UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO PARA A CIÊNCI A

E O ENSINO DE MATEMÁTICA

LUCIA INES BATTALINI

PROFESSORES DE MATEMÁTICA E OS SABERES MOBILIZADOS EM SALA DE AULA: UM ESTUDO DE CASO

Volume II

MARINGÁ-PR 2008

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SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ............................................ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.

1.1 Questões Norteadoras............................................ Error! Bookmark not defined.

1.2 Objetivos................................................................. Error! Bookmark not defined.

1.3 Conhecimento Profissional e Didático do Professor Error! Bookmark not defined.

1.4 Novas Direções para o Ensino de Matemática no Estado do ParanáError! Bookmark not defined.

1.5 Relevância da Pesquisa ......................................... Error! Bookmark not defined.

2 ALGUMAS TENDÊNCIAS PEDAGÓGICAS NO ENSINO DA MATE MÁTICAERROR! BOOKMARK NOT

2.1 Tendência Formalista Clássica ............................... Error! Bookmark not defined.

2.2 Tendência Empírico-Ativista ................................... Error! Bookmark not defined.

2.3 Tendência Formalista Moderna............................... Error! Bookmark not defined.

2.4 Tendências Tecnicistas .......................................... Error! Bookmark not defined.

2.5 Tendência Construtivista......................................... Error! Bookmark not defined.

2.6 Tendências Socioetnocultural ................................. Error! Bookmark not defined.

2.7 Tendência Histórico-Crítica..................................... Error! Bookmark not defined.

2.8 Tendência Sociointeracionista-Semântica. ............. Error! Bookmark not defined.

2.9 Considerações acerca do capítulo .......................... Error! Bookmark not defined.

3 ESTRATÉGIAS METODOLÓGICAS DA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA ERROR! BOOKMARK NOT

3.1 Resolução de Problemas........................................ Error! Bookmark not defined.

3.2 Etnomatemática...................................................... Error! Bookmark not defined.

3.3 História da Matemática ........................................... Error! Bookmark not defined.

3.4 Mídias Tecnológicas ............................................... Error! Bookmark not defined.

3.5 Modelagem Matemática.......................................... Error! Bookmark not defined.

3.6 Considerações Acerca do Capítulo......................... Error! Bookmark not defined.

4 A PESQUISA ...................................... ........ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.

4.1 Levantamento Inicial ............................................... Error! Bookmark not defined.

4.2 Seleção dos Participantes do Estudo...................... Error! Bookmark not defined.

4.3 Natureza do Estudo ................................................ Error! Bookmark not defined.

4.4 Instrumentos de Coletas de Dados ......................... Error! Bookmark not defined.

4.5 Procedimentos para Análise das Informações ........ Error! Bookmark not defined.

136

4.6 Ambiente de Trabalho das Docentes ...................... Error! Bookmark not defined.

4.7 Perfil das Professoras Vânia e Gleci....................... Error! Bookmark not defined.

4.8 Perspectiva da Formação Profissional das DocentesError! Bookmark not defined.

5 O CONHECIMENTO DA MATEMÁTICA E DO CURRÍCULO ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.

5.1 Conhecimento da Matemática. ............................... Error! Bookmark not defined.

5.2 Conhecimento do Currículo .................................... Error! Bookmark not defined.

6 O CONHECIMENTO DIDÁTICO - PEDAGÓGICO ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.

6.1 Conhecimento Sobre a Aprendizagem do Aluno..... Error! Bookmark not defined.

6.2 Conhecimento do Processo Instrucional ................. Error! Bookmark not defined.

6.3 Síntese ................................................................... Error! Bookmark not defined.

7 CONSIDERAÇÕES GERAIS E PERSPECTIVAS DE CONTINUID ADE DO

TRABALHO ........................................... .........ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.

REFERÊNCIAS...............................................ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.

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ANEXO A – QUESTIONÁRIO DO LEVANTAMENTO INICIAL

Caro professor (a)

Este questionário faz parte de uma pesquisa de Mestrado da Universidade

Estadual de Maringá, cujo objetivo é traçar o perfil dos professores de matemática da

região Noroeste do Paraná. Sua participação é de grande importância.

Não há respostas certas ou erradas, pedimos assim, sua resposta sincera para

cada uma das questões apresentadas.

Ressaltamos que os dados fornecidos, em nenhum caso, serão utilizados de

forma individual ou identificados. Sendo segmentados para análise e divulgação.

Desde já agradecemos a sua colaboração.

1- Formação/Experiência

Idade: ____________

Titulo da Graduação:

_________________________________________________________________

Entidade: __________________________________Ano de Conclusão________

Pós-graduação: ____________________________________________________

Entidade: __________________________________ Ano de Conclusão_______ _

Mestrado:__________________________________________________________

Entidade: __________________________________ Ano de Conclusão_______ _

Está participando de algum curso de formação atualmente? ( ) sim ( ) Não

Qual? _____________________________________________________________

Entidade __________________________________________________________

Há quanto tempo que trabalha como Professor (a)? _________________________

Em quais séries ministra aula? _________________________________________

Qual é sua carga horária de trabalho? ____________________________________

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2 – Seu cotidiano e as Tecnologias

2.1 - Utiliza computador? ( ) Sim ( ) Não

Onde? ( ) Casa ( ) Escola ( ) Outro local (especificar)

____________________________

2.2 - Tem acesso à internet? ( ) Sim ( ) Não

Onde? ( ) Casa ( ) Escola ( ) Outro local

(especificar)_____________________________

2.3 - Com que freqüência costuma acessar a internet ? ( ) Diariamente ( ) de 2 a 5

vezes por semana ( ) mensalmente ( ) Outro (especificar) ____________________

2.4 - O seu domínio na utilização dos recursos comp utacionais você classifica em:

( ) Nenhum ( ) Básico ( ) Intermediário ( ) Avançado

Comentários: _________________________________________________________

2.5 - Assiste à televisão? ( ) Sim ( ) Não

Com que freqüência?

( ) Diariamente ( ) de 2 a 5 vezes por semana ( ) mensalmente

( ) Outros (especificar) __________________________________________________

2.6 – Quais programas você costuma assistir?

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

2.7 - Costuma assistir a vídeo? ( ) Sim ( ) Não

Com que freqüência?

