Axioma

Na lgica tradicional, um axioma ou postulado umasentena ou proposio que no provada ou demons-trada e considerada como bvia ou como um consensoinicial necessrio para a construo ou aceitao de umateoria. Por essa razo, aceito como verdade e servecomo ponto inicial para deduo e inferncias de outrasverdades (dependentes de teoria).Namatemtica, um axioma uma hiptese inicial de qualoutros enunciados so logicamente derivados. Pode seruma sentena, uma proposio, um enunciado ou uma re-gra que permite a construo de um sistema formal. Di-ferentemente de teoremas, axiomas no podem ser deri-vados por princpios de deduo e nem so demonstrveispor derivaes formais, simplesmente porque eles so hi-pteses iniciais. Isto , no h mais nada a partir do queeles seguem logicamente (em caso contrrio eles seriamchamados teoremas). Em muitos contextos, axioma,"postulado" e hiptese so usados como sinnimos.Uma possvel diferena entre postulado e axioma a pos-sibilidade de se provar um axioma, logo um axioma pas-saria a ser um teorema. Enquanto que os postulados soverdades evidentes que no requerem demonstraes.Como foi visto na denio, um axioma no necessari-amente uma verdade autoevidente, mas apenas uma ex-presso lgica formal usada em uma deduo, visandoobter resultados mais facilmente. Axiomatizar um sis-tema mostrar que suas inferncias podem ser derivadasa partir de um pequeno e bem-denido conjunto de sen-tenas. Isto no signica que elas possam ser conheci-das independentemente, e tipicamente existem mltiplosmeios para axiomatizar um dado sistema (como a arit-mtica). A matemtica distingue dois tipos de axiomas:axiomas lgicos e axiomas no-lgicos.Nas teorias das cincias naturais, um axioma conside-rado uma verdade evidente que e aceita como tal masque ao rigor da palavra no pode ser demonstrado ouprovado uma verdade absoluta dentro do domnio de suaaplicao; geralmente derivado de intuio ou de co-nhecimento emprico, os quais apoiam-se em todos osfatos cientcos at ento conhecidos e relevantes reaem estudo. A viabilidade ou utilidade de tais teorias, e aclassicao das mesmas como teorias cientcas vlidasou j aprimoradas, todas sempre logicamente derivadasde forma correta de suas premissas (dos axiomas), depen-dem das escolhas acuradas de seus axiomas e da corrobo-rao dos mesmos frente aos fatos cientcos conhecidosna poca em que foram propostos, e frente aos que foremgradualmente descobertos em pocas futuras s suas pro-

posies. Fatos novos, ao serem descobertos, podem le-var evoluo das teorias mediante necessidade explicitade modicaes em seus axiomas, que, conforme propos-tos no paradigma cientco evoludo e ora vlido, devemmanter-se sempre corroborados pela ntegra dos fatos ci-entcos conhecidos at a data em questo.Na engenharia, axiomas so aceitos sem provas formaise suas escolhas so negociadas a partir do ponto de vistautilitrio e econmico. Podem tambm ser consideradoscomo hipteses na modelagem e mudados depois da va-lidao do modelo.Declaraes explcitas de axiomas uma condio ne-cessria para a computabilidade de uma teoria, modeloou mtodo. Neste caso, o axioma pode ser visto comoum conceito relativo dependente de domnio, por exem-plo, em cada programa de software, declaraes iniciaispodem ser consideradas como seus axiomas locais.

1 Etimologia

A palavra axioma vem da palavra grega (axi-oma), um substantivo verbal[1] do verbo (axio-ein), que signica considerar valido, mas tambm re-querer, que por sua vez vem da palavra (axios),que signica estar em equilbrio, e portanto ter (omesmo) valor (de)", valido, apropriado. Entre oslsofos da Grcia Antiga um axioma era uma armaoque poderia ser vista como verdade sem nenhuma neces-sidade de provas.O signicado raz da palavra postular exigir"; porexemplo, Euclides exige que ns concordemos que certascoisas podem ser feitas, ex: quaisquer dois pontos podemser unidos por uma linha reta, etc.[2]

Os antigos geomtricos mantiveram alguma distino en-tre axiomas e postulados. Ao comentar os livros de Eu-clides, Proclo adverte que "Geminus[3] considerou queeste [4] Postulado no deve ser classicado como umpostulado e sim como um axioma, j que, diferente dostrs primeiros Postulados, ele no declara a possibilidadede alguma construo mas sim expressa uma proprie-dade essencial.[4] Bocio traduziu postulado como pe-titio e chamou os axiomas de notiones communes, mas emmanuscritos posteriores esse uso nem sempre foi estrita-mente mantido.

