Aula Modelo de Gravidade

1Instituto Superior Tcnico / Licenciaturas Eng Civil & Eng Territrio - Transportes 11 Se

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Licenciaturas em Engenharia Civil e em Engenharia do Territrio

Disciplina: TRANSPORTESProf. Responsvel: Jos Manuel Viegas

Sesso 6: Estudos Simples de Procura de TransportesB Modelos de distribuio e de elasticidade

Ano lectivo 2003/2004

Instituto Superior Tcnico / Licenciaturas Eng Civil & Eng Territrio - Transportes 22 Se

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O modelo de distribuio (I)O modelo de distribuio (I)

Com o modelo de gerao / atraco conhece-se uma ou ambas as bordaduras da matriz O/D, e aqui o que se pretende estimar o miolo a partir dessa bordadura completa ou parcial

No caso mais simples, conhece-se apenas uma bordadura, por exemplo a das atraces. Este modelo habitualmente chamado de modelo gravitacional a uma

restrio (aqui, o somatrio das viagens por coluna constrangido a tomar o valor obtido no 1 passo).

Nesse caso, a pergunta : do total de viagens que chegam zona j, quantas tiveram origem em cada uma das zonas i ? Essa pergunta pode ser formulada em termos probabilsticos: para cada uma das viagens terminadas em j, qual a probabilidade que tenha sido iniciada em i ?

Se conhecermos estas probabilidades P(i \ j), o fluxo T(i,j) ser obtido por)\().(),( jipjDjiT =


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O modelo de distribuio (II)O modelo de distribuio (II)

A expresso matemtica inicialmente utilizada era a do modelo gravitacional de Newton, mas verificou-se ser melhor substituir a distncia por um custo generalizado deixar o expoente livre como parmetro a calibrar substituir a funo potncia por uma exponencial

A expresso actualmente utilizada assim

com o parmetro sujeito a calibrao (geralmente por mnimos quadrados)

( )( )[ ]( )( )[ ]

=k

jkckMjiciMjiP,.exp).(

,.exp).()\(


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A expresso do denominador formalmente igual do numerador e independente da zona i cuja probabilidade de emisso se pretendeestimar. De facto, esse valor do denominador depende apenas de j, e da sua

distncia ao conjunto das outras zonas. Pode por isso designar-se A(j)

Se se considerar o caso em que se conhecem as duas bordaduras, ou seja o modelo gravitacional a duas restries, a abordagem ingnua levaria a resolver sucessivamente o modelo a uma restrio para o lado da atraco e para o lado da gerao, mas isso conduz a resultados bastante diferentes nos dois casos.

O modelo de distribuio (III)O modelo de distribuio (III)

)),(.exp().().()\( jicjAiMjiP =


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O modelo de distribuio (IV)O modelo de distribuio (IV)

A formulao que permite resolver simultaneamente as restries nos dois sentidos deve ainda preservar o esprito gravitacional, isto , a proporcionalidade ao produto das massas e a degradao com o aumento da distncia ou custo de deslocao entre as zonas em causa.

Como neste caso conhecemos a quantidade de viagens gerada O(i) eatrada D(i) por cada zona i [so estes os resultados do 1 passo], natural que se usem estas variveis como massas das zonas

Teramos ento uma frmula do tipo

sendo f tal que se verifiquem as restries de somatrio

[ ])),(.exp().().(),( jicjDiOfjiT = =j

iOjiT )(),( =i

jDjiT )(),(


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O modelo de distribuio (V)O modelo de distribuio (V)

A forma de resolver este problema atravs da criao de duas novas variveis, agora designadas A(i) e B(j), similares acessibilidade A(j) encontrada na formulao a uma restrio

em que a satisfao duma daquelas restries de soma impe que seja

e a satisfao da outra

Verifica-se que as expresses da A(i) e de B(j) se invocam uma outra, o que levanta alguns problemas para a calibrao do parmetro

)),(.exp().().().().(),( jicjBjDiAiOjiT =

[ ] =i

jiciAiOjB )),(.exp().().(1)(

[ ] =j

jicjBjDiA )),(.exp().().(1)(


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O modelo de distribuio (VI)O modelo de distribuio (VI)

A forma mais simples de fazer a calibrao do modelo a duas restries : comear por arbitrar valores para a varivel A (por exemplo A(i) = 1 ,

para todas as zonas i), substituir esses valores nas expresses de B(j), calibrar de seguida o valor ptimo de , de forma idntica ao feito

para o modelo a uma restrio. Com esse valor de , e com os valores de B(j) que lhe estiveram na

origem, calculam-se novos valores de A(i), e de seguida os valores de B(j) que deles decorrem, passando a uma nova iterao de calibrao simples de .