( ) Diariamente ( ) de 2 a 5 vezes por semana ( ) mensalmente

( ) Outros (especificar) __________________________________

2.8 Tipo de leitura mais freqüênte?

( ) Livros de conhecimento especializado ou técnico científico

( ) Livros, de modo geral

( ) Revistas instrutivas

( ) Revistas em quadrinhos

( ) Revistas de entretenimentos

( ) Jornais

( ) Nenhum, pois não gosto de ler

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3- Formação/Ação Pedagógica

Considere o quadro abaixo para responder as questões de 3.1 a 3.3

Quadro 1

Código Freqüência

1 Diariamente

2 Pelo menos uma vez por semana

3 Pelo menos a cada 15 dias

4 Pelo menos uma vez por mês

5 Pelo menos uma vez por bimestre

6 Pelo menos uma vez por semestre

7 Pelo menos uma vez por ano

8 Nunca

3.1 - Você costuma ler artigos/pesquisas referentes à Matemática e de Educação

Matemática? (preencha com o número correspondente d o quadro 1)

Código Fontes

Sim, procuro ler em revistas especializadas ou de publicações científicas,

tais como: ______________________________

Sim, quando recebo em encontros/cursos ou grupos de estudos

Sim, busco em sites dedicados a esses temas

Sim, procuro ler livros referentes ao assunto

Sim, mas apenas quando jornais e revistas de publicação em geral abordam o

tema

Sim, apenas quando é preciso em função de concursos, provas ou imposição

da minha chefia imediata

Acho importante ler, porém não tenho tempo disponível para este tipo de

leitura

Não leio, porque creio que não me acrescentaria nada em minha vida

profissional

Não leio mais, pois já possuo conhecimento suficiente sobre o assunto

Comentários: __________________________________________________________

140

3.2 – Assinale as fontes que você utiliza para prep arar suas aulas? (preencha com

o número correspondente do quadro 1)

Código Materiais

Livros didáticos adotados pela escola

Outros livros didáticos

Livros paradidáticos

Apostilas e/ou materiais recebidos em cursos de formação continuada

Apostilas e/ou materiais do curso de graduação/pós-graduação

Revistas especializadas em Educação matemática

Materiais pesquisados na internet

Não preparo mais aulas, pois já possuo bastante experiência como professor

(a) nas séries em que atuo.

Comentários: __________________________________________________________

3.3 - Assinale quais dos recursos abaixo você utili za em suas aulas de matemática.

(preencha com o número correspondente do quadro 1)

código Recursos código Recursos

Lousa Internet

Giz Laboratório de Matemática

Livro didático Jogos

Material

Dourado

Softwares de matemática

Retro - Projetor Calculadora

TV/Vídeo Outros (especificar):

Computadores

Comentários: _____________________________________________________

3.4 - Em sua opinião, o professor de matemática:

( ) Tem necessidade de constante aperfeiçoamento em cursos

( ) Necessita de uma orientação pedagógica eficiente

( ) Não necessita mais estudar

( ) Não recebe incentivos para continuar estudando

( ) Deve aperfeiçoar-se, sozinho, de acordo com as suas necessidades

( ) Deveria ter oportunidade, dada pela administração, de aperfeiçoamento pelo menos

de três em três anos

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3.5 - Em sua opinião, o que leva o professor de mat emática a buscar cursos de

aperfeiçoamento?

( ) Vantagens financeiras

( ) Tipo de trabalho mais agradável

( ) “Status” mais elevado

( ) Facilitação do trabalho com os alunos

( ) Possibilidade de afastar-se temporariamente da sala de aula

3.6 - Qual é o tempo médio que você disponibiliza p ara preparar suas aulas?

( ) Uma a duas horas semanais ( ) Três a cinco horas semanais ( ) Não preparo

aulas ( ) Outros (especificar): _________________________________________

Em que local costuma prepará-las? ( ) casa ( ) Escola ( )

Outro (especificar): ___________________________________________________

3.7 - Sua escola dispõe de computadores para a util ização com os alunos?

( ) Sim ( ) Não

Caso a sua resposta na questão anterior for negativ a vá direto para a questão 3.11

3.8 - Quanto às condições dos computadores disponív eis para os alunos:

( ) Funcionam bem

( ) Funcionam precariamente

( ) Não funcionam

3.9 - Como você os utiliza?

( ) Não Utiliza

( ) Para trabalhar conteúdos curriculares com os alunos

( ) Para desenvolver projetos com os alunos

( ) Acompanha os alunos até o laboratório para que estes utilizem os computadores

livremente

3.10 – Quanto a sua segurança para utilizar os comp utadores em sua prática

pedagógica, você se sente:

( ) Completamente seguro ( ) Parcialmente seguro ( ) completamente inseguro

3.11 - A sua posição quanto à utilização de calcula doras em sala de aula é:

( ) Contra, porque:_________________________________________________

( ) A favor, porque ________________________________________________

( ) Indiferente, porque______________________________________________

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4 – Concepções/Conhecimentos

4.1 - Para você avaliação é:

( ) Uma exigência do sistema, que deve ser cumprida

( ) Um parâmetro para verificar a aprendizagem e se necessário efetuar novas e

diferenciadas intervenções

4.2 - Você se considera um professor que reflete su a prática pedagógica?

( ) Sim, estou constantemente buscando inovações

( ) Não, pois possuo bastante experiência e não vejo necessidade de inovar

4.3 - Qual o seu nível de conhecimento das Estratég ias da Educação Matemática,

indicadas pelas Diretrizes Curriculares de Matemáti ca do Estado do Paraná como

fontes de “busca para a abordagem metodológica” ?

Estratégias Nível de conhecimento

Mídias Tecnológicas

( ) Nenhum ( ) Básico ( ) Intermediário ( )

Avançado

Resolução de Problemas

( ) Nenhum ( ) Básico ( ) Intermediário ( )

Avançado

Etnomatemática

( ) Nenhum ( ) Básico ( ) Intermediário ( )

Avançado

Modelagem Matemática

( ) Nenhum ( ) Básico ( ) Intermediário ( )

Avançado

História da Matemática

( ) Nenhum ( ) Básico ( ) Intermediário ( )

Avançado

4.4 – Dê um exemplo das estratégias acima citadas que você utiliza em sua

abordagem metodológica. (Se necessário utilize o ve rso)

Resolução de Problemas:

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

Etnomatemática:

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

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______________________________________________________________________

Mídias Tecnológicas:

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

Modelagem Matemática:

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

História da Matemática:

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

144

5 - Vida profissional

5.1 - O que fez com que você escolhesse a profissão de professor (a) de

matemática?

( ) Porque sempre gostei de trabalhar com crianças e adolescentes

( ) Porque sempre gostei e me saía bem nas aulas de matemática

( ) Por falta de oportunidade de fazer o curso de meus sonhos

( ) Porque como professor (a) posso escolher o horário de trabalho

( ) Tenho outra profissão, dou aula apenas para complementar minha renda

( ) Outro motivo,

especificar:______________________________________________________________

5.2 - Como você se sente ao término de um turno de trabalho como professor (a)

( ) Angustiado ( ) Satisfeito ( ) Indiferente

Justifique:_______________________________________________________________

_______________________________________________________________________

5.3 - A indisciplina e o desinteresse dos alunos sã o apontados ultimamente como

os "vilões" no processo ensino-aprendizagem. Você c oncorda?

( ) Sim ( ) Não

( ) Sim, mas existem outros fatores que contribuem, tais

como:__________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

5.4 – Em sua opinião o que justificaria a falta de disciplina e de interesse dos

alunos nas aulas de matemática?

