Unidade I

LGEBRA

Profa. Isabel Espinosa

Conjuntos

Notao: Conjuntos letras maisculas: A, B, ... Elementos letras minsculas, nmeros. Conjunto vazio: ou { }.

Conjuntos

Pertinncia: Elemento pertence a conjuntox A (x elemento do conjunto A)x A (x no elemento do conjunto A)

Exemplo:A = { 0, 2, 3, 5 }0 A 3 A3 A 1 A

Conjuntos

Caracterstica comum:a) A = { 2x + 1 | x Z }x = -1 2(-1) + 1 = -1 x = 0 2 (0) + 1 = 1

( )x = 1 2(1) + 1 = 3 x = 2 2(2) + 1 = 5 Assim: A = {..., -1, 1, 3, 5, ...}

b) B { IR / 0 < < 3 } i dib) B = { x IR / 0 < x < 3 }: indica os nmeros reais entre 0 e 3.

Conjuntos

Igualdade de conjuntos

Exemplo:{ }

A = B ( x) (x A x B )

A = { 1, 2, 3 }B = { x Z / 0 < x < 4 }

1 A e 0 < 1 < 4, ento 1 B2 A 0 < 2 < 4 t 2 B2 A e 0 < 2 < 4, ento 2 B 3 A e 0 < 3 < 4, ento 3 BLogo: A = B

Conjuntos

InclusoA B (A est contido em B)Indica que todo elemento de A tambm elemento de B.

B

A

Conjuntos

Exemplos:1) A = { 2, 4, 6, 8 }

B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }

Todos os elementos de A esto em B.

Logo: A B

Conjuntos

A { 2 4 6 8 }2) A = { 2, 4, 6, 8 }

C = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Nem todos os elementos de A esto em C.

8 A, mas 8 C

Logo: A C

Conjuntos

Interseco de conjuntos

Exemplo: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }{ }

A B = { x / x A e x B }

B = { 3, 4, 5, 6, 7 }

0

1

3

4

6

72

A

5

A B = { 3, 4, 5 }

7

B

Conjuntos

Conjuntos disjuntos

A B = { } ou A B =

Exemplo:A = { 3, 6, 9 }

B = { 1, 2 }

A B = No tem elementos comuns.

Conjuntos

Unio de conjuntos

Exemplo: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } e{ }

A B = { x / x A ou x B }

B = { 3, 4, 5, 6, 7 }

0

1

3

4

5

6

72

A

5 7

B

A B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }

Conjuntos

Propriedade da unio e da intersecoA ( A B) = A

AABB

AAB

AA BB

AAB

Conjuntos

Diferena

A B = { x U / x A e x B }

A B

A - B

A B

Conjuntos

Exemplo:A = { 0, 1, 2, 3, 4 }

B = { 3, 4, 5, 6, 7 }

A B = { 0, 1, 2 }

Interatividade

Considerando os conjuntosA = { -1, 1, 3, 5 } e B = { x Z / 0 < x < 3 },ento A B ser:a) A B = { -1, 1, 3, 5 }

) { }b) A B = { -1, 2, 3, 5 }c) A B = { -1, 1, 2, 3, 5 }d) A B = { -1, 1, 2, 5 }e) A B = { -1, 3 }

Conjuntos

Complementar (s para B A)

B

AC = A B

L-se: complementar de B em relao a A

Exemplo:A = { 0, 1, 2, 3, 4 } e B = { 3, 4 } B AB A

B

AC = A B = { 0, 1, 2 }

Conjuntos

Propriedades:1) B

AC B =

PoisB

AC = { x / x A e x B }

A

Conjuntos

2) =

BC

AC B

AC

C

AC

A BC ACC

B C AC

A BC

B CAC

A

B CBC

BC

AC

Conjuntos

3) BC

AC = B

AC C

AC

A BC A

CC

B C AC

A BC

B CAC

A

B CBC

BC

AC

Produto cartesiano

Produto cartesiano

Se A B, ento A x B B x A

A x B = {(x,y) / x A e y B}

Exemplo:A = { 0, 1, 2 }B = { 2, 4 }

A B {(0 2) (0 4) (1 2) (1 4) (2 2) (2 4)}A x B = {(0, 2), (0, 4), (1, 2), (1, 4), (2, 2), (2,4)}B x A = {(2, 0), (2, 1), (2, 2), (4, 0), (4, 1), (4,2)}B x B = {(2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4)}

Relao binria

Relao binria: (R)

R A x B

Notao:

(x, y) R ou x R y

(x, y) R ou x yR~

Relao binria

Exemplos:1) A = {0, 1, 2, 3, 4}

B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

{( ) ( )}R1 = {(0, 1), (1,3)} ou 0 R1 1 e 1 R1 3

R2 =

R {(5 0) (0 1)} A BR3 = {(5, 0), (0,1)} A x B

R3 no relao de A em B

Relao binria

2) A = {0, 1, 2, 3}, B = {1, 2, 4} eR = {(x, y) A x B / y = 2 x}

x(A) y=2x Obs.:0 y = 0 0 B

L R {(1 2) (2 4)}

y 1 y = 2 2 B2 y = 4 4 B3 y = 6 6 B

Logo: R = {(1, 2), (2, 4)}

D(R) = {1,2} e Im(R) = {2,4}

Relao binria

Domnio de RR A x BD(R) AD(R) = { x A / ( y B) x R y }

Imagem de RR A x BIm(R) B, I (R) { B / ( A) R }Im(R) = { y B / ( x A) x R y }

Relao binria

Representaes Grfico cartesianoA = {1, 2, 3, 4}B = {1, 2, 3}

{( ) ( ) ( )}R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}

B

32

1 2 3 4 A

1

Conjuntos

Grfico cartesianoA = IRB = IRR = {(x, y) IR2 / y = - x}

B

1

-1 1 A-1

Conjuntos

Inversa

R1

R-1 = { (y,x) BxA / (x,y) AxB }

a R-1a

b

c

1

2

3

d

A B

Conjuntos

Exemplo:Sendo A = {0, 1, 2 }, B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e R = {(0, 1), (1, 2), (2, 3)}, determinar R-1 e a representao grfica de R e R-1.

R = { (0, 1), (1, 2), (2, 3) }

Assim:

R-1 = { (1, 0), (2, 1), (3, 2) }

Conjuntos

Graficamente:R = {(0, 1), (1, 2), (2, 3)}R-1 = {(1, 0), (2, 1), (3, 2)}

B A

R R-154321

321

1 2 3 A

1

1 2 3 4 5 B

1

Interatividade

Sendo R = {(x, y)A x A / y = 3x } e A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, a expresso que representa R-1 :a) R-1 = {(0, 0), (3, 1)}

) 1 {( ) ( )}b) R-1 = {(0, 0), (1, 3)}c) R-1 = {(1, 0), (1, 1)}d) R-1 = {(0, 0), (3, 3)}e) R-1 = {(0, 1), (3, 1)}

Relaes

Seja R uma relao sobre A, R A x A

R reflexiva (x) (x A x R x)

R simtrica (x,y A) (x R y y R x)

R transitiva (x,y,z A) (x R y e y R z x R z)

R antissimtrica (x,y,z A)R antissimtrica (x,y,z A) (x R y e y R x x = y)

Relaes

Exemplo 1:Seja A = {0, 1, 2, 3} e as relaes sobre A

R1 = {(0,0), (1,1), (2,2), (3,3)}

R2 = {(0,0), (1,1), (2,2), (3,3), (1,0)}

Relaes

A = {0, 1, 2, 3} R1 = {(0,0), (1,1), (2,2), (3,3)} Reflexiva, simtrica, transitiva e antissimtrica.

{( ) ( ) ( ) ( ) ( )}R2 = {(0,0), (1,1), (2,2), (3,3), (1,0)} Reflexiva.No simtrica, (1,0) R2, mas (0,1) R2No transitiva, pois(2 1) R (1 0) R (2 0) R(2,1) R2 e (1,0) R2, mas (2,0) R2 antissimtrica

Relaes

Exemplo 2:Seja a relao de perpendicularismodefinida sobre A, conjunto de todas as retas de um plano

s R t s tR no reflexiva.R simtrica, ( s, t A), temos que, se s t, ento t s

Relaes

R no transitiva,r s e s t, mas r // t

s

t

Assim, rs e s t, mas r t

R no antissimtrica, pois: t

r

sr s e s r, mas r t s

r

Relaes

Exemplo 3:Sendo A = {a, b, c, d} e a relao Rrepresentada pelo diagrama, verificar se R reflexiva, simtrica ou transitiva.

a

c d

b

Nota:a R b indicado por a b

d

Relaes

c d

b

d

reflexiva: (a,a) R, (b,b) R, (c,c) R, (d,d) R

No simtrica: (a c) R mas (c a) RNo simtrica: (a,c) R, mas (c,a) R

No transitiva: (a,c) R e (c,d) R, mas (a,d) R

Relao de equivalncia

R relao de equivalncia sobre A valem as propriedades: I. (a) (a A aRa)II. ( a,b A) (aRb bRa)III. ( a,b,c A) (aRb e bRc aRc)

Isto , R deve ser reflexiva, simtrica e transitiva.

Relao de equivalncia

Exemplos: 1. Seja A = {a,b,c} e R = {(a,a),(b,b),(c,c)} R reflexiva, simtrica e transitiva. Logo, R relao de equivalncia sobre A.

2. Seja A = {a,b,c} e R a relao sobre Adada por R = {(a,a),(b,b),(c,c), (a,b), (b,c)}No rel. equivalncia, pois reflexiva. N i t i ( b) R (b ) RNo simtrica (a,b) R, mas (b,a) RNo transitiva: (a,b) R e (b,c) R, mas (a,c) R

Relao de ordem

R relao de ordem sobre A valem as propriedades: I. (a) (a A aRa)II. ( a,b A) (aRb e bRa a = b)III. ( a,b,c A) (aRb e bRc aRc)

Isto , R deve ser reflexiva, antissimtrica e transitiva.

