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FUNÇÃO

EXPONENCIAL Aulas 01 a 06

Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz

Sumário Equação Exponencial ................................................... 1

Equação Exponencial .......................................................................................................................................... 1

Exemplo 1 ............................................................................................................................................................ 1

Método da redução à base comum .................................................................................................................... 1

Exemplo 2 ............................................................................................................................................................ 1

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 1

Equação Exponencial ................................................... 1

Resolução por artifícios ....................................................................................................................................... 1

1º artifício – o primeiro artifício consiste em colocarmos o termo comum, com incógnita, em evidência. ...... 1

Exemplo 1 ............................................................................................................................................................ 1

Exemplo 2 ............................................................................................................................................................ 2


O CONCEITO DE FUNÇÃO EXPONENCIAL ..................... 2

EXERCÍCIO FUNDAMENTAL ................................................................................................................................. 2

O GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO EXPONENCIAL .............. 3


Gráficos com Translação .............................................. 4

Gráficos com reflexão ......................................................................................................................................... 4

CASO GERAL ................................................................. 5


Conjunto-Imagem ............................................................................................................................................... 5


PROBLEMAS ................................................................. 5


INEQUAÇÃO EXPONENCIAL.......................................... 6


CAIU NO VEST ..................................................................................................................................................... 7

Questões extras .................................................................................................................................................. 7

GABARITO ........................................................................................................................................................... 9


CAIU NO VEST ..................................................................................................................................................... 9

QUESTÕES EXTRAS .............................................................................................................................................. 9

Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 1

AULA 01 Equação Exponencial

Equação Exponencial Uma equação exponencial é aquela cuja incógnita

aparece no expoente.

Exemplo 1

• 2𝑥 = 4

• (√3)𝑥

= 9

• 2𝑥 + 𝜋 = 3

• 5𝑥2= 7

Avaliando a primeira equação do exemplo acima,

observamos que

2𝑥 = 4 ⟺ 2𝑥 = 22 ⟺ 𝑥 = 2

Assim, vemos que é possível resolvermos essas

equações. No entanto, veremos a seguir que há

técnicas de resolução distintas para cada tipo de

equação exponencial.

Método da redução à base comum Um dos métodos para resolver equações exponenciais consiste em reduzir, quando possível, ambos os membros da igualdade a uma mesma base e utilizar a seguinte propriedade:

𝑎𝑥 = 𝑎𝑦 ⟺ 𝑥 = 𝑦 (𝑎 ∈ ℝ+∗ 𝑒 𝑎 ≠ 1)

Exemplo 2

(1

3)

𝑥= 9 ⟺ (3−1)𝑥 = 32 ⟺ 3−𝑥 = 32 ⟺ 𝑥 = −2

Obs.1: Com o presente conhecimento, nem sempre

conseguimos igualar as bases.

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.1. Resolva, em ℝ, as equações:

a) 2𝑥 = 128

b) (√23

)𝑥

= 128

c) 3𝑥 = 1

d) 1252𝑥−1 = 0,04

e) 22𝑥+1 ∙ 4(3𝑥+1) = 8𝑥−1

f) 3𝑥2+2𝑥 = 243

DESAFIO: Resolva a equação exponencial

3𝑥 + 3−𝑥

3𝑥 − 3−𝑥= 2

Obs.2: Lembre-se que 𝑎0 = 1, ∀𝑎 ∈ ℝ∗.

AULA 02 Equação Exponencial

Resolução por artifícios Nem sempre o processo de igualar as bases é feito de

forma direta. Quando houver somas na base da

potência, pode-se tornar necessário aplicar um

artifício.

1º artifício – o primeiro artifício consiste em

colocarmos o termo comum, com incógnita, em

evidência.

Exemplo 1

2𝑥+2 − 3 ∙ 2𝑥−1 = 20

Para utilizar o primeiro artifício, faça o seguinte passo-

a-passo:

Base comum

Lembre-se que a propriedade apresentada

se aplica apenas aos casos nos quais se é possível

reduzir a equação a uma igualdade com apenas

duas potências de mesma base, uma de cada lado

da igualdade. Note que, no caso a seguir,

2𝑥 + 1 = 22

não é possível se fazer tal redução.

