Matemática A – Extensivo – V. 7 - energia.com.br · xSubstituindo y' = 2 em y = 2 , teremos: 2...
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GABARITO
1Matemática A
Matemática A – Extensivo – V. 7
Exercícios
01) B
(4x)2 = 16 . 22x
((22)x)2 = 24 . 22x
2 24 42x x=
+
4x = x2 + 4x2 – 4x + 4 = 0Resolvendo a equação acima, obtemos:x' = x'' = 2Portanto,xx = 22 = 4.
02) D
ERRATA: Para a resolução considere a equação
(22)x = 12
−x y
.
Trabalhando separadamente as equações, temos:
3x = 13
4
+y
3x = 3 1 4− +( )y
3 34x y
=− −
x = – y – 4y = – x – 4 (i)Temos ainda,
(22)x = 12
−x y
(22)x = (2–1)x – y
2 22x y x=
−
2x = y – xy = 3x (ii)
De (i) e (ii), temos: y x i
y x ii
=− −=
4
3
( )
( )
Fazendo, (i) – (ii), obtemos:0 = – 4x – 44x = – 4
x = –44
x = – 1Substituindo x = –1 em (ii), temos:y = 3 . (–1)y = –3Portanto,x . y = – 1 . (–3) = 3.
03) A
34x – 1 + 9x = 63– 1 . 34x + (32)x = 63– 1 . (32x)2 + 32x = 6Seja y = 32x (i)3– 1 . y2 + y = 613
y2 + y – 6 = 0 .(3)
y2 + 3y – 18 = 0
Resolvendo a equação acima, teremos:y' = 3 ou y'' = –6Substituindo y' = 3 em (i):
3 32
=x
1 = 2x
x = 12
Substituindo y'' = – 6 em (i):–6 = 32x (Absurdo!)De fato, 32x = (3x)2 > 0 ∀ x ∈ R.Portanto,
xx = 12
12
= 1
2
2
2⋅ = 2
2.
04) E
Trabalhando separadamente as equações, temos:(0,2)5x + y = 5
15
5
+x y
= 5
(5–1)5x + y = 5
5 55− −=
x y
– 5x – y = 1 (i)Temos ainda:(0,5)2x – y = 2
12
2
−x y
= 2
(2–1)2x – y = 2
2 22y x−=
y – 2x = 1 (ii)De (i) e (ii), temos o seguinte sistema:− − =− + =
5 1
2 1
x y i
x y ii
( )
( )
Fazendo (i) + (ii), obtemos:– 7x = 2
x = – 27
GABARITO
2 Matemática A
Substituindo x = – 27
em (ii), teremos:
– 2 (– 27
) + y = 1
47
+ y = 1
y = 1 – 47
y = 7 47−
y = 37
05) E
2 23 843 8
3xxx
−+−
=
2 23 8
43 8
3x
xx−
+−
=
3 84
3 83
xx
x−+
=−
3 84
3 83
xx
x−+( )
=−
14
13x+
=
x + 4 = 3x = 3 – 4x = – 1S = {–1}
06) E
Trabalhando as equações separadamente:
4a+b = 116
4a+b = 142
4 42a b+ −
=a + b = –2a = – 2 – b (i)Temos ainda:
2a+2 + 2b–1 = 32
22 . 2a + 22
b
= 32
.(2)
23 . 2a + 2b = 32a+3 + 2b = 3 (ii)Substituindo (i) em (ii), obtemos:2– 2– b + 3 + 2b = 32– b + 1 + 2b = 322b
+ 2b = 3
Seja y = 2b
2y
+ y = 3
2 2+ yy
= 3
2 + y2 = 3yy2 – 3y + 2 = 0Resolvendo a equação acima, temos:y' = 2 ou y'' = 1Substituindo y' = 2 em y = 2b
2 = 2b ⇒ b = 1.Substituindo y'' = 1 em y = 2b
1 = 2b ⇒ b = 0.Agora, para b = 1, temos:a = – 2 – ba = – 2 – 1 = – 3
Note que para a = –3 e b = 1 não serve, pois 2b – a ⇒ 2 . 1 – (– 3) = 5 (não possui alternativa). Para b = 0, temos:
a = – 2 – 0 = – 2Então:2b – a ⇒ 2 . 0 – (– 2) = 2. (ok!)
