Aula 3 e 4

Fatoração – Fator comum

01) (Utesc) Simplificando a fração 2.004 2.004

2.004 2.004 2.004

, obtemos:

a) 2.004 b) 113

355 c)

1

2.004 d)

2

3 e)

2

7

Resolução:

2.004 2.004

2.004 2.004 2.004

=

2.004 (1 1)

2.004

(1 1 1) =

2

3

02) (Unifoa-RJ) Ao simplificarmos a expressão 1 22 2

2

n n

n

, qual será o resultado

encontrado:

a) 7

4 b)

1

5 c)

4

7 d)

1

3 e) 7

Resolução:

1 22 2

2

n n

n

=

2n 22 2

2n

=

1 72

4 4

03) (UFMG) Sejam a, b e c números reais positivos tais que 2ab b bc

b c a

. Então é

correto afirmar que:

a) a2 = b

2 + c

2 b) b = a + c c) b

2 = a

2 + c

2 d) a

= b + c

Resolução:

2ab b bc

b c a

2a b b ( )( )b c b c a

2 = b

2 – c

2 b

2 = a

2 + c

2.

Fatoração – Agrupamento

04) (Mackenzie) Assinale, dentre as alternativas abaixo, um possível par (x, y) que

satisfaz a igualdade

x3 2x

2y + xy

2 2y

3 = 0.

a) (150, 75) b) (75, 150) c) (75, 150) d) (150, 75)

e) (150, 75)

Resolução:

x3 2x

2y + xy

2 2y

3 = 0 x

2(x 2y) + y

2(x 2y) = 0 (x 2y)(x

2 + y

2) = 0

x = 2y ou x2 + y

2 = 0, logo, alternativa (e).

05) (Insper) O gráfico a seguir representa a função f(x) = x3 + 9x

2 + 23x + 15.

Se a, b e c são as raízes de f, então 2a + 2

b + 2

c é igual a:

a) 21

32 b)

32

43 c)

43

54 d)

54

65 e)

65

76

Resolução:

f(x) = x3 + 9x

2 + 23x + 15

f(x) = x3 + x

2 + 8x

2 + 8x + 15x + 15

f(x) = x2(x + 1) + 8x(x + 1) + 15(x + 1)

f(x) = (x + 1)(x2 + 8x + 15)

f(x) = (x + 1)(x + 3)(x + 5) cujas raízes são 1, 3 e 5

Assim, 21

+ 23

+ 25

= 1 1 1 16 4 1 21

2 8 32 32 32

06) (PUC-MG) A expressão a3 2a

2 a + 2 pode ser escrita na forma de um produto

de três fatores. A soma desses fatores é igual a:

a) a2 + 2a 4 b) a

2 + 2a c) 3a 2 d) 3a

Resolução:

Seja E = a3 2a

2 a + 2 E = a

2(a 2) (a – 2) E = (a 2)(a

2 – 1) E = (a

2)(a + 1)(a – 1)

A soma S dos três fatores é S = a – 2 + a + 1 + a – 1 S = 3a – 2

Fatoração – Diferença de dois quadrados

07) (Unifor-MG) Se 1 1

Ax y

e B = x1

+ y1

, o valor de A2 B

2, é:

a) 0 b) (x + y)(x y) c) 2 2

2 2

x y

x y

d) 4x

2y

2

e) 4

xy

Resolução:

1 1A

x y e

1 1B

x y

A2 B

2 = (A + B)(A B)

2 2 1 1A B

x y

1 1

x y

1 1 1 1

x y x y

2 2 2 1A B

x x

1 1

y x

1

y

2 2 2 2 4A B

x y xy

08) (FGV) Seja o seguinte número m = 5.7452 5.740

2. A soma dos algarismos de m

é:

a) 22 b) 23 c) 24 d) 25 e) 26

Resolução:

m = 5.7452 5.740

2 m = (5.745 – 5.740)(5.745 + 5.740) m = 57.425

A soma dos algarismos é 5 + 7 + 4 + 2 + 5 = 23

09) (Insper) No início de cada mês, um posto recebe uma entrega de combustível para

suprir sua necessidade mensal. O nível de combustível estocado (N) varia de

acordo com o tempo (t), medido em dias decorridos desde a entrega. Considere

que, para o último mês de abril, foram entregues 5.000 litros de combustível.