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

Obrigada pela sua participação .

Este questionário é a primeira fase da pesquisa.

Você se dispõe participar das fases seguintes?

( ) Sim ( ) Não

Caso a resposta for afirmativa deixe o seu nome e telefone para contato

_______________________________________________________________________

ANEXO B – DOSSIÊ PROFESSORA VÂNIA

1- TRANSCRIÇÃO ENTREVISTA

“Se eu chegar aqui e alguém me pedir para entrar numa sala de aula sem eu ter preparado com antecedência, mesmo sabendo o conteúdo eu não consigo. Sem ter destrinchado o conteúdo,

elaborado o que eu vou dar e como vou abordar, enfim ter um esquema.“

Entrevista realizada em 20/04/2007 Duração: 1h:15minutos

A entrevista foi realizada no Estabelecimento de Ensino em que a professora atua, município de Paranavaí – Paraná. Após uma aula de reposição.

Primeiramente foi apresentado o projeto de pesquisa, ressaltamos que a intenção do referido projeto é de descrever e compreender a mobilização das tendências metodológicas da Educação Matemática no contexto da sala de aula. Foi explicado, também, que esta entrevista visava compreender melhor algumas questões que ela respondeu no questionário escrito e questões não contempladas.

Professora há dezoito anos, atuou inicialmente no ensino de primeira a quarta série e Ensino Fundamental, na rede particular de ensino. Trabalha na rede pública de ensino há apenas três anos. Mulher de poucas palavras, sucinta, pensa bastante para falar. A cada pergunta ela analisava antes de responder como se estivesse procurando as palavras certas a serem colocadas.

Como você avalia a sua formação na graduação?

Quanto aos conteúdos: na minha graduação eu não aprendi conteúdos que depois fosse trabalhar, eu aprendi conteúdos para continuar os estudos, o mestrado ou caso fosse dar aulas no ensino superior.

Então o conteúdo que eu tenho que trabalhar no Ensino Fundamental e Médio, tive de estudar, tive que me tornar uma autodidata.

Quanto à didática: Como trabalhar com os alunos, eu também não aprendi. Por isso, no primeiro e segundo ano do ensino Fundamental e Médio, na rede pública, eu sofri muito. Estou atuando no terceiro ano na rede pública, este ano que estou mais tranqüila, pois já sei como trabalhar com eles, como dominar, como motivar, como chamar a atenção. Tudo isso eu aprendi sozinha. A graduação não me deu essas bases.

Na graduação normalmente estudam-se conteúdos mais aprofundados, que você trabalha com os alunos, certo? Você acha que o fato de ter um estudo de forma mais aprofundada, como quando você sentou para estudar os conteúdos do Ensino Fundamental e Médio, te ajudou? Deu-lhe uma visão mais ampla, facilitando o entendimento?

Sim. Acho que a gente acaba vivenciando na graduação situações mais elaboradas e quando você desce para estudar a base você começa a construir com um entendimento maior, você está, então, reconstruindo.

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Quando eu estava estudando aqueles conteúdos avançados eu não possuía a base, então foi muito difícil. Mas na medida que eu comecei a estudar e fui crescendo dentro do conteúdo, ficou fácil. E mais fácil ainda quando eu comecei a estudar as bases, ou seja, os conteúdos do ensino Fundamental e Médio.

Você sabe o que eu percebo também? Eu trabalho numa rede particular há muitos anos. E vejo que o ensino público, por diversos fatores, tem muitas falhas, há muitas interferências na educação pública, no conhecimento em si, tem muita defasagem no conteúdo propriamente dito, então quando um aluno da escola pública chega na faculdade ele chega sabendo muito pouco da base, por isso encontra muitas dificuldades.

A escola particular privilegia muito o conteúdo porque ela tem um outro direcionamento. Então o aluno que sai da escola particular já não tem tantas dificuldades de conteúdos, tem outras dificuldades, mas em relação a conteúdos de bases, eu creio que não.

Eu fiz escola pública e quando eu entrei na faculdade havia conteúdos que eu precisava e que eu nunca tinha visto, hoje eu vejo que eles estão lá nos conteúdos estruturantes, que estão nos livros e que é importante que o aluno estude, mas por vários fatores: tempo, currículo, pré-requisitos, a escola é sede para alojamentos, políticas públicas, são muitas as interferências.

Esta questão do pré-requisito é o efeito dominó. Por exemplo, na quinta série, meu sonho era que os alunos chegassem dominando, pelo menos, as quatro operações, tivessem uma certa habilidade com a tabuada para desenvolver as operações, ler e interpretar problemas. Mas eles chegam aqui sem saber ler e escrever!

Se eles chegassem com estas habilidades eu partiria deste ponto para frente e o meu conteúdo deslancharia, mas o que eu tenho que fazer? Voltar lá no conteúdo de 3ª ou 4ª série para chegar num ponto que eu quero para poder destrinchar o conteúdo da quinta série, mas quando isso acontece, já esta no meio do ano! Então, ficam para trás uma infinidade de conteúdos, que no meu ponto de vista, são importantíssimos e que eu não consigo trabalhar.

Quando os alunos chegam na sexta série, o professor encontra o mesmo problema, eles não têm os pré-requisitos necessários. Então, o professor tem que voltar e os conteúdos referentes àquela série vão ficando para trás novamente.

Você fez Pós Graduação em quê?

Em Didática e Metodologia de Ensino, mas isso, também, não me ajudou em nada, pois as metodologias e os projetos apresentados eram uma utopia, não condiziam com a realidade que eu estava trabalhando. Ajudou-me para me graduar, para eu receber um diploma, para conhecimento, mas para aplicabilidade na sala de aula não me ajudou, eu não apliquei nada do que eu vi lá na minha sala de aula.

Como eram estas metodologias?

Os mestres que trabalharam conosco apresentaram metodologias que eu, particularmente, não conseguiria trabalhar com os meus alunos, foi crescimento pessoal sem aplicabilidade.

Eram projetos criados pelos mestres e eles os achavam importantíssimos, mas na verdade, a gente não tinha certeza se já haviam sido aplicados no Ensino Fundamental e Médio. Eram projetos mais para ensino Médio e Faculdade, então, na minha realidade não teve aplicabilidade.

Na Graduação ou na Pós-graduação você estudou História ou Filosofia da Matemática ou da Educação Matemática?

Não. Eu tenho minhas concepções de ensino e aprendizagem da matemática, mas são empíricas, fruto do que penso e um pouco de leituras sobre o assunto.

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Então, quais são estas concepções?

