1. Um topógrafo está usando uma bússola a 6,3 m abaixo de uma linha de transmissão

que conduz uma corrente de 120 ampères. Esta corrente interferirá sensivelmente na leitura da bússola? A componente horizontal do campo magnético terrestre vale cerca de 0,21 gauss (21 µT).

2. Um condutor retilíneo por onde passa uma

corrente i se divide em dois semicírculos idênticos como mostra a figura. Qual é a intensidade do campo magnético no centro C da espira circular resultante?

3. A figura (a) mostra um segmento de fio encurvado de

modo a formar uma espira circular, por onde passa uma corrente i. Na Fig. (b), o mesmo segmento de fio forma um enrolamento de duas espiras, de raio menor. (a) Se Ba e Bb são os módulos dos campos magnéticos nos centros dos dois enrolamentos, qual é o valor da razão Bb / Ba? (b) Qual a razão entre seus momentos de dipolo, µb / µa ?

4. A figura mostra um dispositivo chamado de bobinas de

Helmholtz, que consiste em duas bobinas circulares coaxiais de N voltas cada uma e raio R, separadas por uma distância R. Elas são percorridas por correntes iguais i em módulo e sentido. Calcule o campo magnético em P, o ponto médio entre as bobinas.

5. Um longo grampo de cabelo é formado

dobrando-se um fio, como mostra a figura. Se uma corrente i de 11,5 A passar pelo fio, (a) quais serão a direção, o sentido e a intensidade de B no ponto a?(b) e no ponto b, que está muito distante de a? Considerar R = 5,20 mm.

6. Um segmento de fio de comprimento L é

percorrido por uma corrente i. (a) Mostre que o campo magnético gerado por este segmento no ponto P, que está a uma distância perpendicular D de um dos extremos do fio (veja figura), é

dado por ( ) 2122

0

4 DLL

diB

+=

πµ . (b) Mostre que o

campo magnético é nulo no ponto Q, ao longo da reta que coincide com o fio. 7. Considere o circuito da figura. Os segmentos curvos são

arcos de círculos de raios a e b. Os segmentos retilíneos são radiais. Ache o campo magnético B em P, supondo uma corrente i percorrendo o circuito..

IF/UFRJ – Física III – 2011/2 – Raimundo Turmas IFA+OV1+IGM+IM+BCMT

9a Lista de Problemas – Leis de Biot-Savart e de Ampère

8. (a)Mostre que B, no centro de uma espira retangular, de comprimento L e largura d,

percorrida por uma corrente i é dada por ( )LdRLiB

21220 42 +

=πµ (b) A que se reduz

B quando L >> d? Este é o resultado que se deveria esperar? 9. Uma espira quadrada, de lado a, conduz uma corrente i. (a) Mostrar que B, num

ponto do eixo da espira e a uma distância z do centro, é dado por

€

B(z) =4µ0ia

2

π 4z2 + a2( ) 4z2 + 2a2( )12

; (b) A que esta expressão se reduz para z = 0?

10. O campo magnético B para pontos do eixo de uma espira quadrada de lado a

percorrida por uma corrente é dado no Problema 9. (a) Mostre que o campo axial para esta espira, quando z >> a, é o de um dipolo magnético. (b) Ache o momento de dipolo magnético desta espira.

11. Considere um fio, de comprimento L, conduzindo uma corrente i. Ele pode ter a

forma de uma circunferência ou de um quadrado. Qual dessas figuras dará o maior valor de B no ponto central?

12. A figura mostra uma seção reta de uma lâmina longa de largura l percorrida por uma

corrente i uniformemente distribuída, entrando na página. Calcule o campo magnético B num ponto P no plano da lâmina e a uma distância d da sua borda. (Sugestão: Considere a lâmina como construída por muitos fios finos, longos e paralelos).

13. Dois fios longos, separados pela distância d conduzem

correntes i iguais e de sentidos opostos, como se vê na figura. (a) Mostre que B, no ponto P eqüidistante dos

fios, é dado por ( )220

42

dRidB+

=π

µ . (b) Qual a direção e o

sentido de B? 14. É dado um circuito fechado com raios a e b, como ilustra

a figura, percorrido por uma corrente i. Ache o momento de dipolo magnético do circuito.

