Aulas: 1 até 6

Cálculo I

Código: ECT1102 Turma: 02 Dias: Segunda à Sexta Horário: 13h às 14h40 Prof. Darlan Araújo Moreira Referência Bibliográfica: Cálculo – George B. Thomas 11a

Edição. Volume 1. Weir, Hass e Giordano

Cálculo I

AULA 1

Derivadas: Definição e Interpretações

Quando uma reta é tangente a um círculo?


Quando uma reta é tangente a uma curva?


Definindo tangente de uma forma dinâmica.


Coeficiente angular da reta tangente.


Encontrando a equação da reta tangente.


Vamos calcular a equação da reta tangente à

curva y =x² no ponto P(2,4).

?


Coeficiente angular m = 2 x₀

P(x₀, y₀) = (2, 4) Equação da reta

(y – y₀) = m (x – x₀)

m = 2 * 2 = 4

y = 4x - 4


A função derivada.


Outra expressão para derivada.


Vamos calcular a derivada da função √x através das duas definições.

?


A derivada da função √x é 1/(2√x).

Vamos encontrar a equação da reta tangente que passa pelo ponto (4,2) da função √x.

?


Equação da reta: (y – yo) = m (x – xo) Coeficiente angular = m = f'(4) (xo, yo) = (4, 2)


Notações


Um exemplo.


Exercícios1- Derive as funções abaixo:

a) f(x) = x / (x-1)

b) f(x) = 1/x² 2- Encontre o(s) ponto(s) para o(s) qual(is) o coeficiente

angular é -1/4:

a) f(x) = 1/x


Gráfico da solução do exercício 2.a:

Cálculo I

AULA 2

Exercícios

1. Calcule o que se pede:

2. Encontre a equação da reta tangente e da reta normal à curva dada por s no ponto t = 1.

s=t

2t1dsdt

=?

?

Reta Normal

Seja m o coeficiente angular de um reta R. O coeficiente angular das retas normais à R é

-1/m. Gráfico da resposta (função s traçada parcialmente).

s=t

2t1

g=t9

29

h=−9t283

Eq. da Reta Tangente

Eq. da Reta Normal

Derivadas Laterais

Derivadas Laterais

limh 0

f xh − f x h

limh 0−

f xh − f x h

Derivada Lateral à direitaDerivada Lateral à esquerda

Derivadas Laterais

Um ponto possui derivada se as derivadas laterais forem iguais.

Derivada da função f(x) = |x|.

Derivadas Laterais

Qual o valor da derivada em x=-2 e x =2 ? Em quais pontos não há derivadas? Por quê?

Exercícios

1. Qual o valor da derivada em x =5 ?

2. Qual o valor da derivada a direita em x=1?

3. Qual o valor da derivada à esquerda em x=1?

Exercícios

1. Qual o valor da derivada de f(x) em x =1 ?

Exercícios

Gráfico da função por partes da questão anterior (Mostrado para análise do resultado).

Em x=1 não há derivada pois as derivadas laterais naquele ponto possuem valores diferentes.

Derivação em um Intervalo

Uma função y=f(x) será derivável em um intervalo aberto (finito ou infinito) se tiver uma derivada em cada ponto do intervalo.

Ela será derivável no intervalo fechado [a,b], se for derivável em ]a,b[ e se tiver derivada à direta em a e derivada à esquerda em b.

Derivação e Continuidade

Se um função é derivável em um ponto, ela é contínua naquele ponto.

A prova consiste em mostrar que:

limx p

f x − f p x−p

limx p

f x = f p

Pontos Sem Derivadas

Exercícios

1. Calcule a derivada da função abaixo:

Cálculo I

AULA 3

Regras de Derivação

Derivada de uma constante

df x dx

=m=0

Exemplos:

f x =10Prova:

Aplicação da definição de derivada à função f(x) = c.


Regra da potenciação

Prova:A prova é feita com o auxílio do binômio de Newton

Regas de Derivação

Exemplos:

df x dx

f x

x

x2

x3

x4

1

2x

3x2

4x3


Regra da multiplicação por constante

Prova:

Aplicação da definição de derivada à função f(x) = c u(x).

Obs: u = u(x) (lê-se: u é função de x)


f x =x2

Exemplos:

df x dx

=2x

f x =3x2

df x dx

=6x


Rega da derivada da soma


Exemplo de uso da regras de derivação

A curva y = x⁴ - 2x² + 2 tem alguma tangente horizontal? Se tem, onde está?

?


Solução: A derivada de y = x⁴ -2x² + 2 é:

y = 4x³ – 4x

Resolvemos a equação

4x³ – 4x = 0

para encontrarmos os x's

das tangentes horizontais. x = -1, x = 0 e x = 1


Derivada da função ax

?


Derivada da exponencial natural


Regra do produto

Está implícito que u e v são funções de x, isto é, u e v dependem de x.

Por que esta informação é importante?


Regra do quociente


Regra da Potenciação (inteiros negativos)

Cálculo I

AULA 4

Exercícios 1. Resolvam os seguintes exercícios:

Exercícios 2. Resolva o seguinte exercício:

Exercícios

Observe a expressão de P em função de V.

Como NÃO está explícito, ou implícito que n,b,T,R ou a são funções que depende de V, dizemos que todas são constantes em relação a V.

