Exercícios de Geometria Analítica Ponto e Reta · plano e r a reta de equação y = 2 x. a)...

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Exercícios de Geometria Analítica Ponto e Reta

1) (FGV-2004) No plano cartesiano, o ponto P que pertence

à reta de equação y = x e é eqüidistante dos pontos A(-1,3)

e B(5,7) tem abscissa igual a:

a) 3,1

b) 3,3

c) 3,4

d) 3,5

e) 3,2

2) (UFSCar-2004) Os pontos A(3, 6), B(1, 3) e C(xC, yC) são

vértices do triângulo ABC, sendo M(xM, yM) e N (4, 5)

pontos médios dos lados AB e AC, respectivamente.

a) Calcule a distância entre os pontos M e N.

b) Determine a equação geral da reta suporte do lado BC do

triângulo ABC.

3) (Vunesp-2003) Dados dois pontos, A e B, com

coordenadas cartesianas (- 2,1) e (1,- 2), respectivamente,

conforme a figura,

a) calcule a distância entre A e B.

b) Sabendo-se que as coordenadas cartesianas do baricentro

do triângulo ABC são (xG,yG) = (3

2 ,1), calcule as

coordenadas (xC,yC) do vértice C do triângulo.

4) (Vunesp-1998) Os vértices da base de um triângulo

isósceles são os pontos (1, -1) e (- 3, 4) de um sistema de

coordenadas cartesianas retangulares. Qual a ordenada do

terceiro vértice, se ele pertence ao eixo das ordenadas?

5) (UFSCar-2003) Dados os pontos A(2,0), B(2,3) e C(1,3),

vértices de um triângulo, o raio da circunferência

circunscrita a esse triângulo é

a) 3

10

b) 3

10

c) 2

2

d) 2

10

e) 10

6) (Vunesp-2003) O triângulo PQR, no plano cartesiano, de

vértices P = (0,0), Q = (6,0) e R = (3,5), é

a) equilátero.

b) isósceles, mas não equilátero.

c) escaleno.

d) retângulo.

e) obtusângulo.

7) (UEL-1998) Considere os pontos A(1; -2), B(2; 0) e C(0; -

1).

O comprimento da mediana do triângulo ABC, relativa ao

lado AC, é:

a) 8 2

b) 6 2

c) 4 2

d) 3 2

e) 2

23

8) (UCDB-0) Um triângulo tem vértices A(15,10), B(6,0) e

(0,10). Então a mediana AM mede:

a) 10 u.c.

b) 11 u.c.

c) 12 u.c.

d) 13 u.c.

e) 9 u.c.

9) (UNIFOR-0) O triângulo de vértices (0,3), (–2,0) e (2,–2

1)

é:

a) inexistente

b) equilátero

c) isósceles

d) escaleno

e) retângulo

10) (Fuvest-1999) Uma reta passa pelo ponto P = (3,1) e é

tangente à circunferência de centro C = (1,1) e raio 1 num

ponto T. Então a medida do segmento PT é:

a) 3

b) 2


c) 5

d) 6

e) 7

11) (UFMG-1995) Os pontos P e Q pertencem à reta de

equação y = mx, têm abscissas a e a + 1, respectivamente.

A distância entre P e Q é 10 . A ordenada do ponto dessa

reta que tem abscissa 5 é negativa.

Nessas condições, o valor de m é:

a) – 3

b) – 10

c) 3

d) 10 /10

e) 10

12) (UNIFESP-2007) Quatro números complexos

representam, no plano complexo, vértices de um

paralelogramo. Três dos números são z1 = –3 –3i, z2 = 1 e z3

= –1 + (2

5)i. O quarto número tem as partes real e

imaginária positivas. Esse número é

a) 2 + 3i.

b) 3 + (11/2)i.

c) 3 + 5i.

d) 2 + (11/2)i.

e) 4 + 5i.

13) (UNIFESP-2004) Considere os gráficos das funções

definidas por f(x) = log10(x) e g(x) = 10x, conforme figura

(fora de escala).

a) Dê as coordenadas de M, ponto médio do segmento AB.

b) Mostre que (fog)(x) = x e (gof)(x) = x, para todo x >0.

14) (UNIFOR-0) No plano cartesiano, os pontos (0,0), (3,3) e

(7,–1) são vértices de um retângulo. O quarto vértice deste

retângulo é:

a) (–4,4)

b) (3,–3)

c) (4,2)

d) (4,–4)

e) (6,0)

15) (ITA-1995) Três pontos de coordenadas,

respectivamente, (0,0), (b,2b) e (5b,0), com b>0, são

vértices de um retângulo. As coordenadas do quarto vértice

são dadas por:

a) (-b, -b)

b) (2b, -b)

c) (4b, -2b)

d) (3b, -2b)

e) (2b, -2b)

16) (Fuvest-2004) Duas irmãs receberam como herança um

terreno na forma do quadrilátero ABCD, representado

abaixo em um sistema de coordenadas. Elas pretendem

dividi-lo, construindo uma cerca reta perpendicular ao lado

AB e passando pelo ponto P = (a, 0). O valor de a para que

se obtenham dois lotes de mesma área é:

a) 5 - 1

b) 5 - 2 2

c) 5 - 2

d) 2 + 5

e) 5 + 2 2

17) (Mack-2007) Os gráficos de y = x + 2 e x + y = 6

definem, com os eixos, no primeiro quadrante, um

quadrilátero de área

a) 12

b) 16

c) 10

d) 8

e) 14

18) (VUNESP-2007) Um triângulo tem vértices P = (2,1), Q

= (2,5) e R = (x0,4), com x0 > 0. Sabendo-se que a área do

triângulo é 20, a abscissa x0 do ponto R é:

a) 8.

b) 9.

c) 10.

d) 11.

e) 12.

