Curso Tecnologia em Automao

FMA Profa Gisele 1 sem de 2015

Aula 2: Plano Cartesiano, Produto Cartesiano, Relao e Introduo funo

I) Plano Cartesiano Par ordenado: (x, y) A = (x, y) representa um ponto no plano cartesiano x e y representam suas coordenadas. x: abscissa y : ordenada

II) Produto Cartesiano

Sejam A e B dois conjuntos no vazios. Determinamos o produto cartesiano de A por B, indicado por A B,

o conjunto de todos os pares ordenados (x, y) tal que x A e y B.

Simbolicamente temos:

A B = { (x, y) / x A e y B}

Observao: 1) A = = A, qualquer que seja A

Exemplo:

A = {1, 2, 3} e B = {1, 2}

A B = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2)}

Observao: 1) Se A B, A B B A

2) A A = A2

3) Se A e B tm m e n elementos respectivamente, ento A B tem m . n elementos

.

x

yA

eixo x

eixo y

eixo das

ordenadas

eixo das

abscissas

Podemos representar graficamente A B

Exemplo:

1) A = {1, 2, 3} e B = {1, 2}

A B = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2)}

Graficamente temos seis pontos no plano cartesiano

2) A = { x / 1 x 3 } e B = {2}

A B = { (x, 2) / x A }

Graficamente temos um segmento paralelo ao eixo x

3) A = { a / 1 a 3} e B = { b / 2 b 5 }

A B = {(x, y) 2 / 1 x 3 e 2 y 5 }

Graficamente temos no plano cartesiano o conjunto dos pontos de um retngulo

Exerccio

1) Dados A = {1, 2, 3}, B = {-2, 1} e C = {-1, 0, 2} determine:

a) A B enumerando seus elementos

b) B A enumerando seus elementos c) B2 graficamente

d) C A

2) Dados A = { a / -2 a 2} e B = { b / -4 b 1 }represente:

a) A B graficamente

b) (A B) (B A)

III) Relao

Definio: Dados dois conjuntos A e B chama-se relao binria de A em B todo subconjunto R de A B

R relao binria de A em B R A B

Observao: Se A= B ento todo subconjunto de A A chamado relao binria em A .

Seja R uma relao de A em B. Utilizamos a seguinte nomenclatura:

Domnio R (Dom R) : O conjunto D de todos os primeiros elementos do pares ordenados pertencentes.

Logo, D A ( o conjunto de partida da relao)

Contra-domnio da relao R: o conjunto de chegada, ou seja, o conjunto B.

Imagem de R (Im R): O conjunto de todos os segundos elementos dos pares ordenados pertencentes a R.

Logo, Im R B.

Quando o par (x, y) pertence relao R escrevemos x R y e lemos: x erre y. Simbolicamente escrevemos:

(x, y) R x R y, caso contrrio escrevemos: (x, y) R x /R y

Exemplos:

1) Seja A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {1, 2, 3, 4}. Enumere os elementos da relao:

R = {(x, y) 2 / x < y }

Determine os conjuntos Dom R, CD R e Im R.

2) A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} quais os elementos da relao binria R de A em B definida por:

x R y y = x + 2

Determine os conjuntos Dom R, CD R e Im R.

Obs: Podemos tambm representar graficamente uma relao binria atravs de diagrama de flechas.

Exemplos:

1) exemplo 1 acima 2) exemplo 2 acima

3) Se A = {-1, 0, 1, 2} quais so os elementos da relao R = {(x, y) A2 / x2 = y2}? Responda utilizando diagrama de flechas

Grfico de uma relao

Se R uma relao cujos elementos so pares ordenados de nmeros reais, o conjunto dos pontos do

plano cartesiano que representam os elementos de R chamado grfico de R .

Exemplos:

1) Fazer o grfico das relaes dos exemplos 1, 2 e 3 acima.

2) Se A = { a / 1 a 3} e B = { b / 1 b 3 } determine geometricamente:

a) A B

b) R = { (x, y) A B / y = x }

Exerccios

1) Seja A = {-2, -1, 0, 1, 2} e B = { -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4} pede-se:

a) enumerar os elementos da relao: x R y x + y = 2

b) representar atravs de diagrama de flechas a relao R = {(x, y) / x = y }

c) representar graficamente a relao x R y (x y) 2 = 1

2) Dado o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } enumerar os pares ordenados da relao R em a dada por:

R = { (x, y) A2 / mdc (x, y) = 2}