PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS

Curso de Engenharia Mecânica (ênfase em Mecatrônica)

Bernardo Peterson Sarmento e Silva

Daniel de Castro Ribeiro Resende

Nicolas Ives Roque Pacheco

Paulo Henrique Andrade Freitas

AVALIAÇÃO DA PEFORMANCE DE FILTROS DIGITAIS:

Uma Comparação Entre O Filtro Digital Simples E O Filtro Kalman

Belo Horizonte

2013

Bernardo Peterson Sarmento e Silva

Daniel de Castro Ribeiro Resende

Nicolas Ives Roque Pacheco

Paulo Henrique Andrade Freitas

APLICAÇÃO DE FILTROS DIGITAIS EM UM ACELERÔMETRO:

uma comparação entre o filtro digital simples e o filtro Kalman

Trabalho apresentado à disciplina de Trabalho

de Integração de Curso no curso de Engenharia

Mecânica (ênfase em Mecatrônica) da Pontifícia

Universidade Católica de Minas Gerais.

Orientadora: Cristiana Brasil Maia

Belo Horizonte

2013

RESUMO

Neste trabalho propõe-se o desenvolvimento de dois algoritmos de filtragem no tempo

discreto. O filtro Kalman é um filtro digital recursivo que utiliza da teoria de espaço de

estados, onde o modelo dinâmico e o estocástico são uma combinação linear no

tempo, permitindo uma estimação do próximo estado baseado nos prévios. Esta

característica do filtro permite uma adaptação contínua do ganho, e assim atenua os

sinais indesejados devidamente. O primeiro filtro proposto utiliza uma média móvel,

calculando as covariâncias dos erros, construindo vários conjuntos com 40 amostras

e realizando a filtragem do sinal obtido do acelerômetro. No segundo filtro o algoritmo

calcula os valores de Q e R como a covariância normalizada gaussiana branca destes

valores obtidos pelo primeiro filtro. Aplicando-se este segundo filtro com estes

parâmetros fixos o valor de P é calculado continuamente pelo algoritmo. O sinal filtrado

obtido do acelerômetro acoplado no pêndulo amortecido é analisado comparando-se

então os pontos fortes e fracos de cada técnica.

Palavras-chave: Filtragem digital. Filtro Kalman. Acelerômetro.

ABSTRACT

This paper proposes the development of two algorithms for filtering in the discrete time.

The digital Kalman filter is a recursive discrete filter that can that use the theory of

space of states, where the dynamic model and the stochastic model are a linear

combination in the time. Allowing an estimation of the next state based on the previous

ones. This characteristic of the filter allows a continuous adaptation of the gain, and

therefore attenuating the de undesirable signals accordingly. The first proposed filter

utilizes a moving average, calculating the errors covariance, making groups with 40

samples and realizing the filtering on the sampled signal of the accelerometer. The

second algorithm calculates the values of Q and R as the normalized white Gaussian

covariance of the values obtained in the first filter. Appling this second filter with these

fixed parameters the valued of P is continuously calculated through the algorithm. The

obtained filtered signal of the accelerometer fixed on the damped pendulum is

compared pointing the strong and weak points of each technic.

Keywords: Digital filtering. Kalman filter. Accelerometer.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 - Esquema de uma malha de controle fechada ................................ 12

Figura 2 - Esquema de um acelerômetro ........................................................ 14

Figura 3 - Modelo Massa mola amortecedor do acelerômetro ........................ 15

Figura 4 - Circuito do acelerômetro capacitivo ................................................ 16

Figura 5 - Pêndulo simples ............................................................................. 24

LISTA DE SIGLAS

MEMS - Sistemas eletrônicos micro-mecânicos

MOSFET - Transistor de efeito de campo

MATLAB - Matrix Laboratory

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................ 11

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ................................................................................ 12

2.1 Acelerômetro ...................................................................................................... 14

2.2 Filtros analógicos e digitais ........................................................................... 16

2.3 Filtro por transformada Z ................................................................................ 17

2.4 Filtro Kalman ...................................................................................................... 20

3 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ........................................................................... 21

3.1 Filtro Kalman ...................................................................................................... 21

3.1.1 Algoritmo do filtro de Kalman ................................................................... 22

3.2 Transformada Z ...................................................... Erro! Indicador não definido.

4 METODOLOGIA ..................................................................................................... 24

4.2 Esquema .............................................................................................................. 25

4.3 Características ................................................................................................... 26

5 RESULTADOS ....................................................................................................... 27

REFERÊNCIAS .......................................................................................................... 31

ANEXO A ......................................................................... Erro! Indicador não definido.

