Aula_2_DS

Dinmica dos Slidos Prof. Cludio S. Sartori Notas de aula 02 2 Bimestre

1

Rotao em torno de eixo fixo

TCM e TMA:

Exti G

i

F m a

FiG G

i

M I

Ou

FiO O

i

M I

Equaes de movimento: Rotao em torno de eixo fixo.

2

nn G GF m a m r

tt G GF m a m r

G GM I

Dinmica do movimento plano: Resumo:

TCM: Teorema do Centro de massa:

ext CMR m a

TMA: Teorema do momento angular:

Q QM I

2

QI P Q dm Plo Q pertence ao slido:

Plo Q fixo (vQ = 0) ou plo QCM


2

1. (Beer Johnston 10a Ed. Pag. 1052) - Um fio

enrolado em torno de um disco de raio r

homogneo 0.5 m e de massa de 15 kg. Se o cabo

puxado para cima, com uma fora de intensidade

T = 180 N, determinar (a) a acelerao do centro

do disco, (b) a acelerao angular do disco, (c), a

acelerao do cabo.

i G y

i

F m a m a T P

2

180 1502

15

m g

y y y

T P ma a a

m s

G GM I

GT R I 2 2

215 0.5 1.8752 2

G G G

M RI I I kg m

2

180 0.548

1.875G

T R rad

I s

20 2

x yG G

ma a

s

Inicialmente v = = 0

P Qa a P Q P Q

A Ga a A G A G

2 48 0.5 0Aa j k i

2 24 26A Aj

a j k i a j

226A c

ma a j

s

2. (Beer Johnston 10a Ed. Pag. 1053) - Uma

esfera uniforme de massa m e raio r projetada ao

longo de uma superfcie horizontal spera com

uma velocidade linear v0 e sem velocidade angular.

Denotando por k o coeficiente de atrito cintico entre a esfera e o cho, determine (a) o tempo t1

em que a esfera vai comear a rolar sem deslizar,

(b) a velocidade linear e a velocidade angular da

esfera no tempo t1.

0

x

Ext

G

i G

i

m a N a gF m a

N P N m g

O G

i

M I

22

5GI m r

O G

i

M I

22

5F r m r

22

5m g r m r

2 5

5 2

gg r

r

A esfera comear a rolar sem deslizar

quando o ponto de contato dela com o solo possuir

velocidade nula. 0Cv

00t v v

0v t v a t

0Gv t v g t

C Gv v GC

0 Gv i k r j

0 Gi

v i r k j


3

0 G Gi v i r i v r

0v g t r

0t t

00

5

2

gt t

r

5

2

gt t

r

0

5

2

gv g t t r

r

0

5

2v g t g t

00 1

27

2 7

vg t v t t

g

Velocidade linear

0Gv t v g t

01 02

7G

vv t t v g

g

0 01 0 0 17 22

7 7G G

v vv t t v v v t t

1 05

7Gv t t v

Velocidade angular:

5

2

gt t

r

0125

2 7

vgt t

r g

015

7

vt t

r

3. (Meriam Kraige pag. 432) - O bloco de concreto de

peso 644 lb elevado pelo mecanismo mostrado

de iar, onde os cabos esto firmemente enrolados

em torno dos respectivos tambores. Os cilindros,

que so mantidos juntos a girar como uma unidade

nica sobre o seu centro de massa, em O, tm um

peso combinado de 322 lb e um raio de girao de

cerca de 18 in. Se uma tenso constante de P = 400

lb mantida pela unidade de potncia em A,

determinar a acelerao vertical do bloco e a fora

resultante sobre o rolamento em O.

2 2

0 0

PI k m I k

g

2

0

PI k

g

2

1818 32.3

12

ftk in k ft g

s

2

0

18 322

12 32.2I

2

0 22.5I lb f s

Tomando o centro de rotao O:

O O

i

M I

12 24400 22.5

12 12T

800 22.5T A acelerao do bloco ser:

exti G

i

F m a T P m a

2

644

32.2

644644 644

32.2

lb

ft

s

PT a T a

g

12

12a r a

Resolvendo:

800 22.5T

20

644644

32.2T a

800

22.5

T

800644 20

22.5

TT


4

22.5 22.5 644 20 20 800T T 22.5 20 22.5 644 20 800T T

42.5 14490 16000T 30490

71742.5

T T lb

800 800 717

22.5 22.5

T

2 23.67 3.67

rad fta

s s

Equilbrio no centro da polia: 0400 cos45 0ix x

i

F O

0822 717 400 45 0iy yi

F O sen

283 1322x yO lb O lb

2 2 1352x yO O O O lb

4. (Hibbeler 12a Ed. Cap. 17 pag. 428 ) - Uma

roda desbalanceada de 50 lb possui um raio de

girao kG = 0.6 ft sobre um eixo passando atravs

de seu centro de massa G. Se a roda parte do

repouso, determine as reaes sobre seu pino O.

Momento de Inrcia:

2 2

G G G G

PI m k I k

g

22

2

500.6

32.2G

lbI ft

ft

s

2 20.559 0.559G GI lb ft s I slug ft

Teorema de Steiner ou dos eixos paralelos:

2

O GI I m d

2

1.5527

500.559 0.5

32.2OI

20.94719OI slug ft

FiO O

i

M I

250 0.5 0.94719 26.3938

rad

s

2

i in n n G

i i

F m a F m r

Como = 0: (roda parte do repouso):

0nO

i it t t G

i i

F m a F m r

50t GO m r 50 1.5527 26.39 0.5tO

50 20.487 29.51t tO O lb 5. (Hibbeler 12a Ed. Cap. 17 pag. 429 ) - Uma

barra de 20 kg num certo instante possui

velocidade angular = 5 rad/s. Determinar as reaes na conexo da barra em O e a acelerao

angular. Use g = 9.81 m/s.

Diagrama de corpo livre:

2

i in n n G

i i

F m a F m r

2

n GO m r 220 5 1.5 750n nO O N

i it t t G

i i

F m a F m r


5

t GO P m r

20 9.81 20 1.5

t GO P m r

iG

F G

i

M I

2

60 1.512

t

m lO

220 3

60 196.2 30 1.512

15

18060 294.3 45 60 354.3

12

2

354.35.905

60

rad

s

177.15196.2 20 5.905 1.5 372.35t tO O N

Usando:

iOF O

i

M I

2

O GI I m d 22 2

12 2 3O O

m l l m lI m I

2220 3 60

3O OI I kg m

260 20 9.81 1.5 60 5.905

rad

s

6. (Hibbeler 12a Ed. Cap. 17 pag. 430 ) - O

tambor mostrado possui massa de 60 kg e raio de

girao k0= 0.25 m. Uma corda de massa

desprezvel presa ao tambor e a uma massa de 20

kg. Se o bloco abandonado, determine a

acelerao angular do tambor.