O processo converge normalmente em poucas iteraes


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O modelo de distribuio (VII)O modelo de distribuio (VII)

O modelo gravitacional de muito fcil compreenso mas apresenta algumas dificuldades de reproduo da realidade, decorrentes no essencial dos seguintes factores: a reduo da atraco com a distncia est longe de ser idntica para os

vrios motivos de viagem e estratos sociais, e por isso representar com um nico expoente essa reduo conduz certamente a resultados pouco rigorosos, mas infelizmente muitas vezes os nicos possveis face s restries de dados disponveis; os comportamentos das pessoas so muitas vezes marcados por hbitos

que vo preservando padres de deslocao que no seriam racionais face s localizaes actuais (por conhecerem melhor o territrio e seus actores numas zonas que noutras);

Apesar de tudo, de longe o modelo mais usado para o passo de distribuio


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A reaco s mudanas simplesA reaco s mudanas simples

Mesmo quando a oferta fsica de transportes (infra-estrutura ou servios) no muda, a alterao de algum dos outros atributos (preo, frequncia, horrio) tem geralmente impacte sobre a procura Algumas pessoas mudam de modo de transporte Outras mudam de destino para no serem to afectadas Outras ainda mudam a hora a que se deslocam Outras ainda mudam a frequncia com que ali se deslocam Outras reorganizam a sua mobilidade suprimindo aquela deslocao

Seria interessante conhecer a dimenso de cada um desses grupos (por tipos de reaco) mas muitas vezes queremos apenas saber qual a variao percentual da nossa procura face a esse estmulo concentrado


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Modelos Diferenciais (I)Modelos Diferenciais (I)

Modelos diferenciais pretendem estimar a alterao da procura duma componente do sistema de transportes face a alteraes nas condies da oferta, seja nessa componente ou numa outra (por exemplo a criao duma alternativa)

Na base deste modelo est a regularidade dos mecanismos de adaptao dos hbitos de consumo das pessoas ou empresas face

modificao de condies no acesso a determinados servios (por ex. preo, qualidade, etc)

escolha entre alternativas com atributos conhecidos com maior oumenor rigor


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Modelos Diferenciais (II)Modelos Diferenciais (II)Elasticidade SimplesElasticidade Simples

Os modelos diferenciais mais simples correspondem a avaliar o que acontece quando ocorre uma variao numa nica varivel estmulo(com influncia na procura)

Usa-se nesses casos o conceito de elasticidade:

Elasticidade de y (procura) em relao a x (estmulo) a variao relativa de y em resposta a uma variao relativa unitria (1%) de x

A varivel estmulo mais usada o preo, mas nos transportes usa-se tambm com frequncia o tempo de viagem ou a frequncia de servio

Os valores mais frequentes da elasticidade da procura em relaoao preo variam entre -0.2 (procuras quase rgidas) e -0.6 (procuras muito elsticas)


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Modelos Diferenciais (III)Modelos Diferenciais (III)Elasticidade CruzadaElasticidade Cruzada

tambm frequente o recurso ao conceito de elasticidade cruzada que relaciona a procura de um servio quando se altera um atributo (preo ou tempo por exemplo) de outro servio

Elasticidade cruzada da procura do servio y em relao ao preo do servio x a relativa da procura de y em resposta a uma variao relativa unitria (1%) do preo de x

Produtos complementares elasticidade cruzada negativa Produtos de substituio elasticidade cruzada positiva Porque se trata de modelos com muito poucas variveis e de muito

fcil observao, a calibrao dos parmetros geralmente feita com base em dados estatsticos

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