AULA DE APOIO - 2FÍSICA–MATEMÁTICA I

Produto de convolução e afórmula da inversa

Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier

Assuntos da aula

1 Teorema da convolução

Enunciado e prova

Aplicação

2 Fórmula da inversa de Fourier

Preliminares

Enunciado em passos elementares

ProvasFísica-Matemática. Aula 2 / 20

Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier

Enunciado e provaAplicação

Nosso estudo sobre transformada de Fourier inicia com um resultadoimportante do ponto de vista de aplicações.

O produto de convolução de duas funções f e g em L1 é a função

f ∗ g(x) = 1√2π

∫ ∞−∞

f (x − y)g(y)dy . (1)

A integral ∫∞−∞ |f (x − y)g(y)| dy pode divergir em x e, nestes casos,a convolução não existe. A convolução sempre existe se f , g ∈ L1 e gé uma função contínua e limitada. Se f , g ∈ L1, então f ∗ g(x)existe para (quase) todo x ∈ R.

Física-Matemática. Aula 3 / 20

Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier

Enunciado e provaAplicação

Adicionamos às propriedades enunciadas na Aula anterior o seguinte

h. Se f , g ∈ L1, então f ∗ g ∈ L1 e f ∗ g(ξ) = f (ξ)g(ξ).

h. Pela desigualdade triangular

∫ ∞−∞|(f ∗ g) (x)| dx

onde a integral no interior do parênteses é ‖f ‖1, concluindo

‖f ∗ g‖1 ≤1√2π‖f ‖1 ‖g‖1 .

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Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier

Enunciado e provaAplicação

Adicionamos às propriedades enunciadas na Aula anterior o seguinte

h. Se f , g ∈ L1, então f ∗ g ∈ L1 e f ∗ g(ξ) = f (ξ)g(ξ).

h. Pela desigualdade triangular∫ ∞−∞|(f ∗ g) (x)| dx =

∫ ∞−∞

∣∣∣∣∣ 1√2π

∫ ∞−∞

f (x − y)g(y)dy∣∣∣∣∣ dx

onde a integral no interior do parênteses é ‖f ‖1, concluindo

‖f ∗ g‖1 ≤1√2π‖f ‖1 ‖g‖1 .

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Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier

Enunciado e provaAplicação

Adicionamos às propriedades enunciadas na Aula anterior o seguinte

h. Se f , g ∈ L1, então f ∗ g ∈ L1 e f ∗ g(ξ) = f (ξ)g(ξ).

h. Pela desigualdade triangular∫ ∞−∞|(f ∗ g) (x)| dx ≤ 1√

2π

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞|f (x − y)g(y)| dydx

onde a integral no interior do parênteses é ‖f ‖1, concluindo

‖f ∗ g‖1 ≤1√2π‖f ‖1 ‖g‖1 .

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Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier

Enunciado e provaAplicação

Adicionamos às propriedades enunciadas na Aula anterior o seguinte

h. Se f , g ∈ L1, então f ∗ g ∈ L1 e f ∗ g(ξ) = f (ξ)g(ξ).

h. Pela desigualdade triangular∫ ∞−∞|(f ∗ g) (x)| dx ≤ 1√

2π

∫ ∞−∞|g(y)|

(∫ ∞−∞|f (x − y)| dx

)dy

onde a integral no interior do parênteses é ‖f ‖1, concluindo

‖f ∗ g‖1 ≤1√2π‖f ‖1 ‖g‖1 .

Física-Matemática. Aula 4 / 20

Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier

Enunciado e provaAplicação

Adicionamos às propriedades enunciadas na Aula anterior o seguinte

h. Se f , g ∈ L1, então f ∗ g ∈ L1 e f ∗ g(ξ) = f (ξ)g(ξ).

h. Pela desigualdade triangular∫ ∞−∞|(f ∗ g) (x)| dx ≤ 1√

2π

∫ ∞−∞|g(y)|

(∫ ∞−∞|f (x − y)| dx

)dy

onde a integral no interior do parênteses é ‖f ‖1, concluindo

‖f ∗ g‖1 ≤1√2π‖f ‖1 ‖g‖1 .

Física-Matemática. Aula 4 / 20

Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier

Enunciado e provaAplicação

A troca de ordem de integração é justificada devido à integral duplaser absolutamente integravel. Analogamente,

f ∗ g(ξ) = 1√2π

∫ ∞−∞

( 1√2π

∫ ∞−∞

f (x − y)g(y)dy)

e−iξxdx

= 1√2π

∫ ∞−∞

g(y)( 1√

2π

∫ ∞−∞

f (x − y)e−iξ(x−y)dx)

e−iξydy

= f (ξ)g(ξ) . 2

Seja g(x) = a (f ∗ f ) (x) a convolução de f (x) =√2π(2a)−1 se

|x | ≤ a e f (x) = 0 se |x | > a, por ela mesma (veja Exemplo 1 daAula de Apoio anterior).

