Cinemática em 2D e 3D o vetores posição, velocidade e aceleração o movimento com aceleração constante, movimento de

projéteis o Cinemática rotacional, movimento circular uniforme

• Localizar um objeto é dizer sua posição com relação a um sistema de coordenadas (em nosso caso um sistema de coordenadas ortogonais).

• caso 1D: precisávamos de um único número para definir a posição no eixo 𝑥.

• caso 3D: precisamos de três números (ou um vetor) para localizar uma partícula num ponto P(𝑥, 𝑦, 𝑧).

74 Física I

partícula nesse instante é um vetor que vai da origem do sistema de coordenadas até o ponto P (Figura 3.1). As coordenadas cartesianas x, y e z do ponto P são os componentes x, y e z do vetor . Usando os vetores unitários introduzidos na Seção 1.9, podemos escrever

Vetores unitários nas direções dos eixos Ox, Oy e Oz

Coordenadas da posição da partícula

S ^r xd ye z^^ k (3.1)Vetor posição de uma partícula em dado instante... = + +

Durante um intervalo de tempo !t, a partícula se move de um ponto P1, onde o vetor posição é 1, até um ponto P2, onde o vetor posição é 2. A variação da posição (o deslocamento) durante esse intervalo é ! " 2 # 1 " (x2 # x1) $ (y2 # y1) $ (z2 # z1) . Definimos a velocidade média m do mesmo modo que fizemos no Capítulo 2 para um movimento retilíneo, como o deslocamento divi-dido pelo intervalo (Figura 3.2):

Mudança no vetor posição da partícula

Tempo final menos o tempo inicialIntervalo de tempo

Posição final menos a posição inicial (3.2)

Vetor velocidade médiade uma partícula durante um intervalo de tempo de t1 a t2

SSvm

!t!r

t2 --

=== t1

r2 r1S S

Note que dividir um vetor por um escalar é um caso especial de multiplicar o vetor por um escalar, descrito na Seção 1.7; a velocidade média m é igual ao vetor deslocamento ! multiplicado por 1/!t. Note também que o componente x da Equação 3.2 é vmx " (x2 – x1)/(t2 – t1) = !x/!t. É exatamente a Equação 2.2, a expressão para a velocidade média que encontramos na Seção 2.1 para o movi-mento unidimensional.

Agora, definimos a velocidade instantânea tal como no Capítulo 2: é a taxa instantânea de variação do vetor posição com o tempo. A diferença fundamental é que agora a posição e a velocidade instantânea são vetores:

...é igual ao limite de seu vetor velocidade média quando o intervalo de tempo se aproxima de zero...

...e se iguala à taxa instantânea de mudança do seu vetor posição.

(3.3)O vetor velocidade instantânea de uma partícula...

S

Sv !t!r S

dtdr

lim!t S 0

= =

O módulo do vetor em qualquer instante é a velocidade v da partícula no re-ferido instante. A direção de é a direção em que ela se move no referido instante.

Note que, quando !t 0, os pontos P1 e P2 na Figura 3.2 ficam cada vez mais próximos. Nesse limite, o vetor ! torna-se tangente à curva. A direção do vetor ! nesse limite também é igual à direção da velocidade instantânea. Dessa forma, o vetor velocidade instantânea é tangente à trajetória em cada um dos seus pontos (Figura 3.3).

Normalmente é mais fácil calcular o vetor velocidade instantânea usando com-ponentes. Durante qualquer deslocamento de ! , as variações !x, !y e !z das três coordenadas da partícula são os componentes de ! . Daí se conclui que os componentes vx, vy e vz da velocidade instantânea " vx $ vy $ vz são simplesmente as derivadas das coordenadas x, y e z em relação ao tempo. Ou seja:

(3.4)

...é igual às variações de suas coordenadas correspondentes.

Cada componente de um vetor velocidade instantânea de uma partícula...

vx = dtdx

vy = dtdy

vz = dtdz

Figura 3.1 O vetor posição da origem O até o ponto P possui componentes x, y e z.

rS

^

^

k

A posição P de uma partícula em dado instante possui coordenadas x, y, z.

z

y

xx

zP

O

y

z xd

ye

O vetor posição do ponto P possui componentes x, y, z:r = x d + ye + zk.^ ^ ^S

Figura 3.2 A velocidade média m entre os pontos P1 e P2 possui a mesma direção e o mesmo sentido do vetor deslocamento ! .

S

S

S

S

S =

Posição da partícula no instante t1

Posição da partícula no instante t2

z

y

x

O

Trajetória da partícula.

P1

P2

r2 ! r

Vetor deslocamento ! r aponta de P1 para P2.

S

vm! r!t

r1

Figura 3.3 Os vetores 1 e 2 são as velocidades instantâneas nos pontos P1 e P2 mostrados na Figura 3.2.

S

S

z

y

x

O

Trajetória da partícula

P1

P2

v2

O vetor velocidade instantânea v é tangente à trajetória em cada ponto.

S

v1

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Movimento 2D e 3D

74 Física I

partícula nesse instante é um vetor que vai da origem do sistema de coordenadas até o ponto P (Figura 3.1). As coordenadas cartesianas x, y e z do ponto P são os componentes x, y e z do vetor . Usando os vetores unitários introduzidos na Seção 1.9, podemos escrever

Vetores unitários nas direções dos eixos Ox, Oy e Oz

Coordenadas da posição da partícula

S ^r xd ye z^^ k (3.1)Vetor posição de uma partícula em dado instante... = + +

Durante um intervalo de tempo !t, a partícula se move de um ponto P1, onde o vetor posição é 1, até um ponto P2, onde o vetor posição é 2. A variação da posição (o deslocamento) durante esse intervalo é ! " 2 # 1 " (x2 # x1) $ (y2 # y1) $ (z2 # z1) . Definimos a velocidade média m do mesmo modo que fizemos no Capítulo 2 para um movimento retilíneo, como o deslocamento divi-dido pelo intervalo (Figura 3.2):

Mudança no vetor posição da partícula

Tempo final menos o tempo inicialIntervalo de tempo

Posição final menos a posição inicial (3.2)

Vetor velocidade médiade uma partícula durante um intervalo de tempo de t1 a t2

SSvm

!t!r

t2 --

=== t1

r2 r1S S

Note que dividir um vetor por um escalar é um caso especial de multiplicar o vetor por um escalar, descrito na Seção 1.7; a velocidade média m é igual ao vetor deslocamento ! multiplicado por 1/!t. Note também que o componente x da Equação 3.2 é vmx " (x2 – x1)/(t2 – t1) = !x/!t. É exatamente a Equação 2.2, a expressão para a velocidade média que encontramos na Seção 2.1 para o movi-mento unidimensional.

Agora, definimos a velocidade instantânea tal como no Capítulo 2: é a taxa instantânea de variação do vetor posição com o tempo. A diferença fundamental é que agora a posição e a velocidade instantânea são vetores:

...é igual ao limite de seu vetor velocidade média quando o intervalo de tempo se aproxima de zero...

...e se iguala à taxa instantânea de mudança do seu vetor posição.

(3.3)O vetor velocidade instantânea de uma partícula...

S

Sv !t!r S

dtdr

lim!t S 0

= =

O módulo do vetor em qualquer instante é a velocidade v da partícula no re-ferido instante. A direção de é a direção em que ela se move no referido instante.

Note que, quando !t 0, os pontos P1 e P2 na Figura 3.2 ficam cada vez mais próximos. Nesse limite, o vetor ! torna-se tangente à curva. A direção do vetor ! nesse limite também é igual à direção da velocidade instantânea. Dessa forma, o vetor velocidade instantânea é tangente à trajetória em cada um dos seus pontos (Figura 3.3).

Normalmente é mais fácil calcular o vetor velocidade instantânea usando com-ponentes. Durante qualquer deslocamento de ! , as variações !x, !y e !z das três coordenadas da partícula são os componentes de ! . Daí se conclui que os componentes vx, vy e vz da velocidade instantânea " vx $ vy $ vz são simplesmente as derivadas das coordenadas x, y e z em relação ao tempo. Ou seja:

(3.4)

...é igual às variações de suas coordenadas correspondentes.

Cada componente de um vetor velocidade instantânea de uma partícula...

vx = dtdx

vy = dtdy

vz = dtdz

Figura 3.1 O vetor posição da origem O até o ponto P possui componentes x, y e z.

rS

^

^

k

A posição P de uma partícula em dado instante possui coordenadas x, y, z.

z

y

xx

zP

O

y

z xd

ye

O vetor posição do ponto P possui componentes x, y, z:r = x d + ye + zk.^ ^ ^S

Figura 3.2 A velocidade média m entre os pontos P1 e P2 possui a mesma direção e o mesmo sentido do vetor deslocamento ! .

S

S

S

S

S =

Posição da partícula no instante t1

Posição da partícula no instante t2

z

y

x

O

Trajetória da partícula.

P1

P2

r2 ! r

Vetor deslocamento ! r aponta de P1 para P2.

S

vm! r!t

r1

Figura 3.3 Os vetores 1 e 2 são as velocidades instantâneas nos pontos P1 e P2 mostrados na Figura 3.2.

S

S

z

y

x

O

Trajetória da partícula

P1

P2

v2

O vetor velocidade instantânea v é tangente à trajetória em cada ponto.

S

v1

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Durante um intervalo de tempo 𝛥t, a partícula se move de um ponto P1, onde o vetor posição é r1, até um ponto P2, onde o vetor posição é r2.

A variação da posição (o deslocamento) durante esse intervalo é

Definimos a velocidade média como o deslocamento dividido pelo intervalo de tempo:

74 Física I

partícula nesse instante é um vetor que vai da origem do sistema de coordenadas até o ponto P (Figura 3.1). As coordenadas cartesianas x, y e z do ponto P são os componentes x, y e z do vetor . Usando os vetores unitários introduzidos na Seção 1.9, podemos escrever

Vetores unitários nas direções dos eixos Ox, Oy e Oz

Coordenadas da posição da partícula

S ^r xd ye z^^ k (3.1)Vetor posição de uma partícula em dado instante... = + +

Durante um intervalo de tempo !t, a partícula se move de um ponto P1, onde o vetor posição é 1, até um ponto P2, onde o vetor posição é 2. A variação da posição (o deslocamento) durante esse intervalo é ! " 2 # 1 " (x2 # x1) $ (y2 # y1) $ (z2 # z1) . Definimos a velocidade média m do mesmo modo que fizemos no Capítulo 2 para um movimento retilíneo, como o deslocamento divi-dido pelo intervalo (Figura 3.2):

Mudança no vetor posição da partícula

Tempo final menos o tempo inicialIntervalo de tempo

Posição final menos a posição inicial (3.2)

Vetor velocidade médiade uma partícula durante um intervalo de tempo de t1 a t2

SSvm

!t!r

t2 --

=== t1

r2 r1S S

Note que dividir um vetor por um escalar é um caso especial de multiplicar o vetor por um escalar, descrito na Seção 1.7; a velocidade média m é igual ao vetor deslocamento ! multiplicado por 1/!t. Note também que o componente x da Equação 3.2 é vmx " (x2 – x1)/(t2 – t1) = !x/!t. É exatamente a Equação 2.2, a expressão para a velocidade média que encontramos na Seção 2.1 para o movi-mento unidimensional.

Agora, definimos a velocidade instantânea tal como no Capítulo 2: é a taxa instantânea de variação do vetor posição com o tempo. A diferença fundamental é que agora a posição e a velocidade instantânea são vetores:

...é igual ao limite de seu vetor velocidade média quando o intervalo de tempo se aproxima de zero...

...e se iguala à taxa instantânea de mudança do seu vetor posição.

(3.3)O vetor velocidade instantânea de uma partícula...

S

Sv !t!r S

dtdr

lim!t S 0

= =

O módulo do vetor em qualquer instante é a velocidade v da partícula no re-ferido instante. A direção de é a direção em que ela se move no referido instante.

Note que, quando !t 0, os pontos P1 e P2 na Figura 3.2 ficam cada vez mais próximos. Nesse limite, o vetor ! torna-se tangente à curva. A direção do vetor ! nesse limite também é igual à direção da velocidade instantânea. Dessa forma, o vetor velocidade instantânea é tangente à trajetória em cada um dos seus pontos (Figura 3.3).

Normalmente é mais fácil calcular o vetor velocidade instantânea usando com-ponentes. Durante qualquer deslocamento de ! , as variações !x, !y e !z das três coordenadas da partícula são os componentes de ! . Daí se conclui que os componentes vx, vy e vz da velocidade instantânea " vx $ vy $ vz são simplesmente as derivadas das coordenadas x, y e z em relação ao tempo. Ou seja:

(3.4)

...é igual às variações de suas coordenadas correspondentes.

Cada componente de um vetor velocidade instantânea de uma partícula...

vx = dtdx

vy = dtdy

vz = dtdz

Figura 3.1 O vetor posição da origem O até o ponto P possui componentes x, y e z.

rS

^

^

k

A posição P de uma partícula em dado instante possui coordenadas x, y, z.

z

y

xx

zP

O

y

z xd

ye

O vetor posição do ponto P possui componentes x, y, z:r = x d + ye + zk.^ ^ ^S

Figura 3.2 A velocidade média m entre os pontos P1 e P2 possui a mesma direção e o mesmo sentido do vetor deslocamento ! .

S

S

S

S

S =

Posição da partícula no instante t1

Posição da partícula no instante t2

z

y

x

O

Trajetória da partícula.

P1

P2

r2 ! r

Vetor deslocamento ! r aponta de P1 para P2.

S

vm! r!t

r1

Figura 3.3 Os vetores 1 e 2 são as velocidades instantâneas nos pontos P1 e P2 mostrados na Figura 3.2.

S

S

z

y

x

O

Trajetória da partícula

P1

P2

v2

O vetor velocidade instantânea v é tangente à trajetória em cada ponto.

S

v1

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74 Física I

partícula nesse instante é um vetor que vai da origem do sistema de coordenadas até o ponto P (Figura 3.1). As coordenadas cartesianas x, y e z do ponto P são os componentes x, y e z do vetor . Usando os vetores unitários introduzidos na Seção 1.9, podemos escrever

Vetores unitários nas direções dos eixos Ox, Oy e Oz

Coordenadas da posição da partícula

S ^r xd ye z^^ k (3.1)Vetor posição de uma partícula em dado instante... = + +

Durante um intervalo de tempo !t, a partícula se move de um ponto P1, onde o vetor posição é 1, até um ponto P2, onde o vetor posição é 2. A variação da posição (o deslocamento) durante esse intervalo é ! " 2 # 1 " (x2 # x1) $ (y2 # y1) $ (z2 # z1) . Definimos a velocidade média m do mesmo modo que fizemos no Capítulo 2 para um movimento retilíneo, como o deslocamento divi-dido pelo intervalo (Figura 3.2):

Mudança no vetor posição da partícula

Tempo final menos o tempo inicialIntervalo de tempo

Posição final menos a posição inicial (3.2)

Vetor velocidade médiade uma partícula durante um intervalo de tempo de t1 a t2

SSvm

!t!r

t2 --

=== t1

r2 r1S S

Note que dividir um vetor por um escalar é um caso especial de multiplicar o vetor por um escalar, descrito na Seção 1.7; a velocidade média m é igual ao vetor deslocamento ! multiplicado por 1/!t. Note também que o componente x da Equação 3.2 é vmx " (x2 – x1)/(t2 – t1) = !x/!t. É exatamente a Equação 2.2, a expressão para a velocidade média que encontramos na Seção 2.1 para o movi-mento unidimensional.

Agora, definimos a velocidade instantânea tal como no Capítulo 2: é a taxa instantânea de variação do vetor posição com o tempo. A diferença fundamental é que agora a posição e a velocidade instantânea são vetores:

...é igual ao limite de seu vetor velocidade média quando o intervalo de tempo se aproxima de zero...

...e se iguala à taxa instantânea de mudança do seu vetor posição.

(3.3)O vetor velocidade instantânea de uma partícula...

S

Sv !t!r S

dtdr

lim!t S 0

= =

O módulo do vetor em qualquer instante é a velocidade v da partícula no re-ferido instante. A direção de é a direção em que ela se move no referido instante.

Note que, quando !t 0, os pontos P1 e P2 na Figura 3.2 ficam cada vez mais próximos. Nesse limite, o vetor ! torna-se tangente à curva. A direção do vetor ! nesse limite também é igual à direção da velocidade instantânea. Dessa forma, o vetor velocidade instantânea é tangente à trajetória em cada um dos seus pontos (Figura 3.3).

Normalmente é mais fácil calcular o vetor velocidade instantânea usando com-ponentes. Durante qualquer deslocamento de ! , as variações !x, !y e !z das três coordenadas da partícula são os componentes de ! . Daí se conclui que os componentes vx, vy e vz da velocidade instantânea " vx $ vy $ vz são simplesmente as derivadas das coordenadas x, y e z em relação ao tempo. Ou seja:

(3.4)

...é igual às variações de suas coordenadas correspondentes.

Cada componente de um vetor velocidade instantânea de uma partícula...

vx = dtdx

vy = dtdy

vz = dtdz

Figura 3.1 O vetor posição da origem O até o ponto P possui componentes x, y e z.

rS

^

^

k

A posição P de uma partícula em dado instante possui coordenadas x, y, z.

z

y

xx

zP

O

y

z xd

ye

O vetor posição do ponto P possui componentes x, y, z:r = x d + ye + zk.^ ^ ^S

Figura 3.2 A velocidade média m entre os pontos P1 e P2 possui a mesma direção e o mesmo sentido do vetor deslocamento ! .

S

S

S

S

S =

Posição da partícula no instante t1

Posição da partícula no instante t2

z

y

x

O

Trajetória da partícula.

P1

P2

r2 ! r

Vetor deslocamento ! r aponta de P1 para P2.

S

vm! r!t

r1

Figura 3.3 Os vetores 1 e 2 são as velocidades instantâneas nos pontos P1 e P2 mostrados na Figura 3.2.

S

S

z

y

x

O

Trajetória da partícula

P1

P2

v2

O vetor velocidade instantânea v é tangente à trajetória em cada ponto.

S

v1

Book_SEARS_Vol1.indb 74 02/09/15 6:29 PM

Velocidade média

Veja que podemos escrever:

Assim, o vetor velocidade média é simplesmente o vetor cujas componentes são as velocidades médias nos eixos x, y, z.

Velocidade instantânea Agora, definimos a velocidade instantânea como a taxa instantânea de variação do vetor posição com o tempo.

Note que, quando 𝛥t → 0, os pontos P1 e P2 na Figura anterior ficam cada vez mais próximos. Nesse limite, o vetor 𝛥r torna-se tangente à curva. A direção do vetor nesse limite também é igual à direção da velocidade instantânea.

Dessa forma, o vetor velocidade instantânea é tangente à trajetória em cada um dos seus pontos.

