Aula 4 - Roteiro - UFPE• Salinas, Introdução à Física Estatística, EdUsp, (1997), Cap.1...

Transcript of Aula 4 - Roteiro - UFPE• Salinas, Introdução à Física Estatística, EdUsp, (1997), Cap.1...

Curso de Verão 2012 - Mecânica Estatística - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE

Aula 4 - Roteiro

1

1. Revisão sobre Teoria de Probabilidades

a) Definições e conceitos básicos

b) Processos estocásticos

c) Função densidade de probabilidades

d) Função distribuição de probabilidades

e) Momentos de uma Função Densidade de Probabilidades

f) Funções de variável aleatória - covariância e correlação

g) Variáveis aleatórias independentes

h) A Distribuição Binomial

i) Limite Gaussiano da Distribuição Binomial

2. Ensembles estatísticos

Sugestões de leitura:• Reichl , A Modern Course in Statistical Mechanics, John Wiley, (1998), Cap. 4, (4A-4E)• Salinas, Introdução à Física Estatística, EdUsp, (1997), Cap.1

quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012

Revisão sobre Teoria de Probabilidades

2

• A mecânica estat́ıstica é uma teoria inerentemente probabiĺıstica.

• Busca descrever o comportamento de sistemas macroscópicos a partir doconhecimento microscópico incompleto dos elementos constituintes e de suasinterações.

• A teoria das probabilidades fornece importantes ferramentas para se ter sucessonessa busca.

Definições e conceitos importantes

Variáveis aleatórias ou estocásticasVariável cujo valor é escolhido ao acaso de um conjunto x ∈ S, dito espaço deamostragem (discreto ou cont́ınuo, limitado ou ilimitado).

EventoEvento é a realização do processo de escolha de um ou de mais valores de umavariável aleatória, o qual ocorre com certa probabilidade p(x) definida.

Exemplo: O resultado do lançamento de um dado (evento) é uma váriável aleatória que

resulta dentre os valores discretos do conjunto S ≡ {1, 2, 3, 4, 5, 6}. A probabilidade queo resultado do evento seja certo valor é, por exemplo, p(2) = 1/6.



2











2











3

Probabilidades:A probabilidade é a quantidade que caracteriza a expectativa da ocorrência de certoevento.

Propriedades:

(a) Positividade: deve ter valor positivo ou nulo, i.e. p(x) ≥ 0.(b) Aditividade: A probabilidade de ocorrência de um dentre dois posśıveis even-

tos descorrelacionados ou independentes é a soma das probabilidades de cadaevento separadamente, i.e. p(x1 ou x2) = p(x1) + p(x2)

(c) Normalização: A probabilidade que o evento resulte em pelo menos um dosvalores posśıveis x ∈ S é igual a um, i.e. p(S) = 1, ou seja é um acontecimentocerto.



3


Propriedades:






3


Propriedades:






3


Propriedades:






4

Propriedades (continuação):

(d) Medição da Probabilidade: A probabilidade de que certo evento ocorra com resul-tado x ∈ S pode ser medida computando-se o número de vezes NM (x) (frequência)que o resultado x ocorra dentre M eventos independentes, no limite em que M setorna muito grande, i.e

p(x) = limM→∞

NM (x)

M

(e) Estimativa da Probabilidade: A probabilidade da ocorrência de certo eventopode ser estimada por argumentos que caracterizem a incerteza acerca do conhec-imento completo (ou preciso) do resultado do evento.

Exemplo: a probabilidade de ocorrência de algum dos valores do dado é 1/6.

OBS: Em geral, esse é o procedimento (subjetivo) usual na mecânica estat́ıstica, oqual precisa ser validado por experimentos posteriores.



4



p(x) = limM→∞

NM (x)

M






4



p(x) = limM→∞

NM (x)

M






5

Processos estocásticos

Considerar uma variável estocástica X que possui um espaço de amostragem S discreto,contável e infinito, ou seja S = {x1, x2, . . . }.

Cada valor de S pode ser rotulado por um número inteiro de forma ineqúıvoca, i.e.

S = {xi}, (i = 1, 2, . . . )

Definindo pi = p(xi) pelas respectivas probabilidades de ocorrência, temos

pi ≥ 0 e�

i

pi = 1

Função densidade de probabilidade - f.d.p.:

PX(x) =∞�

i=1

pi δ(x− xi) (definição)

onde δ(x− xi) é a função distribuição δ−Dirac.