1 INTRODUÇÃO

Com o avanço da eletrônica e o aumento do fator de empacotamento de

CI s (circuitos integrados), permitiu-se a criação de uma categoria de sensores

denotados de sistemas micromecânicos, ou simplesmente MEMS

(Microelectromechanical systems).

A vantagem de se utilizar um sensor MEMS está no seu tamanho

relativamente pequeno e no seu baixo consumo de energia, e seu preço

relativamente baixo. Dentro desta categoria de sensores encontra-se o

acelerômetro, que é um sensor que mede a componente da aceleração em um

eixo, proveniente da força resultante sobre ele.

Como em qualquer sistema de medição, as medidas provenientes de um

acelerômetro são acompanhadas de erros, estes que em sistemas de controles

com realimentação causam sinais de controle inadequados para a atuação na

planta, muitas vezes levando o sistema a instabilidade e a saturação. Para evitar

que tal situação ocorra utiliza-se um filtro que atenua o erro deixando o valor

medido pelo sensor o mais próximo possível do verdadeiro.

O objetivo deste trabalho é desenvolver técnicas de projeto de um filtro

para um acelerômetro e exercitá-las na síntese de filtros com especificações

usadas em aplicações de interesse prático. Baseando-se na técnica mais

utilizada encontrada na revisão da literatura encontrada que é a filtragem através

do método de Kalman. A compreensão dos algoritmos de projeto requer a

aplicação dos conceitos de sistemas e de transformadas adquiridos na revisão

bibliográfica e nos estudos, e isso contribuirá para a sedimentação desses

conceitos.

Na parte de implementação do projeto será feita uma comparação

qualitativa e quantitativa em relação a amplitude. Com estas análises de

resultados será obtido qual filtro a ser utilizado que terá melhor condição de

trabalho e sucesso quanto a sua utilização.

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

A realização do controle de um sistema se torna relativamente simples se

o modelo da planta for conhecido e o controlador deter a capacidade de realizar

o comando relativo a este modelo. No entanto na maioria dos casos o modelo

completo não está disponível e o controle de estruturas mecânicas nunca ocorre

com a devida precisão. Para resolver este problema utiliza-se de sensores, que

permitem a obtenção de informações sobre o estado da planta e das suas

vizinhanças, permitindo construir um controle capaz de compensar estes erros,

realizado um o controle por malha fechada cujo esquema está ilustrado na figura

1.

Figura 1 - Esquema de uma malha fechada de controle.

Fonte: Elaborado pelo autor

Apesar de se poder compensar estes erros do atuador com um sensor,

tem-se o problema da incerteza de medição, presente na própria medida

fornecida pelo sensor, o que pode gerar um sinal de controle errado, ou ainda

levar a planta a saturação ou inadaptabilidade. A natureza do erro medido pode

ser divido em duas parcelas, a primeira é o erro sistemático e afeta a medida de

maneira constante e previsível, a segunda é o erro aleatório que ocorre devido

a variabilidade dos processos físicos envolvidos em um sistema de medição,

cujo valor é sempre imprevisível.

Segundo HERNÁNDEZ (2000) existe um método de cancelamento de

ruído recursivo menos adaptativa é aplicada para estimar os sinais elétricos

provenientes de um acelerômetro embutido em um ônibus em um teste de

desempenho. O ruído e/ou as interferências podem corromper o sinal obtido, e

é necessário diminuir o ruído na medição com a aceleração do ônibus. O

algoritmo utilizado tem a vantagem de simplicidade computacional e é bem

adequado para representar o tempo de diferentes características em medições

em tempo real da aceleração. Como o sinal de interesse e o ruído têm muito

próxima as bandas de frequência é muito difícil diminuir o ruído usando simples

filtros. Os resultados demonstram a importância da utilização tanto de

condicionamento de sinal analógico e processamento de sinal digital quando

temos de lidar com os sinais corrompidos pelos ruídos.