07) B
ERRATA: Alternativa b é dada por 25 5.4x – 4x–1 = 24
4x – 44
x
= 24
4 4 44
⋅ −x x
= 24
4 . 4x – 4x = 4 . 243 . 4x = 96
4x = 963
4x = 32(22)x = 25
2 22 5x=
2x = 5
x = 52
Logo,
(2x)x = 25
2
52
⋅
= 552 = 5 5 55 4= ⋅
(2x)x = 52 5
(2x)x = 25 5
08) D
39
2 2
−x
= 1
27
GABARITO
3Matemática A
381
2 2
−x
= 1
27
127
2 2
−x
= 1
27
127
12
2 2
−x
= 1
27
127
127
12
2 2
=−( )x
1
22 2x−( )=1
x – 1 = 1x = 2Portanto, x é múltiplo de 2.
09) C
935
x y
y
+= 243
3
3
2
5
( ) +x y
y= 35
33
2
5
x y
y
+( )= 35
3 2(x + y) – 5y = 3 5
2 (x + y) – 5y = 5
2x + 2y – 5y = 52x – 3y = 5Temos ainda:
42
x
x y+= 8
22
2x
x y+= 23
2 2x–(x + y) = 2 3
2x – (x + y) = 32x – x – y = 3x – y = 3Daí obtemos o seguinte sistema:
2 3 5
3 2
x y
x y
− =− = −
.( )
2 3 5
2 2 6
x y i
x y ii
− =− + =−
( )
( )
Fazendo (i) + (ii), teremos:– y = – 1 .(–1)y = 1Substituindo y = 1 em (i), temos:2x – 3 . 1 = 5
2x – 3 = 52x = 5 + 32x = 8
x = 82
x = 4Portanto,x . y = 4 . 1 = 4.
10) C
42x – 2 – 24 . 4x – 2 + 8 = 0 .(16 = 42)42 . 42x – 2 – 42 . 24 . 4x – 2 + 8 . 16 = 042x – 2 + 2 – 24 . 4x – 2 + 2 + 128 = 042x – 24 . 4x + 128 = 0(4x)2 – 24 . 4x + 128 = 0Seja y = 4x:y2 – 24y + 128 = 0Resolvendo a equação acima, temos:y' = 16y'' = 8Substituindo y' = 16 em y = 4x, temos:16 = 4x
2 4 = 2 2x
4 = 2x
x = 42
x = 2Substituindo y'' = 8 em y = 4x, temos:8 = 4x
2 3 = 2 2x
3 = 2x
x = 32
Portanto, o produto é:
23
2⋅ = 3
11) B
ERRATA: para a resolução do exercício, considere a equação 3x–1 + 3x–2 – 3x–3 + 3x–4 = 750.
3 . 3x + 33
33
332 3 4
x x x
− + = 750
3 . 3x + 39
327
381
x x x
− + = 750
243 3 9 3 3 3 381
⋅ + ⋅ − ⋅ +x x x x
= 750
250 381⋅ x
= 750
250 . 3x = 750 . 81
3x = 750 81
250
⋅
3x = 3 . 81
GABARITO
4 Matemática A
3x = 3 . 34
3 x = 3 5
x = 5Portanto,
x = 5.
12) B
9x+3 = 127
x
9x+3 = 133
x
(32)x+3 = (3–3)x
3 2(x+3) = 3 –3x
2 (x + 3) – 3x2x + 6 = – 3x2x + 3x = – 65x = – 6
x = – 65
13) B
Trabalhando separadamente a equação, temos:3x + y = 1
3 x + y = 3 0
x + y = 0x = –y (i)Temos ainda,
2 x + 2y = 2x + 2y = 1 (ii)Substituindo (i) em (ii), obtemos:x + 2(–x) = 1x – 2x = 1–x = 1 .(–1)x = –1Substituindo x = –1 em (i), teremos:–1 = –y .(–1)y = 1Portanto, x = –y.
