Antiderivadas e Integrais Indefinidas - UNEMAT –...
Transcript of Antiderivadas e Integrais Indefinidas - UNEMAT –...
Antiderivadas e Integrais Indefinidas
Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP
CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
Antiderivadas e Integrais Indefinidas
1.Antiderivadas
2.Notação para antiderivadas e integrais indefinidas
3.Cálculo de antiderivadas
4.Soluções particulares
5.Aplicação
1. Antiderivadas
Até aqui, tem-nos preocupado essencial-mente o problema: dada uma função, achar a suaderivada. Muitas aplicações importantes do cálculoenvolvem o problema inverso: dada a derivada deuma função, achar a função. Suponha, por exemplo,dadas
′ ′ ′= = =2( ) 2, ( ) 3 , e ( ) 4f x g x x s t t
1. Antiderivadas
Nosso objetivo é determinar as funções f, ge s. Formulando hipóteses adequadas, poderemoschegar ao seguinte:
[ ]= =( ) 2 porque 2 2d
f x x xdx
= = 3 3 2( ) porque 3
dg x x x x
dx
= = 2 2 ( ) 2 porque 2 4
ds t t t t
dx
1. Antiderivadas
Esta operação, que consiste em determinara função original a partir de sua derivada, é aoperação inversa da diferenciação. É chamadaantidiferenciação.
OBS: Neste texto utilizamos a expressão “F (x) éuma antiderivada de f (x)” como sinônima de “F éuma antiderivada de f ”.
1. Antiderivadas
Definição de Antiderivada
Uma função F é uma antiderivada de uma funçãof se, para todo x no domínio de f, temos F’ (x) = f (x).
1. Antiderivadas
Se F (x) é uma antiderivada de f (x), entãotambém o é F (x) + C, onde C é uma constantearbitrária. Por exemplo,
= = − = +3 3 3( ) , ( ) 5, e ( ) 0,3F x x G x x H x x
são antiderivadas de 3x2 porque a derivada decada uma delas é 3x2. Acontece que todas asantiderivadas de 3x2 são da forma x3 + C. Assim, oprocesso de antidiferenciação não define umafunção única, e sim uma família de funções, quediferem entre si por uma constante.
2. Notação para antiderivadase integrais indefinidas
O processo de antidiferenciação é tambémchamado integração e é indicado pelo símbolo
∫ Sinal de Integral
chamado sinal de integral.
2. Notação para antiderivadase integrais indefinidas
O símbolo
∫ ( ) Integral Indefinidaf x dx
é a integral indefinida de f (x), e representa a fa-mília de antiderivadas de f (x); isto é, se F ’(x) =f (x) para todo x, então podemos escrever
= +∫�����
( ) ( )f x dx F x C
Sinal de integral Integrando Diferencial
Antiderivada
2. Notação para antiderivadase integrais indefinidas
Onde f (x) é o integrando e C é a constantede integração. A diferencial dx na integralindefinida identifica a variável de integração. Ouseja, o símbolo
= +∫ ( ) ( )f x dx F x C
denota a “antiderivada de f em relação a x”, damesma forma que o símbolo dy/dx a “derivada de yem relação a x”.
2. Notação para antiderivadase integrais indefinidas
Notação de Integral para Antiderivadas
A notação
onde C é uma constante arbitrária, significa que F éuma antiderivada de f. Isto é, F’ (x) = f (x) para todo xno domínio de f.
= +∫ ( ) ( )f x dx F x C
2. Notação para antiderivadase integrais indefinidas
Exemplo 1: Utilizando a notação de integral,podemos escrever como se segue as trêsantiderivadas dadas no início desta aula.
= +∫a. 2 2dx x C
= +∫2 3b. 3x dx x C
= +∫2c. 4 2t dt t C
O relacionamento inverso entre asoperações de integração e diferenciação pode serapresentado simbolicamente a seguir.
= ∫ A diferenciação é o inverso da integração( ) ( ) d
f x dx f xdx
′ = +∫ A integração é o inverso da diferenciação( ) ( ) f x dx f x C
3. Cálculo de antiderivadas
Este relacionamento entre integração ediferenciação permite obtermos fórmulas deintegração diretamente a partir de fórmulas dediferenciação. A seguir são apresentadas asfórmulas de integração que correspondem aalgumas fórmulas de diferenciação já estudadas.
