ponto ( )1,0 pertence ao gráfico da função.
A função hxsecy = é par, pois:
( )( )
hxsecxcosh
1
xcosh
1xhsec ==
−=− ;
pode-se, também, fazer:
( )( ) ( )
hxsecee
2
ee
2xhsec
xxxx=
+=
+=−
−−−−.
Logo, seu gráfico apresenta simetria em relação ao eixo Oy. Obser-
ve-se, ainda, que 0hxsec > , para todo número real x. Além disso,
tem-se:
xx
xxxx
xxxx
xx
ee
21
ee
2
ee
ee2ee1
2
ee1xcosh
−
−−
−−
−
+≥�
�+
≥+
+�≥+�≥
+�≥
Conclui-se, assim, que 1hxsec0 ≤< e, portanto, a função é limita-
da. Na Figura 8 vê-se o seu gráfico.
Têm-se as seguintes propriedades para a função ( ) hxsecxf = :
(1) ( ) RfD = e ( ) ( ]1,0fIm = ;
(2) a função é par;
(3) a função é crescente, para 0x < , e decrescente, para 0x > ;
(4) a reta y = 0 é assíntota horizontal do gráfico de f e a reta y = 1 é
218
tangente ao gráfico no ponto ( )1,0 .
FIGURA 8
6) Cossecante hiperbólica
Considere-se a função xx ee
2hxseccosy
−−
== .
A exemplo da análise que se fez para a função ghxcoty = , para que
a função esteja definida, deve-se ter:
0ee xx≠−
− .
Repetindo-se o procedimento efetuado anteriormente, conclui-se que
o domínio da função dessa função é:
{ } ( ) ( )+∞∪∞−=−==∗ ,00,0RRD .
A função hxseccosy = é ímpar, pois:
( )( )
hxseccossenhx
1
xsenh
1xhseccos −=−=
−=− ;
ou:
( )( ) ( )
hxseccosee
2
ee
2
ee
2xhseccos
xxxxxx−=
−−=
−=
−=−
−−−−−.
Logo, seu gráfico apresenta simetria em relação à origem do sistema
de coordenadas cartesianas ortogonais. Observe-se, ainda, que:
(I) para 0x > , tem-se:
0hxseccos0eeee xxxx>�>−�>
−−
(II) para 0x < , tem-se:
0hxseccos0eeee xxxx<�<−�<
−−
A Figura 9 mostra o gráfico da função.
Têm-se as seguintes propriedades para a função ( ) hxseccosxf = :
219
(1) ( ) { }0RfD −= e ( ) { }0RfIm −= ;
(2) a função é ímpar;
(3) a função é estritamente decrescente;
(4) a função é bijetora em seu domínio;
(5) as retas y = 0 e x = 0 são, respectivamente, assíntotas horizontal
e vertical do gráfico de f .
FIGURA 9
Funções hiperbólicas inversas
1) Função inversa da função seno hiperbólico
Considere-se a função 2
eesenhxy
xx −−
== ; conforme se viu, essa
função tem domínio e imagem iguais a R, ou seja, a função é tal
que:
senhxyx
RR:f
=
→
� ,
sendo bijetora. Assim, é possível definir sua inversa, que também te-
rá domínio e imagem iguais a R e será denotada por xsenh 1− . Ou
seja, define-se a função:
220
xsenhyx
RR:f
1
1
−
−
=
→
�.
A função inversa do seno hiperbólico é também chamada argumento
do seno hiperbólico e denotada por senhxargy = .
Para se obter a expressão da função inversa, procede-se da maneira
usual:
(a) isola-se a variável x na expressão 2
eesenhxy
xx −−
== :
01ey2e1eey2
e
1ey2eey2
2
eey
xx2x2x
x
xxxxx
=−⋅⋅−�−=⋅⋅�
�−=⋅�−=⋅�−
=
⋅⋅
−−
Tem-se, assim, uma equação do 2º grau na variável xe , pois:
( ) 01ey2e01ey2e x2xxx2=−⋅⋅−�=−⋅⋅−
⋅ ;
então:
( )1y44y4 22+⋅=+⋅=∆
e vem:
1yy2
1y2y2e 2
2x
+±=+⋅±⋅
= .