14) C
(5x – 5 3) (5x + 5 3) = 50
(5x)2 – (5 3)2 = 5052x – 25 . 3 = 5052x = 50 + 7552x = 125
5 2x = 5 3
2x = 3
x = 32
15) 18
3x + 31 – x = 4
3x + 33x
= 4
3 3 33
x x
x
⋅ + = 4
(3x)2 + 3 = 4 . 3x
Seja y = 3x : (i)y2 + 3 = 4yy2 – 4y + 3 = 0Resolvendo a equação acima, teremos:y' = 1 ou y'' = 3Substituindo y' = 1 em (i), obtemos:1 = 3x
3 0 = 3 x
x = 0Substituindo y'' = 3 em (i), obtemos:
3 = 3 x
1 = xLogo, A = {0, 1}.
Portanto, A ⊂ {–1, 0, 1, 2} e se B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, temos A ∩ B = {0, 1}. Assim, os itens 02 e 16 estão corretos.
16) D
2(2 + cos x) + 2(1 – cos x) = 6
22 . 2cos x + 22cos x
= 6
4 2 2 22
⋅ ⋅ +cos cos
cos
x x
x
= 6
4.(2cos x)2 + 2 = 6 . 2cos x
Seja y = 2cos x : (i)4y2 + 2 = 6y4y2 – 6y + 2 = 0Resolvendo a equação acima, temos:
y' = 12
ou y'' = 1
Substituindo y' = 12
em (i), teremos:
12
= 2cos x
2 –1 = 2 cos x
cos x = –1Logo, x = π.Substituindo y'' = 1 em (i), teremos:1 = 2cos x
2 0 = 2 cos x
0 = cos x
Logo, x = π2
e x = 32π .
Portanto, existem apenas 3 soluções distintas.
17) D
GABARITO
5Matemática A
18) 26
52x + 125 = 6 . 5x + 1
52x + 125 = 6 . 5 . 5x
(5x)2 + 125 = 30 . 5x
(5x)2 – 30 . 5x + 125 = 0 Seja y = 5x. y2 – 30y + 125 = 0 Resolvendo a equação acima, temos: y' = 5 ou y'' = 25 Substituindo y' = 5 em y = 5x, temos: 5 = 5 x
1 = x Substituindo y'' = 25 em y = 5x, temos: 25 = 5x
5 2 = 5 x
2 = x Logo, a = 2 ou b = 1.
01. Incorreta.
ba
= 12
02. Correta. a . b = 2 . 1 = 2 (par)04. Incorreta. a = 2 > 0 e b = 1 > 008. Correta. a + b = 2 + 1 = 3 < 516. Correta.
ab
= 21
= 2 ∈ N
19) B
2 . 4x + 42 = 3 . 2x + 2
2 . (2x)2 + 16 = 3 . 22 . 2x
Seja y = 2x
2y2 + 16 = 12y 2y2 – 12y + 16 = 0 (÷2) y2 – 6y + 8 = 0 Resolvendo a equação acima, temos: y' = 2 ou y'' = 4 Substituindo y' = 2 em y = 2x, teremos: 2 = 2 x
1 = x Substituindo y'' = 4 em y = 2x, teremos: 4 = 2x
2 2 = 2 x
2 = x Portanto: a5 + b5 = 15 + 25 = 1 + 32 = 33
20) 14
01. Incorreta. 4x – 5 . 2x + 4 = 0 (2x)2 – 5 . 2x + 4 = 0 Seja y = 2x
y2 – 5y + 4 = 0 Resolvendo a equação acima, temos: y' = 1 ou y'' = 4 Substituindo y' = 1 em y = 2x, teremos: 1 = 2x
2 0 = 2 x
0 = x Substituindo y'' = 2 em y = 2x, teremos: 4 = 2x
2 2 = 2 x
2 = x Logo, 2 + 0 = 2 ≠ 5.