Relao de ordem

Exemplo:1. Seja A = {a,b,c} e R a relao sobre Adada por R = {(a,a),(b,b),(c,c)}.

f R reflexiva, antissimtrica e transitiva.

Logo: R relao de ordem sobre A.

Relao de ordem

Exemplo 2:Seja A = {1,2,3} e R a relao sobre Adada por R = {(1,1),(2,2),(3,3), (1,2), (2,1)}

R no relao de ordem, pois: R reflexiva; R transitiva; R no antissimtrica, pois(1 2) R (2 1) R 1 2(1,2) R, (2,1) R, mas 1 2

Interatividade

S { }Seja o conjunto A = {1, 2, 3} e R uma relao em A, considerando o diagrama abaixo, representativo de R, assinale a alternativa correta.

12

a) R no reflexiva.

3

2

)b) R simtrica.c) R no transitiva.d) R relao de equivalncia.e) R relao de ordem.

Relao de ordem

OOrdem total: R relao de ordem sobre A e quaisquer dois elementos de A so sempre comparveis, isto :

R relao de ordemR ordem total

(a,b)(ab)

Relao de ordem

Exemplo:Considere o conjunto A = {a,b,c} e a relao R sobre A, dada por R = {(a,a),(b,b),(c,c),(a,b),(a,c),(b,c)}

?R relao de ordem total?

ordem total, pois: reflexiva: aRa, bRb e cRc;

ti i t i antissimtrica; transitiva; quaisquer dois elementos so

sempre comparveis.

Aplicao

S fSejam A e B conjuntos e f uma relao de A em B, f: A B

D(f) = A f aplicao

aD(f) ! bB tal que (a,b)f

D(f): domnio de fB: contradomnio de f

(! = existe e nico)( )

A e B conjuntos numricos. Aplicao = funo

Aplicao

Exemplos:1. Considerando os conjuntos A e B e arelao R1, verificar se uma aplicao de A em B.

{ }A = {0, 1, 2, 3, 4}B = {3, 4, 5, 6}

R1 = {(0,3),(1,4),(1,5)(3,4), (4,6)}

Aplicao

A = {0, 1, 2, 3, 4}B = {3, 4, 5, 6}

R1 = {(0,3),(1,4),(1,5)(3,4), (4,6)}

No vale:aD(f) ! bB tal que (a,b)f

1 tem dois correspondentes.te do s co espo de tes

Logo, R1 no aplicao.

Aplicao

Exemplo 2:Determinar o domnio das funes:

2 xx + 1

a) f(x) =

Devemos determinar os possveis valores

b) f(x) = 3 x - 6

para x.

Aplicao

2

Como temos um denominador, ele no podeser igual a zero, logo o domnio ser:

2 xx + 1

a) f(x) =

x + 1 0, isto , x -1

Assim:D(f) { IR / 1}D(f) = { x IR / x -1}

Aplicao

Como temos uma raiz quadrada, a expresso dentro da raiz deve ser maior ouigual a zero.

b) f(x) = 3 x - 6

Assim: 3x 6 0, isto , 3x 6, logo x 2

Portanto:

D(f) = {x IR / x 2}

Aplicao injetora

Aplicao injetora: elementos diferentes do domnio vo em imagens diferentes.

ou

f injetora ( x1, x2) (x1 x2 f(x1) f(x2)

ou

f injetora ( x1, x2) (f(x1) = f(x2) x1 = x2)

Aplicao injetora

Exemplo:f: A B no injetora

-2 0

3A B

13

7

3

4

610 5

3 7, mas f(3) = f(7)

Aplicao sobrejetora

Aplicao sobrejetora: a imagem igual ao contradomnio, f: A B

f sobrejetora ( y)(y B x A | y = f(x))

Exemplo: f no sobrejetora, Im f B

-2 0 A B-2 1

37

3 4 6

10 5

A

Aplicao bijetora

Aplicao bijetora: f: A B

f bijetora injetora e sobrejetora

Exemplos:1) f: A B bijetora

2 1

0

3 A B

34

4 10

Aplicao

2. Verificar se a funo f: IR IR, dada porf(x) = 2x + 1, bijetora.a) InjetoraPara f ser injetora, devemos ter:f( ) f( )f(x1) = f(x2) x1 = x2f(x1) = 2 x1 + 1ef(x2) = 2 x2 + 1D 2 + 1 2 + 1 tDa, se 2 x1 + 1 = 2 x2 + 1, ento x1 = x2 Logo: f injetora.

Aplicao

b) SobrejetoraComo f(x) = 2x + 1, temos Im f = IR. Logo: f sobrejetora.

f Assim, f bijetora.

Interatividade

Dados os conjuntos A = {3, 4, 5, 6},B = {1, 5, 7, 12} e f a aplicao dada por(x,y) f se x divisor de y.Sobre a aplicao f, correto afirmar que :)a) Injetora.

b) Sobrejetora.c) Bijetora.d) No injetora e no sobrejetora.) I j t b j te) Injetora e no sobrejetora.

AT A PRXIMA!