Notas de aulas sobre dinâmica dos Fluidos: vazão e equação da Continuidade.

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1. INTRODUÇÃO A MECÂNICA DOS FLUIDOS

1.1. Definição: é a ciência que estuda o comportamento físico dos fluidos, suas propriedades e as leis que

regem tal comportamento. Estudo do comportamento dos fluidos em repouso (Fluidoestática) e em

movimento (Fluidodinâmica).

1.2. Objetivo: conhecer, compreender e analisar qualquer sistema no qual um fluido é o meio produtor de

trabalho.

1.3. Aplicação: Os aspectos teóricos e práticos da mecânica dos fluidos são de fundamental importância

para a solução de diversos problemas encontrados habitualmente na engenharia, sendo suas principais

aplicações destinadas ao estudo de escoamentos de líquidos e gases, máquinas hidráulicas, aplicações de pneumática e hidráulica industrial, sistemas de ventilação e ar condicionado além de diversas aplicações

na área de aerodinâmica voltada para a indústria aeroespacial, (máquinas de fluxo (bombas, ventiladores,

compressores e turbinas), aeronaves, automóveis, submarinos, sistemas de aquecimento e ventilação de

residências, edifícios comerciais, sistemas de tubulações, corpos flutuantes, medicina, etc).

1.4. O estudo da mecânica dos fluidos é dividido basicamente em dois ramos, a

estática dos fluidos e a dinâmica dos fluidos. A estática dos fluidos trata das propriedades e leis físicas

que regem o comportamento dos fluidos livre da ação de forças externas, ou seja, nesta situação o fluido

se encontra em repouso ou então com deslocamento em velocidade constante, já a dinâmica dos fluidos é

responsável pelo estudo e comportamento dos fluidos em regime de movimento acelerado no qual se faz

presente a ação de forças externas responsáveis pelo transporte de massa.

2. DEFINIÇÃO DE UM FLUIDO

2.1. Introdução: É uma sustância que se deforma continuamente sob a aplicação de uma tensão de

cisalhamento (força tangencial), não importa sua intensidade (figura 1).

Os fluidos compreendem as fases líquida e gasosa (ou de vapor) das formas físicas nas quais a matéria

existe.

Elemento Fluido sob a Ação de Esforço Tangencial Constante.

A distinção entre um fluido e o estado sólido fica clara ao ser comparado seu comportamento.

Ao ser aplicada uma força tangencial F sobre um sólido fixado entre as duas placas, o bloco sofre uma

deformação e se estabiliza no novo formato. No regime elástico do material, ao cessar a aplicação da

força, o sólido retorna à forma original. Repetindo a experiência para um fluido, ele se deformará

continuamente, enquanto existir uma força tangencial atuando sobre ele.

3. Métodos de análise 3.1. Sistema: quantidade de massa fixa e identificável; as fronteiras do sistema separam-no do ambiente à

volta; não há transferência de massa através das mesmas, calor e trabalho poderão cruzar as fronteiras.

3.2. Volume de controle: volume do espaço através do qual o fluido escoa (arbitrário), a fronteira geométrica é chamada superfície

de controle, conforme mostrado na fig. Abaixo.

Escoamento de um Fluido Através de um Tubo.

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4. Dimensões e unidades 4.1. Introdução

Dimensões: são grandezas mensuráveis (quantidades físicas: podem ser primárias (básicas) e secundárias

(derivadas)).

Unidades: são nomes arbitrários dados às dimensões.

4.2. SISTEMAS DE DIMENSÕES Lei da Homogeneidade dimensional: “Todos os termos de uma expressão matemática,

que, traduz um fenômeno físico, devem possuir a mesma dimensão”.

Exemplo:

4.3. SISTEMA DE UNIDADES

Pode-se trabalhar com diferentes unidades para as grandezas (massa, comprimento, etc.). Países

diferentes podem utilizar sistemas de unidades diferentes. Em 1960, instituiu-se o Sistema Internacional

(SI), como uma tentativa de padronização. Foram definidas 7 grandezas básicas (massa, comprimento,

tempo, temperatura, corrente elétrica, quantidade de matéria e intensidade luminosa) e padronizadas as

suas unidades.