5




S = {xi}, (i = 1, 2, . . . )


pi ≥ 0 e�

i

pi = 1


PX(x) =∞�

i=1





5




S = {xi}, (i = 1, 2, . . . )


pi ≥ 0 e�

i

pi = 1


PX(x) =∞�

i=1





5




S = {xi}, (i = 1, 2, . . . )


pi ≥ 0 e�

i

pi = 1


PX(x) =∞�

i=1





5




S = {xi}, (i = 1, 2, . . . )


pi ≥ 0 e�

i

pi = 1


PX(x) =∞�

i=1


onde δ(x− xi) é a função distribuição δ−Dirac.� ∞

−∞P (x)dx =

∞�

i=1

pi

� ∞

−∞δ(x− xi) dx

� �� =1

=∞�

i=1

pi = 1,Observação:


Função Densidade de Probabilidades

6

Propriedades importantes:

1. A função distribuição de probabilidades mede a probabilidade de que a variávelaleatória X tenha seu valor xi no intervalo (−∞, x).Por isso, também referida como a função de probabilidades cumulativa (FPC).

2. A função densidade de probabilidades é a derivada da função distribuição de prob-abilidades, i.e.

PX(x) =dFX(x)

dx

Define-se a função distribuição de probabilidades ou simplesmente distribuição deprobabilidades, pela integral,

FX(x) =

� x

−∞PX(x

�)dx�, ou FX(x) =∞�

i=1

pi Θ(x− xi)

onde Θ(x− xi) é a função Theta de Heaviside.



6




PX(x) =dFX(x)

dx


FX(x) =

� x

−∞PX(x

�)dx�, ou FX(x) =∞�

i=1

pi Θ(x− xi)




6




PX(x) =dFX(x)

dx


FX(x) =

� x

−∞PX(x

�)dx�, ou FX(x) =∞�

i=1

pi Θ(x− xi)




6




PX(x) =dFX(x)

dx


FX(x) =

� x

−∞PX(x

�)dx�, ou FX(x) =∞�

i=1

pi Θ(x− xi)




7

Propriedades importantes: continuação

3. Para que a função PX(x) seja sempre ≥ 0 é necessário que FX(x) seja uma funçãomonotonicamente crescente de x, e limitada no intervalo (0, 1) com FX(−∞) = 0e FX(∞) = 1

4. Variáveis aleatórias cont́ınuas:Considerar uma variável aleatória é cont́ınua, i.e. x ∈ S = {−∞ ≤ x ≤ ∞}.A probabilidade que um evento tenha resultado no intervalo {a ≤ x ≤ b} deve sercalculada pela integral de uma certa função densidade de probabilidades PX(x) nointervalo [a, b], i.e.

ProbX({a ≤ x ≤ b}) =� b

aPX(x

�) dx�



7




ProbX({a ≤ x ≤ b}) =� b

aPX(x

�) dx�



7




ProbX({a ≤ x ≤ b}) =� b

aPX(x

�) dx�



8

Comentários:

• Se X é uma variável estocástica, PX(x) é a probabilidade que em um evento oresultado esteja entre x e x+ dx.

• PX(x) satisfaz a todas propriedades da função densidade de probabilidades de umavariável discreta, i.e. � ∞

−∞PX(x

�) dx� = 1

e pode definir uma função distribuição de probabilidades (cumulativa) FX(x), queatende às propriedades (1)-(3) acima mostradas.



8

Comentários:



−∞PX(x

�) dx� = 1




8

Comentários:



−∞PX(x

�) dx� = 1



Momentos de uma Função Densidade de Probabilidades

9

O momento de ordem n de uma f.d.p. é definido por

< xn >=

� ∞

−∞xn PX(x) dx

Primeiro Momento:

O primeiro momento é o valor médio dos valores do conjunto SX , i.e. a médiaponderada de todos valores com o peso dado pelas respectivas probabilidades.

< x >=

� ∞

−∞xPX(x) dx (média)

Segundo Momento:

< x2 >=

� ∞

−∞x2 PX(x) dx

Mede a dispersão, i.e. o quanto a f.d.p está deslocalizada em relação à média.Também é chamada de variância e é definida pelo valor médio do quadrado dodesvio em relação à média, i.e.

