Aula3 cap 02
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Estatística e Probabilidade
Prof. Dr. Alysson Steimacher
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Aula 3 – Cap 02
Estatística Descritiva
Estatística e Probabilidade
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estudaremos medidas de tendência central, medidas de variação
e medidas de posição.
Nesta aula...
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Medidas de tendência central
Uma medida de tendência central é um valor que representa uma entrada típica, ou central, de um conjunto de dados.
Os três tipos de medidas de tendência central mais usadas são:
• Média • Mediana • Moda
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MédiaA média de um conjunto de dados éa soma de toda as entradas de dados dividida pelo números de entradas.
Em uma população:
Em uma amostra:
Dica de estudo
Média de uma amostra
Média de uma população
μ
Número de entradas em uma amostra
n
Número de entradas em uma população
N
Variável que representa uma entrada de dados
x
Indica uma soma de valores
Σ
DescriçãoSímbolo
x
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A Mediana de um conjunto de dados é o dado que fica no meio quando as entradas são colocadas em ordem crescente ou decrescente.
Mediana
Moda
A Moda de um conjunto de dados é o dado que ocorre com maior freqüência.
Se nenhuma entrada é repetida, o conjunto de dados não possui moda.
Se duas entradas ocorrem com freqüência elevada → dados são bimodais
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0 2 2 2 3 4 4 6 40
2 4 2 0 40 2 4 3 6Calcule a média, a mediana e a moda.
Média:
Mediana: Ordene os dados.
O valor que fica no meio é 3, logo a mediana é 3.
Moda: A moda é 2, pois esse é o valor que ocorre mais vezes.
Um instrutor registra a média de faltas de seus alunos emdeterminado semestre. Em uma amostra aleatória, os dados são:
Exemplo...
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Exemplo...Em um debate político pediu-se que uma amostra dos membros do público citasse o partido a qual eles pertenciam. As respostas estão na Tabela abaixo:
21PMDB9Outros
56PSDB34PT
frequênciaPartido Político Qual é a moda das respostas?
A moda é a única medida de tendência central que pode ser utilizada para descrever dados no nível nominal de medida.
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Uma média ponderada é a média de um conjunto de dados cujas entradas tem pesos variáveis. Uma média ponderada é dada por:
∑∑=
wwx
x).(
Onde w é o peso de cada entrada
Média Ponderada
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Prof. Dr. Alysson SteimacherΣw=1
0,05
0,10,2
0,150,5
Pesos, w
Σ(xw)=8,86
10,0
9,88,2
9,68,6
notas,x
0,98Laboratório de computação
1,64Exame final
0,5Trabalho extra-classe
1,44Exame no meio do semestre
4,3Média dos testes
xwFonte
Exemplo...Você está fazendo uma disciplina na qual sua nota final é composta por:
Assim, sua média ponderada para a disciplina é de 88,6
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A média de uma distribuição de freqüências de uma amostra éaproximada por:
nfx
x ∑= ).(
Onde x e f são os pontos médios e freqüências, respectivamente.
∑= fn
Média de uma distribuição de freqüência
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Aspecto das distribuições de freqüência As distribuições de frequência podem ser:
Simétricas: Quando pudermos traçar uma linha vertical pelo ponto médio do gráfico e as duas metades forem iguais.
As distribuições de freqüência podem ser:
Simétricas: Quando todas as entradas, ou classes na distribuição tiverem freqüências iguais
Uniforme:
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Média > Mediana Média < Mediana
Se a ‘cauda’ do gráfico se prolongar mais para a direita, a distribuição échamada de assimétrica à direita.
Assimétricas à direita:
Se a ‘cauda’ do gráfico se prolongar mais para a esquerda, a distribuição échamada de assimétrica à esquerda.
Assimétricas à esquerda:
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Medidas de variação
• Desvio, • Variância e• Desvio padrão
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O desvio de uma entrada x em um conjunto de dados de uma população ou amostra é a diferença entre a entrada e a média (μ ou ) do conjunto de dados
Desvio populacional
Em uma população, o desvio de cada valor x é:
Em uma amostra, o desvio de cada valor x é:
x
Como a soma dos desvios de todas as entradas é igual a zero, não faz sentido determinar a média dos desvios.