Equaes de movimento para o tambor:

2

i ix n x G

i i

F m a F m r

2

x GO m r

i iy y y G

i i

F m a F m r

y GO P T m r

60 9.81 60 0.4

y GO T P m r

588.6 24yO T

iO

F O

i

M I

Momento de inrcia do tambor: 2 2 260 0.25 3.75O O O OI m k I I kg m

OT r I

0.40.4 3.75

3.75T T

Se a corda no se desliza sobre a polia, a

acelerao tangencial da polia ser a mesma do

bloco: Ga r Equao de movimento para o bloco:

iy y b

i

F m a P T m a

20 9.81 20 196.2 20T a T a 196.2

20

Ta

196.2

196.220

0.4 8G

T

a T

r

0.4 196.2 0.4

3.75 8 3.75

TT T

196.2 3.75 8 0.4T T 196.2 3.75 3.75 3.2T T

735.75 3.2 3.75 T 735.75

105.866.95

T T N


6

0.4 0.4105.86

3.75 3.75T

2 2

0.4

11.29 4.51Grad m

a r as s

6. (Livro Unip pg. 78 3.10) - 3 hastes finas,

homogneas, cada qual com massa m e

comprimento L foram utilizadas na construo de

um tringulo, conforme ilustrado. Pede-se o

momento de inrcia em relao a um eixo

ortogonal ao plano da figura e que passe pelo CM

Centro de massa.

L L

CM

L

_ _ / \3I I I I I

22

_

1 3

12 3 2

m l lI m

2

2CM

m lI

7. (Livro Unip pg. 83 3.11) - Um ventilador,

ao ser ligado, parte do repouso com acelerao

constante, e atinge frequncia f = 3000 rpm em 5 s,

com o motor gerando potncia mdia Pm = 350 W.

Para manter a frequncia de regime de trabalho, o

motor desenvolve potncia constante Pmotor = 120

W. Considerar que o valor mdio, do momento das

foras dissipativas, nos movimentos acelerados,

seja 75% daquele no movimento de regime de

trabalho; pedem-se:

(a) o momento das foras dissipativas, no

regime de trabalho;

(b) o momento de inrcia do ventilador;

(c) o tempo gasto at o ventilador parar,

aps ser desligado.

Potncia transferida pela fora resultante F:

motorP F v

Momento do motor:

motorM F d

Como v d

motorP F d

motor motorP M Na frequncia de regime:

30002 2 314.16

60

radf

s

motormotor motor motor

PP M M

1200.3819

314.16motor motorM M N m

TMA:

R motor diss CMM M M I No regime de trabalho, a velocidade

angular constante: = 0. Logo:

0 0.382motor diss diss motorM M M M N m

Considerando o movimento inicial, desde

o repouso at a frequncia de trabalho:

0 314.16 0 5t

2

314.1662.832

5lig

rad

s

2

02

tt

262.832 50 5 785.4

2rad

motor mootorE P dt

5

350 1750motor motorE t E J

Energia dissipada:

diss diss diss dissE P dt E M dt 0.382 0.75dissE dt

0.287 0.287 785.38diss dissE dt E

225.4dissE J

Potncia resultante: R RP M Energia transferida ao sistema e

armazenada na forma de energia cintica:

c R C RE P dt E M dt

cE I dt

c c

dE I dt E I d

dt

F

d


7

2 2314.1649348.2

2 2c c c

I IE E E I

Pela conservao da energia:

49348.2 1750 225.4C m dissE E E I

21524.6 0.031

49348.25I I kg m

Pelo TMA, com o motor desligado:

0.287 0 0.031RM I

2

0.2879.26

0.031

rad

s

0 0 314.16 9.26t t

314.1633.93

9.26t t s

8. (Livro Unip pg. 67 3.01) - Duas esferas de

massas m1 = 0.010 kg e m2 = 0,03 kg esto

localizadas nas extremidades de uma haste de peso

desprezvel, com comprimento L = 0,10 m.

Determinar o momento de inrcia (em kg.m2):

(a) em relao a um eixo vertical

passando pelo ponto mdio da haste.

(b) em relao a um eixo paralelo do item

anterior que passa pelo centro de massa do

conjunto.

(a)

2 2

1 22 2

O

L LI m m

2 20.01 0.05 0.03 0.05OI 4 21 10OI kg m

(b)

Somas Massa

(kg)

x

(m)

mi.xi (kg.m)

m1 = 0.01 0 0

m2 = 0.03 0.1 0.003

0.04im 0.003i im x

1 1 2 2

1 2

CM

m x m xx

m m

0.01 0 0.03 0.1

0.01 0.03CMx

0.0030.075

0.04CM CMx x m

2 20.01 0.075 0.03 0.025CMI

5 27.5 10CMI kg m

9. (Livro Unip pg. 83 3.04) - Um balo

esfrico de raio R constitudo por uma pelcula

fina e homognea de massa m. Considerando um

eixo radial, pedem-se:

(a) o momento de inrcia;

(b) o raio de girao.

(a) 22

3CMI m R (Esfera oca)

(b) 2 22 2

3 3CMI m R m k k R

10. (Livro Unip pg. 83 3.11) - Uma barra

homognea ilustrada a seguir, de massa m e

comprimento L, est articulada pela extremidade

A, girando em um plano vertical, sob ao de um

momento M. No instante ilustrado a velocidade

angular = 8 rad/s; para esse instante, determine:

(a) a acelerao angular da barra (em

rad/s2).

(b) as componentes da reao na

articulao.

Dados: m = 40 kg; L=6 m

M = +120 N.m g = 10 m/s2

TCM.: Teorema do centro de massa:

ix x x

i

F m a H m a

iy y y

i

F m a V P m a

ax

ay

V

H

y

x

P

x

y

CM

0.075 0.025


8


iOF O

i

M I

6120 400

2OI

O=A ; P = m.g = 400N

Teorema dos eixos paralelos: 22

2

12 2O CM O

m l lI I m OG I m

2 2 2

12 4 3O O

m l m l m lI I

2240 6 480

3O OI I kg m

6120 400 480

2

21080 480 2.25

rad

s

2 2

22

8 3 192x x xL

ma r a a

s

22

2.25 3 6.75y y yL

ma r a a

s

40 192 7680H H N

270

400 40 6.75 400 270V V

130V N

11. (Livro Unip pg. 107 3.29) - Os blocos

ilustrados a seguir tm massas m1 e m2. A massa

da polia mp e seu raio R. Desprezar a massa da

corda e admitir que no h escorregamento entre a

corda e a polia. Considere a acelerao da

gravidade local igual a 10 m/s2. A acelerao do

bloco de massa m1 vale aproximadamente, em

m/s2:

Dados: m1 = 20 kg m2 = 12 kg M = 8 kg

R = 0.3 m


1 1 1

1 1

2 2 `2iy

i

P T m aF m a

T P m a


iOF O

i

M I

1 2 OT R T R I

2

1 22

pm RT T R

O=G ; P1 = m1.g = 200N

P2 = m2.g = 120N

Como a corda no escorrega:

1 2a a R

2

1 22

pm RT T R

1

2

200 20

120 12

T a

T a

2

1 2

0.36

2

pm R aT T R

R

1 2 1 22

2 8

pmT T a a T T

1 2

1

1 2

2

200 204

120 124

T TT

T TT

1 1 2

2 1 2

200 5 5

120 3 3

T T T

T T T

1 2

2 1

6 5 200

4 3 120

T T

T T

2 28 5 200 240T T

22 1

146.67

200 5440

3 6

TT N T

1 1

155.56

440200 5

28003

6 18T T N

1 2 155.56 146.67

4 4

T Ta a

1 2 155.56 146.67

4 4

T Ta a

22.22

ma

s

12. (Livro Unip pg. 91 3.14) - Um disco

uniforme, com eixo fixo, possui raio R = 0,4 m e

massa m = 6 kg. Em repouso, o disco acionado

pea fora F = 20 N, atravs de uma corda enrolada

y

x


9

no mesmo. O atrito nos mancais, gera um binrio

(momento) resistente Mres = 1.5 N.m. Pedem-se:

(a) a reao do eixo fixo.

(b) o nmero de voltas necessria para

que o disco atinja a velocidade angular de = 40 rad/s.


0

0

x

y

H m a

V P F m a

0

60 20 0 80

H

V V N


iOF O

i

M I

Res CMF R M I 2

20 0.4 1.52

m R

2

2

13.540.48

6 0.4 6.58 1.5

2 0.48

rad

s

2 2

0 2F

2

59.08

160040 0 2 13.54

27.08rad

59.089.4

2 2n n n

13. (Beer Johnston 5 Ed. 16.5 Pag. 551) Uma polia pesando 53.4 N e raio de girao 0.203

m est unida a dois blocos como ilustrado.

Supondo-se que no exista atrito no eixo,

determinar a acelerao angular da polia e a

acelerao de cada cilindro.

Sentido do movimento: Para manter a polia em equilbrio:

0 0.152 22.2 0.254 0G BM P 37.1BP N

A polia girar no sentido antihorrio.

Cinemtica do movimento:

A A B Ba r a r

0.254 0.152A Ba a

BR B B B BF m a P T

44.5 4.536 0.152

B

B B B B B

P g

T P m a T

44.5 0.6895BT

AR A A A AF m a T P

2.2629 0.254 22.2

A

A A A A A

P g

T m a P T

0.5748 22.2AT Equaes de movimento: momento de

inrcia da polia:

2 2PI m k I kg

2 253.4 0.203 0.2249.81

I I kg m

G GM I

0.152 0.254B A GT T I

44.5 0.6895 0.152

0.5748 22.2 0.254 0.224

6.764 0.1048

0.146 5.6368 0.224

1.1272 0.2508 0.224

22.37

1.12720.2508 0.224 1.1272

0.4748

rad

s

22.37

rad

s

0.152 m

0.254 m

44.5 N 22.2 N


10

2

2

0.254 2.37 0.602

0.152 2.37 0.360

A A

B B

ma a

s

ma a

s

14. (Hibbeler pag.442 17.13) Determine a

aceleraoangular da polia da figuram que possui

uma massa de 8 kg e raio de girao kG = 0.35 m.

A massa da corda negligencivel.

Equaes de movimento: momento de inrcia da polia:

2

2 2

0.98

8 0.35

kg m

I m k I

G GM I

0.5 100 0.2 0.98T

iy

i

F m a

8 9.81

100 78.48 8 GP m g

T a

Para que a polia no escorregue em A:

0.5G Ga r a

21.52 8 0.5T 21.52

4

T

21.520.5 20 0.98

4

TT

4 0.5 20 0.98 21.52T T 2 80 21.0896 0.98T T

58.9119.76

2.98T T N

2

21.52 19.7610.32

4

rad

s

25.16G

ma

s

15. (Livro Unip pg. 109 3.32) - A figura

ilustra uma barra AB, homognea , de massa m =

20 kg e comprimento L = 0.5 m. Na posio

definida pelo ngulo = 600, a mesma apresenta

velocidade angular = 4 rad/s. Pede-se a acelerao angular da barra.

s

TCM: Teorema do centro de massa:

cos

i

i

n n

i

t t

i

F N P sen m a

F P T m a

2

2n G G

La r r

2t G G

La r r

TMA: Teorema do Momento Angular

iOF O

i

M I

2

2O G

LI I m

2 2 2

12 4 3O O

m L m L m LI I

2

cos2 3

L m LP

2 3 coscos

2 3 2

L m L gm g

L

0

2

3 10 cos6015

2 0.5

rad

s

Calcule os valores de N e T agora, carinha....

A

L/2

CM

B L/2

CM

B L/2

L/2 T

N

P

P.cos

P.sen

n t

A=O


11

3 cos

2 4T T

L ga a

2

2n

La

16. (Livro Unip pg. 109 3.33) - O disco de

raio r = 0.125 m e massa m = 4 kg, momento de

inrcia baricntrico ICM = 0.052 kg.m,

inicialmente em repouso, colocado em contato

com a esteira, que move-se com velocidade

constante, para a direita, v = 3 m/s. O coeficiente

de atrito entre a esteira e o disco = 0.40, pedem-se:

(a) determinar a acelerao angular do

disco durante o escorregamento;

(b) o ngulo total de rotao do disco,

desde o repouso, at que o escorregamento do

disco e a esteira cesse.


0.575.96

0.125arctg

90 90 75.96 14.04

TCM: Teorema do centro de massa: (disco)

cos14.04

cos75.96

i x

i y

x at G

i

y G

i

F F F m a

F F N P m a

cos14.04 0

0.245 40 0

atF F

F N


iOF O

i

M I

0.125at GF I

0.4 0.052

0.125 0.05 0.052GN I N

1.04N

0.97 0.4

cos14.04 1.04 0

0.245 1.04 40 0

F

F

0.97 0.416 0

0.245 1.04 40

F

F

2.32

0.97

0.416

0.245 1.04 2.32 40

F

F F

2

15.05

2.332 35

400.245 2.425 40

2.6578

radF

sN

F F F

1.04 35 36.3N N N O escorregamento cessa quando as

velocidades das superfcies forem iguais:

3BordaDisco esteira finalv v r

24

30.125 3

0.125final final

rad

s

2 2 2final inicial

2

8.23

57624 2 35

70rad

17. (Livro Unip pg. 102 3.20) - O sistema de

polias duplas tem momento de inrcia total ICM =

20.3 kg.m, raio interno Ri = 0.23 m e raio externo

Re = 0.40 m, respectivamente; inicialmente em

repouso, acionado por um contrapeso de massa m

= 65 kg. Pedem-se:

(a) a acelerao angular do sistema;

(b) a velocidade angular no instante t = 3 s;

(c) a velocidade angular no instante em que o

contrapeso deslocou-se de 0.3 m.