1

2 2 DESENVOLVIMENTO HISTRICO

2 Desenvolvimento Histrico

2.1 Viso ClssicaO mtodo lgico-dedutivo clssico consistia em sistemasa partir dos quais premissas eram seguidas de conclusesatravs da aplicao de argumentos (silogismos, regrasde inferncia). Com exceo das tautologias, nada podeser deduzido se nada assumido. Axiomas e postuladosso hipteses bsicas subjacentes a um corpo de conhe-cimento dedutivo. So aceitos sem demonstrao. Todasas outras asseres (teoremas, se estivermos falando so-bre matemtica) devem ser demonstradas com o auxliode hipteses bsicas. No entanto, a interpretao do co-nhecimento matemtico mudou dos tempos antigos parao moderno, e consequentemente os termos axioma e pos-tulado tiveram uma leve diferena de signicado para osmatemticos atuais, em contraste com o signicado ori-ginal destes termos para Aristteles e Euclides.Os antigos gregos consideraram a geometria como umadas diversas cincias, e consideraram os teoremas de ge-ometria to importantes quanto fatos cientcos. Dessaforma, eles desenvolveram e usaram o mtodo lgico-dedutivo como um meio de evitar erros, e para conhe-cimento estrutural e comunicativo. Os analticos poste-riores de Aristteles uma exposio denitiva da visoclssica.Um axioma, na terminologia clssica, refere-se a umahiptese auto-evidente comum a vrios ramos de cincia.Um bom exemplo seria a assero queQuando retirada uma de duas quantias iguais, sobrauma quantia igual a que foi retirada.Na fundao de vrias cincias so impostas certas hip-teses adicionais que so aceitas sem demonstrao. Es-tas eram denominadas postulados. Enquanto os axiomaseram comuns a vrias cincias, os postulados para cadacincia particular eram diferentes. Sua validade tinha queser estabelecida por meio de experincias reais. De fato,Aristteles alertou que a satisfabilidade de uma cinciano pode ser transmitida com sucesso, se o aprendiz es-tiver em dvida sobre a veracidade dos postulados.A viso clssica bem ilustrada pelos elementos de Eu-clides, onde uma lista de axiomas (muito bsicas, asser-es auto-evidentes) e postulados (fatos geomtricos dosenso-comum obtidos de nossa experincia), so dados.

Axioma 1: Duas coisas iguais a uma terceira, soiguais entre si.

Axioma 2: Se parcelas iguais forem adicionadasa quantias iguais, os resultados continuaro sendoiguais.

Axioma 3: Se quantias iguais forem subtradas dasmesmas quantias, os restos sero iguais.

Axioma 4: O todo maior que a parte.

Postulado 1: Uma reta pode ser traada de um pontopara outro qualquer.

Postulado 2: Qualquer segmento nito de reta podeser prolongado indenidamente no sentido da reta.

Postulado 3: Dados um ponto qualquer e uma dis-tncia qualquer, pode-se traar um crculo de centronaquele ponto e raio igual dada distncia.

Postulado 4: Todos os ngulos retos so iguais entresi.

Postulado 5: Se uma reta cortar duas outras retasde modo que a soma dos dois ngulos interiores, deum mesmo lado, seja menor que dois ngulos retos,ento as duas outras retas se cruzam, quando suci-entemente prolongadas, do lado da primeira reta emque se acham os dois ngulos.