Eu vejo que a nossa vida é matemática pura: são os seus horários, seus vencimentos, suas contas, sua idade, tudo gira em torno da matemática. Então eu definiria assim: “Matemática é vida”

Eu gosto muito de matemática, eu me frustro muito quando eu ouço um aluno dizer que não gosta da matemática. Fico feliz quando alguém me diz que gosta. Hoje, por exemplo, veio um aluno e me disse: “Eu só vim porque é aula de matemática, se fosse outra aula eu não viria”, para mim é uma satisfação muito grande ouvir isso, porque quero passar o meu gosto para eles, espero que eles gostem e que eles vejam que matemática não é só fazer “continhas”.

Acho que o ensino da Matemática e de outras ciências, também, deve acontecer com prazer, porque a gente só ensina o que gosta. A outra pessoa só consegue aprender quando quem está ensinando o faz com prazer. Então ensinar a Matemática é passar um pouco de prazer a quem esta recebendo, é dividir com a outra pessoa aquela sensação gostosa de resolver um desafio, em chegar ao final e dizer: “consegui!”

E por que ensinar a Matemática?

Se na minha concepção, a Matemática é vida, então eu ensino a viver.

Primeiro, porque a matemática é meio intuitiva, pelo menos a princípio, se você não desenvolver este instinto você não consegue sobreviver, pois ela é tudo, está em tudo: na questão de horas, na lateralidade, para onde eu vou, que ônibus pegar, o número do carro, a cor, que roupa comprar, o tamanho da minha roupa, o preço e como pagar, todas são decisões que a Matemática nos ajuda a tomar.

No questionário você disse que ao final de sua aula você sai angustiada, quer falar sobre isso?

Saio angustiada porque eu gosto muito de ensinar Matemática e uma grande porcentagem dos alunos gostam de aprendê-la. Não se interessam e a gente quer que eles aprendam... Diante disso me questiono: será que eu fiz aquilo que deveria ser feito? Da forma certa? Será que era isso que os alunos deveriam ver, ouvir, escrever, fazer?

Percebemos que em certas turmas o que dificulta muito é a indisciplina. Temos que chamar à atenção toda hora, é preciso parar a aula devido a situações desgastantes. Quando se volta para o conteúdo, já não tem mais o mesmo ânimo, a mesma energia.

Professor também é gente, sente, tem emoções e quando se volta para aquilo que estava fazendo, depois de uma situação de indisciplina, já perdeu aquela motivação que estava no começo. E quando a indisciplina se torna uma constante, acaba sendo constante, também, a angústia de não se conseguir passar o nosso recado. Então a minha maior angustia é isso, eles não aprenderam, não entenderam o meu recado e isso acontece muito, eu diria sempre.

Como é o seu dia-a-dia na sala de aula?

Eu acho que sou meio autoritária, as coisas têm que acontecer ao meu tempo.

Eu faço uma espécie de “contrato didático” com os alunos. Faço um cronograma da aula e apresento aos alunos: “Hoje nós temos que fazer isso e isso, se a gente conseguir terminar então no final da aula a gente vai fazer alguma coisa diferente, vamos fazer uma brincadeira ou então vocês vão ficar livres para fazer o que quiserem, combinado?” Com isso eu até consigo trabalhar bem com eles. Esclareço, também, que hora de sentar, é hora de sentar; hora de calar é hora de calar, mas nem sempre a gente consegue isso. Há salas em que eu não consigo desenvolver

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meu trabalho como gostaria.

Eu já fui muito sonhadora, estou há dezoito anos no magistério, hoje eu sou mais realista. As coisas que eu vejo não me afetam tanto quanto já afetou. Parece que eu já internalizei muita coisa e criei uma espécie de barreira para me proteger e acabo achando tudo normal e comum.

No Ensino fundamental da rede Pública, você está trabalhando apenas com 5ª série?

No fundamental é só na quinta série, mas eu tenho também o 1º, 2º e 3º ano do segundo grau.

No Ensino fundamental você adota livro didático ? Qual?

A Conquista da Matemática - Edição Renovada. É o livro adotado por todos.

O livro tem o manual do professor?

Sim.

Como você avalia este manual?

Na verdade, ele traz uma orientação para o planejamento, há indicações de alguns sites para pesquisa, tem umas idéias de jogos. É um material bom, é possível aproveitar bastante coisa. Para cada tema ele traz ou um jogo ou um site para pesquisa. Além de que, se o professor analisar atentamente o planejamento está quase pronto no manual. E pensar que professor reclama tanto em fazê-lo!

Como você organiza os conteúdos? Você segue a proposta do livro didática?

Não, eu trabalho de acordo com a necessidade da sala. No livro há conteúdo que é abordado de forma aprofundada demais e os alunos não têm condições de acompanhar, por não terem pré-requisitos suficientes para trabalhar direto no livro. Então, eu dou uma iniciação no caderno, depois eu seleciono o que eu acho mais interessante e importante para eles naquele momento, de acordo com a necessidade deles. É importante fazer uma seleção prévia, porque há conteúdos que o livro aborda muito superficialmente.

Quanto à seqüência dos conteúdos apontados pelas Diretrizes, sob a forma de eixos norteadores, este livro atende a esta necessidade ou ele apresenta uma seqüência linear dos conteúdos?

Não. Esta questão dos conteúdos estruturantes e os eixos vieram depois da elaboração do livro, então não atende.

Com relação aos conteúdos estruturantes das Diretrizes, o que você me diz sobre eles? Estão adequados? Respondem às necessidades do ensino hoje?

Eu estou gostando, porque nos tivemos a oportunidade de participar da elaboração. O que não der certo, de certa forma, vai ser de nossa responsabilidade, pois nós fizemos do jeito que achamos melhor, tivemos o privilégio de poder construir, fazer de acordo com a nossa realidade.

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E como eles estão sendo trabalhados?

No ano passado, nós fizemos uma reunião entre todos os professores de Matemática de Paranavaí, selecionamos os conteúdos a serem trabalhados em cada série. Assim, evitamos acontecer de um aluno sair de uma escola e entrar em outra e com isso não ver um determinado conteúdo ou rever um conteúdo já estudado. Então, todo o conteúdo estudado em cada bimestre é ministrado em todas as escolas ao mesmo tempo, isso facilita para o professor e para os alunos também. A seleção foi feita de acordo com as necessidades de Paranavaí, assim, na hora do meu planejamento eu revejo as necessidades da turma também.

Alguns professores encaram como obrigatório atender todos os conteúdos apontados pelas diretrizes em seu planejamento, mesmo que com isso ele acabe trabalhando superficialmente os conteúdos, ou fique impossibilitado de trabalhar de forma diferenciada com seus alunos. Você também tem esta posição?

Não. Penso que não adianta eu “pincelar” todos os conteúdos. Acho mais importante os alunos entenderem bem o que eu estou dando do que eu correr com os conteúdos e no final das contas os alunos entendem nada. Então, eu verifico o que é mais importante. Por exemplo, na quinta série, o que é importante eles saírem sabendo? Então eu seleciono e trabalho aquilo que eles vão necessitar, o que é pré-requisito para a sexta série.