74 Física I

partícula nesse instante é um vetor que vai da origem do sistema de coordenadas até o ponto P (Figura 3.1). As coordenadas cartesianas x, y e z do ponto P são os componentes x, y e z do vetor . Usando os vetores unitários introduzidos na Seção 1.9, podemos escrever

Vetores unitários nas direções dos eixos Ox, Oy e Oz

Coordenadas da posição da partícula

S ^r xd ye z^^ k (3.1)Vetor posição de uma partícula em dado instante... = + +

Durante um intervalo de tempo !t, a partícula se move de um ponto P1, onde o vetor posição é 1, até um ponto P2, onde o vetor posição é 2. A variação da posição (o deslocamento) durante esse intervalo é ! " 2 # 1 " (x2 # x1) $ (y2 # y1) $ (z2 # z1) . Definimos a velocidade média m do mesmo modo que fizemos no Capítulo 2 para um movimento retilíneo, como o deslocamento divi-dido pelo intervalo (Figura 3.2):

Mudança no vetor posição da partícula

Tempo final menos o tempo inicialIntervalo de tempo

Posição final menos a posição inicial (3.2)

Vetor velocidade médiade uma partícula durante um intervalo de tempo de t1 a t2

SSvm

!t!r

t2 --

=== t1

r2 r1S S

Note que dividir um vetor por um escalar é um caso especial de multiplicar o vetor por um escalar, descrito na Seção 1.7; a velocidade média m é igual ao vetor deslocamento ! multiplicado por 1/!t. Note também que o componente x da Equação 3.2 é vmx " (x2 – x1)/(t2 – t1) = !x/!t. É exatamente a Equação 2.2, a expressão para a velocidade média que encontramos na Seção 2.1 para o movi-mento unidimensional.

Agora, definimos a velocidade instantânea tal como no Capítulo 2: é a taxa instantânea de variação do vetor posição com o tempo. A diferença fundamental é que agora a posição e a velocidade instantânea são vetores:

...é igual ao limite de seu vetor velocidade média quando o intervalo de tempo se aproxima de zero...

...e se iguala à taxa instantânea de mudança do seu vetor posição.

(3.3)O vetor velocidade instantânea de uma partícula...

S

Sv !t!r S

dtdr

lim!t S 0

= =

O módulo do vetor em qualquer instante é a velocidade v da partícula no re-ferido instante. A direção de é a direção em que ela se move no referido instante.

Note que, quando !t 0, os pontos P1 e P2 na Figura 3.2 ficam cada vez mais próximos. Nesse limite, o vetor ! torna-se tangente à curva. A direção do vetor ! nesse limite também é igual à direção da velocidade instantânea. Dessa forma, o vetor velocidade instantânea é tangente à trajetória em cada um dos seus pontos (Figura 3.3).

Normalmente é mais fácil calcular o vetor velocidade instantânea usando com-ponentes. Durante qualquer deslocamento de ! , as variações !x, !y e !z das três coordenadas da partícula são os componentes de ! . Daí se conclui que os componentes vx, vy e vz da velocidade instantânea " vx $ vy $ vz são simplesmente as derivadas das coordenadas x, y e z em relação ao tempo. Ou seja:

(3.4)

...é igual às variações de suas coordenadas correspondentes.

Cada componente de um vetor velocidade instantânea de uma partícula...

vx = dtdx

vy = dtdy

vz = dtdz

Figura 3.1 O vetor posição da origem O até o ponto P possui componentes x, y e z.

rS

^

^

k

A posição P de uma partícula em dado instante possui coordenadas x, y, z.

z

y

xx

zP

O

y

z xd

ye

O vetor posição do ponto P possui componentes x, y, z:r = x d + ye + zk.^ ^ ^S

Figura 3.2 A velocidade média m entre os pontos P1 e P2 possui a mesma direção e o mesmo sentido do vetor deslocamento ! .

S

S

S

S

S =

Posição da partícula no instante t1

Posição da partícula no instante t2

z

y

x

O

Trajetória da partícula.

P1

P2

r2 ! r

Vetor deslocamento ! r aponta de P1 para P2.

S

vm! r!t

r1

Figura 3.3 Os vetores 1 e 2 são as velocidades instantâneas nos pontos P1 e P2 mostrados na Figura 3.2.

S

S

z

y

x

O

Trajetória da partícula

P1

P2

v2

O vetor velocidade instantânea v é tangente à trajetória em cada ponto.

S

v1

Book_SEARS_Vol1.indb 74 02/09/15 6:29 PM

Normalmente é mais fácil calcular o vetor velocidade instantânea usando componentes:

de onde se conclui que

onde:

O módulo do vetor velocidade instantânea é dado pelo teorema de Pitágoras:

Capítulo 3 – Movimento em duas ou três dimensões 75

O componente x de é vx = dx/dt, que é o mesmo da Equação 2.3 para o movi-mento retilíneo que obtivemos na Seção 2.2. Logo, a Equação 3.4 é uma extensão direta do conceito de velocidade instantânea para o movimento em três dimensões.

Também podemos obter esse resultado da Equação 3.4 derivando a Equação 3.1. Os vetores unitários , e não dependem do tempo; logo, suas derivadas são nulas, e encontramos

vSdrS

dtdxdt

ddy

dt e

dzdt

k = = + + (3.5)

Isso mostra novamente que os componentes de são dx/dt, dy/dt e dz/dt.O módulo do vetor velocidade instantânea — isto é, a velocidade escalar — é

dado em termos dos componentes vx, vy e vz pelo teorema de Pitágoras:

0 vS 0 = v = "vx 2 + vy

2 + vz 2 (3.6)

A Figura 3.4 mostra a situação quando uma partícula se move no plano xy. Nesse caso, z e vz são nulos. Então, a velocidade escalar (o módulo do vetor ) é:

v = "vx 2 + vy

2

e a direção da velocidade instantânea é dada pelo ângulo a (a letra grega alfa) indicado nessa figura. Vemos que

tan a =vy

vx (3.7)

(Usamos a para indicar a direção do vetor velocidade instantânea para não confundir com a direção u do vetor posição da partícula.)

A partir de agora, sempre que mencionarmos a palavra “velocidade”, queremos nos referir ao vetor velocidade instantânea (em vez do vetor velocidade média). Normalmente, não se costuma dizer que é um vetor; cabe a você lembrar-se de que velocidade é uma grandeza vetorial que possui módulo, direção e sentido.

Figura 3.4 Os dois componentes da velocidade para movimento no plano xy.

a

vS

O vetor velocidade instantânea vé sempre tangente à trajetória.

S

vx e vy são os componentes x e y de v.

SO

Caminho da partícula no plano xy

vy

vx

y

x

Um veículo robótico está explorando a superfície de Marte. O módulo de aterrissagem é a origem do sistema de coordenadas e a superfície do planeta é o plano xy. O veículo, que será re-presentado por um ponto, possui componentes x e y que variam com o tempo de acordo com a seguinte relação:

x = 2,0 m - 10,25 m > s22 t2

y = 11,0 m > s2 t + 10,025 m > s32 t3

(a) Calcule as coordenadas do veículo e sua distância do módulo de aterrissagem no instante t ! 2,0 s. (b) Calcule o vetor deslo-camento e o vetor velocidade média no intervalo entre t ! 0,0 s e t ! 2,0 s. (c) Deduza uma expressão geral para o vetor veloci-dade instantânea do vetor . Expresse a velocidade instantânea

em t ! 2,0 s, usando componentes e também em termos de módulo e direção.

SOLUÇÃO

IDENTIFICAR E PREPARAR: este problema se refere ao movi-mento em duas dimensões. Logo, devemos usar as expressões dos vetores obtidos nesta seção. A Figura 3.5 mostra a trajetória do veículo robótico (linha tracejada). Usaremos a Equação 3.1 para

a posição , a expressão " ! 2 # 1 para o deslocamento, a Equação 3.2 para a velocidade média e as equações 3.5, 3.6 e 3.7 para a velocidade instantânea e seu módulo e direção.

Figura 3.5 No instante t ! 0,0 s, o veículo possui o vetor posição 0 e o vetor velocidade instantânea 0. Do mesmo modo, 1 e 1 são os vetores no instante t ! 1,0 s; 2 e 2 são os vetores no instante t ! 2,0 s.

S

y (m)

x (m)O

0,5

1,0

1,5

2,0

0,5 1,0 1,5

Trajetória do veículo

t = 0,0 s

2,0

2,5a = 128$

t = 1,0 s

t = 2,0 s

v2

v1

v0

r0

r1

r2

S

S

S

S

S

EXEMPLO 3.1 CÁLCULO DA VELOCIDADE INSTANTÂNEA MÉDIA

(Continua)

Book_SEARS_Vol1.indb 75 02/09/15 6:29 PM

74 Física I

partícula nesse instante é um vetor que vai da origem do sistema de coordenadas até o ponto P (Figura 3.1). As coordenadas cartesianas x, y e z do ponto P são os componentes x, y e z do vetor . Usando os vetores unitários introduzidos na Seção 1.9, podemos escrever

Vetores unitários nas direções dos eixos Ox, Oy e Oz

Coordenadas da posição da partícula

S ^r xd ye z^^ k (3.1)Vetor posição de uma partícula em dado instante... = + +

Durante um intervalo de tempo !t, a partícula se move de um ponto P1, onde o vetor posição é 1, até um ponto P2, onde o vetor posição é 2. A variação da posição (o deslocamento) durante esse intervalo é ! " 2 # 1 " (x2 # x1) $ (y2 # y1) $ (z2 # z1) . Definimos a velocidade média m do mesmo modo que fizemos no Capítulo 2 para um movimento retilíneo, como o deslocamento divi-dido pelo intervalo (Figura 3.2):

Mudança no vetor posição da partícula

Tempo final menos o tempo inicialIntervalo de tempo

Posição final menos a posição inicial (3.2)

Vetor velocidade médiade uma partícula durante um intervalo de tempo de t1 a t2

SSvm

!t!r

t2 --

=== t1

r2 r1S S

Note que dividir um vetor por um escalar é um caso especial de multiplicar o vetor por um escalar, descrito na Seção 1.7; a velocidade média m é igual ao vetor deslocamento ! multiplicado por 1/!t. Note também que o componente x da Equação 3.2 é vmx " (x2 – x1)/(t2 – t1) = !x/!t. É exatamente a Equação 2.2, a expressão para a velocidade média que encontramos na Seção 2.1 para o movi-mento unidimensional.

Agora, definimos a velocidade instantânea tal como no Capítulo 2: é a taxa instantânea de variação do vetor posição com o tempo. A diferença fundamental é que agora a posição e a velocidade instantânea são vetores:

...é igual ao limite de seu vetor velocidade média quando o intervalo de tempo se aproxima de zero...

...e se iguala à taxa instantânea de mudança do seu vetor posição.

(3.3)O vetor velocidade instantânea de uma partícula...

S

Sv !t!r S

dtdr

lim!t S 0

= =

O módulo do vetor em qualquer instante é a velocidade v da partícula no re-ferido instante. A direção de é a direção em que ela se move no referido instante.

Note que, quando !t 0, os pontos P1 e P2 na Figura 3.2 ficam cada vez mais próximos. Nesse limite, o vetor ! torna-se tangente à curva. A direção do vetor ! nesse limite também é igual à direção da velocidade instantânea. Dessa forma, o vetor velocidade instantânea é tangente à trajetória em cada um dos seus pontos (Figura 3.3).

Normalmente é mais fácil calcular o vetor velocidade instantânea usando com-ponentes. Durante qualquer deslocamento de ! , as variações !x, !y e !z das três coordenadas da partícula são os componentes de ! . Daí se conclui que os componentes vx, vy e vz da velocidade instantânea " vx $ vy $ vz são simplesmente as derivadas das coordenadas x, y e z em relação ao tempo. Ou seja:

(3.4)

...é igual às variações de suas coordenadas correspondentes.

Cada componente de um vetor velocidade instantânea de uma partícula...

vx = dtdx

vy = dtdy

vz = dtdz

Figura 3.1 O vetor posição da origem O até o ponto P possui componentes x, y e z.

rS

^

^

k

A posição P de uma partícula em dado instante possui coordenadas x, y, z.

z

y

xx

zP

O

y

z xd

ye

O vetor posição do ponto P possui componentes x, y, z:r = x d + ye + zk.^ ^ ^S

Figura 3.2 A velocidade média m entre os pontos P1 e P2 possui a mesma direção e o mesmo sentido do vetor deslocamento ! .

S

S

S

S

S =

Posição da partícula no instante t1

Posição da partícula no instante t2

z

y

x

O

Trajetória da partícula.

P1

P2

r2 ! r

Vetor deslocamento ! r aponta de P1 para P2.

S

vm! r!t

r1

Figura 3.3 Os vetores 1 e 2 são as velocidades instantâneas nos pontos P1 e P2 mostrados na Figura 3.2.

S

S

z

y

x

O

Trajetória da partícula

P1

P2

v2

O vetor velocidade instantânea v é tangente à trajetória em cada ponto.

S

v1

Book_SEARS_Vol1.indb 74 02/09/15 6:29 PM

74 Física I

partícula nesse instante é um vetor que vai da origem do sistema de coordenadas até o ponto P (Figura 3.1). As coordenadas cartesianas x, y e z do ponto P são os componentes x, y e z do vetor . Usando os vetores unitários introduzidos na Seção 1.9, podemos escrever

Vetores unitários nas direções dos eixos Ox, Oy e Oz

Coordenadas da posição da partícula

S ^r xd ye z^^ k (3.1)Vetor posição de uma partícula em dado instante... = + +

Durante um intervalo de tempo !t, a partícula se move de um ponto P1, onde o vetor posição é 1, até um ponto P2, onde o vetor posição é 2. A variação da posição (o deslocamento) durante esse intervalo é ! " 2 # 1 " (x2 # x1) $ (y2 # y1) $ (z2 # z1) . Definimos a velocidade média m do mesmo modo que fizemos no Capítulo 2 para um movimento retilíneo, como o deslocamento divi-dido pelo intervalo (Figura 3.2):

Mudança no vetor posição da partícula

Tempo final menos o tempo inicialIntervalo de tempo

Posição final menos a posição inicial (3.2)

Vetor velocidade médiade uma partícula durante um intervalo de tempo de t1 a t2

SSvm

!t!r

t2 --

=== t1

r2 r1S S

Note que dividir um vetor por um escalar é um caso especial de multiplicar o vetor por um escalar, descrito na Seção 1.7; a velocidade média m é igual ao vetor deslocamento ! multiplicado por 1/!t. Note também que o componente x da Equação 3.2 é vmx " (x2 – x1)/(t2 – t1) = !x/!t. É exatamente a Equação 2.2, a expressão para a velocidade média que encontramos na Seção 2.1 para o movi-mento unidimensional.

Agora, definimos a velocidade instantânea tal como no Capítulo 2: é a taxa instantânea de variação do vetor posição com o tempo. A diferença fundamental é que agora a posição e a velocidade instantânea são vetores:

...é igual ao limite de seu vetor velocidade média quando o intervalo de tempo se aproxima de zero...

...e se iguala à taxa instantânea de mudança do seu vetor posição.

(3.3)O vetor velocidade instantânea de uma partícula...

S

Sv !t!r S

dtdr

lim!t S 0

= =

O módulo do vetor em qualquer instante é a velocidade v da partícula no re-ferido instante. A direção de é a direção em que ela se move no referido instante.

Note que, quando !t 0, os pontos P1 e P2 na Figura 3.2 ficam cada vez mais próximos. Nesse limite, o vetor ! torna-se tangente à curva. A direção do vetor ! nesse limite também é igual à direção da velocidade instantânea. Dessa forma, o vetor velocidade instantânea é tangente à trajetória em cada um dos seus pontos (Figura 3.3).

Normalmente é mais fácil calcular o vetor velocidade instantânea usando com-ponentes. Durante qualquer deslocamento de ! , as variações !x, !y e !z das três coordenadas da partícula são os componentes de ! . Daí se conclui que os componentes vx, vy e vz da velocidade instantânea " vx $ vy $ vz são simplesmente as derivadas das coordenadas x, y e z em relação ao tempo. Ou seja:

(3.4)

...é igual às variações de suas coordenadas correspondentes.

Cada componente de um vetor velocidade instantânea de uma partícula...

vx = dtdx

vy = dtdy

vz = dtdz

Figura 3.1 O vetor posição da origem O até o ponto P possui componentes x, y e z.

rS

^

^

k

A posição P de uma partícula em dado instante possui coordenadas x, y, z.

z

y

xx

zP

O

y

z xd

ye

O vetor posição do ponto P possui componentes x, y, z:r = x d + ye + zk.^ ^ ^S

Figura 3.2 A velocidade média m entre os pontos P1 e P2 possui a mesma direção e o mesmo sentido do vetor deslocamento ! .

S

S

S

S

S =

Posição da partícula no instante t1

Posição da partícula no instante t2

z

y

x

O

Trajetória da partícula.

P1

P2

r2 ! r

Vetor deslocamento ! r aponta de P1 para P2.

S

vm! r!t

r1

Figura 3.3 Os vetores 1 e 2 são as velocidades instantâneas nos pontos P1 e P2 mostrados na Figura 3.2.

S

S

z

y

x

O

Trajetória da partícula

P1

P2

v2

O vetor velocidade instantânea v é tangente à trajetória em cada ponto.

S

v1

Book_SEARS_Vol1.indb 74 02/09/15 6:29 PM

Capítulo 3 – Movimento em duas ou três dimensões 75

O componente x de é vx = dx/dt, que é o mesmo da Equação 2.3 para o movi-mento retilíneo que obtivemos na Seção 2.2. Logo, a Equação 3.4 é uma extensão direta do conceito de velocidade instantânea para o movimento em três dimensões.

Também podemos obter esse resultado da Equação 3.4 derivando a Equação 3.1. Os vetores unitários , e não dependem do tempo; logo, suas derivadas são nulas, e encontramos

vSdrS

dtdxdt

ddy

dt e

dzdt

k = = + + (3.5)

Isso mostra novamente que os componentes de são dx/dt, dy/dt e dz/dt.O módulo do vetor velocidade instantânea — isto é, a velocidade escalar — é

dado em termos dos componentes vx, vy e vz pelo teorema de Pitágoras:

0 vS 0 = v = "vx 2 + vy

2 + vz 2 (3.6)

A Figura 3.4 mostra a situação quando uma partícula se move no plano xy. Nesse caso, z e vz são nulos. Então, a velocidade escalar (o módulo do vetor ) é:

v = "vx 2 + vy

2

e a direção da velocidade instantânea é dada pelo ângulo a (a letra grega alfa) indicado nessa figura. Vemos que

tan a =vy

vx (3.7)

(Usamos a para indicar a direção do vetor velocidade instantânea para não confundir com a direção u do vetor posição da partícula.)

A partir de agora, sempre que mencionarmos a palavra “velocidade”, queremos nos referir ao vetor velocidade instantânea (em vez do vetor velocidade média). Normalmente, não se costuma dizer que é um vetor; cabe a você lembrar-se de que velocidade é uma grandeza vetorial que possui módulo, direção e sentido.

Figura 3.4 Os dois componentes da velocidade para movimento no plano xy.

a

vS

O vetor velocidade instantânea vé sempre tangente à trajetória.

S

vx e vy são os componentes x e y de v.