02. Correta. f(a + b) = 2(a + b) = 2a . 2b = f(a) . f(b).
04. Correta.
08. Correta. 0,72x = 0,491 – x
0,72x = [(0,7)2]1 – x
0 7 0 72 2 1, ( , ) ( )x x= −
2 x = 2 (1 + x)
2x = 2 – 2x 2x + 2x = 2 4x = 2
x = 24
x = 12
16. Incorreta. Seja a = 2 e x = –1. Então:
f(–1) = 2–1 = 12
< 1
21) A
22 1x − ≤ 4
2x
22 1x − ≤ 4 . 2 2
−x
2 22 1
22x
x− − +≤
x2 – 1 ≤ – x2
+ 2 .(2)
2x2 – 2 ≤ – x + 4 2x2 + x – 2 – 4 ≤ 0
GABARITO
6 Matemática A
2x2 + x – 6 ≤ 0
+ + + + + + + +
– – – ––2 3
2
Portanto, a solução é dada por:
S = {x ∈ R/ – 2 ≤ x ≤ 32
}
22) D
5
32 2 2+ −x x
≤ 15 (÷ 5)
1
32 2 2+ −x x
≤ 3
32 2 2− + −( )x x
≤ 3 – (2 + 2x – x2) ≤ 1 x2 – 2x – 2 – 1 ≤ 0 x2 – 2x – 3 ≤ 0
+ + + + + + + +
– – – ––1 3
Portanto, a solução é dada por: S = {x ∈ R / – 1 ≤ x ≤ 3}
23) C
( )( )2 23 3x x− + > 4x
22
3
3x x− +
> 4x
2 22
33 2
xx x
−⋅ +
>( )
x−23
. (x + 3) > 2x
( ).( )x x− +2 33
– 2x > 0
x x x2 6 63
+ − − > 0
x2 – 5x – 6 > 0
+ + + + + + + +
– – – ––1 6
Portanto, a solução é dada por: S = {x ∈ R / –1 > x ou x > 6}
24) C
15
2 2
−x
> 125
15
15
2 2 2
>
−x
x2 – 2 < 2 x2 < 4 | x | < 4
| x | < 2 Logo, – 2 < x < 2. Portanto, S = (–2; 2).
25) E
( , )0 042 2
2x x−
> 0,008
0 2
22
2
2
,( )
−x x
> (0,2)3
0 2 0 22 2 3
, ,x x−
>
x2 – 2x < 3 x2 – 2x – 3 < 0
+ + + + + + + +
– – – ––1 3
Portanto, a solução é dada por: S = {x ∈ R / – 1 < x < 3}.
26) A
52
x
≥ 0,16
25
−x
≥ 0,16
( 0 4, )–x ≥ ( 0 4, )2
– x ≤ 2 .(–1) x ≥ – 2
GABARITO
7Matemática A
27) A
339
2
1 3x x x
≥
− −
313
21
3xx
x( )−
−
≥
3 321 1 3
xx x( )
( )− − −≥
3 321 3
xx x( ) ( )− − −≥
x2
(x – 1) ≥ – (x – 3)
x (x – 1) – 2 (x – 3)≥ x2 – x ≥ – 2x + 6 x2 – x + 2x – 6 ≥ 0 x2 + x – 6 ≥ 0
+ + + + + + + +
– – – ––3 2
Portanto, a solução é: S = {x ∈ R / x ≤ – 3 ou x ≥ 2}.
28) C
I. Verdadeira.
Se a > 1: a x > ax2
x > x2
x2 – x < 0
+ + + + + + + +
– – – –0 1
S = (0, 1)
II. Falsa. Se 0 < a < 1:
a x > ax2
x < x2
x2 – x > 0
+ + + + + + + +
– – – –
S = (– ∞, 0) ∪ (1, ∞)
III. Falsa. Calculado no item I.
IV. Falsa. Calculado no item II.
29) D
ERRATA: considere o item d sendo o intervalo [3, 10].
πx2
– π4 > 0
πx2
> π4
x2 > 4 | x | > 4
| x | > 2 Logo, x < –2 ou x > 2. Portanto, o conjunto de soluções é: S = (– ∞; –2) ∪ (2; ∞). Assim, um intervalo que é solução da equação [3, 10].