A partir delas, podem ser derivadas as unidades das outras grandezas (excetuando-se as grandezas

elétricas). No entanto, alguns países ainda adotam os antigos sistemas de unidades. No Sistema Britânico,

as grandezas básicas são força, comprimento, temperatura e tempo. A massa passa a ser, portanto, uma

grandeza secundária.

SI absoluto: M(massa), L(comprimento), t(tempo), T(temperatura), I(corrente elétrica), quantidade de

matéria e intensidade luminosa.

Técnico inglês: F(força), L(comprimento), t(tempo), T(temperatura).

5. PROPRIEDADES FÍSICAS DOS FLUIDOS Algumas propriedades são fundamentais para a análise de um fluido e representam a base para o estudo

da mecânica dos fluidos, essas propriedades são específicas para cada tipo de substância avaliada e são

muito importantes para uma correta avaliação dos problemas comumente encontrados na indústria. Dentre

essas propriedades podem-se citar: a massa específica, o peso específico e o peso específico relativo.

MASSA ESPECÍFICA Representa a relação entre a massa de uma determinada substância e o volume ocupado por ela. A massa

específica pode ser quantificada através da aplicação da equação a seguir.

onde, ρ é a massa específica, m representa a massa da substância e V o volume por ela ocupado. No

Sistema Internacional de Unidades (SI), a massa é quantificada em kg e o volume em m³, assim, a

unidade de massa específica é kg/m³.

PESO ESPECÍFICO

É a relação entre o peso de um fluido e volume ocupado, seu valor pode ser obtido pela aplicação da

equação a seguir

Como o peso é definido pelo princípio fundamental da dinâmica (2ª Lei de Newton) por (m.g), a equação

pode ser reescrita do seguinte modo:

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A partir da análise das equações é possível verificar que existe uma relação entre a massa específica de

um fluido e o seu peso específico, e assim, pode-se escrever que:

onde, γ é o peso específico do fluido, W é o peso do fluido e g representa a aceleração da gravidade, em

unidades do (SI), o peso é dado em N, a aceleração da gravidade em m/s² e o peso específico em N/m³.

PESO ESPECÍFICO RELATIVO Representa a relação entre o peso específico do fluido em estudo e o peso específico da água.

Em condições de atmosfera padrão o peso específico da água é 10000N/m³, e como o peso específico

relativo é a relação entre dois pesos específicos, o mesmo é um número adimensional, ou seja não

contempla unidades.

EXERCÍCIO 1 1) Sabendo-se que 1500kg de massa de uma determinada substância ocupa um

volume de 2m³, determine a massa específica, o peso específico e o peso específico relativo dessa

substância.

Dados: γH2O = 10000N/m³, g = 10m/s².

EXERCÍCIO 2

2) Um reservatório cilíndrico possui diâmetro de base igual a 2m e altura de 4m, sabendo-se que o mesmo

está totalmente preenchido com, determine a massa de gasolina presente no reservatório. Massa

Específica ρ = 720kg/m³ (obtido na tabela de propriedades dos fluidos).

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1) A massa específica de uma determinada substância é igual a 740kg/m³, determine o

volume ocupado por uma massa de 500kg dessa substância.

2) Sabe-se que 400kg de um líquido ocupa um reservatório com volume de 1500 litros,

determine sua massa específica, seu peso específico e o peso específico relativo. Dados:

γH2O = 10000N/m³, g = 10m/s², 1000 litros = 1m³.

3) Determine a massa de mercúrio presente em uma garrafa de 2 litros. (Ver propriedades do mercúrio na

Tabela). Dados: g = 10m/s², 1000 litros = 1m³.

4) Um reservatório cúbico com 2m de aresta está completamente cheio de óleo lubrificante (ver

propriedaes na Tabela). Determine a massa de óleo quando apenas ¾ do tanque estiver ocupado. Dados:

γH2O = 10000N/m³, g = 10m/s².

