MCII- Equaes Diferenciais Lista de Exerccios - Prof. Dr. Cludio S. Sartori 1

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1. Um circuito RL simples consiste em um

resistor R e um indutor L ligados em srie, conforme

ilustrado na figura ao lado, com uma fora

eletromotriz constante V. Fechado o interruptor em t

= 0s, segue-se e uma das leis de Kirchhoff para

circuitos eltricos que,se t > 0, a corrente I satisfaz a

equao diferencial:

dIL R I V

dt . Expresse I em funo de t.

Figura 1 Circuito RL simples.

2. Resolva as equaes diferenciais pelo

mtodo da separao de variveis:

(a) 2dx tx

dt

(b)

2dx x x

dt t

(c) 2(1 )

dxt x

dt

(d) dx t

dt x

(e)

2 1dx t

dt x

(f)

2 1dx x

dt t

3. Resolva as equaes diferenciais de

segunda ordem:

(a)

2

23 2 0

d y dyy

dx dx

(b)

2

24 4 0

d y dyy

dx dx

(c)

2

24 5 0

d y dyy

dx dx

(d)

2

23 2 0

0 0; 0 1

d x dxx

dt dt

x x

4. Determine a soluo da equao

diferencial: 0;035 52 xxxy

dx

dyx

5. Resolva a equao diferencial:

xxxytgxdx

dycos2sec

6. Deixa-se cair de um balo um objeto de

massa m. Ache a distncia que o objeto percorre em t

segundos, se a fora de resistncia do ar diretamente

proporcional velocidade.

7. Um circuito RC simples consiste em um

resistor R e um capacitor C ligados em srie, conforme

na figura ao lado, podendo o capacitor ser carregado

quando ligado em paralelo a uma fora eletromotriz V

constante. Ou, uma vez carregado, ser descarregado ao

ser ligado em paralelo a um resistor R. Fechado o

circuito em t=0s, analise o comportamento da corrente

na:

(a) Carga do capacitor

(b) Na descarga do capacitor.

Figura 2 (a) Carga no capacitor: montagem

experimental e comportamento da corrente eltrica I e da

carga Q no capacitor com o tempo t.

(b) Descarga no capacitor: montagem

experimental e comportamento da corrente eltrica I e da

carga Q no capacitor com o tempo t.

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8. Considere um bloco de massa m preso a

uma mola de constante elstica k. No instante t = 0s

solta-se o bloco a partir de uma posio inicial em x

= x0. Determine x(t) sabendo-se que a Lei de Hooke

(fora da mola sobre o bloco) dada por F = -kx.

No h atrito.

9. Oscilador harmnico amortecido:

Considere o mesmo problema anterior, s que agora

com uma fora dissipativa de atrito proporcional

velocidade: cv cx . Encontre x.

10. Resolva:

(a) dx

xtdt

(b) 2dy

ydx

(c) 2 1

dyx

dx (d) 2( 10)

dTT

dt

(e) 1dx

dt x (f)

dy y

dx x

(g) 2 1

dxx

dt (h) y

dye

dx

(i) 2dv v v

dt (j) ln

dxt

dt

(l)

21dy y

dx x

(m) s

dste

dt

(n) 2

du v

dv u (o)

21

dx tx

dt t

(p) 2cos

dyy

dx (q)

cos

dx t

dt x

11. Resolva a equao de primeira ordem,

aplicando:

dxxp

exIxI

dxxIxqxy

)(

)()(

)()()(

(a) 3 2dx

xdt

(b) 1dx

xdt

(c) 3 tdx

x edt

(d) cosdx

x tdt

(e) 22 t

dxx e

dt

(f) cos 2dx

x tdt

(g) 3 2 1dy

ydx

12. Resolva a equao de segunda ordem:

(a)

2

22 3 0

d x dxx

dt dt

(b)

2

22 0

d x dxx

dt dt

(c)

2

24 0

d xx

dt

(d)

2

24 0

d x dx

dt dt

(e)

2

23 0

d xx

dt

(f)

2

22 0

d x dxx

dt dt

(g)

2

22 0

d y dyy

dx dx

(h)

2

26 9 0

d y dyy

dx dx

(i)

2

25 0

d y dy

dx dx

(j)

2

26 0

d yy

dx

(l)

2

23 0

d x dx

dt dt

(m)

2

20

d x

dt

(n)

2

22 0

d x dxx

dt dt

(o)

2

23 5 0

d x dx

dt dt

(p)

2

29 0; (0) 1; (0) 1

d xx x x

dt

13. Resolva a equao:

(a)

2

22 5 0

d x dxx

dt dt

(b)

2

25 0

d xx

dt

(c) 0x x x

(d)

2

25 0

d xx

dt

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3

(e) 9 0x x (f) 2 2 0y y y

(g) 4 4 0y y y

(h)

2

25 0

d y dy

dt dt

(i) 6 10 0y y y

(j)

2

23 0

d y dyy

dt dt

(l) 6 5 0y y y

(m) 6 9 0x x x (n) 4 0y y

(o) 3 3 0y y y

(p) 2 2 0; (0) 1; (0) 0x x x x x 14. Ache a soluo geral da equao

diferencial e ilustre-a graficamente. Ache a soluo

particular que satisfaa a condio y=2 quando x=0.

