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ESCOLA DE ENSINO FUND. E MÉDIO “TENENTE RÊGO BARROS” DIRETORA: DEUSÉLIA NOGUEIRA PROFESSOR: POMPEU ALUNO(a): _____________________________________________ Nº_____

Teoria da Relatividade Especial ou Restrita A teoria da Relatividade Especial, proposta por Albert Einstein (1879-1955)

em 1905, está de acordo com inúmeras experiências, e fez previsões que foram comprovadas experimentalmente depois. Nessa teoria, os fenômenos são analisados em relação a sistemas de referência inerciais, ou seja, a sistemas de referência em relação aos quais vale o Princípio da Inércia. São referenciais inerciais todos os sistemas que estão em repouso ou em movimento retilíneo e uniforme, ou seja, em equilíbrio, portanto sem aceleração.

A teoria da Relatividade Especial tem por base dois postulados: 1° Postulado ou Princípio da Relatividade As leis da Física são as mesmas em todos os sistemas de referência inerciais. Isso significa que não existe um sistema de referência inercial preferencial. Portanto, se uma

experiência é realizada em relação a um sistema de referência inercial, o resultado obtido é o mesmo em relação a qualquer outro sistema de referência em movimento retilíneo e uniforme em relação ao primeiro. O Princípio da Relatividade da Mecânica Clássica, para o qual as leis da Mecânica são as mesmas em todos os sistemas de referência inerciais, foi generalizado por Einstein, que o estendeu a todas as leis da Física. Para que tal generalização fosse possível, Einstein modificou os conceitos de espaço e tempo.

2° Postulado ou Princípio da Constância da Velocidade da Luz A velocidade da luz no vácuo tem o mesmo valor c para todos os sistemas de referência inerciais. A velocidade da luz no vácuo (c ≅ 300.000 km/s = 300.000.000 m/s) é a velocidade

limite do universo. Ela não depende da velocidade da fonte emissora de luz nem do movimento do observador. A velocidade da luz no vácuo é absoluta, pois não depende do sistema de referência inercial adotado. Como conseqüência, os conceitos de espaço e tempo são relativos, isto é, se a velocidade c é constante para todos os observadores, então espaço e tempo, cujo quociente fornece o valor c, podem assumir valores diferentes, dependendo do observador.

Dilatação do tempo Considere uma nave (sistema de referência S’), em movimento retilíneo e uniforme, com velocidade v,

em relação a um sistema de referência inercial S. Num evento como, por exemplo, um raio de luz partindo do chão da nave e atingindo o teto, em relação à nave esse raio percorre a distância D, com velocidade c. O

intervalo de tempo Δt’ medido no referencial S’ é dado por: cD

t' =Δ , portanto, . 't.cD Δ=

Como a nave se move com velocidade v, em relação ao referencial S, a luz percorre a distância L, num

intervalo de tempo Δt. A aplicação do Teorema de Pitágoras fornece:

SÉRIE: 3o Ano TURMA: 32A_ DATA: __/10/2011

2

Sendo v < c, resulta 11 2

2

<−cv

. Logo, Δt > Δt’. Portanto, o intervalo de tempo medido no referencial

S’, em movimento com velocidade v em relação ao referencial S, é menor do que o intervalo de tempo medido no referencial S, ou seja, o tempo passa mais devagar no referencial S. É a dilatação do tempo. O intervalo de tempo Δt’, é denominado intervalo de tempo próprio.

Observe que, sendo a velocidade v desprezível quando comparada com c, podemos fazer 11 2

2

=−cv

.

Nessas condições, resulta Δt = Δt’, de acordo com a Mecânica Clássica. Isso significa que os efeitos relativísticos são significativos quando a velocidade v for muito grande e não desprezível em relação a c.