SO

Caminho da partícula no plano xy

vy

vx

y

x

Um veículo robótico está explorando a superfície de Marte. O módulo de aterrissagem é a origem do sistema de coordenadas e a superfície do planeta é o plano xy. O veículo, que será re-presentado por um ponto, possui componentes x e y que variam com o tempo de acordo com a seguinte relação:

x = 2,0 m - 10,25 m > s22 t2

y = 11,0 m > s2 t + 10,025 m > s32 t3

(a) Calcule as coordenadas do veículo e sua distância do módulo de aterrissagem no instante t ! 2,0 s. (b) Calcule o vetor deslo-camento e o vetor velocidade média no intervalo entre t ! 0,0 s e t ! 2,0 s. (c) Deduza uma expressão geral para o vetor veloci-dade instantânea do vetor . Expresse a velocidade instantânea

em t ! 2,0 s, usando componentes e também em termos de módulo e direção.

SOLUÇÃO

IDENTIFICAR E PREPARAR: este problema se refere ao movi-mento em duas dimensões. Logo, devemos usar as expressões dos vetores obtidos nesta seção. A Figura 3.5 mostra a trajetória do veículo robótico (linha tracejada). Usaremos a Equação 3.1 para

a posição , a expressão " ! 2 # 1 para o deslocamento, a Equação 3.2 para a velocidade média e as equações 3.5, 3.6 e 3.7 para a velocidade instantânea e seu módulo e direção.

Figura 3.5 No instante t ! 0,0 s, o veículo possui o vetor posição 0 e o vetor velocidade instantânea 0. Do mesmo modo, 1 e 1 são os vetores no instante t ! 1,0 s; 2 e 2 são os vetores no instante t ! 2,0 s.

S

y (m)

x (m)O

0,5

1,0

1,5

2,0

0,5 1,0 1,5

Trajetória do veículo

t = 0,0 s

2,0

2,5a = 128$

t = 1,0 s

t = 2,0 s

v2

v1

v0

r0

r1

r2

S

S

S

S

S

EXEMPLO 3.1 CÁLCULO DA VELOCIDADE INSTANTÂNEA MÉDIA

(Continua)

Book_SEARS_Vol1.indb 75 02/09/15 6:29 PM

A Figura mostra uma partícula se move no plano xy. Nesse caso, z e vz são nulos.

Então, a velocidade escalar (o módulo do vetor v) é:

e a direção da velocidade instantânea v (em relação ao eixo x) é dada pelo ângulo 𝛼:

Capítulo 3 – Movimento em duas ou três dimensões 75

O componente x de é vx = dx/dt, que é o mesmo da Equação 2.3 para o movi-mento retilíneo que obtivemos na Seção 2.2. Logo, a Equação 3.4 é uma extensão direta do conceito de velocidade instantânea para o movimento em três dimensões.

Também podemos obter esse resultado da Equação 3.4 derivando a Equação 3.1. Os vetores unitários , e não dependem do tempo; logo, suas derivadas são nulas, e encontramos

vSdrS

dtdxdt

ddy

dt e

dzdt

k = = + + (3.5)

Isso mostra novamente que os componentes de são dx/dt, dy/dt e dz/dt.O módulo do vetor velocidade instantânea — isto é, a velocidade escalar — é

dado em termos dos componentes vx, vy e vz pelo teorema de Pitágoras:

0 vS 0 = v = "vx 2 + vy

2 + vz 2 (3.6)

A Figura 3.4 mostra a situação quando uma partícula se move no plano xy. Nesse caso, z e vz são nulos. Então, a velocidade escalar (o módulo do vetor ) é:

v = "vx 2 + vy

2

e a direção da velocidade instantânea é dada pelo ângulo a (a letra grega alfa) indicado nessa figura. Vemos que

tan a =vy

vx (3.7)

(Usamos a para indicar a direção do vetor velocidade instantânea para não confundir com a direção u do vetor posição da partícula.)

A partir de agora, sempre que mencionarmos a palavra “velocidade”, queremos nos referir ao vetor velocidade instantânea (em vez do vetor velocidade média). Normalmente, não se costuma dizer que é um vetor; cabe a você lembrar-se de que velocidade é uma grandeza vetorial que possui módulo, direção e sentido.

Figura 3.4 Os dois componentes da velocidade para movimento no plano xy.

a

vS

O vetor velocidade instantânea vé sempre tangente à trajetória.

S

vx e vy são os componentes x e y de v.

SO

Caminho da partícula no plano xy

vy

vx

y

x

Um veículo robótico está explorando a superfície de Marte. O módulo de aterrissagem é a origem do sistema de coordenadas e a superfície do planeta é o plano xy. O veículo, que será re-presentado por um ponto, possui componentes x e y que variam com o tempo de acordo com a seguinte relação:

x = 2,0 m - 10,25 m > s22 t2

y = 11,0 m > s2 t + 10,025 m > s32 t3

(a) Calcule as coordenadas do veículo e sua distância do módulo de aterrissagem no instante t ! 2,0 s. (b) Calcule o vetor deslo-camento e o vetor velocidade média no intervalo entre t ! 0,0 s e t ! 2,0 s. (c) Deduza uma expressão geral para o vetor veloci-dade instantânea do vetor . Expresse a velocidade instantânea

em t ! 2,0 s, usando componentes e também em termos de módulo e direção.

SOLUÇÃO

IDENTIFICAR E PREPARAR: este problema se refere ao movi-mento em duas dimensões. Logo, devemos usar as expressões dos vetores obtidos nesta seção. A Figura 3.5 mostra a trajetória do veículo robótico (linha tracejada). Usaremos a Equação 3.1 para

a posição , a expressão " ! 2 # 1 para o deslocamento, a Equação 3.2 para a velocidade média e as equações 3.5, 3.6 e 3.7 para a velocidade instantânea e seu módulo e direção.

Figura 3.5 No instante t ! 0,0 s, o veículo possui o vetor posição 0 e o vetor velocidade instantânea 0. Do mesmo modo, 1 e 1 são os vetores no instante t ! 1,0 s; 2 e 2 são os vetores no instante t ! 2,0 s.

S

y (m)

x (m)O

0,5

1,0

1,5

2,0

0,5 1,0 1,5

Trajetória do veículo

t = 0,0 s

2,0

2,5a = 128$

t = 1,0 s

t = 2,0 s

v2

v1

v0

r0

r1

r2

S

S

S

S

S

EXEMPLO 3.1 CÁLCULO DA VELOCIDADE INSTANTÂNEA MÉDIA

(Continua)

Book_SEARS_Vol1.indb 75 02/09/15 6:29 PM

Capítulo 3 – Movimento em duas ou três dimensões 75

O componente x de é vx = dx/dt, que é o mesmo da Equação 2.3 para o movi-mento retilíneo que obtivemos na Seção 2.2. Logo, a Equação 3.4 é uma extensão direta do conceito de velocidade instantânea para o movimento em três dimensões.

Também podemos obter esse resultado da Equação 3.4 derivando a Equação 3.1. Os vetores unitários , e não dependem do tempo; logo, suas derivadas são nulas, e encontramos

vSdrS

dtdxdt

ddy

dt e

dzdt

k = = + + (3.5)

Isso mostra novamente que os componentes de são dx/dt, dy/dt e dz/dt.O módulo do vetor velocidade instantânea — isto é, a velocidade escalar — é

dado em termos dos componentes vx, vy e vz pelo teorema de Pitágoras:

0 vS 0 = v = "vx 2 + vy

2 + vz 2 (3.6)

A Figura 3.4 mostra a situação quando uma partícula se move no plano xy. Nesse caso, z e vz são nulos. Então, a velocidade escalar (o módulo do vetor ) é:

v = "vx 2 + vy

2

e a direção da velocidade instantânea é dada pelo ângulo a (a letra grega alfa) indicado nessa figura. Vemos que

tan a =vy

vx (3.7)

(Usamos a para indicar a direção do vetor velocidade instantânea para não confundir com a direção u do vetor posição da partícula.)

A partir de agora, sempre que mencionarmos a palavra “velocidade”, queremos nos referir ao vetor velocidade instantânea (em vez do vetor velocidade média). Normalmente, não se costuma dizer que é um vetor; cabe a você lembrar-se de que velocidade é uma grandeza vetorial que possui módulo, direção e sentido.

Figura 3.4 Os dois componentes da velocidade para movimento no plano xy.

a

vS

O vetor velocidade instantânea vé sempre tangente à trajetória.

S

vx e vy são os componentes x e y de v.

SO

Caminho da partícula no plano xy

vy

vx

y

x

Um veículo robótico está explorando a superfície de Marte. O módulo de aterrissagem é a origem do sistema de coordenadas e a superfície do planeta é o plano xy. O veículo, que será re-presentado por um ponto, possui componentes x e y que variam com o tempo de acordo com a seguinte relação:

x = 2,0 m - 10,25 m > s22 t2

y = 11,0 m > s2 t + 10,025 m > s32 t3

(a) Calcule as coordenadas do veículo e sua distância do módulo de aterrissagem no instante t ! 2,0 s. (b) Calcule o vetor deslo-camento e o vetor velocidade média no intervalo entre t ! 0,0 s e t ! 2,0 s. (c) Deduza uma expressão geral para o vetor veloci-dade instantânea do vetor . Expresse a velocidade instantânea

em t ! 2,0 s, usando componentes e também em termos de módulo e direção.

SOLUÇÃO

IDENTIFICAR E PREPARAR: este problema se refere ao movi-mento em duas dimensões. Logo, devemos usar as expressões dos vetores obtidos nesta seção. A Figura 3.5 mostra a trajetória do veículo robótico (linha tracejada). Usaremos a Equação 3.1 para

a posição , a expressão " ! 2 # 1 para o deslocamento, a Equação 3.2 para a velocidade média e as equações 3.5, 3.6 e 3.7 para a velocidade instantânea e seu módulo e direção.

Figura 3.5 No instante t ! 0,0 s, o veículo possui o vetor posição 0 e o vetor velocidade instantânea 0. Do mesmo modo, 1 e 1 são os vetores no instante t ! 1,0 s; 2 e 2 são os vetores no instante t ! 2,0 s.

S

y (m)

x (m)O

0,5

1,0

1,5

2,0

0,5 1,0 1,5

Trajetória do veículo

t = 0,0 s

2,0

2,5a = 128$

t = 1,0 s

t = 2,0 s

v2

v1

v0

r0

r1

r2

S

S

S

S

S

EXEMPLO 3.1 CÁLCULO DA VELOCIDADE INSTANTÂNEA MÉDIA

(Continua)

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Capítulo 3 – Movimento em duas ou três dimensões 75

O componente x de é vx = dx/dt, que é o mesmo da Equação 2.3 para o movi-mento retilíneo que obtivemos na Seção 2.2. Logo, a Equação 3.4 é uma extensão direta do conceito de velocidade instantânea para o movimento em três dimensões.

Também podemos obter esse resultado da Equação 3.4 derivando a Equação 3.1. Os vetores unitários , e não dependem do tempo; logo, suas derivadas são nulas, e encontramos

vSdrS

dtdxdt

ddy

dt e

dzdt

k = = + + (3.5)

Isso mostra novamente que os componentes de são dx/dt, dy/dt e dz/dt.O módulo do vetor velocidade instantânea — isto é, a velocidade escalar — é

dado em termos dos componentes vx, vy e vz pelo teorema de Pitágoras:

0 vS 0 = v = "vx 2 + vy

2 + vz 2 (3.6)

A Figura 3.4 mostra a situação quando uma partícula se move no plano xy. Nesse caso, z e vz são nulos. Então, a velocidade escalar (o módulo do vetor ) é:

v = "vx 2 + vy

2

e a direção da velocidade instantânea é dada pelo ângulo a (a letra grega alfa) indicado nessa figura. Vemos que

tan a =vy

vx (3.7)

(Usamos a para indicar a direção do vetor velocidade instantânea para não confundir com a direção u do vetor posição da partícula.)

A partir de agora, sempre que mencionarmos a palavra “velocidade”, queremos nos referir ao vetor velocidade instantânea (em vez do vetor velocidade média). Normalmente, não se costuma dizer que é um vetor; cabe a você lembrar-se de que velocidade é uma grandeza vetorial que possui módulo, direção e sentido.

Figura 3.4 Os dois componentes da velocidade para movimento no plano xy.

a

vS

O vetor velocidade instantânea vé sempre tangente à trajetória.

S

vx e vy são os componentes x e y de v.

SO

Caminho da partícula no plano xy

vy

vx

y

x

Um veículo robótico está explorando a superfície de Marte. O módulo de aterrissagem é a origem do sistema de coordenadas e a superfície do planeta é o plano xy. O veículo, que será re-presentado por um ponto, possui componentes x e y que variam com o tempo de acordo com a seguinte relação:

x = 2,0 m - 10,25 m > s22 t2

y = 11,0 m > s2 t + 10,025 m > s32 t3

(a) Calcule as coordenadas do veículo e sua distância do módulo de aterrissagem no instante t ! 2,0 s. (b) Calcule o vetor deslo-camento e o vetor velocidade média no intervalo entre t ! 0,0 s e t ! 2,0 s. (c) Deduza uma expressão geral para o vetor veloci-dade instantânea do vetor . Expresse a velocidade instantânea

em t ! 2,0 s, usando componentes e também em termos de módulo e direção.

SOLUÇÃO

IDENTIFICAR E PREPARAR: este problema se refere ao movi-mento em duas dimensões. Logo, devemos usar as expressões dos vetores obtidos nesta seção. A Figura 3.5 mostra a trajetória do veículo robótico (linha tracejada). Usaremos a Equação 3.1 para

a posição , a expressão " ! 2 # 1 para o deslocamento, a Equação 3.2 para a velocidade média e as equações 3.5, 3.6 e 3.7 para a velocidade instantânea e seu módulo e direção.

Figura 3.5 No instante t ! 0,0 s, o veículo possui o vetor posição 0 e o vetor velocidade instantânea 0. Do mesmo modo, 1 e 1 são os vetores no instante t ! 1,0 s; 2 e 2 são os vetores no instante t ! 2,0 s.

S

y (m)

x (m)O

0,5

1,0

1,5

2,0

0,5 1,0 1,5

Trajetória do veículo

t = 0,0 s

2,0

2,5a = 128$

t = 1,0 s

t = 2,0 s

v2

v1

v0

r0

r1

r2

S

S

S

S

S

EXEMPLO 3.1 CÁLCULO DA VELOCIDADE INSTANTÂNEA MÉDIA

(Continua)

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Aceleração média e instantânea

Se a partícula sofreu uma variação de velocidade 𝛥v (em módulo e/ou direção) num intervalo de tempo 𝛥t, a aceleração média é definida como o vetor:

Obviamente, a aceleração instantânea é:

Capítulo 3 – Movimento em duas ou três dimensões 77

3.2 VETOR ACELERAÇÃOVamos agora considerar o vetor aceleração de uma partícula que se move no

espaço. Analogamente ao caso do movimento retilíneo, a aceleração indica como a velocidade de uma partícula está variando. Porém, como estamos tratando a velocidade como um vetor, a aceleração descreverá variações no módulo da velo-cidade (isto é, a velocidade escalar) e variações da direção da velocidade (isto é, a direção e o sentido do movimento no espaço).

Na Figura 3.6a, um carro (tratado como uma partícula) está se movendo ao longo de uma trajetória curva. Os vetores 1 e 2 representam, respectivamente, o vetor velocidade instantânea do carro no instante t1, quando ele está no ponto P1,

e o vetor velocidade instantânea do carro no instante t2, quando ele está no ponto P2. No intervalo de tempo entre t1 e t2, a variação vetorial da velocidade é 2 !

1 " # , então 2 " 1 $ # (Figura 3.6b). Definimos o vetor aceleração média m do carro nesse intervalo como a variação vetorial da velocidade dividida pelo

intervalo t2 ! t1 " #t:

Variação na velocidade da partícula

Tempo final menos o inicialIntervalo de tempo

Velocidade final menos a inicial

Vetor aceleração média de uma partícula durante o intervalo de t1 a t2

SS

am #t#v

t2 --

t1

v2 v1S S

(3.8)==

A aceleração média é uma grandeza vetorial que possui a mesma direção e sentido do vetor # (Figura 3.6c). Observe que 2 é a soma vetorial de 1 com a variação # (Figura 3.6b). O componente x da Equação 3.8 é amx " (v2x ! v1x)/(t2 ! t1) #vx/#t, que é exatamente a Equação 2.4 para a aceleração média no mo-vimento retilíneo.

Como no Capítulo 2, definimos a aceleração instantânea no ponto P1 como o limite da aceleração média quando o ponto P2 se aproxima do ponto P1, assim, # e #t tendem a zero simultaneamente (Figura 3.7 ):

...é igual ao limite de seu vetor aceleração média quando o intervalo se aproxima de zero...

...e é igual à taxa de variação de seu vetor velocidade instantânea.

(3.9)O vetor aceleração instantânea de uma partícula...

SS S

a #t#v

dtdv

lim#t S 0

= =

O vetor velocidade é tangente à trajetória da partícula. Porém, o vetor acele-ração instantânea não tem de ser sempre tangente à trajetória. Se a trajetória for curva, aponta para o lado côncavo da trajetória — ou seja, para o lado interno

SS

Este carro acelera enquanto reduz ao fazer uma curva. (Sua velocidade instantânea varia tanto em módulo quanto em direção.)

(a)

P2

P1

v2

v1

v2

(b)

P2

P1

v1

v1

v2

P2

P1

v1

∆v

v2

(c)

am ∆v∆t

S

S

S

A aceleração média possui a mesma direção que a variação na velocidade, #vS

S

S

S

S

S

S

S

Para determinar a aceleração média do carro entre P1 e P2, primeiro temos de achar a variação na velocidade #v subtraindo v1 de v2. (Note quev1 + ∆v = v2.)

SS

S S S

S

=

∆v = v2 − v1S S v

Figura 3.6 (a) Um carro se move ao longo de uma curva de P1 até P2. (b) Obtemos a variação de velocidade # = 2 ! 1 por

subtração de vetores. (c) O vetor m =# /#t representa a aceleração média entre P1 e P2.

Book_SEARS_Vol1.indb 77 02/09/15 6:29 PM

Capítulo 3 – Movimento em duas ou três dimensões 77

3.2 VETOR ACELERAÇÃOVamos agora considerar o vetor aceleração de uma partícula que se move no

espaço. Analogamente ao caso do movimento retilíneo, a aceleração indica como a velocidade de uma partícula está variando. Porém, como estamos tratando a velocidade como um vetor, a aceleração descreverá variações no módulo da velo-cidade (isto é, a velocidade escalar) e variações da direção da velocidade (isto é, a direção e o sentido do movimento no espaço).

Na Figura 3.6a, um carro (tratado como uma partícula) está se movendo ao longo de uma trajetória curva. Os vetores 1 e 2 representam, respectivamente, o vetor velocidade instantânea do carro no instante t1, quando ele está no ponto P1, e o vetor velocidade instantânea do carro no instante t2, quando ele está no ponto P2. No intervalo de tempo entre t1 e t2, a variação vetorial da velocidade é 2 !

1 " # , então 2 " 1 $ # (Figura 3.6b). Definimos o vetor aceleração média m do carro nesse intervalo como a variação vetorial da velocidade dividida pelo

intervalo t2 ! t1 " #t:

Variação na velocidade da partícula

Tempo final menos o inicialIntervalo de tempo

Velocidade final menos a inicial

Vetor aceleração média de uma partícula durante o intervalo de t1 a t2

SS

am #t#v

t2 --

t1

v2 v1S S

(3.8)==

A aceleração média é uma grandeza vetorial que possui a mesma direção e sentido do vetor # (Figura 3.6c). Observe que 2 é a soma vetorial de 1 com a variação # (Figura 3.6b). O componente x da Equação 3.8 é amx " (v2x ! v1x)/(t2 ! t1) #vx/#t, que é exatamente a Equação 2.4 para a aceleração média no mo-vimento retilíneo.

