Introduo Critrio de Estabilidade de Nyquist Anlise da estabilidade Relativa Margem de Fase e Ganho

Aula 15

Cristiano Quevedo Andrea1

1UTFPR - Universidade Tecnolgica Federal do ParanDAELT - Departamento Acadmico de Eletrotcnica

Curitiba, Outubro de 2012.

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Introduo Critrio de Estabilidade de Nyquist Anlise da estabilidade Relativa Margem de Fase e Ganho

Resumo

1 Introduo

2 Critrio de Estabilidade de Nyquist

3 Anlise da estabilidade Relativa

4 Margem de Fase e Ganho

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Estabilidade Relativa

Em um sistema de controle exige-se que o sistema seja estvel,e adicionalmente o sistema de controle em malha fechada devepossui uma adequada estabilidade relativa.Neste contexto, geralmente um problema determinar todos osplos de malha fechada e ainda aquelas mais prximos do eixoj (os plos dominantes).Ainda, pode-se determinar o diagrama de Nyquist do sistema deforma experimental, objetivando-se analisar a estabilidade emmalha fechada.A anlise de estabilidade descrita nesta aula abordar sistemascom realimentao unitria.

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considere o seguinte sistema em malha fechada:

C(s)R(s) =

G(s)1 + G(s)H(s) (1)

Para a estabilidade todas as razes do polinmio caracterstico,

1 + G(s)H(s) = 0 (2)devem ter parte real negativa.A estabilidade de Nyquist relaciona a resposta em frequncia amalha aberta G(j)H(j) ao nmero de zeros e plos de1 + G(s)H(s) que esto no semiplano direito do semiplano s.Este critrio muito til em engenharia de controle, poispodemos analisar a estabilidade absoluta de sistemas decontrole apenas analisando a resposta em frequncia dosistema de malha aberta. E neste caso, no necessriocalcular os plos de malha fechada.

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ESTUDO PRELIMINAR

Considere a equao caracterstica do sistema descritoanteriormente,

F (s) = 1 + G(s)H(s) = 0 (3)queremos mostrar que um dado percurso fechado e contnuo noplano s que no passe em quaisquer ponto de singularidadecorresponde a uma curva fechada no plano F (s).Considere o seguinte sistema em malha aberta:

G(s)H(s) = 6(s + 1)(s + 2) (4)

assim a equao caracterstica pode ser escrita como:

F (s) = (s + 1,5 + j2,4)(s + 1,5 j2,4)(s + 1)(s + 2) = 0 (5)

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A funo F (s) analtica em todos os pontos do plano s, excetonos pontos de singularidade. Neste contexto, cada ponto doplano s mapeado no plano F (s).Considere s = 1 + j2, ento F (s) torna-se:

F (s) = 1,115 j0,577 (6)Portanto, um dado percurso fechado contnuo no plano s, queno passe por pontos de singularidades, corresponder a umacurva fechada no plano F (s).Exemplos de Mapeamento de percursos fechado no plano s emF (s).

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Na Figura (c) ilustrado anteriormente podemos verificar aseguinte caracterstica: quando o contorno no plano s envolvedois plos de F (s), o lugar geomtrico de F (s) envolve a origemdo plano F (s) duas vezes no sentido anti-horrio.Entretanto se for envolvido dois plos e dois zeros, conformeilustrado na Figura (b), o contorno em F (s) no engloba aorigem no plano F (s).Se o contorno no plano s envolver apenas um zero, no planoF (s) a origem envolvida uma vez no sentido horrio, videFigura (e).Por fim, se o contorno no plano s no envolver plos e zerosento o contorno no plano F (s) no envolve a origem.O nmero N de envolvimentos na origem do plano F (s) nosentido horrio corresponde ao nmero Z P.

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No processo de anlise de estabilidade consideraremos todosos contornos no semiplano s direito, conforme a figura abaixo:

Este contorno denominado percurso de Nyquist (sentidohorrio). O percurso de Nyquist envolve todo o semiplano s etodos os plos e zeros de 1 + G(s)H(s) que possuam parte realpositiva.

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Se no houver zeros no semiplano s direito, ento l tambmno haver plos a malha fechada, e o sistema estvel.Portanto, se o contorno envolver o semiplano s direito, ento onmero de zeros da funo F (s) = 1 + G(s)H(s) no semiplanodireito igual ao nmero de plos da funo F (s) no semiplanodireito do plano s mais o nmero de envolvimentos na origemde 1 + G(s)H(s) no sentido horrio para a curva fechada.Vamo considerar a seguinte condio,

lims

[1 + G(s)H(s)] = constante (7)

assim, no existe zero quando s .

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A relao de mapeamento entre 1 + G(s)H(s) e G(s)H(s) ilustrado na figura abaixo:

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CRITRIO DE ESTABILIDADE DE NYQUISTO critrio de estabilidade de Nyquist (para sistema sem plosou zeros no eixo j) afirma que se a funo de transfernciaG(s)H(s) possuir k plos no semiplano direito do plano s e

lims0

G(s)H(s) = constante (8)

ento, para se ter estabilidade, o lugar G(j)H(j), a medidaque varia de a deve envolver o ponto 1 + j0 k vezesno sentido anti-horrio.