< (x− < x >)2 >=� ∞

−∞(x− < x >)2 PX(x) dx dispersão ou variância



9


< xn >=

� ∞

−∞xn PX(x) dx

Primeiro Momento:


< x >=

� ∞


Segundo Momento:

< x2 >=

� ∞

−∞x2 PX(x) dx


< (x− < x >)2 >=� ∞




9


< xn >=

� ∞

−∞xn PX(x) dx

Primeiro Momento:


< x >=

� ∞


Segundo Momento:

< x2 >=

� ∞

−∞x2 PX(x) dx


< (x− < x >)2 >=� ∞




9


< xn >=

� ∞

−∞xn PX(x) dx

Primeiro Momento:


< x >=

� ∞


Segundo Momento:

< x2 >=

� ∞

−∞x2 PX(x) dx


< (x− < x >)2 >=� ∞




10

x-

x

Σ 2

x

PX!x"A variância é denotada por σ2.

σ é chamado de desvio padrão ouraiz do desvio quadrático médio.

σ2 é um estimador para a largurada distribuição, como indicado nafigura ao lado:



11

Terceiro Momento:

< x3 >=

� ∞

−∞x3 PX(x) dx

O terceiro momento está relacionado com a assimetria da f.d.p. ou obliquidade (skewnessem inglês ) definida por

γ =��x− < x >

σ

�3�→ γ = < x

3 > −3 < x2 >< x > +2 < x >3

σ3

Γ>0

x

PX!x"Γ


12

Quarto Momento:

< x4 >=

� ∞

−∞x4 PX(x) dx

O quarto momento está relacionado com a Kurtosis ou Curtose, ou ainda com o excessode kurtosis da f.d.p. definida por

κ =< x4 >

< x2 >2− 3

A curtose fornece uma medida do achatamento ou agudeza da função em relação àdistribuição normal.

(a) Mesocúrticas: κ = 0. O exemplo mais proeminente é a distribuição normal ouGaussiana, vista a mais adiante.

(b) Leptocúrticas: κ > 0. Possuem pico agudo e caudas cheias ou gordas. Exemplos:as distribuições de Cauchy, Student-t, Rayleigh, Laplace (κ = 3), Exponencial,Poisson e a Loǵıstica (κ = 1.2), também denominadas de super Gaussianas.

(c) Platicúrticas: κ < 0. Possuem um pico mais arredondado e caudas finas ou magras.O caso mais famoso é o da distribuição de Bernoulli com probabilidade p = 1/2para cada um dos dois eventos, i.e cara ou coroa.



12

Quarto Momento:

< x4 >=

� ∞

−∞x4 PX(x) dx


κ =< x4 >

< x2 >2− 3







12

Quarto Momento:

< x4 >=

� ∞

−∞x4 PX(x) dx


κ =< x4 >

< x2 >2− 3







12

Quarto Momento:

< x4 >=

� ∞

−∞x4 PX(x) dx


κ =< x4 >

< x2 >2− 3







13

Gráfico comparativo das distribuições de Laplace (D), Secante Hiperbólica (S), Loǵıstica (L), Normal ou

Gaussiana (N), Coseno Elevado (C), Semićırculo de Wigner (W) e Uniforme (U), com suas respectivas curtoses

indicadas na legenda. Fonte: http://en.wikipedia.org/wiki/Kurtosis



14

Função de uma variável aleatória:

Considerar GX(x) função de uma variável aleatória X.A função GX(x) será, também, uma variável aleatória associada com uma função densi-dade de probabilidade PGX tal que

PGXdG = ProbG(GX ∈ [GX , GX + dGX ])

PGX satisfaz a todas as propriedades de uma f.d.p. acima descritas. O valor esperado(ou valor médio) para essa função é definido por

< GX >=

� ∞

−∞GX(x)PX(x) dx

Para o caso de mais de uma variável, i.e. GXY (x, y), têm-se

< GXY >=

� ∞

−∞dx

� ∞

−∞GXY (x, y)PXY (x, y)dy



14





< GX >=

� ∞

−∞GX(x)PX(x) dx


< GXY >=

� ∞

−∞dx

� ∞




14





< GX >=

� ∞

−∞GX(x)PX(x) dx


< GXY >=

� ∞

−∞dx

� ∞




14





< GX >=

� ∞

−∞GX(x)PX(x) dx


< GXY >=

� ∞

−∞dx

� ∞



Momentos de uma Função Densidade de Probabilidades - exemplos

15

Exemplos:

1) Supor GXY (x, y) = xn, logo

< xn >=

� ∞

−∞dx

� ∞

−∞dy xnPXY (x, y)

2) Supor GXY (x, y) = xnym, logo

< xnym >=

� ∞

−∞dx

� ∞

∞dy xnymPXY (x, y) (momento conjugado)

Correlação ou função de correlação

Cor(X,Y ) =Cov(X,Y )

σxσy=

< xy > − < x >< y >√< x2 > − < x >2

�< y2 > − < y >2



15

Exemplos:


< xn >=

� ∞

−∞dx

� ∞



< xnym >=

� ∞

−∞dx

� ∞




σxσy=

< xy > − < x >< y >√< x2 > − < x >2

�< y2 > − < y >2



15

Exemplos:


< xn >=

� ∞

−∞dx

� ∞



< xnym >=

� ∞

−∞dx

� ∞




σxσy=

< xy > − < x >< y >√< x2 > − < x >2

�< y2 > − < y >2



15

Covariância

Cov(X,Y ) =< (x− < x >)(y− < y >) > → Cov(X,Y ) =< xy > − < x >< y >

Exemplos:


< xn >=

� ∞

−∞dx

� ∞



< xnym >=

� ∞

−∞dx

� ∞




σxσy=

< xy > − < x >< y >√< x2 > − < x >2

�< y2 > − < y >2



15

Covariância


Exemplos:


< xn >=

� ∞

−∞dx

� ∞



< xnym >=

� ∞

−∞dx

� ∞




σxσy=

< xy > − < x >< y >√< x2 > − < x >2

�< y2 > − < y >2



15

Covariância


Exemplos:


< xn >=

� ∞

−∞dx

� ∞



< xnym >=

� ∞

−∞dx

� ∞




σxσy=

< xy > − < x >< y >√< x2 > − < x >2

�< y2 > − < y >2



15

Covariância


Exemplos:


< xn >=

� ∞

−∞dx

� ∞



< xnym >=

� ∞

−∞dx

� ∞




σxσy=

< xy > − < x >< y >√< x2 > − < x >2

�< y2 > − < y >2



16

Propriedades:

1. Cor(X,Y ) é adimendional.

2. Cor(X,Y ) mede o grau dependência entre as variáveis X e Y .

3. Cor(X,Y )=Cor(Y,X)

4. −1 ≤ Cor(X,Y ) ≤ 1

5. Cor(X,X) = 1 e Cor(X,−X) = −1

6. Cor(aX + b, c Y + d) = Cor(X,Y ) = 1, se a, c �= 0


Variáveis Aleatórias Independentes

17

Variáveis Aleatórias Independentes:

PXY (x, y) = PX(x)PY (y)

• < X Y >=< X >< Y >

• Cov(X,Y ) = 0 → Cor(X,Y ) = 0.O reverso não é necessariamente verdadeiro.

• Composição

σ2X+Y = < (X + Y )2 > − < (X + Y ) >2=

= < (X)2 > − < (X) >2 + < (y)2 > − < (Y ) >2== σ2X + σ

2Y



17



• < X Y >=< X >< Y >


• Composição

σ2X+Y = < (X + Y )2 > − < (X + Y ) >2=

= < (X)2 > − < (X) >2 + < (y)2 > − < (Y ) >2== σ2X + σ

2Y



17



• < X Y >=< X >< Y >


• Composição

σ2X+Y = < (X + Y )2 > − < (X + Y ) >2=

= < (X)2 > − < (X) >2 + < (y)2 > − < (Y ) >2== σ2X + σ

2Y


A Distribuição Binomial

18

Seja a variável aleatória X(x) onde x ∈ S = {0,+1}.

Definir p(0) = q e p(+1) = p donde p = 1− q.

Considerar uma sequência de N eventos independentes em que ocorrem n0 vezes oresultado 0 e n1 vezes o resultado +1, onde N = n0 + n1.

A probabilidade de ocorrer uma certa sequência com n0 resultados 0, será qn0 pn1 .