Como no Capítulo 2, definimos a aceleração instantânea no ponto P1 como o limite da aceleração média quando o ponto P2 se aproxima do ponto P1, assim, # e #t tendem a zero simultaneamente (Figura 3.7 ):

...é igual ao limite de seu vetor aceleração média quando o intervalo se aproxima de zero...

...e é igual à taxa de variação de seu vetor velocidade instantânea.

(3.9)O vetor aceleração instantânea de uma partícula...

SS S

a #t#v

dtdv

lim#t S 0

= =

O vetor velocidade é tangente à trajetória da partícula. Porém, o vetor acele-ração instantânea não tem de ser sempre tangente à trajetória. Se a trajetória for curva, aponta para o lado côncavo da trajetória — ou seja, para o lado interno

SS

Este carro acelera enquanto reduz ao fazer uma curva. (Sua velocidade instantânea varia tanto em módulo quanto em direção.)

(a)

P2

P1

v2

v1

v2

(b)

P2

P1

v1

v1

v2

P2

P1

v1

∆v

v2

(c)

am ∆v∆t

S

S

S

A aceleração média possui a mesma direção que a variação na velocidade, #vS

S

S

S

S

S

S

S

Para determinar a aceleração média do carro entre P1 e P2, primeiro temos de achar a variação na velocidade #v subtraindo v1 de v2. (Note quev1 + ∆v = v2.)

SS

S S S

S

=

∆v = v2 − v1S S v

Figura 3.6 (a) Um carro se move ao longo de uma curva de P1 até P2. (b) Obtemos a variação de velocidade # = 2 ! 1 por

subtração de vetores. (c) O vetor m =# /#t representa a aceleração média entre P1 e P2.

Book_SEARS_Vol1.indb 77 02/09/15 6:29 PM

Em termos de vetores unitários temos

onde

78 Física I

de qualquer volta que a partícula esteja fazendo (Figura 3.7a). A aceleração é tan-gente à trajetória somente se a partícula se move em uma linha reta (Figura 3.7b).

ATENÇÃO Qualquer partícula que segue uma trajetória curva está acelerando Quando uma partícula se move ao longo de uma trajetória curva, sua aceleração é sempre diferente de zero, mesmo quando o módulo da velocidade for constante. Essa conclusão pode parecer contrária ao uso cotidiano da palavra “aceleração” no sentido de aumento de velocidade. A definição mais precisa da Equação 3.9 mostra que existe aceleração diferente de zero sempre que houver qualquer variação do vetor velocidade, incluindo apenas variação da direção desse vetor, sem variação do módulo da velocidade.

Para se convencer de que uma partícula possui aceleração diferente de zero quando ela descreve uma trajetória curva com velocidade constante, lembre-se do que sente quando está viajando em um carro. Quando o carro acelera, você tende a se mover no interior dele em um sentido contrário ao da aceleração do carro. (Explicaremos a razão desse comportamento no Capítulo 4.) Logo, você tende a ser empurrado para a traseira do carro quando ele acelera para a frente (aumenta de velocidade), e para a frente do carro quando ele acelera para trás (diminui de velocidade). Quando o carro faz uma curva em uma estrada plana, você tende a ser empurrado para fora da curva; portanto, o carro possui uma aceleração para dentro da curva.

Normalmente, estamos interessados na aceleração instantânea, e não na ace-leração média. A partir de agora, quando mencionamos a palavra “aceleração”, estamos nos referindo ao vetor aceleração instantânea .

Cada componente do vetor aceleração ! ax " ay " az é dado pela deri-vada do respectivo componente do vetor velocidade:

...é igual à taxa de variação instantânea dos seus componentes de velocidade correspondentes.

Cada componente do vetor aceleração instantânea da partícula...

ax =dt

dvx ay =dt

dvyaz =

dtdvz (3.10)

Em termos de vetores unitários,

= = + +aSdvS

dt

dvx

dtd

dvy

dt e

dvz

dt k (3.11)

O componente x das equações 3.10 e 3.11, ax ! dvx/dt, é a expressão da Equa-ção 2.5 para a aceleração instantânea em uma dimensão. A Figura 3.8 apresenta o exemplo de um vetor aceleração que possui ambos os componentes, x e y.

Figura 3.8 Quando o arqueiro dispara a flecha, seu vetor aceleração possui tanto um componente horizontal (ax) quanto um componente vertical (ay).

aS

ax

ay

BIO Aplicação Cavalos em uma trajetória curva Ao inclinar-se para o lado e bater o chão com seus cascos em um ângulo, estes cavalos submetem às suas laterais a aceleração necessária para fazer uma acentuada mudança de direção.

Figura 3.7 (a) Aceleração instantânea no ponto P1 da Fig. 3.6. (b) Aceleração instantânea para o movimento ao longo de uma linha reta.

Para achar a aceleração instantânea a em P1 ...

v2

S P2

P1

P1

P1

P2

#tS0

#v

#v

#t

#v#t

A aceleração instantânea aponta para o lado côncavo da trajetória.

Somente se a trajetória for uma linha reta...

...é que a aceleração será tangente à trajetória.

v1

v1

v1

v2

(a) Aceleração: trajetória curva (b) Aceleração: trajetória em linha reta

S

S

S

S

S

SS

S

a = limS

a = limS

... tomamos o limite de am enquanto P2 se aproxima de P1 ...

S

... implicando que #v e #ttendem a 0.

S

#tS0

Book_SEARS_Vol1.indb 78 02/09/15 6:29 PM

78 Física I

de qualquer volta que a partícula esteja fazendo (Figura 3.7a). A aceleração é tan-gente à trajetória somente se a partícula se move em uma linha reta (Figura 3.7b).

ATENÇÃO Qualquer partícula que segue uma trajetória curva está acelerando Quando uma partícula se move ao longo de uma trajetória curva, sua aceleração é sempre diferente de zero, mesmo quando o módulo da velocidade for constante. Essa conclusão pode parecer contrária ao uso cotidiano da palavra “aceleração” no sentido de aumento de velocidade. A definição mais precisa da Equação 3.9 mostra que existe aceleração diferente de zero sempre que houver qualquer variação do vetor velocidade, incluindo apenas variação da direção desse vetor, sem variação do módulo da velocidade.

Para se convencer de que uma partícula possui aceleração diferente de zero quando ela descreve uma trajetória curva com velocidade constante, lembre-se do que sente quando está viajando em um carro. Quando o carro acelera, você tende a se mover no interior dele em um sentido contrário ao da aceleração do carro. (Explicaremos a razão desse comportamento no Capítulo 4.) Logo, você tende a ser empurrado para a traseira do carro quando ele acelera para a frente (aumenta de velocidade), e para a frente do carro quando ele acelera para trás (diminui de velocidade). Quando o carro faz uma curva em uma estrada plana, você tende a ser empurrado para fora da curva; portanto, o carro possui uma aceleração para dentro da curva.

Normalmente, estamos interessados na aceleração instantânea, e não na ace-leração média. A partir de agora, quando mencionamos a palavra “aceleração”, estamos nos referindo ao vetor aceleração instantânea .

Cada componente do vetor aceleração ! ax " ay " az é dado pela deri-vada do respectivo componente do vetor velocidade:

...é igual à taxa de variação instantânea dos seus componentes de velocidade correspondentes.

Cada componente do vetor aceleração instantânea da partícula...

ax =dt

dvx ay =dt

dvyaz =

dtdvz (3.10)

Em termos de vetores unitários,

= = + +aSdvS

dt

dvx

dtd

dvy

dt e

dvz

dt k (3.11)

O componente x das equações 3.10 e 3.11, ax ! dvx/dt, é a expressão da Equa-ção 2.5 para a aceleração instantânea em uma dimensão. A Figura 3.8 apresenta o exemplo de um vetor aceleração que possui ambos os componentes, x e y.

Figura 3.8 Quando o arqueiro dispara a flecha, seu vetor aceleração possui tanto um componente horizontal (ax) quanto um componente vertical (ay).

aS

ax

ay

BIO Aplicação Cavalos em uma trajetória curva Ao inclinar-se para o lado e bater o chão com seus cascos em um ângulo, estes cavalos submetem às suas laterais a aceleração necessária para fazer uma acentuada mudança de direção.

Figura 3.7 (a) Aceleração instantânea no ponto P1 da Fig. 3.6. (b) Aceleração instantânea para o movimento ao longo de uma linha reta.

Para achar a aceleração instantânea a em P1 ...

v2

S P2

P1

P1

P1

P2

#tS0

#v

#v

#t

#v#t

A aceleração instantânea aponta para o lado côncavo da trajetória.

Somente se a trajetória for uma linha reta...

...é que a aceleração será tangente à trajetória.

v1

v1

v1

v2

(a) Aceleração: trajetória curva (b) Aceleração: trajetória em linha reta

S

S

S

S

S

SS

S

a = limS

a = limS

... tomamos o limite de am enquanto P2 se aproxima de P1 ...

S

... implicando que #v e #ttendem a 0.

S

#tS0

Book_SEARS_Vol1.indb 78 02/09/15 6:29 PM

Quando uma partícula se move ao longo de uma trajetória curva, sua aceleração é sempre diferente de zero, mesmo quando o módulo da velocidade for constante.

Essa conclusão pode parecer contrária ao uso cotidiano da palavra “aceleração” no sentido de aumento de velocidade (em módulo).

No entanto, a definição precisa da aceleração

mostra que existe aceleração diferente de zero sempre que houver qualquer variação do vetor velocidade (no módulo e/ou na direção).

78 Física I

de qualquer volta que a partícula esteja fazendo (Figura 3.7a). A aceleração é tan-gente à trajetória somente se a partícula se move em uma linha reta (Figura 3.7b).

ATENÇÃO Qualquer partícula que segue uma trajetória curva está acelerando Quando uma partícula se move ao longo de uma trajetória curva, sua aceleração é sempre diferente de zero, mesmo quando o módulo da velocidade for constante. Essa conclusão pode parecer contrária ao uso cotidiano da palavra “aceleração” no sentido de aumento de velocidade. A definição mais precisa da Equação 3.9 mostra que existe aceleração diferente de zero sempre que houver qualquer variação do vetor velocidade, incluindo apenas variação da direção desse vetor, sem variação do módulo da velocidade.

Para se convencer de que uma partícula possui aceleração diferente de zero quando ela descreve uma trajetória curva com velocidade constante, lembre-se do que sente quando está viajando em um carro. Quando o carro acelera, você tende a se mover no interior dele em um sentido contrário ao da aceleração do carro. (Explicaremos a razão desse comportamento no Capítulo 4.) Logo, você tende a ser empurrado para a traseira do carro quando ele acelera para a frente (aumenta de velocidade), e para a frente do carro quando ele acelera para trás (diminui de velocidade). Quando o carro faz uma curva em uma estrada plana, você tende a ser empurrado para fora da curva; portanto, o carro possui uma aceleração para dentro da curva.

Normalmente, estamos interessados na aceleração instantânea, e não na ace-leração média. A partir de agora, quando mencionamos a palavra “aceleração”, estamos nos referindo ao vetor aceleração instantânea .

Cada componente do vetor aceleração ! ax " ay " az é dado pela deri-vada do respectivo componente do vetor velocidade:

...é igual à taxa de variação instantânea dos seus componentes de velocidade correspondentes.

Cada componente do vetor aceleração instantânea da partícula...

ax =dt

dvx ay =dt

dvyaz =

dtdvz (3.10)

Em termos de vetores unitários,

= = + +aSdvS

dt

dvx

dtd

dvy

dt e

dvz

dt k (3.11)

O componente x das equações 3.10 e 3.11, ax ! dvx/dt, é a expressão da Equa-ção 2.5 para a aceleração instantânea em uma dimensão. A Figura 3.8 apresenta o exemplo de um vetor aceleração que possui ambos os componentes, x e y.

Figura 3.8 Quando o arqueiro dispara a flecha, seu vetor aceleração possui tanto um componente horizontal (ax) quanto um componente vertical (ay).

aS

ax

ay

BIO Aplicação Cavalos em uma trajetória curva Ao inclinar-se para o lado e bater o chão com seus cascos em um ângulo, estes cavalos submetem às suas laterais a aceleração necessária para fazer uma acentuada mudança de direção.

Figura 3.7 (a) Aceleração instantânea no ponto P1 da Fig. 3.6. (b) Aceleração instantânea para o movimento ao longo de uma linha reta.

Para achar a aceleração instantânea a em P1 ...

v2

S P2

P1

P1

P1

P2

#tS0

#v

#v

#t

#v#t

A aceleração instantânea aponta para o lado côncavo da trajetória.

Somente se a trajetória for uma linha reta...

...é que a aceleração será tangente à trajetória.

v1

v1

v1

v2

(a) Aceleração: trajetória curva (b) Aceleração: trajetória em linha reta

S

S

S

S

S

SS

S

a = limS

a = limS

... tomamos o limite de am enquanto P2 se aproxima de P1 ...

S

... implicando que #v e #ttendem a 0.

S

#tS0

Book_SEARS_Vol1.indb 78 02/09/15 6:29 PM

ATENÇÃO: Qualquer partícula que segue uma trajetória curva está acelerando.

Componentes perpendiculares e paralelos da aceleração

Sempre podemos decompor a aceleração em:

- uma componente paralela à trajetória da partícula e à sua velocidade v. A componente paralela 𝑎|| nos informa sobre mudanças no módulo da velocidade da partícula.

- outra componente perpendicular à trajetória e a v. A componente perpendicular 𝑎⊥ nos informa sobre as variações na direção do movimento da partícula.

80 Física I

Os componentes perpendiculares e paralelos da aceleração

A Equação 3.10 nos fala sobre os componentes de um vetor da aceleração ins-tantânea da partícula ao longo dos eixos x, y e z. Outra maneira útil de entender esse vetor é pensar nele em termos de seu componente paralelo à trajetória da partícula e à sua velocidade , e outro componente perpendicular à trajetória e a (Figura 3.10 ). Isto porque o componente paralelo a|| nos informa sobre mudan-

ças no módulo da velocidade da partícula, enquanto seu componente perpendicu-lar a⊥ nos informa sobre as variações na direção do movimento da partícula. Para entender por que os componentes paralelo e perpendicular de possuem essas propriedades, consideremos dois casos especiais.

Na Figura 3.11a, o vetor aceleração possui a mesma direção do vetor veloci-dade 1. Portanto, possui apenas um componente paralelo a|| (ou seja, a⊥ = 0). A variação de velocidade ! durante um pequeno intervalo !t possui a mesma direção que e, portanto, também de 1. A velocidade 2, no final do intervalo !t, possui a mesma direção que 1, mas com um módulo maior. Dessa forma, durante o intervalo !t, a partícula da Figura 3.11a se moveu em linha reta com velocidade crescente (compare com a Figura 3.7b).

Na Figura 3.11b, a aceleração é perpendicular ao vetor velocidade, portanto possui apenas um componente perpendicular a⊥ (ou seja, a|| " 0). Durante um

pequeno intervalo !t, a variação da velocidade ! é aproximadamente perpen-dicular a 1, e então 1 e 2 possuem direções diferentes. Quando o intervalo !t tende a zero, o ângulo f na figura também tende a zero, ! se torna perpendicu-lar a ambos os vetores 1 e 2, os quais possuem o mesmo módulo. Em outras pa-lavras, a velocidade escalar permanece constante, porém a trajetória da partícula torna-se curva.

Na maioria dos casos, a aceleração possui ambos os componentes, o paralelo e o perpendicular à velocidade , como na Figura 3.10. Então a velocidade da par-tícula sofrerá variação (descrita pelo componente paralelo a||) e a direção de seu movimento sofrerá variação (descrita pelo componente perpendicular a⊥).

A Figura 3.12 mostra uma partícula descrevendo uma trajetória curva em três si-tuações diferentes: velocidade constante, velocidade crescente e velocidade escalar

Figura 3.11 O efeito da aceleração direcionada (a) em paralelo e (b) ortogonal à velocidade de uma partícula.

f

aS

aS

SSS

S

S S Sv2 = v1 + !vS S Sv2 = v1 + !v

v1!v

v1

Há variação somente no módulo da velocidade: a velocidade escalar muda, mas não a direção.

Há variação somente na direção da velocidade: a partícula se move em uma trajetória curva com velocidade escalar constante.

(a) Aceleração paralela à velocidade da partícula

!v

(b) Aceleração perpendicular à velocidade

Figura 3.12 Vetores de velocidade e aceleração para uma partícula que atravessa um ponto P em uma trajetória curva com (a) velocidade constante, (b) velocidade crescente e (c) velocidade decrescente.

aS

aS

aS

vSvSvS

... a aceleração aponta para a frente da normal.

(b) Quando a velocidade é crescente ao longo de uma trajetória curva...

P

Normal em P

... a aceleração aponta para trás da normal.

(c) Quando a velocidade é decrescente ao longo de uma trajetória curva...

P

Normal em P

... a aceleração é normal à trajetória.

(a) Quando a velocidade é constante ao longo de uma trajetória curva...

P

Normal em P

Figura 3.10 A aceleração pode ser decomposta em um componente a|| paralelo à trajetória (ou seja, ao longo da tangente da trajetória) e um componente a⊥ perpendicular à trajetória (ou seja, ao longo da normal à trajetória).

Componente de aperpendicular à trajetória

aS

Componente de a paralelo à trajetória

S

S

P

a#

a7

Trajetória da partícula

Ortogonal à trajetória em P

Tangente da trajetória em P

vS

Book_SEARS_Vol1.indb 80 02/09/15 6:29 PM

80 Física I

Os componentes perpendiculares e paralelos da aceleração

A Equação 3.10 nos fala sobre os componentes de um vetor da aceleração ins-tantânea da partícula ao longo dos eixos x, y e z. Outra maneira útil de entender esse vetor é pensar nele em termos de seu componente paralelo à trajetória da partícula e à sua velocidade , e outro componente perpendicular à trajetória e a (Figura 3.10 ). Isto porque o componente paralelo a|| nos informa sobre mudan-

ças no módulo da velocidade da partícula, enquanto seu componente perpendicu-lar a⊥ nos informa sobre as variações na direção do movimento da partícula. Para entender por que os componentes paralelo e perpendicular de possuem essas propriedades, consideremos dois casos especiais.

Na Figura 3.11a, o vetor aceleração possui a mesma direção do vetor veloci-dade 1. Portanto, possui apenas um componente paralelo a|| (ou seja, a⊥ = 0). A variação de velocidade ! durante um pequeno intervalo !t possui a mesma direção que e, portanto, também de 1. A velocidade 2, no final do intervalo !t, possui a mesma direção que 1, mas com um módulo maior. Dessa forma, durante o intervalo !t, a partícula da Figura 3.11a se moveu em linha reta com velocidade crescente (compare com a Figura 3.7b).