19) (UNIFESP-2004) Considere a região sombreada na

figura, delimitada pelo eixo Ox e pelas retas de equações y

= 2x e x = k, k >0.


Nestas condições, expresse, em função de k:

a) a área A(k) da região sombreada.

b) o perímetro do triângulo que delimita a região

sombreada.

20) (Unicamp-1999) Uma reta intersecciona nos pontos A

(3, 4) e B (-4, 3) uma circunferência centrada na origem.

a) Qual é o raio dessa circunferência?

b) Calcule a área do quadrilátero cujos vértices são os

pontos A e B e seus simétricos em relação à origem.

21) (Unifesp-2002) No triângulo QPP' do plano cartesiano,

temos Q = (a,0), com a < 0, P = (4,2) e P' o simétrico de P

em relação ao eixo x. Sabendo que a área desse triângulo é

16, o valor de a é:

a) – 5.

b) – 4.

c) – 3.

d) – 2.

e) – 1.

22) (Vunesp-2002) Sejam A = (2,0) e B = (5,0) pontos do

plano e r a reta de equação y = 2x

.

a) Represente geometricamente os pontos A e B e esboce o

gráfico da reta r.

b) Se C = (x, 2x

), com x > 0, é um ponto da reta r, tal que o

triângulo ABC tem área 6, determine o ponto C.

23) (U Passo Fundo-0) Os pontos A(-1,1), B(2,-2) e C(3,4):

a) estão alinhados

b) formam um triângulo retângulo

c) formam um triângulo isósceles

d) formam um triângulo escaleno de 42 u.a.

e) formam um triângulo escaleno de 10,5 u.a.

24) (Cesgranrio-1995) A área do triângulo, cujos vértices

são (1,2), (3,4) e (4,-1), é igual a:

a) 6.

b) 8.

c) 9.

d) 10.

e) 12.

25) (Cesgranrio-1994) A área do triângulo cujos vértices

são os pontos (1,2), (3,5) e (4,-1) vale:

a) 4,5

b) 6

c) 7,5

d) 9

e) 15

26) (VUNESP-2007) Sejam P = (a, b), Q = (1, 3) e R = (–1, –

1) pontos do plano.

Se a + b = 7, determine P de modo que P, Q e R sejam

colineares.

27) (IBMEC-2005) Para que os pontos do plano cartesiano

de coordenadas (1: 1), (a: 2) e (2: b) estejam sobre uma

mesma reta é necessário e suficiente que

a) ab = a – b.

b) ab = a + b.

c) ab = b – a.

d) ab = a2 – b

2.

e) ab = a2 + b

2.

28) (UERJ-1998)

(O Estado de São Paulo, 16/08/97)

Considere os pontos A, B e C nas condições mencionadas

na tirinha.

a) Se A, B e C pertencem a uma mesma reta, calcule a

distância entre A e C quando:

» A está situado entre B e C;

» A está situado fora do segmento BC.

b) Se A, B e C estiverem no plano cartesiano, sendo A um

ponto móvel, B um ponto do semi-eixo positivo das

abscissas (x) e C a origem (0,0), determine a equação da

linha descrita pelo ponto A e identifique a curva

correspondente.

29) (Fuvest-2000) Se (m + 2n, m – 4) e (2 – m, 2n)

representam o mesmo ponto do plano cartesiano, então mn é

igual a:

a) –2

b) 0

c) 2

d) 1

e) 2

1


30) (Unifesp-2002) Um ponto do plano cartesiano é

representado pelas coordenadas (x + 3y, –x –y) e também

por (4 + y, 2x + y), em relação a um mesmo sistema de

coordenadas. Nestas condições, xy é igual a

a) – 8.

b) – 6.

c) 1.

d) 8.

e) 9.

31) (FUVEST-2007) Na figura abaixo, os pontos A1, A2, A3,

A4, A5, A6 são vértices de um hexágono regular de lado 3

com centro na origem O de um sistema de coordenadas no

plano. Os vértices A1 e A4 pertencem ao eixo x. São dados

também os pontos B = (2, 0) e C = (0, 1).

Considere a reta que passa pela origem O e intersecta o

segmento BC no ponto P, de modo que os triângulos OPB e

OPC tenham a mesma área. Nessas condições, determine

a) a equação da reta OP

b) os pontos de interseção da reta OP com o hexágono.

32) (Fuvest-1996) Para cada número real m seja Pm=(xm,ym)

o ponto de intersecção das retas mx + y = 1 e x - my = 1.

