AVALIAÇÃO DA INTEGRIDADE ESTRUTURAL DE PLATAFORMAS ... · análise estrutural de plataformas...

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  • AVALIAO DA INTEGRIDADE ESTRUTURAL DE PLATAFORMASOFFSHORE TIPO JAQUETA

    Cleidiane Passos Soares1; Oscar A. Z. Sotomayor2

    1 Universidade Federal de Sergipe, Departamento de Engenharia de Eltrica [email protected] Universidade Federal de Sergipe, Departamento de Engenharia de Eltrica [email protected]

    RESUMOAs plataformas fixas tipo jaqueta foram as primeiras estruturas offshore construdas e, athoje, continuam a ser produzidas e utilizadas. Pelo tempo de vida til e por estaremexpostas ao ambiente ocenico hostil, estas estruturas podem desenvolver fadigametlica, podendo levar, inclusive, ao colapso do sistema. Assim, h a necessidadeconstante de avaliar sua integridade estrutural. O objetivo deste trabalho usar o mtodode decomposio no domnio da frequncia (FDD) para monitorar via simulaesnumricas a integridade estrutural de uma plataforma offshore tipo jaqueta, por meio daanlise modal em condies de operao normal. Utilizou-se um modelo de 2 graus deliberdade em coordenadas generalizadas para representar a plataforma, enquanto que aequao de Morison usada para descrever as oscilaes naturais produzidas pela forahidrodinmica de ondas e correntes marinhas. Os resultados obtidos mostram aviabilidade do mtodo proposto na identificao dos parmetros modais da plataforma,baseada apenas nos sinais de respostas dos deslocamentos da estrutura.

    Palavras-chave: Plataforma offshore, Anlise modal operacional, Decomposio nodomnio da frequncia.

    1. INTRODUO

    As jaquetas de ao so os sistemasestruturais mais utilizados pela indstriaoffshore de Explorao e Produo (E&P)no mundo para atividades em guasrasas (profundidades menores do que 400metros). Quando viveis, representam asoluo de engenharia com a melhorrelao custo-benefcio, em comparaocom os demais tipos de plataforma[CASTRO, 2013].

    No entanto, estas estruturas soexpostas a diversos tipos decarregamentos. Alm da gravidade e daprpria carga operacional, elas estocontinuamente sujeitas a perturbaesdinmicas oscilatrias, principalmentevento, ondas e correntes marinhas, eainda de outras, como corroso,terremotos etc.

    A exposio dessas instalaes aoambiente ocenico hostil tem efeitos

    prejudiciais a estrutura, como excessivasvibraes que afetam o conforto e aestabilidade das instalaes, alm da suafadiga metlica, efeito mais prejudicialdestas vibraes, trazendo consigo umalto risco de falha e possvel colapso daplataforma [SILVA, 2014].

    Assim, a necessidade de reavaliaras jaquetas existentes torna-se bastanterelevante para toda a indstria petroleira epara a sociedade em geral, com esteobjetivo, neste artigo ser aplicada aanlise modal operacional, umaferramenta para monitoramento deintegridade que capaz de estimar osparmetros comportamentais deestruturas a partir de suas respostasdinmicas.

    1.1. Anlise modal operacionalA anlise modal, estudo dos modos

    estruturais, uma das tcnicas utilizadaspara o estudo e anlise dinmica de

  • sistemas estruturais. Os modos so,propriedades inerentes de uma estrutura,determinados pelas propriedades domaterial (massa, amortecimento erigidez), e condies de contorno daestrutura. Cada modo definido por umafrequncia natural (modal ouressonncia), por um amortecimentomodal, e uma forma modal (os chamados"parmetros modais") [GUILLAUME,2009]. A existncia de danos estruturaisnum sistema leva a modificao dessesmodos de vibrao, estas alteraesmanifestam-se como mudanas nosparmetros modais [SALAWU, 1997].

    Anlise modal operacional realizada quando o sinal de excitao naentrada do sistema no conhecido,geralmente ocorre quando so medidasas respostas de uma estrutura, emoperao, a excitao ambiente. Nestecaso, assume-se que as foras deexcitao so consideradas como umarealizao de um processo estocsticogaussiano de tipo rudo branco commdia nula. [RODRIGUES et al., 2004]

    Algumas tcnicas de anlise modaloperacional no domnio da frequncia tmsido desenvolvidas, dentre elas:Transformada de Wavelet [LE et al.,2010], Transformada de Hilbert-Huang[SILVA, 2014] e Decomposio noDomnio da Frequncia (FDD)[RODRIGUES et al., 2004]. No presentetrabalho a FDD usada na identificaomodal operacional de uma plataforma fixatipo jaqueta sujeita a perturbaespersistentes de foras hidrodinmicas.

