Aula 3 resistência ao cisalhamento
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Rafaela Faciola
Universidade Federal de Alagoas Campus do Sertão – Delmiro Gouveia
Curso de Engenharia Civil
Agradecimentos: Prof. Dr. Jefferson Lins
Aula 3 – Resistência ao Cisalhamento
- Estado de Tensões
- Círculo de Mohr
- Coesão e Atrito
- Critérios de Ruptura
Capacidade de carga de fundações
Introdução - Resistência ao Cisalhamento
Estabilidade de encostas naturais
Introdução - Resistência ao Cisalhamento
Introdução - Resistência ao Cisalhamento
Talude de corte
Introdução - Resistência ao Cisalhamento
Introdução - Resistência ao Cisalhamento
Tração
Compressão
Cisalhamento
Introdução - Resistência ao Cisalhamento
Estado de Tensões
- Seja considerado um corpo em equilíbrio, submetido a um conjunto de forças
- Esse corpo pode ser subdividido por um plano em duas partes S’ e S”
Estado de Tensões
Isolando a parte S’ , a área da seção de corte é A
Estado de Tensões
Numa área elementar dA, em torno do ponto P atua uma força dF.
Estado de Tensões
P
Tensão no ponto P, pelo plano : dA
dF =
Define-se como tensão no ponto P, pelo plano , a grandeza
A tensão é uma grandeza vetorial, com mesma direção e mesmo sentido da força dF
Estado de Tensões
Normal: tensão normal ()
Tangencial: tensão tangencial ou de cisalhamento ()
A tensão pode ser decomposta em duas componentes: uma normal () e outra tangente () ao plano .
Estado de Tensões
O módulo da tensão normal () varia entre dois extremos: Quando o seu módulo atinge o valor máximo, a tensão normal é chamada de tensão principal maior (1) e a tensão tangencial () será nula.
Quando o módulo atinge o valor mínimo, a tensão normal é chamada de tensão principal menor (2) e a tensão tangencial () também será nula.
Estado de Tensões
3 < < 1
1 plano principal maior ( = 0)
3 plano principal menor ( = 0)
2 ( = 0) ( 3 < 2 < 1 )
•Variando o plano pi, o módulo da tensão normal () varia entre dois extremos.
Estado de Tensões
- Existe uma relação entre a tensão normal e tensão de cisalhamento que atuam num plano de ruptura: f = f(σ) - Então, existem infinitas combinações (tensão normal) (tensão de cisalhamento máxima), que podem ser representadas por um gráfico (f ) versus ( ).
σz
zx
σx
xz
z
x
xy = yx= zy = yz = σy=0
xz = zx=
Por Equilíbrio
Estado de Tensões
xz = zx= 0 z
σ
σ1
zx
σ3
x
xz
Estado Particular
PPM
PPm
σ1: Tensão Principal Maior σ3: Tensão Principal Menor
Plano qualquer
Conhecidas as tensões atuantes nas faces do elemento é possível conhecer as tensões geradas em um plano alfa com inclinação qualquer em relação ao plano principal maior. Basta aplicar as equações de equilíbrio de força nas direções horizontais e verticais de forma a obter as seguintes relações de tensões:
z
σ
σ1
σ3
x
Plano qualquer
[σ- (σ1+ σ3)/2]2 + 2 = [(σ1- σ3)/2]2 + 2
EQUAÇÃO DE UM CÍRCULO
Estado de Tensões
Círculo de Mohr
• Tensão normal e a tensão de cisalhamento atuantes em qualquer plano, podem ser determinadas graficamente através do Círculo de Mohr.
[(σ1+ σ3)/2; 0]
=(σ1- σ3)/2
Convenção de
Sinais
Compressão (+)
Círculo de Mohr
[(σ1+ σ3)/2; 0]
=(σ1- σ3)/2
Como obter o ponto P???
σ1
zx
σ3
xz
Círculo de Mohr
Como obter o ponto P???