Sabendo-se que todos os pontos Pm pertencem a uma

mesma circunferência, qual é o centro dessa circunferência?

a) (1/2, 1/2)

b) (0,0)

c) (-1/2, 1/2)

d) (-1/2, -1/2)

e) (1,1)

33) (UNICAMP-2008) O texto 2 da coletânea faz

referência ao combate à dengue. A tabela abaixo fornece

alguns dados relativos aos casos de dengue detectados no

município de Campinas na primeira metade do ano de

2007. A primeira coluna da tabela indica os distritos do

município, segundo a prefeitura. A segunda indica a

população aproximada de cada distrito. A terceira informa

os casos de dengue confirmados. Na última, são

apresentados os coeficientes de incidência de dengue em

cada distrito. A figura à direita é uma representação

aproximada dos distritos de Campinas.

Distrito de

Campinas

População

(x1000 hab)

Casos de

dengue

Coeficiente de

incidência

(casos por

10000hab)

Norte 181 1399 77,3

Sul 283 1014 35,8

Leste 211 557 26,4

Sudoeste 215 1113 51,8

Noroeste 170 790

Total 1060

Fonte: Secretaria Municipal de Saúde de Campinas

Coordenadoria de Vigilância e Saúde Ambiental (dados

preliminares).

Responda às questões abaixo, tomando por base os dados

fornecidos na tabela e na figura mostradas acima.

a) Calcule a área total do município de Campinas, sabendo

que os distritos norte, leste, sul e noroeste da cidade têm,

respectivamente, 175 km2, 350 km

2, 120 km

2 e 75 km

2.

b) Suponha que, como uma medida de combate à dengue, o

município de Campinas tenha decidido fazer uma

nebulização (ou pulverização) de inseticida. Na fase

inicial da nebulização, será atendido o distrito com

maior número de casos de dengue por km2. Reproduza o

diagrama ao lado em seu caderno de respostas. Em seu

diagrama, marque os pontos correspondentes aos cinco

distritos de Campinas. Identifique claramente o distrito


associado a cada ponto. Com base no gráfico obtido,

indique o distrito em que será feita essa nebulização inicial.

Justifique sua resposta.

34) (UNIFESP-2004) Na figura, estão representados, no

plano cartesiano xOy, a reta de equação y = 2kx, 0 k 2

3

, a parábola de equação y = -x2 + 3x e os pontos O, P e Q de

intersecções da parábola com o eixo Ox e da reta com a

parábola. Nestas condições, o valor de k para que a área do

triângulo OPQ seja a maior possível é:

a) 2

1

b) 4

3

c) 8

9

d) 8

11

e) 2

3

35) (FGV-2004) No plano cartesiano, o ponto P que pertence

à reta de equação y = x e é eqüidistante dos pontos A(-1,3)

e B(5,7) tem abscissa igual a:

a) 3,1

b) 3,3

c) 3,4

d) 3,5

e) 3,2

36) (Emescam-2002) Dados os pontos A(0,0) , B(–2,2) ,

C(0,3) e D(3,3), considere as seguintes afirmações:

I. O quadrilátero ABCD é um trapézio.

II. A equação da reta que passa pelos pontos A e B é

x + y = 0.

III. A reta de equação x – 5y + 10 = 0 é perpendicular

à reta que passa pelos pontos B e D.

IV. O ponto simétrico de D em relação ao eixo das

abscissas é o ponto S(3,–3).

V. A área do triângulo ACD vale 4,5 u.a. (unidades

de área).

Assinale a opção que corresponde à alternativa correta:

a) I, III e V são verdadeiras

b) somente III é verdadeira

c) III e V são verdadeiras

d) II é falsa

e) II, IV e V são verdadeiras

37) (Fuvest-2002) Sejam A = (0, 0), B = (8, 0) e C = (-1, 3)

os vértices de um triângulo e D = (u, v) um ponto do

segmento BC. Sejam E o ponto de intersecção de AB com a

reta que passa por D e é paralela ao eixo dos y e F o ponto

de intersecção de AC com a reta que passa por D e é

paralela ao eixo dos x.

a) Determine, em função de u, a área do quadrilátero

AEDF.

b) Determine o valor de u para o qual a área do quadrilátero

AEDF é máxima.

38) (Fuvest-1996) Considere no plano cartesiano, os pontos

P=(0,-5) e Q=(0,5). Seja X=(x,y) um ponto qualquer com

x>0.

a) Quais são os coeficientes angulares das retas PX e QX?

b) Calcule, em função de x e y, a tangente do ângulo PXQ.

c) Descreva o lugar geométrico dos pontos X=(x,y) tais que

x>0 e PXQ=/4 radianos.

39) (Mack-1996) Na figura a seguir, cotg = 4, tg = 3

2 e

M (2, 3) é o ponto médio de AB. Então o coeficiente

angular da reta que passa pelos pontos A e B é:

a) -1.

b) -2.

c) -5

3 .

d) -5

4.

e) -2

5 .


40) (UFSCar-2009) Em relação a P(x), um polinômio de

terceiro grau, sabe-se que P(-1) = 2, P(0) = 1, P(1) = 2 e

P(2) = 7.

a) Determine a equação reduzida da reta que passa pelo

ponto em que o gráfico da função polinomial P(x) cruza o

eixo y, sabendo que essa reta tem coeficiente angular

numericamente igual à soma dos coeficientes de P(x).

b) Determine P(x).