Exercícios 1. Uma nave se desloca com velocidade v = 0,8c, em relação à Terra. Um observador situado na nave nota que um evento que ali ocorre dura um intervalo de tempo de 30 s. Qual é o intervalo de tempo relativo a este evento medido por um observador na Terra? 2. Um trem se movimenta com velocidade v constante em relação a uma estação. Um determinado evento ocorre no trem durante um intervalo de tempo Δt2, medido por um relógio situado no trem, e Δt1, medido por um relógio da estação. Calcule a velocidade v em função de c, sabendo-se que Δt1 = 2.Δt2. 3. Um astronauta realiza uma viagem espacial numa nave que se desloca com velocidade v = 0,9c, em relação à Terra. Quando o astronauta parte, ele tem exatamente 30 anos e retorna à Terra no dia em que completa 32 anos. Qual seria sua idade se não tivesse realizado a viagem? 4. Uma nave se desloca com velocidade v = 0,6c, em relação à Terra. Um determinado evento ocorre no interior da nave. O intervalo de tempo relativo a este evento medido por um observador na Terra foi de 60 s. Quanto tempo durou esse evento, medido por um observador situado na nave? 5. Um trem se movimenta com velocidade v constante em relação a uma estação. Um sistema massa–mola, situado no interior do trem, oscila com período de 3,0 s, medido por um relógio ligado ao trem, e 5,0 s, medido por um relógio da estação. Calcule a velocidade v em função de c. 6. Uma tripulação de astronautas realiza uma missão durante 5 anos. A nave se desloca com velocidade v = 0,99c, em relação à Terra. Quantos anos se passaram na Terra durante a missão?

2

2

'

c

v1

tt

−

Δ=Δ

)v1(

)t(t

)v1(c

)t.(ct

vc

)t.(ct

)t.(c)vc.()t

)t.(v)t.(c)t.(c

:vem,t.cDet.cL

)t.v(

2

2'2

22

2'22

22

2'22

2'2222

222'222

'

222

−

Δ=

−

Δ=

−

Δ=

Δ=−Δ

Δ+Δ=Δ

Δ=Δ=

ΔDL +=

Sendo

(

Δ

Δ

Δ

7. A teoria da Relatividade Especial: a) só é válida para velocidades desprezíveis em comparação com a velocidade da luz no vácuo.

b) não é válida para referenciais inerciais. c) baseia-se no fato de que a velocidade de propagação da luz no vácuo não depende do sistema de referência inercial em relação ao qual ela é medida. d) baseia-se no fato de que o tempo é absoluto. 8. (UFRN) Nos dias atuais, há um sistema de navegação de alta precisão que depende de satélites artificiais em órbita em torno da Terra. Para que não haja erros significativos nas posições fornecidas por esses satélites, é necessário corrigir relativisticamente o intervalo de tempo medido pelo relógio a bordo de cada um desses satélites. A teoria da relatividade especial prevê que, se não for feito esse tipo de correção, um relógio a bordo não marcará o mesmo intervalo de tempo que outro relógio em repouso na superfície da Terra, mesmo sabendo-se que ambos os relógios estão sempre em perfeitas condições de funcionamento e foram sincronizados antes de o satélite ser lançado. Se não for feita a correção relativística para o tempo medido pelo relógio de bordo: a) ele se adiantará em relação ao relógio em terra enquanto ele for acelerado em relação à Terra. b) ele ficará cada vez mais adiantado em relação ao relógio em terra. c) ele se atrasará em relação ao relógio em terra durante metade de sua órbita e se adiantará durante a outra metade da órbita. d) ele ficará cada vez mais atrasado em relação ao relógio em terra. 9. (Enem) Suponha que uma espaçonave viaje com velocidade v = 0,80c, onde c é a velocidade da luz. Supondo que se possa desprezar os tempos de aceleração e desaceleração da nave durante uma jornada de ida e volta que leva 12 anos, medidos por um astronauta a bordo, pode-se afirmar que um observador que permaneceu na Terra terá envelhecido, em anos: a) 9,6 b) 12 c) 15 d) 20 e) 10

Contração do espaço Considere uma nave (sistema de referência S’), em movimento retilíneo e uniforme, com velocidade v, em

relação a um sistema de referência inercial S. Uma barra fixa em relação ao referencial S está disposta na direção do movimento da nave. Um

observador 0, fixo em S, marca o intervalo de tempo Δt que a nave demora para passar pela barra, medindo seu comprimento L, tal que: t.vL Δ= (1)

3

Em relação à nave, o referencial S se desloca com velocidade v e um observador 0’, fixo na nave, registrará um intervalo de tempo Δt’, durante o qual a barra passa por ele. 0’ mede o comprimento da barra,

tal que: (2). '' t.vL Δ=

De (1) e sendo

2c

2v1

'tt

−

Δ=Δ , vem:

2

2

'

c

v1

t.vL

−

Δ= .

