Aula 29

Vetores Normal e Binormal, velocidade e aceleração

Vetor Normal e Binormal

Vetor Normal e Binormal

( )( )

( )

T tN t

T t

Vetor Normal

( ) ( ) ( )B t T t N t Vetor Binormal

Exemplo 6

Determine os vetores normal e binormal da hélice circular

( ) cos senr t t i t j t k

( )( ) cos i sen j

( )

T tN t t t

T t

1( ) ( ) ( ) (sen , cos ,1)

2B t T t N t t t

Plano Normal e Osculador

O Plano determinado pelos vetores normal e binormal N e B em um ponto P sobre a curva C é chamado plano normal de C em P.

O Plano determinado pelos vetores tangente e normal T e N em um ponto P sobre a curva C é chamado plano osculador de C em P.

Exemplo 7

Determine as equações do plano normal e do plano osculador da hélice circular

no ponto P(0, 1, /2)

( ) cos senr t t i t j t k

02

x z

Plano Normal

02

x z

Plano Osculador

Exemplo 7

Plano Osculador

Círculo Osculador

O círculo do plano osculador C em P que tem a mesma tangente que C em P, e fica do lado côncavo de C e cujo raio = 1/ é chamado círculo osculador ou círculo da curvatura de C em P.

É o círculo que melhor descreve o comportamento da curva C perto de P.

Têm mesma tangente, normal e curvatura

Exemplo 8

Determine e desenhe o círculo osculador da parábola y = x2 na origem.

Círculo

Osculador

3/ 22

( )( )

1 ( )

f xx

f x

22 1 1

2 4x y

Velocidade

0

( ) ( )( ) lim

h

r t h r tv t

h

( )r t

Rapidez

A Rapidez da partícula no instante t é o módulo do vetor velocidade, ou seja,

é a taxa de variação da distância em relação ao tempo.

( ) ( )v t r t ds

dt

Aceleração

 aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, ou seja,

( ) ( )a t v t ( )r t

Exemplo 1

O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado por

Determine a velocidade, a rapidez e a aceleração do objeto no instante t=1 e ilustre geometricamente.

3 2( ) .r t t i t j

Solução

2( ) ( ) 3 2 .v t r t t i t j

( ) ( ) 6 2 .a t r t t i j

Exemplo 2

Determine a velocidade, a rapidez e a aceleração de uma partícula com vetor

posição2( ) , , .t tr t t e te

( ) ( ) 2 , , (1 ) .t tv t r t t e t e

( ) ( ) 2, , (2 ) .t ta t r t e t e

Exemplo 3

Uma partícula se move de uma posição inicial com velocidade inicial . Sua aceleração é dada por

. Determine a velocidade e posição no instante t.

(0) 1,0,0r (0) i j kv

( ) 4 i 6 j ka t t t

2 2( ) (2 1) i (3 1) j ( 1) kv t t t t

3 3 22 1( ) 1 i ( ) j k

3 2r t t t t t t t