2.2 Viso Moderna

Uma lio aprendida pela matemtica nos ltimos 150anos que til decifrar o signicado das asseres ma-temticas (axiomas, postulados, proposies, teoremas)e denies. Esta abstrao, que poderia at ser cha-mada de formalizao, faz o conhecimento matemticomais genrico, capaz de mltiplos diferentes signicadose, portanto, til em mltiplos contextos.O estruturalismo matemtico vai mais adiante, e desen-volve teorias e axiomas sem uma aplicao particular emmente. A distino entre um axioma e um postu-lado desaparece. Os postulados de Euclides so pro-vavelmente considerados por fornecerem uma rica cole-o de fatos geomtricos. A verdade desses fatos com-plicados est na aceitao de hipteses bsicas. Entre-tanto, excluindo o quinto postulado de Euclides, obte-mos que estes possuem signicados em diversos contex-tos (geometria hiperblica, por exemplo). Devemos sim-plesmente estar preparados para usar nomes como linhae paralelo com uma maior exibilidade. O desenvolvi-mento da geometria hiperblica ensinou aos matemticosque postulados podem ser considerados como hiptesespuramente formais, e no como fatos baseados na expe-rincia.Quando matemticos empregam os axiomas de umcampo, as intenes so mais abstratas. As proposiesda teoria de campos no interessam a alguma outra apli-cao em particular. Os matemticos agora trabalhamem completa abstrao. H muitos exemplos de campos.A teoria de campos garante que o conhecimento sobreeles correto.No correto dizer que os axiomas ou a teoria de cam-pos so proposies que so consideradas como verdadesem nenhuma derivao. O campo de axiomas umconjunto de restries. Se um dado sistema de adioe multiplicao satisfaz estas restries, ento o campo

3.1 Axiomas Lgicos 3

est pronto para nos dar informaes extras sobre essesistema.A matemtica moderna formaliza seus fundamentos detal modo que as teorias podem ser consideradas objetosmatemticos, e a lgica por si s pode ser consideradacomo um ramo da matemtica. Frege, Russell, Poincar,Hilbert e Gdel so personagens-chave nesse desenvolvi-mento.Na viso moderna, um conjunto de axiomas uma co-leo de asseres formalmente estveis das quais se se-guem outras asseres formais estveis pela aplicao decertas regras bem-denidas. Nesta viso, a lgica se tornaapenas um outro sistema formal. Um conjunto de axio-mas deve ser consistente, ou seja, deve ser impossvel de-rivar uma contradio de um axioma. Um conjunto deaxiomas no deve ser redundante, isto , uma asseroque pode ser deduzida de outros axiomas no precisa serconsiderada um axioma.A esperana dos lgicos modernos era que vrios ramosda matemtica, seno todos, pudessem ser derivados deuma coleo consistente de axiomas bsicos. Um sucessodo programa formalista foi a formalizao de Hilbert daGeometria Euclidiana e a demonstrao da consistnciadestes axiomas.Ampliando o contexto, houve uma tentativa de baseartoda a matemtica na teoria dos conjuntos de Georg Can-tor. Neste ponto, levando em considerao o Paradoxo deRussell e a teoria ingnua dos conjuntos viu-se a possibi-lidade de algum sistema poder se tornar inconsistente.O projeto formalista sofreu uma derrota decisiva, quandoem 1931 Gdel mostrou que possvel, para um sucien-temente grande conjunto de axiomas (Axiomas de Peano,por exemplo), construir uma hiptese que seja verdadeiraindependentemente deste conjunto de axiomas. Comocorolrio, Gdel provou que a consistncia de uma teoriacomo a Aritmtica de Peano uma assero improvveldentro do escopo desta teoria. razovel acreditar na consistncia da Aritmtica de Pe-ano porque ela satisfeita pelo sistema de nmeros na-turais, um innito mas intuitivamente acessvel sistemaformal. Entretanto, at hoje, no h um modo conhecidode demonstrar a consistncia dos modernos axiomas deZermelo-Frankel para a teoria dos conjuntos. O axiomada escolha, uma hiptese-chave desta teoria, permaneceuma hiptese muito controversa. Alm disso, usando tc-nicas de forar (Cohen), pode-se mostrar que as hip-teses contnuas (Cantor) independente dos axiomas deZermelo-Fraenkel. Desta forma, mesmo este conjuntogenrico de axiomas no pode ser considerado como umabase denitiva para a matemtica.