Logo:

2

2

'

c

v1

LL

−

=

Como 112

2

<−cv

, resulta L > L’. Portanto, o comprimento da barra é menor quando medido pelo

observador fixo no referencial em relação ao qual a barra está em movimento (no caso em questão é o referencial S’). Tem-se a contração do espaço. L é o comprimento da barra medido pelo observador em relação ao qual a barra está em repouso. Ele é denominado comprimento próprio. Observe que a contração da barra ocorre na direção do movimento.

Note que, sendo a velocidade v desprezível quando comparada com c, podemos fazer 112

2

=−cv

.

Nessas condições, resulta: L = L’, de acordo com a Mecânica Clássica. Na figura a seguir, temos uma nave (referencial S’) que se afasta da Terra (referencial S) com velocidade

v. Uma barra está disposta na nave na direção do movimento.

4

O comprimento da barra, em relação ao referencial S’, é o comprimento próprio L’. O comprimento L

medido pelo referencial S, em relação ao qual a barra está em movimento, apresenta-se contraído, isto é, L <

L’. Neste caso, escrevemos:

2

2

'

c

v1

LL

−

=

Exercícios

to da barra medido por um observador na Terra? Sabe-se que a barra stá disposta na direção do movimento.

se aproxima da Terra com velocidade v = 0,6c. Qual é a altura da torre medida por um observador na nave?

10. Uma barra de comprimento 2,0 m é transportada por uma nave que se desloca em relação à Terra com velocidade v = 0,7c. Qual é o comprimene 11. Uma torre possui altura igual a 50 m. Uma nave

12. Um carro se movimenta com velocidade v constante em relação ao solo. O comprimento do carro é de 4,0 m. Um observador parado no solo avalia o comprimento do carro em 3,2 m. Calcule a velocidade vem função e c.

velocidade da nave, qual a distância da Terra até a estrela lfa, medida por um observador situado na nave?

v = 0,8c em relação soa encontra-se parada na calçada.

na avenida possui 10 m de frente. Qual o comprimento da frente da casa medida pelo otorista do carro?

s a velocidade de propagação da luz no vácuo, determine a velocidade da régua em lação ao sistema S.

is tarde, a Teoria da Relatividade Restrita formulada pelo próprio Einstein

ge da pessoa e se reflete no espelho não depende da

l, porque a luz refletida pelo espelho, jamais poderia retornar ao observador, estando no mesmo

z, a distância entre a pessoa e o espelho se reduziria a zero,

iam num mesmo referencial e, nesse caso, seriam válidas as leis

que nesse caso permanecem em repouso em lação ã pessoa e, portanto, nunca poderiam atingir o espelho.

direção ao solo. Relativamente um referencial no múon, qual é a distância que ele percorre até atingir o solo?

d 13. A estrela alfa da constelação do Centauro está situada a 4,5 anos-luz da Terra. Uma nave espacial parte da Terra em direção a essa estrela. Sendo v = 0,9c aa 14. Considere a seguinte hipótese: um carro se movimenta numa avenida com velocidade ao solo. O comprimento do carro é de 4,0 m. Uma pesa) Qual o comprimento do carro medido pela pessoa? b) Uma casa situadam 15. Uma régua de 30 cm de comprimento se desloca em movimento retilíneo e uniforme, em relação a um sistema de referência inercial S. Um observador situado em S mede o comprimento da régua e encontra 20 cm. Sendo c = 3,0.108 m/re 16. (Enem) Segundo se conta, desde a adolescência Einstein refletia sobre algumas questões para as quais as respostas dadas pela física da sua época não o satisfaziam. Uma delas, conhecida como "o espelho de Einstein", era a seguinte: se uma pessoa pudesse viajar com a velocidade da luz, segurando um espelho a sua frente, não poderia ver a sua imagem, pois a luz que emergisse da pessoa nunca atingiria o espelho. Para Einstein, essa era uma situação tão estranha que deveria haver algum princípio ou lei física ainda desconhecido que a "impedisse" de ocorrer. Mamostrou que essa situação seria: a) impossível, porque a velocidade da luz que emervelocidade da pessoa, nem da velocidade do espelho. b) Impossívereferencial. c) impossível, porque estando à velocidade da lutornando os dois corpos indistinguíveis entre si. d) possível, porque a pessoa e o espelho estarda física clássica que admitem essa situação. e) possível, porque a luz é composta de partículas, os fótons, re 17. Partículas chamadas múons são criadas na atmosfera, a cerca de 20 km de altitude, através da colisão de raios cósmicos com núcleos atômicos e se movem com velocidade v = 0,99c em a