Tais erros são inerentes à medição e não podem ser eliminados, porém

podem ser minimizados de modo que a medida se aproxime à máxima possível

do valor real. Para tal utiliza-se uma filtragem no sinal de medição. O filtro permite

a atenuação de ruídos ou erros, até que seu valor seja desprezível.

Segundo TAVAKOLI (2010) o desenvolvimento de um novo pólo de

desenvolvimento de um robô com a capacidade de manipulação de estruturas

que possam fornecer dados que são lidos e interpretados. O robô pode operar

em perfis circulares com diâmetros variando entre 200 mm a 350 milímetros e é

capaz de varrer a superfície exterior do poste. Permite também a aplicação de

várias pinças de formas diferentes perfis e tamanhos, sem qualquer alteração no

mecanismo de escalada. Tais dificuldades tornam-se ainda mais problemática

quando a base do braço do robô móvel. Este problema foi abordado por uma

solução com a implementação do filtro Kalman implementado para o robô

através da integração de sensores, bem como a compensação de erros e

algoritmos de auto- calibração. Os sensores e os algoritmos propostos melhorou

significativamente a precisão da manipulação do robô.

2.1 Acelerômetro

Acelerômetros são sensores que capturam o vetor aceleração linear.

Aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, e, pode ser

monitorada em um, ou em até dois ou três eixos, com acelerômetros uniaxiais,

biaxiais ou tri axiais, respectivamente.

De forma geral, os acelerômetros têm sua estrutura básica composta pelo

monitoramento de uma massa conhecida suspensa por uma estrutura

estacionária, como molas de flexão. Este sistema pode ser entendido como um

transdutor massa-mola, que compõe o sensor.

O conjunto adquirindo variação de movimento, a massa suspensa terá

uma reação contrária a aceleração devida à inércia. A reação exercida pela

massa é equilibrada pela mola, e através do deslocamento da mola pode-se

calcular por proporcionalidade a força aplicada e a aceleração do corpo.

Além da força e da aceleração, é possível também mensurar rotação,

inclinação, colisão e gravidade. Um esquema de funcionamento de um

acelerômetro genérico está exemplificado na figura 2.

Figura 2 - Esquema de um acelerômetro.

Fonte: Elaborado pelo autor.

O acelerômetro MEMS (Micro-Electro-Mechanical Systems) faz a união

do transdutor mecânico na figura 2 e de uma circuitaria elétrica, e seu uso tem

se estendido a aplicações automotivas, na área de bio-médicas, e em sistemas

militares. Estima-se que o acelerômetro juntamente com giroscópio ocupe cerca

de 20% do mercado de MEMS. (DONG, 2012).

Acelerômetros MEMS têm recebido atenção devido ao seu baixo custo e

tamanho pequeno. Preciso medição de vibração de amplitude e fase, na

frequência de medição gama, são importantes para a análise da vibração de

confiança. No entanto, uma série de acelerômetros MEMS de diferentes

fabricantes mostram algum desvio, em amplitude e fase, quando examinada

usando medições em laboratório de vibração controladas. O trabalho do BADRI

(2010) apresenta um método para melhorar o desempenho acelerômetros

MEMS. Através as medições em laboratório, uma função característica para um

acelerômetro MEMS típico foi calculada com referência a um acelerômetro

padrão.

Na modelagem de um acelerômetro MEMS (DONG,2012) pode-se

considerar que a parte do transdutor pode ser simplificada, através de um

sistema massa mola amortecedor, como ilustrado na figura 3.

Figura 3 - Modelo Massa mola amortecedor do acelerômetro.

Fonte: DONG, 2012.

Na figura 4, compondo o circuito do acelerômetro, há duas fontes

senoidais de alta frequência, defasadas de 180º uma da outra, que passam por

dois capacitores variáveis (C1 e C2). Os valores de capacitância destes

capacitores vão depender da posição da massa sísmica. O circuito termina, com

sua saída, em um filtro analógico de primeira ordem.

Figura 4 - Circuito genérico do acelerômetro capacitivo.

Fonte: DONG, 2012.

A fonte de erro nas medidas de um acelerômetro segundo DONG (2012)

pode provir tanto de forças aleatórias do movimento das moléculas de ar, quanto

por ruídos eletrônicos provindos dos MOSFET's (Transistor de campo de óxido

de metal silício) de amplificação.