3 Lgica Matemtica

3.1 Axiomas LgicosAxiomas Lgicos so frmulas em uma linguagem que universalmente vlida, ou seja, so frmulas satisfeitaspor toda a estrutura sob toda funo de tarefa de vari-veis. Em outros termos, axiomas lgicos so estados queso verdadeiros em algum possvel universo, para algumapossvel interpretao e com alguma tarefa de valor. Nor-malmente eles usam axiomas lgicos para um mnimoconjunto de tautologias que suciente para provar todasas tautologias na linguagem; na lgica de primeira ordemo axioma lgico necessrio para provar verdades lgicasque no so tautologias no sentido rgido.

3.1.1 Exemplos

Lgica Proposicional Na lgica proposicional co-mum considerar como axiomas lgicos as frmulas a se-guir, onde , e podem ser qualquer frmula de lin-guagem e os conectivos permitidos so apenas " : " paranegao e "! " para implicao (antecedente para con-sequente):

1. ! ( ! )2. (! ( ! ))! ((! )! (! ))3. (:! : )! ( ! )

Cada um desses exemplos um axioma esquemtico,uma regra para generalizar um innito nmeros de axi-omas. por exemplo, se A , B e C so variveis propo-sicionais, ento A ! (B ! A) e (A ! :B) !(C ! (A ! :B)) so ambos instncias do primeiroaxioma esquemtico, e portanto so axiomas. Podemosmostrar que com apenas esses trs axiomas esquemticose modus ponens, pode-se provar todas as tautologias doclculo proposicional. E pode mostrar tambm que semunir esses axiomas no ser suciente para provar todasas tautologias com modus ponens.Estes axiomas esquemticos so tambm usados no cl-culo de predicados, mas adicionar axiomas lgicos ne-cessrio.Axioma de Igualdade. Supondo L uma linguagem deprimeira ordem. para cada varivel x , a frmula

x = x

universalmente vlida.Isto quer dizer que, para algum simbolo de varivel x ,a frmula x = x pode ser dita como um axioma. Almdisso, neste exemplo, para que no haja impreciso doque ns entendemos por x = x (ou, em outras palavras," igual a) deve estar puramente formal e sintaticamenteusvel pelo simbolo = que deve estar bem reforado, arespeito deles como uma sequncia e como uma sequn-cia de smbolos, a lgica matemtica faz de fato isto.

4 3 LGICA MATEMTICA

Vale lembrar que o mais interessante exemplo de axiomaesquemtico, aquele que nos determina o que conhece-mos como instanciao universal:Axioma esquemtico para instanciao universal.Dado uma frmula na linguagem de primeira ordemL , uma varivel x e um termo t que substituvel parax em , a frmula

8x! xt

universalmente vlida.onde o simbolo xt signica a frmula com o termot substitudo por x . Em termos formais, este exemplonos permite dizer que para este estado, se ns sabermosque uma certa propriedade P possui para todo x e que testar para um objeto particular na nossa estrutura, entons estariamos capazes para armar P (t) . Mais umavez, ns podemos armar que a frmula 8x ! xt vlida, isto , ns podemos ser capazes de ter uma provadeste fato, ou melhor falando, uma meta prova. atual-mente, estes exemplos so meta teoremas da nossa teoriada lgica matemtica desde que estejamos relacionadoscom o mais conceitos de auto prova. A partir disto, nspodemos ter a generalizao do existencial:Axioma esquemtico para generalizao do existen-cial. Dada um frmula na linguagem de primeira or-dem L , uma varivel x e um termo t que substituvelpara x em , a frmula

xt ! 9x

universalmente vlida.

3.2 Axiomas No-lgicos

Axiomas no-lgicos so frmulas que usam a funo dehipteses de teorias especicadas. Em razo sobre duasdiferentes estruturas, por exemplo os nmeros naturais eos integrais, podem envolver o mesmo axioma lgico; osaxiomas no-lgicos visam capturar o que especial so-bre uma estrutura particular r(ou conjunto de estruturas,como os grupos). Desse modo os axiomas no-lgicos,diferentemente dos axiomas lgicos, no so tautologias.Outro nome para um axioma no-lgico postulado.Quase toda a teoria da matemtica moderna iniciou deum dado conjunto de axiomas no-lgicos, e eles eramimaginados como um principio que toda teoria pode seraxiomatizada neste caminho e formalizada por uma lin-guagem vazia de frmulas lgicas. Isto se tornou impos-svel e provou ser totalmente uma histria; Assim recen-temente esta aproximao retornou na forma de neolo-gismo.Axiomas no-lgicos so frequentemente simples refe-rncias para os axiomas na matemtica dissertativa. Isto

