Balanced Binary Trees

Universidade Federal de Alagoas - Campus A. C. Simões Instituto de Matemática - Programa de Pós-graduação

Árvore Binária BalanceadaVisão Geral, Características e Conceitos Associados

Michel Alves dos Santos

Universidade Federal de Alagoas, Campus A. C. SimõesTabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970Centro de Pesquisa em Matemática Computacional

Docente Responsável: Prof. Dr. Thales Vieira

17 de Novembro 2011

Lab. de Modelagem Geométrica e Visão Computacional Geometria Computacional: Árvore Binária Balanceada

Sumário

Tópicos Centrais da Explanação• Árvores, Arborescências e Árvore Balanceada;• Aplicações da Árvore Binária Balanceada;• Complexidade: Busca, Inserção e Deleção;• Uso em Problemas Práticos;• As Proto-classes Node e BinaryTree;• Comparações Entre Árvores;• Conclusões.

Primeiramente iremos esclarecer alguns conceitos primordiais sobrea caracterização de uma árvore e logo após iremos definir

realmente o significado do nosso objeto de estudo.

Sumário

O que é uma Árvore?

Conceito Matemático de ÁrvoreUma árvore é um grafo conexo e sem ciclos.

Figura: Construção de um grafo conexo com 6 vértices. Há várias soluções paraeste tipo de construção, mas o que as soluções apresentadas possuem em comum?Todas tem 5 arestas e nenhuma contém ciclos.

LembreteGrafo constitui um objeto matemático formado por dois conjuntos. O primeiro,

chamado de V , é o conjunto dos vértices. O outro é um conjunto de relações entrevértices, chamado de conjunto das arestas e é representado por E .

Caracterização das Árvores.

Como podemos caracterizar uma árvore?Três características são primordiais em uma árvore:

Figura: Construção de um grafo conexo e um não-conexo com 6 vértices.

Seja T uma árvore com n vértices. Então:1 T é conexo e sem ciclos;2 T é conexo e possui n − 1 arestas;3 Cada aresta e de T é uma ponte.

LembreteUma ponte é uma aresta cuja retirada desconecta o grafo.

Arborescências.

O que é uma arborescência?Tipo de árvore na qual consideramos a orientação. Na arborescência, a

direção dos arcos é considerada.

Figura: Como cada aresta da arborescência representa uma ponte, basta escolherum vértice como ‘raiz’ e teremos uma orientação ‘natural’ da árvore.

Propriedades das arborescências:1 Existe um vértice sem antecessores (a raiz);2 Todos os vértices (fora a raiz) possuem exatamente um único antecessor.

Arborescências.

Arborescência Binária.

O que é uma arborescência binária?Uma das arborescências de uso mais frequente é a arborescência binária(usualmente chamada de árvore binária), que se caracteriza pela seguinte

propriedade adicional:

Figura: Os nós de uma árvore binária possuem graus zero, um ou dois. Um nó degrau zero é denominado folha. A raiz possui profundidade 0. Os sucessores diretosda raiz possuem profundidade 1. Em suma, uma árvore binária é definida como umgrafo acíclico, conexo, dirigido e que cada nó não tem grau maior que 2. Logo, sóexiste um caminho entre dois nós distintos.

Propriedade adicional das arborescências binárias:1 Todos os vértices têm, no máximo, 2 sucessores, ou seja ∆ ≤ 2.

Árvore Binária Balanceada.

Caracterizando Árvore Binária BalanceadaUma árvore binária é dita balanceada se, para cada nó, as alturas de suas

sub-árvores diferem de, no máximo 1.

Figura: Uma árvore é totalmente balanceada quando para cada nó, o número denós em cada uma de suas sub-árvores difere em no máximo 1 de profundidade. Aprimeira aparição dessa estrutura, foi em 1962 no artigo ‘An algorithm for theorganization of information’, de autoria dos Soviéticos Adelson-Velskii e Landis.