(a) 23' xy (b) 24

'x

xy

15. Prove que y uma soluo da equao

diferencial:

(a) 02'3'' yyy ; xx eCeCy 221

(b) y+3y=0; y=Cx-2/3

(c) 2xy3+3x

2y

2y=0; y=Cx-2/3

16. Resolva a equao diferencial:

(a) secx dy-2y dx=0

(b) x dy-y dx =0

(c) 3y dx+(xy+5x) dy=0

(d) y=x2-1+xy-y (e) e

x+2y dx- e

2x-y dy=0

(f) y(1+x3)y+x2(1+y2)=0

(g) x tgy-ysecx=0 (h) e

ysenx dx-cos

2x dy=0

17. Ache a soluo particular da equao

diferencial que satisfaa a condio dada.

(a) 2y2=3y-y; y=1 quando x=3

(b) x dy-(2x+1)e-y

dx=0 ; y=2 quando x=1

18. Resolva as equaes diferenciais.

(a) y+2y=e2x

(b) y-3y=2 (c) xy+y+x=ex

(d) y+cotgx=4x2cscx (e) (ysenx-2)dx+xdy=0

(f) (x2cosx+y)dx-xdy=0

(g) xy+(2+3x)y=xe-3x (h) x

-1y+2y=3 (i) tgxdy+(y-senx)dx=0

(j) 3223' xexyxy

19. Ache a soluo particular da equao

diferencial dada:

(a) xy-y=x2+x ; y=2 quando x=1 (b) xy=+y+xy=e-x ; y=0 quando x=0

20. A equao diferencial

C

V

C

I

dt

dIR

descreve um circuito eltrico que consiste em uma fora

eletromatriz V com resistncia eltrica R e capacitncia C

ligadas em srie. Se V constante e I =I0 quando t=0,

expresse I em funo de t.

21. No instante t=0, um tanque contm K quilos

de sal dissolvidos em 80 gales de gua. Suponha que

estejamos adicionando ao tanque 1/3 kg de sal por galo

razo de 6 gal/min, e que a soluo, bem agitada, esteja

sendo drenada do tanque mesma taxa. Estabelea uma

frmula para a quantidade f(t) de sal no tanque no

instante t.

22. Um objeto de massa m se move em uma

reta coordenada, sujeito a uma fora F(t) = e-t ,onde t o

tempo. O movimento sofre a resistncia de uma fora de

atrito numricamente igual a duas vezes a velocidade do

objeto. Se v = 0 quando t = 0, estabelea uma frmula

para v em um instante arbitrrio t > 0.

23. Resolva a equao diferencial.

(a) y-5y+6y=0 (b) y-3y=0 (c) y+4y+4y=0 (d) y-4y+4y=0

(e) 02'22'' yyy

(f) 8y+2y-15y=0 (g) 9y-24y+y=0 (h) 2y-4y+y=0 (i) y-2y+2y=0

24. Ache a soluo particular da equao

diferencial dada que satisfaa as condies indicadas:

(a) y-3y+2y=0 ; y=0 e y=2 quando x=0. (b) y+y=0 ; y=1 e y=2 quando x=0

(c) 052

2

2

ydx

dy

dx

yd ; y=0 e dy/dx=1 quando

x=0

(d) 0136

2

2

xdt

dx

dt

xd ; x=0 e dx/dt=3 quando

t=0

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Aplicaes Sistema massa-mola-amortecedor

2

00 0c k c

x x x x x xm m m

0 02ck

c mm

1. Amortecimento supercrtico c > cc :

1 20 2 0 0 0 1

2 1 2 1

( )t tx v v x

x t e e

2

2

1,2 02 2

c c

m m

2. Amortecimento crtico c = cc :

20 0 0( )

2

ct

mc

x t x v x t em

3. Amortecimento subcrtico c < cc

BsenqtqtAetxt

m

c

cos)( 2 2

0 1c

cq

c

Ou

)()( 2

qtsenextxt

m

c

m

0

0 0

2

2

mqxtg

mv cx

;

2

2 0 0

0

2

2m

mv cxx x

mq

Circuito RLC A equao diferencial a resolver :

2

2

10

dI Q d I dI RL RI V I

dt C dt LC dt L

Devemos inserir os dados como parmetros de

entrada:

Tenso na fonte E, em V. Resistncia do resistor, em Ohms (). Capacitncia do capacitor, em Faraday (F). Indutncia no indutor, em Henry (H).

As sadas de dados so:

O valor de 01

L C

O valor de

2

2

04R

L

O valor de 2

R

L

Para > 0

o

2

2

1 02 2

R R

L L

o

2

2

2 02 2

R R

L L

o A soluo da equao diferencial:

1 20 2 0 1 0 0

2 1 2 1

( )t tI Q Q I

Q t e e

1 20 2 0 1 0 01 2

1 2 1 2

( )t tI Q Q I

I t e e

Para = 0

o A soluo da equao diferencial:

0 20 0( )

2

Rt

LQ R

Q t Q I t eL

0 0 20 0 0( )

2 2 2

Rt

LQ R Q R R

I t I Q I t eL L L

Para < 0

o 01

L C

o A soluo da equao diferencial:

21 2( ) cosR

tLQ t C sen t C t e

21 2 2 1( ) cos

2 2

Rt

LR R

I t C C sen t C C t eL L

2

2

02

R

L

0 01

2

I RQC

L

2 0C Q