E quais são os conteúdos da 5ª série que você privilegia?

O domínio das operações com os números naturais, o domínio das operações com frações e com os decimais, porque são pré-requisitos para todas as outras séries. Claro que isto é trabalhado dentro de situações problemas do cotidiano dos alunos.

Quais critérios você adota para avaliar seus alunos?

A escola tem um sistema: são 60 pontos de avaliações individuais ou em duplas e 40 pontos para trabalhos. Estes 40 pontos o professor faz como ele acha melhor.

Então eu faço da seguinte forma: dou duas avaliações dentro destes 60 pontos, e os 40 pontos restantes distribuo em trabalhos em sala de aula. Por exemplo, no término de um tema trabalhado, eu já aviso os alunos com antecedência que vamos fazer um trabalho sobre este conteúdo, esses trabalhos eu recolho, dou a nota e depois eu devolvo.

Então no bimestre são duas avaliações mais três ou quatro trabalhos, mas na verdade a gente avalia o aluno a todo o momento, estes critérios servem como forma de registro, de regulamentar, é no dia-a-dia que a gente percebe os avanços dos alunos, onde a gente tem que trabalhar mais ou até retomar.

O encaminhamento se suas aulas é o mesmo nas três turmas?

Em cada sala, o conteúdo tem um andamento diferente. A proposta em si é a mesma, mas o resultado final é diferente e o encaminhamento muda porque, por exemplo: a 5ª A é mais tranqüila, os alunos são receptivos, atentos; na 5ª B são alheios, parecem estarem dispersos então eu uso uma outra metodologia com eles e a 5ª C são alheios aos conteúdos e são muito falantes, têm dificuldades de atenção, então tenho que dar outro encaminhamento também.

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Você prepara suas aulas com que antecedência? Você as prepara em função de cada turma ou faz um único plano de aula para todas?

Eu preparo o conteúdo da semana, tenho um certo domínio do conteúdo da quinta série, pois trabalho há mais tempo com estas turmas. No final de semana, sabendo o andamento de cada uma das turmas e qual o conteúdo a ser dado, sento e organizo tudo que preciso para a semana toda, em cada uma das turmas. Se tiver que preparar uma lista de exercícios, deixo preparada; se tiver que preparar material, reproduzir alguma coisa, procurar um vídeo ou deixar um material dourado mais ou menos no jeito para aquela semana, vou listando tudo que tenho que fazer. É uma lista para cada turma.

Assim, deixo planejado o que tenho a fazer no decorrer da semana. Mesmo porque, eu não sei trabalhar sem ter um fio condutor. Se eu chegar à escola e alguém me pedir para entrar num terceiro ano do Ensino Médio, mesmo sabendo o conteúdo, tenho dificuldade. Sinto-me mais segura, se planejo minha aula com antecedência.

No questionário foram citadas as cinco tendências da Educação Matemática que são apontadas pelas Diretrizes Curriculares do Estado do Paraná. Você demonstrou saber utilizar todas elas. Dentre elas, há alguma que você mais utiliza ou que você acha mais viável para trabalhar no dia-a-dia?

A Resolução de Problemas, a gente trabalha o tempo todo em cima disso e na minha forma de entender é importantíssimo.

As Mídias, eu sou super a favor de trabalhar com calculadora, porque a calculadora auxilia na construção e desenvolvimento de alguns conceitos.

Não que o aluno vá trabalhar o tempo todo com a calculadora na mão para fazer os cálculos. Eu tenho a minha caixa de calculadoras e quando eu vou trabalhar o conteúdo eu as trago. No começo eles querem ficar teclando, eu deixo explorarem, dou uma aula de como ela funciona, para que serve cada tecla, como ela foi desenvolvida, trabalho até um pouquinho de programação da calculadora, estudamos a história da calculadora, e desenvolvo algumas situações curiosas sobre a calculadora. Eles gostam, motiva a aula e quando necessário para desenvolver algum conteúdo eu trago as calculadoras, não que eles fiquem o tempo todo com a calculadora na mão. Há alunos que trazem na bolsa, usam escondidos, mas não que eu permita o seu uso contínuo para o Ensino Fundamental.

Quanto aos programas matemáticos de uso no computador eu tenho bastante material para trabalhar, mas a gente não tem muito acesso à sala de informática, não temos um monitor, alguém para acompanhar, um técnico. Eu, enquanto professora, não tenho muito domínio do trabalho em rede e nem sempre a sala está pronta, funcionando direitinho para receber os alunos. Estas são as dificuldades que inviabilizam o seu uso. Mas eu acho super importante, porque o computador está em todo lugar, até os alunos carentes economicamente têm acesso ao computador nem que seja nos ciber-café. A maioria da nossa clientela vem da vila1, mas eu andei perguntando e todos eles já tiveram algum tipo de acesso ao computador. Eles vivem falando: “fui em tal lugar e joguei tal jogo, esse jogo é bom este é ruim...” então saber mexer, eles sabem; ter uma noção de como funciona, também, mas a sua utilização para aprendizagem da Matemática está, por enquanto, inviabilizada.

Das tendências apontadas pelas Diretrizes acho que o que trabalho menos é a Modelagem Matemática, pois tem que trabalhar em cima de projetinhos. E eu tenho uma certa dificuldade de trabalhar assim. De todas, acho que é a que menos eu menos utilizo.

No que diz respeito à História da Matemática, eu não tenho um conhecimento profundo desta tendência, mas eu vejo assim: tem a História propriamente dita do conteúdo e que a abordagem histórica da matemática, não é ficar “contando historinhas” para os alunos. É estudar as situações que a envolvem, de onde ela veio, qual a realidade dos povos que a desenvolveram, como estes

1 A professora refere-se à Vila Operaria e ao Jardim Ypê, (comumente chamado de vila Ypê),

bairros considerados das classes média-baixa da região.

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povos lidavam com a sua matemática.

Então eu trabalho as duas formas: a história propriamente dita, mas eu abordo procuro abordar também o “como” surgiu e como as comunidades e os povos encaravam e usavam a sua matemática.

Na verdade, há conteúdos que são difíceis de se trabalhar a história e conseguir levar os alunos para essa realidade, até porque nós também não conhecemos. Até porque nós não aprendemos assim. Nós aprendemos tudo muito redondinho, .... Tudo perfeito.

O que acontece também, é que o professor tem muita falta de conhecimentos científicos. Se ele não estuda, não consegue trabalhar de forma diversificada. Quanto mais se estuda um conteúdo, mais se consegue trabalhar dentro dele, passear dentro do conteúdo e criar situações que podem levar ao aluno aquilo que você quer.

Porém, a grande maioria dos professores tem um conhecimento muito superficial do conteúdo em si e então fica na superficialidade mesmo. Pois, somente com um bom domínio do conteúdo vai ser possível “passear” por ele, fazer comparações, aprofundar, abordar de forma diferente, relacionar os conteúdos.