F

F

P

atF

N

x

y

R


12


TCM: Teorema do centro de massa: Contra Peso

iy G

i

F P T m a


iOF O

i

M I

20.320.3T R T

R

Ta R

65 10 20.3 65

G

RR

P T m a

20.3650 65 0.23

0.23

650 88.26 14.95

2

6506.3

88.26 14.95

rad

s

0 t

0 6.3 3 18.9rad

s

2 2

0 2

ss R

R

0.31.3

0.23rad

2 0 2 6.3 1.3 16.43

4.05rad

s

18. (Livro Unip pg. 94 3.16) - A polia dupla

ilustrada tem raios R1 = 0.6 m e R2 = 1.2 m, massa

mP = 600 kg, raio de girao k = 0.9 m, e

acionada atravs de uma corda que faz um ngulo

= 60 com a horizontal, com trao F = 3600 N. O movimento da polia, suspende o bloco de massa

mB = 300 kg. Considerar que as cordas no

escorreguem em relao polia e g = 10 m/s.

Pedem-se:

(a) a acelerao do bloco;

(b) as componentes horizontal e vertical da

reao do eixo.

TCM: Teorema do centro de massa: Polia:

cosi xx P P

i

F H F m a

3600 cos60 0 1800H H N

i yy P B P P

i

F V P T F sen m a

6000 3600 60 0 9117.69B BV T sen V T

Peso B:

iy B B B B

i

F T P m a

3000 300 3000 300B B B BT a T a

Como no h escorregamento:

1 0.6B Ba R a

3000 300 0.6 3000 180B BT T


iOF O

i

M I

2

2 1B PF R T R m k 2

486

3600 1.2 0.6 600 0.9BT

4320 0.6 486BT

4320 0.6 486BT

R

x

y

P

T

pP

2R

F

x

y

1R

Bm

2R

F

x

y

1R

Bm

V

V

H H

PP

BT

BT

BP


13

4320 3000 180 0.6 486 4320 1800 108 486

25202520 108 486

594

24.24

rad

s

20.6 2.544B B

ma a

s

4.24

3000 180 3763.2B BT T N

3763.2

9117.69 12880.89BV T V N

18. http://adm.online.unip.br/frmConsultaExercicio.aspx

Os blocos ilustrados a seguir tm massas m1 e m2.

A massa da polia M e seu raio R. Desprezar a

massa da corda e admitir que no h

escorregamento entre a corda e a polia. Considere

a acelerao da gravidade local igual a 10 m/s2. A

acelerao do bloco de massa m1 vale

aproximadamente, em m/s2: 1.82

Dados: m1 = 10 kg m2 = 20 kg

M = 50 kg

R = 0,5 m


massa m1

1 1 1 1 1ii

F T P m a

1 1 1 1100 10 100 10T a T a

massa m2

2 2 2 2 2ii

F P T m a

2 2 2 2200 20 200 20T a T a


iOF O

i

M I

Polia:

1 2T R T R I

2

1 22

M RT T R

2

1 22

M R aT T R

R

50

1 22

MT T a

100 10 200 20 25a a a

100 10 200 20 25a a a

2

10030 100 25 1.82

55

ma a a a

s

19. http://adm.online.unip.br/frmConsultaExercicio.aspx

Uma polia dupla, composta por dois discos

solidrios entre si, possui momento de inrcia total

ICM = 0,30 kg.m2, acionada a partir do repouso,

por blocos de massas m1 = 1,5 kg, m2 = 2,5 kg,

raios R1 = 0,4 m e R2 = 0,7 m, ligados a fios ideais

que no escorregam em relao a polia. Desprezar

atritos, adotar g = 10 m/s2. A trao no fio que

sustenta a massa m2, expressa em N,

aproximadamente: 25.35

Sentido de giro:

11 2 2 1 1 2

2

0R

P R P R P PR

1 1

0.725 43.75 15

0.4P P N N horrio


massa m1

1 1 1 1 1 1 2ii

F T P m a a R

1 115 15 0.7 15 1.05T T

massa m2

2 2 2 2 2 2 1ii

F P T m a a R

2 1 2

0.4

25 2.5 25 1T R T


iOF O

i

M I

Polia:

1 2 2 1 GT R T R I

1 20.7 0.4 0.3T T

15 1.05 0.7 25 1 0.4 0.3

10.5 0.735 10 0.4 0.3

0.735 0.4 0.3 10 10.5

2

0.51.435 0.5 0.3484

1.435

rad

s

1P 2P

1a 2a

1T 2T


14

2 225 1 25 1 0.3483T T

2 25.3483T N

20. (Livro Unip pg. 89 3.13) - Duas engrenagens

A e B, possuem eixos fixos paralelos, conforme

ilustrado. Soldada coaxialmente a engrenagem A, uma polia de raio 0.05m acionada pela fora F =

500 N, atravs de um fio enrolado na mesma. As

engrenagens A e B, possuem, respectivamente, rA

= 0.3 m e rB = 0.1 m; os momentos de inrcia da

engrenagem A e da polia soldada IA = 1.2 kg.m2;

o momento de inrcia da polia B IB = 0.8 kg.m2.

Os atritos so desprezveis. Pedem-se:

(a) a acelerao angular da engrenagem A;

(b) a acelerao angular da engrenagem B;

(c) a fora que a engrenagem A aplica na

engrenagem B.

TCM: Teorema do centro de massa: Engrenagem A

i Ax A A x

i

F H N m a

i Ay A A A y

i

F V F f P m a

Engrenagem B

i Bx B B x

i

F H N m a

i By B B B y

i

F V f P m a


iOF O

i

M I

Engrenagem A:

A A Af r F r I

0.3 500 0.05 1.2 Af

0.3 25 1.2 Af

Engrenagem B:

B B Bf r I

0.1 0.8 Bf

0.88

0.1B Bf f

Ponto de engrenamento:

A B A A B Bv v r r

A BT T A A B Ba a r r

0.33

0.1

AB A B A B A

B

r

r

8 24B Af f

24 0.3 25 1.2 7.2 25 1.2A A A A

25 7.2 1.2 25 8.4A A A

2

252.97

8.4A A

rad

s

23 3 2.97 8.91B A B Brad

s

8.91

8 71.28Bf f N


ilustra um cilindro homogneo, de massa m = 5.0

kg, raio R = 0.33 m, que abandonado do repouso,

apoiado em plano inclinado de ngulo = 30 com a horizontal, rola sem escorregar ao longo do

mesmo. Pedem-se:

(a) a acelerao do centro de massa;

(b) o mnimo valor do coeficiente de

atrito entre o cilindro e o plano inclinado.