Como o número de maneiras de se dispor n0 resultados 0 e n1 resultados +1 em umasequência é N !/n0!n1!, todas equiprováveis, a probabilidade de se obter qualquersequência com n0 resultados 0 e n1 do tipo +1 será

PN (n1) =N !

n0!n1!qn0 pn1

Usando o teorema binomial é imediato verificar que

N�

n1=0

PN (n1) =N�

n1=0

N !

(N − n1)!n1!qN−n1 pn1 = (p+ q)N = 1



18






PN (n1) =N !

n0!n1!qn0 pn1


N�

n1=0

PN (n1) =N�

n1=0

N !

(N − n1)!n1!qN−n1 pn1 = (p+ q)N = 1



18






PN (n1) =N !

n0!n1!qn0 pn1


N�

n1=0

PN (n1) =N�

n1=0

N !

(N − n1)!n1!qN−n1 pn1 = (p+ q)N = 1



18






PN (n1) =N !

n0!n1!qn0 pn1


N�

n1=0

PN (n1) =N�

n1=0

N !

(N − n1)!n1!qN−n1 pn1 = (p+ q)N = 1



19

De outra maneira, considerar Xi é uma variável estocástica que fornece o resul-tado da iésima tentativa e que Xi pode resultar em apenas dois valores, 0 comprobabilidade q e +1 com probabilidade p.

A função densidade de probabilidade para a iésima tentativa será

PXi(x) = q δ(x) + p δ(x− 1)

Valor Médio de n1 eventos com resultado +1 em N tentativas.

< n1 >=N�

n1=0

n1 PN (n1) =N�

n1=0

n1N !

n1!n0!pn1 qn0

onde n0 = N − n1 e no final faremos q = 1− p.

< n1 >= p∂

∂p

N�

n1=0

N !

n1!n0!pn1 qn0 = p

∂

∂p(p+ q)N = pN(p+ q)N−1 = pN



19

De outra maneira, considerar Xi é uma variável estocástica que fornece o resul-tado da iésima tentativa e que Xi pode resultar em apenas dois valores, 0 comprobabilidade q e +1 com probabilidade p.

A função densidade de probabilidade para a iésima tentativa será

PXi(x) = q δ(x) + p δ(x− 1)

Valor Médio de n1 eventos com resultado +1 em N tentativas.

< n1 >=N�

n1=0

n1 PN (n1) =N�

n1=0

n1N !

n1!n0!pn1 qn0

onde n0 = N − n1 e no final faremos q = 1− p.

< n1 >= p∂

∂p

N�

n1=0

N !

n1!n0!pn1 qn0 = p

∂

∂p(p+ q)N = pN(p+ q)N−1 = pN



20

por outro lado, < n0 >=< N −n1 >= N− < n1 >= N −pN = N(1−p) = q N ,ou seja

< n1 >= pN, < n0 >= q N, ∴ < n0 > + < n1 >= N

Dispersão em relação à média: σ21 =< n21 > − < n1 >2

< n21 >=N�

n1=0

n21N !

n!!n0!pn!qn0 = p

∂

∂p× p ∂

∂p

�N�

n1=0

N !

n!!n0!pn!qn0

�=

= p∂

∂p

�pN(p+ q)N−1

�= pN + p2N(N − 1)

Logo,

σ21 =< n21 > − < n1 >2= pN + p2N(N − 1)− (pN)2 = N p q

Portanto

σ1 = (p q)1/2

√N ∴ σ1

< n1 >=

�q

p

�1/2 1√N



20


< n1 >= pN, < n0 >= q N, ∴ < n0 > + < n1 >= N


< n21 >=N�

n1=0

n21N !

n!!n0!pn!qn0 = p

∂

∂p× p ∂

∂p

�N�

n1=0

N !

n!!n0!pn!qn0

�=

= p∂

∂p

�pN(p+ q)N−1

�= pN + p2N(N − 1)

Logo,

σ21 =< n21 > − < n1 >2= pN + p2N(N − 1)− (pN)2 = N p q

Portanto

σ1 = (p q)1/2

√N ∴ σ1

< n1 >=

�q

p

�1/2 1√N



20


< n1 >= pN, < n0 >= q N, ∴ < n0 > + < n1 >= N


< n21 >=N�

n1=0

n21N !

n!!n0!pn!qn0 = p

∂

∂p× p ∂

∂p

�N�

n1=0

N !