Você percebe benefícios na utilização dessas metodologias? Cmo é a receptividade dos alunos?

Só há benefícios quando conseguimos desenvolver nosso trabalho de forma organizada, planejada e sistematizada. Estes recursos trazem contribuições relevantes na aprendizagem dos alunos, eles compreendem o que estamos falando. Isso é perceptível quando a gente tem que retomar algum conteúdo, basta falar para eles: “vocês se lembram de quando a gente estudou tal assunto?” “Que vimos aquele detalhe?” De imediato eles se recordam e é possível dar prosseguimento ao conteúdo. Quanto à receptividade, quando se está numa quinta série eles são bastante receptivos, conseguem devolver uma resposta para aquilo que se esta propondo. É possível trabalhar junto com eles, ao lançar uma situação problema para eles, estes vão atrás e te trazem soluções, as mais diferenciadas, mas trazem. São receptivos, gostam de desafios.

Mas quando você passa para uma série de alunos maiores eles são mais alheios, até porque a própria escola tem este papel de ir “podando” o aluno e quando ele chega lá na frente ele já não participa mais, ele é um ouvinte. Então, a participação deles nas séries iniciais é muito boa, quando chegam às série finais é muito ruim, ficam mais no registro.

Como você aborda a Resolução de Problemas nas suas turmas?

Eu uso os problemas do livro, peço para eles trazerem problemas da realidade deles e, às vezes, crio as minhas situações problemas dentro do que eu vou trabalhar, de acordo com o que eu quero desenvolver com os alunos.

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2 - OBSERVAÇÕES DE AULAS Data: 18/6 5ª série A Duas aulas de 50 minutos Tema: Revisão Após entrarmos na sala, a professora aguarda os alunos ajeitarem as suas respectivas carteiras e se sentarem, cumprimenta-os e me apresenta como uma mestranda que quer ver como são as aulas de matemática dela, e explica que por isso, durante algumas aulas, eu estaria presente.

Sento-me na última carteira que se encontra vaga, a professora faz a verificação da presença dos alunos chamando seus respectivos números, estão presentes 30 dos 32 alunos matriculados nesta turma.

Somente três alunos desta sala parecem não corresponder à idade/série, os demais aparentam ter de 10 a 12 anos. A sala de aula conta apenas com a lousa e as carteiras, inclusive a mesa da professora é igual às demais carteiras da sala. A sala toma muito sol no período da tarde, pois as cortinas não cobrem totalmente os vitrôs.

Como a professora já havia comentado, enquanto aguardávamos os alunos entrarem na sala esta aula, seria de revisão dos conteúdos estudados. Desta forma, a professora escreve na lousa a lista de exercícios que havia passado para os alunos na aula anterior e deu início à revisão. O tema tratado são as raízes quadradas. Inicia-se a aula.

Professora: Quem pode me dizer o que é raiz quadrada?

Alunos: A operação inversa da potência.

Professora: Muito bem! E que pergunta fazemos para calcular a raiz quadrada de 16?

Alunos: Que número que multiplicado por ele mesmo dá dezesseis.

Professora: Muito bem! Vocês estão afinados, e que número é?

Alunos: 4.

Na lousa, a professora escreve enquanto indaga os alunos:

Os seis itens restantes foram completados de forma análoga.

A professora pergunta a turma se todos então sabendo fazer este exercício, ou se ficou alguma dúvida. A sala responde que não.

Segue então para o próximo exercício que é sobre os critérios de divisibilidades.

Professora: O que quer dizer ser divisível?

Os alunos falam ao mesmo tempo e tumultuadamente.

A professora então começa a cantar um pequeno “bordão2” enquanto aponta um a um dos alunos

2Neste caso a professora cantou: “lá encima daquele morro, passa boi, passa boiada, só não

16= 4 pois 4 x 4 = 16

Assinale os números que são divisíveis por 4 e justifique ( ) 300 ( ) 124 ( ) 1111 ( ) 40.000 ( ) 302

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da sala, o aluno que está sendo apontado no momento em que ela termina o bordão, a professora faz a pergunta:

Professora: Wagner, diga: O que quer dizer ser divisível?

Wagner: Quando o resto da divisão dá zero.

Professora: Muito bem! E inicia um novo “bordão”.

Professora: Aline, quando um número é divisível por 4?

Aline: Quando é par?

Professora: A turma concorda?

A turma diz que não e vários alunos levantam a mão para responder.

A professora aponta então para outro aluno que diz:

Aluno: Quando termina em zero-zero ou quando os dois últimos algarismos estão na tabuada do 4.

Professora: A sala concorda?

Os alunos concordam.

Inicia-se, então, a verificação do exercício.

Este processo se repete para os critérios de divisibilidade por 3,5,6,2 e 10.

Observa-se que a professora ora refere-se a sala como um todo, porém quando as respostas não são claras ou existem diferentes respostas ela muda a abordagem, para melhor esclarecimento.

O mesmo processo é repetido para as perguntas relacionadas aos Números primos, porém, desta vez o aluno escolhido deve ir até a lousa e escrever sua resposta, a qual é discutida por todos.

As perguntas relacionadas aos números primos foram:

O próximo exercício da lista trata-se de 7 exercícios em que é solicitada a decomposição em fatores primos.

A correção se dá em conjunto com os alunos, onde a professora pergunta, os alunos respondem e ela anota na lousa a resposta dada:

Professora. 30 é par?

Alunos (em coro): sim

Professora: Quanto dá 30 dividido por 2?

Alunos em coro: 15

E assim sucessivamente até obter toda a decomposição dos números solicitados.

Observa-se que os alunos demonstram-se atentos o tempo todo, as conversas paralelas observadas são raras. Acredito que minha presença tenha interferido no comportamento dos alunos.

Não observo nenhuma situação em que a professora aborde algumas das tendências em questão. Observo a sua criatividade quando quer envolver os alunos.

passa a Joana que está com a saia rasgada.”

O que é um número primo? O que é um número composto? Escreva todos os números primos de 0 a 25 Qual é o único número primo que é par?

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A próxima aula será dedicada à avaliação. Data: 20/6 5ª série A Duas aulas de 50 minutos Tema: Avaliação

Após proceder a verificação de presença dos alunos e aguardar que os mesmos se coloquem em fila, a professora entrega a avaliação para os alunos.

Faz a leitura em conjunto com os alunos de todas as 10 atividades propostas. A cada questão lida ela faz uma referência de quando estudaram ou sobre a revisão. Deseja boa prova a todos.

Durante os primeiros minutos a sala permanece em completo silêncio.

A professora começa então a circular pela sala.

Um aluno solicita sua presença e pede:

Aluno1: Este aqui eu tenho que escrever porque também ou posso só dar a resposta?

Professora: Tem que justificar também.

Alunos 2: Professora, pode fazer a lápis?

Professora: Pode sim

Aluno 3: Professora, está certo? (Apontando para uma questão)

Professor: Eu não sei, o que você acha?