Uma boa ferramenta para igualar as bases

dos membros da equação é fatorar os números em

divisores primos. Utilize também as propriedades

relacionadas às potências.

TAREFA 1 – PSA 1, 2, 4, 6, 7 e 8.

Fração

No estudo de equações exponenciais,

evitaremos utilizar números na forma decimal.

Transforme-os em fração, pois o processo de igualar

as bases fica mais fácil nessa forma.


1º) Identifique quem é o termo comum e faça-o

aparecer livre em cada parcela.

2𝑥+2 − 3 ∙ 2𝑥−1 = 20

⟺ 2𝑥 ∙ 22 − 3 ∙ 2𝑥 ∙ 2−1 = 20

⟺ 4 ∙ 2𝑥 −3

2∙ 2𝑥 = 20

2º) Coloque o termo comum em evidência.

⟺ 2𝑥 ∙ (4 −3

2) = 20

3º) Isole o termo com incógnita e iguale as bases.

Determine o resultado utilizando a propriedade.

⟺ 2𝑥 = 8

⟺ 𝑥 = 3

Obs.3: Utilize o primeiro artifício quando a equação

dada apresentar todas as incógnitas como expoentes

de números que podem ser reduzidos a uma mesma

base. Em geral, há somas e subtrações nos expoentes.

2º artifício – o segundo artifício consiste na criação, e

substituição, de uma variável auxiliar.

Exemplo 2

4𝑥 − 2𝑥 = 12

Para utilizar o segundo artifício, faça o seguinte passo-

a-passo:

1º) Identifique quem é o termo comum (por vezes faz-

se necessário fatorar alguma(s) base(s)) e faça ele

aparecer livre em cada parcela.

4𝑥 − 2𝑥 = 12

⟺ (2𝑥)2 − 2𝑥 = 12

2º) Crie uma variável auxiliar e faça a substituição

(𝑦 = 𝑎𝑥).

Tomando 𝑦 = 2𝑥, temos que

𝑦2 − 𝑦 − 12 = 0

3º) Resolva a equação na nova incógnita.

𝑦 = 4 ou 𝑦 = −3

4º) Retorne à variável original e determine seu valor.

2𝑥 = 𝑦

⟺ 2𝑥 = 4 𝑜𝑢 2𝑥 = −3

⟺ 𝑥 = 2

Obs.4: Lembre-se que 𝑎𝑥 é sempre positivo, se 𝑎 > 0 .

Obs.5: Utilize o segundo artifício quando, no processo

para evidenciar a base comum, aparecer potências da

mesma base em diferentes graus e com somas entre

elas.

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 2.1. Resolva, em ℝ, as seguintes equações.

a) 5𝑥+3 − 5𝑥+2 − 11 ∙ 5𝑥 = 89

b) 25𝑥 − 23 ∙ 5𝑥 = 50

AULA 03

O CONCEITO DE FUNÇÃO

EXPONENCIAL Uma função 𝑓: ℝ → ℝ+

∗ é denominada função

exponencial de base a se sua lei, 𝑓(𝑥), puder ser

escrita como 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥, com 𝑎 ∈ ℝ+∗ e 𝑎 ≠ 1.

Exemplos:

1) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 2𝑥 3) 𝑦 = 𝑔(𝑥) = (1

2)

𝑥

2) 𝑦 = ℎ(𝑥) = √3𝑥

EXERCÍCIO FUNDAMENTAL 3.1. Identifique quais funções a seguir são exemplos

de função exponencial.

a) 𝑓: ℝ → ℝ ; 𝑓(𝑥) = 7𝑥

b) 𝑔: ℝ → ℝ ; 𝑔(𝑥) = (2𝑥)𝑥

c) ℎ: ℝ → ℝ ; ℎ(𝑥) = (𝑥 − 1)2 − 𝑥2

d) 𝑖: ℝ → ℝ ; 𝑖(𝑥) =2𝑥+1−2𝑥

2𝑥

e) 𝑗: ℝ → ℝ ; 𝑗(𝑥) =2𝑥+2−2𝑥

3

3.2. Dada a função 𝑓: ℝ → ℝ; 𝑓(𝑥) = 2𝑥, determine

a) 𝑓(2)

