Teoria do Batedor de Ondas

GeneralidadesO Problema Hidrodinmico das Ondas Gravitacionais

Batedor de ondas Tipo PistoS0

F(t)

Fh

S0 = curso do pisto; Lei de movimento do batedor: x=

= freqncia do batedor S0 sen(t ) 2

Segunda lei de Newton (aplicada ao pisto):

m&& = F (t ) + Fh x

F (t ) = ??Fh = ??

pEq. de Bernoulli

PROBLEMA HIDRODINMICO DO BATEDOR DE ONDAS

Problema Hidrodinmico do Batedor de Ondas Mesmas hipteses que para o problema hidrodinmico geral das ondas gravitacionais, isto : - Escoamento bidimensional. - Fluido incompressvel: - Fluido invscido: - Escoamento irrotacional:

Logo, as equaes bsicas para todo o domnio fluido sero: Equao da continuidade:

Equao do movimento:

O problema fica particularizado pelas condies de contorno:c.c. na superfcie livre

c.c. lateral (no batedor) c.c. no fundo

c.c. lateral

As condies de contorno j linearizadas so: C.C. na superfcie livre: a) C.C. cinemtica: (cond. impenetrabilidade) b) C.C. dinmica: (p(z=) = patm)

C.C. no fundo: (cond. impenetrabilidade)

C.C. laterais:

a) x + : (cond. de irradiao)apenas ondas progressivas

b) Junto ao batedor: (cond. impenetrabilidade)

(na superfcie do batedor)

Onde F(x,z,t) a funo que descreve a superfcie do batedor que no caso do batedor tipo pisto dada por:F ( x, z , t ) = F ( x, t ) = x S0 sen(t ) = 0 2

Assim, a CC na superfcie do batedor dada por:

S0 u= cos(t ) 2Expandindo-a em Srie de Taylor temos:

em F(x,z,t) = 0

S0 S S S = u 0 cos(t ) + 0 sen(t ) u 0 cos(t ) + ... u 2 cos(t ) S 0 x 2 2 x = sen(t ) x =0 2 x =02

Linearizando temos:u (0, z , t ) =

S0 cos(t ) 2

Soluo para Batedor de OndasAplicando o Mtodo de Separao de Variveis, onde:

A condio de periodicidade em x + pode ser atendida fazendo: (t) = sen (t), logo:

Substituindo na equao de Laplace: Teremos: ou

o que implica que:

As possveis solues para (x) e (z) so do tipo:

Escolha do sinal associado a k2 (que determina a forma das solues em x e z) depende das Condies de Contorno.

Logo, a forma mais geral do potencial de velocidades que satisfaz a condio de contorno do fundo dada por:

A = 0 (no h escoamento uniforme atravs do batedor) Pode-se assumir B = 0 (no afeta o campo de velocidades) Ap e C devem ser determinadas a partir das condies de contorno restantes (CC na superfcie livre, e CC no batedor) As condies de contorno na superfcie livre (j linearizadas) podem ser unificadas, eliminando assim a dependncia da elevao da superfcie livre . Logo:

Substituindo a expresso geral do potencial de velocidades, obtm-se as seguintes relaes: EQ. DISPERSO P/ ONDAS PROGRESSIVAS: EQ. DISPERSO P/ ONDAS EVANESCENTES:

ou

INFINITAS SOLUES DO TIPO ks(n) n: inteiro

Assim a forma da soluo do problema do batedor fica dada por:

Agora, aplicando a condio de contorno no batedor, isto :u (0, z , t ) = S0 cos(t ) = (0, z , t ) 2 x = A p k p cosh k p (h + z ) cos(t )

[

]

+

C k (n) cos[k (n)(h + z)]cos(t )n s s n =1

Ou:S0 = A p k p cosh k p (h + z ) + 2

[

] Cn k s (n) cos[k s (n)(h + z)]n =1

Propriedade de Ortogonalidade de Funes (Teoria de Sturm-Liouville):

Que no nosso caso seria:

para m n Desta forma os coeficientes Ap e Cm podem ser determinados:0

Ap =

h

S0 cosh k p (h + z ) dz 2

[

]

Cm =

h

0

S0 cos[k s (m)(h + z )]dz 2

k p cosh 2 k p (h + z ) dzh

0

[

]

k s (m) cos 2 [k s (m)(h + z )]dzh

0

Uma vez determinado , podero ser determinados: campo de velocidades, campo de presses, foras hidrodinmicas sobre o batedor, fora a ser aplicada no batedor, a potencia do batedor, a altura da onda progressiva gerada pelo batedor, etc. Assim, por exemplo, a altura da onda progressiva pode ser achada a partir de:

Que resulta em:

2 cosh(2k p h) 1 H = S 0 senh(2k p h) + 2k p h

[

]

Batedor de ondas Tipo Flap

Curso do batedor varivel ao longo do z: Lei de movimento do batedor:

z S ( z ) = S 0 1 + h

z x( z ) = S 0 1 + cos(t ) h

Problema hidrodinmico idntico ao do batedor tipo

pisto. Muda apenas a condio de contorno lateral junto ao batedor, pois depende da geometria do batedor. Neste caso (batedor tipo flap), a funo que descreve a superfcie do batedor dada por:S ( z) F ( x, z , t ) = x sen(t ) = 0 2

Assim a CC junto ao batedor ficar dada por:

Quando linearizada fica:

Quando aplicada soluo para o potencial:

Ou: Que gera as seguintes relaes:

Que finalmente permite achar a relao amplitude deonda/curso do batedor: senh(k p h) (k p h) senh(k p h) cosh(2k p h) + 1 H = 4 S0 senh(2k p h) + 2k p h k ph