σ1
zx
σ3
xz
Considerando um ponto no círculo
que representa um conjunto de
tensões (normal e cisalhante), para
encontrar o Polo basta traçar por
este conjunto de pontos uma paralela
ao plano onde atuam essas tensões.
O ponto P é determinado pela
intersecção da reta paralela com o
círculo.
O Polo é um ponto único para um determinado estado de tensão
Para o elemento de solo mostrado na figura abaixo, determinar:
Tensão principal maior
Tensão principal menor
Tensões no plano AC
Direções dos planos principais
Máxima tensão de cisalhamento
A B
C D
600 kPa 240 kPa
360 kPa
240 kPa
Exercício de Aplicação
(600;240)
(360;-240)
(240;120)
Polo
748.32 kPa
tensão principal
maior
211.67 kPa
tensão principal menor
Plano principal maior Plano principal menor
= 268.32 kPa max
A B
C D
600 kPa
240 kPa
360 kPa
240 kPa
Exercício de Aplicação
Para o elemento de solo mostrado na figura abaixo, determinar:
Tensão principal maior
Tensão principal menor
Direções dos planos principais
Máxima tensão de cisalhamento
Exercício de Aplicação
100 kPa
400 kPa
100 kPa
200 kPa
1= 441,42
3= 158,58
max = 141.42 kPa
Plano principal menor
Plano principal
maior
Polo
(200;100)
(400;-100)
Plano principal
maior
Plano principal menor
Exercício de Aplicação
Atrito e Coesão
Fmob
T = Fmob τ = τ mob = Fmob /A / A
R
T
N
N
RESISTÊNCIA POR ATRITO
Atrito e Coesão
Fat
τdisp = σ tg
τdisp = τf = c + σ tg Geral
max
R
Tmax
N
N RESISTÊNCIA POR ATRITO
Segundo a lei de Coulomb a resistência por atrito é função da tensão normal no
plano de deslizamento relativo.
Atrito e Coesão
RESISTÊNCIA POR ATRITO
τdisp = τf = c + σ tg
Atrito e Coesão
τdisp = τf = c + σ tg COESÃO
Por isso, quando falamos em resistência de um solo, estamos implicitamente falando de sua resistência ao cisalhamento.
Fundação Direta Talude
Superfícies de ruptura
Nos solos, são consideradas somente as solicitações por cisalhamento.
De uma forma geral, os solos rompem por cisalhamento:
mob
= disp Ruptura
Critérios de Ruptura
Critérios de Ruptura
√ São formulações que “tentam” refletir as condições em que ocorre a ruptura do material.
√ Existem critérios que estabelecem:
- Máximas tensões de compressão, de tração ou de cisalhamento
- Máximas deformações
- Consideram a energia de deformação
√ Um critério de ruptura satisfatório é aquele que é capaz de refletir o comportamento do material.
Critérios de Ruptura
√ A análise do estado de tensões que provoca a ruptura é o estudo da RESISTÊNCIA AO CISALHAMENTO.
√ Para os solos, os critérios de ruptura que melhor representam o comportamento, são:
CRITÉRIOS DE COULOMB
CRITÉRIOS DE MOHR
Critérios de Ruptura
CRITÉRIOS DE COULOMB
“não há ruptura se a tensão de cisalhamento não ultrapassar um valor dado pela expressão c + f.σ , sendo c e f constantes do material, e σ a tensão normal existente no plano de cisalhamento”.
√ Os parâmetros c e f são denominados de coesão e coeficiente de atrito, respectivamente. Sendo o coeficiente de atrito, pode ser expresso como a tangente de um ângulo, denominado de ângulo de atrito interno.
Critérios de Ruptura
CRITÉRIOS DE MOHR
“não há ruptura enquanto o círculo representativo do estado de tensões se encontrar no interior de uma curva, que é a envoltória dos círculos relativos a estados de ruptura observados experimentalmente para o material”.
