Equações Diferenciais de Variáveis Separáveis

4.3 Equações diferenciais como modelos matemáticos

É comum desejarmos descrever o comportamento de algum sistema ou fenômeno da vida real em

termos matemáticos, quer sejam eles físicos, sociológicos ou mesmo econômicos. A descrição matemática de

um sistema ou fenômeno é chamado modelagem matemática.

A construção de um modelo matemático de um sistema começa com a identificação das variáveis

responsáveis pela variação do sistema. A seguir, elaboramos um conjunto de hipóteses ou pressuposições

sobre o sistema. Essas hipóteses deverão incluir também leis empíricas que podem ser obtidas

experimentalmente. Como as hipóteses sobre um sistema envolvem, na maioria das vezes, taxa de variação

de uma ou mais variáveis, a descrição matemática de todas essas hipóteses pode ser uma ou mais equações

envolvendo derivadas. Assim o modelo matemático pode ser uma equação diferencial ou um sistema

formado por equações diferenciais.

As etapas de um processo de modelagem podem ser dispostas conforme o diagrama abaixo:

Um modelo matemático de um sistema físico, na maioria das vezes, envolve a variável tempo. Uma

solução do modelo oferece então o estado do sistema, ou seja, o sistema pode ser descrito no passado,

presente e futuro.

Veremos a seguir alguns exemplos básicos e importantes de modelagem utilizando equações

diferenciais.

4.3.1 Dinâmica Populacional

A modelagem matemática do crescimento populacional humano foi desenvolvida, pela primeira vez,

pelo economista inglês Thomas Malthus, em 1798. O modelo malthusiano admite a hipótese de que a taxa

segundo a qual a população de um país cresce em um determinado instante é proporcional à poputação total

do país naquele instante, ou seja, segundo Malthus, quanto mais pessoas houver em um instante t, mais

pessoas existirão no futuro. Em termos matemáticos, se P = f(t) for a população total no instante t, então a

hipótese de Malthus pode ser expressa por: , onde k é uma constante de

proporcionalidade. As populações que crescem segundo o modelo de Malthus são raras, entretanto esse

modelo ainda hoje é utilizando para modelar o crescimento de pequenas populações em um curto intervalo

de tempo, por exemplo, o crescimento de uma cultura de bactérias.

Prof. Ms. Robson Rodrigues da Silva

Exemplo 1. Crescimento de bactérias

Uma cultura tem inicialmente 1000 bactérias. Em 1 hora, o número medido de bactérias é de 2000. Sabendo-

se que a taxa de crescimento é proporcional ao número P de bactérias presente no instante t, determine:

a) A expressão matemática que descreve o número P de bactérias em cada instante t.

b) O número de bactérias para t = 3 h.

c) O tempo necessário para triplicar o número de bactérias.

Exemplo 2. Crescimento populacional

Sabe-se que a população de uma comunidade cresce a uma taxa proporcional ao número de pessoas

presentes no instante t. Se a população dobrou em cinco anos, quanto tempo levará para triplicar? E para

quadruplicar?

Uma única equação diferencial pode servir como um modelo matemático para vários fenômenos diferentes.

4.3.2 Decaimento Radioativo

O núcleo de um átomo consiste em combinações de prótons e nêutrons. Muitas dessas combinações

são instáveis, isto é, os átomos transmutam em átomos de outra substância. Esses núcleos são chamados de

radioativos. Por exemplo, ao longo do tempo, o altamente radioativo elemento rádio, Ra – 226, transmuta-se

no gás radônio radioativo, Rn – 222. Para modelar o fenômeno de decaimento radioativo, supõe – se que a

taxa segundo a qual o núcleo de uma substância radioativa decai é proporcional à quantidade (número de

núcleos) de substância remanescente no instante t. Em termos matemáticos escrevemos:

Nesse caso A representa a quantidade remanescente e k é a constante de proporcionalidade. Veremos

que para k > 0 o modelo pode ser utilizando para crescimento e k <0 para decaimento.

Em física, a meia – vida é uma medida da estabilidade de uma substância radioativa. A meia - vida

é simplesmente o tempo necessário para que a metade dos átomos de uma quantidade incial se desintegre ou

se transforme em outro elemento químico. Quanto maior for a meia – vida de uma susbtância, mais estável

ela será. Por exemplo, o isótopo de urânio U – 238 tem uma meia-vida de aproximadamente 4,5 bilhões de

anos, ou seja, em cerca de 4,5 bilhões de anos, a metade de uma quantidade inicial de U – 238 é

transformada em chumbo, Pb – 206.

Exemplo 3. A meia – vida do Plutônio

Um reator regenerador converte urânio 238 relativamente estável no isótopo plutônio 239. Depois de 15 anos

determinou-se que 0,043% da quantidade inicial Ao de plutônio desintegrou-se. Ache a meia – vida desse

isótopo, se a taxa de desintegração for proporcional à quantidade remanescente.