TCM: Teorema do centro de massa: 0

510 0.5

30ix at

m gi

F P sen f m a

25 5atf a 0cos30 0

iy

i

F N P

0 0

43.3

cos30 50 cos30N

N P N

x

y

f

N

AP

AH

AV

BP

N

f

BH

BV

F

F

030

P

atf N x

y


15


iOF O

i

M I

Cilindro: 2

2

m Rf R

2T

m Rf a a R

2

m Rf a R

2 2

m R a m af f

R

525 5 25 5

2 2

m a aa a

25 5 2.5 a

2

2525 7.5 3.333

7.5

ma a a

s

aa R

R

2

3.33310.1

0.33

rad

s

5 3.3338.3325

2 2

m af f f N

atf N

8.33250.19

43.3

atf

N

22. Um aro de 10 lb ou um anel fino

dada uma velocidade angular inicial 0 = 6 rad/s quando colocado sobre a superfcie. Se o

coeficiente de atrito cintico entre o aro e a

superfcie k = 0.3 determinar a distncia que o aro se desloca antes de parar o escorregamento.

Dados: g = 32.2 ft/s2; 1 in = 1/12 ft

I = m r2


ix at G

i

F F m a

29.66 /

K K K

ft s

N m a W m a a g

0iy

i

F N W N W


iOF O

i

M I

Aro: 2 2

at kF r m r m g r m r

0.3 32.2

0.5

k g

r

219.32

rad

s

Quando parar o escorregamento:

Gv r

00GG

ra t t r t

a r

6 0.5

0.15539.66 19.32 0.5

t t s

0 6 19.32 0.1553t

3rad

s

2 2 2 2

0 3 6

2 2 19.32

0.116s r s ft


ilustra um carretel de massa 5 kg, raio de girao k

= 0.09 m e raios R1 = 0.08 m e R2 = 0.16 m que

acionado por uma fora F = 22.5 N, aplicada por

uma corda enrolada no mesmo e que no

escorrega. O carretel apoia-se em superfcie

horizontal, com coeficiente de atrito esttico e

cintico, respectivamente, e = 0.30 e c = 0.25. Pedem-se:

(a) determinar se ocorre ou no

escorregamento;

(b) a acelerao angular do carretel.


16

`

Supondo ausncia de atrito:

`


24.5

22.522.5 5

5ix G G G

i

m s

F m a a a

0 50iy

i

F N P N P N


iOF O

i

M I

Carretel: 2

1 22.5 0.08 5 0.09GF R I

244.44

1.8

0.0405

rad s

Da cinemtica dos slidos:

P Ga a P G P G Onde P o ponto de contato do carretel

com o piso. Lembrando que = 0:

2 4.5 44.4Pa i k R j

2

0.12

4.5 44.4Pi

a i R k j

4.5 5.33 9.83P Pa i i a i

Ou seja, o ponto P se desloca para a

direita; a fora de atrito apontar para a esquerda:

`


ix G at G

i

F m a F F m a

22.5 5at GF a

0 50iy

i

F N P N P N


iOF O

i

M I

1 2at OF R F R I

222.5 0.08 0.12 5 0.09atF

1.8 0.12 0.0405atF

Como no h escorregamento: o CIR o

ponto de contato do carretel com o solo:

2 0.12G Ga R a

0.12

22.5 5 22.5 0.6at G atF a F

22.5 0.6

1.8 0.12 0.0405

at

at

F

F

22.5 0.12 1.8 0.6 0.12 0.0405

0.90.9 0.1125

0.1125

28

rad

s

22.5 0.6 8 22.5 4.8 17.7at at atF F F N

Como

15

0.3 50

0

N

at eF N

A fora de atrito maior que a mxima

permitida; portanto, a hiptese que no escorrega

falsa; logo a relao 2 0.12G Ga R a

no vale; Assim, teremos que calcular a fora de

atrito cintica:

12.5

0.25 50

N

at eF N

2

2

2

7.48

1022.5 12.5 5

5

0.31.8 0.12 12.5 0.0405

0.405

G G

m

s

rad

s

a a

Ou seja, o centro de massa est

acelerando para direita com acelerao de 2 m/s2 e

est girando no sentido horrio.

2R

1R F

x

y

2R

1R F

2R

1R F

x

y

F

P

N


17




acionado por uma fora F = 20 N, aplicada por





(a) a acelerao angular do carretel;

(b) a acelerao do centro de massa.

`


`

Como a fora F menor que o peso, CM no se desloca na vertical; como, adotando a

fora de atrito atF nula e = 0, no tendo foras

na horizontal, teremos:


0ix G G

i

F m a a

20 50

0 30iy

i

F F N P N N


iOF O

i

M I

Carretel: 2

1 20 0.08 5 0.09GF R I

239.51

1.6

0.0405

rad s




2 0 39.51Pa k R j

2

0.12

39.51Pi

a R k j

26.32P

ma i

s



`

TCM: Teorema do centro de massa: Carretel:

ix G at G

i

F m a F m a 5at GF a

0 30iy

i

F F N P N N


iOF O

i

M I

1 2at OF R F R I 220 0.08 0.16 5 0.09atF

1.6 0.16 0.0405atF

Hiptese 1: no h escorregamento:

2 0.16G Ga R a

5 0 16

1.6 0.16 0.0405 1.6 0.128 0.04atF

2

0.168

1.69.52

0.128 0.04

rad

s

9.520.16

5 0.8 7.61at G at atF a F F N

Para no haver escorregamento: 9

0.3 30

0

N

at eF N

Como

9

7.61Eat e

F N

2R

1R

F

x

y

2R

1R

F

2R

1R

F

x

y

F

P

N

P

N


18

A fora de atrito menor que a mxima


verdadeira; logo a relao

2 0.16G Ga R a vale; Assim:

29.52

rad

s

20.16 9.52 1.52G G

ma a

s










escorregamento;


(c) a acelerao do centro de

massacarretel.

`


`


23.33

2020 6

6ix G G G

i

m s

F m a a a

0 60iy

i

F N P N P N


iOF O

i

M I

Carretel: 2

1 20 0.08 6 0.13GF R I

215.78

1.6

0.1014

rad s




2 3.33 15.78Pa i k R j

2

0.16

3.33 15.78Pi

a i R k j

3.33 2.52 5.85P Pa i i a i



`


ix G at G

i

F m a F F m a

20 6at GF a

0 60iy

i

F N P N P N


iOF O

i

M I

1 2at OF R F R I

220 0.08 0.16 6 0.13atF

1.6 0.16 0.1014atF

Hiptese: se no houver escorregamento: 12

0.2 60

0

N

at eF N

o CIR o ponto de contato do carretel com o solo:

2 0.16G Ga R a

0.16

20 6 20 0.96at G atF a F

2R

1R F

x

y

2R

1R F

2R

1R F

x

y

F

P

N


19

20 0.96

1.6 0.16 0.1014

at

at

F

F

20 0.16 1.6 0.96 0.16 0.1014

4.83.2 1.6 0.1536 0.1014

0.255

218.82

rad

s

20 0.96 18.82atF

20 18.1 1.9at atF F N

Como

12

1.9 0.2 60

0

N

at eF N

A fora de atrito menor que a mxima


verdadeira; logo a relao:

2 20.16 3G G G

ma R a a

s


acelerando para direita com acelerao de 3 m/s2 e

est girando no sentido horrio.










escorregamento;


(c) a acelerao do centro de

massacarretel.