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Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier

Enunciado e provaAplicação

A troca de ordem de integração é justificada devido à integral duplaser absolutamente integravel. Analogamente,

f ∗ g(ξ) = 1√2π

∫ ∞−∞

( 1√2π

∫ ∞−∞

f (x − y)g(y)dy)

e−iξxdx

= 1√2π

∫ ∞−∞

g(y)( 1√

2π

∫ ∞−∞

f (x − y)e−iξ(x−y)dx)

e−iξydy

= f (ξ)g(ξ) . 2

Seja g(x) = a (f ∗ f ) (x) a convolução de f (x) =√2π(2a)−1 se

|x | ≤ a e f (x) = 0 se |x | > a, por ela mesma (veja Exemplo 1 daAula de Apoio anterior).

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Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier

Enunciado e provaAplicação

A troca de ordem de integração é justificada devido à integral duplaser absolutamente integravel. Analogamente,

f ∗ g(ξ) = 1√2π

∫ ∞−∞

( 1√2π

∫ ∞−∞

f (x − y)g(y)dy)

e−iξxdx

= 1√2π

∫ ∞−∞

g(y)( 1√

2π

∫ ∞−∞

f (x − y)e−iξ(x−y)dx)

e−iξydy

= f (ξ)g(ξ) . 2

Seja g(x) = a (f ∗ f ) (x) a convolução de f (x) =√2π(2a)−1 se

|x | ≤ a e f (x) = 0 se |x | > a, por ela mesma (veja Exemplo 1 daAula de Apoio anterior).

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Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier

Enunciado e provaAplicação

A troca de ordem de integração é justificada devido à integral duplaser absolutamente integravel. Analogamente,

f ∗ g(ξ) = 1√2π

∫ ∞−∞

( 1√2π

∫ ∞−∞

f (x − y)g(y)dy)

e−iξxdx

= 1√2π

∫ ∞−∞

g(y)( 1√

2π

∫ ∞−∞

f (x − y)e−iξ(x−y)dx)

e−iξydy

= f (ξ)g(ξ) . 2

Seja g(x) = a (f ∗ f ) (x) a convolução de f (x) =√2π(2a)−1 se

|x | ≤ a e f (x) = 0 se |x | > a, por ela mesma (veja Exemplo 1 daAula de Apoio anterior).

Física-Matemática. Aula 5 / 20

Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier

Enunciado e provaAplicação

Deixamos como exercício mostrar que g(x) =√π/2 (1− |x | /(2a))

para |x | ≤ 2a e g(x) = 0 se |x | > 2a. A transformada de Fourier deg é, pelo teorema da convolução,

g(ξ) = af (ξ)2 = asin2 aξ(aξ)2 .

Confirmamos o resultado por um cálculo direto

g(ξ) =

pela relação cos 2aξ = cos2 aξ − sin2 aξ = 1− 2 sin2 aξ.

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Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier

Enunciado e provaAplicação

Deixamos como exercício mostrar que g(x) =√π/2 (1− |x | /(2a))

para |x | ≤ 2a e g(x) = 0 se |x | > 2a. A transformada de Fourier deg é, pelo teorema da convolução,

g(ξ) = af (ξ)2 = asin2 aξ(aξ)2 .

Confirmamos o resultado por um cálculo direto

g(ξ) =

pela relação cos 2aξ = cos2 aξ − sin2 aξ = 1− 2 sin2 aξ.

Física-Matemática. Aula 6 / 20

Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier

Enunciado e provaAplicação

Deixamos como exercício mostrar que g(x) =√π/2 (1− |x | /(2a))

para |x | ≤ 2a e g(x) = 0 se |x | > 2a. A transformada de Fourier deg é, pelo teorema da convolução,

g(ξ) = af (ξ)2 = asin2 aξ(aξ)2 .

Confirmamos o resultado por um cálculo direto

g(ξ) = 12∫ 2a

−2a

(1− |x |2a

)e−iξxdx

pela relação cos 2aξ = cos2 aξ − sin2 aξ = 1− 2 sin2 aξ.

Física-Matemática. Aula 6 / 20

Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier

Enunciado e provaAplicação

Deixamos como exercício mostrar que g(x) =√π/2 (1− |x | /(2a))

para |x | ≤ 2a e g(x) = 0 se |x | > 2a. A transformada de Fourier deg é, pelo teorema da convolução,

g(ξ) = af (ξ)2 = asin2 aξ(aξ)2 .

Confirmamos o resultado por um cálculo direto

g(ξ) =∫ 2a

0

(1− x

2a

)cos ξx dx

pela relação cos 2aξ = cos2 aξ − sin2 aξ = 1− 2 sin2 aξ.