41) (UFSCar-2005) Seja A = (p, 3 p) um ponto de

intersecção da reta (r) y = qx com a circunferência λ de

centro C = (0,0), com p real e diferente de 0.

a) Construa o gráfico da reta r e determine seu ângulo de

inclinação.

b) Sendo R a coroa circular definida pelas circunferências,

com as características de λ, tais que 1 p 9, calcule a área

da região formada pela intersecção de R com {(x,y) | y

qx}.

42) (FGV-2004) a) No triângulo ABC da figura ao lado,

sabe-se que:

a =

c3

7

, sen = 7

34

, 90 < b < 180

Determine o valor do ângulo α.

b) Escreva a equação da bissetriz do maior ângulo formado

pelas retas y = 3 e y = 2 3x .

43) (AFA-1998) Seja P(3,1) o ponto médio do segmento AB,

onde A é intersecção da reta (t) com a reta (r) 3x - y = 0 e

B, a intersecção de (t) com a reta (s) x + 5y = 0. O

coeficiente angular de (t) é

a) negativo.

b) par positivo.

c) 5, pois (t) é perpendicular à (s).

d) nulo, isto é, a reta é do tipo y = k, k = constante.

44) (FMTM-2002) A figura representa um pentágono

regular ABCDE no sistema de coordenadas cartesianas de

origem O. O ponto A pertence ao eixo y e o segmento BC,

de medida 1, está contido no eixo x. A equação da reta que

contém o segmento AB é

a) y = tg 72o ·x + sen 72

o.

b) y = tg 72o ·x sen 36

o.

c) y = tg 36o ·x cos 36

o.

d) y = tg 72o ·x + cos 72

o.

e) y = tg 36o ·x + cos 72

o.

45) (Fatec-2002) As dimensões do retângulo de área

máxima localizado no primeiro quadrante, com dois lados

nos eixos cartesianos e um vértice sobre o gráfico de f(x) =

12 - 2x são:

a) 2 e 9

b) 3 e 6

c) 3 e 6 3

d) 2 2 e 9 2 /2

e) 3 2 e 3 2 46) (FGV-2002) a) No plano cartesiano, qual o gráfico dos

pontos (x, y) que satisfazem a relação x2 – y

2 = 0?

b) No plano cartesiano, qual a equação da circunferência de

raio 3, com centro pertencente à reta

x – y = 0 e tangente à reta 3x + 4y = 0?

47) (Fuvest-1998) Uma reta de coeficiente angular m > 0

passa pelo ponto (2,0) e é tangente à circunferência inscrita

no quadrado de vértices (1,1), (5,1), (5,5) e (1,5). Então:

a) 0 < m < 3

1

b) m = 3

1

c) 3

1 < m < 1

d) m = 1

e) 1 < m < 3

5

48) (FUVEST-2009) Na figura ao lado, a reta r tem equação y

= 2 2 x + 1 no plano cartesiano Oxy. Além disso, os

pontos B0, B1, B2, B3 estão na reta r, sendo B0 = (0, 1).

Os pontos A0, A1, A2, A3 estão no eixo Ox, com A0 = O =

(0, 0). O ponto Di pertence ao segmento AiBi, para 1 i 3.

Os segmentos A1B1, A2B2, A3B3 são paralelos ao eixo Oy,

os segmentosB0D1, B1D2, B2D3 são paralelos ao eixo Ox, e

a distância entre Bi e Bi + 1 é igual a 9, para 0 i 2.


Nessas condições:

a) Determine as abscissas de A1, A2, A3.

b) Sendo Ri o retângulo de base Ai Ai + 1 e altura Ai + 1 Di + 1,

para 0 i 2, calcule a soma das áreas dos retângulos R0,

R1 e R2.

49) (Mack-2008) As retas y = x21 , y =

43 e x = 0 definem

um triângulo, cuja raiz quadrada da área é

a) 43

b)6

2

c) 4

3

d) 83

e) 53

50) (FGV-SP-2008) Os carros flex, com motores que

funcionam tanto a gasolina quanto a álcool, já representam

mais da metade dos veículos novos vendidos no País, mas

muitos consumidores ainda têm dúvidas sobre a

confiabilidade, o consumo, o funcionamento e a

manutenção dos motores bicombustíveis, bem como sobre

quando utilizar álcool ou gasolina para economizar.

Segundo informações de uma montadora a respeito de um

carro flex por ela lançado recentemente, o consumo médio

do veículo na cidade é de 10,0 km/l com gasolina e 7,3 km/l

quando abastecido com álcool.

a) A partir do consumo médio do veículo com gasolina e

com álcool, estabeleça uma função que forneça a distância

que o veículo percorre com álcool em relação à que

percorre com gasolina, considerando a mesma quantidade

de litros dos dois combustíveis.