TAREFA 2 – PSA 10, 11, 13 e 16.


b) 𝑓(−2)

c) 𝑥 tal que 𝑓(𝑥) = 8

d) 𝑥 tal que 𝑓(𝑥) = −4

O GRÁFICO DE UMA

FUNÇÃO EXPONENCIAL

Vamos começar o estudo do gráfico de uma função

exponencial por meio de dois exemplos:

Exemplo 1

Gráfico de 𝒇: ℝ → ℝ 𝒕𝒂𝒍 𝒒𝒖𝒆 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙.

Para construir o gráfico de f escolhemos

alguns valores para x e, em seguida, descobrimos os

valores de 𝑦 = 𝑓(𝑥) correspondentes. Veja os pares

ordenados obtidos, na tabela a seguir.

x 𝑦 = 𝑓(𝑥) (𝑥; 𝑦) −2 0,25 𝐴(−2; 0,25) −1 0,5 𝐵(−1; 0,5) 0 1 𝐶(0; 1)

1 2 𝐷(1; 2)

2 4 𝐸(2; 4) 3 8 𝐹(3; 8)

Marcando os pontos da última coluna da

tabela em um plano cartesiano, podemos construir o

seguinte gráfico:

Obs.1: Repare que 2𝑥 > 0, para todo 𝑥 ∈ ℝ. Por isso,

o gráfico de f nunca irá tocar o eixo das abscissas, por

mais que ele se aproxime deste. Quando isso ocorre

com uma curva, dizemos que ela é assíntótica ao eixo

das abscissas.

Exemplo 2

Gráfico de 𝒈: ℝ → ℝ , 𝒄𝒐𝒎 𝒈(𝒙) = (𝟏

𝟐)

𝒙.

Para construir o gráfico de g escolhemos

alguns valores para x e, em seguida, descobrimos os

valores de 𝑦 = 𝑔(𝑥) correspondentes. Veja os pares

ordenados obtidos, na tabela a seguir.

x 𝑦 = 𝑔(𝑥) (𝑥; 𝑦) 2 0,25 𝐴(2; 0,25)

1 0,5 𝐵(1; 0,5) 0 1 𝐶(0; 1)

−1 2 𝐷(−1; 2)

−2 4 𝐸(−2; 4) −3 8 𝐹(−3; 8)

Marcando os pontos da última coluna da

tabela em um plano cartesiano, pudemos construir o

seguinte gráfico:

De um modo geral, o gráfico de uma função

exponencial f, tal que 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥, com 𝑎 ∈ ℝ+∗ e

𝑎 ≠ 1, apresentará algumas características. São elas:

𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙

𝟎 < 𝑎 < 1 𝒂 > 1 Decrescente Crescente

Passa pelo ponto (0, 1) Passa pelo ponto (0, 1)

Acima do eixo das abscissas

Acima do eixo das abscissas.

I. Todo o gráfico estará contido acima do eixo

das abscissas, pois, sendo 𝑎 > 0, temos

𝑎𝑥 > 0, para todo 𝑥 ∈ ℝ.


II. O gráfico sempre passa pelo ponto (0, 1), pois

𝑎0 = 1 para todo 𝑥 ∈ ℝ+∗ .

III. Se 𝒂 > 1, então o gráfico será crescente e se

𝟎 < 𝑎 < 1, então o gráfico será decrescente.

EXERCÍCIO FUNDAMENTAL 3.3. Construa, em um sistema de eixos

perpendiculares 𝑥𝑂𝑦, o gráfico de cada função

exponencial a seguir.

a) 𝑓: ℝ → ℝ+∗ ; 𝑓(𝑥) = 3𝑥

b) 𝑔: ℝ → ℝ+∗ ; 𝑔(𝑥) = (

1

3)

𝑥

AULA 04

Gráficos com Translação Obs.1: Para auxiliar nos estudos dessa parte, você

deve fazer o download do app "geogebra". Ele é um

aplicativo gratuito.