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18. Um retângulo de lados a = 10 cm e b = 20 cm desloca-se com velocidade v = 0,6c, em relação a um sistema de referência inercial S. O lado a se movimenta na direção da velocidade. Um observador em S verá um retângulo de área: a) 250 cm2 b) 128 crn2 c) 102,4 cm2 d) 200 cm2 e) 160 cm2

A massa relativística Sabemos da Mecânica Clássica que uma força produz em um corpo uma variação de velocidade.

Sabemos ainda que a massa é uma medida da inércia de um corpo. Desse modo, segundo a Mecânica Clássica, aplicando-se em um corpo uma força, podemos aumentar sua velocidade indefinidamente. Entretanto, na Relatividade isso não é possível, pois a velocidade da luz é a velocidade limite do universo. O que significa que, a medida que a velocidade de um corpo aumenta, sua inércia aumenta e tende a ficar infinitamente grande quando a velocidade do corpo tende à velocidade da luz. Seja então mo a massa de um corpo em repouso em relação a um sistema de referencia inercial e m sua massa quando dotado de velocidade v. As massas m e mo relacionam-se por:

2

2

1cv

mm o

−

=

Nessa formula, mo e chamada massa de repouso; e m, massa relativística.

Como 112

2

<−cv

, resulta m > mo. Observe que, sendo a velocidade v desprezível quando

comparada com c, podemos fazer 112

2

=−cv

. Nessas condições, resulta m = mo, de acordo com a

Mecânica Clássica.

Energia relativística Da equação da massa relativística, observamos que a massa é função da velocidade e, portanto, da

energia. Verificamos assim que há uma equivalência entre massa e energia. Isso não significa que massa pode ser convertida em energia e energia pode ser convertida em massa, mas que energia tem massa (inércia).

A relação entre a energia própria E de um corpo e sua massa m é dada pela formula de Einstein: E = m.c2

A energia de repouso é dada por:

Eo = mo.c2

A diferença entre a energia relativística E e a energia de repouso Eo representa a energia cinética do corpo:

EC = E – Eo ⇒ EC = m.c2 – mo.c2

Exercícios

19. Uma nave, cuja massa de repouso é igual a uma tonelada (1,0 t), desloca-se com velocidade v, em relação a um sistema inercial S. Calcule a massa relativística da nave nos casos: a) v = 0,001c, isto é, v = 300 km/s. b) v = 0,1c, isto é, v = 30 000 km/s. 20. Um grão de areia possui massa de repouso igual a 1,0 g. A velocidade de propagação da luz no vácuo é 3,0.108 m/s. Calcule a energia de repouso armazenada no grão de areia, em joule e em quilowatt-hora. 21. Sabe-se que 1 eV (um elétron-volt) é uma unidade de energia que corresponde a 1,6.10-19 J. Um elétron possui massa de repouso mo = 9,11.10-31 kg. Calcule a energia de repouso que o elétron armazena. Dê a resposta em Mev (Mev = 106 eV). Dado: c = 3,0.108 m/s. 22. Qual deve ser a velocidade de um elétron para que sua massa seja 3000 vezes maior do que sua massa de repouso? 23. Uma folha de papel possui massa de repouso igual a 5,0 g. A velocidade de propagação da luz no vácuo é 3,0.108 m/s. a) Calcule a energia de repouso armazenada na folha, em joule e em quilowatt-hora. b) Durante quanto tempo a energia calculada no item anterior poderia abastecer uma residência que consome mensalmente 400 kWh?