Física-Matemática. Aula 6 / 20

Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier

Enunciado e provaAplicação

Deixamos como exercício mostrar que g(x) =√π/2 (1− |x | /(2a))

para |x | ≤ 2a e g(x) = 0 se |x | > 2a. A transformada de Fourier deg é, pelo teorema da convolução,

g(ξ) = af (ξ)2 = asin2 aξ(aξ)2 .

Confirmamos o resultado por um cálculo direto

g(ξ) = (1− x2a)sin ξx

ξ

∣∣∣∣∣2a

0+ 1

2a∫ 2a

0

sin ξxξ

dx

pela relação cos 2aξ = cos2 aξ − sin2 aξ = 1− 2 sin2 aξ.

Física-Matemática. Aula 6 / 20

Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier

Enunciado e provaAplicação

Deixamos como exercício mostrar que g(x) =√π/2 (1− |x | /(2a))

para |x | ≤ 2a e g(x) = 0 se |x | > 2a. A transformada de Fourier deg é, pelo teorema da convolução,

g(ξ) = af (ξ)2 = asin2 aξ(aξ)2 .

Confirmamos o resultado por um cálculo direto

g(ξ) = a2

1− cos 2aξ(aξ)2

pela relação cos 2aξ = cos2 aξ − sin2 aξ = 1− 2 sin2 aξ.Física-Matemática. Aula 6 / 20

Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier

Enunciado e provaAplicação

Deixamos como exercício mostrar que g(x) =√π/2 (1− |x | /(2a))

para |x | ≤ 2a e g(x) = 0 se |x | > 2a. A transformada de Fourier deg é, pelo teorema da convolução,

g(ξ) = af (ξ)2 = asin2 aξ(aξ)2 .

Confirmamos o resultado por um cálculo direto

g(ξ) = asin2 aξ(aξ)2 ,

pela relação cos 2aξ = cos2 aξ − sin2 aξ = 1− 2 sin2 aξ.

Física-Matemática. Aula 6 / 20

Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier

Enunciado e provaAplicação

-4 -2 2 4x

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

g(x)a = 1/2, 1, 2

Física-Matemática. Aula 7 / 20

Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier

Enunciado e provaAplicação

-5 5ξ

0.5

1.0

1.5

2.0

g(ξ)a = 1/2, 1, 2

Física-Matemática. Aula 7 / 20

Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier

PreliminaresEnunciado em passos elementaresProvas

Até esse ponto o desenvolvimento da transformada de Fourier seguiuos mesmos passos das séries de Fourier. Desejamos escrever f ∈ L1

como a anti–transformada de Fourier de f (ξ): f (x) ?= (f )(x).Antecipamos que as mesmas dificuldades encontradas naconvergência das séries de Fourier devem estar presentes no contextoda transformada de Fourier.

Dependendo das hipóteses sobre f teremos que decidir entre asfórmulas (valor principal de Cauchy ou média de Cesàro)

f (x) = limT→∞∫ T

−Tf (ξ)e iξxdξ/

√2π

f (x) = limT→∞∫ T

−T

(1− |ξ|T

)f (ξ)e iξxdξ/

√2π

Física-Matemática. Aula 8 / 20

Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier

PreliminaresEnunciado em passos elementaresProvas

Nossa habilidade em aproximar uma função f ∈ L1, 2π-periódica, porum polinômio trigonométrico T (x) de grau N foi de imenso valor.Para a transformada de Fourier, as funções da forma

B(x) = 1√2π

∫ T

−Tb(ξ)e iξxdξ (2)

desempenham um papel análogo aos polinômios trigonométricos.

Observamos que B(x) difere de T (x) = ∑Nn=−N tne inx em alguns

aspectos. Como T (n) = tn se |n| ≤ N e T (n) = 0 se |n| > N , ahipótese

∑∞n=−∞ |tn| <∞, implica em T ∈ L1(T) para todo N .

Física-Matemática. Aula 9 / 20

Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier

PreliminaresEnunciado em passos elementaresProvas

Esta propriedade não é em geral satisfeita para a função B(x).Tomando b(ξ) =

√2π(2a)−1 se |ξ| ≤ a e b(ξ) = 0 se |ξ| > a,

obtemos uma função B(x) = f (−x) = sin ax/(ax) 6∈ L1.

Dado T > 0, seja para x 6= 0 (∆T (0) = T/√2π)

∆T (x) = T√2π

(sin Tx/2Tx/2

)2

Usamos a notação para enfatizar as similaridades com o polinômiotrigonométrico ∆N(x), núcleo de Fejér. Uma delas é (Exercício)

1√2π

∫ ∞−∞

∆T (x)dx = 1 .

Física-Matemática. Aula 10 / 20

Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier

PreliminaresEnunciado em passos elementaresProvas

Suponha f ∈ L1 e x é um ponto de continuidade para f .

i. Seja B(x) uma função do tipo (2) tal que ∫T−T |b(ξ)| dξ <∞.

