Aula 19

Problemas de Otimização

Introdução

Nesta aula, apresentaremos problemas de

maximização e minimização aplicados à

diversas áreas. O primeiro passo para

resolver este tipo de problema é determinar,

de forma precisa, a função a ser otimizada.

Introdução

Em geral, obtemos uma expressão de duas

variáveis, mas usando as condições

adicionais do problema,esta expressão pode

ser reescrita como uma função de uma

variável derivável e assim poderemos

aplicar os teoremas relacionados a teoria

máximo e mínimos de funções.

Aplicação 1

De uma folha retangular de metal de 30cm

de largura deve-se fazer uma calha dobrando

as bordas perpendicularmente à folha.

Quantos centímetros devem ser dobrados de

cada lado de modo que a calha tenha

capacidade máxima?

Solução da Aplicação 1

30 cm

Solução da Aplicação 1

30 2 cmxxx

Solução da Aplicação 1

30 2 cmx

x

x

Solução da Aplicação 1

30 2 cmx

x

x

A capacidade da calha

será máxima quando

a área do retângulo de

lados e 30 2 cm

for máximo.

x x

Solução da Aplicação 1

30 2 cmx

xVamos denotar a função

área doretângulo por

30 2f x x x

230 2f x x x

Com 0 30,odomíniode édefinido por 0,15x f

2Diferenciando 30 2 , temos:f x x x

30 4f x x

Solução da Aplicação 1

O ponto crítico 7,5 é dado pela solução da equação

30 4 0.

x

f x x

30 4f x x

Como 4 e 7,5 4 0, teremos que

7,5 é ponto de máximo local de .

f x f

x f

Segue-se que devem ser dobrados 7,5 cm de cada lado

para obtermos a capacidade máxima da calha.

Solução da Aplicação 1

15,0cm

7,5cm

7,5cm

Observação

Como o número de tipos de problemas de

otimização é ilimitado, é difícil estabelecer

regras específicas para obter as respectivas

soluções. Todavia, podemos desenvolver

uma estratégia geral para obter tais

problemas. Como se segue:

Diretrizes

1.Ler cuidadosamente o problema várias

vezes, meditando sobre os fatos

apresentados e as quantidades

desconhecidas a serem determinadas.

Diretrizes

2.Se possível, esboçar um diagrama e

rotulá-lo adequadamente,introduzindo

variáveis para representar as quantidades

desconhecidas. Expressões tais como o que,

ache, quanto, a que distância ou quanto

devem alertá-lo para as quantidades

desconhecidas.

Diretrizes

3.Registrar os fatos conhecidos juntamente

com quaisquer relações envolvido as

variáveis.

4.Determinar qual variável deve ser

maximizada ou minimizada, e expressar

esta variável como função de uma das

outras variáveis.

Diretrizes

5.Determinar os pontos críticos da função

obtida em 4.

6.Determinar se os pontos encontrados em 5,

são de máximo ou de mínimo pelos testes

de derivadas primeira e/ou segunda.

7. E acima de tudo ter determinação na hora

de estudar matemática.

Aplicação 2

Deve-se construir uma caixa de base

retangular, com uma folha de cartolina de 40

cm de largura e 52 cm de comprimento,

retirando-se um quadrado de cada canto da

cartolina e dobrando-se perpendicularmente

os lados resultantes.

Aplicação 2

Determine o tamanho do lado do quadrado

que permite construir uma caixa de volume

Máximo.

Obs: Desprezar a espessura da cartolina

Solução da Aplicação 2

40cm

52cm

Folha de Cartolina

Solução da Aplicação 2

40cm

52cm

40 2x

52 2x

x

x

Solução da Aplicação 2

40 2x

cmx

52 2x

A quantidade a ser maximizada é o volume da caixa

a seguir.