6

24. A energia cinética de uma partícula é o dobro de sua energia cinética de repouso. Qual a velocidade da partícula? 25. (UFSC) Assinale a(s) proposição(ões) correta(s): 01. A Teoria da Relatividade afirma que a velocidade da luz não depende do sistema de referência. 02. A Mecânica Clássica não impõe limitação para o valor da velocidade que uma partícula pode adquirir, pois, enquanto aluar uma força sobre ela, haverá uma aceleração, e sua velocidade poderá crescer indefinidamente. 04. A Teoria da Relatividade não limita a velocidade que uma partícula pode adquirir. 08. Tanto a Mecânica Clássica como a Teoria da Relatividade asseguram que a massa de uma partícula não varia com a velocidade. 16. Pela Teoria da Relatividade podemos afirmar que a luz se propaga no vácuo com velocidade constante c = 300 000 km/s, independentemente da velocidade da fonte luminosa ou da velocidade do observador; então é possível concluir que a luz se propaga em todos os meios com velocidade constante e igual a c. 32. A Teoria da Relatividade permite concluir que quanto maior for a velocidade de uma partícula, mais fácil será aumentá-la, ou seja, quanto maior for a velocidade, menor será a força necessária para produzir uma mesma aceleração. Dê como resposta a soma dos números que precedem as proposições corretas. 26. (ITA) Experimentos de absorção de radiação mostram que a relação entre a energia E e a quantidade de movimento p de um fóton é E = pc. Considere um sistema isolado formado por dois blocos de massas m1 e m2, respectivamente, colocados no vácuo, e separados entre si de uma distância L. No instante t = O, o bloco de massa m1 emite um fóton que é posteriormente absorvido inteiramente por m2, não havendo qualquer outro tipo de interação entre os blocos (ver figura abaixo). Suponha que m1 se torne m’1 em razão da emissão do fóton e, analogamente, m2 se torne m’2 devido à absorção desse fóton. Lembrando que esta questão também pode ser resolvida com recursos da Mecânica Clássica, assinale a opção que apresenta a relação correta entre a energia do fóton e as massas dos blocos. a) E = (m2 – m1).c2

b) E = (m’1 – m’2).c2 c) E = (m’2 – m2).c2/2 d) E = (m’2 – m1).c2 e) E = (m1 – m’1).c2

27. (Enem) Um feixe de elétrons é acelerado até que cada elétron adquira energia o cinética equivalente a 32

de sua energia

de repouso Eo. Nesse instante, a quantidade de movimento e a velocidade de cada um desses elétrons são, respectivamente, iguais a:

a) cecEo .

3

2.

3

2

b) cecEo .67,0.

3

2

c) cecEo .67,0.

32

d) cecEo .75,0.

34

e) cecEo .80,0.

34

28. (UFPA) Suponha que pudéssemos construir uma nave espacial capaz de deslocar-se sempre com velocidade de 0,6c (c= velocidade da luz no vácuo) em uma viagem de ida e volta a uma região do universo distante 15 anos-luz da terra. Tendo em vista a Teoria da Relatividade Restrita e os dados acima, responda: a) Quais os dois postulados nos quais se baseia esta teoria? b) Qual a duração, em ano, desta viagem, para um observador na terra? c) E para um observador situado na nave, qual seria, em ano, a duração da viagem? d) Ainda para um observador na nave, qual a distância, em ano-luz, que ele mediria, do ponto de retorno da nave até a terra? Gabarito:

1. 50 s 2. c23

3. 34,6 anos 4. 48 s 5. 0,8.c 6. 35,46 anos 7. c 8. d 9. d 10. 1,43 m 11. 40 m 12. 0,6.c 13. 1,96 ano-luz

14. a) 2,4 m; b) 6,0 m 15. 2,24.108 m/s 16. a 17. 2,82 km 18. c 19. a) 1.000.000,6 g; b) 1005 kg 20. 2,5.107 kwh 21. 0,51

Mev 22. 0,9999998.c 23. a) 4,5.1014 J; 1,25.108 kwh; b) 312500 meses 24. c322

25. (03) 26. d 27. e

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