Uma árvore binária balanceada, chamada de árvore AVL (em homenagemaos matemáticos russos G.M. Adelson-Velskii e E.M. Landis), é uma

árvore binária na qual as alturas das duas sub-árvores de cada um dos nós,nunca diferem em mais de 1 unidade.

Aplicações da Árvore Binária Balanceada

Essa estrutura fornece implementação eficiente para listas ordenadas mutáveis:

• Arrays associativos (associative arrays: map ou dictionary);• Coleções baseadas em pares do tipo (key, value);

• Filas de prioridade (priority queues);• Fila onde cada elemento é associado com uma ‘prioridade’;

• Conjuntos (sets).• Comumente implementados da mesma maneira que arrays associativos;• Nessa caso são chamados de sorted sets.

Implementações

• AA Tree; AVL Tree; Red-black Tree; Scapegoat Tree; Splay Tree; Treap;

Implementações

Complexidade

Figura: As operações de busca, inserção e eliminação de elementos possuemcomplexidade O(logn) (no qual n é o número de elementos da árvore). Inserções eeliminações podem também requerer o rebalanceamento da árvore, exigindo umaou mais rotações.

Uso em Problemas

Árvores binárias balanceadas podems ser usadas para implementar qualqueralgoritmo que requeira o uso de listas ordenadas mutáveis.

Alguns algoritmos em Geometria Computacional exploram variações dessasestruturas para resolução de problemas como:

• Intersecção de segmentos de reta (line segment intersection)• O problema da intersecção dos segmentos de reta nos fornece uma lista

de segmentos de reta no plano e nos pede para determinar se quaisquerdois deles se intersectam (ou cruzam).

• Formas complexas oriundas de operações booleanas (intersecção, união,diferença), detecção de colisão em robótica e planejamento demovimento, visibilidade, oclusão;

• Localização de Ponto (point location)• Dada uma partição do espaço em regiões disjuntas, determinar a região

onde se encontra um ponto de consulta.

Uso em Problemas

Line Segment Intersection ProblemDada uma lista de segmentos de reta no plano determinar se quaisquer dois deles

se intersectam.

Figura: A forma mais comum e eficiente de resolução deste problema é o usandoa estratégia sweep line algorithm juntamente com uma estrutura do tipo árvorebinária balanceada.

Line Segment Intersection ProblemDada uma lista de segmentos de reta no plano determinar se quaisquer dois deles

se intersectam.

Figura: A forma mais comum e eficiente de resolução deste problema é o usandoa estratégia sweep line algorithm juntamente com uma estrutura do tipo árvorebinária balanceada.

Point Location ProblemDada uma partição do espaço em regiões disjuntas, determinar a região onde se

encontra um ponto de consulta.

Figura: O problema de localização de pontos é um tema fundamental nageometria computacional. Esse problema encontra aplicações em áreas que lidamcom o processamento de dados geométricos: sistemas de informação geográfica(GIS), planejamento de movimento e desenho assistido por computador (CAD).

Point Location ProblemDada uma partição do espaço em regiões disjuntas, determinar a região onde se

encontra um ponto de consulta.

Figura: O problema de localização de pontos é um tema fundamental nageometria computacional. Esse problema encontra aplicações em áreas que lidamcom o processamento de dados geométricos: sistemas de informação geográfica(GIS), planejamento de movimento e desenho assistido por computador (CAD).

A Classe Nó Balanceado.