5) Sabendo-se que o peso específico relativo de um determinado óleo é igual a 0,8, determine seu peso

específico em N/m³. Dados: γH2O = 10000N/m³, g = 10m/s².

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REGIME OU MOVIMENTOS VARIADO E PERMANENTE.

Um sistema é dito permanente quando as propriedades do fluido são invariáveis em cada ponto,

com o passar do tempo. Assim “Regime permanente = as propriedades em uma dada seção do

escoamento não se alteram com o decorrer do tempo, portanto, o tempo não é uma variável do estudo

proposto nesta condição, além disto, tendo reservatório no estudo, o nível do fluido no mesmo permanece

constante na condição de escoamento em regime permanente.”

Figura 1

No tanque da figura a, a quantidade de água que entra é igual a quantidade da água que

sai, nestas condições o regime é dito permanente.

ESCOAMENTO LAMINAR E TURBULENTO.

A distinção visual entre os dois tipos de escoamento é bastante clara e pode ser facilmente

demonstrada pelo clássico filete de tinta conforme esquema da figura abaixo, a esquerda.

Um líquido transparente escoa livremente através de um tubo também transparente e a vazão pode ser

ajustada por um registro na extremidade. Um reservatório com líquido colorido injeta um filete no fluxo.

Se o registro é pouco aberto, proporcionando uma vazão baixa, observa-se um filete contínuo e regular,

sem perturbações transversais.

Ver (a) da figura . Pode-se dizer que, nessa situação, as veias dos fluxos (ou lâminas, se

considerado o aspecto tridimensional) escoam de maneira uniforme, sem mistura com as demais. Há

então a situação de escoamento laminar. Se a vazão é gradualmente aumentada, observa-se que, a partir

de determinado valor, o filete de tinta deixa de ser regular, mostrando claras perturbações laterais como

em (b) da figura. Isso significa que a velocidade superou algum valor crítico, provocando instabilidades

nas linhas de fluxo. Essa condição é denominada escoamento turbulento.

Fig 2

= nível constante

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Um regime é dito turbulento quando obedece a relação obtida por Reynolds, ou seja, o número de

Reynolds.

Re ˂ 2000 Escoamento laminar

2000 ˂ Re ˂ 2400 Escoamento de transição

Re ˃ 2400 Escoamento turbulento

TRAJETÓRIA E LINHAS DE CORRENTES.

Trajetória é o lugar geométrico dos pontos ocupados por uma partícula em instantes sucessivos.

Linha de corrente é a linha tangente aos vetores da velocidade de diferentes partículas no mesmo

instante.

“Em mecânica de fluidos, linha de corrente é uma linha contínua traçada no líquido, o lugar geométrico

dos pontos, que, num mesmo instante t considerado, mantém-se tangente em todos os pontos à velocidade

V. Pode também ser definido como a família de curvas que, para cada instante de tempo, são as

envolventes do campo de velocidades num fluido.

A linha de corrente é correspondente diretamente à trajetória da partícula no fluido.

Em particular, a linha de corrente que se encontra em contato com o ar, num canal, duto ou tubulação se

denomina linha d'água.

O conjunto de todas as linhas de corrente que passam por uma pequena curva fechada é definido como

um tubo de corrente.”

Linhas de corrente estão representadas por linhas sólidas azuis e por linhas pontilhadas cinza. As setas vermelhas

mostram a direção e a magnitude da velocidade do fluido, e são tangentes à linha de corrente. O grupo de linhas de

corrente entre as superfícies verdes ( e ) forma um tubo de corrente. As superfícies e as laterais do tubo formam uma

superfície de corrente.

ESCOAMENTO UNIDIMENSIONAL OU UNIFORME NA SEÇÃO.

O escoamento é dito unidimensional quando uma única coordenada é suficiente para descrever

as propriedades do fluido.

Para que isso aconteça é necessário que as propriedades sejam constantes em cada seção

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Se as grandezas do escoamento variarem em 2 dimensões, isto é, se o escoamento puder

definir-se, completamente, por linhas de corrente contidas em um plano, o escoamento

será bidimensional.

• É o caso de um vertedor de uma barragem.

