BC0103 FSICA QUNTICA (3-0-4)

Primeiro quadrimestre de 2015

Prof. Marcelo Zanotello

marcelo.zanotello@ufabc.edu.br

Sala 1044, 10o andar, bloco B, Santo Andr

Site (para consultar regularmente):

https://sites.google.com/site/marcelozanotello/

Programa: 1. Quantizao da radiao: radiao de corpo negro, efeito fotoeltrico, raios

X e efeito Compton.

2. Modelos atmicos: espectros, modelo de Rutherford, modelo de Bohr para o tomo de hidrognio, experimento de Franck-Hertz.

3. Propriedades ondulatrias das partculas: hiptese de de Broglie, pacotes de ondas, interpretao probabilstica da funo de onda, princpio da incerteza, dualidade onda-partcula, a partcula na caixa.

4. A equao de Schrdinger: poos, reflexo e transmisso de ondas, oscilador harmnico.

5. Fsica atmica: equao de Schrdinger em trs dimenses e o tomo de hidrognio; spin do eltron.

Bibliografia: P. A. Tipler, R. A. Llewellyn. Fsica Moderna, Grupo Editorial Nacional (gen) -LTC (2010) (referncia bsica).

R. Eisberg, R. Resnick. Fsica Quntica, Editora Campus (referncia bsica auxiliar). R. Miotto, A. C. Ferraz. Introduo a Relatividade e Fsica Quntica, Universidade Aberta do Brasil. R. A. Serway, J. W. Jewett, Jr. tica e Fsica Moderna, Ed. Thomson. H. D. Young, R. A. Freeman, Sears e Zemansky - Fsica IV: tica e fsica moderna, Ed. Pearson. M. H. Nussenzveig. Curso de Fsica Bsica - volume 4 (tica, Relatividade, Fsica Quntica), Ed. Edgard Blucher LTDA (1998).

Avaliao: Duas provas: 13 de maro e 22 de abril. Prova substitutiva: 24 de abril (somente para quem faltou justificadamente a uma das provas). O conceito ser definido a partir da mdia aritmtica das notas das duas provas. Data limite para divulgao dos resultados: 29 de abril. Prova de Recuperao: 06 de maio (somente para quem ficou com D ou F) Ser calculada a mdia aritmtica entre a nota da recuperao e a mdia das duas provas para definio do conceito final.

Relao conceitos/notas: A entre 8 e 10 B entre 6.5 e 7.9 C entre 5 e 6.4 D entre 4,5 e 4.9 F entre 0 e 4,4 Ser atribudo conceito final O aos alunos cuja frequncia nas aulas for menor do que 75%.

1. Quantizao da radiao: o problema da radiao de corpo negro e a origem da hiptese

quntica

1.1 Energia trmica, calor e temperatura A matria constituda por tomos ligados formando molculas, que por sua vez interagem entre si. Nas molculas, os tomos vibram em torno de posies mdias de equilbrio. Tal movimento microscpico de tomos e molculas no interior da matria permite definir a energia trmica do objeto como a soma das energias cinticas de todos os tomos em movimento, com a energia potencial total armazenada nas ligaes entre eles. A energia trmica est associada temperatura do sistema. Uma temperatura mais alta corresponde a movimentos atmicos mais intensos e, ento, a mais energia trmica. Especificamente, a temperatura est relacionada energia trmica mdia por molcula.

O calor a energia trmica em trnsito entre um sistema e sua vizinhana. Quando h uma diferena de temperatura entre o sistema e a vizinhana, haver um fluxo lquido de energia do mais quente (aquele que est com maior temperatura) para o mais frio (o de menor temperatura), caracterizando uma interao trmica entre eles. O equilbrio trmico refere-se a uma situao na qual dois ou mais corpos em contato trmico, podendo trocar energia entre si, atingem a mesma temperatura. Nesta situao, no h mais troca lquida de energia entre os corpos: cada um deles absorve e emite energia na mesma taxa, de modo que no se observam mais variaes em suas temperaturas. Nosso senso comum sugere que um corpo aquecido deve emitir calor, pois sentimos que o mesmo est quente, mesmo sem toc-lo. A emisso de calor por um corpo aquecido ocorre via radiao. Na radiao, o calor transmitido atravs de ondas eletromagnticas, sendo o nico processo de propagao de calor que pode ocorrer no vcuo.