Então f ∗ B(x) = ∫T−T b(ξ)f (ξ)e iξxdξ/

√2π ;

j. f ∗∆T (x) = ∫T−T

(1− |ξ|T

)f (ξ)e iξxdξ/

√2π → f (x) , quando

T →∞ ;k. Se (f )(x) def.= limT→∞

∫T−T f (ξ)e iξxdξ/

√2π existe, então este

limite é f (x) ;l. Se f (ξ) = O (1/ |ξ|) para |ξ| ≥ 1, então o limite em k. existe e

(f )(x) = f (x) .

Física-Matemática. Aula 11 / 20

Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier

PreliminaresEnunciado em passos elementaresProvas

-4 -2 2 4x

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

g∨(x)

T = 3

Física-Matemática. Aula 12 / 20

Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier

PreliminaresEnunciado em passos elementaresProvas

-4 -2 2 4x

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

g∨(x)

T = 5

Física-Matemática. Aula 12 / 20

Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier

PreliminaresEnunciado em passos elementaresProvas

-4 -2 2 4x

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

g∨(x)

T = 15

Física-Matemática. Aula 12 / 20

Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier

PreliminaresEnunciado em passos elementaresProvas

-4 -2 2 4x

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

g∨(x)

T = 3, 5, 15

Física-Matemática. Aula 12 / 20

Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier

PreliminaresEnunciado em passos elementaresProvas

-4 -2 2 4x

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

f∨(x)

T = 5

Física-Matemática. Aula 12 / 20

Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier

PreliminaresEnunciado em passos elementaresProvas

-4 -2 2 4x

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

f∨(x)

T = 15

Física-Matemática. Aula 12 / 20

Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier

PreliminaresEnunciado em passos elementaresProvas

-4 -2 2 4x

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

f∨(x)

T = 40

Física-Matemática. Aula 12 / 20

Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier

PreliminaresEnunciado em passos elementaresProvas

-4 -2 2 4x

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

f∨(x)

T = 70

Física-Matemática. Aula 12 / 20

Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier

PreliminaresEnunciado em passos elementaresProvas

-4 -2 2 4x

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

f∨(x)

T = 5, 15, 40, 70

Física-Matemática. Aula 12 / 20

Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier

PreliminaresEnunciado em passos elementaresProvas

i. A função B(x) é contínua (veja d.) e uniformemente limitada:

|B(x)| ≤ 1√2π

∫ T

−T|b(ξ)| dξ = 1√

2π‖b‖1

A convolução de f ∈ L1 com uma função contínua e limitada

|(f ∗ B) (x)| ≤ 1√2π

∫ ∞−∞|f (x − y)B(y)| dy ≤ ‖f ‖1 ‖b‖1

2π (3)

existe para todo x , e a estimativa permite a troca na ordem naintegração:

(f ∗ B) (x) = 1√2π

∫ ∞−∞

f (x − y) 1√2π

∫ T

−Tb(ξ)e iξydξdy

Física-Matemática. Aula 13 / 20

Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier

PreliminaresEnunciado em passos elementaresProvas

i. A função B(x) é contínua (veja d.) e uniformemente limitada:

|B(x)| ≤ 1√2π

∫ T

−T|b(ξ)| dξ = 1√

2π‖b‖1

A convolução de f ∈ L1 com uma função contínua e limitada

|(f ∗ B) (x)| ≤ 1√2π

∫ ∞−∞|f (x − y)B(y)| dy ≤ ‖f ‖1 ‖b‖1

2π (3)

existe para todo x , e a estimativa permite a troca na ordem naintegração:

(f ∗ B) (x) = 1√2π

∫ T

−Tb(ξ)e iξx 1√

2π

∫ ∞−∞

f (x − y)e−iξ(x−y)dydξ

Física-Matemática. Aula 13 / 20

Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier

PreliminaresEnunciado em passos elementaresProvas

i. A função B(x) é contínua (veja d.) e uniformemente limitada:

|B(x)| ≤ 1√2π

∫ T

−T|b(ξ)| dξ = 1√

2π‖b‖1

A convolução de f ∈ L1 com uma função contínua e limitada

|(f ∗ B) (x)| ≤ 1√2π

∫ ∞−∞|f (x − y)B(y)| dy ≤ ‖f ‖1 ‖b‖1

2π (3)

existe para todo x , e a estimativa permite a troca na ordem naintegração:

(f ∗ B) (x) = 1√2π

∫ T

−Tb(ξ)f (ξ)e iξxdξ .