30) D
2x – 3 > 22–x
2x – 3 > 22 . 2–x
2x – 3 – 4 . 2–x > 0
2x – 3 – 42x
> 0
( )2 3 2 4
2
2x x
x
− ⋅ − > 0
(2x)2 – 3 . 2x – 4 > 0 Seja y = 2x
y2 – 3y – 4 > 0
+ + + + + + + +
– – – ––1 4
Logo, y < –1 (não serve, pois y < 0) ou y > 4. Substituindo y = 2x em y > 4, teremos: 2x > 4 2 x > 2 2
x > 2 Portanto, a solução é: S = ]2, ∞[.
GABARITO
8 Matemática A
31) ]5, +∞[
f(x) = 1
3 243x − O domínio da função f(x) é dado por: 3x – 243 > 0 3x > 243 3 x > 3 5
x > 5 Portanto, Df = ]5, ∞[.
32) C
12
3
−x
≤ 14
12
3
−x
≤ 12
2
x – 3 ≥ 2 x ≥ 2 + 3 x ≥ 5 Portanto, S = [5, ∞[.
33) E
ERRATA: alternativa correta letra E.
12
3 1
+( )x
. 4 1 2 2( )+ −x x ≥ 18
1
−( )x
12
3 1
+x x.( )
. 22 1 2 2.( )+ −x x ≥ 12
3 1
−( )x
12
3 1
+x x.( )
. 12
2 1 2 2
− + −( )x x
≥ 12
3 1
−( )x
12
3 1 2 1 2 2
+ − + −x x x x.( ) ( )
≥ 12
3 1
−.( )x
x (3x + 1) – 2 (1 + 2x – x )2 ≥ 3 . (x – 1)
3x2 + x – 2 – 4x + 2x2 ≥ 3x – 3 5x2 – 3x – 2 – 3x + 3 ≥ 0 5x2 – 6x + 1 ≥ 0
+ + + + + + + +
– – – –1
5
1
Portanto, o conjunto solução é:
S = {x ∈R / x ≤ 15
ou x ≥ 1}.
34) E
logx + 5 x x
x
2
2
5 41
+ +−
Condição de existência:
x xx
2
2
5 41
+ +−
> 0 e x + 5 > 0
Segue,
x xx
2
2
5 41
+ +−
> 0
+ + + + + + + +
–4
+ + + +
–1
+ + + + + + + +– – – – –+ + + +
–1 1
+ + + + + + + +
–4 –1 1
– – – – –
– – – – –– – – – –
x + 5x + 42
x – 12
Logo, S1 = ] – ∞, –4[ ∪ ]1, ∞[. Temos ainda: x + 5 > 0 x > – 5. Logo, S2 = ]–5, ∞[. Portanto,
–4
–5
–5 4 1
S1
S2
S = S S1 2
∩
1
Portanto, S = {x ∈R / –5 < x < – 4 ou x > 1}.
35) D
log L
15
= – 0,08 . x
Para x = 12,5 cm, temos:
log L
15
= – 0,08 . 12,5
log L
15
= –1
10–1 = L15
L = 15 . 10–1
L = 1510
L = 1,5 lumens.
GABARITO
9Matemática A
36) D
M = 23
. log10 EE0
Para M = 9 e E0 = 104,5, temos:
9 = 23
. log10 E
104 5,
9 32. = log10
E104 5,
272
= log10 E
104 5,
10272 = E
104 5,
E = 10272 . 104,5
E = 10272
4 5+ ,
E = 1027 9
2+
E = 10362
E = 1018 joules
37) E
log(a + 1) (b + 2a) = 2 (a + 1)2 = b + 2a a2 + 2a + 1 = b + 2a a2 + 1 = b (i) Substituindo (i) em 1 + loga (b – 1) = a, teremos: 1 + loga (a
2 + 1 – 1) = a 1 + loga a
2 = a 1 + 2 . loga a = a 1 + 2 . 1 = a a = 3 Substituindo a = 3 em (i), obtemos: 32 + 1 = b 9 + 1 = b b = 10 Portanto, log3a (3b – a) = log3.3 (3 . 10 – 3) = log9 27 = x ⇒ 9x = 27 3 2x = 3 3
2x = 3
x = 32
38) D
logx – 3 (6 – x) Condição de existência: 6 – x > 0 e x – 3 > 0 e x – 3 ≠ 1 x < 6 x > 3 x ≠ 1 + 3 x ≠ 4
6
3
3 6
x 6≤
x > 3
Portanto, 3 < x < 6 e x ≠ 4.