Uma vez que 0ex> , para todo número real x, despreza-se a raiz
1yy 2+− , pois:
22 yyyyeyy ≤∴=≤ ;
então:
01yy1yyyy 222<+−�+<�≤ .
Conclui-se, assim, que:
1yye 2x++= ,
de onde se segue que:
���
��� ++= 1yylnx 2 .
(b) trocam-se as variáveis x e y, para se obter a expressão da função
inversa com y em função de x e tem-se:
���
��� ++==�
��
��� ++=
− 1xxlnxsenhy,sejaou1xxlny 212 .
221
Lembrando que os gráficos de duas funções inversas entre si são si-
métricos em relação à reta de equação xy = , obtém-se o gráfico de
1f − (Figura 10).
FIGURA 10
2) Função inversa da função cosseno hiperbólico
Considere-se a função 2
eexcoshy
xx −+
== ; nesse caso, seu con-
junto domínio é R e seu conjunto imagem é [ )+∞,1 . Tomando-se:
[ )
xcoshyx
,1R:f
=
+∞→
� ,
tem-se que a função é sobrejetora, mas não é injetora e, portanto,
não admite inversa. Para que seja possível definir sua inversa, faz-se
uma restrição no conjunto domínio: usualmente, consideram-se ape-
nas os números reais maiores ou iguais a zero, isto é, toma-se o con-
junto [ )+∞=+ ,0R , embora se pudesse tomar, alternativamente, o
conjunto ( ]0,∞− como domínio da função xcosh .
Tem-se, assim, a função:
[ ) [ )
xcoshyx
,1,0:f
=
+∞→+∞
�.
222
Dessa forma, f torna-se bijetora e pode-se determinar sua inversa,
que será:
[ ) [ )
xcoshyx
,0,1:f
1
1
−
−
=
+∞→+∞
�.
Obtém-se, agora, a expressão da função inversa:
(a) isola-se a variável x na expressão 2
eexcoshy
xx −+
== :
01ey2e1eey2
e
1ey2eey2
2
eey
xx2x2x
x
xxxxx
=+⋅⋅−�+=⋅⋅�
�+=⋅�+=⋅�+
=
⋅⋅
−−
Resolve-se a equação do 2º grau na variável xe :
( ) 01ey2e01ey2e x2xxx2=+⋅⋅−�=+⋅⋅−
⋅ ;
então:
( )1y44y4 22−⋅=−⋅=∆
e vem:
1yy2
1y2y2e 2
2x
−±=−⋅±⋅
= .
Uma vez que 1y ≥ , segue-se que ambas as raízes são positivas e
podem se consideradas. Assim, vem:
1yye 2x−+= , ou 1yye 2x
−−=
De 1yye 2x−+= , vem que �
��
��� −+= 1yylnx 2 , que é maior ou
igual a zero, já que o logaritmando é maior ou igual a 1.
De 1yye 2x−−= , vem que �
��
��� −−= 1yylnx 2 , que é menor ou
igual a zero, já que o logaritmando é menor ou igual a 1. Como, pela
definição da função f , tem-se que 0x ≥ , conclui-se que
���
��� −+= 1yylnx 2 .
(b) trocam-se as variáveis x e y, para se obter a expressão da função
inversa com y em função de x e tem-se:
���
��� −+==�
��
��� −+=
− 1xxlnxcoshy,sejaou1xxlny 212 .
A Figura 11 mostra os gráficos das duas funções f e 1f − , que são
223
simétricos em relação à reta de equação xy = .