Na Figura 3.11b, a aceleração é perpendicular ao vetor velocidade, portanto possui apenas um componente perpendicular a⊥ (ou seja, a|| " 0). Durante um

pequeno intervalo !t, a variação da velocidade ! é aproximadamente perpen-dicular a 1, e então 1 e 2 possuem direções diferentes. Quando o intervalo !t tende a zero, o ângulo f na figura também tende a zero, ! se torna perpendicu-lar a ambos os vetores 1 e 2, os quais possuem o mesmo módulo. Em outras pa-lavras, a velocidade escalar permanece constante, porém a trajetória da partícula torna-se curva.

Na maioria dos casos, a aceleração possui ambos os componentes, o paralelo e o perpendicular à velocidade , como na Figura 3.10. Então a velocidade da par-tícula sofrerá variação (descrita pelo componente paralelo a||) e a direção de seu movimento sofrerá variação (descrita pelo componente perpendicular a⊥).

A Figura 3.12 mostra uma partícula descrevendo uma trajetória curva em três si-tuações diferentes: velocidade constante, velocidade crescente e velocidade escalar

Figura 3.11 O efeito da aceleração direcionada (a) em paralelo e (b) ortogonal à velocidade de uma partícula.

f

aS

aS

SSS

S

S S Sv2 = v1 + !vS S Sv2 = v1 + !v

v1!v

v1

Há variação somente no módulo da velocidade: a velocidade escalar muda, mas não a direção.

Há variação somente na direção da velocidade: a partícula se move em uma trajetória curva com velocidade escalar constante.

(a) Aceleração paralela à velocidade da partícula

!v

(b) Aceleração perpendicular à velocidade

Figura 3.12 Vetores de velocidade e aceleração para uma partícula que atravessa um ponto P em uma trajetória curva com (a) velocidade constante, (b) velocidade crescente e (c) velocidade decrescente.

aS

aS

aS

vSvSvS

... a aceleração aponta para a frente da normal.

(b) Quando a velocidade é crescente ao longo de uma trajetória curva...

P

Normal em P

... a aceleração aponta para trás da normal.

(c) Quando a velocidade é decrescente ao longo de uma trajetória curva...

P

Normal em P

... a aceleração é normal à trajetória.

(a) Quando a velocidade é constante ao longo de uma trajetória curva...

P

Normal em P

Figura 3.10 A aceleração pode ser decomposta em um componente a|| paralelo à trajetória (ou seja, ao longo da tangente da trajetória) e um componente a⊥ perpendicular à trajetória (ou seja, ao longo da normal à trajetória).

Componente de aperpendicular à trajetória

aS

Componente de a paralelo à trajetória

S

S

P

a#

a7

Trajetória da partícula

Ortogonal à trajetória em P

Tangente da trajetória em P

vS

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80 Física I

Os componentes perpendiculares e paralelos da aceleração

A Equação 3.10 nos fala sobre os componentes de um vetor da aceleração ins-tantânea da partícula ao longo dos eixos x, y e z. Outra maneira útil de entender esse vetor é pensar nele em termos de seu componente paralelo à trajetória da partícula e à sua velocidade , e outro componente perpendicular à trajetória e a (Figura 3.10 ). Isto porque o componente paralelo a|| nos informa sobre mudan-

ças no módulo da velocidade da partícula, enquanto seu componente perpendicu-lar a⊥ nos informa sobre as variações na direção do movimento da partícula. Para entender por que os componentes paralelo e perpendicular de possuem essas propriedades, consideremos dois casos especiais.

Na Figura 3.11a, o vetor aceleração possui a mesma direção do vetor veloci-dade 1. Portanto, possui apenas um componente paralelo a|| (ou seja, a⊥ = 0). A variação de velocidade ! durante um pequeno intervalo !t possui a mesma direção que e, portanto, também de 1. A velocidade 2, no final do intervalo !t, possui a mesma direção que 1, mas com um módulo maior. Dessa forma, durante o intervalo !t, a partícula da Figura 3.11a se moveu em linha reta com velocidade crescente (compare com a Figura 3.7b).

Na Figura 3.11b, a aceleração é perpendicular ao vetor velocidade, portanto possui apenas um componente perpendicular a⊥ (ou seja, a|| " 0). Durante um

pequeno intervalo !t, a variação da velocidade ! é aproximadamente perpen-dicular a 1, e então 1 e 2 possuem direções diferentes. Quando o intervalo !t tende a zero, o ângulo f na figura também tende a zero, ! se torna perpendicu-lar a ambos os vetores 1 e 2, os quais possuem o mesmo módulo. Em outras pa-lavras, a velocidade escalar permanece constante, porém a trajetória da partícula torna-se curva.

Na maioria dos casos, a aceleração possui ambos os componentes, o paralelo e o perpendicular à velocidade , como na Figura 3.10. Então a velocidade da par-tícula sofrerá variação (descrita pelo componente paralelo a||) e a direção de seu movimento sofrerá variação (descrita pelo componente perpendicular a⊥).

A Figura 3.12 mostra uma partícula descrevendo uma trajetória curva em três si-tuações diferentes: velocidade constante, velocidade crescente e velocidade escalar

Figura 3.11 O efeito da aceleração direcionada (a) em paralelo e (b) ortogonal à velocidade de uma partícula.

f

aS

aS

SSS

S

S S Sv2 = v1 + !vS S Sv2 = v1 + !v

v1!v

v1

Há variação somente no módulo da velocidade: a velocidade escalar muda, mas não a direção.

Há variação somente na direção da velocidade: a partícula se move em uma trajetória curva com velocidade escalar constante.

(a) Aceleração paralela à velocidade da partícula

!v

(b) Aceleração perpendicular à velocidade

Figura 3.12 Vetores de velocidade e aceleração para uma partícula que atravessa um ponto P em uma trajetória curva com (a) velocidade constante, (b) velocidade crescente e (c) velocidade decrescente.

aS

aS

aS

vSvSvS

... a aceleração aponta para a frente da normal.

(b) Quando a velocidade é crescente ao longo de uma trajetória curva...

P

Normal em P

... a aceleração aponta para trás da normal.

(c) Quando a velocidade é decrescente ao longo de uma trajetória curva...

P

Normal em P

... a aceleração é normal à trajetória.

(a) Quando a velocidade é constante ao longo de uma trajetória curva...

P

Normal em P

Figura 3.10 A aceleração pode ser decomposta em um componente a|| paralelo à trajetória (ou seja, ao longo da tangente da trajetória) e um componente a⊥ perpendicular à trajetória (ou seja, ao longo da normal à trajetória).

Componente de aperpendicular à trajetória

aS

Componente de a paralelo à trajetória

S

S

P

a#

a7

Trajetória da partícula

Ortogonal à trajetória em P

Tangente da trajetória em P

vS

Book_SEARS_Vol1.indb 80 02/09/15 6:29 PM

Exemplos:

Movimento de um projétil

Um projétil é qualquer corpo lançado com uma velocidade inicial e que segue uma trajetória determinada exclusivamente pela aceleração da gravidade e pela resistência do ar.

Exemplos: • uma bola de beisebol batida, • uma bola de futebol chutada, • uma bala disparada por uma arma de fogo.

A curva descrita pelo projétil é a sua trajetória.

Adotaremos um modelo idealizado: • representaremos o projétil como uma partícula com aceleração

constante em módulo, direção e sentido (devida à gravidade). • desprezaremos os efeitos de resistência do ar e a curvatura e

rotação da Terra.

A aceleração da gravidade é sempre vertical; a gravidade não pode produzir um movimento lateral do projétil.

O plano do movimento será considerado o plano de coordenadas xy, sendo o eixo x horizontal e o eixo y vertical e orientado de baixo para cima.

82 Física I

que sua derivada é igual a zero. Portanto, não existe nenhum componente paralelo de , e a aceleração é perpendicular ao seu movimento. Por fim, no ponto F, há um componente para-lelo com sentido oposto ao sentido de seu movimento, pois sua

velocidade está diminuindo. Portanto, o vetor aceleração aponta para trás da normal à sua trajetória.Na próxima seção, examinaremos a aceleração da esquiadora quando ela saltar da rampa.

(Continuação)

TESTE SUA COMPREENSÃO DA SEÇÃO 3.2 Um trenó passa pelo topo de uma colina coberta de neve. Sua velocidade diminui ao subir pela encosta da colina e aumenta ao descer pelo outro lado. Qual dos vetores (de 1 a 9) na figura demonstra corretamente a di-reção da aceleração do trenó no topo da colina? (A alternativa 9 corresponde a uma acele-ração igual a zero.) \

3.3 MOVIMENTO DE UM PROJÉTIL

Um projétil é qualquer corpo lançado com uma velocidade inicial e que segue uma trajetória determinada exclusivamente pela aceleração da gravidade e pela resistência do ar. Uma bola de beisebol batida, uma bola de futebol chutada e uma bala disparada por uma arma de fogo são exemplos de projéteis. A curva descrita pelo projétil é a sua trajetória.

A fim de analisarmos o movimento de um projétil, começaremos com um mo-delo idealizado, representando o projétil como uma partícula com aceleração (de-vida à gravidade) constante em módulo, direção e sentido. Vamos desprezar os efeitos de resistência do ar e a curvatura e rotação da Terra. Como todo modelo, ele possui algumas limitações. A curvatura da Terra tem de ser considerada no movimento de um míssil de longo alcance e a resistência do ar é de importância fundamental, por exemplo, para o movimento de um paraquedista. Contudo, po-demos aprender muito da análise desse modelo simplificado. No restante deste capítulo, a frase “movimento de um projétil” implica que desprezamos os efeitos de resistência do ar. No Capítulo 5, veremos o que ocorre quando não podemos desprezar os efeitos da resistência do ar.

Notamos, inicialmente, que o movimento de um projétil está sempre confinado em um plano vertical determinado pela direção da velocidade inicial (Figura 3.15). Isso ocorre porque a aceleração da gravidade é sempre vertical; a gravidade não pode produzir um movimento lateral do projétil. Logo, o movimento de um projétil ocorre em duas dimensões. O plano do movimento será considerado o plano de coordenadas xy, sendo o eixo x horizontal e o eixo y vertical e orientado de baixo para cima.

A chave para analisar o movimento de um projétil é tratar as coordenadas x e y separadamente. A Figura 3.16 ilustra isso para dois projéteis: uma bola à esquerda, largada do repouso, e uma bola à direita, projetada horizontalmente da mesma altura. A figura mostra que o movimento horizontal do projétil da direita não tem efeito sobre seu movimento vertical. Para os dois projéteis, o compo-nente x da aceleração é igual a zero, e o componente y é constante e igual a !g. (Lembre-se de que, por definição, g é sempre positivo; com a nossa escolha do sentido do eixo, ay é negativo.) Dessa forma, podemos considerar o movimento de um projétil como a combinação de um movimento horizontal com velocidade constante e um movimento vertical com aceleração constante.

Assim, podemos expressar todas as relações vetoriais para posição, velocidade e aceleração usando equações separadas para os componentes horizontal e verti-cal. Os componentes de são

ax " 0 ay " !g (movimento de um projétil, sem resistência do ar) (3.13)

Uma vez que os componentes x e y da aceleração são constantes, podemos usar as equações 2.8, 2.12, 2.13 e 2.14 diretamente. Por exemplo, suponha que, no instante t " 0, a partícula esteja em repouso no ponto (x0, y0) e que nesse instante

ou 9: aceleração = 0

Trajetória do trenó1 5

2 4

8 6

3

7

Figura 3.15 Trajetória de um projétil.

�������������������������������������������������������������������������v��������������vS0.���������������������������������vS0��� ����������������������������������� �� �������

v0aS

S T���������

ax = 0,�ay = -g

y

Ox

Book_SEARS_Vol1.indb 82 02/09/15 6:29 PM

A chave para analisar o movimento de um projétil é tratar as coordenadas x e y separadamente:

Concluimos que:

• O movimento vertical é uniformemente acelerado (com aceleração g).

• O movimento horizontal possui velocidade constante. • Os deslocamentos vertical e horizontal são independentes.

As componentes da aceleração são:

82 Física I

que sua derivada é igual a zero. Portanto, não existe nenhum componente paralelo de , e a aceleração é perpendicular ao seu movimento. Por fim, no ponto F, há um componente para-lelo com sentido oposto ao sentido de seu movimento, pois sua

velocidade está diminuindo. Portanto, o vetor aceleração aponta para trás da normal à sua trajetória.Na próxima seção, examinaremos a aceleração da esquiadora quando ela saltar da rampa.

(Continuação)

TESTE SUA COMPREENSÃO DA SEÇÃO 3.2 Um trenó passa pelo topo de uma colina coberta de neve. Sua velocidade diminui ao subir pela encosta da colina e aumenta ao descer pelo outro lado. Qual dos vetores (de 1 a 9) na figura demonstra corretamente a di-reção da aceleração do trenó no topo da colina? (A alternativa 9 corresponde a uma acele-ração igual a zero.) \

3.3 MOVIMENTO DE UM PROJÉTIL

Um projétil é qualquer corpo lançado com uma velocidade inicial e que segue uma trajetória determinada exclusivamente pela aceleração da gravidade e pela resistência do ar. Uma bola de beisebol batida, uma bola de futebol chutada e uma bala disparada por uma arma de fogo são exemplos de projéteis. A curva descrita pelo projétil é a sua trajetória.

A fim de analisarmos o movimento de um projétil, começaremos com um mo-delo idealizado, representando o projétil como uma partícula com aceleração (de-vida à gravidade) constante em módulo, direção e sentido. Vamos desprezar os efeitos de resistência do ar e a curvatura e rotação da Terra. Como todo modelo, ele possui algumas limitações. A curvatura da Terra tem de ser considerada no movimento de um míssil de longo alcance e a resistência do ar é de importância fundamental, por exemplo, para o movimento de um paraquedista. Contudo, po-demos aprender muito da análise desse modelo simplificado. No restante deste capítulo, a frase “movimento de um projétil” implica que desprezamos os efeitos de resistência do ar. No Capítulo 5, veremos o que ocorre quando não podemos desprezar os efeitos da resistência do ar.

Notamos, inicialmente, que o movimento de um projétil está sempre confinado em um plano vertical determinado pela direção da velocidade inicial (Figura 3.15). Isso ocorre porque a aceleração da gravidade é sempre vertical; a gravidade não pode produzir um movimento lateral do projétil. Logo, o movimento de um projétil ocorre em duas dimensões. O plano do movimento será considerado o plano de coordenadas xy, sendo o eixo x horizontal e o eixo y vertical e orientado de baixo para cima.

A chave para analisar o movimento de um projétil é tratar as coordenadas x e y separadamente. A Figura 3.16 ilustra isso para dois projéteis: uma bola à esquerda, largada do repouso, e uma bola à direita, projetada horizontalmente da mesma altura. A figura mostra que o movimento horizontal do projétil da direita não tem efeito sobre seu movimento vertical. Para os dois projéteis, o compo-nente x da aceleração é igual a zero, e o componente y é constante e igual a !g. (Lembre-se de que, por definição, g é sempre positivo; com a nossa escolha do sentido do eixo, ay é negativo.) Dessa forma, podemos considerar o movimento de um projétil como a combinação de um movimento horizontal com velocidade constante e um movimento vertical com aceleração constante.

Assim, podemos expressar todas as relações vetoriais para posição, velocidade e aceleração usando equações separadas para os componentes horizontal e verti-cal. Os componentes de são

ax " 0 ay " !g (movimento de um projétil, sem resistência do ar) (3.13)

Uma vez que os componentes x e y da aceleração são constantes, podemos usar as equações 2.8, 2.12, 2.13 e 2.14 diretamente. Por exemplo, suponha que, no instante t " 0, a partícula esteja em repouso no ponto (x0, y0) e que nesse instante

ou 9: aceleração = 0

Trajetória do trenó1 5

2 4

8 6

3

7

Figura 3.15 Trajetória de um projétil.

�������������������������������������������������������������������������v��������������vS0.���������������������������������vS0��� ����������������������������������� �� �������

v0aS

S T���������

ax = 0,�ay = -g

y

Ox

Book_SEARS_Vol1.indb 82 02/09/15 6:29 PM

Capítulo 3 – Movimento em duas ou três dimensões 83

sua velocidade inicial possua componentes v0x e v0y. Os componentes da acele-ração são ax ! 0 e ay ! "g. Considerando inicialmente o movimento no eixo x e substituindo ax por 0 nas equações 2.8 e 2.12, achamos

vx ! v0x (3.14)

x ! x0 # v0xt (3.15)

Para o movimento no eixo y, substituindo x por y, vx por vy, v0x por v0y e consi-derando ay ! "g para ax, achamos

vy ! v0y " gt (3.16)

y = y0 + v0y t - 12 gt2 (3.17)

Normalmente, é mais simples considerar a posição inicial (t ! 0) como a ori-gem; neste caso, x0 ! y0 ! 0. Este ponto poderia ser, por exemplo, a posição da mão quando lançamos uma bola ou a posição de uma bala quando ela deixa o cano da arma.

A Figura 3.17 mostra a trajetória de um projétil que começa na origem (ou a atravessa) em dado instante t ! 0. Os componentes da posição, da velocidade e da aceleração são indicados para intervalos iguais. O componente x da velocidade, vx, é constante; o componente y da velocidade, vy, varia em quantidades iguais durante intervalos, exatamente como se o projétil fosse lançado verticalmente com a mesma velocidade inicial y.

Podemos também representar a velocidade inicial 0 por seu módulo v0 (a velocidade escalar inicial) e seu ângulo a0 com o sentido positivo do eixo Ox (Figura 3.18). Em termos dessas grandezas, os componentes v0x e v0y da veloci-dade inicial são:

v0x ! v0 cos a0 v0y ! v0 sen a0 (3.18)

Usando esse resultado (Equação 3.18) nas relações indicadas pelas equações 3.14 a 3.17 e fazendo x0 ! y0 ! 0, obtemos as equações a seguir. Elas descrevem a posição e a velocidade do projétil na Figura 3.17 em qualquer instante t:

�����������������������������������������������������������������������������x������������������������������������������������������y.������������� ������������������������������������������������������������������

����������������������������������������������������������

y

x

Figura 3.16 A bola da esquerda é largada do repouso e a bola da direita é projetada horizontalmente ao mesmo tempo.

Figura 3.17 Se desprezarmos a resistência do ar, a trajetória de um projétil é uma combinação do movimento horizontal com a velocidade constante e do movimento vertical com a aceleração constante.

a0

No topo da trajetória, o projétil possui velocidade vertical igual a zero (vy = 0), mas sua aceleração vertical continua a ser -g.

Verticalmente, o projétil exibe movimento de aceleração constante em resposta à força gravitacional terrestre. Logo, sua velocidade vertical varia em quantidades iguais durante intervalos iguais.

Horizontalmente, o projétil exibe movimento de velocidade constante: sua aceleração horizontal é zero e, portanto, percorre distâncias x iguais em intervalos iguais.

y

Ox

Sv1

Sv0

Sv2

Sv3

v2xv1xv0x

v0x

v3x

v1x

ay = -g

v1y v1y

v3yv3y

v3x

v0y v0y

a

a

Book_SEARS_Vol1.indb 83 02/09/15 6:29 PM

84 Física I

Coordenadas no instante t de um projétil (direção y positiva para cima e x = y = 0 em t = 0)

Velocidadeem t = 0

Direçãoem t = 0 Tempo

Tempo

Aceleração devida à gravidade:note g 7 0.