Ambas as fontes de erro podem ser modeladas como ruídos de média

zero e uma variância conhecida em uma possível filtragem.

2.2 Filtros analógicos e digitais

A filtragem de sinais tem como objetivo alterar o conteúdo espectral do

sinal, removendo sinais indesejados, como ruído, de forma que possa ser

realizada melhor conformidade do sinal para aplicação desejada. Existem dois

tipos principais de filtros que são os filtros digitais e analógicos.

Os filtros analógicos usam circuitos analógicos, que podem ser

constituídos de componentes passivos como resistores, indutores e capacitores

ou ativos. Estes filtros, que também possuem amplificadores operacionais para

produzir amplificação de tensão, também têm como objetivo a realização da

filtragem do sinal. Dentre esses filtros podemos citar quarto tipos básicos, que

são: os que só permitem a passagem de frequências abaixo da frequência

predeterminada, ou, os filtros passa baixas; os que só permitem a passagem das

frequências acima de uma frequência predeterminada, ou, filtros passa altas; os

que só permitem a passagem das frequências situadas numa faixa delimitada,

ou, filtros passa faixas; e os que só permitem a passagem das frequências

situadas abaixo de uma frequência de corte inferior ou acima de uma frequência

de corte superior, os filtros rejeita faixas.

Na filtragem digital os processos de formação do espectro das forma de

onda ocorrem usando componentes digitais na implementação. Em seu trabalho,

RADER(1968) notou, que havia uma crescente tendência no aumento da

velocidade e diminuição de custo e tamanho nos CI's digitais, tornando-os uma

vertente crescente na técnica de filtragem de sinal.

RADER (1968) explicita as vantagens da filtragem digital e sua

performance estável para uma precisão arbitrariamente alta. A ausência do

problema do casamento de impedâncias, e a flexibilidade presente no qual pode-

se alterar os parâmetros do filtro para modificar sua resposta, são características

intrínsecas à filtragem digital.

2.3 Filtro por transformada Z

Um aspecto fundamental do processamento digital de sinais é que ele é

baseado no processamento de sequências de amostras. Para tanto, o sinal

contínuo no tempo é convertido nessa sequência de amostras, convertido em

um sinal discreto no tempo. Após o processamento digital, a sequência de saída

pode ser convertida de volta a um sinal contínuo no tempo.

Baseado no contexto de redução de ruído e mínima distorção para um

sinal reconstituído a partir de sua contaminação, a implementação de técnicas e

estudo de filtros se torna muito frequente na minimização da distorção.

A maior parte do processamento de sinais envolve processar um sinal

para obter outro sinal. Normalmente, isso é conseguido por um processo

conhecido como filtragem. A transformada de Laplace relaciona-se com filtros

analógicos, equações diferenciais no domínio s e plano s. A transformada Z

relaciona-se com filtros digitais recursivos, equações diferencias no domínio Z

e ao plano Z.

Semelhante ao apresentado anteriormente, entre a relação das

transformadas, a generalização da representação senoidal complexa de um sinal

de tempo discreto é realizada em termos de sinais exponenciais complexos pela

transformada Z. O objetivo do projeto é aplicar propriedades de álgebra linear ao

tratamento de sinais, aos circuitos e aos sistemas sujeitos a ruídos e incertezas

paramétricas. A similaridade das técnicas aplicadas na análise de sinais e de

sistemas aproximou essas áreas de pesquisa, tradicionalmente tratadas

separadamente. O uso comum de transformadas (Laplace, Fourier, Z) e de

métodos numéricos (desigualdades matriciais, cálculo simbólico, algoritmos de

otimização) permite que uma dualidade entre sinais e sistemas seja

estabelecida, aproximando problemas e soluções. Os tópicos principais no

estudo dos filtros são: estabilidade e controle de sistemas dinâmicos, tratamento

de sinais para estimação da direção de chegada de sinais usando arranjo de

sensores e medida objetiva de qualidade das respostas.

Sistemas de tempo contínuo são transformados em sistemas discretos

usando a transformada Z. Embora o processo físico seja um sistema de tempo

contínuo, o sistema em tempo discreto é utilizado para obter um modelo

matemático que dá o comportamento do um processo físico nos pontos de

amostragem. Uma transformada de Laplace é utilizada para a análise de sistema

de controle no domínio da frequência. Na maioria dos casos, o desenho de

controladores e filtros são feitos utilizando ferramentas no MATLAB

(QISHUANG, 2013). Para obter resultados satisfatórios, o código de

programação dos controladores, recebem os algoritmos destes filtros projetados

no domínio da frequência.