`


`


23.33

2020 6

6ix G G G

i

m s

F m a a a

0 60iy

i

F N P N P N


iOF O

i

M I

Carretel: 2

1 20 0.08 6 0.13GF R I

215.78

1.6

0.1014

rad s




2 3.33 15.78Pa i k R j

2

0.16

3.33 15.78Pi

a i R k j

3.33 2.52 0.81P Pa i i a i



`


ix G at G

i

F m a F F m a

20 6at GF a

0 60iy

i

F N P N P N


iOF O

i

M I

2R

1R F

x

y

2R

1R F

2R

1R F

x

y

F

P

N


20

1 2at OF R F R I 220 0.08 0.16 6 0.13atF

1.6 0.16 0.1014atF

Hiptese: se no houver escorregamento: 12

0.2 60

0

N

at eF N

o CIR o ponto de contato do carretel com o solo:

2 0.16G Ga R a

0.16

20 6 20 0.96at G atF a F

20 0.96

1.6 0.16 0.1014

at

at

F

F

20 0.16 1.6 0.96 0.16 0.1014

1.63.2 1.6 0.1536 0.1014

0.255

26.27

rad

s

20 0.96 6.27atF

20 6.02 13.98at atF F N

Como

12

0.2 60

0

N

at eF N

A fora de atrito maior que a mxima


falsa; logo a relao:

2Ga R no valida.

Assim, haver escorregamento e:

0.15 60 9at c at atF N F F N

9

9

20 6

1.6 0.16 0.1014

at G

at

F a

F

2

2

111.83

6

0.161.58

0.1014

G G

ma a

s

rad

s


acelerando para direita com acelerao de 1.83

m/s2 e est girando no sentido horrio com

acelerao angular 1.58 rad/s2.


21

Movimento combinado de rotao e translao: Relaes envolvendo energia.

Todo movimento de um corpo rgido pode

ser sempre dividido em um movimento de

translao do centro de massa e outro de rotao

em torno do centro de massa. A energia cintica do

corpo possui duas parcelas: uma devida

translao do centro de massa e outra devida

rotao:

2 21 1

2 2cm cmK M v I

Condio para rolamento sem deslizamento:

CMv R

Exemplo 1 Enrolamento de uma casca cilndrica. Uma casca cilndrica oca de raio

R e massa M rola sem deslizar com uma

velocidade vCM ao longo de uma superfcie plana.

Qual a sua energia cintica?

Soluo:

2 21 1

2 2cm cmK M v I

2

2 21 1

2 2

CMcm

vK M v M R

R

2

cmK M v

Exemplo 2 Velocidade de um ioi. Um ioi feito enrolando-se um fio diversas vezes em

torno de um cilindro de massa M e raio R.

Mantm-se presa a extremidade enquanto o

cilindro liberado sem velocidade inicial. O fio se

desenrola, mas no desliza nem se dilata medida

que o cilindro cai e gira. Use consideraes de

energia para achar a velocidade do centro de massa

vCM do cilindro slido depois que ele caiu a uma

distncia h.

Soluo:

2 21 1

2 2cm cmK M v I

21

2

CMv I M RR

2

2 2

2

1 1 1

2 2 2

CMcm

vK M v M R

R

2

2

3

4cmK M v

Aplicando a conservao da energia:

1 1 2 2K U K U


22

230 04

cmM g h M v

4

3cmv g h

Exemplo 3 Competio entre corpos girando. Em uma demosntrao durante a aula de

fsica, o professor faz uma competio de vrios corpos rgidos redondos, deixando-os rolar do alto

de um plano inclinado. Qual a forma do corpo que

alcana primeiro a parte inferior?

Soluo:

1 1 20 0K U M g h U

2 2

2

1 1

2 2cm cmK M v I

1 1 2 2K U K U

2 21 10 02 2

cm cmM g h M v I

Chamando de: 2

cmI c M R 2

2 21 1

2 2

cmcm

vM g h M v c M R

R

2 21 1

2 2cm cmM g h M v M v c

21 2

12 1

cm cm

ghM g h M v c v

c

Todos os cilindros slidos possuem a

mesma velocidade no ponto inferior do plano,

mesmo quando possuem massas e raios diferentes,

pois eles possuem o mesmo valor da constante c.

Todas as esferas slidas possuem a mesma

velocidade na base do plano. Quando menor o

valor de c maior a velocidade do corpo quando ele

chega na parte inferior do plano. Observando a

tabela de momento de inrcia, vemos que a ordem

de chegada do plano : Qualquer esfera macia,

qualquer cilindro macio, qualquer esfera oca com

parede fina ou casca esfrica e, finalmente,

qualquer casca cilndrica.

Exemplo 4 Acelerao de um ioi. Ache a acelerao de cima para baixo do ioi e a

tenso no fio.

Soluo: A equao para o movimento de

translao do centro de massa :

cmyF M g T M a

O momento de inrcia em relao a um

eixo que passa pelo centro de massa:

21

2I M R

Somente a fora de tenso possui torque

em relao a um eixo que passa pelo centro de

massa :

21

2cmT R I T R M R

Como o fio se desenrola sem se deslizar:

CMv R

CMCM

aa R

R

1

2cma

T M R

1

2cmT M a

cmM g T M a

1

2cm cmM g M a M a

1

2cm cmM g M a M a

3 2

2 3cm cmM g M a a g

1

2cmT M a

1 2

2 3T M g

2

3T M g


23

Exemplo 5 Acelerao de uma esfera rolando. Uma esfera de bliche slida rola sem

deslizar para baixo de uma rampa ao longo de uma

guia. O ngulo de inclinao da rampa em relao

horizontal . Qual a acelerao da bola? Considere a bola uma esfera homognea slida,

desprezando seus orifcios.

Soluo: A figura mostra o diagrama de corpo

livre, mostrando o sentido positivo das

coordenadas.

Usando o momento de inrcia da esfera

slida:

22

5I M R

Equaes de translao e rotao do

centro de massa e chamando de f a fora de atrito:

cmxF M g sen f M a

22

5cmf R I f R M R

Como:

CMCM

aa R

R

Substituindo, teremos:

2

5cmf M a

cmM g sen f M a

2

5cm cmM g sen M a M a

2

5cm cmM g sen M a M a

7 5

5 7cm cmM g sen M a a g sen

2 2 5

5 5 7cmf M a f M g sen

2

7f M g sen

Coeficiente de atrito:

2

7

cos

M g senf

N M g

2

7tg

Trabalho e potncia no movimento de rotao Podemos escrever:

tandW F ds ds R d

tandW F R d

dW d 2

1

W d

Podemos desenvolver:

dW d d

dW I d dW I ddt

ddW I d

dt

dW I d 2

1

W I d

2 2

2 1

1 1

2 2totW I I

dW d

dt dt

P

Exemplo 6 Um anncio fazendo

propaganda da potncia desenvolvida pelo motor

de um automvel afirma que o motor desenvolve

1.49.105W para uma rotao de 6000 rpm. Qual

o torque desenvolvido pelo motor?