Construa, com o auxílio do geogebra, os gráficos das

funções a seguir.

a) 𝑓: ℝ → ℝ ; 𝑓(𝑥) = 2𝑥

b) 𝑔: ℝ → ℝ ; 𝑔(𝑥) = 3 + 2𝑥

c) ℎ: ℝ → ℝ ; ℎ(𝑥) = −1 + 2𝑥

Observe que o gráfico da função 𝑔 é o gráfico de 𝑓

transladado três unidades para cima e que o gráfico

de ℎ é o gráfico de 𝑓 transladado uma unidade para

baixo.

De um modo geral, o gráfico de uma função 𝑓: ℝ →

ℝ ; 𝑓(𝑥) = 𝐵 + 𝑎𝑥 , com 𝑎 ∈ ℝ+∗ e 𝑎 ≠ 1, será a

translação do gráfico da função 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥 em:

• B unidades para cima, se 𝑩 > 0,

• |𝑩| unidades para baixo, se 𝑩 < 0.

Nesses casos, a curva da função f será assintótica à

reta 𝒚 = 𝑩. Veja exemplo abaixo (𝑩 > 0).

Gráficos com reflexão Construa, com o auxílio do geogebra, os gráficos das

funções a seguir.

a) 𝑓: ℝ → ℝ ; 𝑓(𝑥) = 3 ∙ 2𝑥

b) 𝑔: ℝ → ℝ ; 𝑔(𝑥) = (−3) ∙ 2𝑥

Observe que o gráfico da função 𝑔 é o gráfico de 𝑓

refletido pelo eixo 𝑥.

De um modo geral, o gráfico de uma função 𝑓: ℝ →

ℝ ; 𝑓(𝑥) = 𝐶 ∙ 𝑎𝑥 , com 𝑎 ∈ ℝ+∗ e 𝑎 ≠ 1, com 𝑪 <

0, será a reflexão pelo eixo x do gráfico da função

𝑔(𝑥) = |𝐶| ∙ 𝑎𝑥.

Veja o exemplo abaixo.

TAREFA 3 – Ler p. de 1 a 5 e fazer os PSA 14 e 15 (Cap. 3).

Como construir um gráfico no geogebra?

Para construir um gráfico no geogebra siga os

seguintes passos:

1. Clique no "campo de entrada"

2. Comece a escrita da função sempre com "y="

3. Depois do igual digite a função desejada,

lembrando que para escrever potência usa-se

o símbolo "^". (por exemplo, para escrever

𝑥3 escreve-se x^3)


Obs.2: Com 𝐶 > 0 a curvatura do gráfico irá se

alterar, porém ele não será refletido.

CASO GERAL

Considere a função 𝑓: ℝ → ℝ; 𝑓(𝑥) = 𝐵 + 𝐶𝑎𝑘𝑥, em

que 𝑎, 𝐵 e 𝐶 são constantes reais, 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1.

Essa função pode ser considerada como um caso geral

para funções que envolvem exponencial. O gráfico

dessa função é gerado por translações e reflexões do

gráfico da função 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥.

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 4.1. Utilizando translação e reflexão esboce o gráfico

das funções:

a) 𝑓: ℝ → ℝ; 𝑓(𝑥) = 2 + 3 ∙ 2𝑥

b) 𝑓: ℝ → ℝ; 𝑓(𝑥) = −2 + 2𝑥

c) 𝑓: ℝ → ℝ; 𝑓(𝑥) = −2 − 2𝑥

Conjunto-Imagem O conjunto-imagem da função exponencial 𝑓: ℝ →

ℝ; 𝑓(𝑥) = 𝐵 + 𝐶 ∙ 𝑎𝑘𝑥 é limitado pelo valor

assintótico da função, ou seja, se a função tem como

assíntota a reta 𝒚 = 𝑩, então seu conjunto imagem é

• 𝐼𝑚𝑓 = {𝑦 ∈ ℝ | 𝑦 > 𝐵}

Ou

• 𝐼𝑚𝑓 = {𝑦 ∈ ℝ |𝑦 < 𝐵}

Para determinar em qual dos dois casos está a

situação, basta observar se o gráfico está ou não

refletido.

