Mtodos Quantitativos Aplicados s Cincias

Contbeis I: Notas de aula

Wilton Bernardino da Silva

06 de abril de 2015

11 Conjuntos Numricos

Nesta aula voc dever atingir os seguintes objetivos:

Entender o processo de construo dos conjuntos numricos (nmeros naturais, in-teiros, racionais, irracionais e reais);

Entender a construo da reta numrica e do plano cartesiano; Entender o conceito de funo; Saber esboar o grco de uma funo.

1.1 Nmeros Naturais

O conjunto dos nmeros naturais (aqui representado pela letra N) est muito ligado coma ideia de contagem. Sem nos prendermos muito s questes histricas, suponha que um

indivduo deseje representar uma certa quantidade de um objeto e que ele ainda no tenha

o conhecimento de nmero que temos hoje. De que forma ele poderia representar essa

quantidade? Sem dvidas, para ns fazer esse exerccio pode parecer no muito simples,

pois j temos algum conhecimento do conceito de nmero. Mas faamos as seguintes

suposies:

1. Digamos que a quantidade possa ser representada por um grupo de traos verticais,

por exemplo, |, ||, |||, etc;2. A evoluo dos smbolos chegou s seguintes relaes: | equivale a 1, || equivale a 2,||| equivale a 3, e assim por diante.Como podemos perceber, os smbolos 1, 2, 3, . . . formam uma sequncia que tambm nosd a ideia de ordem: o 1 representa menos que 2, que representa menos que 3, etc. Notecomo foi `natural' essa nossa construo!!! O nome ca ento bastante sugestivo: Conjunto

dos nmeros Naturais. Aps essa reexo podemos ter a intuio de como foram pensados

os sistemas de numerao. No sistema decimal, por exemplo, o grupo `||||||||||' equivaleao nmero 10 (o processo de agrupamento repete!!!).Um fato interessante que por mais que tenhamos conhecimento de um nmero natural

grande o suciente, sempre haver innitos naturais que sequer conhecemos tampouco que

possuam alguma representao em smbolos (Pergunte-se: qual o maior nmero natural

que voc conhece?).

Vamos denotar o conjunto dos nmeros naturais por N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .}. Noteque o smbolo 0 foi includo nesse conjunto. Isso feito para que possamos operar comnmeros naturais. Imagine que o 0 represente a ausncia, a falta de objetos, o nada!!!As operaes que so bem denidas no conjunto N so:

1. Adio (+): podemos `adicionar' nmeros naturais permanecendo nesse conjunto.Exemplo: 2 + 1 ser o sucessor de 2 (2 3); 2 + 2 o sucessor do sucessor de 2(2 3 4).

22. Multiplicao (): A multiplicao um caso de adio. Exemplo: 23 representatrs grupos de `||' que equivale ao resultado da adio (2 + 2 + 2).A operao de adio entre nmeros naturais tem as seguintes propriedades:

comutativa. (ex: 2 + 3 equivale a 3 + 2). `A ordem das parcelas no altera asoma'.

associativa. (ex: 1+2+3 equivale a (1+2)+3 que tambm equivale a 1+(2+3)).`Podemos agrupar como desejarmos sem alterar o resultado da adio'.

Possui elemento neutro. O nmero `0' neutro na adio. (ex: (2 + 0) equivale a2). `Adicionar zero no muda o nmero'.

A operao de multiplicao entre nmeros naturais tem as seguintes propriedades:

associativa. comutativa. distributiva. (ex:, o produto (2 + 3) 5 equivale a [2 5 + 3 5]). `O produtose distribui com a soma'.

Possui elemento neutro. O nmero `1' neutro na multiplicao. (ex: 12 equivalea 2). `Multiplicar por um no muda o nmero'.

Dessa forma, cam estabelecidos o conjunto dos nmeros naturais N e as duas opera-es nesse conjunto.

2 Nmeros Inteiros

Observe que a operao de adio foi denida no conjunto N em termos do conceitode sucessor. Por exemplo, adicionar 2 com 3 aplicar o sucessor do sucessor de 2, i.e,

2 3 4 5, portanto, 2+3 = 5. Mas e se pensarmos no antecessor ao invs de suces-sor? Como seria o resultado? Sabemos que o antecessor de 1 0? Mas quem o antecessor

do antecessor de 1? Ele pode ser um nmero natural? A resposta que ele existe, mas no

pertence ao conjunto N. pensando dessa forma que surgem os nmeros inteiros (denota-dos por Z) como sendo o conjunto N acrescentado do simtricos de N. O conjunto dos n-meros inteiros ca ento representado por Z = {. . . ,5,4,3,2,1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .}.

Pergunta: As operaes de adio, multiplicao esto bem denidas no conjunto Z?Qual a operao de aplicar o antecessor? Seria a subtrao?

Resposta: Sim, a adio e a multiplicao de dois nmeros inteiros tambm pertencem

ao conjunto Z e aplicar o antecessor sim o mesmo que subtrair!!! Por exemplo, denotandoa operao de subtrao pelo smbolo `', (23) o antecessor do antecessor do antecessorde 2 (-1 0 1 2).