n!!n0!pn!qn0

�=

= p∂

∂p

�pN(p+ q)N−1

�= pN + p2N(N − 1)

Logo,

σ21 =< n21 > − < n1 >2= pN + p2N(N − 1)− (pN)2 = N p q

Portanto

σ1 = (p q)1/2

√N ∴ σ1

< n1 >=

�q

p

�1/2 1√N



20


< n1 >= pN, < n0 >= q N, ∴ < n0 > + < n1 >= N


< n21 >=N�

n1=0

n21N !

n!!n0!pn!qn0 = p

∂

∂p× p ∂

∂p

�N�

n1=0

N !

n!!n0!pn!qn0

�=

= p∂

∂p

�pN(p+ q)N−1

�= pN + p2N(N − 1)

Logo,

σ21 =< n21 > − < n1 >2= pN + p2N(N − 1)− (pN)2 = N p q

Portanto

σ1 = (p q)1/2

√N ∴ σ1

< n1 >=

�q

p

�1/2 1√N



20


< n1 >= pN, < n0 >= q N, ∴ < n0 > + < n1 >= N


< n21 >=N�

n1=0

n21N !

n!!n0!pn!qn0 = p

∂

∂p× p ∂

∂p

�N�

n1=0

N !

n!!n0!pn!qn0

�=

= p∂

∂p

�pN(p+ q)N−1

�= pN + p2N(N − 1)

Logo,

σ21 =< n21 > − < n1 >2= pN + p2N(N − 1)− (pN)2 = N p q

Portanto

σ1 = (p q)1/2

√N ∴ σ1

< n1 >=

�q

p

�1/2 1√N



20


< n1 >= pN, < n0 >= q N, ∴ < n0 > + < n1 >= N


< n21 >=N�

n1=0

n21N !

n!!n0!pn!qn0 = p

∂

∂p× p ∂

∂p

�N�

n1=0

N !

n!!n0!pn!qn0

�=

= p∂

∂p

�pN(p+ q)N−1

�= pN + p2N(N − 1)

Logo,

σ21 =< n21 > − < n1 >2= pN + p2N(N − 1)− (pN)2 = N p q

Portanto

σ1 = (p q)1/2

√N ∴ σ1

< n1 >=

�q

p

�1/2 1√N



20


< n1 >= pN, < n0 >= q N, ∴ < n0 > + < n1 >= N


< n21 >=N�

n1=0

n21N !

n!!n0!pn!qn0 = p

∂

∂p× p ∂

∂p

�N�

n1=0

N !

n!!n0!pn!qn0

�=

= p∂

∂p

�pN(p+ q)N−1

�= pN + p2N(N − 1)

Logo,

σ21 =< n21 > − < n1 >2= pN + p2N(N − 1)− (pN)2 = N p q

Portanto

σ1 = (p q)1/2

√N ∴ σ1

< n1 >=

�q

p

�1/2 1√N



20


< n1 >= pN, < n0 >= q N, ∴ < n0 > + < n1 >= N


< n21 >=N�

n1=0

n21N !

n!!n0!pn!qn0 = p

∂

∂p× p ∂

∂p

�N�

n1=0

N !

n!!n0!pn!qn0

�=

= p∂

∂p

�pN(p+ q)N−1

�= pN + p2N(N − 1)

Logo,

σ21 =< n21 > − < n1 >2= pN + p2N(N − 1)− (pN)2 = N p q

Portanto

σ1 = (p q)1/2

√N ∴ σ1

< n1 >=

�q

p

�1/2 1√N



20


< n1 >= pN, < n0 >= q N, ∴ < n0 > + < n1 >= N


< n21 >=N�

n1=0

n21N !

n!!n0!pn!qn0 = p

∂

∂p× p ∂

∂p

�N�

n1=0

N !

n!!n0!pn!qn0

�=

= p∂

∂p

�pN(p+ q)N−1

�= pN + p2N(N − 1)

Logo,

σ21 =< n21 > − < n1 >2= pN + p2N(N − 1)− (pN)2 = N p q

Portanto

σ1 = (p q)1/2

√N ∴ σ1

< n1 >=

�q

p

�1/2 1√N



20


< n1 >= pN, < n0 >= q N, ∴ < n0 > + < n1 >= N


< n21 >=N�

n1=0

n21N !

n!!n0!pn!qn0 = p

∂

∂p× p ∂

∂p

�N�

n1=0

N !