No decorrer de todo o tempo dedicado à avaliação a professora não interfere no andamento do mesmo, senta-se em sua mesa e aguarda os alunos terminarem.

Na medida em que estes vão entregando a avaliação ela solicita que vão fazendo o exercício 5, página 111 do livro didático - A conquista da Matemática.

Data: 25/6 5ª série A Duas aulas de 50 minutos Tema: Introdução ao estudo das frações Ao entrarmos na sala a professora pede silêncio, faz a verificação de presença chamando-os pelo número, estão presentes 26 dos 32 alunos.

Na seqüência, vai para a lousa para efetuar a correção do exercício 5, página 111 do livro didático - A conquista da Matemática.

A professora pergunta para a sala quais são os números primos até 20 e na medida em que os alunos vão falando quais são, ela anota em destaque na parte superior de lousa.

Inicia então a correção dos exercícios que pedia para decompor fatores primos.

A correção se dá em conjuntos com os alunos, pois ela vai perguntando, os alunos respondem enquanto ela anota na lousa:

Professora. 48 é par ?

Alunos (em coro): Sim!

Professora: Quanto dá 48 dividido por 2?

Alunos em coro: 24

E assim sucessivamente até obter toda a decomposição dos números solicitados

Naqueles números em que a professora observa que os alunos relutam para responder ou algum

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aluno dão uma resposta errada, ela se dirige até um canto da lousa e resolve a divisão utilizando o processo longo. Sempre lembrando-os que para aqueles números em que não conseguem efetuar a operação mentalmente eles devem fazê-la num rascunho.

No decorrer da resolução a professora questiona os alunos o tempo todo com perguntas como:

Porque é possível dividir por 3?

Como vocês fizeram para encontrar este número?

Como é mesmo o critério de divisibilidade por “X” (número em questão)?

No que ajuda saber o critério de divisibilidade?

Quando apenas poucos alunos respondem ao seu questionamento ela retoma a questão, geralmente aproveitando a resposta dos alunos e chamando a atenção dos demais para a resposta dada e enfatizando a importância ou as vantagens de dominarem os critério de divisibilidade.

Foram ao todo 4 itens solicitando a decomposição.

Camila: Professora! Não fiz na mesma ordem que a senhora, mas a resposta é a mesma!

Professora: Os valores são os mesmo só que em ordem diferente?

Camila - Sim

Professora – Não tem problema. Escutem todos: as divisões sucessivas que a Camila fez não está na mesma ordem que eu fiz. Isto não tem problema, ok?

A sala é silenciosa, observa-se poucas conversas paralelas, a maioria dos alunos estão empenhados na correção dos exercícios.

Observa-se que no decorrer da correção a professora retoma com os alunos boa parte do conteúdo estudado e avaliado.

Na seqüência a professora anuncia: “hoje vamos começar a trabalhar um conteúdo bem gostoso da matemática, não é um assunto novo para alguns de vocês, mas no decorrer das aulas vamos ver algumas novidades que vocês ainda não viram”.

Ela pede para os alunos abrirem os livros na página 140, muitos alunos não trouxeram o livro e sentam-se em duplas com quem trouxe. Observa-se que a professora dá um salto da página 111 para a página 140.

A professora escreve bem grande na lousa FRAÇÃO, senta-se sobre a sua mesa, aguarda a sala ficar em silêncio, diz que ainda não precisam anotar nada, que vão apenas conversar, por isso os alunos devem deixar o lápis sobre as carteiras e prestar atenção no que vão conversar.

Professora pergunta: Quem já ouviu falar em fração?

Muitos alunos respondem que já ouviram

Professor: Onde vocês ouviram?

As respostas são diversas e ao mesmo tempo: na escola; no mercado; em casa.

Professora: E por que usamos o termo fração? O que quer dizer a palavra fração?

Ela mesma responde que a palavra fração pode ser relacionada ao termo pedaço:

- um pedaço de bolo, poderia ser dito: uma fração do bolo;

- Um pedaço do chiclete poderia ser dito: uma fração do chiclete.

Aluno: Mas, os pedaços têm que ser iguais, não é?

Professora: Exatamente, quando falamos em fração falamos em pedaços iguais, seja lá o que for que vamos repartir, repartiremos em pedaços iguais.

Na seqüência a professora distribui entre os alunos as falas que constam nas páginas 140 e 141 do livro. Trata-se de cinco quadros em forma de desenho em quadrinhos retratando diferentes situações e diferentes formas de expressar as frações.

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Após a leitura dos quadros um aluno levanta a questão de como saber quanto é ¼ de leite?

A professora se dirige até a lousa, desenha um litro e uma caixa de leite.

Professora: A nossa unidade de medida para o leite é o litro não é? Um quarto de litro de leite significa você pegar o conteúdo de um litro e dividi-lo em quatro partes iguais, uma das partes representa ¼

Acompanhem comigo: O leite é medido em litros, e sua forma abreviada e simplesmente o “l” certo? Mas um litro é equivalente a 1000 mililitros, sabiam disso? Abreviadamente chamamos de “ml”, não é?

Alguns alunos: Sabíamos

Professora: Então se eu pedir meio litro de leite eu posso escrever esta sentença como: ½ l. E significa o quê?

Alunos: 500 ml

Professora: Em termos de medidas é realmente 500ml, mas em termo de fração como eu poderia dizer: dividi o litro de leite em duas partes iguais e peguei uma.

Enquanto fala anota na lousa:

Professora: Olha só pessoal, a fração é uma forma de escrever quantidades que a gente já conhece não é?

Professora: E se fosse ¼ de leite? Como seria?

Alguns alunos: Divide o leite em quatro partes e pega uma.

Professara corrige: Divide um litro de leite em 4 partes e pego uma não é? E em termos de capacidade quanto é ¼ de litro de leite ?

Como os alunos não respondem a professora acrescenta: Se meio litro é 500ml, quanto é a metade de meio litro?

Alguns alunos respondem inseguramente: 250ml ?

A professora retoma na lousa: Vejam só, peguei um litro de leite; mas um litro é equivale a 1000ml, não é isso?

Alguns alunos confirmam.

Professora: Como fizemos com o ½ litro? Não pegamos um litro e dividimos em duas partes (circulando o número 2 do denominador da fração)? Agora se eu quero ¼ do litro de leite eu vou pegar um litro para dividir por quanto?

Alunos: Por 4.

Professora: Mas um litro de leite não equivale a 1000ml? Como fizemos para achar o meio litro?

Alunos: Dividimos 1000 gramas por 2 .

Professora: E agora, como vamos encontrar um quarto de 1000 ml?

Alunos: Dividimos por 4

Professora: Exato, muito bem, então façam isso e me dêem a resposta.

Imediatamente alguns alunos apresentam a resposta, porém a professora vai para o canto da lousa e efetua a divisão com todos os alunos.