    1.2. Plataforma offshore tipojaqueta

    A plataforma fixa tipo jaqueta constituda por estruturas espaciaistubulares em ao ancoradas no local deoperao por estacas cravadas no fundodo mar, projetadas para resistir aosesforos provenientes das ondas, vento ecorrente. Alm disso, a jaqueta serve deapoio aos condutores e risers deexplotao na subida at a planta de

    processamento da plataforma[MENEZES, 2007].

    Esse tipo de plataforma fixa formado por dois conjuntos: o convs e ajaqueta. O primeiro representa a prpriaunidade de E&P, com seusequipamentos, utilidades e, normalmente,um heliponto para apoio logstico. J osegundo, representa a estrutura quesustenta o convs e que, juntamente comas estacas, mantm a plataforma em suaposio de instalao, ver Fig.1.

    Figura 1: Representao de umaplataforma fixa offshore do tipo jaqueta

    [CASTRO, 2013].

    Estas estruturas sofrem diversostipos de carregamentos naturais, como:presso hidrosttica (flutuabilidade),corroso por causa da composiomartima, incrustaes marinhas quecausam aumento da fora de arrasto,mars, tempestades, sismicidade,maremotos, inundaes e, principalmente,correntes, ventos e ondas. Em que asondas so as perturbaes dominantes.

    2. METODOLOGIA

    Uma plataforma fixa offshore podeser modelada como um sistema commltiplos graus de liberdade. Porm,como as estruturas offshore soprojetadas para ter uma frequnciafundamental maior que a frequncia de

  • excitao dominante, a resposta dinmicada estrutura , geralmente, dominada peloprimeiro (e segundo) modo(s) devibrao. Para os propsitos do presenteartigo, um modelo de 2 graus de liberdadeser considerado para representar umaplataforma offshore tipo jaqueta.

    2.1 Modelo dinmico daplataforma

    O mtodo de elementos finitos comumente utilizado na modelagem eanlise estrutural de plataformas offshoretipo jaqueta. No entanto, para ospropsitos do presente trabalho, ummodelo de 2 graus de liberdade serconsiderado para representar aplataforma, conforme proposto porABDEL-ROHMAN [1993], e cujo diagramaesquemtico mostrado na Fig.2. Estaestrutura possui um dispositivo TMD(Amortecedor de Massa Sintonizado)ativo, conectado a um servo mecanismohidrulico, instalado no topo da estrutura.

    Estruturas offshore esto expostas aforas hidrodinmicas no lineares. A nolinearidade destas foras decorre da suadependncia em relao flexibilidade daestrutura que induz um termo de carga

    autoexcitada. Uma fora de ondahorizontal atuando numa juno de umaestrutura offshore geralmente modeladausando a equao de Morison. Estaequao amplamente utilizada paraestimar cargas de ondas no projeto deplataformas de petrleo e outrasestruturas offshore.

    Figura 2: Plataforma sujeita a forashostis [ZRIBI et al. 2004].

    As expresses que descrevem omovimento da plataforma sujeita a forashidrodinmicas autoexcitadas nolineares podem ser escritas comomostrado na Eq.[1] [ZRIBI et al., 2004].

    = 2 ( + ) + ( + ) + + + = 2 ( + ) + ( + ) + + + = 2 + 2 ( + ) + ( + ) + [1]sendo que e so as coordenadas generalizadas dos modos vibracionais 1 e 2,respectivamente; o deslocamento horizontal do TMD; e so as frequnciasnaturais dos primeiros dois modos de vibrao; e so os fatores de amortecimentonos dois primeiros modos de vibrao, respectivamente; e so o primeiro e osegundo vetores de forma modal, respectivamente; o fator de amortecimento doTMD; = a frequncia natural do TMD; e so a rigidez e a massa doTMD, respectivamente; o amortecimento do TMD; a ao de controle; e , ,

    e so os termos da fora hidrodinmica autoexcitada no linear.Definindo as seguintes variveis de estado:= ; = ; = ; = ; = ; = O modelo da plataforma da Eq.[1] pode ser escrito na forma de espao de estados

    como segue: = + + ( , ) [2]

  • Sendo que:

    =

    0 1 0( + ) 2 + 0 0 0 0 0 0 1 0 0 ( + )0 0 02 (2 + )0 0 12 2

    = =

    0001

    = 0 01 00 00 10 00 0

    ( , ) = ++Apresentado o modelo da plataforma

    utilizado, segue a explicao do mtodode anlise modal operacional estudado.