n!!n0!pn!qn0

�=

= p∂

∂p

�pN(p+ q)N−1

�= pN + p2N(N − 1)

Logo,

σ21 =< n21 > − < n1 >2= pN + p2N(N − 1)− (pN)2 = N p q

Portanto

σ1 = (p q)1/2

√N ∴ σ1

< n1 >=

�q

p

�1/2 1√N



20


< n1 >= pN, < n0 >= q N, ∴ < n0 > + < n1 >= N


< n21 >=N�

n1=0

n21N !

n!!n0!pn!qn0 = p

∂

∂p× p ∂

∂p

�N�

n1=0

N !

n!!n0!pn!qn0

�=

= p∂

∂p

�pN(p+ q)N−1

�= pN + p2N(N − 1)

Logo,

σ21 =< n21 > − < n1 >2= pN + p2N(N − 1)− (pN)2 = N p q

Portanto

σ1 = (p q)1/2

√N ∴ σ1

< n1 >=

�q

p

�1/2 1√N

A distribuição se torna muito fina e centrada em torno da média no limite quando N é grande.


Limite Gaussiano da Distribuição Binomial

21

No limite N → ∞, tanto PN (0) = qN → ∞ quanto PN (N) = pN → 0.

Logo PN (n1) deve ter um máximo!

Considerar que próximo ao máximo lnPN (n1) seja quase cont́ınua e diferenciável.Seja

f(n1) = lnPN (n1) = lnN !− lnn! − ln(N − n1)! + n1 ln p+ (N − n1) ln q �

Usando a fórmula de Stirling,

lnN ! � N lnN −N +O(lnN)

f(n1) � N lnN−N−n1 lnn1+n1−(N−n1) ln(N−n1)−(N−n1)+n1 ln p+(N−n1) ln q

Cálculo do máximo,

∂f

∂n1= − lnn1 + ln(N − n!) + ln p− ln q = 0

No limite N → ∞, fica

ln n̄1 + ln(N − n̄1) + ln p− ln q = 0 ∴ n̄1 = N p =< n1 >



21









∂f

∂n1= − lnn1 + ln(N − n!) + ln p− ln q = 0





21









∂f

∂n1= − lnn1 + ln(N − n!) + ln p− ln q = 0





21









∂f

∂n1= − lnn1 + ln(N − n!) + ln p− ln q = 0





21









∂f

∂n1= − lnn1 + ln(N − n!) + ln p− ln q = 0





21









∂f

∂n1= − lnn1 + ln(N − n!) + ln p− ln q = 0





22

Para a segunda derivada,

∂2f

∂n21= − 1

n1− 1

N − n1, → ∂

2f

∂n21

��n̄1

= − 1N p q

< 0

verifica-se o máximo em n1 = n̄1.

Expandindo-se em série de Taylor em torno do máximo,

f(n1) = lnPN (n1) = lnPN (n̄1)−1

2Npq(n1 − n̄1)2 + . . .

Desprezando-se termos superiores (aproximação gaussiana), resulta

PN (n1) � C0 exp�− (n1 − n̄1)

2

2Npq

�= C0 exp

�− (n1− < n1 >)

2

2(σ21)

�

onde o coeficiente C0 é determinado pela condição de normalização e resulta

C0 =�2πσ21

�1/2 → PN (n1) ��2πσ21

�1/2exp

�− (n1− < n1 >)

2

2(σ21)

�

que é distribuição normal ou gaussiana centrada em < n1 > com variância σ21 .



22


∂2f

∂n21= − 1

n1− 1

N − n1, → ∂

2f

∂n21

��n̄1

= − 1N p q

< 0



f(n1) = lnPN (n1) = lnPN (n̄1)−1

2Npq(n1 − n̄1)2 + . . .


PN (n1) � C0 exp�− (n1 − n̄1)

2

2Npq

�= C0 exp

�− (n1− < n1 >)

2

2(σ21)

�


C0 =�2πσ21

�1/2 → PN (n1) ��2πσ21

�1/2exp

�− (n1− < n1 >)

2

2(σ21)

�




22


∂2f

∂n21= − 1

n1− 1

N − n1, → ∂

2f

∂n21

��n̄1

= − 1N p q

< 0



f(n1) = lnPN (n1) = lnPN (n̄1)−1

2Npq(n1 − n̄1)2 + . . .