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 4.2. Determine o conjunto-imagem das funções:

a) 𝑓: ℝ → ℝ; 𝑓(𝑥) = 2 + 3 ∙ 2𝑥

b) 𝑓: ℝ → ℝ; 𝑓(𝑥) = −2 + 2𝑥

c) 𝑓: ℝ → ℝ; 𝑓(𝑥) = −2 − 2𝑥

4.3. Seja a função 𝑓: ℝ → ℝ, em que

𝑓(𝑥) = 𝑎 + 𝑏 ∙ 5𝑥, com 𝑎 e 𝑏 constantes reais.

Sabendo que o conjunto-imagem da função 𝑓 é dado

por 𝐼𝑚(𝑓) = {𝑦 ∈ ℝ |𝑦 > 3} e que 𝑓(2) = 53 é

correto afirmar que

a) 𝑎 + 𝑏 = 4

b) 𝑎 + 𝑏 = 5

c) 𝑎 − 𝑏 = −1

d) 𝑎 − 𝑏 = 0

e) 𝑎 ∙ 𝑏 = 4

AULA 05

PROBLEMAS Considere o caso geral da função exponencial 𝑓: ℝ →

ℝ; 𝑓(𝑥) = 𝐵 + 𝐶𝑎𝑘𝑥. Encontraremos vários

problemas que envolvem funções desse tipo para

descobrirmos os valores de B, C e k.

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 5.1. Um produto tem seu valor dado pela função

𝑃(𝑥) = 500 ∙ 2𝑘𝑥, em que x é o tempo em anos

contados a partir de 2003 (𝑥 = 0), e 𝑃(𝑥) é dado em

reais. Dado que em 2005 esse produto valia 1000

reais, calcule o que se pede nos itens abaixo.

a) O valor do produto em 2003.

b) O valor do produto em 2007.

c) O ano em que o produto valerá 32000 reais.

Fórmula geral e gráfico

Observe que a fórmula geral da função exponencial

altera o gráfico da seguinte maneira:

𝑓(𝑥) = 𝐵 + 𝐶 ∙ 𝑎𝑘𝑥

REFLEXÃO

TRANSLAÇÃO

Resumidamente:

• 𝐶 > 0, não reflete.

• 𝐶 < 0, reflete (assíntota ).

• 𝐵 > 0, tranlada 𝐵 unidades para cima.

• 𝐵 < 0, translada |𝐵| unidades para baixo.

TAREFA 4 – Ler páginas 6 e de 11 a 15.


5.2. Para um refrigerador fechado, a sua temperatura

interna segue a lei 𝜃(𝑡) = 𝑘 ∙ (0,8)𝑡, em que 𝑡 é o

tempo em minutos, 𝜃 é a temperatura em graus

Celsius (° 𝐶) e k é uma constante real. Se após 1

minuto, a temperatura interna é de 20° 𝐶, a

temperatura interna após 3 minutos será de

A) 128 °𝐶.

B) 1,28 °𝐶.

C) 12,8 °𝐶.

D) 10,24 °𝐶.

E) 102,4 °𝐶.

5.3. Num período prolongado de seca, a variação da

quantidade de água, em litros, de certo reservatório é

dada pela função 𝑞(𝑡) = 𝑞0 ∙ 𝑏−𝑘𝑡, em que 𝑏 e 𝑘 são

constantes positivas, 𝑞(𝑡) é a quantidade de água

após t semanas e 𝑞0 é a quantidade inicial de água.

Sabe-se que 𝑞0 gramas dessa substância foram

reduzidas a 40% em 10 semanas. A que porcentagem

de 𝑞0 ficara reduzida a quantidade de água após 30

semanas:

A) 21,6%

B) 20%

C) 16%

D) 10%

E) 6,4%

Obs.2: Nem sempre é possível determinar todas as

constantes que aparecem na situação.

5.4. Em um experimento com uma colônia de

bactérias, observou-se que havia 5.000 bactérias vinte

minutos após o início do experimento e, dez minutos

mais tarde, havia 8.500 bactérias. Suponha que a

população da colônia cresce exponencialmente, de

acordo com a função 𝑃(𝑡) = 𝑃0 ∙ 𝑒𝑘𝑡, em que 𝑃0 é a

população inicial, 𝑘 é uma constante positiva e 𝑃(𝑡) é

a população t minutos após o início do experimento.