    2.2 Decomposio no domnio dafrequncia

    As vibraes ambientais tmnatureza de entradas mltiplas e comfrequncia de banda larga sendo capazesde excitar um nmero significativo demodos. Por simplificao, os mtodos deidentificao modal operacional assumemo rudo branco de mdia zero comoentrada, este o caso do mtodo dedecomposio no domnio da frequncia(FDD) cuja formulao foi desenvolvidapor Brincker, detalhes da formulao podeser encontrados em [BRINCKER et al.,2010].

    No mtodo FDD, para identificaodos modos de vibrao de um sistema,constri-se uma matriz de funes dedensidade espectral, com autoespectros(PSD) na diagonal principal e espectroscruzados (CSD) nas outras posies. Amatriz de funes de densidade espectral, em cada frequncia discreta,decomposta em valores singulares evetores utilizando o algoritmo dedecomposio em valores singulares(SVD).

    O(s) modo(s) dominante(s)aparece(m) no primeiro espectro de valorsingular e os outros modos nos outros

    espectros de valores singulares. A partirda anlise destes espectros possvelidentificar as funes de densidade depotncia autoespectrais quecorrespondem a cada modo de umsistema, o qual pode incluir partes devrios espectros de valores singulares,dependendo do modo que dominanteem cada frequncia. No mtodo de FDD,os modos de vibrao so estimados comos vetores singulares no pico de cadafuno de densidade de potnciaautoespectral correspondente a cadamodo.

    No entanto, no possvel detectaro amortecimento modal com essemtodo, por isso, ser utilizado umprocedimento do mtodo dedecomposio no domnio da frequnciaavanado (EFDD), no qual, a seleo dosautoespectros correspondentes a cadamodo (1DOF) realizada com base nosvalores do coeficiente Modal AssuranceCriterion (MAC) dos vetores singularesentre o pico de ressonncia e asfrequncias prximas. Estas funes dedensidade autoespectral so, ento,transformadas para o domnio do tempo,pela transformada inversa de Fourier,resultando em funes de autocorrelao,para cada modo de um sistema. Oscoeficientes de amortecimento soestimados a partir do decrementologartmico das referidas funes de

  • autocorrelao [RODRIGUES et al.,2004]. O resumo do mtodo pode servisualizado no fluxograma da Fig.3.

    Figura 3: Fluxograma do mtodo de FDD[SOARES, 2015].

    3. RESULTADOS E DISCUSSES

    Para realizar a simulao foramutilizados os seguintes dados de onda

    [ZRIBI et al., 2004]: H = 12,19 m, = 76,2m, = 182,88 m e = 0,122 m/s. Adensidade do ao 7730,7 kg/m3, adensidade da gua =1025,6 kg/m3 eo peso do convs de concreto suportadopela estrutura de ao 6672300 N. Comestes dados, conjuntamente com osdados obtidos em [ABDEL-ROHMAN,1993], os parmetros de fora de ondaem cada juno da estrutura foramcalculados.

    As frequncias naturais dos modosde vibrao 1 e 2 so = 1,818 Hz e =10,8683 Hz, respectivamente. Oamortecimento estrutural em cada modo considerado 0,5%, i.e. = = 0,005, eas contribuies das formas modais so

    = 0,003445 e = 0,00344628. Osparmetros do TMD foram escolhidospara estar em sintonia com o primeiromodo, tal que = 1,818 Hz, = 0,15,

    = 1551,5 e = 256 [ZRIBI et al.,2004].

    Os autovalores da matriz A so0,0560 10,8690j, 0,0276 1,8117j e0,2557 1,8059j. Isto implica que aparte linear do modelo do sistema estvel. Entretanto, dado que estesautovalores esto muito prximos do eixoimaginrio, o desempenho do sistema no bom. [SILVA, 2014].