Todos os escoamentos que ocorrem na natureza são tridimensionais. As

grandezas que nele interferem, em cada seção transversal de um filamento ou tubo de

corrente, variam em três dimensões.

AS LEIS BÁSICAS

VAZÃO.

Vazão é o volume de determinado fluido que passa por uma determinada seção de um conduto livre ou

forçado, por uma unidade de tempo. Ou seja, vazão é a rapidez com a qual um volume escoa. Vazão

corresponde à taxa de escoamento, ou seja, quantidade de material transportado através de uma tubulação,

por unidade de tempo.

Vazão Volumétrica – É definida como sendo a quantidade em volume que escoa através de certa secção

em um intervalo de tempo considerado. As unidades volumétricas mais comuns são: m3/s, m

3/h, l/h,

l/min, GPM (galões por minuto), entre outras.

, onde: V = volume, t = tempo, Q = vazão volumétrica.

Vazão mássica – É definida como sendo a quantidade em massa de um fluido que escoa através de certa

secção em um intervalo de tempo considerado. As unidades de vazão mássica mais utilizadas são: kg/s,

kg/h, t/h, lb/h.

onde: m = massa, t = tempo, Qm = vazão mássica

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Analisado a expressão da equação em volume, e associando-se o fato de que volume é a medida de

comprimento pela unidade de área, temos

assim

È claro que o caçulo da vazão, dada pela expressão acima somente seria verdadeira se a

velocidade fosse uniforme na seção, o que não ocorre na maioria dos casos; assim devemos calcular a

vazão através de uma forma diferencial.

Assim,

Logo a vazão na área A será

∫

Tomando-se a velocidade na seção como uma velocidade uniforme; temos que a vazão pode ser

representada por:

∫

Desta igualdade, temos a expressão para o cálculo da velocidade média na seção:

∫

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EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE PARA REGIME PERMANENTE

Imagine um fluido (água) escoando por um tubo (tubo

de corrente) de modo que não haja escape de fluido pelas

laterais do tubo. Uma vez que estamos tratando de fluido

incompressível, toda a quantidade de fluido que entra pela

extremidade A1, do tubo, é a mesma que sai pela extremidade

A2; independente da área do tubo, ou seja, a vazão de entrada

Qm1 é a mesma que a vazão de saída Qm2. Logo:

Se pensarmos, por absurdo, que a vazão de entrada, em algum ponto dentro do tubo, seja diferente da

vazão de saída; então haveria acumulo de massa dentro do tubo, o que mudaria a sua massa específica; ou

seja, a sua massa iria variar com o tempo; contrariando assim a hipótese de regime permanente. Logo

temos:

Obtemos:

, assim, temos das equações acima:

Esta é a equação da continuidade para um fluido qualquer em regime permanente.

Se o fluido for incompressível, e regime permanente, com ,

, então

Que é a equação da continuidade para fluido em regime permanente.

EXERCÍCIOS:

1-) Para a tubulação mostrada na figura, calcule a vazão em massa, em peso e em volume e determine a

velocidade na seção (2) sabendo-se que A1 = 10cm² e A2 = 5cm².

Dados: L= 1000kg/m³ e v1 = 1m/s.

Sol.

Aplicando a equação da continuidade entre os pontos (1) e

(2).

, logo

2-) Um tubo despeja água em um reservatório com uma vazão de 20 l/s e um outro tubo despeja um

líquido de massa específica igual a 800kg/m³ com uma vazão de 10 l/s. A mistura formada é descarregada

por um tubo da área igual a 30cm². Determinar a massa específica da mistura no tubo de descarga e

calcule também qual é a velocidade de saída.

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Sol.

Equação da continuidade

( ) ( ) ( )

Vazão Volumétrica

( ) ( ) ( )

Vazão Volumétrica na saída.

Massa específica da mistura

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ⁄

3-) No tanque misturador da figura 20 l/s de água ( ρ = 1000

Kg/m3 ) são misturados com 10/s de um óleo ( ρ = 800 Kg/m3 )

formando uma emulsão. Determinar a massa específica e a

velocidade da emulsão formada.