33 Nmeros Racionais

O conjunto dos nmeros racionais surge como uma ampliao de Z fundamentada naoperao de diviso. Mas o que signica dividir? H dois tipos de diviso, a inteira

1

e a exata. Neste texto focaremos na diviso exata e a representamos pelo smbolo `'.Ao dividirmos dois nmeros inteiros z1 e z2 6= 0 (diviso representada por z1 z2) emZ, estamos procurando por um valor k tambm inteiro para o qual z2 k = z1. Essapergunta verdadeira para quaisquer que sejam z1 e z2 pertencentes a Z? A resposta no. Por exemplo, tomemos o caso em que z1 = 1 e z2 = 2, no existe inteiro k talque 2 k = 1. Por esse fato ampliamos o conjunto Z, construindo o conjunto de todasas fraes de inteiros, e denotado-o por conjunto dos nmeros racionais (Q). Em outraspalavras, Q = {p q, tal que p e q so inteiros, sendo q 6= 0}.Vamos reetir um pouco sobre o conjunto Q. Considere, por exemplo os nmerosinteiros 10 e 5. O nmero 105 = 2, pois 52 = 10. Nesse caso, o valor encontrado foi umnmero racional que tambm inteiro. Pensemos agora no resultado da diviso 510. Issono equivalente a 12? A resposta sim e temos nesse caso o que se conhece por `fraesequivalentes'. Dessa forma, 5 10 = 5

10= 51

52 =12= 1 2. Essa uma caractersticapertencente a todo nmero racional: a reduo uma frao irredutvel (que no pode ser

simplicada). Dessa forma, Q = {pqno simplicvel, com p e q inteiros e sendo q 6= 0}As operaes de adio, subtrao, multiplicao e diviso so bem denidas em Q.Portanto, ao dividir, adicionar, subtrair ou multiplicar dois nmeros racionais obtemos

como resultado da operao um nmero tambm racional. At o momento, podemos

escrever a sequncia de incluses N Z Q ( l-se est contido em).

4 Nmeros Irracionais

Quanto mede a diagonal de um quadrado de lado unitrio? Essa foi uma pergunta que

motivou a existncia de nmeros Irracionais. Pelo teorema de Pitgoras, a medida dessa

diagonal (denotemos por d) dada pela relao 12 + 12 = d2 que resulta em um nmeroque no pertence ao conjunto Q. Dado que d2 = 2, e sendo d um valor positivo, arepresentao para essa medida ca estabelecida pela identicao d =

2. Um outronmero bastante discutido na matemtica o valor numrico que representa a medida do

comprimento (C) de uma circunferncia de raio unitrio. Essa medida o dobro de umnmero no racional (C = 2pi). O smbolo pi representa esse valor no racional.Por denio, um nmero irracional um nmero que no pode ser escrito como

frao irredutvel de inteiros. No caso dos nmeros

2 e pi, temos dois exemplos disto. Oconjunto de nmeros tendo essa caracterstica o que se conhece por conjunto dos nmeros

Irracionais (representado por I). A reunio dos conjuntos Q e I constitui o conjunto dosnmeros reais, R = Q I. O diagrama abaixo descreve os conjuntos numricos N,Z,Q, Ie R. Note que I = R \Q (Conjunto dos nmeros reais menos o conjunto dos racionais).1

A diviso inteira a conhecida diviso com resto, por exemplo, 5 dividido por 3 deixa quociente 1 e

resto 2.

4Figura 1: Diagrama representativo dos conjuntos N,Z,Q, I e R.

5 Nmeros Reais

O conjunto dos nmeros reais R formado pelos nmeros negativos, positivos e pelonmero zero. Em R esto bem denidas todas as operaes (adio, multiplicao, sub-trao e diviso), i.e., ao operarmos com nmeros reais, permanecemos em R. Podemosestabelecer uma correspondncia biunvoca (relao um para um) entre nmeros reais e

pontos de uma reta, formando a `reta numrica'. Essa correspondncia feita da seguinte

forma: para cada nmero real associamos um nico ponto da reta e vice-versa. A Figura

2 ilustra como essa correspondncia feita.

Figura 2: Ilustrao da reta real.

Como possvel perceber, em R ca estabelecida uma relao de ordem (representadapelos smbolos > e b. Essa relao de ordem feita daseguinte forma:

1. a < b quando existe um c tal que a+ c = b. (ex.: 2 < 3, pois 2 + 1 = 3);

52. a > b quando b < a;

3. a = b quando nem a < b nem b < a.

Podemos tomar subconjuntos da reta real, tais como, intervalos abertos, fechados e

semiretas. Vejamos os exemplos a seguir:

Exemplo 1: O intervalo aberto (2, 3) inclui todos os nmeros reais superiores a 2 einferiores a 3. Ou seja, x (2, 3) se e somente se 2 < x < 3. A Figura 3 ilustra o intervalo(2, 3) na reta real.

Figura 3: Intervalo (2, 3) na reta real.

Exemplo 2: O intervalo fechado esquerda e aberto direita [2, 3) inclui todos osnmeros reais superiores ou iguais a 2 e inferiores a 3. Ou seja, x [2, 3) se e somente se2 x < 3. A Figura 5 ilustra o intervalo (2, 3) na reta real.

Figura 4: Intervalo [2, 3) na reta real.

Exemplo 3: O intervalo fechado [2, 3] inclui todos os nmeros reais superiores ouiguais a 2 e inferiores ou iguais a 3. Ou seja, x [2, 3] se e somente se 2 x 3. AFigura 5 ilustra o intervalo [2, 3] na reta real.

Figura 5: Intervalo [2, 3] na reta real.

Conjuntos NumricosNmeros Naturais

Nmeros InteirosNmeros RacionaisNmeros IrracionaisNmeros Reais