Princípios da Conversão Eletromecânica de Energia

Introdução: O processo da conversão eletromecânica de

energia realiza-se através do campo elétrico e/ou magnético de um dispositivo de conversão.

Embora os vários dispositivos de conversão funcionem baseados em princípios similares, as estruturas dos dispositivos dependem da sua função.

Os transdutores são dispositivos que se empregam em medição e controle.Normalmente funcionam em condições lineares, saída proporcional à entrada, e com sinais relativamente pequenos. Ex: microfones taquímetros, acelerômetros, sensores de temperatura, de pressão, etc.

•Os atuadores são dispositivos que produzem força. Como exemplos têm-se os relés, eletroímãs, motores de passo etc.

•A terceira categoria de dispositivos inclui equipamentos de conversão contínua de energia, tais como motores e geradores.

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O conceito fundamental para a análise da conversão eletromecânica é o campo de acoplamento. Este campo corresponde ao campo magnético na maioria dos dispositivos.

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Princípio da Conservação de Energia

O princípio da conservação de energia afirma que esta não é criada nem destruída,apenas muda de forma. Constitui uma ferramenta conveniente para determinar as características do acoplamento eletromecânico. É também necessário conhecer as leis do campo elétrico e magnético, as leis dos circuitos elétricos e magnéticos, e a mecânica newtoniana.

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A conversão eletromecânica de energia envolve energia em quatro formas e o princípio de conservação de energia leva à seguinte relação entre essas formas:

= + +Entrada de

Energia Elétrica

Saída de Energia

Mecânica

Energia Magnética Armazenad

a

Energia Convertida em calor

Esta equação é aplicável a todos os dispositivos de conversão. Está escrita na convenção motor. Nesta convenção todas as parcelas têm valores positivos em funcionamento motor. Em funcionamento gerador esta equação continua a ter validade,mas as parcelas referentes à energia elétrica e mecânica tomam valores negativos.

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A conversão irreversível de energia em calor tem três causas:

1. Perdas por efeito de Joule nas resistências dos enrolamentos que constituem parte dos dispositivos. Estas perdas são freqüentemente chamadas de perdas no cobre.

2. Parte da potência mecânica desenvolvida pelo dispositivo é absorvida no atrito e ventilação e então convertida em calor. Estas perdas são chamadas de perdas mecânicas.

3. Perdas magnéticas (em dispositivos magnéticos). Estas perdas estão associadas ao campo de acoplamento. (histerese e correntes de Focault)

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Entrada de Energia

Elétrica - perdas

elétricas

Saída de Energia

Mecânica + perdas

mecânicas

Energia Magnética

Armazenada + perdas

magnéticas

Desta forma o Principio da Conservação de Energia pode ser equacionado da seguinte forma:

O primeiro membro desta equação pode ser expresso em termos das correntes e tensões nos circuitos elétricos do dispositivo de acoplamento.

= +

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Representação geral da conversão eletromecânica de energia.

Pode escrever-se: vidt → diferencial de energia de entrada da parte elétrica ri2 dt → diferencial de energia de perdas de Joule

dWele = vidt – i2r dt =(v - ri)idt = e.i.dt (1)

é o diferencial de energia elétrica líquida na entrada do dispositivo de acoplamento

Perdas Mecânicas

Sistema Elétrico

Sistema de Conversão de Energia

Sistema Mecânicov e

r

Perdas Joule

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Para que o dispositivo de acoplamento possa absorver energia do circuito elétrico, o campo de acoplamento deve produzir uma reação sobre o circuito. Esta reação é a força eletromotriz indicada pela tensão “e”. A reação sobre a entrada é uma parte essencial do processo de transferência de energia entre um circuito elétrico e outro meio qualquer.

Embora presentes, a resistência dos enrolamentos, o atrito e ventilação do sistema mecânico, eles não representam parte significativa no processo de conversão. Este processo envolve essencialmente o campo de acoplamento e sua ação e reação nos sistemas elétrico e mecânico.

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Na forma diferencial, temos: dWele = dWcmp + dWmec (2)

Onde:dWele - diferencial de energia

recebida pelo campo de acoplamento.dWcmp- diferencial de energia do

campo de acoplamento.dWmec - diferencial de energia

convertida em mecânica.

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Para a análise completa de um dispositivo eletromecânico, além da equação (2) que traduz o princípio de conversão de energia, deverá ter-se em conta as equações que traduzem a interligação ao sistema elétrico e as equações que o interligam ao sistema mecânico.

A interligação ao sistema elétrico pode ser feita por uma ou mais entradas, correspondendo a cada uma delas uma equação diferencial.

A interligação ao sistema mecânico é na maioria dos casos feita através de uma única via (apenas um grau de liberdade) correspondendo a esta interligação apenas uma variável. Esta interligação é traduzida pela 2ª lei de Newton.

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Quando o dispositivo for de natureza magnética, as equações que traduzem a interligação elétrica são deduzidas da Lei de Faraday.

Portanto, Para a análise de um dispositivo eletromecânico de natureza magnética deverá ter-se como base:

◦ Equação (2)◦ Lei de Faraday◦ 2ª Lei de Newton

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Equações da Força Mecânica e Energia no Campo de Acoplamento.

Considere os dispositivos eletromecânicos a seguir: um de translação (Fig.1) e outro de rotação (Fig.2).

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Mola

x

n

i

Fig.1

Peça móvel

Fmec

Fcmp

n

i

Fig.2

Φ

Na figura 1, a energia magnética depende das grandezas elétricas(λ ou i) e da posição da peça móvel x.