no signica que eles so verdades no seu sentido abso-luto. Por exemplo, em alguns grupos, o grupo operao comutativo, e este pode ser declarado com a introduode um axioma adicional, mas sem este axioma ns pode-mos realmente fazer um bom desenvolvimento da teoriade grupo, e ns podemos sempre ter as negaes comoum axioma para o estudo de grupos no-comutativos.Deste modo, um axioma uma base elementar para umsistema de lgica formal que junto com as regras de infe-rncia dene um sistema dedutivo.

3.2.1 Exemplos

Esta sesso tem exemplos de teoria matemticas que sodesenvolvidos por um conjunto de axiomas no-lgicos.Um rigoroso tratamento de alguns destes tpicos come-ou com uma especicao destes axiomas.Teorias bsicas, assim como aritmtica, analise reais eanalises complexas so muitas vezes introduzidas comono axiomatizveis, mas implicitamente ou explicita-mente existe geralmente uma hiptese que os axiomasutilizados so os axiomas da teoria dos conjuntos deZermelo-Fraenkel como opo, ou alguns sistemas maissimilares da teoria dos conjuntos axiomatizados, maisfrequentemente teoria dos conjuntos de Von-Neumann-Bernays-Godel. Isto uma extenso conservativa do deZermelo, com teoremas idnticos sobre conjuntos, e por-tanto quase relatados. algumas vezes teorias como a te-oria dos conjuntos de Morse-Kelley ou teoria dos con-juntos com um cardinal inacessvel permitir o uso de umuniverso Grothendieck so usados, mas de fato mais ma-temticos podem provar todas as necessidades de um sis-tema quanto o Zermelo, assim como a aritmtica de se-gunda ordem.Geometria assim como a Geometria de Euclides, geome-tria projetiva, geometria simplista. Interessantemente umdos resultados da quinto axioma euclideano estar um axi-oma no-lgico aquele que trs ngulos de um triangulosoma-se 180. somente sobre a proteo da geometria eu-clideana isto ser verdade.

3.3 AritmticaO axioma de Peano o mais usado em axiomatizao dearitmtica de primeira ordem. eles so um conjunto deaxiomas fortes o suciente para provar alguns importan-tes fatos sobre teoria dos nmeros e eles permitem queGodel estabilize sua famosa segunda teoria da incomple-tude.Ns temos uma linguagem LNT = f0; Sg onde 0 umaconstante e S uma funo unitria e seguida dos axi-omas:

1. 8x::(Sx = 0)2. 8x:8y:(Sx = Sy ! x = y)

53. (((0) ^ 8x: ((x)! (Sx)))! 8x:(x)

para alguma formula LNT com uma varivel livre.A estrutura padro N = hN; 0; Si onde N o con-junto dos nmeros naturais, S a funo sucessora e 0 interpretado como o numero 0.

3.4 Geometria euclidianaProvavelmente a mais antiga e mais famosa lista de axi-omas so os 4 + 1 postulados de Euclides da geometriaplana. Os axiomas so ditos como 4 + 1 pois por voltade dois milnios o quinto postulado era questionvel porser uma derivao dos quatro primeiros. Ultimamente,o quinto postulado foi considerado independente dos ou-tros quatro. Sem dvida, ele pode assumir que no exis-tem paralelas atravs de um ponto externo a uma linhaexistente, ou que innitamente alguns existem. Estas op-es nos do formas alternativas de geometria em que osngulos internos de um tringulo somados com o menordeles, exatamente, ou mais que um linha correta respec-tivamente e conhecida como geometrias hiperblicas,elpticas e euclidianas.Anlises reaisO objetivo de estudo os nmeros reais. Os nmerosreais so de certa forma escolhidos pelas propriedadesde um corpo ordenado completo (um corpo ordenadocompleto um corpo ordenado cujos subconjuntos novazios que possuem quota superior ou elemento majo-rante admite um elemento marojante mnimo, chamadosupremo). Ento, expressando estas propriedades comoaxiomas teremos que usar a lgica de segunda ordem. Oteorema de Lowenheim-Skolem nos diz que se ns res-tringimos para a lgica de primeira ordem, alguns siste-mas axiomticos para as permisses reais em outros mo-delos, incluindo ambos modelos que so menores e mai-ores que os reais. Alguns dos segundos so estudados nasanlises no padronizadas.