A
B
ENVOLTÓRIAS DE MOHR
Critérios de Ruptura
A Envoltória de Ruptura de Mohr é representada por uma linha, na qual é curva.
ENVOLTÓRIAS DE MOHR-COULOMB
Critérios de Ruptura
- Para a maioria dos problemas de mecânica dos solos esta função pode ser aproximada por uma reta. Essa relação é denominada de critério de ruptura de Mohr-Coulomb.
f = f(σ)
Critério de ruptura de
Mohr-Coulomb
Tensão normal ()
ten
são
de c
isalh
am
en
to (
)
c
Envoltória de
ruptura de Mohr
f = c + σ tg
MOHR - COULOMB
Critérios de Ruptura
A Envoltória de Ruptura de Mohr foi ajustada à
uma reta...
f = f(σ)
Critério de Ruptura de
Mohr-Coulomb
f = c + σ tg
σ tg
c
resistência por
atrito
resistência por
coesão
MOHR - COULOMB
Critérios de Ruptura
- Para um mesmo solo, os parâmetros c e variam em função de vários fatores:
• faixa de carregamento aplicada ao solo • tipo de ensaio efetuado • histórico de tensões • etc.
- Por essa razão, os parâmetros de resistência não são intrínsecos do solo. - Eles devem ser obtidos de forma a atender as condições peculiares do problema em estudo. - Os parâmetros de resistência podem ser obtidos tanto em laboratório como em ensaios in situ.
Critérios de Ruptura
MOHR - COULOMB
Critérios de Ruptura
c e não são parâmetros intrínsecos do solo
Obtidos para atender as condições particulares do problema
’ = tensão efetiva e = índice de vazios w = teor de umidade
e = deformação H = histórico das tensões
S = estrutura T = temperatura
laboratório e/ou ensaios in situ
MOHR - COULOMB
Critérios de Ruptura
MOHR - COULOMB
Obs:
- Os dois critérios de ruptura apontam para a importância da tensão normal no plano de ruptura.
Portanto...
Quando o círculo de Mohr tangencia a envoltória, em que plano se dará a ruptura?
Critérios de Ruptura
O plano de ruptura faz um ângulo q com plano principal maior.
DIREÇÃO DO PLANO DE RUPTURA
- Segmento OB representa o plano de ruptura para um círculo que toca na envoltória.
- Segmento Bd representa a tensão máxima cisalhante. Esta tensão cisalhante é menor do que a máxima indicada pelo segmento aD.
B
D
B
- Ou seja, no plano de máxima tensão cisalhante, a tensão normal indicada pelo segmento Oa, proporciona uma resistência ao cisalhamento maior do que a tensão cisalhante atuante.
Critérios de Ruptura
DIREÇÃO DO PLANO DE RUPTURA
- O plano de ruptura forma o ângulo Ɵ com o plano principal maior. Se do centro do círculo “a” , traça-se uma paralela à envoltória de resistência , constata-se que o ângulo 2Ɵ é igual ao ângulo ɸ + 90°.
ɸ + 90°
α = 45°+ ɸ/2
Do triângulo fda:
Critérios de Ruptura – Tensões Efetivas
u= '
Nos solos saturados tem-se:
Como as tensões de cisalhamento só poder ser resistidas pelo esqueleto sólido, a equação da envoltória de Mohr-Coulomb deve ser re-escrita como:
'tan'''tan)(' == cucf
SOLOS SATURADOS
Estado de Tensões frente ao Critério de Ruptura
Estado I – Solo sob estado de tensões isotrópico
Estado II – A tensão cisalhante em qualquer plano é menor que a resistência ao cisalhamento.
Estado III – O círculo de Mohr tangencia a envoltória , onde τθ=τ caracteriza a ruptura em um plano
inclinado de θr com o plano onde atua σ1.
Estado III – O solo não consegue atingir esse estado de tensões.
O círculo de Mohr ultrapassou a envoltória.