Este critrio pode ser expresso como:

Z = N P (9)sendo,- Z: o nmero de zeros de 1+G(s)H(s) no semiplano direito do plano s- N: o nmero de envolvimentos do ponto 1 + j0 no sentido horrio- P: o nmero de zeros de G(s)H(s) no semiplano direito do plano s

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Se P for diferente de zero, para um sistema de controle estvel,deve-se ter Z = 0 e N = P, o que significa que deve-se ter Penvolvimentos em 1 + j0 no sentido horrio.Se P for igual a zero, temos Z=N. Neste caso no pode existirnenhuma envolvimento em torno de 1 + j0.

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No caso de plo e/ou zeros no eixo j utiliza-se o seguintecontorno no plano s.

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ANLISE DE ESTABILIDADESe o percurso de Nyquist no plano s envolver Z zeros e P plosde 1 + G(s)H(s) e no passar por nenhum plo ou zero e1 + G(s)H(s) no sentido horrio, ento o contornocorrespondente no plano G(s)H(s) envolve o ponto 1 + j0N = Z P vezes no sentido horrio.Valores negativos de N implica no sentido anti-horrio.Geralmente ocorre 3 possibilidades:

No h envolvimento do ponto 1 + j0. Isto implica que o sistema estvel se no houver plos de G(s)H(s) no semiplano direitodo plano s, caso contrrio o sistema instvel.H um ou mais envolvimento do ponto 1 + j0 no sentidoanti-horrio. Neste caso, o sistema estvel se N for igual aonmero de plos de G(s)H(s) no semiplano direito do plano s,caso contrrio o sistema instvel.H um ou mais envolvimento no sentido horrio em 1 + j0,neste caso o sistema instvel.

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Considere o mapeamento de Nyquist para s = + j em G(s).Neste contexto ilustrado o mapeamento para constante epara constante. Assim, temos:

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A maneira da aproximao de G(j) do ponto 1 + j0 umaindicao da estabilidade relativa de um sistema estvel.Em geral, pode-se esperar que quanto mais prximo o lugargeomtrico estiver de G(j) estiver de 1 + j0, maior ser oovershoot e o tempo de estabelecimento para uma entrada dotipo degrau.

(a) mais estvel que (b). 18 / 28Aula 15

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Considere a figura seguinte com a ilustrao do diagrama polarde G(j) para trs valores de ganho.

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Para o sistema anterior para grandes valores de K o sistema instvel, e para o valor intermedirio de K o sistema oscilantee posteriormente para pequenos valores de K o sistema estvel.Em geral quanto mais prximos o lugar geomtrico de G(j)estiver de 1 + j0 mais oscilatrio ser a resposta. Deste modopodemos utilizar esta caracterstica para medir a margem deestabilidade.Constitui uma prtica comum representar esta proximidade emtermos de margem de fase e margem de ganho.

Margem de FaseA margem de fase o atraso de fase adicional na frequnciade cruzamento do ganho, necessrio para levar o sistema aolimiar de instabilidade.

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Caracterstica da Margem de FaseA frequncia de cruzamento ocorre quando o |G(j)| unitrio.A margem de fase 180 mais o ngulo de fase da funo deG(j), assim,

= 180 + (10)

Margem de GanhoA margem de ganho recproca de |G(j)| na frequncia ondeo ngulo de fase 180. Considere a frequncia de corteigual a 1 no qual o ngulo de fase 180 resulta em umamargem de ganho igual a:

Kg =1

|G(j1)| (11)

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A margem de fase e de ganho constituem uma medida daproximidade do grfico polar ao ponto 1 + j0. Portanto estasmargens podem ser utilizadas com o critrio de desempenho.A margem de fase e de ganho no fornecem informao dedesempenho se forem analisadas separadamente.Para que um sistema de fase mnima seja estvel, tantomargem de fase quando margem de ganho deve ser positivas.Neste contexto margem negativa indicam instabilidade.Margem de fase e margem de ganho apropriado previnemcontra variaes de componentes no sistema e soespecificados para valores definidos de frequncia. Os doisfatores limitam o comportamento de malha fechada prximo afrequncia de ressonncia.Para desempenho satisfatrio, a margem de fase deve estarentre 30 e 60, e a margem de ganho deve ser maior que 6 dB.Com estes valores, o sistema de fase mnima tem estabilidadegarantida.

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Exerccio1- Obter a margem de fase e de ganho para os seguintessistemas:

100

50

0

50

100

Mag

nitu

de (d

B)

102 101 100 101 102270

225

180

135

90

Phas

e (de

g)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

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50

0

50

100

Mag

nitu

de (d

B)

102 101 100 101 102270

225

180

135

90

Phas

e (de

g)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

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2- Um sistema com realimentao unitria possui um processoa controlar:

G(s) = K1 + s (12)

sendo K = 0, 5 e = 1. O grfico polar de G(j) ilustrado aseguir:

Determine se o sistema estvel em malha fechada utilizandoo critrio de Nyquist. 28 / 28

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