    Usando os valores dos parmetros do sistema, obteve-se:

    = 0 13,3235 0,0212 0 00,0184 0,0030 0 05,3449 0,88190 00,0184 0,0030 0 0118,1385 0,1117 0 05,3468 0,88220 00,0114 0,0019 0 00,0114 0,0019 0 13,3051 0,5454

    = 00,00344500,0034462800,00213

  • Na Fig.4 e na Fig.5 soapresentados a fora hidrodinmica daonda atuando sobre a plataforma,derivada da equao de Morison, e osrespectivos deslocamentos laterais dostrs andares da plataforma (estrutura +TMD) para uma frequncia de onda =0,5773 Hz. As amplitudes das oscilaespico a pico dos trs andares so 0,4534m, 0,4935 m e 0,5214 m.

    Figura 4: Fora hidrodinmica da ondasobre a plataforma ( =0,5773 Hz).

    Figura 5: Resposta da plataforma parauma frequncia de onda =0,5773 Hz.

    Os sinais de deslocamento dos doisandares da plataforma (Fig.5) foramprocessados segundo os dois primeirospassos do fluxograma da Fig.3,produzindo a decomposio em valores evetores singulares das matrizes dedensidade espectral. A Fig.6 apresenta asmagnitudes dos dois valores singulares,para o intervalo de frequncia de 0 a 25Hz, em que o grfico em azul representa

    o 1 valor singular e o grfico emvermelho o 2 valor singular.

    Figura 6: SVD das matrizes de densidadeespectral para resposta de deslocamento

    da plataforma (com 100s de durao).

    Nesta Fig.6 so identificadas duascaractersticas interessantes, a primeira a deteco da frequncia fundamental deexcitao do sistema no grfico do 1valor singular e a segunda que no sepode visualizar o pico do segundo modono grfico do 1 valor singular, apenas nogrfico do 2 valor singular.

    Ambas as situaes so justificadaspelas caractersticas do tipo de excitaoempregada na simulao. Para explicar aprimeira situao importante lembrarque o FDD mantm a hiptese dasexcitaes serem processos gaussianosestacionrios tipo rudo branco com mdianula. E segundo RODRIGUES et al.[2004]se esta hiptese no se verifica, ou seja,se as foras de excitao contiveremcomponentes com frequncias claramentedominantes, ento nessas frequnciassurgiro picos na amplitude das funesde densidade espectral e porconsequncia nos valores singulares.

    J a justificativa para a segundasituao que o 1 valor singular responsvel pela identificao dos modosdominantes da estrutura, o qual para omodelo de plataforma justamente o 1modo que possui frequncia (1,818 Hz). Odomnio do primeiro modo na resposta

    100 101 102-300

    -250

    -200

    -150

    -100

    -50

    0

    50Maximum and minimum singular values

    Mag

    nitu

    de (d

    B)

    Frequncia (Hz)

  • dinmica pode ser observado com maisclareza no clculo do MAC, Fig.7.

    Figura 7: MAC entre os picos deressonncia e os demais vetores

    singulares.

    Observando a Fig.7, maisprecisamente o grfico em azul, percebe-se que praticamente todos os vetoressingulares so similares ao vetor singulardo 1 modo (1,841 Hz), exceto o vetorsingular do 2 modo (11,04 Hz). O grficoem vermelho confirma a no similaridadedo vetor singular do 2 modo em relaoaos demais vetores.

    Na realizao dos ensaios demedio das respostas estruturais saes ambientais muito importante adurao total dos registos obtidos. Poisnos ensaios com excitao natural no hcontrole sobre as foras de excitao,tornando-se conveniente registrar arespostas durante um tempo longo comoforma de assegurar que durante esseperodo todos os modos do sistema sejamsuficientemente excitados.

    Portanto, o modelo de plataforma foisimulado por um tempo 10 vezes maiorque o utilizado na simulao anterior, aforma de onda e deslocamento obtidosforam similares ao apresentado na Fig. 4e Fig. 5, respectivamente, com registro de1000 segundos de durao. Utilizandoesses novos sinais de deslocamento dosdois andares da plataforma foramaplicados, novamente, os passos 1 e 2 dofluxograma, e obtida uma nova SVD paraas novas matrizes de densidade

    espectral. A Fig. 8 apresenta os novosvalores singulares, para o intervalo defrequncia de 0 a 100 Hz. O grfico emazul representa o 1 valor singular e ogrfico em vermelho o 2 valor singular.