Componentes de velocidade no instante t de um projétil (direção y positiva para cima)

x = 1 v0 cos a02 t

vx = v0 cos a0

vy = v0 sen a0 - gt

(3.19)

(3.20)

(3.21)

(3.22)

y = 1 v0 sen a02 t - 12 gt2

Velocidadeem t = 0

Direçãoem t = 0

Podemos extrair muitas informações das equações 3.19 a 3.22. Por exemplo, em qualquer instante t, a distância r entre o projétil e a origem é dada por

r = "x2 + y2 (3.23)

A velocidade escalar do projétil (o módulo de sua velocidade) em qualquer instante é dada por

v = "vx 2 + vy

2 (3.24)

A direção e o sentido da velocidade em termos do ângulo a que ela faz com o sentido positivo do eixo x (Figura 3.17) são dados por

tan a =vy

vx (3.25)

O vetor velocidade em cada ponto é tangente à trajetória no referido ponto.Podemos deduzir a equação da forma da trajetória em termos de x e de y elimi-

nando t. Pelas equações 3.19 e 3.20, encontramos t ! x/(v0 cos a0) e

y = 1tan a02 x -g

2v0 2 cos2 a0

x2 (3.26)

Não se preocupe com os detalhes desta equação; o ponto importante é sua forma geral. As grandezas v0, tan a0, cos a0 e g são constantes, de modo que essa equação tem a forma:

y ! bx " cx2

onde b e c são constantes. Trata-se da equação de uma parábola. A trajetória do movimento de um projétil, com nosso modelo simplificado, é sempre uma pará-bola (Figura 3.19).

Quando a resistência do ar não pode ser desprezada e tem de ser incluída, calcular a trajetória torna-se bem mais complicado; os efeitos da resistência do ar dependem da velocidade, de modo que a aceleração deixa de ser constante. A Figura 3.20 mostra uma simulação de computador para a trajetória de uma bola de beisebol sem resistência do ar e considerando uma resistência proporcional ao quadrado da velocidade da bola de beisebol. Vemos que a resistência do ar possui um grande efeito; o projétil não tão vai alto ou tão distante, e a trajetória deixa de ser uma parábola.

Figura 3.18 Os componentes de velocidade inicial v0x e v0y de um projétil (como um bola de futebol chutada) relacionam-se com a velocidade escalar inicial v0 e o ângulo inicial a0.

Sy

Ox

v0

y

x

v0y = v0 sen a0

v0x = v0 cos a0

a0

Sv0

Imagens sucessivas da bola são separadas por intervalos iguais.

Picos sucessivos diminuemem altura porque abola perde energia

a cada salto.

Figura 3.19 As trajetórias aproximadamente parabólicas de uma bola quicando.

100

50

Ox (m)

100 200 300

Com resistência do ar

Velocidade inicial de uma bola de beisebol:v0 = 50 m>s, a0 = 53,1#

Sem resistência do ar

y (m)

-50

-100

Figura 3.20 A resistência do ar tem um efeito amplo no movimento de uma bola de beisebol. Nesta simulação, deixamos uma bola cair abaixo da altura da qual foi arremessada (por exemplo, a bola poderia ter sido arremessada de um penhasco.)

Book_SEARS_Vol1.indb 84 02/09/15 6:29 PM

O movimento é descrito pelas seguintes equações:

Num lançamento típico temos:

EXEMPLO1:

EXEMPLO2:

EXEMPLO3:

Movimento circular uniforme

Quando uma partícula se move ao longo de uma circunferência com velocidade escalar constante, dizemos que ela descreve um movimento circular uniforme.

Neste caso, não existe um componente da aceleração paralelo (tangente) à trajetória; caso houvesse, o módulo da velocidade seria variável.

O vetor da aceleração é perpendicular (normal) à trajetória e, portanto, orientado para dentro (nunca para fora!) em direção ao centro da trajetória circular.

Isso faz com que a direção da velocidade varie sem mudar a velocidade escalar.

Capítulo 3 – Movimento em duas ou três dimensões 91

Podemos achar uma expressão simples para o módulo da aceleração no mo-vimento circular uniforme. Começamos com a Figura 3.28a, que mostra uma partícula se movendo com velocidade escalar constante ao longo de uma circun-ferência de raio R com centro em O. A partícula se move a uma distância !s de P1 a P2 em um intervalo !t. A variação do vetor velocidade ! durante esse inter-valo é indicada na Figura 3.28b.

Os ângulos designados por !f nas figuras 3.28a e 3.28b são iguais porque 1 é perpendicular à linha OP1 e 2 é perpendicular à linha OP2. Portanto, os triân-gulos nas figuras 3.28a e 3.28b são semelhantes. As razões entre lados correspon-dentes são iguais, logo

0 !vS 0

v1=

!sR

ou 0 !vS 0 =v1

R !s

O módulo am da aceleração média durante o intervalo !t é, portanto,

am =0 !vS 0

!t=

v1

R !s!t

O módulo a da aceleração instantânea no ponto P1 é o limite dessa expres-são quando o ponto P2 tende a se superpor ao ponto P1:

a = lim!t S 0

v1

R !s!t

=v1

R lim!t S 0

!s!t

Se o intervalo !t é curto, !s é a distância que a partícula se move ao longo de sua trajetória curva. Portanto, o limite !s/!t é a velocidade escalar v1 no ponto P1. Além disso, P1 pode ser qualquer ponto da trajetória, de modo que podemos retirar o índice inferior (subscrito) e designar por v a velocidade escalar em qual-quer ponto. Logo,

(3.27)Velocidade escalar do objeto

Raio da trajetória circular do objeto

Módulo da aceleração de um objeto no movimento circular uniforme R

v2arad =

Introduzimos um índice inferior “rad” para lembrar que a direção da acelera-ção instantânea em cada ponto da trajetória é sempre orientada radialmente para dentro do círculo (em direção ao seu centro; ver figuras 3.27a e 3.28c). Portanto, no movimento circular uniforme, o módulo arad da aceleração instantânea é igual ao quadrado da velocidade escalar v dividido pelo raio R do círculo. Sua direção é perpendicular a e aponta para dentro do círculo ao longo do raio (Figura 3.29a).

Figura 3.27 Um carro em movimento circular uniforme. Se o carro está em movimento circular uniforme, como em (a), a velocidade escalar é constante e a aceleração é orientada para o centro da trajetória circular (compare com a Figura 3.12).

aS

vS

aS

vS

aS

vS

(b) Um carro aumenta a velocidade ao longo de uma trajetória circular

(c) Um carro reduz a velocidade ao longo de uma trajetória circular

(a) Movimento circular uniforme: velocidade escalar constante ao longo de uma trajetória circular

Para o centro do círculoComponente de aceleração perpendicular àvelocidade: altera a direção do carro

Componente de aceleração paralelo à velocidade: altera a velocidade escalar do carro

A aceleração é exatamente perpendicular à velocidade: nenhum componente paralelo

Componente de aceleração paralelo à velocidade: altera a velocidade escalar do carro

Componente de aceleração perpendicular à velocidade: altera a direção do carro

Figura 3.28 Achando a variação da velocidade ! , a aceleração média

m e a aceleração instantânea rad para uma partícula que se move em círculo a uma velocidade constante.

vS

Estes dois triângulos são semelhantes.

A aceleração instantânea em movimento circular uniforme é sempre orientada para o centro do círculo.

R

P2

P1

R

O

(a) Um ponto percorre uma distância !s a uma velocidade escalar constante ao longo de uma trajetória circular.

!f

!s

O

(b) A variação correspondente em velocidade e aceleração média.

!f

(c) A aceleração instantânea

R

O

Sarad

v1S

v2S

v1S

!vS

v2S

Book_SEARS_Vol1.indb 91 02/09/15 6:29 PM

Capítulo 3 – Movimento em duas ou três dimensões 91

Podemos achar uma expressão simples para o módulo da aceleração no mo-vimento circular uniforme. Começamos com a Figura 3.28a, que mostra uma partícula se movendo com velocidade escalar constante ao longo de uma circun-ferência de raio R com centro em O. A partícula se move a uma distância !s de P1 a P2 em um intervalo !t. A variação do vetor velocidade ! durante esse inter-valo é indicada na Figura 3.28b.

Os ângulos designados por !f nas figuras 3.28a e 3.28b são iguais porque 1 é perpendicular à linha OP1 e 2 é perpendicular à linha OP2. Portanto, os triân-gulos nas figuras 3.28a e 3.28b são semelhantes. As razões entre lados correspon-dentes são iguais, logo

0 !vS 0

v1=

!sR

ou 0 !vS 0 =v1

R !s

O módulo am da aceleração média durante o intervalo !t é, portanto,

am =0 !vS 0

!t=

v1

R !s!t

O módulo a da aceleração instantânea no ponto P1 é o limite dessa expres-são quando o ponto P2 tende a se superpor ao ponto P1:

a = lim!t S 0

v1

R !s!t

=v1

R lim!t S 0

!s!t

Se o intervalo !t é curto, !s é a distância que a partícula se move ao longo de sua trajetória curva. Portanto, o limite !s/!t é a velocidade escalar v1 no ponto P1. Além disso, P1 pode ser qualquer ponto da trajetória, de modo que podemos retirar o índice inferior (subscrito) e designar por v a velocidade escalar em qual-quer ponto. Logo,

(3.27)Velocidade escalar do objeto

Raio da trajetória circular do objeto

Módulo da aceleração de um objeto no movimento circular uniforme R

v2arad =

Introduzimos um índice inferior “rad” para lembrar que a direção da acelera-ção instantânea em cada ponto da trajetória é sempre orientada radialmente para dentro do círculo (em direção ao seu centro; ver figuras 3.27a e 3.28c). Portanto, no movimento circular uniforme, o módulo arad da aceleração instantânea é igual ao quadrado da velocidade escalar v dividido pelo raio R do círculo. Sua direção é perpendicular a e aponta para dentro do círculo ao longo do raio (Figura 3.29a).

Figura 3.27 Um carro em movimento circular uniforme. Se o carro está em movimento circular uniforme, como em (a), a velocidade escalar é constante e a aceleração é orientada para o centro da trajetória circular (compare com a Figura 3.12).

aS

vS

aS

vS

aS

vS

(b) Um carro aumenta a velocidade ao longo de uma trajetória circular

(c) Um carro reduz a velocidade ao longo de uma trajetória circular

(a) Movimento circular uniforme: velocidade escalar constante ao longo de uma trajetória circular

Para o centro do círculoComponente de aceleração perpendicular àvelocidade: altera a direção do carro

Componente de aceleração paralelo à velocidade: altera a velocidade escalar do carro

A aceleração é exatamente perpendicular à velocidade: nenhum componente paralelo

Componente de aceleração paralelo à velocidade: altera a velocidade escalar do carro

Componente de aceleração perpendicular à velocidade: altera a direção do carro

Figura 3.28 Achando a variação da velocidade ! , a aceleração média

m e a aceleração instantânea rad para uma partícula que se move em círculo a uma velocidade constante.

vS

Estes dois triângulos são semelhantes.

A aceleração instantânea em movimento circular uniforme é sempre orientada para o centro do círculo.

R

P2

P1

R

O

(a) Um ponto percorre uma distância !s a uma velocidade escalar constante ao longo de uma trajetória circular.

!f

!s

O

(b) A variação correspondente em velocidade e aceleração média.

!f

(c) A aceleração instantânea

R

O

Sarad

v1S

v2S

v1S

!vS

v2S

Book_SEARS_Vol1.indb 91 02/09/15 6:29 PM

Como os dois triângulos indicados na figura são semelhantes, temos:

O módulo am da aceleração média durante o intervalo 𝛥t é, portanto,

Capítulo 3 – Movimento em duas ou três dimensões 91

Podemos achar uma expressão simples para o módulo da aceleração no mo-vimento circular uniforme. Começamos com a Figura 3.28a, que mostra uma partícula se movendo com velocidade escalar constante ao longo de uma circun-ferência de raio R com centro em O. A partícula se move a uma distância !s de P1 a P2 em um intervalo !t. A variação do vetor velocidade ! durante esse inter-valo é indicada na Figura 3.28b.

Os ângulos designados por !f nas figuras 3.28a e 3.28b são iguais porque 1 é perpendicular à linha OP1 e 2 é perpendicular à linha OP2. Portanto, os triân-gulos nas figuras 3.28a e 3.28b são semelhantes. As razões entre lados correspon-dentes são iguais, logo

0 !vS 0

v1=

!sR

ou 0 !vS 0 =v1

R !s

O módulo am da aceleração média durante o intervalo !t é, portanto,

am =0 !vS 0

!t=

v1

R !s!t

O módulo a da aceleração instantânea no ponto P1 é o limite dessa expres-são quando o ponto P2 tende a se superpor ao ponto P1:

a = lim!t S 0

v1

R !s!t

=v1

R lim!t S 0

!s!t

Se o intervalo !t é curto, !s é a distância que a partícula se move ao longo de sua trajetória curva. Portanto, o limite !s/!t é a velocidade escalar v1 no ponto P1. Além disso, P1 pode ser qualquer ponto da trajetória, de modo que podemos retirar o índice inferior (subscrito) e designar por v a velocidade escalar em qual-quer ponto. Logo,

(3.27)Velocidade escalar do objeto

Raio da trajetória circular do objeto

Módulo da aceleração de um objeto no movimento circular uniforme R

v2arad =

Introduzimos um índice inferior “rad” para lembrar que a direção da acelera-ção instantânea em cada ponto da trajetória é sempre orientada radialmente para dentro do círculo (em direção ao seu centro; ver figuras 3.27a e 3.28c). Portanto, no movimento circular uniforme, o módulo arad da aceleração instantânea é igual ao quadrado da velocidade escalar v dividido pelo raio R do círculo. Sua direção é perpendicular a e aponta para dentro do círculo ao longo do raio (Figura 3.29a).

Figura 3.27 Um carro em movimento circular uniforme. Se o carro está em movimento circular uniforme, como em (a), a velocidade escalar é constante e a aceleração é orientada para o centro da trajetória circular (compare com a Figura 3.12).

aS

vS

aS

vS

aS

vS

(b) Um carro aumenta a velocidade ao longo de uma trajetória circular

(c) Um carro reduz a velocidade ao longo de uma trajetória circular

(a) Movimento circular uniforme: velocidade escalar constante ao longo de uma trajetória circular

Para o centro do círculoComponente de aceleração perpendicular àvelocidade: altera a direção do carro

Componente de aceleração paralelo à velocidade: altera a velocidade escalar do carro

A aceleração é exatamente perpendicular à velocidade: nenhum componente paralelo

Componente de aceleração paralelo à velocidade: altera a velocidade escalar do carro

Componente de aceleração perpendicular à velocidade: altera a direção do carro

Figura 3.28 Achando a variação da velocidade ! , a aceleração média

m e a aceleração instantânea rad para uma partícula que se move em círculo a uma velocidade constante.

vS

Estes dois triângulos são semelhantes.

A aceleração instantânea em movimento circular uniforme é sempre orientada para o centro do círculo.

R

P2

P1

R

O

(a) Um ponto percorre uma distância !s a uma velocidade escalar constante ao longo de uma trajetória circular.

!f

!s

O

(b) A variação correspondente em velocidade e aceleração média.

!f

(c) A aceleração instantânea

R

O

Sarad

v1S

v2S

v1S

!vS

v2S

Book_SEARS_Vol1.indb 91 02/09/15 6:29 PM

O módulo 𝑎 da aceleração instantânea no ponto P1 é o limite dessa expressão quando o ponto P2 tende a se superpor ao ponto P1:

Se o intervalo 𝛥t é curto, 𝛥s é a distância que a partícula se move ao longo de sua trajetória curva.

Portanto, o limite 𝛥s/𝛥t é a velocidade escalar v1 no ponto P1.

Capítulo 3 – Movimento em duas ou três dimensões 91

Podemos achar uma expressão simples para o módulo da aceleração no mo-vimento circular uniforme. Começamos com a Figura 3.28a, que mostra uma partícula se movendo com velocidade escalar constante ao longo de uma circun-ferência de raio R com centro em O. A partícula se move a uma distância !s de P1 a P2 em um intervalo !t. A variação do vetor velocidade ! durante esse inter-valo é indicada na Figura 3.28b.

Os ângulos designados por !f nas figuras 3.28a e 3.28b são iguais porque 1 é perpendicular à linha OP1 e 2 é perpendicular à linha OP2. Portanto, os triân-gulos nas figuras 3.28a e 3.28b são semelhantes. As razões entre lados correspon-dentes são iguais, logo

0 !vS 0

v1=

!sR

ou 0 !vS 0 =v1

R !s

O módulo am da aceleração média durante o intervalo !t é, portanto,

am =0 !vS 0

!t=

v1

R !s!t

O módulo a da aceleração instantânea no ponto P1 é o limite dessa expres-são quando o ponto P2 tende a se superpor ao ponto P1:

a = lim!t S 0

v1

R !s!t

=v1

R lim!t S 0

!s!t

Se o intervalo !t é curto, !s é a distância que a partícula se move ao longo de sua trajetória curva. Portanto, o limite !s/!t é a velocidade escalar v1 no ponto P1. Além disso, P1 pode ser qualquer ponto da trajetória, de modo que podemos retirar o índice inferior (subscrito) e designar por v a velocidade escalar em qual-quer ponto. Logo,

(3.27)Velocidade escalar do objeto

Raio da trajetória circular do objeto

Módulo da aceleração de um objeto no movimento circular uniforme R

v2arad =

Introduzimos um índice inferior “rad” para lembrar que a direção da acelera-ção instantânea em cada ponto da trajetória é sempre orientada radialmente para dentro do círculo (em direção ao seu centro; ver figuras 3.27a e 3.28c). Portanto, no movimento circular uniforme, o módulo arad da aceleração instantânea é igual ao quadrado da velocidade escalar v dividido pelo raio R do círculo. Sua direção é perpendicular a e aponta para dentro do círculo ao longo do raio (Figura 3.29a).

Figura 3.27 Um carro em movimento circular uniforme. Se o carro está em movimento circular uniforme, como em (a), a velocidade escalar é constante e a aceleração é orientada para o centro da trajetória circular (compare com a Figura 3.12).

aS

vS

aS

vS

aS

vS

(b) Um carro aumenta a velocidade ao longo de uma trajetória circular

(c) Um carro reduz a velocidade ao longo de uma trajetória circular

(a) Movimento circular uniforme: velocidade escalar constante ao longo de uma trajetória circular

Para o centro do círculoComponente de aceleração perpendicular àvelocidade: altera a direção do carro

Componente de aceleração paralelo à velocidade: altera a velocidade escalar do carro

A aceleração é exatamente perpendicular à velocidade: nenhum componente paralelo

Componente de aceleração paralelo à velocidade: altera a velocidade escalar do carro

Componente de aceleração perpendicular à velocidade: altera a direção do carro

Figura 3.28 Achando a variação da velocidade ! , a aceleração média

m e a aceleração instantânea rad para uma partícula que se move em círculo a uma velocidade constante.

vS

Estes dois triângulos são semelhantes.