A maioria dos algoritmos usados em computação científica está em forma

de equações diferenciais. Poder prever o que a atuação dos controladores,

quando submetidos ao trabalho, é o grande interesse dos desenvolvedores de

algoritmos de simulação. De acordo FAZARINC (2013) a transformada Z pode

representar um recurso para prever o comportamento do sistema, por isso a

predileção pelo uso de equações diferenciais na maior parte dos problemas de

modelagem. As equações diferenciais clássicas são então obtidas a partir do

comportamento, deixando apenas as variáveis independentes que se

aproximam de zero, por sua pequena transitoriedade.

Utilizando no caso um filtro digital, este usa um processador digital para

executar cálculos numéricos em valores amostrados do sinal de entrada. O

processador pode ser um computador. Isto quer dizer que, a cada intervalo de

tempo previamente definido é retirada uma amostra do sinal de entrada que vai

ser codificada em forma binária e este procedimento é aplicado sucessivamente

a cada novo intervalo de tempo. Esta amostragem é transferida ao processador

que efetuar os cálculos numéricos utilizando a transformada Z. Estes cálculos

são produzidos pelo processador e representam valores do sinal filtrado e podem

ser reconstituídos, o qual irá converter o sinal filtrado em um sinal na forma

analógica.

Segundo BROWN (2012), tem-se como um exemplo de utilização da

transformada Z o filtro de Kalman, que funciona no domínio do tempo, em vez

do domínio da frequência. Uma das vantagens do filtro de Kalman é a sua

capacidade para acomodar os parâmetros de tempo variáveis. No entanto, há

algumas aplicações em que o filtro, depois de muitas etapas recursivas se

aproxima de uma condição de estado estacionário. Quando isso acontece, a taxa

de amostragem é fixa, o filtro de Kalman se comporta da mesma forma como

qualquer outro filtro digital, a principal diferença é a entrada / saída de

propriedade vetor do filtro de Kalman. A estabilidade de filtros digitais

convencionais é facilmente analisada com métodos transformada Z.

2.4 Filtro Kalman

O nome do sistema de filtragem foi nomeado com o sobrenome de Rudolf

Kalman, mas Thorvald Nicolai Thiele e Peter Swerling já haviam chegado a

conclusões semelhantes. Rudolf Kalman teve a oportunidade de acompanhar a

implementação de sua teoria na estimação de trajetórias usado no projeto Apollo,

na NASA.

O filtro Kalman é um estimador discreto das variáveis do espaço de

estados de um sistema dinâmico contínuo. Sua aplicação se torna muito útil

especialmente em casos onde as perturbações do sistema são aleatórias, e os

erros provenientes tanto da planta quando da medição podem ser tratadas como

variáveis adicionais (KOWNACKI, 2011).

Um dos grandes motivos do sucesso da implementação do filtro Kalman

está na sua versatilidade e na capacidade de sua aplicação em sistemas cuja a

dinâmica ocorre mais rapidamente, suprindo a deficiência dos filtros estatísticos

por média variável e média variável ponderada exponencialmente, cujo o uso até

então encontra-se limitado ao uso do estado estacionário, ou onde a dinâmica

ocorre de maneira mais lenta (BAI, 2006).

3 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Neste capítulo encontra-se toda a conceituação teórica referente ao

trabalho desenvolvido.

3.1 Filtro Kalman

Baseando-se na teoria de controle, têm-se que o filtro Kalman no tempo

discreto, para a k-ésima amostra de um sinal digital, assume a seguinte equação

de sistema linear em espaço de estados:

(𝑘) = 𝑭(𝑘). 𝒙(𝑘 − 1) + 𝑩(𝑘). 𝒖(𝑘) + 𝑮(𝑘). 𝒗(𝑘) (1)

Onde:

𝒙(𝑘) e (𝑘): São os vetores com as variáveis de estado de

interesse e sua derivada, respectivamente.

𝑭(𝑘): Matriz que descreve o estado do sistema.

𝑩(𝑘): Matriz de estado da variável de controle.

𝒖(𝑘): Vetor das variáveis de controle conhecidas.