As ondas eletromagnticas so emitidas em um largo espectro contnuo de frequncias, principalmente na regio do infravermelho, que responsvel pela sensao de calor. A intensidade da radiao emitida por um objeto em dada temperatura varia em funo do comprimento de onda, tendo um mximo de intensidade em determinado comprimento de onda. Um metal a 600oC em um forno eltrico apresenta uma fraca colorao avermelhada, enquanto o mesmo material, em temperaturas bem mais altas, brilha chegando a emitir luz branca. O sol, cuja temperatura na superfcie cerca de 6000oC, talvez o exemplo mais familiar de um corpo emissor de radiao, cujo espectro abrange toda a regio visvel, alm de comprimentos de ondas maiores (infravermelho) e menores (ultravioleta).

Quando ondas eletromagnticas incidem sobre um corpo opaco, parte dela refletida e parte absorvida. A radiao absorvida pelo corpo aumenta a energia cintica dos tomos que o constituem, fazendo-os oscilar mais intensamente. Como a temperatura do corpo determinada pela energia cintica mdia dos tomos, a absoro de radiao faz a temperatura aumentar. Os tomos contm partculas carregadas (os eltrons) que so aceleradas no movimento oscilatrio. De acordo com a teoria eletromagntica, partculas carregadas aceleradas emitem radiao, o que reduz sua energia cintica e tende a fazer a temperatura diminuir. Quando a taxa de absoro igual taxa de emisso de radiao, a temperatura permanece constante e o corpo entra em equilbrio trmico com o ambiente. A radiao eletromagntica emitida pelo corpo nessas circunstncias chamada radiao trmica.

Poder emissivo (ou de emisso) I: a intensidade da radiao trmica emitida por um corpo. Tal intensidade definida como a potncia P irradiada por unidade de rea S do corpo.

I = P/S Unidade no SI: I = W/m2

Ex: para o tungstnio a 2450K: I = 50 W/cm2

Poder absortivo (ou de absoro) a: a frao da energia total incidente que absorvida por um corpo, por unidade de tempo. Distribuio espectral da densidade de energia u: a energia por unidade de volume correspondente a cada intervalo infinitesimal de comprimentos de onda ou frequncias da radiao. Unidade no SI: u = J/m3

Esquema para determinao da curva de distribuio espectral da densidade de energia

1.2 Radiao de corpo negro Considere um forno contendo em seu interior alguns objetos, sendo aquecidos por uma chama. Na situao de equilbrio trmico, todo calor absorvido pelos objetos e pelas paredes do forno reemitido e a temperatura deles permanece constante. Kirchhoff e Bunsen: A razo I/a para cada comprimento de onda ou frequncia s depende da temperatura do corpo. Corpo negro: poder de absoro mximo (a = 1) em qualquer frequncia. Esse corpo idealizado absorveria toda a energia nele incidente e no refletiria nem calor nem luz visvel. Alm de um absorvedor ideal, o corpo negro em equilbrio seria tambm um emissor perfeito.

Uma cavidade com um pequeno orifcio pode funcionar como um corpo negro.

Modelo simples para um corpo negro: depois de vrias reflexes internas, praticamente toda radiao que penetra na cavidade absorvida pelas paredes.