A aceleração instantânea em movimento circular uniforme é sempre orientada para o centro do círculo.

R

P2

P1

R

O

(a) Um ponto percorre uma distância !s a uma velocidade escalar constante ao longo de uma trajetória circular.

!f

!s

O

(b) A variação correspondente em velocidade e aceleração média.

!f

(c) A aceleração instantânea

R

O

Sarad

v1S

v2S

v1S

!vS

v2S

Book_SEARS_Vol1.indb 91 02/09/15 6:29 PM

Além disso, P1 pode ser qualquer ponto da trajetória, de modo que podemos retirar o índice inferior (subscrito) e designar por v1 a velocidade escalar em qualquer ponto. Logo,

Capítulo 3 – Movimento em duas ou três dimensões 91

Podemos achar uma expressão simples para o módulo da aceleração no mo-vimento circular uniforme. Começamos com a Figura 3.28a, que mostra uma partícula se movendo com velocidade escalar constante ao longo de uma circun-ferência de raio R com centro em O. A partícula se move a uma distância !s de P1 a P2 em um intervalo !t. A variação do vetor velocidade ! durante esse inter-valo é indicada na Figura 3.28b.

Os ângulos designados por !f nas figuras 3.28a e 3.28b são iguais porque 1 é perpendicular à linha OP1 e 2 é perpendicular à linha OP2. Portanto, os triân-gulos nas figuras 3.28a e 3.28b são semelhantes. As razões entre lados correspon-dentes são iguais, logo

0 !vS 0

v1=

!sR

ou 0 !vS 0 =v1

R !s

O módulo am da aceleração média durante o intervalo !t é, portanto,

am =0 !vS 0

!t=

v1

R !s!t

O módulo a da aceleração instantânea no ponto P1 é o limite dessa expres-são quando o ponto P2 tende a se superpor ao ponto P1:

a = lim!t S 0

v1

R !s!t

=v1

R lim!t S 0

!s!t

Se o intervalo !t é curto, !s é a distância que a partícula se move ao longo de sua trajetória curva. Portanto, o limite !s/!t é a velocidade escalar v1 no ponto P1. Além disso, P1 pode ser qualquer ponto da trajetória, de modo que podemos retirar o índice inferior (subscrito) e designar por v a velocidade escalar em qual-quer ponto. Logo,

(3.27)Velocidade escalar do objeto

Raio da trajetória circular do objeto

Módulo da aceleração de um objeto no movimento circular uniforme R

v2arad =

Introduzimos um índice inferior “rad” para lembrar que a direção da acelera-ção instantânea em cada ponto da trajetória é sempre orientada radialmente para dentro do círculo (em direção ao seu centro; ver figuras 3.27a e 3.28c). Portanto, no movimento circular uniforme, o módulo arad da aceleração instantânea é igual ao quadrado da velocidade escalar v dividido pelo raio R do círculo. Sua direção é perpendicular a e aponta para dentro do círculo ao longo do raio (Figura 3.29a).

Figura 3.27 Um carro em movimento circular uniforme. Se o carro está em movimento circular uniforme, como em (a), a velocidade escalar é constante e a aceleração é orientada para o centro da trajetória circular (compare com a Figura 3.12).

aS

vS

aS

vS

aS

vS

(b) Um carro aumenta a velocidade ao longo de uma trajetória circular

(c) Um carro reduz a velocidade ao longo de uma trajetória circular

(a) Movimento circular uniforme: velocidade escalar constante ao longo de uma trajetória circular

Para o centro do círculoComponente de aceleração perpendicular àvelocidade: altera a direção do carro

Componente de aceleração paralelo à velocidade: altera a velocidade escalar do carro

A aceleração é exatamente perpendicular à velocidade: nenhum componente paralelo

Componente de aceleração paralelo à velocidade: altera a velocidade escalar do carro

Componente de aceleração perpendicular à velocidade: altera a direção do carro

Figura 3.28 Achando a variação da velocidade ! , a aceleração média

m e a aceleração instantânea rad para uma partícula que se move em círculo a uma velocidade constante.

vS

Estes dois triângulos são semelhantes.

A aceleração instantânea em movimento circular uniforme é sempre orientada para o centro do círculo.

R

P2

P1

R

O

(a) Um ponto percorre uma distância !s a uma velocidade escalar constante ao longo de uma trajetória circular.

!f

!s

O

(b) A variação correspondente em velocidade e aceleração média.

!f

(c) A aceleração instantânea

R

O

Sarad

v1S

v2S

v1S

!vS

v2S

Book_SEARS_Vol1.indb 91 02/09/15 6:29 PM

Capítulo 3 – Movimento em duas ou três dimensões 91

Podemos achar uma expressão simples para o módulo da aceleração no mo-vimento circular uniforme. Começamos com a Figura 3.28a, que mostra uma partícula se movendo com velocidade escalar constante ao longo de uma circun-ferência de raio R com centro em O. A partícula se move a uma distância !s de P1 a P2 em um intervalo !t. A variação do vetor velocidade ! durante esse inter-valo é indicada na Figura 3.28b.

Os ângulos designados por !f nas figuras 3.28a e 3.28b são iguais porque 1 é perpendicular à linha OP1 e 2 é perpendicular à linha OP2. Portanto, os triân-gulos nas figuras 3.28a e 3.28b são semelhantes. As razões entre lados correspon-dentes são iguais, logo

0 !vS 0

v1=

!sR

ou 0 !vS 0 =v1

R !s

O módulo am da aceleração média durante o intervalo !t é, portanto,

am =0 !vS 0

!t=

v1

R !s!t

O módulo a da aceleração instantânea no ponto P1 é o limite dessa expres-são quando o ponto P2 tende a se superpor ao ponto P1:

a = lim!t S 0

v1

R !s!t

=v1

R lim!t S 0

!s!t

Se o intervalo !t é curto, !s é a distância que a partícula se move ao longo de sua trajetória curva. Portanto, o limite !s/!t é a velocidade escalar v1 no ponto P1. Além disso, P1 pode ser qualquer ponto da trajetória, de modo que podemos retirar o índice inferior (subscrito) e designar por v a velocidade escalar em qual-quer ponto. Logo,

(3.27)Velocidade escalar do objeto

Raio da trajetória circular do objeto

Módulo da aceleração de um objeto no movimento circular uniforme R

v2arad =

Introduzimos um índice inferior “rad” para lembrar que a direção da acelera-ção instantânea em cada ponto da trajetória é sempre orientada radialmente para dentro do círculo (em direção ao seu centro; ver figuras 3.27a e 3.28c). Portanto, no movimento circular uniforme, o módulo arad da aceleração instantânea é igual ao quadrado da velocidade escalar v dividido pelo raio R do círculo. Sua direção é perpendicular a e aponta para dentro do círculo ao longo do raio (Figura 3.29a).

Figura 3.27 Um carro em movimento circular uniforme. Se o carro está em movimento circular uniforme, como em (a), a velocidade escalar é constante e a aceleração é orientada para o centro da trajetória circular (compare com a Figura 3.12).

aS

vS

aS

vS

aS

vS

(b) Um carro aumenta a velocidade ao longo de uma trajetória circular

(c) Um carro reduz a velocidade ao longo de uma trajetória circular

(a) Movimento circular uniforme: velocidade escalar constante ao longo de uma trajetória circular

Para o centro do círculoComponente de aceleração perpendicular àvelocidade: altera a direção do carro

Componente de aceleração paralelo à velocidade: altera a velocidade escalar do carro

A aceleração é exatamente perpendicular à velocidade: nenhum componente paralelo

Componente de aceleração paralelo à velocidade: altera a velocidade escalar do carro

Componente de aceleração perpendicular à velocidade: altera a direção do carro

Figura 3.28 Achando a variação da velocidade ! , a aceleração média

m e a aceleração instantânea rad para uma partícula que se move em círculo a uma velocidade constante.

vS

Estes dois triângulos são semelhantes.

A aceleração instantânea em movimento circular uniforme é sempre orientada para o centro do círculo.

R

P2

P1

R

O

(a) Um ponto percorre uma distância !s a uma velocidade escalar constante ao longo de uma trajetória circular.

!f

!s

O

(b) A variação correspondente em velocidade e aceleração média.

!f

(c) A aceleração instantânea

R

O

Sarad

v1S

v2S

v1S

!vS

v2S

Book_SEARS_Vol1.indb 91 02/09/15 6:29 PM

Velocidade e aceleração por integração

Já analisamos o caso especial do movimento retilíneo com aceleração constante e mostramos que é governado pelas equações:

Porém, quando 𝑎x não é constante, essas equações não são mais válidas.

Como podemos analisar o movimento nesses casos?

Capítulo 2 – Movimento retilíneo 61

Movimento retilíneo, velocidade média e ve-locidade instantânea: quando uma partícula se move em linha reta, descrevemos sua posição em relação à origem O especificando uma coordenada tal como x. A velocidade média da partícula vmx em um intervalo de tempo !t " t2 # t1 é igual a seu deslocamento !x " x2 # x1 dividido por !t. A velocidade instantânea vx em qualquer instante t é igual à velocidade média para o intervalo de tempo entre t e t $ !t até o limite em que !t seja zero. Da mesma forma, vx é a derivativa da função posição em relação ao tempo (Exemplo 2.1).

vmx =!x!t

=x2 - x1

t2 - t1

vx = lim!t S 0

!x!t

=dxdt

(2.2)

(2.3)

x

p1

p2

Ot

!x

= x

2 -

x1

!t = t2 - t1t2t1

x1

x2

Incli

naçã

o = v mx

Inclinação = v x

Aceleração média e instantânea: a aceleração média amx em um intervalo de tempo !t é igual à variação em velocidade !vx " v2x # v1x no inter-valo dividido por !t. A aceleração instantânea ax é o limite de amx conforme !t tende a zero, ou a derivativa de vx em relação a t (exemplos 2.2 e 2.3).

amx =!vx

!t=

v2x - v1x

t2 - t1

ax = lim!t S 0

!vx

!t=

dvx

dt

(2.4)

(2.5)

vx

v2x

v1x

t2t1t

O

p1

p2

!t = t2 - t1

!v x

= v

2x -

v1x

Inclinaçã

o = a mx

Inclinação = ax

Movimento retilíneo com aceleração constante: quando a aceleração é constante, quatro equações relacionam a posição x e a velocidade vx, em qual-quer instante t, à posição inicial x0, à velocidade inicial v0x (ambas medidas no instante t " 0) e à aceleração ax (exemplos 2.4 e 2.5).

Aceleração constante somente:

vx = v0x + ax t

x = x0 + v0x t + 12 ax t2

vx 2 = v0x

2 + 2ax 1x - x02

x - x0 = 12 1v0x + vx 2 t

(2.8)

(2.12)

(2.13)

(2.14)0

0

0

0

0

t = 2!t

t = 3!t

t = !t

t = 4!t

t = 0v

a

va

va

va

va

x

x

x

x

x

CAPÍTULO 2 RESUMO

AVALIAR: a Figura 2.29 ajuda a interpretar nossos resultados. O gráfico no topo dessa figura indica que ax é positiva entre t " 0 e t " 20 s e negativa a partir daí. É nula em t " 20 s, o tempo no qual vx atinge seu valor máximo (o ponto mais alto no gráfico do meio). O carro acelera até t " 20 s (porque vx e ax possuem o mesmo sinal) e passa a diminuir de velocidade depois de t " 20 s (porque vx e ax possuem sinais contrários).

Uma vez que o valor máximo de vx ocorre para t " 20 s, o grá-fico xt (o gráfico da direita na Figura 2.29) possui sua inclinação máxima nesse instante. Note que o gráfico xt possui concavidade para cima (curvado para cima) de t " 0 até t " 20 s, quando ax é positiva. O gráfico possui concavidade para baixo (curvado para baixo) após t " 20 s, quando ax é negativa.

(Continuação)

Figura 2.29 A posição, a velocidade e a aceleração do carro do Exemplo 2.9 em função do tempo. Você é capaz de mostrar que, se esse movimento continuasse, o carro pararia no instante t " 44,5 s?

25

O gráfico xt possui concavidade para baixo apóst = 20 s.

O gráfico xt possui concavidade para cima antes det = 20 s.

A velocidade aumenta antes de t = 20 s.

A velocidade diminui após t = 20 s.

A aceleração é positiva antes de t = 20 s.

A aceleração é negativa após t = 20 s.

vx (m>s)

O

10

20

30

5 10 15 20 25 30t (s)

x (m)

t (s)O

200

400

600

800

5 10 15 20 25 30

ax (m>s2)

O

1,0

2,0

5 10 15 20 30

-1,0

t (s)

Book_SEARS_Vol1.indb 61 02/09/15 6:29 PM

A Figura mostra 𝑎x em função do tempo para um corpo cuja aceleração não é constante.

Podemos dividir o intervalo de tempo entre t1 e t2 em intervalos muito pequenos e designar cada um deles como 𝛥t.

Seja 𝑎mx a aceleração média durante 𝛥t. Pela equação

a variação da velocidade vx durante 𝛥t é dada por:

Capítulo 2 – Movimento retilíneo 61

Movimento retilíneo, velocidade média e ve-locidade instantânea: quando uma partícula se move em linha reta, descrevemos sua posição em relação à origem O especificando uma coordenada tal como x. A velocidade média da partícula vmx em um intervalo de tempo !t " t2 # t1 é igual a seu deslocamento !x " x2 # x1 dividido por !t. A velocidade instantânea vx em qualquer instante t é igual à velocidade média para o intervalo de tempo entre t e t $ !t até o limite em que !t seja zero. Da mesma forma, vx é a derivativa da função posição em relação ao tempo (Exemplo 2.1).

vmx =!x!t

=x2 - x1

t2 - t1

vx = lim!t S 0

!x!t

=dxdt

(2.2)

(2.3)

x

p1

p2

Ot

!x

= x

2 -

x1

!t = t2 - t1t2t1

x1

x2

Incli

naçã

o = v mx

Inclinação = v x

Aceleração média e instantânea: a aceleração média amx em um intervalo de tempo !t é igual à variação em velocidade !vx " v2x # v1x no inter-valo dividido por !t. A aceleração instantânea ax é o limite de amx conforme !t tende a zero, ou a derivativa de vx em relação a t (exemplos 2.2 e 2.3).

amx =!vx

!t=

v2x - v1x

t2 - t1

ax = lim!t S 0

!vx

!t=

dvx

dt

(2.4)

(2.5)

vx

v2x

v1x

t2t1t

O

p1

p2

!t = t2 - t1

!v x

= v

2x -

v1x

Inclinaçã

o = a mx

Inclinação = ax

Movimento retilíneo com aceleração constante: quando a aceleração é constante, quatro equações relacionam a posição x e a velocidade vx, em qual-quer instante t, à posição inicial x0, à velocidade inicial v0x (ambas medidas no instante t " 0) e à aceleração ax (exemplos 2.4 e 2.5).

Aceleração constante somente:

vx = v0x + ax t

x = x0 + v0x t + 12 ax t2

vx 2 = v0x

2 + 2ax 1x - x02

x - x0 = 12 1v0x + vx 2 t

(2.8)

(2.12)

(2.13)

(2.14)0

0

0

0

0

t = 2!t

t = 3!t

t = !t

t = 4!t

t = 0v

a

va

va

va

va

x

x

x

x

x

CAPÍTULO 2 RESUMO

AVALIAR: a Figura 2.29 ajuda a interpretar nossos resultados. O gráfico no topo dessa figura indica que ax é positiva entre t " 0 e t " 20 s e negativa a partir daí. É nula em t " 20 s, o tempo no qual vx atinge seu valor máximo (o ponto mais alto no gráfico do meio). O carro acelera até t " 20 s (porque vx e ax possuem o mesmo sinal) e passa a diminuir de velocidade depois de t " 20 s (porque vx e ax possuem sinais contrários).

Uma vez que o valor máximo de vx ocorre para t " 20 s, o grá-fico xt (o gráfico da direita na Figura 2.29) possui sua inclinação máxima nesse instante. Note que o gráfico xt possui concavidade para cima (curvado para cima) de t " 0 até t " 20 s, quando ax é positiva. O gráfico possui concavidade para baixo (curvado para baixo) após t " 20 s, quando ax é negativa.

(Continuação)

Figura 2.29 A posição, a velocidade e a aceleração do carro do Exemplo 2.9 em função do tempo. Você é capaz de mostrar que, se esse movimento continuasse, o carro pararia no instante t " 44,5 s?

25

O gráfico xt possui concavidade para baixo apóst = 20 s.

O gráfico xt possui concavidade para cima antes det = 20 s.

A velocidade aumenta antes de t = 20 s.

A velocidade diminui após t = 20 s.

A aceleração é positiva antes de t = 20 s.

A aceleração é negativa após t = 20 s.

vx (m>s)

O

10

20

30

5 10 15 20 25 30t (s)

x (m)

t (s)O

200

400

600

800

5 10 15 20 25 30

ax (m>s2)

O

1,0

2,0

5 10 15 20 30

-1,0

t (s)

Book_SEARS_Vol1.indb 61 02/09/15 6:29 PM

Capítulo 2 – Movimento retilíneo 59

aceleração média durante !t. Pela Equação 2.4, a variação da velocidade !vx du-rante !t é dada por

!vx = amx !t

Graficamente, !vx é a área sombreada do retângulo que possui altura amx e lar-gura !t, ou seja, a área sob a curva entre a extremidade esquerda e a extremidade direita de !t. A variação total da velocidade em qualquer intervalo de tempo (di-gamos, de t1 a t2) é a soma das variações de !vx de todos os pequenos subinterva-los. Logo, a variação total da velocidade é dada graficamente pela área total sob a curva axt delimitada entre as linhas verticais t1 e t2. (Na Seção 2.4, mostramos que isso é verdade para o caso específico do movimento com aceleração ax constante.)

No limite em que todos os intervalos !t tornam-se muito pequenos e numero-sos, o valor de amx para o intervalo entre t e t + !t se aproxima da aceleração ax no tempo t. Nesse limite, a área sob a curva axt é dada pela integral de ax (que ge-ralmente é função de t) de t1 a t2. Se v1x for a velocidade do corpo no tempo t1 e v2x for a velocidade no tempo t2, então

v2x - v1x =v2x

v1x

dvx =t2

t1

ax dt (2.15)

A variação na velocidade vx é obtida pela integral da aceleração ax em relação ao tempo.

Podemos fazer exatamente o mesmo procedimento com a curva da velocidade versus tempo. Se x1 for a posição do corpo no tempo t1 e x2 for a posição no tempo t2, pela Equação 2.2, o deslocamento !x durante um pequeno intervalo de tempo !t será igual a vmx !t, onde vmx é a velocidade média durante !t. O deslo-camento total x2 " x1 durante o intervalo t2 " t1 é dado por:

x2 - x1 =x2

x1

dx =t2

t1

vx dt (2.16)

A variação da posição x — isto é, o deslocamento — é dada pela integral da velocidade vx em relação ao tempo. Graficamente, o deslocamento durante o in-tervalo t1 e t2 é dado pela área sob a curva vxt entre esses dois limites. (Esse re-sultado é semelhante ao obtido na Seção 2.4 para o caso específico no qual vx era dada pela Equação 2.8.)