FIGURA 11
3) Função inversa da função tangente hiperbólica
Considere-se a função 1e
1e
ee
eetghxy
x2
x2
xx
xx
+
−=
+
−==
⋅
⋅
−
−
; conforme se
viu, essa função tem domínio igual a R e imagem ( )1,1− , ou seja, a
função é tal que:
( )
tghxyx
1,1R:f
=
−→
� ,
sendo bijetora. Assim, é possível definir sua inversa, cujo conjunto
domínio será ( )1,1− e cuja imagem será R , e será denotada por
xtgh 1− , isto é:
( )
xtghyx
R1,1:f
1
1
−
−
=
→−
�.
Obtenção de 1f − :
(a) isola-se a variável x na expressão da função
1e
1e
ee
eetghxy
x2
x2
xx
xx
+
−=
+
−==
⋅
⋅
−
−
:
( ) ( )
���
����
�
−
+⋅=���
�
����
�
−
+=⋅�
−
+=
−
+−=�
�−−=−⋅�−=+⋅�+
−=
⋅
⋅⋅⋅
⋅
⋅
y1
1yln
2
1x
y1
1ylnx2
y1
1y
1y
1ye
1y1ye1e1ey1e
1ey
x2
x2x2x2
x2
x2
224
Uma vez que se tem 1y1 <<− , a expressão y1
1y
−
+ é sempre positi-
va.
(b) trocam-se as variáveis x e y e tem-se:
��
���
�
−
+⋅==�
�
���
�
−
+⋅=
−
x1
1xln
2
1xtghy,sejaou
x1
1xln
2
1y 1 .
Os gráficos de f e de 1f − são mostrados na Figura 12.
FIGURA 12
3) Função inversa da função cotangente hiperbólica
Considere-se a função 1e
1e
ee
eeghxcoty
x2
x2
xx
xx
−
+=
−
+==
⋅
⋅
−
−
; conforme
se viu, essa função tem domínio igual a { }0R − e imagem
( ) ( )+∞∪−∞− ,11, , ou seja, a função é tal que:
{ } ( ) ( )
ghxcotyx
,11,0R:f
=
+∞∪−∞−→−
� ,
sendo bijetora em seu domínio. Assim, é possível definir sua inver-
sa, cujo conjunto domínio será ( ) ( )+∞∪−∞− ,11, e cuja imagem se-
rá { }0R − , e será denotada por xghcot 1− , isto é:
225
( ) ( ) { }
xghcotyx
0R,11,:f
1
1
−
−
=
−→+∞∪−∞−
�.
Obtenção de 1f − :
(a) isola-se a variável x na expressão da função
1e
1e
ee
eeghxcoty
x2
x2
xx
xx
−
+=
−
+==
⋅
⋅
−
−
:
( ) ( )
���
����
�
−
+⋅=���
�
����
�
−
+=⋅�
−
+=�
�+=−⋅�+=−⋅�−
+=
⋅
⋅⋅⋅
⋅
⋅
1y
1yln
2
1x
1y
1ylnx2
1y
1ye
1y1ye1e1ey1e
1ey
x2
x2x2x2
x2
x2
Uma vez que se tem ( ) ( )+∞∪−∞−∈ ,11,y , a expressão 1y
1y
−
+ é
sempre positiva.
(b) trocam-se as variáveis x e y e tem-se:
��
���
�
−
+⋅==�
�
���
�
−
+⋅=
−
1x
1xln
2
1xghcoty,sejaou
1x
1xln
2
1y 1 .
Os gráficos de f e de 1f − são mostrados na Figura 13.
FIGURA 13
226
5) Função inversa da função secante hiperbólica
Considere-se a função xx
ee
2hxsecy
−+
== ; nesse caso, seu con-
junto domínio é R e seu conjunto imagem é ( ]1,0 , ou seja, tem-se a
função:
( ]
hxsecyx
1,0R:f
=
→
� .