    Figura 8: SVD das matrizes de densidadeespectral da resposta de deslocamento da

    plataforma (com 1000s de durao).

    Na nova SDV, Fig.8, possvelidentificar o pico, embora discreto, do 2modo no 1 valor singular, cuja frequncia de 10,97 Hz. Alm, dos picoscorrespondentes frequncia deexcitao (0,5752 Hz) e frequncianatural do 1 modo (1,764 Hz).

    A Tab.1 apresenta, a modo decomparao, os valores analticos domodelo e os calculados usando FDD dafrequncia natural dos modos.

    Tabela 1-Frequncia natural dos modos.Frequncia (Hz)FDD Modelo Erro Relativo

    Modo1 1,764 1,818 2,97%Modo2 10,97 10,87 0,92%

    Alm das frequncias encontradas,pode-se ver na Fig. 8 que h picos emoutras frequncias que no estodescritas no modelo da plataforma. Entreelas, esto: 1,15 Hz, 2,30 Hz, 2,895 Hz e4,05 Hz. Essas frequncias podem serjustificadas pela no linearidade domodelo e da formulao de Morison.Essas frequncias possuem amplitudesmaiores que a frequncia do 2 modo por

    0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200.93

    0.94

    0.95

    0.96

    0.97

    0.98

    0.99

    1

    MA

    C

    Frequncia (Hz)

    10-1 100 101 102-300

    -250

    -200

    -150

    -100

    -50

    0

    50

    X: 10.97Y: -140.9

    Maximum and minimum singular values

    Mag

    nitu

    de (d

    B)

    Frequncia (Hz)

  • estarem mais prximas da frequncia deexcitao e serem, portanto, maisrequisitadas.

    Para verificar a similaridades dosvetores singulares correspondentes aosdois modos de vibrao da plataforma, foiutilizando novamente o clculo do MAC. AFig.9 mostra o resultado do MAC (1modo, em azul, e o 2 modo, emvermelho).

    Figura 9: MAC entre os picos deressonncia e os demais vetores

    singulares.

    Observando a Fig.9, percebe-se queo grfico em vermelho, que representa asimilaridade do vetor singular do 2 modoem relao aos demais, muito maisexpressivo que o da Fig.7, isso demonstraque com o aumento na durao dasmedies foi possvel detectar a respostadesse modo, ou seja, este foi excitadopelo sinal de onda de entrada. A Fig. 10mostra em detalhes o MAC na regio do2 modo para resposta de 1000 segundos.

    Com o valor de MAC mostrado naFig.10 foi possvel isolar a funo de umgrau de liberdade (1DOF) do segundomodo no intervalo de 10,93 Hz a 10,99Hz. J para o primeiro modo foi utilizado ointervalo de 1,534 Hz a 2,11 Hz. NaFig.11 so mostradas as regiesdelimitadas no 1 valor singular. Essasregies delimitadas foram transformadasem duas funes de 1DOF s quaisaplicou-se a transformada inversa deFourier.

    Figura 10- MAC perto do pico deressonncia do 2 modo para resposta de

    deslocamento com durao de 1000 s.

    Figura 11: Separao dos picos.

    As funes de autocorrelaoobtidas para os dois modos soapresentadas na Fig.12 e Fig.13.

    Figura 12: Correlao normalizada para oprimeiro oscilador de 1DOF (modo 1).

    0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200.9

    0.91

    0.92

    0.93

    0.94

    0.95

    0.96

    0.97

    0.98

    0.99

    1

    MA

    C

    Frequncia (Hz)

    10.9 10.95 11 11.050.9

    0.91

    0.92

    0.93

    0.94

    0.95

    0.96

    0.97

    0.98

    0.99

    1X: 10.97Y: 1

    MA

    C

    Frequncia (Hz)

    10-1 100 101 102-300

    -250

    -200

    -150

    -100

    -50

    0

    50Maximum and minimum singular values

    Mag

    nitu

    de (d

    B)

    Frequncia (Hz)

    0 5 10 15 20-1

    -0.8

    -0.6

    -0.4

    -0.2

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    Cor

    rela

    o

    Nor

    mal

    izad

    a

    Tempo (s)

  • Figura 13: Correlao normalizada para osegundo oscilador de 1DOF (modo 2).