P=nRTV−nb

−an2

V

Funções Trigonométricas

Observe a função

df x dx

= limh 0

f xh − f x h

limh0

cos xh −cos x h

limx 0

sen x x

=1É preciso utilizar este limite:


Qual é a derivada de cos(x) ?


Derivadas Úteis

d cos xdx

=−sen xd sen x dx

=cos x

d tgx dx

=?d cotgx dx

=?

d cosec x dx

=?


Derivadas Úteis

d cos xdx

=−sen xd sen x dx

=cos x

d tgx dx

=sec 2x

d cotgx dx

=−cosec2x

d cosec x dx

=−cosec xcotg x

Taxa de Variação

Derivada como taxa de variação

Taxa de Variação

Exemplo 1:

1. A área A de um determinado retângulo está relacionada com o seus lados pela equação

A que taxa a área muda em relação a x quando este é igual a 4 cm ? E 10 cm?

A=10 x cm2 .

Taxa de Variação

Exemplo 2:

1. A área A de um círculo está relacionada com o seu diâmetro D pela equação

A que taxa a área muda em relação ao diâmetro, quando o diâmetro é igual a 5m? E 10m?

A=

4D2m2 .

Taxa de Variação

Taxa de variação varia com o diâmetro.

Nas figuras acima, o diametro varia por 1 cm. A variação na área é a mesma? Ela depende de que?

Cálculo I

AULA 5

Exercícios

Velocidade

Velocidade: Taxa de variação

Qual a diferença entre velocidade média e velocidade instantânea?

Velocidade

A posição de uma partícula é dada por s= t² (s em metros e t em segundos).

Qual a velocidade média entre os instantes 1 e 3? E entre 1 e 2?

Velocidade

A velocidade média entre os instantes 1 e 3 é dada por

v=s t f −s ti

t f−t i=s 3 −s 1

3−1

v=9−13−1

=4m / s

Velocidade

A velocidade média entre os instantes 1 e 2 é dada por

v=s t f −s ti

t f−t i=s 2−s 1

2−1

v=4−12−1

=3m / s

Qual a velocidade instantânea no INSTANTE t=1s ?

?

Velocidade

Qual a velocidade instantânea no INSTANTE t=1s ?

Isto é a derivada de s(t)! s(t) = t² Portanto v(t) = 2t. Em t = 1s, v = 2 m/s

v= lim t0

s x t −s x t

Velocidade

Natal Parnamirim

15km7,5km0km

O que o motorista lê no velocímetro na ida? E na volta?

Derivadas de Ordens Superiores

f(x) = x³ Derivada de Primeira Ordem:

Derivada de Segunda Ordem:

Derivada de Terceira Ordem:

ddxx³=3x²

d2

dx2 x³=ddx

ddxx3=6x

d3

dx3 x³=ddxddx

ddxx3=6

Velocidade

Exemplo

Regra da Cadeia

Qual a derivada de y = (x+3)10 ?

?

Regra da Cadeia

Qual a derivada de y = (x+3)10 ?

Podemos rescrever a função fazendo u = x+3.

y = (u)10

Observe que agora y é função de u.

Queremos dy/dx, mas temos y=y(u), devemos escrever:

dydx

=dydududx

Regra da Cadeia

Sabemos que y = (x+3)10 Queremos . Fazemos u= x+3. Obtemos y = u10. Calculamos .

dydx

dydx

=dydududx

dydu

=10u9 dudx

=1

Regra da Cadeia

dydx

=10u91=10u9

=10 x39

Regra da Cadeia

dydx

=dydududx

Exemplos

Calcular dy/dx para as seguinte funções:

a)

b)

c)

d) com

e)

f)

y= x23

y=sen5x

f °gx f x =x13 e g x = x

y=e−3x

y=xe−3x

y=cos x23

Cálculo I

AULA 6

Exercícios

Calcule dy/dx para as seguinte funções:

a)

b)

c)

y=x2 e−2/ x

y= 2 x2 x1

2

s= −115 15t−13

2

Derivação Implícita

Qual o valor das derivadas?

f x =k x

k=constante

df x dx

=?

f x =k x

k=k x

df x dx

=?

(k depende de x)


Seja a função x + y = 10.

Qual o valor de ?

Seja a função x³ + xy = 10.

Qual o valor de ?

dydx

dydx


x3 xy=10

Derivamos ambos os lados em relação a x

ddx

x3xy =

ddx

10

ddx

x3ddx

xy =ddx

10

3x2?=0


ddx

xy =?

x é obviamente uma função de x.

y deve ser tratada como uma função de x também.

Aplicamos a regra do produto, portanto,

ddx

xy = ydxdx

xdydx

ddx

xy = yxdydx


ddx

x3ddx

xy =ddx

10

3x2 yx

dydx

=0

ddx

xy = yxdydx

Explicitando dy/dx:dydx

=−3x2

yx


Como calcular para ?

Basta derivar a derivada!

dydx

=−3x2 yx

?

x3 xy=10d 2 y

dx2

Exemplos

Cálcular dy/dx para as seguinte funções:

a)

b)

Ache a tangente à curva no ponto (2,4)

y2=x 2

sen xy

xy2 xy2=6

x3 y3−9xy=0

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