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7/24/2019 AULA VETORES.pdf

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Geometria Analtica

MUDANA DE COORDENADAS

Prof. Onzimo Cardoso


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Vetores

Uma reta dita ser orientada quandofixamos um sentido o qual representado por

uma seta:


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Vetores

O sentido oposto ao considerado positivo,

denominamos negativo:

Se considerarmos que tem sentido positivo,ento , que tem sentido contrrio dito tersentido negativo;


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Segmento Orientado

Um segmento que liga dois pontos e possui

um sentido dito ser umsegmento orientado:


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Segmento Nulo

Um segmento dito ser nulo se sua

extremidade coincide com a origem:

=


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Segmentos Opostos

Se um segmento orientado

O segmento um segmento de sentidooposto ao de:


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Medida de um Segmento

Dado um segmento arbitrrio. Podemos

escolher dois pontos pertencentes a ele e aotamanho do comprimento entre os dois

pontos em questo, chamamos de unidade;


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Feito isso, a cada segmento orientado,

podemos associar um nmero real querepresenta seu tamanho;


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O comprimento de um segmento orientado

denominamos mdulo de erepresentamos porou


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O segmento nulo tem mdulo igual a 0 (zero);

=


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Direo e Sentido

Dois segmentos no nulos e tmmesma direo se as retas que passam pelos

pontos e respectivamente so

paralelas:


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Direo e Sentido

No exemplo em questo e tem mesmadireo e sentidos opostos;


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Direo e Sentido

S podemos comparar sentido de segmentos

orientados que possuam a mesma direo

Dois segmentos orientados opostos possuem

sentidos contrrios;


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Segmentos Equipolentes

Dois segmentos orientados so ditos serem

equipolentes quando possuem mesma

direo, mesmo mdulo e mesmo sentido:

e so

equipolentes


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Segmentos Equipolentes

Dois segmentos nulos so sempre

equipolentes;

Quando dois segmentos e soequipolentes denominamos:

~


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Propriedades de Equipolncia

I. Reflexiva: ~ ;

II. Simtrica: ~ , ento ~ ;

III. Transitiva:

~ e

~ , ento

~ ;

IV. Dado um segmento orientado e umponto , existe um nico ponto tal que ~ ;


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Vetor

Dado um segmento orientado chamamosde vetor representado por qualquersegmento orientado equipolente a;


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Vetor

O vetor representado por um segmento

comumente designado por uma letra

minscula com uma seta sobreposta ou por

uma seta sobreposta ao segmento que orepresenta:

=

O mdulo de um vetor representado por:

=


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Vetor

Os segmentos nulos, por serem equipolentes

entre si, determinam um nico vetor,

chamado vetor nulo, o qual indicado por 0;

Dado um vetor = , o vetor o oposto

dee representado porou ;


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Vetor

Um vetor dito serunitriose = 1;

Um versorde um vetor um vetor unitriode mesmo sentido e mesma direo de ;

Dois vetores e so ditos serem colinearesse tiverem a mesma direo;


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Vetor

Se , e possuem representantes, e pertencentes ao mesmo plano , diz-seque eles socoplanares:


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Vetor

Dois vetores e so sempre coplanares,uma vez que podemos represent-los

iniciando em um mesmo ponto e

consideramos o plano que contm os doisvetores e o ponto em questo;


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Vetor

Trs vetores podero ou no ser coplanares:


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Adio de Vetores

Sejam e dois vetores representados pelossegmentos orientadose :

Os pontos e determinam um vetor que, por definio, asomados vetores e :

= +

Regra Ponta-

Calda


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Adio de Vetores

Regra do

Paralelogramo

= +


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Propriedades da Adio

I. Comutativa: + = + ;

II. Associativa: + + = + + ;

III. Existe um nico vetor nulo 0 tal que paratodo vetor , tem-se + 0 = 0 + ;

IV. Para todo vetor , existe um nico vetor

oposto tal que + = 0


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Diferena de Vetores

Chama-se diferea de e ao vetor = = + ;

M lti li d V t


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Multiplicao de um Vetor por um

Escalar

Dado um vetor 0 e um nmero real 0,chama-se produto do nmero real pelo vetor ovetor = de modo que:

= = ;

tem a mesma direo de ;

tem o mesmo sentido de se > 0e sentidocontrrio ao de se < 0;

Se = 0ou = 0ento o produto igual a 0;

M lti li d V t


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Escalar

Se 0 < < 1 e 0 ento o vetor = possui mdulo menor que ;

M lti li d V t


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Escalar

Se 0 < < 1e 0ento o vetor = possui mdulo menor que ;

=

0 < < 1

M lti li d V t


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Escalar

Se > 0 e 0 ento o vetor = possui mdulo maior que ;

=

> 0

M lti li d V t


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Escalar

A multiplicao = de um vetor por umescalar tal que:

Mdulo : = ;

Direo : e tem a mesma direo;

Sentido : o mesmo de se > 0, e contrrioao de se < 0;

M lti li d V t


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Escalar

Se e so vetores quaisquer e e sonmeros reais, temos:

1. =

2. + = a +

3. + = + 4. 1 =

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