    Foi aplicado o decremento logaritmoaos valores mximos e mnimos de cadaoscilador. Considerando apenas ospontos mais relevantes do logaritmoforam ajustadas retas, cujos coeficientesangulares sero utilizados no clculo doamortecimento modal. A Fig.14 e a Fig.15ilustram o ajuste linear realizado nologaritmo da funo de autocorrelaodos modos 1 e 2, respectivamente.

    Figura 14: Ajuste linear do logaritmo dafuno de autocorrelao para o 1 modo,

    o coeficiente angular encontrado foi=0,0318.

    Com os valores dos coeficientesangulares para as retas ajustadas naFig.14 e na Fig.15 foi possvel calcular astaxa de amortecimento de cada modo. Osresultados podem ser observados naTab.2 que apresenta a comparao entreos valores analticos do modelo e oscalculados via FDD.

    Figura 15: Ajuste linear do logaritmo dafuno de autocorrelao do 2 modo, o

    coeficiente angular encontrado foi=0,0315.

    Tabela 2 - Valores comparativos entre oamortecimento calculado e o do modelo.

    Amortecimentomodal

    FDD Modelo ErroRelativo

    Modo 1 0,0051 0,005 2%Modo 2 0,005 0,005 0%

    A capacidade do FDD na detecodos parmetros modais notria,resultados com erros relativos menoresque 3%, at mesmo quando as excitaesdo sistema fogem da hiptese de rudobranco a partir do qual o mtodo foidesenvolvido.

    importante comentar que quandose trata de deteco da dinmica deplataformas, ou de grandes estruturascivis, os modos mais importantes so oslocalizados prximos das frequncias dasexcitaes (geralmente frequnciasbaixas), pois os modos estruturaisafastados se comportam como se fossemestticos.

    Em plataformas reais, as diversasexcitaes ambientais correntes,ventos, ondas regulares e irregulares,movimento das mquinas etcfuncionaram como sinais de banda largapara os modos de interesse (modos comfrequncias prximas das excitaes).

    0 5 10 15 20 25-1

    -0.8

    -0.6

    -0.4

    -0.2

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    Cor

    rela

    o

    Nor

    mal

    izad

    a

    Tempo (s)

    0 5 10 15 20 25 30 35-2

    -1.5

    -1

    -0.5

    0

    0.5

    Loga

    ritm

    o do

    s m

    xim

    os e

    mn

    imos

    Nmero de semi-ciclos

    0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-2.5

    -2

    -1.5

    -1

    -0.5

    0

    0.5

    Loga

    ritm

    o do

    s m

    xim

    os e

    mn

    imos

    Nmero de semi-ciclos

  • 4. CONCLUSES

    A identificao modal operacionalsurgiu como opo para anlise dinmicade grandes estruturas, utilizando-se dacaracterstica multi-entrada das aesambientais, capazes de excitar ossistemas em diferentes pontossimultaneamente.

    Os resultados alcanados nestetrabalho mostram que o mtodo FDD capaz de identificar as frequnciasnaturais e os amortecimentos modais daplataforma offshore com preciso econfiabilidade considerveis, usandoapenas a resposta da estrutura excitadanaturalmente pelas foras hidrodinmicasde ondas e correntes marinhas.

    A FDD torna-se uma soluo para aanlise dinmica de estruturas que nopodem ter seu funcionamentointerrompido, como as plataformas depetrleo.

    AGRADECIMENTOS

    Os autores agradecem o apoiofinanceiro do PRH-ANP 45.

    5. REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS

    ABDEL-ROHMAN, M. Control ofnonlinear vibrations in civil structures.Kuwait University Press, 1993.

    BRINCKER, R.; ZHANG, L.; ANDERSEN,P. Modal identification of output-onlysystems using frequency domaindecomposition. Institute of PhysicsPublishing: Smart Materials andStructures. 441- 445, 2010.

    CASTRO, F. M. O. Anlise No Linearde Plataformas Fixas Offshore do TipoJaqueta de Ao: Estudo e Aplicao doMtodo Quasiesttico Pushover. 2013,Dissertao de Mestrado,COPPE/Universidade Federal do Rio deJaneiro, Brasil.

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