Observe que a função é sobrejetora, mas não é injetora e, portanto,
não admite inversa. Para que seja possível definir sua inversa, faz-se
uma restrição no conjunto domínio: consideram-se apenas os núme-
ros reais maiores ou iguais a zero, isto é, toma-se o conjunto
[ )+∞=+ ,0R . Tem-se, assim, a função:
[ ) ( ]
hxsecyx
1,0,0:f
=
→+∞
�.
Dessa forma, f torna-se bijetora e pode-se determinar sua inversa,
que será:
( ] [ )
xhsecyx
,01,0:f
1
1
−
−
=
+∞→
�.
Obtém-se, agora, a expressão da função inversa:
(a) isola-se a variável x na expressão xx
ee
2hxsecy
−+
== :
( )
0ye2ey
e21ey1e
e2y
e
1e
2y
ee
2y
xx2
xx2
x2
x
x
xxx
=+⋅−⋅�
�⋅=+⋅�+
⋅=�
+
=�+
=
⋅
⋅
⋅−
Resolve-se a equação do 2º grau na variável xe :
( ) 0ye2ey0ye2ey x2xxx2=+⋅−⋅�=+⋅−⋅
⋅ ;
então:
( )22 y14y44 −⋅=⋅−=∆
e vem:
y
y11
y2
y122e
22x −±
=⋅
−⋅±= .
Uma vez que 1y0 ≤< , segue-se que ambas as raízes são positivas e
227
podem se consideradas. Assim, vem:
y
y11e
2x −+
= , ou y
y11e
2x −−
= .
De y
y11e
2x −+
= , vem que ���
�
�
���
�
� −+=
y
y11lnx
2
, que é maior ou
igual a zero, já que o logaritmando é maior ou igual a 1.
De y
y11e
2x −−
= , vem que ���
�
�
���
�
� −−=
y
y11lnx
2
, que é menor ou
igual a zero, já que o logaritmando é menor ou igual a 1. Uma vez
que, pela definição da função f , tem-se que 0x ≥ , conclui-se que
���
�
�
���
�
� −+=
y
y11lnx
2
.
(b) trocam-se as variáveis x e y, para se obter a expressão da função
inversa com y em função de x e tem-se:
��
�
�
��
�
� −+==
��
�
�
��
�
� −+=
−
x
x11lnxhsecy,sejaou
x
x11lny
21
2
.
A Figura 14 mostra os gráficos das duas funções f e 1f − .
FIGURA 14
228
5) Função inversa da função cossecante hiperbólica
Considere-se a função xx ee
2hxseccosy
−−
== ; nesse caso, têm-se
os conjuntos domínio e imagem iguais a { }0R − , ou seja, tem-se a
função:
{ } { }
hxseccosyx
0R0R:f
=
−→−
� ,
que é bijetora em seu domínio e, portanto, admite inversa, que será:
{ } { }
xhseccosyx
0R0R:f
1
1
−
−
=
−→−
�.
Obtém-se, agora, a expressão da função inversa:
(a) isola-se a variável x na expressão xx ee
2hxseccosy
−−
== :
( ) 0ye2eye21ey
1e
e2y
e
1e
2y
ee
2y
xx2xx2
x2
x
x
xxx
=−⋅−⋅�⋅=−⋅�
�−
⋅=�
−
=�−
=
⋅⋅
⋅−
Resolve-se a equação do 2º grau na variável xe :
( ) 0ye2ey0ye2ey x2xxx2=−⋅−⋅�=−⋅−⋅
⋅ ;
então:
( )22 y14y44 +⋅=⋅+=∆
e vem:
y
y11
y2
y122e
22x +±
=⋅
+⋅±= .
Observe que:
• para 0y < , o denominador da expressão anterior é negativo; então
deve-se ter o numerador também negativo, ou seja, considera-se a
expressão y
y11e
2x +−
= e vem:
���
�
�
���
�
� +−=�
+−=
y
y11lnx
y
y11e
22x
.