Desta maneira, você pode elevar ao quadrado cada desvio e obter a média...
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Variância populacional
( )N
x∑ −=
22 μ
σ
É a média da soma dos quadrados dos desvios de um conjunto de dados de uma população com N entradas, ou seja
Desvio Padrão populacional
( )N
x∑ −==
22 μ
σσ
É a raiz quadrada da variância populacional:
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Variância amostralA média dos quadrados dos desvios padrão é chamada de variância amostral. Para um conjunto de dados de uma amostra com n entradas é:
Desvio Padrão amostral
Uma desvantagem da variância consiste no fato de suas unidades normalmente não terem sentido (como dólares ao quadrado, por exemplo). Assim, pode-se retornar a unidade original dos dados tomando sua raiz quadrada.
( )1
22
−
−= ∑
nxx
s
( )1
22
−
−== ∑
nxx
ss
É a raiz quadrada da variância amostral:
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Resumindo...Para obter a variância e o desvio padrão
1. Obtenha a média do conjunto de dados
2. Obtenha o desvio de cada entrada
3. Eleve ao quadrado cada desvio
4. Some os resultados para obter a soma dos quadrados
5. Divida por (n – 1) para obter a variância
6. Determine a raiz quadrada da variância para obter o desvio padrão
( )1
22
−
−= ∑
nxx
s
( )1
22
−
−== ∑
nxx
ss
( )2x x−∑
xxx −=
( )2x x−
xx
n= ∑
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Existe ainda...
Desvio Padrão para dados agrupados
Grandes conjuntos de dados são normalmente mais bem representados por uma distribuição de freqüência.
A fórmula para o desvio padrão da amostra de uma distribuição de freqüência é
( )1
2
−
−= ∑
nfxx
s
na qual n=Σf é o número de entradas no conjunto de dados.
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Definição:
Os três quartis Q1, Q2 e Q3 dividem aproximadamente um conjunto ordenado de dados em quatro partes.
• 1/4 dos dados ficam dentro ou abaixo do primeiro quartil
• metade dos dados ficam dentro ou abaixo do segundo quartil (éigual a mediana do conjunto de dados)
• ¾ dos dados ficam dentro ou abaixo de terceiro quartil
Medidas de PosiçãoSão utilizadas para identificar a posição de uma entrada dentro de um conjunto de dados. Quartis, por exemplo, são números que dividem em partes iguais um conjunto de dados ordenados.
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A pontuação nos testes de 15 empregados envolvidos em um curso de treinamento estão dispostos abaixo. Obtenha Q1, Q2 e Q3.
13 9 18 15 14 21 7 10 11 20 5 18 37 16 17
5 7 9 10 11 13 14 15 16 17 18 18 20 21 37
Q1Q2 Q3
Metade inferior Metade superior
Exemplo:
Q2 = Mediana Q1 = Mediana dos dadosabaixo de Q2
Q3 = Mediana dos dadosacima de Q2
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Amplitude interquartil (AIQ)A amplitude interquartil (AIQ) de um conjunto de dados é a diferença entre o primeiro e o terceiro quartis.
A AIQ é uma medida da variação que fornece uma idéia de quanto os 50% médios dos dados variam.
A AIQ também serve para identificar dados estranhos (discrepantes).
Qualquer valor acima de 1,5 AIQ à esquerda de Q1 ou a direita de Q3 é estranho.
No exemplo anterior, 37 é um dado estranho as pontuações.
Amplitude interquartil (AIQ)= Q3 – Q1
(AIQ)= Q3 – Q1 = 18-10 = 8 (as pontuações no teste na metade do conjunto de dados varia em 8 pontos)
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Outras medidas de posição...
• Decis → Divide o conjunto de dados em dez partes iguais (D1, D2, D3.......D9)
• Percis → Divide o conjunto de dados em cem partes iguais (P1, P2, P3.......P99)