V

Cuja equação é dada por 40 2 52 2 V x x x

Solução da Aplicação 2

Para achar os pontos críticos da função ,

basta resolver a equação . 0V x

2 340 2 52 2 4 520 46 V x x x V x x x

V

Como 0 40, o domínio de é 0 20.x x x

2Sendo 4 520 92 3 ,logo teremos:V x x x

24 520 92 3 0V x x x

Solução da Aplicação 2

1 2

1

2

Ao resolver a equação dada, vamos obter como

raízes (aproximada) 23,19 e 7,47,que

são possíveis pontos crítricos. Como 23,19

está fora do domínio da função, logo o único

ponto crítico é 7,47.

x x

x

x

Como é contínua em 0,20 , temos que os

pontos 0 20 do domínio dão o valor

mínimo 0 0 20 .

V

x e x

V V

Solução da Aplicação 2

2

2

Para o ponto crítico 7,47, obtemos

15,537cm , que é o valor máximo.

Conseqentemente, deve-se cortar um quadrado

de 7,47 cm de lado, de cada canto da folha de

cartolina, para maximizar o volume da ca

x

V

ixa.

Aplicação 3

Determine dois números reais positivos cujasoma é 70 e tal que seu produto seja omaior possível.

Solução da Aplicação 3

Considere , 0 tal que 70; logo

, 0,70 ;o produto é dado por .

x y x y

x y P xy

Esta é a função que devemos maximizar.

Como 70 ,substituindo em :

70

y x P

P x xy x x

: 0,70 éuma função derivável.

Sendo assim, teremos 70 2 .

P

P x x

Solução da Aplicação 3

Onde o ponto crítico é dada pela solução da

equação 0,sendo o mesmo igual 35.P x

Analisando o sinal de ,é claro que este ponto

é ponto de máximo para e 35; logo,

1225.Note 0 =P 70 =0

P

P y

P P

Aplicação 4

x

y

,x y

0,0

d

Determine os pontos da curva 1 mais

próximo da origem.

xy

Observação:

A representação

gráfica da curva

1 é dada

por

xy

Solução da Aplicação 4

2 2

A função que determina a distância entre a

origem 0,0 e um ponto qualquer , da

curva 1 é dada por

0,0 ; , .

x y

xy

d x y x y

Solução da Aplicação 4

2 2 2

Minimizar é equivalente a minimizar

0,0 ; , ;mais como ,

1pertenceà curva, temos ; logo, obtemos

a seginte função:

d

d x y x y x y

yx

2

2

1f x x

x

Solução da Aplicação 4

2

2

1Derivando a função , obtemos:f x x

x

3

2 2f x x

x

3

2Ao resolver a equação 2 0,vamosobter

os pontos críticosda função .

xxf

Solução da Aplicação 4

3

2Resolução da equação2 0.x

x

44

3 3

2 2 22 0 0 2 2 0

xx xx x

4 1 0 1x x

1 são ospontos da função f

Solução da Aplicação 4

4

Calculando a segunda derivada de , temos que

62 .

f

f xx

Como 1 0 e 1 0 , concluimos

que 1 e 1 são pontos de mínimo.

f f

Portanto os pontos mais próximos da origem

são 1,1 e 1, 1 .

Aplicação 5

3

2

Um recipiente cilíndrico, aberto em cima, deve

ter a capacidade de 375 cm .O custo do material

usado para a base do recepiente é de 15 centavos

por cm e o custo do material usado para a parte

curva é

2de 5 centavos por cm . Se não há perda

de material, determine as dimensões que

minimizem o custo do material.

Solução da Aplicação 5

Começamos fazendo um esboço do recipiente

denotandopor o raio em da base e por

a altura em .

r cm

h cm

h

r

Solução da Aplicação 5

A quantidade a minimizar é o custo C do

material. Como os custos, por centímetros

quadrados, da base e da parte curva são 15

centavos e 5 centavos, respectivamente,

temos, em termos reais.

Solução da Aplicação 5

15 área da base 5 área da parte lateral ,

Assim:

C Determinando a função custo, temos:

15 área da base 5 área da parte lateralC

215 5 2C r rh