𝑮(𝑘): Matriz de estado do ruído ou erro.

𝒗(𝑘): é uma variável aleatória que descreve a incerteza na

evolução do estado devido a perturbações existentes na planta.

A saída do sistema para uma variável observado é descrita pela equação

seguinte como:

𝒚(𝑘) = 𝑪(𝑘). 𝒙(𝑘) + 𝑫(𝑘). 𝒘(𝑘) (2)

Onde:

𝒚(𝑘): é o vetor com as variáveis observadas

𝑪(𝑘): é a matriz que descreve a contribuição do estado para a o

vetor

𝑫(𝑘): matriz que descreve a contribuição do erro de observação no

estado.

𝒘(𝑘): vetor de variáveis aleatórias que descrevem a incerteza da

vairável observada devido ao erro de medição

No modelo do filtro Kalman as variáveis de erro tanto de estado 𝒗(𝑘)

quanto a observável 𝒘(𝑘), ambas apresentam uma distribuição Gaussiana e

elas são temporalmente não realcionadas, e possuindo uma média de valor nulo

e uma covariância de valor conhecido.

𝐸[𝒗(𝑘)] = 𝐸[𝒘(𝑘)] = 𝟎, ∀ 𝑘 (3)

𝐸[𝒗(𝑖), 𝒗⊤(𝑗)] = 𝛿𝑖𝑗𝑸(𝑖); 𝐸[𝑤(𝑖), 𝒘⊤(𝑗)] = 𝛿𝑖𝑗𝑹(𝑖)

(4)

3.1.1 Algoritmo do filtro de Kalman

O filtro Kalman utiliza de métodos estatísticos em uma quantidade de

amostras para estimar o próximo estado do sistema. A expressão para um valor

médio condicional é expressa pela seguinte relação:

𝒙(𝑖 ∣ 𝑗) ≜ 𝐸[𝒙(𝑖) ∣ 𝒚(1), 𝒚(2), … , 𝒚(𝑗)] ≜ 𝐸[𝒙(𝑖)

∣ 𝒀𝑗]

(5)

A variância estimada é definida como o erro médio quadrado, e sua

estimativa é determinada por:

𝑷( 𝑖 ∣∣ 𝑗 ) = 𝐸[𝒙(𝑖) − 𝒙( 𝑖 ∣∣ 𝑗 )][𝒙(𝑖) − 𝒙( 𝑖 ∣∣ 𝑗 )]𝑇 ∣ 𝒀𝑗 (6)

A primeira etapa do algoritmo do filtro é a estimativa do valor de 𝒙 a um

momento no tempo discreto k e a sua covariância. Essas predições são

computadas através das equações 7 e 8.

𝒙( 𝑘 ∣ 𝑘 − 1 ) = 𝑭(𝑘). 𝒙( 𝑘 − 1 ∣ 𝑘 − 1 ) + 𝑩(𝑘). 𝒖(𝑘) (7)

𝑷( 𝑘 ∣ 𝑘 − 1 ) = 𝑭(𝑘). 𝑷( 𝑘 − 1 ∣ 𝑘 − 1 ). 𝑭𝑻(𝑘)

+ 𝑮(𝑘). 𝑸(𝑘)𝑮𝑻(𝑘)

(8)

A segunda etapa do filtro é a atualização da estimativa de 𝒙 juntamente

com a sua covariância no tempo k baseado na variavel observada 𝒚(𝑘). Logo o

valor de 𝒙 será:

𝒙( 𝑘 ∣ 𝑘 ) = 𝑭(𝑘). 𝒙( 𝑘 − 1 ∣ 𝑘 − 1 ) + 𝑾(𝑘).[ 𝒚(𝑘)-

𝑪(𝑘). 𝒙( 𝑘 ∣ 𝑘 − 1 )]

(9)

𝑷( 𝑘 ∣ 𝑘 ) = 𝑷( 𝑘 ∣ 𝑘 − 1 ) − 𝑾(𝑘). 𝑺(𝑘). 𝑾⊤(𝑘)

(10)

Onde a matriz de ganho 𝑾(𝑘) é determinada por:

𝑾(𝑘) = 𝑷( 𝑘 ∣ 𝑘 − 1 ). 𝑪(𝑘) 𝑺−𝟏(𝑘) (11)