39) B
log3 x = a ⇒ 3a = x (i) log3 (x + 16) = a + 2 ⇒ 3a + 2 = x + 16 (ii) Substituindo (i) em (ii), teremos: 3a . 32 = x + 16 x . 9 = x + 16 9x – x = 16 8x = 16
x = 168
x = 2 40) A
a + b = log 2 + log 4 = log 2 . 4 = log 8 = C Portanto, a + b = C, e assim a alternativa a está
incorreta.
41) B
x2 – 7x + 10 = 0 Resolvendo a equação acima, obtemos: a = 2 ou b = 5.
Segue, log 1ab
= log 1
2 5.
= log 110
= log 10–1
= – log 10 = – 1
GABARITO
10 Matemática A
42) D
80 666, … – log2 0,5
= 82 3/ – log2 0,5
= ( ) /23 2 3 – log2
12
= 23
23
.– log2 2
–1
= 22 – (– log2 2)
= 4 + log2 2
= 2 + 1 = 3
43) C
Do enunciado, temos: log3 x = a ⇔ 3a = x (ii) log3 (x + 16) = a + 3 ⇔ 3a + 3 = x + 16 (ii) Segue, 3a + 3 = x + 16 3a . 33 = x + 16 (3a = x) x . 9 = x + 16 9x – x = 16 8x = 16
x = 168
x = 2
44) 07
01. Correta. logm 1 = 0 = logn 102. Correta.
log 1b
= log b–1 = –1 . log b = – log b
04. Correta.
log amn = log amn =
mn
log a
08. Incorreta.
logb a . loga b = loglog
logbb
b
ab
a⋅ = logb b = 1
16. Incorreta.(m + n) log a = log a( m + n) = log (am . an) = log am + log an
45) A
A = log5 52 – 2 = 2 log5 5 – 2 = 2 . 1 – 2 = 2 – 2 = 0
46) A
log2
2 = b
( 2 )b = 2
(2½)b = 2 2 b/2 = 2
b2
= 1
b = 2 Temos ainda,
log2 2
2= c
2c = 22
2c . 2 = 2
2 c + 1 = 2 ½
c + 1 = 12
c = 12
– 1
c = –12
Logo,
–12
< 12
< 2
c < a < b
47) A
4 2 9log = ( )log22 92 = 22 92log = 2 229log= 92 = 81
48) A
H+ do refrigerante PH = 3 ⇒ 3 = –log H+ .(–1) – 3 = log H+
H+ = 10–3
H+ do estômago PH = 1 ⇒ 1 = –log H+ .(–1) – 1 = log H+
10–1 = H+ Logo, H+ do estômago é 100 vezes maior que do refri-
gerante.
49) D
I. Correta. Para resolução do exercício, considere log2 x – log x3 = 0.
log2 x – log x3 = 0 (log x)2 – 3 log x = 0 Seja log x = y:
GABARITO
11Matemática A
y2 – 3y = 0 y(y – 3) = 0 y = 0 ou y – 3 = 0 ⇒ y = 3 Substituindo y = 0 em log x = y, temos: 0 = log x ⇔ x = 100 ⇔ x = 1 Substituindo y = 3 em log x = y, temos: log x = 3 x = 103 = 1000 Portanto, a soma das raízes é 1000 + 1 = 1001.II. Incorreta.
log 20 – log 2 = log 202
= log 10 ≠ log 18.
III. Correta. log (2x2 + 1) = 1 2x2 + 1 = 101
2x2 = 10 – 1 2x2 = 9
x2 = 92
x = 92
x = 3
2
Logo, x' = 3
2 ou x'' = –
3
2.
