POLIEDROSAULA I

Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos

É uma região do espaço delimitada por um

conjunto finito de polígonos, denominado

superfície desse poliedro, que satisfazem as

seguintes condições.

1) DEFINIÇÃO DE POLIEDRO

Definição (continuação):

i) Quaisquer dois polígonos intersectam-

se em um lado ou em um vértice ou

não se intersectam;

Exemplos:

ii) Cada lado de um polígono pertence

exatamente a dois polígonos;

Exemplo:

Definição (continuação):

iii) Dois polígonos com um lado em

comum não são coplanares.

Exemplo:

Definição (continuação):

2) ELEMENTOS DE UM POLIEDRO

• Obs.1: Superfície é a união de todos os polígonos que

delimitam o poliedro.

TRIEDRO

ÂNGULO POLIÉDRICO

3) NOMENCLATURA: POLI EDRO“Várias” “Faces”

Número de

Faces

Nome do Poliedro

4 Tetraedro

5 Pentaedro

6 Hexaedro

7 Heptaedro

8 Octaedro

10 Decaedro

12 Dodecaedro

20 Icosaedro

Um poliedro é dito convexo quandoqualquer segmento de reta traçadocom extremidades em duas facesdistintas desse poliedro, tem todos osseus pontos internos ao poliedro.

4) CONVEXIDADE DE UM POLIEDRO

Exemplos:

V + F – A = 2

número de

vértices

número de faces

número de

arestas

Obs.2: Todo Poliedro Convexo satisfaz a Relação de Euler,

mas nem sempre um poliedro que satisfaz a Relação de Euler

é convexo.

5) RELAÇÃO DE EULER

V + F = A + 2ou

Convexo Euleriano Não Convexo

Euleriano

V = 6; F = 5; A = 9. V = 24; F = 14; A = 36.

Exemplos:

POLIEDROSAULA II

Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos

A superfície de um poliedro pode ser descrita pela

quantidade 𝐹𝑛 de Faces que tem 𝑛 lados; ou ainda, pela

quantidade 𝑉𝑛 de Vértices nos quais concorrem 𝑛arestas.

É possível mostrar que, nesses casos, as seguintes

relações são válidas.

1) OUTRAS RELAÇÕES

2𝐴 = 3𝐹3 + 4𝐹4 + 5𝐹5+⋯

2𝐴 = 3𝑉3 + 4𝑉4 + 5𝑉5+⋯

𝑺 = ( 𝑽 – 𝟐 ) ∙ 𝟑𝟔𝟎°

2) SOMA DAS MEDIDAS DOS ÂNGULOS INTERNOS DAS FACES DE UM POLIEDRO CONVEXO:

Obs.1: A diagonal de um poliedro

convexo é um segmento de reta,

não contido na superfície desse

poliedro, e com extremidades em

dois de seus vértices.

3) DIAGONAL DE UM POLIEDRO

POLIEDROSde PLATÃO

Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos

Um poliedro de Platão é caracterizado pelas seguintes

propriedades:

i) É um poliedro euleriano;

ii) Em cada vértice concorre o mesmo número de arestas;

iii) Todas as faces tem o mesmo número de lados.

A seguir, as cinco classes de Poliedros de Platão.

3) POLIEDROS DE PLATÃO

Classe Característica Exemplo

Tetraedro

4 faces triangulares;6 arestas;4 vértices.

Hexaedro

6 faces quadrangulares;12 arestas;8 vértices.

Octaedro

8 faces triangulares;12 arestas;6 vértices.

Classe Característica Exemplo

Dodecaedro12 faces pentagonais;30 arestas;20 vértices.

Icosaedro

20 faces triangulares;30 arestas;12 vértices.

POLIEDROSREGULARES

Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos

Um poliedro Regular é caracterizado pelas

seguintes propriedades:

i) É um poliedro de Platão;

ii) Suas faces são polígonos regulares.

A seguir, os cinco Poliedros Regulares.

4) POLIEDROS REGULARES

Tetraedro Regular Hexaedro Regular (cubo)

Octaedro Regular

Dodecaedro Regular Icosaedro Regular

POLIEDROSPLANIFICAÇÃO

Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos

4) PLANIFICAÇÕES

Cada figura ao lado é a

planificação da superfície de

um dos cinco poliedros

regulares.

Identifique-as e responda:

Cada poliedro regular tem

apenas uma forma de ser

planificado?