Aula-5CapacitânciaCapacitância

Curso de Física Geral F-328

1º semestre, 2013

F328 – 1S20123 1

Capacitância

Capacitores

Dois condutores carregados com cargas +Q e –Qe isolados, de formatos arbitrários, formam o que chamamos de um capacitor .formatos arbitrários, formam o que chamamos de um capacitor .

A sua principal utilidade é armazenar energia potencialno campo elétricopor ele formado.

História- Garrafa de Leiden e bateria

Quatro capacitores carregados formando uma “bateria”.Esse sistema foi usado por Daniel Gralath para armazenar energia potencialno campo elétricoexistente no interior dos capacitores -potencialno campo elétricoexistente no interior dos capacitores -1756.

Daniel Bernoullie Alessandro Voltamediram a força entre placas de um capacitor, e Aepinusem 1758 foi quem supôs que ela era uma lei de inverso do quadrado. (Em 1785 - Lei de Coulomb).

Réplica do sistema deRéplica do sistema deGralath existente no museu de Ciência da Cidade de Leiden (Holanda).

Capacitância

CapacitoresO capacitor mais convencional é o de placas paralelas. Em

geral, dá-se o nome de placas do capacitor(ou armaduras) aos condutores que o compõem, independentemente das suas formas.condutores que o compõem, independentemente das suas formas.

Outros capacitores

Capacitor de placas paralelas

Capacitância

CapacitoresComo as placas do capacitor são condutoras, elas formam

superfícies equipotenciais. A carga nas placas é proporcional à superfícies equipotenciais. A carga nas placas é proporcional à diferença de potencial entre elas, ou seja:

CVQ =onde C é a chamada capacitânciado capacitor. Então:

A constante depende apenas da geometria do capacitor.

,

V

QC =

CA constante depende apenas da geometria do capacitor.No SI a capacitância é medida em farads (F).

1farad = 1F = 1coulomb/volt = 1C/V

Importante: pF/m85,80 =ε1 farad = µ F10 6−

C

Capacitância

Carregando o capacitorPodemos carregar um capacitor ligando as suas placas a uma

bateria que estabelece uma diferença de potencial fixa, V , ao bateria que estabelece uma diferença de potencial fixa, V , ao capacitor. Assim, em função de

cargas Q e –Q irão se acumular nas placas do capacitor estabelecendo entre elas uma diferença de potencial –V que se opõe à

,CVQ =

diferença de potencial –V que se opõe à diferença de potencial da bateria e faz cessar o movimento de cargas no circuito.

Cálculo daCapacitância

Esquema de cálculoEm geral, os capacitores que usamos gozam de alguma simetria,

o que nos permite calcular o campo elétrico gerado em seu interior o que nos permite calcular o campo elétrico gerado em seu interior através da lei de Gauss:

0

intˆ)(ε

φ qdAnrE

S

=⋅= ∫rr

De posse do campo elétrico, podemos calcular a diferença de potencial entre as duas placas como:

rr

rr

∫ ⋅−=−=f

i

r

r

if ldrEVVV

r

r

rrr)(

E, finalmente, usamos o resultado anterior em , de onde podemos extrair C.

CVQ =

Capacitância

Capacitor de placas paralelas

EdV =Aε

0

intˆ)(ε

φ qdAnrE

S

=⋅=∫rr

∫ ⋅−=−f

i

r

r

if ldrEVV

r

r

rrr)(

A

qE

0ε=

d

AC 0ε=

ir

Nota-se que a capacitância é proporcional a um comprimento e só depende de fatores geométricosdo capacitor.

CVq=

Capacitância

Capacitor cilíndrico(L>> b)

L

= bQ∫ ⋅−=−frr

rrr

Lr

QE

02 επ=

(L>> b)

superfíciegaussiana

L

0

intˆ)(ε

φ qdAnrE

S

=⋅=∫rr

=a

b

L

QV ln

2 0πε

CVQ =

=

a

bL

Cln

2 0πε

∫ ⋅−=−ir

if ldrEVVr

rrr)(

Capacitância

Capacitor esférico S

abQV

−=∫ ⋅−=−fr

ldrEVV

r

rrr)(

0

intˆ)(ε

φ qdAnrE

S

=⋅=∫rr

204 r

QE

επ=

ab

abQV

−=04πε

CVQ =ab

abC

−= 04πε

∫ ⋅−=−ir

if ldrEVVr

rrr)(

Capacitância

Esfera isolada

aabC == 44 πεπε

)( aR =Er

++ +

+

b

aa

ab

abC

−=

−=

144 00 πεπε

∞→b

aC 04πε=

+

+

++

+

+

+

+

+

∞→b

a

0

Exemplo numérico:

pF/m85,80 =ε F101,1 10−×≈C,m1=R

Capacitância

Associação de capacitores em paralelo

VCqVCqVCq 332211 e, ===

VCCCqqqqq )( 321321 ++=⇒++=

Como VCq eq=

321 CCCCeq ++=

∑=i

ieq CC

ou

Capacitância

Associação de capacitores em série

e, VCqVCqVCq === 332211 e, VCqVCqVCq ===

++=++=

321321

111

CCCqVVVV

Como eqC

qV= :

321

1111

CCCCeq

++= ∑=i ieq CC

11ou

Um agente externo deve realizar trabalho para carregar umcapacitor. Este trabalho fica armazenado sob a

Energiaarmazenada no campo elétrico

Er

ldr

dq’

Este trabalho fica armazenado sob a forma de energia potencial na região do campo elétrico entre as placas.