3. Cálculo de antiderivadas
3. Cálculo de antiderivadas
Regras Básicas de Integração
1. Regra da Constante
2. Regra do Múltiplo Constante
3. Regra da Soma
= +∫ , k é uma constantek dx kx C
=∫ ∫( ) ( ) , k é uma constantek f x dx k f x dx
[ ]+ = +∫ ∫ ∫( ) ( ) ( ) ( )f x dx g x dx f x dx g x dx
3. Cálculo de antiderivadas
4. Regra da Diferença
5. Regra Simples da Potência+
= + ≠ −+∫
1
, 11
nn x
x dx C nn
[ ]− = −∫ ∫ ∫( ) ( ) ( ) ( )f x dx g x dx f x dx g x dx
3. Cálculo de antiderivadas
OBS 1: A Regra Geral da Potência será estudadana Aula 37, e as Regras Exponencial e Log serãoabordadas na Aula 38.
OBS 2: Não esqueça que a Regra Simples daPotência tem a restrição de que n não pode serigual a -1; não podemos aplicá-la para calcular aintegral
∫1
dxx
Para calcular esta integral, devemos aplicar aRegra Log (Aula 38).
3. Cálculo de antiderivadas
Exemplo 2: Calcule as integrais indefinidas
= +∫a. 2 2dx x C
= +∫b. 1dx x C
− = − +∫c. 5 5dt t C
No Exemplo 2b, costuma-se escrever a
integral simplesmente .∫1dx ∫dx
3. Cálculo de antiderivadas
Exemplo 3: Calcule a integral indefinida
∫3x dx
3. Cálculo de antiderivadas
Solução:
=∫ ∫3 3x dx x dx Regra do Múltiplo Constante
= ∫13 x dx Escrever x como x1
= +
2
32x
C Regra da Potência com n = 1
= +232
x C Simplificar
3. Cálculo de antiderivadas
No cálculo de integrais indefinidas, aaplicação estrita das regras básicas de integraçãotende a gerar constantes de integração poucocômodas. Por exemplo, no Exemplo 3, poderíamoster escrito
= = + = +
∫ ∫
223
3 3 3 32 2x
x dx x dx C x C
3. Cálculo de antiderivadas
Todavia, como C representa uma constantearbitrária, é desnecessário escrever a constantede integração como 3C. Basta escrevermos
+232
x C
3. Cálculo de antiderivadas
No Exemplo 3, note que o padrão geral deintegração é análogo ao da diferenciação.
∫
Dado:
3x dx→
∫
Escrever como:
13 x dx→
+
Integrar:
2
32x
C→ +
Simplificar:
232
x C
3. Cálculo de antiderivadas
Exemplo 4: Escreva sob nova forma antes deintegrar
∫ 3
1a. dx
x
∫b. x dx
3. Cálculo de antiderivadas
Exemplo 4: Escreva sob nova forma antes deintegrar
∫
Integral dada
3
1a. dx
x−
∫
Escrever como
3x dx−
+−
Integrar
2
2x
C − +
Simplificar
2
12
Cx
3. Cálculo de antiderivadas
Exemplo 4: Escreva sob nova forma antes deintegrar
∫
Integral dada
b. x dx ∫
Escrever como
12x dx +
Integrar
32
32
xC +
Simplificar
322
3x C
3. Cálculo de antiderivadas
Nota: Recorde que podemos verificar pordiferenciação a resposta de um problema deantidiferenciação. Assim é que, no Exemplo 4b,podemos constatar, diferenciando, que
322
3x
é a antiderivada correta; obtemos
= =
3 12 22 2 3
3 3 2d
x x xdx
3. Cálculo de antiderivadas
Com as cinco regras básicas de integração,podemos integrar qualquer função polinomial,conforme demonstramos no próximo exemplo.
3. Cálculo de antiderivadas
Exemplo 5: Determine as seguintes integraisindefinidas
( )+∫a. 2x dx
( )− +∫4 2b. 3 5x x x dx
3. Cálculo de antiderivadas
a. Aplique a Regra da Soma para integrar cadaparte separadamente
( )+ = + = + +∫ ∫ ∫2
2 2 22x
x dx x dx dx x C
3. Cálculo de antiderivadas
b. Procure identificar cada regra básica deintegração utilizada para o cálculo desta integral
( ) − + = − + +
∫
5 3 24 23 5 3 5
5 3 2x x x
x x x dx C
= − + +5 3 23 5 15 3 2
x x x C
3. Cálculo de antiderivadas
Exemplo 6: Determine a integral indefinida
+∫
1xdx
x
3. Cálculo de antiderivadas
Inicialmente, escreva o quociente nointegrando como uma soma. Em seguida, escrevacada termo com expoentes racionais.