Esboce o gráfico dessa função. (1)

b) Em que condição é mais vantajoso abastecer com

álcool? Justifique a sua resposta a partir da análise do

gráfico esboçado no item A.a). (2)

c) A tabela abaixo apresenta dados sobre o preço médio da

gasolina e do álcool, no período de 22 a 28/07/2007, em

alguns estados brasileiros. Analise qual dos dois

combustíveis torna o abastecimento mais vantajoso em cada

um dos estados. Justifique sua resposta. (3)

Preços praticados em alguns estados do Brasil, período de

22 a 28/07/2007

ESTADO Preço médio

gasolina

Preço médio álcool

AMAPA 2,219 1,983

MATO

GROSSO

2,920 1,235

PIAUI 2,576 1,866

SÃO PAULO 2,399 1,176

(adaptado de http://www.anp.gov.br/i_preco/)

51) (Vunesp-2006) Num sistema de coordenadas cartesianas

ortogonais, o coeficiente angular e a equação geral da

reta que passa pelos pontos P e Q, sendo P = (2, 1) e Q o

simétrico, em relação ao eixo y, do ponto Q’ = (1, 2) são,

respectivamente:

a) 3

1

; x - 3y - 5 = 0

b) 3

2

; 2x - 3y -1 = 0

c) - 3

1 ; x + 3y - 5 = 0

d) 3

1 ; x + 3y - 5 = 0

e) - 3

1 ; x + 3y + 5 = 0

52) (FUVEST-2006) O conjunto dos pontos (x, y) do plano

cartesiano que satisfazem t2 - t - 6 = 0, onde t = |x - y|,

consiste de

a) uma reta.

b) duas retas.

c) quatro retas.

d) uma parábola.

e) duas parábolas.

53) (FMTM-2005) Sejam (r) e (s) retas de equações 2x+y-

4=0 e x-2y+3=0, respectivamente. Em relação ao losango

ACBD, sabe-se que:

- os vértices A e B são os interceptos de (r) com os eixos

cartesianos;

- o vértice C pertence à reta (s) e dista 6 unidades da reta

(r);

- os vértices C e D não são consecutivos.

Em tais condições, a área do losango ACBD é

a) 12 5 .

b) 6 5 .


c) 4 5 .

d) 4 2 .

e) 5 2 .

54) (Mack-2005) Uma reta passa pelos pontos (, 0) e (0,

b), sendo que o seu coeficiente angular é a raiz de um

polinômio de grau 1 com coeficientes inteiros e não nulos.

Então, necessariamente, b é um número:

a) inteiro par.

b) inteiro ímpar.

c) racional positivo.

d) racional negativo.

e) irracional

55) (UFSCar-2004) Os pontos A(3, 6), B(1, 3) e C(xC, yC)

são vértices do triângulo ABC, sendo M(xM, yM) e N (4, 5)

pontos médios dos lados AB e AC, respectivamente.

a) Calcule a distância entre os pontos M e N.

b) Determine a equação geral da reta suporte do lado BC do

triângulo ABC.

56) (FGV-2004) Seja r a reta 4x + 7y - 56 = 0 que intercepta

o eixo das ordenadas no ponto A e o eixo das abscissas no

ponto B. Considere uma reta s, que passa pela origem

O(0,0) e intercepta a reta r no ponto C, de modo que a área

do triângulo OCB seja igual à metade da área do triângulo

OAC.

a) Encontre a equação da reta s.

b) Determine as coordenadas do ponto C.

57) (Fatec-2003) Na figura abaixo os pontos A, B e C

estão representados em um sistema de eixos cartesianos

ortogonais entre si, de origem O.

É verdade que a equação da

a) circunferência de centro em B e raio 1 é x2 + y

2 - 8x - 6y

+ 24 = 0.

b) circunferência de centro em B e raio 1 é x2 + y

2 - 6x - 4y

+ 15 = 0.

c) reta horizontal que passa por A é y = 2.

d) reta que passa por C e é paralela à bissetriz do 1o

quadrante é x - y - 2 = 0.

e) reta que passa por C e é paralela à bissetriz do 1o

quadrante é x + y - 2 = 0.

58) (Vunesp-1998) Num sistema de coordenadas cartesianas

ortogonais xOy, considere a reta r de equação y = x + 1 e o

ponto P = (2,1). O lugar geométrico dos pontos do plano,

simétricos dos pontos de r em relação a P, é a reta de

equação:

a) y = x - 1.

b) y = - x + 1.

c) y = x + 3.

d) y = x - 3.

e) y = - x + 2.

59) (Mack-2002)

Os pontos A e B estão no gráfico de y = 1/x, x > 0. A reta

r, determinada pelos pontos A e B, forma com os eixos

cartesianos um triângulo de área:

a) 2

3

b) 2

1

c) 4

7

d) 4

9

e) 2

5


60) (UFMG-1994) Observe a figura.

Nessa figura, M = (a, a) é ponto médio do segmento AC, A

= (2, 6), B = (0, a) e C = (c, 0). A equação da reta BC é:

a) 2y - 3x = 6

b) 2y + 3x = 6

c) 3x + 4y = 12

d) 3x - 4y = 12

e) 4x + 2y = 12

61) (Fuvest-2003) Duas retas s e t do plano cartesiano se

interceptam no ponto (2, 2). O produto de seus coeficientes

angulares é 1 e a reta s intercepta o eixo dos y no ponto (0,

3). A área do triângulo delimitado pelo eixo dos x e pelas

retas s e t é:

a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

62) (Mack-2002) Pelo vértice da curva y = x

2 – 4x + 3, e

pelo ponto onde a mesma encontra o eixo das ordenadas,

passa uma reta que define com os eixos um triângulo de

área:

a) 2

b)4

11

c)4

3

d) 3

e) 4

9

63) (Vunesp-2002) Sejam A = (2,0) e B = (5,0) pontos do

plano e r a reta de equação y = 2x

.

a) Represente geometricamente os pontos A e B e esboce o

gráfico da reta r.

b) Se C = (x, 2x

), com x > 0, é um ponto da reta r, tal que o

triângulo ABC tem área 6, determine o ponto C.