Class Node - Com Fator de Balanceamento� �1 /∗ Con ta i n e r t ha t r e p r e s e n t s a node data s t r u c t u r e ∗/2 c l a s s Node3 {4 ObjectData _va lue ; // v a l u e or key5 Ba lanceFac to r _ f a c t o r ; // f a c t o r to the b a l a n c i n g6 Node ∗_r , ∗_l ; // p o i n t e r s to the r i g h t and l e f t s u b t r e e7 p u b l i c :8 /∗ Con s t r u c t o r ∗/9 Node ( ObjectData v ) { _va lue = v ; _r = _l = n u l l ; } ;1011 /∗Method tha t hand l e s the v a l u e o f s t o r e d o b j e c t ∗/12 ObjectData v a l u e ( ) { r e t u r n _va lue ; } ;13 vo i d v a l u e ( ObjectData v ) { _va lue = v ; } ;1415 /∗Method tha t hand l e s the v a l u e o f ba l ance f a c t o r ∗/16 Ba lanceFac to r f a c t o r ( ) { r e t u r n _ f a c t o r ; } ;17 vo i d f a c t o r ( Ba l anceFac to r f ) { _ f a c t o r = f ; } ;1819 /∗Method tha t hand l e s the v a l u e o f l e f t and r i g h t p o i n t e r s ∗/20 Node∗ r i g h t ( ) { r e t u r n _r ; } ; v o i d r i g h t (Node∗ r ) { _r = r ; } ;21 Node∗ l e f t ( ) { r e t u r n _l ; } ; v o i d l e f t (Node∗ l ) { _l = l ; } ;2223 /∗Method tha t v e r i f i e s i f the c u r r e n t node i s a l e a f ∗/24 boo l i s L e a f ( ) { r e t u r n ( _l == n u l l && _r == n u l l ) ; } ;25 } ;� �

A Proto-Classe Binary Tree.

Class Binary Tree� �1 /∗ Con ta i n e r t ha t r e p r e s e n t s a b i n a r y t r e e data s t r u c t u r e ∗/2 c l a s s B ina ryTree3 {4 Node∗ _root ; // p o i n t e r to the r oo t o f t r e e5 p u b l i c :6 Bina ryTree ( ) { _root = n u l l ; } ; // Con s t r u c t o r7 Node∗ r o o t ( ) { r e t u r n _root ; } ; // Retu rns a p o i n t e r f o r r oo t8 boo l i n s e r t ( ObjectData v ) ; // I n s e r t s a e lement i n t r e e9 boo l remove ( ObjectData v ) ; // Removes a e lement o f the t r e e10 vo i d i nOrde r (Node∗ c u r r e n t ) ; // Nav i ga t e s u s i n g a s t r u c t u r e ’ i n o r d e r ’11 vo i d p reOrde r (Node∗ c u r r e n t ) ; // Nav i ga t e s u s i n g a s t r u c t u r e ’ p re o r d e r ’12 vo i d pos tOrde r (Node∗ c u r r e n t ) ; // Nav i ga t e s u s i n g a s t r u c t u r e ’ po s t o r d e r ’13 ObjectData sma l l e r ( ) ; // Retu rns the sma l l e r e lement14 ObjectData b i g g e r ( ) ; // Retu rns the b i g g e r e lement15 Node∗ s u c c e s s o r (Node∗ c u r r e n t ) ; // Retu rns the s u c c e s s o r node16 l ong i n t l e v e l ( ObjectData v ) ; // Retu rns the s t o r a g e l e v e l o f a e lement17 l ong i n t h e i g h t (Node∗ c u r r e n t ) ; // Retu rns the h e i g h t o f a node18 l ong i n t quant i t yOfNodes (Node∗ c u r r e n t ) ; // Quant i t y o f t r e e nodes19 boo l f i n d ( ObjectData v ) ; // F i nd s a e lement i n t r e e20 Node∗ f i n d ( ObjectData v ) ; // F i nd s a e lement i n t r e e21 } ;� �

ObjectData deve implementar os operadores <, >, ==

A Proto-Classe Binary Tree.

