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Curso Tecnologia Automação Industrial FMA – Profa Gisele – 1º semestre/2015

Aula 10: Determinantes A cada matriz quadrada de ordem n, A = (aij), está associado um escalar especial chamado determinante de A,

denotado por Det (A), ou A ou

nnn2n1

2n2221

1n1211

a ... a a

a ... a a

a ... a a

A função determinante é um instrumento indispensável para investigar e obter propriedades de matrizes quadradas.

1) Determinantes de ordem um e dois Define-se como segue os determinantes de ordem um e dois:

11a = a11

2221

1211

a a

a a = a11 a22 – a12 a21

Assim, o determinante de uma matriz quadrada de ordem 1, isto é, sendo A = (aij )1 1 temos que Det (A) = a11 Exemplos: Calcule o determinante das matrizes abaixo:

a) 24

b)

3- 2

4 5

2) Determinante de ordem 3 (Regra de Sarrus)

333231

232221

13 1211

a a a

a a a

a a a

A regra de Sarrus pode ser utilizada seguindo-se os passos: 1o passo: Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira

2

2o passo: Fazemos a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal. Obs: o sinal dessa soma será multiplicado por +1, isto é, conserva-se o sinal da soma 3o passo: Fazemos a soma do produto dos elementos da diagonal secundária com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal Obs: está soma será multiplicada por –1, isto é o sinal da soma será trocado. Assim teremos que:

333231

232221

13 1211

a a a

a a a

a a a

= + (a11 a22 a 33 + a12 a23 a31 +a13a 21 a32) – (a13a 22a31 + a11a23a32 + a12 a21 a33)

Exemplo: Calcule o determinante das matrizes:

A =

1 2 3-

2 1 4

1- 3 2

B =

5 4 0

3- 3 1

1 1 0

3) Propriedades dos determinantes:

P1) Quando uma matriz tem uma fila (linha ou coluna) nula, o determinante dessa matriz será nulo Exemplo:

A =

7 0 1-

3- 0 2

15 0 3

P2) Se duas filas de uma matriz são iguais, então seu determinante é nulo Exemplo:

A =

3 1 2

9 2 4

3 1 2

P3) Se duas filas de uma matriz são proporcionais, então seu determinante é nulo

Exemplo: A =

6 2 3

4 1 2

2 4 1

P4) O determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais Exemplo:

3

A =

1 2 3-

2 1 4

1- 3 2

P5) Multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em uma matriz, o determinante dessa matriz fica multiplicado por esse número Exemplo:

A =

1 2 3-

2 1 4

1- 3 2

P6) Quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda de sinal. Exemplo:

A =

1 2 3-

2 1 4

1- 3 2

P7) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos, o determinante é igual ao produto dessa diagonal Exemplo:

A =

1 2 3-

0 1 4

0 0 2

B =

1 0 0

2 1 0

1- 3 2

P8) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal secundária são todos nulos, o determinante é igual ao produto dessa diagonal multiplicado por (-1) Exemplo:

A =

1 2 3-

2 1 0

1- 0 0

B =

0 0 3-

0 1 4

1- 0 2

P 9) Para A e B matrizes quadradas de mesma ordem n, temos que Det ( A . B) = Det (A) . Det ( B) Exemplo:

A =

1 2 3-

2 1 4

1- 3 2

B =

5 4 0

3- 3 1

1 1 0

4

OBS. IMPORTANTE: Se Det A = 0 a matriz A NÃO É INVERSÍVEL, ou seja, não existe A-1 P10) Como A . A –1 = I temos que Det ( A –1) = 1 . Det A

P11) Se k , então det (k . A ) = k n . det A Exemplo:

A =

3- 2

4 5 B =

1 2 3-

2 1 4

1- 3 2

Exercícios

1) Calcule o determinante das matrizes abaixo:

a) A =

3 2

1 1 b)

1 1 0

0 1 2

1 3 1

2) Ache os valores de k para os quais 2k 4

k k = 0

3) Ache o determinante de A =

1 4- 1

1- 1/2 3/4

1/3- 1 2/1