0

)( duU

A densidade de energia total no interior da cavidade dada por:

Radiao continuamente absorvida e reemitida pelas paredes da cavidade e o campo de radiao eletromagntica ocupa todo o volume da cavidade. Quando a radiao contida na cavidade atinge o equilbrio trmico com as paredes, a quantidade de energia emitida pelas paredes por unidade de tempo igual quantidade de energia absorvida por elas, de modo que a densidade de energia do campo eletromagntico torna-se constante no interior da cavidade. Se um pequeno orifcio aberto em uma das paredes da cavidade, alguma radiao escapa. O orifcio aparece muito brilhante quando o corpo est em altas temperaturas e a intensidade da radiao visvel em equilbrio alta, mas ele aparece completamente escuro em baixas temperaturas, quando a intensidade da radiao em equilbrio pequena na regio visvel do espectro. Por isso, a radiao emitida a partir da cavidade foi chamada de radiao de corpo negro.

Grficos da densidade de energia emitida por um corpo negro em funo da frequncia para diferentes temperaturas: Para cada temperatura, a densidade de energia exibe um mximo pronunciado em certa frequncia. A frequncia na qual a densidade de energia mxima aumenta com o aumento da temperatura, o que explica a mudana na cor do corpo radiante conforme a temperatura varia.

Lei de Stefan-Boltzmann Estabelece a relao entre a potncia total P irradiada pelo corpo negro para todas as frequncias, a rea S da superfcie emissora (que no caso a rea do orifcio) e a temperatura absoluta T: A constante s denominada constante de Stefan-Boltzmann e seu valor no SI 5,67.10-8 W/m2K4. Para um corpo qualquer, que no um emissor perfeito, a expresso da lei de Stefan-Boltzmann deve ser multiplicada pela emissividade edo corpo, que um nmero positivo menor que um:

4STP s

4STP es

A emissividade igual frao da radiao incidente que absorvida na superfcie do corpo. Ao mesmo tempo em que irradia calor, o corpo tambm absorve radiao eletromagntica do ambiente. Se no ocorresse absoro, o corpo irradiaria constantemente, perderia energia e sua temperatura diminuiria espontaneamente at o zero absoluto.

Lei do deslocamento de Wien: descreve o deslocamento do mximo da curva ou b = 2,89.10-3 m.K TfM

1110.03,1 bTM

Regio visvel do espectro eletromagntico, superposta ao grfico da densidade de energia emitida por um corpo negro:

Wien: a radiao de corpo negro seria proveniente das oscilaes das molculas nele contidas: as diferentes frequncias da radiao se originariam das diferentes frequncias desses osciladores. A densidade de energia de determinada frequncia seria tanto maior quanto mais osciladores existissem vibrando com essa frequncia no interior do corpo negro. A partir dessas consideraes, chegou a uma expresso matemtica que concordava com os dados experimentais para altas freqncias, mas discordava enormemente para frequncias baixas.

Comparao esquemtica entre a curva experimental (escura) da densidade de energia da radiao do corpo negro e a curva terica prevista por Wien (clara)

Rayleigh e Jeans: a radiao devia se originar de ondas eletromagnticas estacionrias dentro da cavidade, ondas estas geradas pelos osciladores moleculares nas paredes da cavidade. Como o comprimento de onda da radiao trmica pequeno, praticamente todas as frequncias seriam possveis. Obtiveram uma expresso que concordava bem com os dados experimentais para baixas frequncias, mas discordava para altas freqncias. Essa discordncia ficou conhecida como catstrofe do ultravioleta, no somente pela discordncia com os dados experimentais na regio do ultravioleta, como principalmente pelo fato da expresso prever que, em altas frequncias, a intensidade da radiao seria infinita.

Comparao esquemtica entre a curva experimental (escura) da densidade de energia e a curva terica prevista por Rayleigh-Jeans (clara).