64) (UFPI-0) A reta r passa pelos pontos (1, 2) e (3, 1) e

intercepta os eixos coordenados nos pontos P e Q. O valor

numérico da distância entre P e Q é:

a) 2

5

b) 5

5

c) 2

55

d) 5

25

e) 4

55

65) (Fuvest-1982) Dados os pontos A (2, 3) e B (8, 5):

a) Achar a equação da reta AB.

b) Achar a equação da mediatriz do segmento AB.

66) (Fuvest-1999) Uma reta r determina, no primeiro

quadrante do plano cartesiano, um triângulo isósceles, cujos

vértices são a origem e os pontos onde a reta intercepta os

eixos Ox e Oy. Se a área desse triângulo é 18, a equação de

r é:

a) x – y = 4

b) x – y = 16

c) x + y = 2

d) x + y = 4

e) x + y = 6

67) (UFSCar-2000) Considere a reta r: (a+1)

2x+(a

2-a)y - 4a

2

+ a -1 = 0

a) Mostre que essa reta passa por um ponto cujas

coordenadas não dependem do parâmetro a.

b) Determine a de modo que r seja perpendicular à reta s: x

- 1 = 0.

68) (UFSCar-2008) Admita os pontos A(2, 2) e B(–3, 4)

como sendo vértices opostos de um losango ACBD.

a) Determine a equação geral de cada uma das retas

suportes das diagonais do losango ACBD.

b) Calcule o comprimento do lado do losango ACBD,

admitindo-se que um de seus vértices esteja no eixo das

abscissas.

69) (UNICAMP-2007) Seja dada a reta x – 3y + 6 = 0 no

plano xy.

a) Se P é um ponto qualquer desse plano, quantas retas do

plano passam por P e formam um ângulo de 45º com a reta

dada acima?

b) Para o ponto P com coordenadas (2, 5), determine as

equações das retas mencionadas no item (a).


70) (Mack-2005) Na figura, se a equação da reta r é 3x + y -

4 = 0 , a área do triângulo ABC é:

a) 240

b) 220

c) 200

d) 260

e) 280

71) (Unicamp-2004) Os pontos A, B, C e D pertencem ao

gráfico da função y = 1/x, x > 0. As abcissas de A, B e C

são iguais a 2, 3 e 4, respectivamente, e o segmento AB é

paralelo ao segmento CD.

a) Encontre as coordenadas do ponto D.

b) Mostre que a reta que passa pelos pontos médios dos

segmentos AB e CD passa também pela origem.

72) (AFA-1998) A reta (s), simétrica de (r) x - y + 1 = 0 em

relação à reta (t) 2x + y + 4 = 0,

a) passa pela origem.

b) forma um ângulo de 60O com (r).

c) tem -

1

5 como coeficiente angular.

d) é paralela à reta de equação 7y - x + 7 = 0.

73) (Fuvest-2001) A hipotenusa de um triângulo retângulo

está contida na reta r : y = 5x - 13, e um de seus catetos está

contido na reta s : y = x - 1. Se o vértice onde está o ângulo

reto é um ponto da forma (k, 5) sobre a reta s, determine

a) todos os vértices do triângulo;

b) a área do triângulo.

74) (Fuvest-1999) A reta r tem equação 2x + y = 3 e

intercepta o eixo x no ponto A. A reta s passa pelo ponto

P=(1, 2) é perpendicular a r. Sendo B e C os pontos onde s

intercepta o eixo x e a reta r, respectivamente:

a) determine a equação de s.

b) calcule a área do triângulo ABC.

75) (UFMG-2003) Considere as retas cujas equações são y =

-x+4 e y = mx, em que m é uma constante positiva. Nesse

caso, a área do triângulo determinado pelas duas retas e o

eixo das abscissas é

a) 12m

4m2

b) 4m2

c) 1m

8m

d) 12m

102m

76) (UFMG-2003) Considere a parábola de equação y = 8x -

2x2 e a reta que contém os pontos (4,0) e (0,8). Sejam A e B

os pontos da interseção entre a reta e a parábola.

DETERMINE a equação da mediatriz do segmento AB.

77) (AFA-1999) O eixo das ordenadas, a reta r: y = 2x -1 e s,

que é perpendicular a r e passa pela origem, determinam um

polígono cujo valor da área é

a)

1

5 .

b)

2

5 .

c)

5

5 .

d)

2 5

5 .

78) (Mauá-2002) Precisa-se projetar um canal retilíneo para

a ligação entre dois rios situados numa região plana. Nessa

região, a representação matemática do curso de um dos rios

é dada pela equação y = x2 e a do outro, pela equação y = x-

2. Admitindo-se que o canal possa ser construído em

qualquer lugar entre os dois rios, qual seu menor

comprimento possível?