4 Papel na lgica matemticaSistema dedutivo e completudeUm sistema dedutivo consiste, de um grupo de axi-omas lgicos, um conjunto de axiomas no-lgicos, eum conjunto f(; )g de regras de inferncia. Uma pro-priedade desejvel de um sistema dedutivo que ele sejacompleto. Um sistema dito ser completo se, para todasas frmulas ,

Se j= ento `

signica que para alguns estados que a consequncia l-gica de existe atualmente uma deduo do estado de . isto , algumas vezes, expressados como tudo que

verdadeiro provado, mas ele pode ser entendido comoverdade aqui signica tornou-se verdade pelo conjuntode axiomas, e no, por exemplo, verdade na interpre-tao pretendida. O teorema da completude de Godelestabiliza a completude de um certo comumente usadotipo de sistema dedutivo.Note que completude tem um diferente signicadoaqui, ento no contexto do primeiro teorema da incom-pletude de Godel, o qual estados no recursivos, conjun-tos consistentes de axiomas no-lgicos da teoria daaritmtica completa, No sentido que sempre existe umestado aritmtico tal que nenhum nem : pode serprovado de um dado conjunto de axiomas.Existe dessa forma, de um lado, a noo da completudede um sistema dedutivo e do outro temos a completudedos conjuntos de axiomas no-lgicos. A teoria da com-pletude e a teoria da incompletude, a despeito de seusnomes, no contradiz o outro.

5 Veja tambm Regra de inferncia Lista de Regras de Inferncia Axioma Esquemtico

6 Notas[1] Noo verbal com propriedades nominais similares s de

um substantivo.

[2] Wol, P. Breakthroughs in Mathematics, 1963, NewYork: New American Library, pp 478

[3] Geminus de Rhodes

[4] Heath, T. 1956. The Thirteen Books of Euclids Ele-ments. New York: Dover. p200

7 Ligaes externas Axiom Planet Math

6 8 FONTES, CONTRIBUIDORES E LICENAS DE TEXTO E IMAGEM

8 Fontes, contribuidores e licenas de texto e imagem8.1 Texto

Axioma Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Axioma?oldid=42237242 Contribuidores: Jorge~ptwiki, Robbot, Manuel Anastcio, E2mb0t,LeonardoRob0t, Santana-freitas, NTBot, RobotQuistnix, 333~ptwiki, Yurivs, OS2Warp, Adailton, Tpaolini, Row Hi, YurikBot, Renato sr,Jonathan.lopes, Gdamasceno, Fernando S. Aldado, RobotJcb, FlaBot, MalafayaBot, Salgueiro, He7d3r, Sam~ptwiki, Yanguas, Thijs!bot,Rei-bot, Escarbot, Belanidia, JAnDbot, Bisbis, Mnica Padilha, Luckas Blade, TXiKiBoT, VolkovBot, SieBot, Teles, BotMultichill, Ran-dellschneider, Alyppyo, Philostrate, Alexbot, Numbo3-bot, Luckas-bot, Nallimbot, Salebot, ArthurBot, DSisyphBot, Gonzalcg, Lauro Chi-eza de Carvalho, P.r.caetano, Xqbot, TaBOT-zerem, RedBot, Dinamik-bot, Marcos Elias de Oliveira Jnior, Dbastro, EmausBot, LauraNielsen, Cristinabarriossouza, Stuckkey, Leytor, Arabela Luz, Legobot, Rodrigolopesbot, Marcioseno, Gregrio de Lima e Annimo: 46

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Etimologia Desenvolvimento Histrico Viso Clssica Viso Moderna

Lgica Matemtica Axiomas Lgicos Exemplos

Axiomas No-lgicos Exemplos

Aritmtica Geometria euclidiana

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