+ = +
∫ ∫1 1x x
dx dxx x x
Escrever como uma soma
( )−= +∫
1 12 2x x dx Usar expoentes racionais
3. Cálculo de antiderivadas
= + +3 1
2 2
3 122
x xC
= + +3 1
2 222
3x x C
Aplicar a Regra da Potência
Simplificar
3. Cálculo de antiderivadas
Nota: Ao integrar quocientes, não cometa o errode integrar numerador e denominadorseparadamente. Assim é que, no Exemplo 6,
( )++ ≠ ∫∫∫
11 x dxxdx
x x dx
4. Soluções particulares
Já vimos que a equação
= ∫ ( )y f x dx
tem infinitas soluções, cada uma das quais diferedas outras por uma constante. Isto significa que osgráficos de duas antiderivadas quaisquer de f sãotranslações verticais uma da outra. A figura aseguir mostra os gráficos de várias antiderivadasda forma
( )= = − = − +∫2 3( ) 3 1y F x x dx x x C
4. Soluções particulares
4. Soluções particulares
Cada uma dessas antiderivadas é umasolução de
= −23 1dy
xdx
Em muitas aplicações da integração,dispomos de informação suficiente paradeterminar uma solução particular. Para tanto,basta conhecermos o valor de F (x) para um valorde x.
4. Soluções particulares
Por exemplo, na figura anterior há apenasuma curva que passa pelo ponto (2, 4). Paradeterminar esta curva, lançamos mão dainformação abaixo
Solução geral= − +3( )F x x x C
=(2) 4F Condição inicial
4. Soluções particulares
Levando esta condição inicial na soluçãogeral, verificamos que
( )= − + = ⇒ = −3(2) 2 2 4 2F C C
Assim, a solução particular é
= − −3( ) 2F x x x
4. Soluções particulares
Exemplo 7: Determine a solução geral de
′ = −( ) 2 2F x x
e a solução particular que satisfaz a condiçãoinicial
=(1) 2F
4. Soluções particulares
Inicialmente, integremos para determinar asolução geral.
( )= −∫( ) 2 2F x x dx
= − +2 2x x C
Integrar F ’(x) para obter F (x)
Solução geral
4. Soluções particulares
Com a condição inicial F (1) = 2, podemosescrever
( )= − + = ⇒ =2(1) 1 2 1 2 3F C C
Assim, a solução particular é
= − +2( ) 2 3F x x x Solução particular
4. Soluções particulares
A figura a seguir exibe graficamente estasolução. Note que cada uma das curvas representauma solução da equação
′ = −( ) 2 2F x x
A curva em destaque, entretanto, é a únicasolução que passa pelo ponto (1, 2), o que significaque
= − +2( ) 2 3F x x x
é a única solução que satisfaz a condição inicial.
4. Soluções particulares
5. Aplicação
Exemplo 8: Joga-se uma bola para cima, de umaaltura inicial de 80 pés, com uma velocidade inicialde 64 pés por segundo, conforme a figura a seguir.Deduza a função posição que dê a altura s (em pés)como função do tempo t (em segundos). Em queinstante a bola atinge o solo?
5. Aplicação
5. Aplicação
Representemos por t = 0 o tempo inicial.Então, as duas condições dadas podem ser escritascomo a seguir:
=(0) 80s
′ =(0) 64s
A altura inicial é de 80 pés
A velocidade inicial é de 64 pés por segundo
5. Aplicação
Como a aceleração devida à gravidade é de32 pés por segundo por segundo, temos:
′′ = −( ) 32s t
′ = −∫( ) 32s t dt
Aceleração devida à gravidade
Integrar s ”(t) para obter s ’(t)
1( ) 32s t t C′ = − + Função velocidade
5. Aplicação
Levando em conta a velocidade inicial,concluímos que C1 = 64
′ = − +( ) 32 64s t t
( )= − +∫( ) 32 64s t t dt
Função velocidade
Integrar s ’(t) para obter s(t)
= − + +22( ) 16 64s t t t C Função posição
5. Aplicação
Utilizando a altura inicial, temos que C2 = 80.Assim, a função posição é
Função posição= − + +2( ) 16 64 80s t t t
5. Aplicação
Para determinar o instante em que a bolaatinge o solo, igualemos a zero a função posição eresolvamo-la em relação a t.
− + + =216 64 80 0t t
( )( )− + − =16 1 5 0t t
= − =1, 5t t
Igualar s (t) = 0
Fatorar
Resolver em relação a t
Como o tempo deve ser positivo, concluímosque a bola atinge o solo 5 segundos após ter sidolançada.