Física-Matemática. Aula 13 / 20

Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier

PreliminaresEnunciado em passos elementaresProvas

j. Seja g(ξ) =√π/2(1− |ξ| /T ) se |ξ| ≤ T e g(ξ) = 0 se |ξ| > T ,

como na aplicação anterior (2a = T ). Então

g(−x) = g(x) = T2

sin2(Tx/2)(Tx/2)2 e

∆T (x) =√2/πg(x) = 1√

2π

∫ T

−T

(1− |ξ|T

)e iξxdξ

tem a forma de uma função B(x). Usando a propriedade i.,

f ∗∆T (x) = 1√2π

∫ T

−T

(1− |ξ|T

)f (ξ)e iξxdξ

Física-Matemática. Aula 14 / 20

Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier

PreliminaresEnunciado em passos elementaresProvas

E, pela normalização de ∆T (x)/√2π,

f ∗∆T (x)− f (x) = 1√2π

∫ ∞−∞

(f (x − y)− f (x)) ∆T (y)dy .

Sendo x um ponto de continuidade para f , dado ε > 0, existe δ > 0tal que |f (x − y)− f (x)| ≤ ε para todo |y | ≤ δ. Escrevemos

f ∗∆T (x)−f (x) = 1√2π

(∫ −δ−∞

+∫ δ

−δ+∫ ∞δ

)(f (x − y)− f (x)) ∆T (y)dy

Por definição temos que ∆T (x) ≤ 2√2/π

/(Tx 2

)e

|I1| ≤2π

( 1T δ2

∫ −δ−∞|f (x − y)|dy + |f (x)|

∫ −δ−∞

1Ty 2 dy

)

Física-Matemática. Aula 15 / 20

Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier

PreliminaresEnunciado em passos elementaresProvas

E, pela normalização de ∆T (x)/√2π,

f ∗∆T (x)− f (x) = 1√2π

∫ ∞−∞

(f (x − y)− f (x)) ∆T (y)dy .

Sendo x um ponto de continuidade para f , dado ε > 0, existe δ > 0tal que |f (x − y)− f (x)| ≤ ε para todo |y | ≤ δ. Escrevemos

f ∗∆T (x)−f (x) = 1√2π

(∫ −δ−∞

+∫ δ

−δ+∫ ∞δ

)(f (x − y)− f (x)) ∆T (y)dy

Por definição temos que ∆T (x) ≤ 2√2/π

/(Tx 2

)e

|I1| ≤2π

( 1T δ2 ‖f ‖1 + 1

T δ |f (x)|)≤ C

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Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier

PreliminaresEnunciado em passos elementaresProvas

A integral I3 é limitada similarmente e

|I2| ≤1√2π

∫ δ

−δ|f (x − y)− f (x)|∆T (y)dy

≤ ε√2π

∫ ∞−∞

∆T (y)dy = ε ,

de onde se conclui a asserção:

|f ∗∆T (x)− f (x)| ≤ 2ε

para ε > 0 qualquer tomando T suficientemente grande.

Física-Matemática. Aula 16 / 20

Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier

PreliminaresEnunciado em passos elementaresProvas

A integral I3 é limitada similarmente e

|I2| ≤1√2π

∫ δ

−δ|f (x − y)− f (x)|∆T (y)dy

≤ ε√2π

∫ ∞−∞

∆T (y)dy = ε ,

de onde se conclui a asserção:

|f ∗∆T (x)− f (x)| ≤ 2ε

para ε > 0 qualquer tomando T suficientemente grande.

Física-Matemática. Aula 16 / 20

Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier

PreliminaresEnunciado em passos elementaresProvas

A integral I3 é limitada similarmente e

|I2| ≤1√2π

∫ δ

−δ|f (x − y)− f (x)|∆T (y)dy

≤ ε√2π

∫ ∞−∞

∆T (y)dy = ε ,

de onde se conclui a asserção:

|f ∗∆T (x)− f (x)| ≤ 2ε

para ε > 0 qualquer tomando T suficientemente grande.

Física-Matemática. Aula 16 / 20

Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier

PreliminaresEnunciado em passos elementaresProvas

k. Seja a o limite: a = (f )(x) e considere as integrais

I(T ) =∫ T

−Th(ξ)dξ , h(ξ) = f (ξ)e iξx/

√2π

J(T ) =∫ T

−T

(1− |ξ|T

)h(ξ)dξ

Vamos mostrar que se limT→∞ I(T ) = a, então limT→∞ J(T ) = a.Observe que J(T ) é a média de Cesàro de I(T ):

1T∫ T

0I(t)dt =

Física-Matemática. Aula 17 / 20

Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier

PreliminaresEnunciado em passos elementaresProvas

k. Seja a o limite: a = (f )(x) e considere as integrais

I(T ) =∫ T

−Th(ξ)dξ , h(ξ) = f (ξ)e iξx/

√2π

J(T ) =∫ T

−T

(1− |ξ|T

)h(ξ)dξ

Vamos mostrar que se limT→∞ I(T ) = a, então limT→∞ J(T ) = a.Observe que J(T ) é a média de Cesàro de I(T ):

