Aulas 45, 46

Rodrigo C. Fonseca

ELIPSE

CÔNICAS

ELIPSE

PF1 + PF2 = 2a

Elementos

C: Centro

A, A’, B, B’: Vértices

F1, F2: Focos

Eixo Maior (AA’): 2a

Eixo Menor (BB’): 2b

Dist. Focal (F1F2): 2c

Excentricidade (e): c/a

Relação Fundamental

a2 = b2 + c2

Exercícios: 1 e 2

12

2

2

2

b

y

a

x

semi-eixo paralelo a y

semi-eixo paralelo a x semi-eixo paralelo a y

semi-eixo paralelo a x

Equações – centro na origem

12

2

2

2

a

y

b

x

http://alfaconnection.net/pag_avsm/gan0401.htm

Importante: os focos sempre pertencem ao eixo maior da Elipse

Exercícios: 3 e 4

Q.05

y

x

u

v

xc

yc

u

v

x

y P

b

a

1b²

)²y-(y

a²

)²x-(x cc b)

⇒ v = y - yc

⇒ u = x - xc x = xc + u

y = yc + v

1b²

v²

a²

u²

a)

Equações y

x

y

x

yo-c

yo

F1

xo

F2

xo-a xo-c yo-a

yo

xo

F1 F2

1)()(

2

2

2

2

b

yy

a

xx oo 1)()(

2

2

2

2

a

yy

b

xx oo

semi-eixo paralelo a y

semi-eixo paralelo a x

b b b

b

semi-eixo paralelo a y

semi-eixo paralelo a x

yo+c

yo+a

xo+c xo+a

Equação Geral do 2º grau

Par de retas paralelas

Par de retas concorrentes

Circunferência

Ponto

Conjunto Vazio

Parábola

Hipérbole

Reta

Elipse

Ax² + By² + Cxy + Dx + Ey + F = 0

Exercícios: 6 a 13

10

IR)(t 52ty

1tx

t x y (x,y)

-1 -2 -7 (-2,-7)

0 -1 -5 (-1,-5)

1 0 -3 (0,-3)

2 1 -1 (1,-1)

⇒ y = 2x – 3

t = x + 1

y = 2(x + 1) – 5 Reta (b)

EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS

11

4-1y3x22

cosθ = (y - 1)/2

Circunferência (f)

sen²θ + cos² θ = 1

senθ = (x + 3)/2

IR)(θ 2.cosθ1y

2.senθ-3x

12

-1y

2

3x22

12

1

25

2-y

9

4x22

cosθ = (y - 2)/5

Elipse (g)

sen²θ + cos² θ = 1

senθ = (x + 4)/3

IR)(θ 5.cosθ2y

3.senθ-4x

15

2-y

3

4x22

13

|x – y| = 3

t² - t – 6 = 0

Lugar geométrico (x;y) ?

⇒x – y + 3 = 0

⇒ x – y – 3 = 0

|x – y| = -2

t = |x – y|

t = -2

t = 3

x – y = 3

x – y = -3

Duas retas paralelas

D.03 Apresentar n > 4 de modo que a reta y = 2x + 5 seja tangente à elipse: 1

n

y²

4

x²

D.01

paralelas à reta y = 2x + 1.

Determinar as equações das retas tangentes à elipse:

19

y²

4

x²

D.02

nos pontos da elipse de abscissa x = 1.

Determinar as equações das retas tangentes à elipse:

09y23x

09y23x

:Resp

para os amantes do esporte...

Resp: 2x – y + 5= 0 2x – y - 5 = 0

Resp: n= 9

14

y²

9

x²