PN (n1) � C0 exp�− (n1 − n̄1)

2

2Npq

�= C0 exp

�− (n1− < n1 >)

2

2(σ21)

�


C0 =�2πσ21

�1/2 → PN (n1) ��2πσ21

�1/2exp

�− (n1− < n1 >)

2

2(σ21)

�




22


∂2f

∂n21= − 1

n1− 1

N − n1, → ∂

2f

∂n21

��n̄1

= − 1N p q

< 0



f(n1) = lnPN (n1) = lnPN (n̄1)−1

2Npq(n1 − n̄1)2 + . . .


PN (n1) � C0 exp�− (n1 − n̄1)

2

2Npq

�= C0 exp

�− (n1− < n1 >)

2

2(σ21)

�


C0 =�2πσ21

�1/2 → PN (n1) ��2πσ21

�1/2exp

�− (n1− < n1 >)

2

2(σ21)

�




22


∂2f

∂n21= − 1

n1− 1

N − n1, → ∂

2f

∂n21

��n̄1

= − 1N p q

< 0



f(n1) = lnPN (n1) = lnPN (n̄1)−1

2Npq(n1 − n̄1)2 + . . .


PN (n1) � C0 exp�− (n1 − n̄1)

2

2Npq

�= C0 exp

�− (n1− < n1 >)

2

2(σ21)

�


C0 =�2πσ21

�1/2 → PN (n1) ��2πσ21

�1/2exp

�− (n1− < n1 >)

2

2(σ21)

�



Ensembles estatísticos

23

O objetivo da Mecânica Estat́ıstica é descrever o comportamento macroscópico

de sistemas f́ısicos a partir do comportamento microscópico (do grande número) das

part́ıculas (ou graus de liberdade) constituintes. Em suma, fazer a conexão entre a

dinâmica microscópica e a dinâmica macroscópica.

A dinâmica microscópica, dependendo da natureza do sistema, pode ser bemdescrita pela dinâmica clássica (lagrangeana ou hamiltoniana) ou pela mecânicaquântica.

Para isso, é necessário possuir toda informação sobre um certo estado mi-croscópico e, mesmo assim, ser posśıvel resolver o enorme conjunto de equaçõesacopladas que descrevem de evolução temporal.

A descrição clássica é feita pela resolução das equações do movimento de Hamil-ton. O conhecimento das coordenadas generalizadas em dado instante (estado ini-cial) permite a determinação precisa de todos os estados passados e futuros.

A descrição quântica é feita pela resolução da equação de Schrödinger. Com oconhecimento da função de onda do estado inicial é posśıvel determinar a evoluçãotemporal para estados passados e futuros com certo grau de incerteza inerente.



23











23











23











23











23











24

Ambas as descrições são baseadas em equações reverśıveis no tempo e resultam

num conjunto completo (enorme) de informações microscópicas, as quais, quando

adequadamente reunidas, são capazes de descrever a leis que governam o compor-

tamento macroscópico. Há porém, certo aspectos da dinâmica macroscópica que

não emergem diretamente do comportamento microscópico como:

◦ A existência dos estados de equiĺıbrio.◦ A evolução (não-reverśıvel) para tais estados de equiĺıbrio.

A mecânica estat́ıstica, por outro lado, tem por objetivo proporcionar a descriçãomacroscópica a partir de um conjunto reduzido das informações microscópicas e depostulados razoáveis que possibilitem a estimativa dos valores médios das grandezasmacroscópicas mensuráveis.

A mecânica estat́ıstica prescinde do cálculo microscópico detalhado, porémretém caracteŕısticas microscópicas essenciais como as propriedades de simetriapara descrever o comportamento macroscópico.

Para realizar este objetivo, lança mão de um conjunto métodos estat́ısticos e dateoria de probabilidades, além das leis da dinâmica – clássica ou quântica – e leis deconservação. Por fim, deve prover uma justificativa teórica para a Termodinâmica.



24












24












24










Curso de Verão 2012 - Mecânica Estatí

Aula 4 - Roteiro - UFPE• Salinas, Introdução à Física Estatística, EdUsp, (1997), Cap.1...

Documents

Transcript of Aula 4 - Roteiro - UFPE• Salinas, Introdução à Física Estatística, EdUsp, (1997), Cap.1...