Calcule o valor de 𝑃0/100, desprezando a parte

fracionária de seu resultado, caso exista.

Obs.3: A constante 𝑒 é um número irracional também

conhecido como “número de Euler”.

AULA 06

INEQUAÇÃO

EXPONENCIAL Antes de entrarmos no estudo de inequações

exponenciais vamos fazer uma análise que é válida

para qualquer função.

Considere uma função 𝑓: 𝐴 → 𝐵. Vamos

avaliar o seu comportamento quanto ao

crescimento/decrescimento

• Se f é crescente em todo seu domínio, então

para dois valores, 𝑥1 e 𝑥2, pertencentes a 𝐴,

temos que

𝒙𝟏 < 𝒙𝟐 ⇔ 𝒇(𝒙𝟏) < 𝑓(𝒙𝟐)

Determinação das constantes

Em grande parte dos problemas que envolvem

função exponencial é solicitado (ou é necessário) que

se encontre os valores das constantes. Um dos

principais métodos para se determinar constantes é

substituir valores numéricos. Estes podem ser

encontrados

• No enunciado

• Em gráficos

• Em tabelas

Lembre-se que valores numéricos são objetos do tipo

𝑓(2) = 3, por exemplo. TAREFA 5 – PSA 16 a 20 (Cap. 3)


• Se f é decrescente em todo seu domínio,

então para dois valores, 𝑥1 e 𝑥2, pertencentes

a A, temos que

𝒙𝟐 < 𝒙𝟏 ⇔ 𝒇(𝒙𝟐) > 𝑓(𝒙𝟏)

No estudo das funções exponenciais dividimos

as funções em dois casos de acordo com sua base real

a.

𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙

𝟎 < 𝑎 < 1 𝒂 > 1 Decrescente Crescente

Assim podemos concluir que

• Se 𝒂 > 1, então

𝒂𝒙𝟏 < 𝒂𝒙𝟐 ⇔ 𝒙𝟏 < 𝒙𝟐

• Se 𝟎 < 𝑎 < 1, então

𝒂𝒙𝟏 < 𝒂𝒙𝟐 ⇔ 𝒙𝟏 > 𝒙𝟐

EXERCÍCIO FUNDAMENTAL 6.1. Resolva, em ℝ, as inequações a seguir.

a) 2𝑥 > 8

b) 9𝑥 < 27

c) 0,2𝑥 <1

125

d) 3 ∙ 7𝑥 > 147

e) 2𝑥+2 − 2𝑥+1 + 2𝑥 > 96

f) 32𝑥 − 10 ∙ 3𝑥 > −9

EXTRA CAIU NO VEST 1. (ITA – 2013) A soma de todos os números reais x

que satisfazem a equação 8√𝑥+1 + 44 ∙ 2√𝑥+1 + 64 =

19 ∙ 4√ 𝑥+1. É igual a:

a) 8. b) 12. c) 16. d) 18. e) 20.

Questões extras

1) A soma das raízes da equação 1

100000⋅ 10𝑥 =

√10−6𝑥 é igual a

(A) 1.

(B) 2.

(C) 3.

(D) 4.

(E) 5.

TAREFA 6 – Ler páginas de 1 a 4 e fazer os PSA 1 a 5, 9,

13 e 17. DESAFIO: 7, 8 e 12

Como resolver inequações exponenciais

O seguinte passo-a-passo facilita a resolução de

inequações exponenciais:

1º) Reduza ambos os membros a uma base comum

2º) Avalie o valor da base (maior ou menor que 𝟏)

3º) Aplique a respectiva definição feita acima.

Note que para reduzir ambos os membros a uma base

comum, pode ser necessário fazer uso dos artifícios.


2) A raiz real da equação 3𝑥−1 + 3𝑥+1 + 3𝑥 = 351 é

(A) Um divisor de 3.

(B) Um múltiplo de 2.

(C) O inverso de 13.

(D) Igual a 15.

(E) Um número primo maior do que 3.

3) Se a equação 25𝑥+125

6= 5𝑥+1 admite como

soluções os números reais 𝑎 e 𝑏, então 𝑎𝑏 pode

ser igual a

(A) 1.