1.3 A teoria de Planck para a radiao trmica de corpo negro Em 1900, Planck considerou a existncia de osciladores harmnicos na superfcie do corpo negro, relacionados s cargas eltricas no interior das molculas: em dada temperatura, as cargas nas molculas que constituem as paredes da cavidade oscilavam emitindo a radiao eletromagntica. Segundo Planck, a energia total de um oscilador com certa frequncia quantizada, ou seja, s pode assumir valores dentro de um conjunto discreto de mltiplos de uma unidade fundamental: onde n um nmero inteiro positivo (n = 0, 1, 2, 3,...), f a frequncia do oscilador e h uma constante, denominada constante de Planck.

nhfE

Cada valor discreto de energia est associado a um estado quntico diferente, representado pelo nmero n. Existem nveis discretos de energia permitidos para um oscilador. A quantidade mnima de energia que um oscilador pode emitir ou absorver corresponde a um quantum de energia igual a hf. Os osciladores emitem (ou absorvem) essas unidades de energia realizando transies de ume estado quntico para outro. Toda a diferena de energia entre os estados inicial e final na transio emitida (ou absorvida) como um quantum de energia. Esta quantidade de energia seria anloga a um pequeno aglomerado (pacote) de radiao que, ao menos imediatamente aps ser emitido, permanecia localizado em uma pequena regio do espao. Tal propriedade confere um comportamento corpuscular (de partcula) para a radiao eletromagntica quando emitida ou absorvida pela matria.

Nveis de energia permitidos para um oscilador com frequncia f. As transies permitidas esto indicadas pelas setas verticais.

Observe que os nveis para o oscilador quantizado so igualmente espaados.

118

),(/3

3

Tkhf Bec

hfTfu

Para baixas frequncias: Esta aproximao resulta em: que corresponde frmula obtida por Rayleigh-Jeans.

Tk

hfe

Tk

hf

B

Tkhf

B

B 11 /

Tkc

fu B3

28

Para frequncias altas: Portanto: que corresponde frmula de Wien. Planck determinou o valor numrico da constante h ajustando os resultados de sua expresso aos resultados experimentais para o espectro. O atual valor, com quatro algarismos significativos, :

11/ Tkhf

B

BeTk

hf

Tkhf Bec

hfu

/

3

38

Jsh 3410.626,6

1.4 Uma aplicao da lei de Planck Um dos efeitos do big bang teria sido encher o universo de radiao, cuja distribuio espectral correspondia de um corpo negro numa temperatura igual elevada temperatura inicial do universo. Com o decorrer do tempo, a temperatura do universo deve ter diminudo at atingir o valor atual. Ento, existiria no universo uma radiao de fundo, com distribuio espectral de energia correspondente a de um corpo negro com temperatura igual do universo atual. Em 1965, Penzias e Wilson detectaram radiao com comprimento de onda aproximadamente igual a 7,35 cm (na regio das micro-ondas), que chegava Terra com praticamente a mesma intensidade por todas as direes do espao. Especulou-se que essa radiao poderia ser um resduo do big bang e os cientistas realizaram medidas em outros comprimentos de onda para determinarem uma curva experimental de densidade de energia em funo do comprimento de onda.

Os dados mais recentes do satlite COBE so compatveis com uma radiao emitida por um corpo negro na temperatura de 2,725K, com erro de 0,001K

Exemplos 1) Um ladrilho quadrado de 20cm de lado usado no revestimento interno das paredes de um forno. Determine a potncia, em watts (W), irradiada por esse ladrilho quando o forno: a) est desligado, em equilbrio trmico com o ambiente na temperatura de 27oC; b) est ligado e encontra-se na temperatura de 327oC. Dados: emissividade total do ladrilho e = 0,9; constante de Stefan-Boltzmann s = 5,7.10-8 W/m2K4. 2) O raio do sol aproximadamente 6,9.108 m e ele emite energia com potncia total de 3,8.1026 W. Supondo que a superfcie do sol emite como um corpo negro, calcule: a) a temperatura na superfcie do sol; b) o comprimento de onda correspondente ao pico de seu espectro de emisso. 3) a) Expresse a funo distribuio da densidade de energia para a radiao de corpo negro em termos do comprimento de onda. b) Use-a para mostrar que a densidade total de energia de um corpo negro proporcional a T4, demonstrando assim a lei de Stefan-Boltzmann. c) Calcule, em unidades do SI, o valor da constante de proporcionalidade obtida no item anterior.