( ) ( ) ( )

( ) (

) ( )

(

) (

) (

) (

) (

) (

)

(

) (

) (

) (

) (

)

4-) Os dois tanques cúbicos com água são esvaziados ao mesmo

tempo, pela tubulação indicada na figura, em 500 s. determinar a

velocidade da água na seção A, supondo desprezível a variação da

vazão com a altura.

(

)

(

)

EXERCÍCICIOS PROPOSTOS:

1) Água é descarregada de um tanque cúbico com 3m de aresta por um tubo de 3cm de diâmetro. A vazão

no tubo é de 7 l/s. Determine a velocidade de descida da superfície livre da água do tanque e calcule

quanto tempo o nível da água levará para descer 15cm. Calcule também a velocidade de descida da água

na tubulação.

2) Um determinado líquido escoa por uma tubulação com uma vazão de 5 l/s. Calcule a vazão em massa e

em peso sabendo-se que ρ = 1350kg/m³ e g = 10m/s².

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3) Água escoa na tubulação mostrada com velocidade

de 2m/s na seção (1). Sabendo-se que a área da seção

(2) é o dobro da área da seção (1), determine a

velocidade do escoamento na seção (2).

4) Calcule o diâmetro de uma tubulação sabendo-se que pela mesma

escoa água com uma velocidade de 0,8m/s com uma vazão de 3 l/s.

5) Sabe-se que para se encher o tanque de 20m³ mostrado são necessários 1h

e 10min, considerando que o diâmetro do tubo é igual a 10cm, calcule a

velocidade de saída do escoamento pelo tubo.

6) Determine a velocidade do fluido nas seções (2) e (3)

da tubulação mostrada na figura.

Dados: v1 = 3m/s, d1 = 0,5m, d2 = 0,3m e d3 = 0,2m.

7) Para a tubulação mostrada determine:

a) A vazão e a velocidade no ponto (3).

b) A velocidade no ponto (4).

Dados: v1 = 1m/s, v2 = 2m/s, d1 = 0,2m, d2 = 0,1m,

d3 = 0,25m e d4 = 0,15m.

8) Sabendo-se que Q1 = 2Q2 e que a vazão de saída do

sistema é 10 l/s, determine a massa específica da mistura

formada e calcule o diâmetro da tubulação de saída em

(mm) sabendo-se que a velocidade de saída é 2m/s.

Dados: ρ1 = 790kg/m³ e ρ2 = 420kg/m³.

9) Água é descarregada do reservatório (1) para os

reservatórios (2) e (3). Sabendo-se que Qv2 =

(3/4)Qv3 e que Qv1 = 10l/s, determine:

a) O tempo necessário para se encher

completamente os reservatórios (2) e (3).

b) Determine os diâmetros das tubulações (2) e (3)

sabendo-se que a velocidade de saída é v2 = 1m/s e

v3 = 1,5m/s.

Dado: ρ = 1000kg/m³.

10) O motor a jato de um avião queima 1kg/s de combustível

quando a aeronave voa a 200m/s de velocidade. Sabendo-se

que ρar=1,2kg/m³ e ρg=0,5kg/m³ (gases na seção de saída) e

que as áreas das seções transversais da turbina são A1 = 0,3m²

e A2 = 0,2m², determine a velocidade dos gases na seção de

saída.

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11-) No tubo da figura, determinar a vazão em

volume, em massa, em peso e a velocidade média na

seçã(2), sabendo-se que o fluido é água e que A1 =

10 cm³ e A2 = 5 cm³. Dados ρ = 1000kg/m³, g = 10

m/s².

Obs. A1v1 = A2v2; Qv = Av; Qm = m/t =Av; QG = gQm

Resp QV = 1 L/s; Qm = 1 kg/s; QG=10N/s; v2 = 2 m/s

12-) Os reservatórios da figura são cúbicos. São

preenchidos pelos tubos, respectivamente, em 100s

e 500s. determinar a velocidade da água na seção

(A), sabendo-se que o diâmetro do conduto nessa

seção é 1 m.