A covariância da inovação 𝑺(𝑘) é equacionado por:

𝑺(𝑘) = 𝑹(𝑘) + 𝑪(𝑘). 𝑷( 𝑘 ∣ 𝑘 − 1 ). 𝑪(𝑘) (12)

A inovação ou residual 𝒗(𝑘)é um medidor da eficiência entre as

estimativas do filtro e a sequência de observação, já que os estados reais não

estão disponíveis para comparação. O valor da inovação pode ser analisado

por:

𝒗(𝑘)

= 𝒚(𝑘) − 𝑪(𝑘). 𝒙( 𝑘 ∣ 𝑘 − 1 )

(13)

4 METODOLOGIA

Para realizar a filtragem do acelerômetro MMA 7360, produzido pela

Freescale, será utilizado um sistema de pêndulo simples, como ilustrado na

figura 5.

Figura 5 - Pêndulo simples.

Fonte: Elaborado pelo autor.

O acelerômetro será acoplado à massa do pêndulo de tal forma que um

dos eixos corresponda à aceleração radial. Tomando como base a forma de

onda teórica deste sistema, iremos realizar uma comparação entre os valores

medidos pelo sensor, na forma direta, isto é sem filtro, e posteriormente

aplicando o algoritmo desenvolvido na linguagem do microcontrolador

Atmeg328P na plataforma de desenvolvimento do Arduino UNO. A aquisição das

formas de onde será feita através de um osciloscópio.

4.1 Interface

O acelerômetro MMA 7260 trabalha com um rateio de medições linear,

admitindo como offset de funcionamento, sua amplitude de tensão de referência.

Assim, suas respostas em tensão elétrica, são convertidas em uma escala de

acuracidade binária, de acordo com a interface de conversão A/D do

microcontrolador. Estas leituras são salvas e plotadas graficamente para

visualização e comparação das diversas tentativas de aplicação do filtro Kalman.

4.2 Esquema

O shield (estrutura física de suporte composta por simples circuitos e

pinagem para funcionamento básico do CI) do acelerômetro foi então, polarizado

com uma diferença de potencial de cinco Volts à partir do terra, configurado com

sinal baixo para a sensibilidade de leitura de 1.5 atmosferas, e teve seu canal de

saída do eixo ‘z’ ligado ao canal de entrada analógica do osciloscópio, e,

finalmente fixado ao pêndulo mecânico. A disposição esquemática do shield

fabricado pela LC Soft permite que os demais pinos não utilizados permaneçam

desconectados pelo pull-down interno pré-inserido à estes.

4.3 Características

As características de funcionamento do acelerômetro referentes à

montagem deste trabalho são:

- Tensão de alimentação: 5,0 V;

- Amplitude de leitura de aceleração: -5000 à 5000g;

- Sensibilidade: 206 +/- 0,03 mV/g;

- Densidade espectral de ruído: 350ug/(Hz)1/2;

- Corrente de alimentação: 400 à 700 uA;

- Amplitude térmica de funcionamento: -40 à 85 °C;

-Frequência máxima de resposta: 400Hz;

-Impedância de saída: 32kΩ.

5 RESULTADOS

Um dos maiores desafios do filtro Kalman está em conseguir calcular os

parâmetros de Q, R e P aposteriori. Para isto utilizou-se um algoritmo que pelo

método de cálculo da covariância ponderada exponencial, utilizando uma média

variável dos valores medidos Z.

Utilizando um intervalo de 40 amostras, o algoritmo retornou os valores

para Q, R e P aposteriori no tempo K ilustrados nos gráficos das figuras 6, 7 e

8.

Figura 6 - Gráfico com os valores obtidos de Q

Figura 7 - Valores obtidos para R

Figura 8 – Valores obtidos para P

Utilizando estes valores para realizar a filtragem do sinal a partir do tempo

discreto k=41, obteve-se que o seguinte sinal resultante da figura N.4

Figura 9 - Sinal filtrado com os valores estimados ponto a ponto

Observa-se no gráfico do sinal filtrado que os primeiros 40 tempos k não

sofrem ação do sinal filtrado, e ainda está muito longe de ser aproximado

daquele de um sistema subamortecido.

Outra desvantagem que se percebe ao analisar o algoritmo é o tempo

computacional gasto, sendo sua aplicabilidade à um sistema limitada pelo tempo

de processamento do unidade de controle digital.