1T∫ T

0I(t)dt =

Física-Matemática. Aula 17 / 20

Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier

PreliminaresEnunciado em passos elementaresProvas

k. Seja a o limite: a = (f )(x) e considere as integrais

I(T ) =∫ T

−Th(ξ)dξ , h(ξ) = f (ξ)e iξx/

√2π

J(T ) =∫ T

−T

(1− |ξ|T

)h(ξ)dξ

Vamos mostrar que se limT→∞ I(T ) = a, então limT→∞ J(T ) = a.Observe que J(T ) é a média de Cesàro de I(T ):

1T∫ T

0I(t)dt = 1

T∫ T

0

∫ t

−th(ξ)dξdt

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Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier

PreliminaresEnunciado em passos elementaresProvas

k. Seja a o limite: a = (f )(x) e considere as integrais

I(T ) =∫ T

−Th(ξ)dξ , h(ξ) = f (ξ)e iξx/

√2π

J(T ) =∫ T

−T

(1− |ξ|T

)h(ξ)dξ

Vamos mostrar que se limT→∞ I(T ) = a, então limT→∞ J(T ) = a.Observe que J(T ) é a média de Cesàro de I(T ):

1T∫ T

0I(t)dt =

∫ T

−Th(ξ)

( 1T∫ T

|ξ|dt)

dξ = J(T ) .

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Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier

PreliminaresEnunciado em passos elementaresProvas

Pela existência do limite de I(T ), dado ε > 0, escolhemos T0 tal que|I(t)− a| < ε para todo t ≥ T0. Escrevemos

J(T )− a =

Como T0 é independente de T , E1 → 0 quando T →∞ e

|E2| ≤1T∫ T

T0|I(t)− a| dt < ε

T∫ T

T0dt =

(1− T0

T

)ε .

Conclui-se que |J(T )− a| < 2ε para T suficientemente grande e aprova da asserção. Por j., J(T ) = (1/T )

∫ T

0I(t)dt converge para

f (x) quando T →∞ e a = f (x).

Física-Matemática. Aula 18 / 20

Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier

PreliminaresEnunciado em passos elementaresProvas

Pela existência do limite de I(T ), dado ε > 0, escolhemos T0 tal que|I(t)− a| < ε para todo t ≥ T0. Escrevemos

J(T )− a = 1T∫ T

0(I(t)− a)dt

Como T0 é independente de T , E1 → 0 quando T →∞ e

|E2| ≤1T∫ T

T0|I(t)− a| dt < ε

T∫ T

T0dt =

(1− T0

T

)ε .

Conclui-se que |J(T )− a| < 2ε para T suficientemente grande e aprova da asserção. Por j., J(T ) = (1/T )

∫ T

0I(t)dt converge para

f (x) quando T →∞ e a = f (x).Física-Matemática. Aula 18 / 20

Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier

PreliminaresEnunciado em passos elementaresProvas

Pela existência do limite de I(T ), dado ε > 0, escolhemos T0 tal que|I(t)− a| < ε para todo t ≥ T0. Escrevemos

J(T )− a = 1T∫ T0

0(I(t)− a)dt + 1

T∫ T

T0(I(t)− a)dt .

Como T0 é independente de T , E1 → 0 quando T →∞ e

|E2| ≤1T∫ T

T0|I(t)− a| dt < ε

T∫ T

T0dt =

(1− T0

T

)ε .

Conclui-se que |J(T )− a| < 2ε para T suficientemente grande e aprova da asserção. Por j., J(T ) = (1/T )

∫ T

0I(t)dt converge para

f (x) quando T →∞ e a = f (x).Física-Matemática. Aula 18 / 20

Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier

PreliminaresEnunciado em passos elementaresProvas

Pela existência do limite de I(T ), dado ε > 0, escolhemos T0 tal que|I(t)− a| < ε para todo t ≥ T0. Escrevemos

J(T )− a = 1T∫ T0

0(I(t)− a)dt + 1

T∫ T

T0(I(t)− a)dt .

Como T0 é independente de T , E1 → 0 quando T →∞ e

|E2| ≤1T∫ T

T0|I(t)− a| dt < ε

T∫ T

T0dt =

(1− T0

T

)ε .

Conclui-se que |J(T )− a| < 2ε para T suficientemente grande e aprova da asserção. Por j., J(T ) = (1/T )

∫ T

0I(t)dt converge para

f (x) quando T →∞ e a = f (x).Física-Matemática. Aula 18 / 20

Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier

PreliminaresEnunciado em passos elementaresProvas

Pela existência do limite de I(T ), dado ε > 0, escolhemos T0 tal que|I(t)− a| < ε para todo t ≥ T0. Escrevemos

J(T )− a = 1T∫ T0

0(I(t)− a)dt + 1

T∫ T

T0(I(t)− a)dt .

Como T0 é independente de T , E1 → 0 quando T →∞ e

|E2| ≤1T∫ T

T0|I(t)− a| dt < ε

T∫ T

T0dt =

(1− T0

T

)ε .