• para 0y > , o denominador da expressão é positivo e, portanto,
229
deve-se ter o numerador também positivo, isto é, considera-se a ex-
pressão y
y11e
2x ++
= , de onde se segue que:
���
�
�
���
�
� ++=�
++=
y
y11lnx
y
y11e
22x
.
(b) trocam-se as variáveis x e y e tem-se:
• para 0y < :
��
�
�
��
�
� +−==
��
�
�
��
�
� +−=
−
x
x11lnxhseccosy,sejaou
x
x11lny
21
2
.
• para 0y > :
��
�
�
��
�
� ++==
��
�
�
��
�
� ++=
−
x
x11lnxhseccosy,sejaou
x
x11lny
21
2
.
Na Figura 15 vêem-se os gráficos de f e 1f − .
FIGURA 15
22 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ANTON, H. Cálculo – um novo horizonte. V. 1. 6. ed. São Paulo:
Bookman, 2000.
BIANCHINI, E.; PACCOLA, H. Matemática. V. 1. São Paulo:
Moderna, 1995.
BIANCHINI, E.; PACCOLA, H. Matemática. V. 2. São Paulo:
Moderna, 1995.
BIANCHINI, E.; PACCOLA, H. Matemática. V. 3. São Paulo:
Moderna, 1995.
BOULOS, P. Pré-cálculo. São Paulo: Makron Books do Brasil,
1999.
FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A - funções, limite, derivação, integração. 5. ed. São Paulo: Makron Books,
1992.
GONÇALVES, E. M.; CHUEIRI, V. M. M.; SACOMAN, M. A. R.
Função real de uma variável real. Faculdade de Ciências,
Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho, Bauru. CD.
IEZZI, G. et alli. Logaritmos. 8. ed. São Paulo: Atual, 1993
(Coleção Fundamentos de Matemática Elementar, 2).
IEZZI, G. et alli. Complexos, polinômios, equações. 6. ed. São
Paulo: Atual, 1993. (Coleção Fundamentos de Matemática
Elementar, 6).
PISKUNOV, N. Cálculo diferencial e integral. V. 1. Moscou: Mir,
1977.
PIERRO NETO, S. DI. Matemática. V. 1. São Paulo: Ática, 1984.
ROCHA, L. M.; BARBOSA, R. M.; PIERRO NETO, S. DI.
Matemática. V. 1. São Paulo: Instituto Brasileiro de Edições
Pedagógicas, 1967.
232
SHERVATOV, V. G. Hyperbolic functions. Boston: D. C. Heath,
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SPIVAK, M. Cálculo infinitesinal. V. 1. São Paulo: Editorial
Reverté, 1972.
STEWART, J. Cálculo. V. 1. 4. ed. São Paulo: Pioneira, 2001.
SWOKOWSKI, E.W. Cálculo com geometria analítica. V. 1. 2.
ed.São Paulo: Makron Books, 1994.
THOMAS, G. B. Cálculo. V. 1. São Paulo: Pearson Education do
Brasil, 2002.
As autoras
Eliete Maria Gonçalves é licenciada em Matemática pela Fundação
Educacional de Bauru - FEB (1977), mestre em Matemática (Fun-
damentos da Matemática) pela Unesp (1994) e doutora em Agrono-
mia (Energia na Agricultura) pela Unesp (2000). Em 1978, ingres-
sou no Departamento de Matemática da FEB, posteriormente incor-
porada à Unesp, onde desenvolve seu trabalho docente e direciona
suas pesquisas para o Ensino de Matemática.
Vanilda Miziara Mello Chueiri é licenciada e bacharel em Matemá-
tica pela Fundação Educacional de Bauru - FEB (1976), mestre em
Ciências (Equações Diferenciais) pelo Instituto de Matemática da
UFRJ (1981) e doutora em Agronomia (Energia na Agricultura) pela
Unesp (1994). Em 1977, ingressou no Departamento de Matemática
da FEB, posteriormente incorporada à Unesp, onde desenvolve seu
trabalho docente e direciona suas pesquisas para o Ensino de Mate-
mática.