(B) 3.

(C) 6.

(D) 8.

(E) 9.

4) O conjunto-solução, em ℝ, da equação 5𝑥 =

0,04, é igual a

a) {2}. b) {−2}. c) {25}. d) {−25}. e) ∅.

5) O conjunto-solução, em ℝ, da equação 22𝑥 =

12 + 2𝑥, possui

(A) Dois números reais opostos.

(B) Dois números reais cuja soma é igual a um.

(C) Um único número real cujo valor é maior que

dois.

(D) Um único número real cujo valor é igual a

dois.

(E) Um número negativo.

6) Em uma experiência observou-se que uma

substância se desintegra com o passar dos anos.

Sua massa 𝑀, existente após 𝑘 anos do início da

experiência, é dada por 𝑀 = 𝑀0 ⋅ (2,5)−𝑘

1000, em

que 𝑀0 representa uma massa inicial. Decorridos

1000 anos após o início da experiência, a

porcentagem de massa existente, em relação à

quantidade 𝑀0 é igual a

(A) 20%.

(B) 30%.

(C) 40%.

(D) 50%.

(E) 60%.

7) A massa de uma população de bactérias, ao final

de 𝑡 minutos, é dada pela lei 𝑓(𝑡) = 𝐶 ⋅ 4𝑘𝑡.

Sabendo que ao final de 1 minuto a massa dessa

população era 64 e que ao final de 3 minutos a

massa dessa mesma população era 256, calcule a

massa dessa população de bactérias ao final de 90

segundos.

8) O gráfico a seguir é uma representação cartesiana

do gráfico da função 𝑓: ℝ → ℝ, em que 𝑓(𝑥) =

𝑏 + 𝑎𝑥, com 𝑎, 𝑏 ℝ e 𝑎 > 0.

Dado que 1 é raiz de 𝑓 e a reta 𝑦 = −2 é uma

assíntota de 𝑓, o valor de 𝑎 + 𝑏 é igual a

(A) -2.

(B) -1.

(C) 0.

(D) 1.

(E) 2.

9) Resolva as seguintes equações exponenciais:

a) 24𝑥+1 ⋅ 8−𝑥+3 =1

16

b) (1

5)

3𝑥: 252+𝑥 = 5

c) (√10)𝑥

⋅ (0,01)4𝑥−1 =1

1000

10) Resolva os seguintes sistemas:

a) {(

1

2)

𝑥+2𝑦= 8

(1

3) = 3𝑥+𝑦

b) {100𝑥 ⋅ √10𝑦 = 10

0,1𝑥 ⋅ 0,01𝑦

2 = 0,01

11) Resolva as seguintes equações

a) 5𝑥+3 − 5𝑥+2 − 11 ⋅ 5𝑥 = 89

b) 4𝑥+1 + 4𝑥+2 − 4𝑥−1 − 4𝑥−2 = 315

c) 2𝑥 + 2𝑥+1 + 2𝑥+2 + 2𝑥+3 =15

2

d) 100𝑥 − 1 = 9 ⋅ (10𝑥 + 1)

e) 4𝑥−1 − 33 ⋅ 2𝑥 + 8 = 0


GABARITO

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.1. a) 7S b) 21S c) 0S

d) 1

6S

e) 6

5S

f) 1 6; 1 6S

2.1. a) 0S b) 2S

3.1. a, e

3.2. a) 4 b) 1

4 c) 3 d) Não existe

4.1. Gráficos

4.2. a) 2, b) 2, c) , 2

4.3. B

5.1. a) 500 b) 2000 c) 2015

5.2. C

5.3. E

5.4. 17

6.1. a) | 3S x x b) 3

|2

S x x

c) | 2S x x d) | 3S x x

e) | 5S x x

f) | 0 ou 2S x x x

CAIU NO VEST 1. D

QUESTÕES EXTRAS 1. E

2. B

3. A

4. B

5. D

6. C

7. 64 2

8. C

9. a)-14 b) -1 c) 2

3

10. a) (1; −2) b) (0; 2)

11. a) 0 b) 2 c) -1 d) 1 e) 3; -2

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