IV. Correta. log 64 = log 26 = 6 log 2.
50) C
15x = 1000 (101,176)x = 103
10 1,176x = 10 3
1,176x = 3
x = 31176,
x = 2,551
51) 10
( ) ( ) ( )
( )
a b a b i
a b ii
+ = ⋅ −
− =
3
2 2
1000
10
De (ii) temos: a2 – b2 = 10 (a + b) . (a – b) = 10
(a – b) = 10a b+
(iii)
Substituindo (iii) em (i), obtemos:
(a + b)3 = 103 . 10a b+
(a + b)3 . (a + b) = 104
(a + b)4 = 104
Aplicando logaritmo na base 10 em ambos os lados, teremos:
log (a + b)4 = log 104
4 . log (a + b) = 4 . log 10 4 . log (a + b) = 4 . 1 4 . log (a + b) = 4
log (a + b) = 44
log (a + b) = 1 (alternativa 01 incorreta) a + b = 101
a + b = 10 (alternativa 04 incorreta) Substituindo a + b = 10 em (i), teremos: 103 = 1000 . (a – b)
103 = 103 . (a – b) a – b = 1 (alternativa 16 incorreta) Aplicando logaritmo na base 10 em ambos os lados,
teremos: log (a – b) = log 1 log (a – b) = 0 (alternativa 02 correta) Temos ainda o seguinte sistema:
a b iv
a b v
+ =− =
10
1
( )
( )
Somando (iv) e (v), obtemos: 2a = 11
a = 112
Substituindo a = 112
em (iv), temos:
112
+ b = 10
b = 10 – 112
b = 20 112−
b = 92
Assim,
4a – 2b = 411
22
9
2
2⋅ − ⋅ = 2 . 11 – 9 = 22 – 9 = 13.
Logo, a alternativa 08 é a correta.
52) 09
01. Correta. log3 162 = log3 2 . 34 = log3 2 + log3 3
4
= log3 2 + 4 . log3 3 = log3 2 + 4 = a + 4
GABARITO
12 Matemática A
02. Incorreta.
log3 75 = log3 3 52⋅ = log3 5 3 = log3 5 . 3½
= log3 5 + log3 3½
= log3 5 + 12
. log3 3
= log3 5 + 12
. 1
= b + 12
04. Incorreta. log15 12 (mudança de base)
= log
log3
3
12
15
= log
log3
2
3
3 2
3 5
⋅⋅
= log log
log log3 3
2
3 3
3 2
3 5
++
= 1 2 2
1 53
3
+ ⋅+
log
log
= 1 21++
ab
08. Correta. 5x = 10 log5 10 = x
x = log
log3
3
10
5 (mudança de base)
x = log
log3
3
2 5
5
⋅ = log log
log3 3
3
2 5
5
+
x = a bb+ =
ab
+ bb
= ab
+ 1
16. Incorreta. log 72 = log 23 . 32 (mudança de base)
= log
log3
2 3
3
3 2
10
⋅
= log log
log3
23
3
3
3 2
2 5
+⋅
= 2 3 3 2
2 53 3
3 3
⋅ + ⋅+
log log
log log
= 2 1 3⋅ + ⋅+
aa b
= 2 3++
aa b
53) 15
ERRATA: gabarito 15. 3x + 1 + 34 – x – 36 = 0
3x . 3 + 33
4
x– 36 = 0
3 3 3 3 36 3
3
4⋅ ⋅ + −x x x
x
.= 0
3(3x)2 – 36 . 3x + 34 = 0 Seja y = 3x
3y2 – 36y + 81 = 0 (÷3) y2 – 12y + 27 = 0 Resolvendo a equação acima, obtemos: y' = 3 ou y'' = 9 Substituindo y' = 3 em y = 3x, temos:
3 = 3 x
x = 1 Substituindo y'' = 9 em y = 3x, temos: 9 = 3x
3 2 = 3 x
x = 2 Logo, a = 1 e b = 2, pois a < b. Segue:
01. Correta. log3 (a + b) = log3 (1 + 2) = log3 3 = 102. Correta.
log4 a + log4 b = log4 1 + log4 2 = 0 + 12
= 12
04. Correta. log (b – a) = log (2 – 1) = log 1 = 008. Correta.
log ab
= log 1
2 = log 2–1 = – log 2 = – log b
54) D
I. Incorreta. Pois log 6 + log 7 = log (6 . 7).
II.
log (42 ÷ 7) = log 427
= log 42 – log 7
(logaritmo do quociente) Temos ainda: log (42 ÷ 7) = log 6 Portanto, log (42 ÷ 7) = log 42 – log 7 = log 6.