No mês seguinte foi entregue uma quantidade maior de combustível, que foi

consumido de acordo com a função N(t) = 5t2 + 6.125. Dividindo o mês em 5

períodos de 6 dias, o maior consumo foi no período que compreende os dias

a) de 1 a 6

b) de 7 a 12

c) de 13 a 18

d) de 19 a 23

e) de 24 a 30

Resolução:

Sendo que o maior consumo acorreu entre os dias a e b, temos

N(a) N(b) = 5a2 + 6.125 (5b

2 + 6.125) N(a) N(b) = 5a

2 + 5b

2

N(a) N(b) = 5(b2 a

2) N(a) N(b) = 5(b a) (b + a)

b a é constante (5), logo, o maior consumo ocorre para o maior valor de a + b,

ou seja, o período que compreende os dias de 24 a 30.

10) (UFV) Simplificando-se a expressão 2

2 2

1 1x xy

y xx y

, onde x e y são números

positivos e distintos, obtém-se:

a) 1

x b) 2y c) xy d)

1

y e) 2x

Resolução:

Seja 2

2 2

1 1x xyE

y xx y

( )x x yE

( )x y ( )x y

x y

x y

xE

x y

1E

y

Fatoração – Trinômio quadrado perfeito

11) (Fumec) Diz-se que x é o produto dos polinômios (a2 4a + 4) e (a

2 4) e que y é

o produto dos polinômios (a2 + 4a + 4) e (4a

2 16). A forma simplificada de

escrever o quociente entre x e y é:

a) 2

2( 2)

a

a

b)

2

2

4

4( 4)

a

a

c)

2

2

( 2)

4( 2)

a

a

d)

2

2

( 2)

2( 2)

a

a

Resolução:

2 2

2 2

( 4 4)( 4)

( 4 4)(4 16)

x a a a

y a a a

2 2( 2) ( 4)a ax

y

2 24( 2) ( 4)a a

2

2

( 2)

4( 2)

x a

y a

12) (Unatec-MG) O valor da expressão ( 6)( 2) 16x x para x = 73.907 é:

a) 73.909 b) 73.907 c) 73.905 d) 73.903

Resolução:

Seja ( 6)( 2) 16E x x 2 4 4E x x 2( 2)E x E = x 2

E = 73.907 2

E = 73.905

13) (ITA) Sobre o número 7 4 3 3x é correto afirmar que:

a) x ]0, 2[.

b) x é racional.

c) 2x é irracional.

d) x2 é irracional.

e) x ]2, 3[.

Resolução:

7 4 3 3x 2

4 2 2 3 3 3x 2

2 3 3x

2 3 3x x = 2

Fatoração – Soma (diferença) de dois cubos

14) (Ufam) Se 1

3xx

então o valor de 2 3

3 2

1 1x x

x x é:

a) 27 b) 47 c) 36 d) 11 e) 63

Resolução:

Seja 2 3

3 2

1 1E x x

x x 2 3

2 3

1 1E x x

x x

2 2

2 2

1 1 1 1E x x x x

x xx x

2 2

2 2

1 13 1E x x

x x

( I )

13x

x

221

3xx

2 2x x

1

x

2

19

x 2

2

111x

x em ( I )

2 2

2 2

1 13 1E x x

x x

11 3 11 1E E = 47

15) (Cefet-MG) Simplificando-se a expressão 3 3

a b

a b

, com a ≠ b, obtém-se:

a) 3 3a b

b) 3 3a b

c) 3 32 2a b

d) 3 32 23a ab b

e) 3 32 232a ab b

Resolução:

Seja 3 3

a bE

a b

3 3

3 3

3 3

a bE

a b

3 3a b

E

3 32 23 3

3 3

a a b b

a b

3 32 23E a ab b

16) (FGV) Se a soma e o produto de dois números são iguais a 1, a soma dos cubos

desses números é igual a

a) 2. b) 0. c) 2. d) 3 3

24

i e)

3 3

4i

Resolução:

Sejam a e b os números em questão:

(I)1

1 (II)

a b

a b

e a

3 + b

3 = (a + b)(a

2 ab + b

2) (III)

de (I) tem-se:

a + b = 1 (a + b)2 = 1

2 a

2 + 2ab + b

2 = 1 a

2 + b

2 = 1 em (III)

a3 + b

3 = (a + b)(a

2 ab + b

2) a

3 + b

3 = 1(1 1) a

3 + b

3 = 2