Soluo:

PP

60006000

60f rpm Hz


24

100f Hz

2 2 100 200rad

fs

51.49 10

200

237N m Exemplo 7 - Um motor eltrico

desenvolve um torque constante de = 10 N.m sobre o esmeril montado no seu eixo motor. O

momento de inrcia I = 2.0 kg.m. Sabendo que o

sistema comea a se mover a partir do repouso,

calcule o trabalho realizado pelo motor em 8.0 s e

a energia cintica no instante final. Qual a potncia

mdia desenvolvida pelo motor?

Soluo:

II

2

10

2

rad

s

t

5 8 40rad

s

2 21 1 2 40 16002 2

K I K K J

2 21 1 5 8 1602 2

t rad

10 160 1600W W W J 1600

2008

WP P P W

t

A potncia instantnea P = no constante,

porque cresce continuamente. Porm podemos

calcular o trabalho total por: 2 2

1 1

t t

t t

W P dt W dt

2

1

8

0

10 5

t

t

W t dt tdt

82

0

50 16002

t

t

tW W J

Momento angular e energia de rotao

Lembremos que uma grandeza anloga ao

momento linear p de uma partcula o momento

angular, que representamos por L . Definimos como:

L r p

L m v r sen

L m v l Pode-se mostrar que a taxa de variao do

momento angular igual ao torque da fora

resultante:

dL dr dpp r

dt dt dt

dL dr mdvmv r

dt dt dt

0

dLv mv r ma

dt

dLr F

dt

dL

dt


25

Para um corpo rgido de i partculas, o

momento angular de cada uma ser:

i i i iL m v r

i i i i iL m r r 2

i i i iL m r 2

i i i iL L L m r

L I


26

Exemplo 1 A hlice da turbina de um motor a jato possui momento de inrcia 2.5 kg.m

em torno do eixo de rotao. Quando a turbina

comea a girar, sua velocidade angular em funo

do tempo dada por 2 3400 t rad s

(a) Calcule o momento angular da hlice em

funo do tempo e ache seu valor em t = 3.0 s.

(b) Determine o torque resultante que atua

sobre a hlice em funo do tempo e calcule seu

valor para t = 3.0 s.

Soluo:

(a) 22.5 400L I L t

21000L t

2

23 1000 3 9000kg m

L t Ls

(b) 1000 2dL

tdt

2000 t

3 2000 3 6000t N m

Conservao do momento angular

Princpio da conservao do momento angular:

Esse princpio vale em todas escalas, desde o

sistema atmico como o planetrio e decorre da

equao:

dL

dt

Quando 0 0ii

dL

dt

Podemos escrever tambm:

1 1 2 2I I

Exemplo 2 Qualquer um pode ser bailarino. Um professor de fsica acrobata est de

p sobre o centro de uma mesa girante, mantendo

seus braos estendidos horizontalmente com um

haltere de 5.0 kg em cada mo.

Ele est girando em torno de um eixo

vertical completando uma volta a cada 2.0 s.

Calcule a nova velocidade angular do professor

quando ele aproxima os dois halteres do seu

estmago e discuta como isso modifica a sua

energia cintica. Seu momento de inrcia (sem os

halteres) igual a 3.0 kg.m quando seus braos

esto distendidos para fora, diminuindo para 2.2

kg.m quando suas mos esto prximas do seu

estmago. Os halteres esto inicialmente a uma

distncia de 1.0 m do eixo e a distncia final

igual a 0.20 m. Considere o halteres como

partculas.

Soluo

prof halteresI I I

2

1 3 2 5 1I 2

1 13I kg m 2

2 2.2 2 5 0.2I 2

2 2.6I kg m

1 12

2

radf f Hz f

T s

1 1 2 2I I

12 1 2 2

2

135

2.6

I rad

I s

12 1 2 2

2

130.5 2.5

2.6

If f f f Hz

I

2 2

1 1 1 1 1

1 113 64

2 2K I K K J

22

2 2 2 2 1

1 12.6 5 320

2 2K I K K J

Exemplo 3 A figura mostra 2 discos, um deles o volante de um motor e o outro um

disco ligado a um eixo de transmisso. Seus

momentos de inrcia so IA e IB, respectivamente;

inicialmente eles esto girando com a mesma

velocidade angular A e B, respectivamente. A seguir empurramos os dois discos um contra o


27

outro aplicando foras que atuam ao longo do eixo,

de modo que sobre nenhum dos dois discos surge

torque em relao ao eixo. Os discos permanecem

unidos um contra o outro e atingem uma

velocidade angular final . Deduza uma expresso para .

Soluo: O nico torque que atua sobre cada disco o

torque que cada disco exerce sobre o outro disco;

no existe nenhum torque externo. Logo o

momento angular total do sistema dos dois discos

o mesmo antes e depois de eles serem unidos. No

equilbrio final eles giram juntos como se

constitussem um nico corpo com momento de

inrcia:

A BI I I

A conservao do momento angular fornece:

A A B BI I I

A A B BI I

I

A A B B

A B

I I

I I

Exemplo 4 No exemplo anterior, suponha que o volante A tenha massa de 2.0 kg,

um raio de 0.20 m e uma velocidade angular inicial

de 200 rad/s. Calcule a velocidade angular comum

final depois que os discos ficam em contato. A energia cintica se conserva nesse processo?

Soluo:

2 2 21 1 2 0.2 0.0402 2

A A A A AI m r I I kg m

2 2 21 1 4 0.1 0.0202 2

B B B B BI m r I I kg m

A A B B

A B

I I

I I

0.04 50 0.02 200

0.04 0.02

100rad

s

2 2

1

1 1

2 2A A B BK I I

2 2

1

1 10.04 50 0.02 200

2 2K

1 450K J

221

2A BK I I

221

0.04 0.02 1002

K

2 300K J Um tero da energia foi perdida na

coliso angular, o anlogo rotacional de uma coliso linear completamente inelstica. No

deveramos esperar conservao da energia

cintica, embora a fora externa resultante e o

torque resultante sejam nulos, porque existem

foras internas no conservativas (foras de atrito)

que atuam enquanti os dois discos comeam a girar

unidos e tendem a girar com uma velocidade

angular comum.

Exemplo 5 Momento angular em uma ao policial. Uma porta de largura 1 m e massa

de 15 kg articulada com dobradias em um dos

lados de modo que possa girar sem atrito em torno

de um eixo vertical. Ela inicialmente no est

aberta. Um policial d um tiro com uma bala de 10

g e velocidade de 400 m/s exatamente no canto da

porta. Calcule a velocidade angular da porta

imediatamente depois que a bala penetra na porta.

A energia cintica se conserva?