III. Correta. log 49 = log 72 = 2 log 7
IV. Correta. log 42 = log 6 . 7 = log 6 + log 7
GABARITO
13Matemática A
55) E
loga (b . c2) = loga b + loga c2
= loga b + 2 loga c = 2 + 2 . 3 = 2 + 6 = 8
56) E
log 72 = log (23 . 32) = log 23 + log 32
= 3 log 2 + 2 log 3 = 3 . 0,3 + 2 . 0,4 = 0,9 + 0,8 = 1,7
57) D
logb ( ab5 ) = logb (a.b)1/5 = 15
logb (a.b)
= 15
(logb a + logb b)
= 15
(logb a + 1)
Daí,
15
(logb a + 1) = 5
logb a + 1 = 5 . 5 logb a + 1 = 25 logb a = 25 – 1 logb a = 24
58) E
x = log 12
+ log 2
3
+ log 34
+ log 45
+ log 56
+
log 67
+ log 78
+ log 89
+ log 910
x = log 1 – log 2 + log 2 – log 3 + log 3 – log 4 + log 4 – log 5 + log 5 – log 6 + log 6 – log 7 + log 7 – log 8 + log 8 – log 9 + log 9 – log 10
x = log 1 + (– log 2 + log 2) + (– log 3 + log 3) + (– log 4 + log 4) + (– log 5 + log 5) + (– log 6 + log 6) + (– log 7 + log 7) + (– log 8 + log 8) + (– log 9 + log 9) – log 10
x = log 1 – log 10x = 0 – 1x = –1
59) A
log R = 3 log a – 13
log b – 53
log c + log 7
log R = log a3 + log b–1/3 + log c–5/3 + log 7
log R = log a3 + log 13 b
+ log 153 c
+ log 7
log R = log (a3 . 13 b
. 153 c
. 7)
log R = log 7 3
3 53
a
b c⋅
log R = log 7 3
53
a
b c⋅
R = 7 3
53
a
b c⋅
60) A
log3 ( )a ba b
2 2+⋅
= log3 a ab ba b
2 22+ +⋅
= log3 ( )a b aba b
2 2 2+ +⋅
= log3 28 2ab aba b+⋅
= log3 30 ab
ab = log3 30 (mudança de base)
= loglog
303
= loglog
3 103⋅
= log loglog3 10
3+
=
1225
1
1225
+=
37251225
= 3712
GABARITO
14 Matemática A
61) A
Número de habitantes de hoje (t = 0): N = 40 000 (1,02)0
N = 40 000 O valor de t(tempo) para que a população dobre é:
2 40000 40000 102⋅ = ( , )t
2 = (1,02)t
Aplicando o logaritmo na base 10 em ambos os lados, temos:
log 2 = log (1,02)t
log 2 = t . log (1,02)
t = loglog ( , )
2102
62) A
f(x) = 9 . 4x – 6 . 2x + 1 9 . 4x – 6 . 2x + 1 = 0 9 . (2x)2 – 6 . 2x + 1= 0 Seja y = 2x: 9 y2 – 6y + 1= 0 Resolvendo a equação acima, temos:
y' = y'' = 13
Substituindo y = 13
em y = 2x, obtemos:
13
= 2x
3–1 = 2x
log2 3–1 = x
– log2 3 = x
x = –loglog
32
x = – log
log
622
x = – (log log )log6 2
2−
x = – log log
log
6105
105
−
x = – log (log log )
log log
6 10 5
10 5
− −[ ]−
x = log log loglog log6 10 5
5 10− +−
x = q pp− +−1
1
x = pp
qp
−−+−
11 1
x = 1 + qp−1