Conclui-se que |J(T )− a| < 2ε para T suficientemente grande e aprova da asserção. Por j., J(T ) = (1/T )

∫ T

0I(t)dt converge para

f (x) quando T →∞ e a = f (x).Física-Matemática. Aula 18 / 20

Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier

PreliminaresEnunciado em passos elementaresProvas

Pela existência do limite de I(T ), dado ε > 0, escolhemos T0 tal que|I(t)− a| < ε para todo t ≥ T0. Escrevemos

J(T )− a = 1T∫ T0

0(I(t)− a)dt + 1

T∫ T

T0(I(t)− a)dt .

Como T0 é independente de T , E1 → 0 quando T →∞ e

|E2| ≤1T∫ T

T0|I(t)− a| dt < ε

T∫ T

T0dt =

(1− T0

T

)ε .

Conclui-se que |J(T )− a| < 2ε para T suficientemente grande e aprova da asserção. Por j., J(T ) = (1/T )

∫ T

0I(t)dt converge para

f (x) quando T →∞ e a = f (x).Física-Matemática. Aula 18 / 20

Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier

PreliminaresEnunciado em passos elementaresProvas

Pela existência do limite de I(T ), dado ε > 0, escolhemos T0 tal que|I(t)− a| < ε para todo t ≥ T0. Escrevemos

J(T )− a = 1T∫ T0

0(I(t)− a)dt + 1

T∫ T

T0(I(t)− a)dt .

Como T0 é independente de T , E1 → 0 quando T →∞ e

|E2| ≤1T∫ T

T0|I(t)− a| dt < ε

T∫ T

T0dt =

(1− T0

T

)ε .

Conclui-se que |J(T )− a| < 2ε para T suficientemente grande e aprova da asserção. Por j., J(T ) = (1/T )

∫ T

0I(t)dt converge para

f (x) quando T →∞ e a = f (x).Física-Matemática. Aula 18 / 20

Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier

PreliminaresEnunciado em passos elementaresProvas

l. Pela definição de J(T ),

(T + H)J(T + H) = J+ +∫ T

−T(T + H − |ξ|)h(ξ)dξ + J−

onde J± = ∫±T±H±T (T + H ∓ ξ)h(ξ)dξ. Por conseguinte,

(T + H) (J(T + H)− a)−T (J(T )− a) = J+ + H (I(T )− a) + J− .

Dividindo por H , reorganizando em seguida os termos, resulta

I(T )− a = T + HH (J(T + H)− a)− T

H (J(T )− a)− J+ + J−H

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Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier

PreliminaresEnunciado em passos elementaresProvas

l. Pela definição de J(T ),

(T + H)J(T + H) = J+ +∫ T

−T(T + H − |ξ|)h(ξ)dξ + J−

onde J± = ∫±T±H±T (T + H ∓ ξ)h(ξ)dξ. Por conseguinte,

(T + H) (J(T + H)− a)−T (J(T )− a) = J+ + H (I(T )− a) + J− .

Dividindo por H , reorganizando em seguida os termos, resulta

I(T )− a = T + HH (J(T + H)− a)− T

H (J(T )− a)− J+ + J−H

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PreliminaresEnunciado em passos elementaresProvas

l. Pela definição de J(T ),

(T + H)J(T + H) = J+ +∫ T

−T(T + H − |ξ|)h(ξ)dξ + J−

onde J± = ∫±T±H±T (T + H ∓ ξ)h(ξ)dξ. Por conseguinte,

(T + H) (J(T + H)− a)−T (J(T )− a) = J+ + H (I(T )− a) + J− .

Dividindo por H , reorganizando em seguida os termos, resulta

I(T )− a = T + HH (J(T + H)− a)− T

H (J(T )− a)− J+ + J−H

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PreliminaresEnunciado em passos elementaresProvas

l. Pela definição de J(T ),

(T + H)J(T + H) = J+ +∫ T

−T(T + H − |ξ|)h(ξ)dξ + J−

onde J± = ∫±T±H±T (T + H ∓ ξ)h(ξ)dξ. Por conseguinte,

(T + H) (J(T + H)− a)−T (J(T )− a) = J+ + H (I(T )− a) + J− .

Dividindo por H , reorganizando em seguida os termos, resulta

I(T )− a = T + HH (J(T + H)− a)− T

H (J(T )− a)− J+ + J−H

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PreliminaresEnunciado em passos elementaresProvas

Por j., dado ε > 0, existe T0 tal que |J(T )− a| < ε para T > T0. SeT > T0 e H =

√εT , então

|E1| = 1 +√ε√

ε

∣∣∣J((1 +√ε)T )− a

∣∣∣ < 1 +√ε√

εε <√ε

e a mesma estimativa é válida para E2. Notamos que no intevalo[T ,T + H ] de integração, 0 ≤ T + H − ξ

H ≤ 1 e |h(ξ)| ≤ C/T ,devido à hipótese. Logo,

|J+|H ≤

∫ T+H

T

T + H − ξH |h(ξ)| dξ ≤ C H

T = C√ε .