Soluo: Considere um sistema formado pela porta

juntamente com a bala em seu interior. No existe

nenhum torque externo em torno do eixo definido

pelas dobradias, de modo que o momento angular

em torno desse eixo deve se conservar. O

momento angular da bala :


28

0.01 400 0.5L m v l L 22L kg m s

O momento angular final :

L I

porta balaI I I

2

2

3

p

bala

m dI m l

2215 1 0.010 0.5

3I

25.0025I kg m

m v LL I

I

20.40

5.0025

rad

s

A coliso entre a porta e a bala inelstica

porque foras no conservativas atuam durante o

impacto da bala. Logo, no esperamos que haja

conservao da energia cintica. Para conferirmos,

calculamos a energia cintica inicial e final:

2 2

1 1

1 10.010 400

2 2K m v K

1 800K J

2

2

1

2K I

2

2

15.0025 0.4

2K

2 0.40K J

A energia cintica final apenas 1/2000 da

energia cintica inicial.

Exemplo 6 - Determinar, em cada caso, o momento angular para as seguintes situaes:

(a) um carro de 1200 kg percorre no

sentido anti-horrio um crculo com 20 m de raio

com velocidade de 15 m/s.

(b) o carro mencionado desloca-se com

velocidade 15v m s i sobre a reta y = y0 =20m, paralela ao eixo x.

(c) um disco, no plano xy, com raio de 20

m e a massa de 1200 kg, girando a 0.75 rad/s em

torno do seu eixo, que coincide com o eixo z.

Soluo:

(a) L r p L r m v k

5 2 20 1200 15 3.6 10L k L kg m s k (b)

0 r x i y j r x i y j

p m v p p i

0 L r p L x i y j p i

0L y p k

5 2 3.6 10L kg m s k (c) L I

21 2

L m R k

21 1200 20 0.752

L k

5 2 1.8 10L kg m s k Exemplo 7 - A mquina de Atwood

tem dois corpos de massa m1 e m2 ( sendo m1 maior

que m2), ligados por um cordel de massa

desprezvel que passa por uma polia cujos

rolamentos no oferecem atrito. A polia um disco

uniforme, de massa M e raio R. O cordel no

escorrega na polia. Determinar a acelerao

angular da polia e a acelerao dos dois corpos

pela equao:

,

1

N

i ext

i

dL

dt

Soluo:

,

1

N

i ext

i

dL

dt

1 2z pL L L L

1 2zL I m v R m v R

, 1 2z res m g R m g R

,Z

z res

dL

dt

1 2 1 2d

m g R m g R I m v R m v Rdt

1 2 1 2m g R m g R I m a R m a R


29

21 2 1 21

2

am m g R M R m m a R

R

1 2

1 2

1

2

m ma g

M m m

Exemplo 8 Um disco gira em torno de um eixo sem atrito, que coincide com o respectivo

eixo de simetria, com velocidade angular inicial i, como mostra a figura. O seu momento de inrcia

em relao ao eixo I1. Num certo instante, o

disco cai sobre o outro, de momento de inrcia I2,

montado sobre o mesmo eixo. Graas ao atrito

entre as duas superfcies em contato, os dois discos

atingem uma velocidade angular comum aos dois,

f. Calcular essa velocidade angular.

Soluo: A velocidade angular final est relacionada

com a inicial pela conservao do momento

angular:

f iL L

1 2 1f iI I I

1

1 2

f i

I

I I

Exemplo 9 Um carrossel com 2 m de raio e 500 kg.m

2 de momento de inrcia gira em

torno de seu eixo, sem atrito, completando uma

volta a cada 5 s. Uma criana, com 25 kg, est

inicialmente no centro do carrossel e depois

caminha at a borda. Calcular a velocidade angular

que ter, ento, o carrossel.

Soluo: Pela conservao do momento angular:

f iL L

, ,sis f f sis i iI I 2

sis m c mI I I I m r

2m f m iI m R I

2

mf i

m

I

I m R

2

500

500 25 2f i

5

6f i

5 1 1

6 5 6f f

rev

s

Exemplo 10 A criana mencionada no exemplo anterior corre com velocidade 2.5 m/s

sobre uma tangente beira da plataforma do

carrossel, que est imvel, e pula para a

plataforma. Calcular a velocidade angular final da

criana no carrossel.

Soluo: Momento angular inicial da criana correndo

em relao ao centro da plataforma do carrossel:

iL m v R

Expresso do momento angular final do

sistema criana-carrossel em termos da velocidade

angular final f:

2f m fL m r I Igualando as expresses:

f iL L

2 m fm R I m v R

2f

m

m v R

m R I

0.208frad

s

Exemplo 11 Uma partcula de massa m descreve, com velocidade v0, um crculo de raio

r0 sobre a superfcie de uma mesa horizontal sem

atrito. A partcula est presa a um fio que passa por

um buraco na mesa, no centro do crculo. O fio

lentamente puxado para baixo, de modo que a

partcula acaba descrevendo um crculo de raio rf.


30

(a) Calcular a velocidade final em termos de r0,

v0 e rf.

(b) Calcular a tenso T no fio quando a

partcula descreve um crculo de raio rf em termos

de m, r e do momento angular 0 0 0L m v r .

(c) Calcule o trabalho feito pela partcula pela

tenso T, integrando T dr de r0 at rf. Dar a resposta em termos de r0, rf e L0.

Soluo:

(a) A conservao do momento angular

relaciona as velocidades final inicial e os raios

inicial e final:

0fL L

00 0 0f f f

f

rm v r m v r v v

r

(b) Como ii

F m a

2vT m

r

0 0 0f fm v r m v r L

0Lvm r

2

02

L

v m rT m T m

r r

2

0

3

LT

m r

(c) O trabalho :

rdW T dr dW T dr

2

0

3r

LT

m r

0

2 2

0 0

3 3

fr

r

L LdW dr W dr

m r m r

0

2

0

22

fr r

r r

LW

m r

2

0

2 2

0

1 1

2 f

LW

m r r

Exemplo 12 Uma barra de massa M e comprimento d pode girar em torno de um eixo

fixo a uma de suas extremidades. Uma bola de

massa plstica, com massa m e velocidade v, atinge

a barra a uma distncia x do eixo e fica grudada na

barra.

Achar a razo entre a energia final e a energia

inicial do sistema.

Soluo: 1. Energia cintica depois da coliso em

termos do momento angular Li e do momento de

inrcia Ido sistema bola-massa:

2

2

f

f

LE

I

2. Conservao do momento angular para relacionar Li a m, v e x:

f i f iL L L L m v x

3. O momento de inrcia I:

2 21

3I m x M d

4. As expresses de Lf e de Ina equao de Ef ficam:

22

2 212 23

f

f f

L m v xE E

Im x M d

2 2 2

2 2

3

2 3f

m v xE

m x M d

5. A razo entre a energia cintica depois da coliso e a energia inicial da bola de massa

plstica ento: 2 2 2

2 2

2

3

2 3

1

2

f

i

m v x

E m x M d

Em v

2

2 2

3

3

f

i

E m x

E m x M d


31

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