Suponha que haja e – armazenadas nas placas de um capacitor. O trabalho para se deslocar uma carga elementar de uma placa para a outra é então:

qd ′q′ q′

- - - - - - - - - -

placa para a outra é então:

qdC

qqdVdW ′′

=′′=C

qqd

C

qdWW

q

2

2

0

=′′== ∫∫

22

2

1

2VC

C

qU ==

Energia no capacitor

Densidade de energia

volume

potencialenergia =u

Em um capacitor de placas paralelas sabemos que:

d

AC 0ε=

2202 11dE

ACVU

ε==

EdV =e

(Apesar de a demonstração

volume

0

22dE

dCVU ==

202

1E

Ad

Uu ε=≡

(Apesar de a demonstração ter sido feita para o capacitor de placas paralelas, esta fórmula é sempre válida!)

d

xA, εo V=Ax

Uma nova visão de U

a) Qual é o trabalho W necessário para aumentar emx a separação das placas? E

rd

- É a energia adicional que aparece no volume Ax, que antes não existia. Então:

QExA

QxAE

xAExAuUW

2

1

2

12

1

0

20

==

====

εε

εA

QE

00 εεσ ==

QExA

xAE22 0

0 ==ε

ε

b) Qual é a força de atração entre as placas?

- Como xFW = QEF2

1=

Ao colocarmos um material dielétrico entre as placas de um capacitor, se Q é mantida constante, V diminui e seV é mantido

Dielétricos

Capacitores com dielétricos

capacitor, se Q é mantida constante, V diminui e seV é mantido constante, a carga das placas aumenta.

, ambas as situações são compatíveis com o fato de que o dielétrico entre as placas faz a capacitância aumentar.

L00 ε=CVimos:

onde tem dimensão de comprimento.L

CVQ=Como

onde tem dimensão de comprimento.Então, na presença de um dielétrico

preenchendo totalmenteo capacitor:

L

1onde, 00 >== κκκε CCd L

No vácuo, 1=κ

Dielétricos

Visão atômica

Dielétricossão materiais isolantesque Dielétricossão materiais isolantesque podem ser polaresou não-polares.

E′r

0Er

0Er

um dielétrico polar: molécula de água

σ ′− σ ′+

+- +- +- +-

+- +- +- +-

+- +- +- +-E0= 0 E0 E0

E´E-

-

-

+

+

+

Er

E′r

0Er

0Er

0E

um dielétrico não-polar

Er

pr

00

rr=E

Dielétricos

Material Constante dielétrica

Resistência

Dielétrica (kV/mm)

Ar (1 atm) 1,00054 3

Poliestireno 2,6 24

Papel 3,5 16

Pirex 4,7 14

Porcelana 6,5 5,7Porcelana 6,5 5,7

Silício 12

Etanol 25

Água (20º) 80,4

Água (25º) 78,5

ˆ)(qq

dAnrE′−=⋅∫

rr

Lei de Gauss com Dielétricos

A

qE

0

0 ε=

qqE

′−=0

0 ˆ)(εq

dAnrES

=⋅∫rr

(a):

(b):

q+

Er

superfície

0

ˆ)(ε

dAnrES

=⋅∫ AE

0ε=

A

qE

0

0

κεκ= κ

qqq =′−∴

(b):

=E

Em (b):0

ˆ)(κεq

dAnrES

=⋅∫rr

A

qq

0ε′−=

superfície

q− (a)

0E superfíciegaussiana

q+

q′+q′− E

rκ

Mas

qdAnrDA

=⋅∫ ˆ)(rr

é o vetor de deslocamento elétrico.

Então, na lei de Gauss expressa com o vetor , aparecem apenas as cargas livres(das placas).

Dr

)()( 0 rErDrrrr

εκ≡

,

onde

S

Ou:superfíciegaussiana

q−

q′+

(b)

Dielétricos

ExemploCapacitor de placas paralelas comA=115 cm2, d=1,24 cm,V0=85,5 V, b=0,78 cm, .61,2=κV0=85,5 V, b=0,78 cm, .

a) C0 sem o dielétrico;b) a carga livre nas placas;c) o campo E0 entre as placas

e o dielétrico;d) o campo E no dielétrico;

Calcule:

61,2=κ

superfíciegaussiana I

d) o campo Ed no dielétrico;e) a ddp V entre as placas na

presença do dielétrico;f) A capacitância C com o

dielétrico.

superfíciegaussiana II

Lista de exercícios do Capítulo 25

Os exercícios sobre Lei de Gaussestão na página da disciplina :(http://www.ifi.unicamp.br ).Consultar: Graduação ���� Disciplinas ���� F 328-Física Geral III

Aulas gravadas:http://lampiao.ic.unicamp.br/weblectures(Prof. Roversi)

ououUnivespTV e Youtube(Prof. Luiz Marco Brescansin)

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