Class Binary Tree� �1 /∗ Con ta i n e r t ha t r e p r e s e n t s a b i n a r y t r e e data s t r u c t u r e ∗/2 c l a s s B ina ryTree3 {4 Node∗ _root ; // p o i n t e r to the r oo t o f t r e e5 p u b l i c :6 Bina ryTree ( ) { _root = n u l l ; } ; // Con s t r u c t o r7 Node∗ r o o t ( ) { r e t u r n _root ; } ; // Retu rns a p o i n t e r f o r r oo t8 boo l i n s e r t ( ObjectData v ) ; // I n s e r t s a e lement i n t r e e9 boo l remove ( ObjectData v ) ; // Removes a e lement o f the t r e e10 vo i d i nOrde r (Node∗ c u r r e n t ) ; // Nav i ga t e s u s i n g a s t r u c t u r e ’ i n o r d e r ’11 vo i d p reOrde r (Node∗ c u r r e n t ) ; // Nav i ga t e s u s i n g a s t r u c t u r e ’ p re o r d e r ’12 vo i d pos tOrde r (Node∗ c u r r e n t ) ; // Nav i ga t e s u s i n g a s t r u c t u r e ’ po s t o r d e r ’13 ObjectData sma l l e r ( ) ; // Retu rns the sma l l e r e lement14 ObjectData b i g g e r ( ) ; // Retu rns the b i g g e r e lement15 Node∗ s u c c e s s o r (Node∗ c u r r e n t ) ; // Retu rns the s u c c e s s o r node16 l ong i n t l e v e l ( ObjectData v ) ; // Retu rns the s t o r a g e l e v e l o f a e lement17 l ong i n t h e i g h t (Node∗ c u r r e n t ) ; // Retu rns the h e i g h t o f a node18 l ong i n t quant i t yOfNodes (Node∗ c u r r e n t ) ; // Quant i t y o f t r e e nodes19 boo l f i n d ( ObjectData v ) ; // F i nd s a e lement i n t r e e20 Node∗ f i n d ( ObjectData v ) ; // F i nd s a e lement i n t r e e21 } ;� �

ObjectData deve implementar os operadores <, >, ==

Comparações Entre Estruturas do Tipo Árvore.

Comparações de Desempenho

O desempenho das operações numa árvore pode ser medido pelasua altura.

Neste quadro estamos realizando uma comparação entre uma estrutura de árvoresimples sem nenhum mecanismo de balaceamento (Árvore Binária) com outras

duas espécies de árvore (AVL e Rubro-Negra) que possuem algum tipo demecanismo de balanceamento intríseco.

Comparações Entre Estruturas do Tipo Árvore.

Comparações de Desempenho

O desempenho das operações numa árvore pode ser medido pelasua altura.

Neste quadro estamos realizando uma comparação entre uma estrutura de árvoresimples sem nenhum mecanismo de balaceamento (Árvore Binária) com outras

duas espécies de árvore (AVL e Rubro-Negra) que possuem algum tipo demecanismo de balanceamento intríseco.

Conclusões

Conclusão Sobre a Estrutura de DadosO que podemos concluir sobre árvores e suas derivações?

• Estrutura de dados de baixa complexidade;• Boa performance;• Amplamente utilizada;• Várias nuances e implementações;• Empregada em uma miríade de problemas práticos;• Quando balaceadas são mais rápidas em operações de busca;• Rebalanceamento pode ser oneroso: inserções e remoções;

Conclusões

Agradecimentos

Grato Pela Atenção!• Michel Alves - [email protected]

Referências BibliográficasThomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein.Introduction to Algorithms, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001.ISBN 0-262-03293-7.

Donald Knuth. The Art of Computer Programming, Volume 3: Sorting andSearching, Third Edition. Addison-Wesley, 1997. ISBN 0-201-89685-0. Section6.2.3: Balanced Trees, pp.458–481.

Mark de Berg, Marc van Kreveld, Mark Overmars, and Otfried Schwarzkopf(2000). Computational Geometry (2nd edition ed.). Springer. ISBN3-540-65620-0. Chapter 2: Line Segment Intersection, pp.19–44. Chapter 6:Point location. pp. 121–146.

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Education

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