79) (ITA-1996) São dadas as parábolas p1:y=x24x1 e

p2:y=x23x+11/4 cujos vértices são denotados,

respectivamente, por V1 e V2. Sabendo que r é a reta que

contém V1 e V2, então a distância de r até à origem é:

a) 5/ 26

b) 7/ 26

c) 7/ 50

d) 17/ 50

e) 11/ 74


80) (UNIFESP-2007) Em um plano cartesiano, seja T o

triângulo que delimita a região definida pelas inequações y

2, x 0 e x – y 2.

a) Obtenha as equações de todas as retas que são

eqüidistantes dos três vértices do triângulo T.

b) Obtenha a equação da circunferência circunscrita ao

triângulo T, destacando o centro e o raio.

81) (Vunesp-2006) Fixado um sistema de coordenadas

ortogonais em um plano, considere os pontos O(0, 0), A(0,

2) e a reta r de equação y = -1.

a) Se a distância do ponto Q(x0, 2) ao ponto A é igual à

distância de Q à reta r, obtenha o valor de x0, supondo x0 > 0.

b) Obtenha a equação do lugar geométrico dos pontos P(x,

y) desse plano, cuja distância até o ponto A é igual à

distância até a reta r.

82) (AFA-1999) A distância entre o ponto de interseção das

retas r: 2x - 3y + 4 = 0 e s:

x t

y t

2

2 1, t R e a reta q: y

=

1

2

1

8x

é

a) 4 5 .

b)

3 7

20 .

c)

3 5

10 .

d)

5 7

4 .

83) (VUNESP-2009) Determine as equações das retas que

formam um ângulo de 135º com o eixo dos x e estão à

distância 2 do ponto (– 4, 3).

84) (UFPB-2006) Em uma lâmina triangular homogênea,

com vértices nos pontos A (a, b ), B (c, d ) e C (e, f ), o seu

centro de massa é, por definição, o ponto

3,

3

fdbecaM

. Se os vértices dessa lâmina

estão nos pontos A (0 , 0), B (12 , 0) e C (0 , 9), a distância,

em unidades de comprimento, do seu centro de massa M à

reta que passa pelos pontos B e C , será:

a) 5

4

b) 5

12

c) 5

3

d) 5

e) 12

f) 4

85) (UNIFESP-2004) Considere a reta de equação 4x - 3y +

15 = 0, a senóide de equação y = sen(x) e o ponto P =

3,

2

conforme a figura. A soma das distâncias de P à

reta e de P à senóide é:

a) 5

212

b) 5

213

c) 5

214

d) 5

215

e) 5

216

86) (FGV-2005) No plano cartesiano, seja P o ponto situado

no 1º- quadrante e pertencente à reta de equação y = 3x.

Sabendo que a distância de P à reta de equação 3x + 4y = 0

é igual a 3, podemos afirmar que a soma das coordenadas

de P vale:

a) 5,6

b) 5,2

c) 4,8

d) 4,0


e) 4,4

87) (UFC-2004) Considere a reta r cuja equação é y = 3x.

Se Po é o ponto de r mais próximo do ponto Q(3, 3) e d é a

distância de Po a Q, então d 10 é igual a:

a) 3

b) 4

c) 5

d) 6

e) 7

88) (FGV-2003) No plano cartesiano, existem dois valores

de m de modo que a distância do ponto P(m, 1) à reta de

equação 3x + 4y + 4 = 0 seja 6; a soma destes valores é:

a) -3

16

b) -3

17

c) -3

18

d) -3

19

e) -3

20

89) (Mack-2002) A equação de uma reta, paralela à reta x +

y - 4 = 0 e distante 3 2 do ponto P = (2,1), é:

a) x + y + 3 = 0

b) x + y + 9 = 0

c) x + y - 3 = 0

d) x - y - 6 = 0

e) x + y - 12 = 0


Gabarito

1) Alternativa: E

2) a) 2

17

b) x - 4y + 11 = 0

3) a) AB = 3 2

b) C(3; 4)

4) y = 2,3

5) Alternativa: D

6) Alternativa: B

7) Alternativa: E

8) Alternativa: D

9) Alternativa: C

10) Alternativa: A

11) Alternativa: A

12) Alternativa: B

13) a) M =

2

11,

2

11

.

b) demonstração.

14) Alternativa: D

15) Alternativa: C

16) Alternativa: B

Perceba que P está a direita de C. Perceba também que o

triângulo BPQ (sendo Q o encontro da perpendicular a AB

por P com o segmento BC) é isósceles e deve ter metade da

área da figura toda.

17) Alternativa: E

18) Alternativa: E

19) a) K

2

b) K(3 + 5 )

20) a) R = 5

b) 50 u.a.

21) Alternativa: B

22) a)

b) C(8,4)

23) Alternativa: E

24) Alternativa: A

25) Alternativa: C

26) Resposta: P = (2, 5)

27) Alternativa: B

28) a) 3

10 e 10cm respectivamente.

b)

dAC = 2 dAB 3x

2 + 3y

2 - 40x + 100 = 0 circunferência

29) Alternativa: E

30) Alternativa: A

31) a)y = 2

x

b)

11

3318,

11

3636e

11

1833,

11

3636

32) Alternativa: A


33) a) 800 km

2

b) Sudoeste: A reta tem maior inclinação, denunciando a

maior relação entre casos de dengue e área.

34) Alternativa: B

35) Alternativa: E

36) Alternativa: E

37) a) A = 64)128u17u(

541 2

b) u = 17

64

38) a) mPX = x

5y

e mQX = x

5y

b) tg = 25yx

10x22

c) O LG é um arco de circunferência de centro (5,0) e raio 5

2 cujos pontos tem abscissa positiva.