Similarmente, |J−|/H ≤ C√ε. Como ε > 0 pode ser escolhido

arbitrariamente pequeno, conclui-se que I(T ) tende a a = f (x)quando T →∞.

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Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier

PreliminaresEnunciado em passos elementaresProvas

Por j., dado ε > 0, existe T0 tal que |J(T )− a| < ε para T > T0. SeT > T0 e H =

√εT , então

|E1| = 1 +√ε√

ε

∣∣∣J((1 +√ε)T )− a

∣∣∣ < 1 +√ε√

εε <√ε

e a mesma estimativa é válida para E2. Notamos que no intevalo[T ,T + H ] de integração, 0 ≤ T + H − ξ

H ≤ 1 e |h(ξ)| ≤ C/T ,devido à hipótese. Logo,

|J+|H ≤

∫ T+H

T

T + H − ξH |h(ξ)| dξ ≤ C H

T = C√ε .

Similarmente, |J−|/H ≤ C√ε. Como ε > 0 pode ser escolhido

arbitrariamente pequeno, conclui-se que I(T ) tende a a = f (x)quando T →∞.

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Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier

PreliminaresEnunciado em passos elementaresProvas

Por j., dado ε > 0, existe T0 tal que |J(T )− a| < ε para T > T0. SeT > T0 e H =

√εT , então

|E1| = 1 +√ε√

ε

∣∣∣J((1 +√ε)T )− a

∣∣∣ < 1 +√ε√

εε <√ε

e a mesma estimativa é válida para E2. Notamos que no intevalo[T ,T + H ] de integração, 0 ≤ T + H − ξ

H ≤ 1 e |h(ξ)| ≤ C/T ,devido à hipótese. Logo,

|J+|H ≤

∫ T+H

T

T + H − ξH |h(ξ)| dξ ≤ C H

T = C√ε .

Similarmente, |J−|/H ≤ C√ε. Como ε > 0 pode ser escolhido

arbitrariamente pequeno, conclui-se que I(T ) tende a a = f (x)quando T →∞.

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Por j., dado ε > 0, existe T0 tal que |J(T )− a| < ε para T > T0. SeT > T0 e H =

√εT , então

|E1| = 1 +√ε√

ε

∣∣∣J((1 +√ε)T )− a

∣∣∣ < 1 +√ε√

εε <√ε

e a mesma estimativa é válida para E2. Notamos que no intevalo[T ,T + H ] de integração, 0 ≤ T + H − ξ

H ≤ 1 e |h(ξ)| ≤ C/T ,devido à hipótese. Logo,

|J+|H ≤

∫ T+H

T

T + H − ξH |h(ξ)| dξ ≤ C H

T = C√ε .

Similarmente, |J−|/H ≤ C√ε. Como ε > 0 pode ser escolhido

arbitrariamente pequeno, conclui-se que I(T ) tende a a = f (x)quando T →∞.

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Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier

PreliminaresEnunciado em passos elementaresProvas

Por j., dado ε > 0, existe T0 tal que |J(T )− a| < ε para T > T0. SeT > T0 e H =

√εT , então

|E1| = 1 +√ε√

ε

∣∣∣J((1 +√ε)T )− a

∣∣∣ < 1 +√ε√

εε <√ε

e a mesma estimativa é válida para E2. Notamos que no intevalo[T ,T + H ] de integração, 0 ≤ T + H − ξ

H ≤ 1 e |h(ξ)| ≤ C/T ,devido à hipótese. Logo,

|J+|H ≤

∫ T+H

T

T + H − ξH |h(ξ)| dξ ≤ C H

T = C√ε .

Similarmente, |J−|/H ≤ C√ε. Como ε > 0 pode ser escolhido

arbitrariamente pequeno, conclui-se que I(T ) tende a a = f (x)quando T →∞.

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Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier

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Por j., dado ε > 0, existe T0 tal que |J(T )− a| < ε para T > T0. SeT > T0 e H =

√εT , então

|E1| = 1 +√ε√

ε

∣∣∣J((1 +√ε)T )− a

∣∣∣ < 1 +√ε√

εε <√ε

e a mesma estimativa é válida para E2. Notamos que no intevalo[T ,T + H ] de integração, 0 ≤ T + H − ξ

H ≤ 1 e |h(ξ)| ≤ C/T ,devido à hipótese. Logo,

|J+|H ≤

∫ T+H

T

T + H − ξH |h(ξ)| dξ ≤ C H

T = C√ε .

Similarmente, |J−|/H ≤ C√ε. Como ε > 0 pode ser escolhido

arbitrariamente pequeno, conclui-se que I(T ) tende a a = f (x)quando T →∞.

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