Figura 2.26 Quando você pisa até o fundo no pedal do acelerador do seu carro, a aceleração resultante não é constante: quanto maior a velocidade do carro, mais lentamente ele ganha velocidade adicional. Para um carro comum, o tempo para acelerar de 50 km/h a 100 km/h é igual ao dobro do tempo necessário para acelerar de 0 a 50 km/h.

Área total sob a curva em um gráfico xt entre os tempos t1 e t2 = variação da velocidade que ocorre entre esses limites.

Área desta coluna = !vx= variação na velocidade durante o intervalo de tempo !t

O

amx

ax

t1 t2t

!t

Figura 2.28 Um gráfico axt para um corpo cuja aceleração não é constante.

Figura 2.27 O sistema de navegação inercial (INS — Inertial Navigation System) a bordo de uma aeronave registra sua aceleração. Dadas a posição inicial da aeronave e a velocidade antes da decolagem, o INS usa os dados da aceleração para calcular sua posição e velocidade durante o voo.

Book_SEARS_Vol1.indb 59 02/09/15 6:28 PM

Capítulo 2 – Movimento retilíneo 59

aceleração média durante !t. Pela Equação 2.4, a variação da velocidade !vx du-rante !t é dada por

!vx = amx !t

Graficamente, !vx é a área sombreada do retângulo que possui altura amx e lar-gura !t, ou seja, a área sob a curva entre a extremidade esquerda e a extremidade direita de !t. A variação total da velocidade em qualquer intervalo de tempo (di-gamos, de t1 a t2) é a soma das variações de !vx de todos os pequenos subinterva-los. Logo, a variação total da velocidade é dada graficamente pela área total sob a curva axt delimitada entre as linhas verticais t1 e t2. (Na Seção 2.4, mostramos que isso é verdade para o caso específico do movimento com aceleração ax constante.)

No limite em que todos os intervalos !t tornam-se muito pequenos e numero-sos, o valor de amx para o intervalo entre t e t + !t se aproxima da aceleração ax no tempo t. Nesse limite, a área sob a curva axt é dada pela integral de ax (que ge-ralmente é função de t) de t1 a t2. Se v1x for a velocidade do corpo no tempo t1 e v2x for a velocidade no tempo t2, então

v2x - v1x =v2x

v1x

dvx =t2

t1

ax dt (2.15)

A variação na velocidade vx é obtida pela integral da aceleração ax em relação ao tempo.

Podemos fazer exatamente o mesmo procedimento com a curva da velocidade versus tempo. Se x1 for a posição do corpo no tempo t1 e x2 for a posição no tempo t2, pela Equação 2.2, o deslocamento !x durante um pequeno intervalo de tempo !t será igual a vmx !t, onde vmx é a velocidade média durante !t. O deslo-camento total x2 " x1 durante o intervalo t2 " t1 é dado por:

x2 - x1 =x2

x1

dx =t2

t1

vx dt (2.16)

A variação da posição x — isto é, o deslocamento — é dada pela integral da velocidade vx em relação ao tempo. Graficamente, o deslocamento durante o in-tervalo t1 e t2 é dado pela área sob a curva vxt entre esses dois limites. (Esse re-sultado é semelhante ao obtido na Seção 2.4 para o caso específico no qual vx era dada pela Equação 2.8.)

Figura 2.26 Quando você pisa até o fundo no pedal do acelerador do seu carro, a aceleração resultante não é constante: quanto maior a velocidade do carro, mais lentamente ele ganha velocidade adicional. Para um carro comum, o tempo para acelerar de 50 km/h a 100 km/h é igual ao dobro do tempo necessário para acelerar de 0 a 50 km/h.

Área total sob a curva em um gráfico xt entre os tempos t1 e t2 = variação da velocidade que ocorre entre esses limites.

Área desta coluna = !vx= variação na velocidade durante o intervalo de tempo !t

O

amx

ax

t1 t2t

!t

Figura 2.28 Um gráfico axt para um corpo cuja aceleração não é constante.

Figura 2.27 O sistema de navegação inercial (INS — Inertial Navigation System) a bordo de uma aeronave registra sua aceleração. Dadas a posição inicial da aeronave e a velocidade antes da decolagem, o INS usa os dados da aceleração para calcular sua posição e velocidade durante o voo.

Book_SEARS_Vol1.indb 59 02/09/15 6:28 PM

Graficamente, 𝛥vx é a área sombreada do retângulo que possui altura 𝑎mx e largura 𝛥t, ou seja, a área sob a curva entre a extremidade esquerda e a extremidade direita de 𝛥t.

A variação total da velocidade em qualquer intervalo de tempo (digamos, de t1 a t2) é a soma das variações 𝛥vx de todos os pequenos subintervalos.

Capítulo 2 – Movimento retilíneo 59

aceleração média durante !t. Pela Equação 2.4, a variação da velocidade !vx du-rante !t é dada por

!vx = amx !t

Graficamente, !vx é a área sombreada do retângulo que possui altura amx e lar-gura !t, ou seja, a área sob a curva entre a extremidade esquerda e a extremidade direita de !t. A variação total da velocidade em qualquer intervalo de tempo (di-gamos, de t1 a t2) é a soma das variações de !vx de todos os pequenos subinterva-los. Logo, a variação total da velocidade é dada graficamente pela área total sob a curva axt delimitada entre as linhas verticais t1 e t2. (Na Seção 2.4, mostramos que isso é verdade para o caso específico do movimento com aceleração ax constante.)

No limite em que todos os intervalos !t tornam-se muito pequenos e numero-sos, o valor de amx para o intervalo entre t e t + !t se aproxima da aceleração ax no tempo t. Nesse limite, a área sob a curva axt é dada pela integral de ax (que ge-ralmente é função de t) de t1 a t2. Se v1x for a velocidade do corpo no tempo t1 e v2x for a velocidade no tempo t2, então

v2x - v1x =v2x

v1x

dvx =t2

t1

ax dt (2.15)

A variação na velocidade vx é obtida pela integral da aceleração ax em relação ao tempo.

Podemos fazer exatamente o mesmo procedimento com a curva da velocidade versus tempo. Se x1 for a posição do corpo no tempo t1 e x2 for a posição no tempo t2, pela Equação 2.2, o deslocamento !x durante um pequeno intervalo de tempo !t será igual a vmx !t, onde vmx é a velocidade média durante !t. O deslo-camento total x2 " x1 durante o intervalo t2 " t1 é dado por:

x2 - x1 =x2

x1

dx =t2

t1

vx dt (2.16)

A variação da posição x — isto é, o deslocamento — é dada pela integral da velocidade vx em relação ao tempo. Graficamente, o deslocamento durante o in-tervalo t1 e t2 é dado pela área sob a curva vxt entre esses dois limites. (Esse re-sultado é semelhante ao obtido na Seção 2.4 para o caso específico no qual vx era dada pela Equação 2.8.)

Figura 2.26 Quando você pisa até o fundo no pedal do acelerador do seu carro, a aceleração resultante não é constante: quanto maior a velocidade do carro, mais lentamente ele ganha velocidade adicional. Para um carro comum, o tempo para acelerar de 50 km/h a 100 km/h é igual ao dobro do tempo necessário para acelerar de 0 a 50 km/h.

Área total sob a curva em um gráfico xt entre os tempos t1 e t2 = variação da velocidade que ocorre entre esses limites.

Área desta coluna = !vx= variação na velocidade durante o intervalo de tempo !t

O

amx

ax

t1 t2t

!t

Figura 2.28 Um gráfico axt para um corpo cuja aceleração não é constante.

Figura 2.27 O sistema de navegação inercial (INS — Inertial Navigation System) a bordo de uma aeronave registra sua aceleração. Dadas a posição inicial da aeronave e a velocidade antes da decolagem, o INS usa os dados da aceleração para calcular sua posição e velocidade durante o voo.

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Logo, a variação total da velocidade é dada graficamente pela área total sob a curva 𝑎x(t) delimitada entre as linhas verticais t1 e t2.

No limite em que todos os intervalos 𝛥t tornam-se muito pequenos e numerosos, o valor de 𝑎mx para o intervalo entre t e t + ��t se aproxima da aceleração 𝑎x no tempo t.

Nesse limite, a área sob a curva 𝑎x(t) é dada pela integral de 𝑎x de t1 a t2.

Se v1x for a velocidade do corpo no tempo t1 e v2x for a velocidade no tempo t2, então:

A variação na velocidade vx é obtida pela integral da aceleração 𝑎x em relação ao tempo.

Capítulo 2 – Movimento retilíneo 59

aceleração média durante !t. Pela Equação 2.4, a variação da velocidade !vx du-rante !t é dada por

!vx = amx !t

Graficamente, !vx é a área sombreada do retângulo que possui altura amx e lar-gura !t, ou seja, a área sob a curva entre a extremidade esquerda e a extremidade direita de !t. A variação total da velocidade em qualquer intervalo de tempo (di-gamos, de t1 a t2) é a soma das variações de !vx de todos os pequenos subinterva-los. Logo, a variação total da velocidade é dada graficamente pela área total sob a curva axt delimitada entre as linhas verticais t1 e t2. (Na Seção 2.4, mostramos que isso é verdade para o caso específico do movimento com aceleração ax constante.)

No limite em que todos os intervalos !t tornam-se muito pequenos e numero-sos, o valor de amx para o intervalo entre t e t + !t se aproxima da aceleração ax no tempo t. Nesse limite, a área sob a curva axt é dada pela integral de ax (que ge-ralmente é função de t) de t1 a t2. Se v1x for a velocidade do corpo no tempo t1 e v2x for a velocidade no tempo t2, então

v2x - v1x =v2x

v1x

dvx =t2

t1

ax dt (2.15)

A variação na velocidade vx é obtida pela integral da aceleração ax em relação ao tempo.

Podemos fazer exatamente o mesmo procedimento com a curva da velocidade versus tempo. Se x1 for a posição do corpo no tempo t1 e x2 for a posição no tempo t2, pela Equação 2.2, o deslocamento !x durante um pequeno intervalo de tempo !t será igual a vmx !t, onde vmx é a velocidade média durante !t. O deslo-camento total x2 " x1 durante o intervalo t2 " t1 é dado por:

x2 - x1 =x2

x1

dx =t2

t1

vx dt (2.16)

A variação da posição x — isto é, o deslocamento — é dada pela integral da velocidade vx em relação ao tempo. Graficamente, o deslocamento durante o in-tervalo t1 e t2 é dado pela área sob a curva vxt entre esses dois limites. (Esse re-sultado é semelhante ao obtido na Seção 2.4 para o caso específico no qual vx era dada pela Equação 2.8.)

Figura 2.26 Quando você pisa até o fundo no pedal do acelerador do seu carro, a aceleração resultante não é constante: quanto maior a velocidade do carro, mais lentamente ele ganha velocidade adicional. Para um carro comum, o tempo para acelerar de 50 km/h a 100 km/h é igual ao dobro do tempo necessário para acelerar de 0 a 50 km/h.

Área total sob a curva em um gráfico xt entre os tempos t1 e t2 = variação da velocidade que ocorre entre esses limites.

Área desta coluna = !vx= variação na velocidade durante o intervalo de tempo !t

O

amx

ax

t1 t2t

!t

Figura 2.28 Um gráfico axt para um corpo cuja aceleração não é constante.

Figura 2.27 O sistema de navegação inercial (INS — Inertial Navigation System) a bordo de uma aeronave registra sua aceleração. Dadas a posição inicial da aeronave e a velocidade antes da decolagem, o INS usa os dados da aceleração para calcular sua posição e velocidade durante o voo.

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O mesmo procedimento pode ser utilizado com a curva da velocidade versus tempo.

Se x1 for a posição do corpo no tempo t1 e x2 for a posição no tempo t2, pela equação

o deslocamento 𝛥x durante um pequeno intervalo de tempo 𝛥t será igual a vmx𝛥t, onde vmx é a velocidade média durante 𝛥t.

O deslocamento total x2 – x1 durante o intervalo t2 – t1 é dado por:

Capítulo 2 – Movimento retilíneo 61

Movimento retilíneo, velocidade média e ve-locidade instantânea: quando uma partícula se move em linha reta, descrevemos sua posição em relação à origem O especificando uma coordenada tal como x. A velocidade média da partícula vmx em um intervalo de tempo !t " t2 # t1 é igual a seu deslocamento !x " x2 # x1 dividido por !t. A velocidade instantânea vx em qualquer instante t é igual à velocidade média para o intervalo de tempo entre t e t $ !t até o limite em que !t seja zero. Da mesma forma, vx é a derivativa da função posição em relação ao tempo (Exemplo 2.1).

vmx =!x!t

=x2 - x1

t2 - t1

vx = lim!t S 0

!x!t

=dxdt

(2.2)

(2.3)

x

p1

p2

Ot

!x

= x

2 -

x1

!t = t2 - t1t2t1

x1

x2

Incli

naçã

o = v mx

Inclinação = v x

Aceleração média e instantânea: a aceleração média amx em um intervalo de tempo !t é igual à variação em velocidade !vx " v2x # v1x no inter-valo dividido por !t. A aceleração instantânea ax é o limite de amx conforme !t tende a zero, ou a derivativa de vx em relação a t (exemplos 2.2 e 2.3).

amx =!vx

!t=

v2x - v1x

t2 - t1

ax = lim!t S 0

!vx

!t=

dvx

dt

(2.4)

(2.5)

vx

v2x

v1x

t2t1t

O

p1

p2

!t = t2 - t1

!v x

= v

2x -

v1x

Inclinaçã

o = a mx

Inclinação = ax

Movimento retilíneo com aceleração constante: quando a aceleração é constante, quatro equações relacionam a posição x e a velocidade vx, em qual-quer instante t, à posição inicial x0, à velocidade inicial v0x (ambas medidas no instante t " 0) e à aceleração ax (exemplos 2.4 e 2.5).

Aceleração constante somente:

vx = v0x + ax t

x = x0 + v0x t + 12 ax t2

vx 2 = v0x

2 + 2ax 1x - x02

x - x0 = 12 1v0x + vx 2 t

(2.8)

(2.12)

(2.13)

(2.14)0

0

0

0

0

t = 2!t

t = 3!t

t = !t

t = 4!t

t = 0v

a

va

va

va

va

x

x

x

x

x

CAPÍTULO 2 RESUMO

AVALIAR: a Figura 2.29 ajuda a interpretar nossos resultados. O gráfico no topo dessa figura indica que ax é positiva entre t " 0 e t " 20 s e negativa a partir daí. É nula em t " 20 s, o tempo no qual vx atinge seu valor máximo (o ponto mais alto no gráfico do meio). O carro acelera até t " 20 s (porque vx e ax possuem o mesmo sinal) e passa a diminuir de velocidade depois de t " 20 s (porque vx e ax possuem sinais contrários).

Uma vez que o valor máximo de vx ocorre para t " 20 s, o grá-fico xt (o gráfico da direita na Figura 2.29) possui sua inclinação máxima nesse instante. Note que o gráfico xt possui concavidade para cima (curvado para cima) de t " 0 até t " 20 s, quando ax é positiva. O gráfico possui concavidade para baixo (curvado para baixo) após t " 20 s, quando ax é negativa.

(Continuação)

Figura 2.29 A posição, a velocidade e a aceleração do carro do Exemplo 2.9 em função do tempo. Você é capaz de mostrar que, se esse movimento continuasse, o carro pararia no instante t " 44,5 s?

25

O gráfico xt possui concavidade para baixo apóst = 20 s.

O gráfico xt possui concavidade para cima antes det = 20 s.

A velocidade aumenta antes de t = 20 s.

A velocidade diminui após t = 20 s.

A aceleração é positiva antes de t = 20 s.

A aceleração é negativa após t = 20 s.

vx (m>s)

O

10

20

30

5 10 15 20 25 30t (s)

x (m)

t (s)O

200

400

600

800

5 10 15 20 25 30

ax (m>s2)

O

1,0

2,0

5 10 15 20 30

-1,0

t (s)

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Capítulo 2 – Movimento retilíneo 59

aceleração média durante !t. Pela Equação 2.4, a variação da velocidade !vx du-rante !t é dada por

!vx = amx !t

Graficamente, !vx é a área sombreada do retângulo que possui altura amx e lar-gura !t, ou seja, a área sob a curva entre a extremidade esquerda e a extremidade direita de !t. A variação total da velocidade em qualquer intervalo de tempo (di-gamos, de t1 a t2) é a soma das variações de !vx de todos os pequenos subinterva-los. Logo, a variação total da velocidade é dada graficamente pela área total sob a curva axt delimitada entre as linhas verticais t1 e t2. (Na Seção 2.4, mostramos que isso é verdade para o caso específico do movimento com aceleração ax constante.)

No limite em que todos os intervalos !t tornam-se muito pequenos e numero-sos, o valor de amx para o intervalo entre t e t + !t se aproxima da aceleração ax no tempo t. Nesse limite, a área sob a curva axt é dada pela integral de ax (que ge-ralmente é função de t) de t1 a t2. Se v1x for a velocidade do corpo no tempo t1 e v2x for a velocidade no tempo t2, então

v2x - v1x =v2x

v1x

dvx =t2

t1

ax dt (2.15)

A variação na velocidade vx é obtida pela integral da aceleração ax em relação ao tempo.

Podemos fazer exatamente o mesmo procedimento com a curva da velocidade versus tempo. Se x1 for a posição do corpo no tempo t1 e x2 for a posição no tempo t2, pela Equação 2.2, o deslocamento !x durante um pequeno intervalo de tempo !t será igual a vmx !t, onde vmx é a velocidade média durante !t. O deslo-camento total x2 " x1 durante o intervalo t2 " t1 é dado por:

x2 - x1 =x2

x1

dx =t2

t1

vx dt (2.16)

A variação da posição x — isto é, o deslocamento — é dada pela integral da velocidade vx em relação ao tempo. Graficamente, o deslocamento durante o in-tervalo t1 e t2 é dado pela área sob a curva vxt entre esses dois limites. (Esse re-sultado é semelhante ao obtido na Seção 2.4 para o caso específico no qual vx era dada pela Equação 2.8.)

Figura 2.26 Quando você pisa até o fundo no pedal do acelerador do seu carro, a aceleração resultante não é constante: quanto maior a velocidade do carro, mais lentamente ele ganha velocidade adicional. Para um carro comum, o tempo para acelerar de 50 km/h a 100 km/h é igual ao dobro do tempo necessário para acelerar de 0 a 50 km/h.

Área total sob a curva em um gráfico xt entre os tempos t1 e t2 = variação da velocidade que ocorre entre esses limites.

Área desta coluna = !vx= variação na velocidade durante o intervalo de tempo !t

O

amx

ax

t1 t2t

!t

Figura 2.28 Um gráfico axt para um corpo cuja aceleração não é constante.

Figura 2.27 O sistema de navegação inercial (INS — Inertial Navigation System) a bordo de uma aeronave registra sua aceleração. Dadas a posição inicial da aeronave e a velocidade antes da decolagem, o INS usa os dados da aceleração para calcular sua posição e velocidade durante o voo.

Book_SEARS_Vol1.indb 59 02/09/15 6:28 PM

Graficamente, o deslocamento durante o intervalo t1 e t2 é dado pela área sob a curva vx(t) entre esses dois limites.