39) Alternativa: A

40) a) y = 2x + 1

b) P(x) = 3

1 x

3 + x

2 –

3

1x + 1

41) a) ângulo de inclinação = 60º

b) 160

42) a) a = 60°

b) y = 3 x + 4

43) Alternativa: A

44) Alternativa: A

45) Alternativa: B

46)

(x – 7

15 )

2+( y –

7

15)

2 = 9 ou (x +

7

15)

2 + (y +

7

15)

2 = 9

47) Alternativa: C

48) a) 3, 6 e 9

b) 9 + 54 2

49) Alternativa: A

50) a) A = 0,73G (com G 0), em que G e A são as

distâncias percorridas em km com gasolina e com álcool,

respectivamente.

b) Quando o preço do litro de álcool for inferior a 73% do

preço do litro de gasolina, e nesse caso, o coeficiente

angular m da reta A = m.G for menor que 0,73.

c) No Amapá, é mais vantajoso o uso da gasolina (m=0,89).

Em São Paulo (m = 0,49), Mato Grosso (m = 0,42) e Piauí

(m = 0,72), o álcool é melhor.

51) Alternativa: C

SO

S

NO

N

L

x

y

10

7,3


52) Alternativa: B

53) Alternativa: A

54) Alternativa: E

55) a) 2

17

b) x - 4y + 11 = 0

56) a) y = 7

2 x

b)

3

8,

3

28

57) Alternativa: D

58) Alternativa: D

59) Alternativa: D

60) Alternativa: C

61) Alternativa: B

62) Alternativa: E

63) a)

b) C(8,4)

64) Alternativa: C

65) a) x - 3y + 7 = 0

b) 3x + y - 19 = 0

66) Alternativa: E

67) a) Considerando os infinitos valores possíveis para “a”,

as infinitas retas dadas por (a+1)2x+(a

2-a)y - 4a

2 + a -1 = 0

teriam que se cruzar num único ponto para que exista um

ponto independente de “a” por onde elas passem.

Assim, chutando dois valores quaisquer de “a” (aqui

cuidadosamente escolhidos para facilitar as contas), temos:

a = 0: r: x-1 = 0 x = 1

a = -1: r: 2y - 6 = 0 y = 3

Se o ponto único existir, ele terá que ser (1, 3) pois é a

intersecção obtida das duas retas acima.

Verificando o ponto (1, 3) na equação de r, temos que

(a+1)2.1+(a

2-a).3 - 4a

2 + a -1 = 0

a2 - 2a + 1 + 3a

2 - 3a - 4a

2 + a -1 = 0 0 = 0 (verdadeiro)

ou seja, a reta passa por (1, 3) independentemente do valor

de a.

b) como a reta s é vertical, a reta r terá que ser horizontal

para ser perpendicular. Assim sendo, o coeficiente de x

deve ser zero: (a+1)2 = 0 a+1 = 0 a = -1

resp:

a) demostração

b) a = -1

68) a) 2x + 5y – 14 = 0 e 10x – 4y + 17 = 0

b) 10

1769

69) a) Duas retas.

b) y = 2x + 1 e y –2

1 x .

70) Alternativa: A

71) a)

3

2,

2

3D

b) Calculemos pontos médios M e N dos segmentos AB e

CD, respectivamente:

M=

12

5,

2

5

e N=

24

11,

4

11

Calculemos o coeficiente angular m da reta MN:

m = 4

11

2

5

24

11

12

5

= 6

1

Obtendo a equação da reta MN, obtemos y = 6

1

x, o que

comprova que a reta MN passa pela origem.

72) Alternativa: D


73) a) (6, 5), (3, 2) e (4, 7)

b) A = 6

74) a) x - 2y = 3

b) 20

81

75) Alternativa: C

76) 2x- 4y+7 = 0

77) Alternativa: A

78) Resposta:

827

( 1,24) unidades de comprimento.

79) Alternativa: E

80) a) As retas pedidas não podem passar por nenhum dos 3

vértices. Assim, as retas procuradas dividem o plano em

dois semiplanos, um deles com dois dos vértices do

triângulo e o outro com o outro vértice. E como cada reta

deve ser eqüidistante dos três vértices, cada reta precisa ser

paralela ao lado que contém os dois vértices contidos no

mesmo semiplano.

Portanto, as retas são x = 2, y = 0 e y = x

b) (x-2)2 + y

2 = 8 com centro (2, 0) e raio 2 2

81) a) 3

b) y 6

1

( x2 + 3)

82) Alternativa: C

83) Resposta: y = –x – 3 e y = –x + 1

OBS: Estamos considerando que “formar ângulo de 135º

com o eixo” equivale a ter inclinação de 135º, conforme a

figura. Desta forma, não estamos considerando como

resposta as retas com inclinação de 45º (e que, a bem da

verdade, também fazem ângulo de 135º com o eixo x)

84) Alternativa: B

85) Alternativa: E

86) Alternativa: D

87) Alternativa: D

88) Alternativa: A

os valores de m são 22/3 e -38/3.

89) Alternativa: A

Exercícios de Geometria Analítica Ponto e Reta · plano e r a reta de equação y = 2 x. a)...

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