Desta forma, a energia magnética Wcmp armazenada na carcaça é uma função do fluxo λ, criado pela corrente i, e da relutância R do circuito que por sua vez também é função da posição x da armadura. Assim a energia magnética é função de 2 quantidades.

Wcmp = f (λ, x) (3)

A força eletromecânica Fmec exercida sobre a armadura deve ser tal que mantenha a mesma em uma posição x e tem uma expressão simples em função desta energia, como veremos.

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Na figura 2, tem-se o mesmo princípio. A única diferença está no parâmetro geométrico que define a posição do rotor, que é agora o ângulo θ e que as variações de energia magnética armazenada no circuito produzem agora um binário (ou torque) eletromagnético T. Também aqui se encontrará uma expressão fácil para este torque em função da energia magnética.

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Equações da força eletromagnética em função da energia.Considere-se o caso elementar da figura 1. Considerando as perdas de Joule concentradas na resistência r, tem-se:

A energia elétrica elementar fornecida pela fonte ao campo, vale:

dWele = e i dt = i dψ (4)

dt

de

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Se a peça móvel se deslocar uma distância dx, o diferencial de energia mecânica consumido vale:

dWmec = Fmec.dx (5)

Nestas condições a expressão que traduz o princípio da conservação de energia toma a forma:

i dψ = Fmec dx + dWcmp (6)

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O diferencial da função energia magnética escreve-se, na forma geral:

(7)

Substituindo a equação (7) na equação (6) tem-se:

(8)ou:

(9)

dxx

Wd

WxdW cmpcmp

cmp

),(

dxx

Wd

WdxFid cmpcmp

mec

0

dxx

WFdi

W cmpmec

cmp

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As variáveis ψ e x são varáveis independentes. Assim podem variar independentemente uma da outra. Como conseqüência, para que a igualdade 9 seja sempre verdadeira é necessário que as funções que multiplicam dψ e dx sejam sempre nulas. Tem-se:

(10)

(11)x

xWF

xWi

cmpmec

cmp

),(

),(

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A expressão (11) traduz a força como sendo a derivada parcial da função energia magnética em função da posição. Esta função energia magnética é uma função de estado e deverá estar escrita em termos do fluxo concatenado ψ e da coordenada de posição x. A força mecânica Fmec tem sinal negativo indicando que é uma força de atração, tendendo a “encurtar” o entreferro do dispositivo. As equações 10 e 11 são as chamadas equações paramétricas em termos da função de estado ENERGIA.

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Função Co-Energia:

◦ Função de estado obtida para expressar a energia no campo de acoplamento ou energia magnética (Wcmp ), bem como a força mecânica Fmec em termos da corrente i na bobina e do deslocamento x da parte móvel.

◦ Desta forma, definimos:

◦ W” cmp = f(i,x)

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Energia e Co-Energia

0)()( diWcmp

)()(" cmpcmp WiiW

i

λ

iWiW cmpcmp )()("

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Sendo: d(iλ) = idλ + λdi e dWcmp = idλ – Fmec .dx

chega-se a :

dW”cmp (i,x) = λdi +

Fmec .dx

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O diferencial da Co-energia é :

Logo, chega-se a: (15)

(16)

dxx

Wdi

i

WxidW cmpcmp

cmp

""" ),(

x

xiWF

i

xiW

cmpmec

cmp

),(

),(

"

"

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As expressões (10,11) e (15,16) são equivalentes e válidas em todos os casos. Pode utilizar-se indiferentemente uma ou outra conforme o caso em que se escolha como variáveis independentes λ e x ou i e x. A função co-energia magnética é também uma função de estado. A força de origem eletromagnética pode ser assim calculada através da expressão 11 ou alternativamente pela expressão 16.

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Normalmente prefere utilizar-se a expressão co-energia magnética pois é função da corrente elétrica que é uma grandeza utilizada na teoria dos circuitos. É também mais fácil de medir do que os fluxos que são grandezas internas.

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Equações para Torque eletromagnético

Para um circuito magnético móvel em rotação, como o desenhado na figura 3, os resultados precedentes são aplicados diretamente ao torque eletromagnético T, apartir de raciocínios semelhantes.

dWmec=T dθ

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Se se considerar a função energia como uma função da posição θ e do fluxo λ,tem-se:

Se se considerar a função co-energia magnética função de i e θ , tem-se:

),(cmpW

T

),(" iW

T cmp

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Mostrar exemplos !

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Sistemas de campo magnético de excitação múltiplaO sistema deve ser descrito em termos de três variáveis independentes que podem ser os fluxos concatenados λ1 e λ2 e o ângulo mecânico θ, ou as correntes i1 e i2 e o ângulo θ, ou um conjunto híbrido de variáveis.

n

i1

Fig.3

i2

Φ

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Quando se utilizam os fluxos ligados, um raciocínio semelhante ao apresentado no número anterior permite concluir que as equações paramétricas são extensões das equações 10, 11, 15 e 16. Assim:

Onde a Função Energia, neste caso é:

),,(

),,(

),,(

21

2

212

1

211

cmp

cmp

cmp

WT

Wi

Wi

21

0 220 1121 ),,(

didiWcmp

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Quando se usam as correntes para descrever o estado do sistema, as equações paramétricas ficam:

Onde a Função Co-Energia, neste caso é:

),,(

),,(

),,(

21"

2

21"

2

1

21"

1

iiWT

i

iiW

i

iiW

cmp

cmp

cmp

21

0 220 1121" ),,(

iicmp didiiiW

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