15. No Problema 4 vamos chamar a separação das bobinas de s (que não precisa ser

igual ao raio R das bobinas). (a) Mostre que a derivada primeira do campo magnético, dzdB , se anula no ponto médio P para qualquer valor de s. Por que isto é esperado a partir de considerações de simetria? (b) Mostre que a derivada segunda do campo magnético, 22 dzBd , também se anula em P se s = R. Isto justifica a uniformidade de B no entorno do ponto P para esta separação particular das bobinas.

16. Um disco de plástico, de raio R, tem uma carga q uniformemente distribuída em sua superfície. Se o disco girar com velocidade angular ω em torno do seu eixo, mostre

que (a) o campo magnético no centro do disco será igual a RqB

πωµ20= e (b) o

momento de dipolo magnético do disco valerá 4

2qRωµ = . (Sugestão: O disco, ao

girar, torna-se equivalente a um conjunto de espiras circulares de corrente). 17. Considere uma espira retangular percorrida por uma

corrente i, como é visto na figura. O ponto P está a uma distância x do centro da espira, tal que x >> a, b. Encontre uma expressão para o campo magnético em P, devido à espira. Relacione seu resultado com o campo de um dipolo magnético. (Sugestão: Lados opostos do retângulo podem ser considerados em conjunto, mas analise cuidadosamente a orientação de B devido a cada lado.)

18. Mostre que é impossível um campo magnético B uniforme cair abruptamente a zero, considerando-se um percurso perpendicular às suas linhas de indução, como o indicado pela seta horizontal da figura (veja o ponto a). Em ímãs reais, sempre aparece uma deformação das linhas de força, o que significa que B tende a zero de modo gradual e contínuo. (Sugestão: Aplicar a Lei de Ampère ao trajeto retangular indicado pelas linhas tracejadas.) Modifique as linhas de B na figura, de modo a indicar uma situação mais realística.

19. A figura mostra um cilindro oco, de raios a e b, conduzindo uma

corrente i, uniformemente distribuída em sua seção reta. (a) Mostre que o campo magnético, B(r), para pontos internos do

condutor (i.e., b < r < a), vale ( ) rbr

baiB

22

220

2−

−=

πµ . (b)

Verifique a validade deste resultado para os casos particulares r = a, r = b, b = 0. (c) Suponha a = 2,0 cm, b = 1,8 cm, e i = 100 A, e trace o gráfico de B(r) no intervalo 0 < r < 6 cm.

20. A figura mostra, em corte transversal, um longo condutor, chamado de cabo coaxial,

com raios a, b e c. Os dois condutores são percorridos por correntes i iguais, uniformemente distribuídas, mas de sentidos opostos. (a) Deduza expressões para B(r) em todo o espaço. (b) Teste seus resultados em todos os casos limites que você puder imaginar. (c) Suponha a = 2,0 cm, b = 1,8 cm, c = 0,40 cm e i = 120 A, e trace o gráfico de B(r) no intervalo 0 < r < 3 cm.

21. A densidade de corrente dentro de um fio sólido, longo, e cilíndrico de raio a é paralela ao eixo; seu módulo varia linearmente com a distância radial ao eixo, de acordo com a lei j = j0r/a. Calcule o campo magnético no interior do fio. Expresse sua resposta em termos da corrente total i transportada pelo fio.

22. A figura mostra a seção reta de um condutor cilíndrico longo, de

raio a, que contém uma cavidade também cilíndrica e longa, de raio b. Os eixos dos dois cilindros são paralelos e estão a uma distância d. Uma corrente i é uniformemente distribuída pela área tracejada na figura. (a) Use o princípio de superposição para mostrar que o campo magnético no centro da cavidade é

( )220

2 baidB−

=πµ . (b) Analise os dois casos particulares b = 0 e d =

0. (c) É possível usar a lei de Ampère para mostrar que o campo no interior da cavidade é uniforme? (Sugestão: Imagine a cavidade cilíndrica como se estivesse preenchida por duas correntes de mesma intensidade, mas de sentidos opostos, logo uma cancelando a outra. Suponha que uma destas correntes tem densidade igual àquela do condutor real. Superponha, então, os campos devidos aos dois cilindros completos de corrente, de raios a e b, com a densidade sendo a mesma para ambos.)

Respostas: 3. (a) 4; (b) ½.

7. ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −ab

i 1140

πθµ , saindo do plano da figura.

12. ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +dl

li 1ln

20

πµ , para cima.

14. ( )22

21 bai +π .

20. (a) 20

2 cir

πµ ; (b)

ri

πµ20 ; (c) 22

220

2 bara

ri

−

−πµ ; (d) 0.

21. 3

20

2 airπµ