Para consertar este problema utilizou-se das considerações dos valores

R e Q são distribuições normais gaussianas de média zero e covariância

conhecida. Para os valores de P aposteriori considerou-se que as considerações

feitas a Q e R.

Considerando que os valores de Q e R são na verdade os valores do erros

de medição e do processo e possuem Qf e Rf como as verdadeiras covariâncias

do sinal, obteve-se os valores para estes parâmetros de 0,00717672608140421

e 3,32132550758649*10-7.

Para P o valor de covariância obtido foi de 0,000447836603137485. Neste

ponto é importante observar que devido a natureza iterativa do filtro o valor de P

pode ser qualquer número real positivo não nulo, que ele irá convergira para o

valor real. Porém ao começarmos com o valor estimado da covariância têm-se

que a qualidade do filtro aumenta, pois os primeiros valores já estarão filtrados

corretamente.

Utilizando os valores de Q, R e P obtidos anteriormente, e utilizando o

algoritmo do filtro construído, disponível no anexo B, obteve-se os seguintes sinal

filtrado, da figura n.5

Figura 10 - Sinal filtrado pelo algoritmo

Observa-se então, que, com os valores estimados dos parâmetros Q, R e

P, o sinal filtrado aproxima-se muito mais do que o esperado de um sistema

amortecido com variações menores do que o método anterior.

REFERÊNCIAS

BADRI, Abdellatef E.; SINHA, Jyoti K.; ALBARBAR, Alhussein. A typical filter

design to improve the measured signals from MEMS accelerometer.

Measurement, United Kingdom,vol.43, p. 1425-1430, ago. 2010.

BROWN, Robert Grover; HWANG, Patrick Y. C. Introduction to random signals and applied Kalman filtering. 4. ed. New York: Wiley, 2012, p. 101-201. DORF, Richard C.; BISHOP, Robert H. Modern Control Systems. 12. ed. Upper

Saddle River, 1056 p. 2008.

FAZARINC, Zvonko. Z-transform and its application to development of scientific

simulation algorithms. Computer applications in engineering education,

California: Wiley, v. 21, p. 75-88, mar. 2013.

HERNÁNDEZ, Wilmar. Improving the response of an accelerometer by using

optimal filtering. Sensors and Actuators, Madri, v. 88, p. 198-208, out. 2000.

KOWNACKI, Cezary. Optimization approach to adapt Kalman filters for the real-

time application of accelerometer and gyroscope signals filtering. Digital Signal

Processing, Orlando, v. 21, n. 1, p. 131-140, jan. 2011.

PRISACARIU, Victor Adrian; REID, Ian. 3D hand tracking for human computer

interaction. Image and Vision Computing, United Kingdom, v. 30, p. 236-250,

jan. 2012.

QISHUANG, Liu Xinbo. Applications of chirp z transform and multiple modulation zoom spectrum to pulse phase thermography inspection. NDT and E international, Beijing, v. 54, p. 1-8, mar. 2013. RADER, Charles M. On Digital Filtering. IEEE transactions on audio and

electroacoustics, v. 16, n. 3, p. 303-314, set. 1968.

SHI, Peng; KAYA, C. Yalcin. Robust Kalman filtering for continuous-time systems

with norm-bounded nonlinear uncertainties. IMA Journal of Mathematical

Control and Information, v. 17, n. 4, p. 363-373, set. 1998.

SICILIANO, Bruno; KATHIB, Oussama. Springer Handbook of Robotics.

Berlin, 1611 p., 2008.

TAVAKOLI, Mahmoud; MARQUES, Lino; ALMEIDA, Aníbal T. de. 3DCLIMBER:

Climbing and manipulation over 3D structures. Mechatronics, Coimbra, vol. 21,

p.48-62, set. 2010.

YANG, Aiying; LAI, Junsen; SUN, Yu-nan. A chirp Z transform based software synchronization method for optical performance monitoring. IEEE Photonics technology letters, Beijing, v. 23, n. 22, p. 1739-1741, nov. 2011.

Data sheet MMA7360. Freescale Semiconductor, rev 2, 8/2007. Disponível em: <http://www.freescale.com/files/sensors/doc/data_sheet/MMA7360L.pdf>. Acesso em: 1 nov. 2013.