Na lousa fica:

500ml = 2

1l

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Professora retoma argumentando: Vamos ver as demais situações em que utilizamos fração que o livro apresenta.

Após a leitura de todos os quadros a professora questiona sobre o primeiro quadro, perguntando: O que o freguês quis dizer quando pediu um quarto de carne? Pedir um quarto de carne é comum? Como normalmente nós pedimos no açougue esta quantidade?

Ana Paula: É igual ao leite que fizemos na lousa, não é?

Professora: O que a sala acha? É situação semelhante?

Alunos: Sim

Professora: Precisamos discutir?

Alunos: Não

Professora: Ana Paula diga-nos quanto de carne ele comprou?

Ana Paula: 250g

Professora: Esta quantidade, normalmente, pedimos em gramas, não é? Qual quantidade que costumamos comprar que pedimos usando esta forma?

Ana Paula: Meio quilo.

Professora: Exato, meio quilo é mais comum que um quarto nos dias de hoje. Creio que o autor não foi muito feliz neste exemplo.

Nos quadros seguintes a discussão transcorreu sem que os alunos apresentassem dúvidas. Assim a professora dá prosseguimento à aula dizendo: No livro tem uma “historinha” que vai nos mostrar uma outra forma de escrever os números e também porque usar frações.

A professora distribui cada parágrafo do texto entre os alunos para leitura.

(todos levantam a mão querendo ler)

Dois alunos no fundo da sala estão conversando, a professora faz sinal ao aluno que começa a leitura para que aguarde e diz: vamos esperar o Vagner e o Joel terminarem o assunto deles para que possam acompanhar a leitura também!

Imediatamente os dois alunos se calam e a leitura é reiniciada.

Trata-se de um pequeno trecho relatando a surgimento das frações como representações de medidas não inteiras. Tais representações segundo o livro surgiram em função das medições das terras as margens do Rio Nilo. O texto também apresenta com a representação da época de três frações de numerador um (1/3, 1/8 e 1/20)

Ao término a professora comenta: A forma dos egípcios escreverem era diferente da nossa porque o sistema de numeração deles era diferente. Alguém se recorda como era a representação dos números egípcios?

Alguns alunos: Risquinhos, flor de lotus, rolo da corda etc...

Joel: Professora! Isso vai cair na prova?

Professora: Esta parte dos egípcios não. É apenas uma curiosidade, para sabermos um pouco mais sobre as frações e que elas não surgiram do nada.

Na seqüência a professora entrega a primeira atividade em folhas à parte, (anexo 3B) . Convida os alunos para lerem juntos o enunciado da atividade.

500ml = 1

2 l

4

1l = 250ml

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Enunciado:

Após a leitura a professora pergunta aos alunos se a primeira figura é uma fração.

Os alunos em coro respondem que sim.

A professora pergunta: Por quê?

Alunos: Porque foi dividida em partes iguais.

Assim a professora resolve a atividade juntamente com os alunos ao todo são 6 figuras e delas duas não representam frações.

A atividade dura aproximadamente 15 minutos, ela pede para os alunos colem a atividade no caderno e entrega uma segunda atividade (anexo 3B, faz a leitura do enunciado junto com os alunos que diz:

Professora: Agora são vocês que vão fazer.

A professora circula pela sala, enquanto os alunos resolvem a atividade, tirando dúvidas quando solicitada, o trabalho é individual e resolvido tanto individualmente como em duplas conforme os alunos já estavam dispostos. Quanto a aula termina a maioria dos alunos já haviam terminado a atividade, porém não há tempo para a correção destes

Data: 27/6 5ª série A Duas aulas de 50 min. Tema: Estudo das frações N° de alunos presentes: 30 alunos Após os alunos se ajeitarem e a professora fazer a verificação de presença, inicia a correção dos exercícios entregues na aula anterior.

A professora reproduz a tabela da atividade na lousa e a preenche juntamente com os alunos:

Professora: Em quantas partes está dividida a figura?

Alunos: 7

Professora: Qual é o nome de cada uma das partes?

Alunos: Um sétimo

A Professora anota na tabela e pergunta: como que escrevemos em forma de fração cada uma destas partes?

Alunos: Um em cima e 7 embaixo

Este procedimento se segue para todas as demais questões. Ao término desta atividade a professora pede para os alunos formarem duplas e entrega a eles uma folha com desenhos de "peças" de um jogo de dominó (anexo 3B) para serem recortadas e uma outra folha em branco.

No lugar da disposição usual das "peças" do dominó há representações de diferentes frações: em

Um inteiro pode ser dividido em partes iguais. Fração é um número que representa uma ou mais dessas partes. Essas frações recebem nomes diferentes. Observe a tabela a seguir e complete-a com o que falta:

Frações significam partes iguais . Quais destas figuras foram divididas em partes iguais? Para responder, escreva que fração representa cada uma dessas partes

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forma de desenho, numéricas e no modo de leitura de frações.

A professora explica aos alunos que devem recortar as peças e com a folha em branco devem montar um envelope para guardarem as peças.

Professora: Que forma geométrica cada peça do dominó nos lembra?

Alunos: Forma retangular

Professora: E se considerarmos somente uma parte da peça, que forma ela tem?

Alunos: Dá um Quadrado.

Professora: Muito bem! Vocês estão afinados.

Os alunos estão muito agitados e conversam muito enquanto ela explica, então ela chama a atenção deles lembrando-os que além desta atividade eles têm mais uma atividade para fazerem nesta aula e que se a conversa não os deixar terminar ela voltará na hora do recreio para terminar.

A sala fica em silêncio.

Um aluno comenta comigo: Pior, que ela vem mesmo!

A professora explica aos alunos novamente que devem recortar as “peças” do jogo e com a folha em branco devem montar um envelope para guardá-las.

Assim que terminem de montar o jogo podem iniciar a brincadeira, mas para isso é preciso estabelecer algumas regras e convida os alunos para montarem juntos estas regras:

Professora: Como vamos decidir quem começa o jogo?

Alunos: Quem sair com o carretão

Professora: Olhem as peças, tem carretão?

Alunos: Não

Professora: E agora?

Leonardo: Tiramos par ou ímpar.

Professora: Alguém tem outra sugestão ou concordam com o Leonardo?

Os alunos concordam com o colega.

Então, a professara escreve na lousa:

Professora: E como dar seqüência ao jogo? Olhem como são as peças, como vai ser?

Alunos falam todos ao mesmo tempo.

Professora: Calma pessoa. Vamos lá, tem frações escritas numericamente, não tem?

Alunos concordam.

Professora: Tem frações representadas por desenhos e frações escritas por extenso não, é isso?

Alunos concordam.

Professora: Então como podemos fazer?

Alunos 1: Juntar as peças que são iguais.

Professora: Quer dizer que se eu tenho ½ de um lado devo juntar outro ½ escrito igual?

Alunos: Não! Pode ser de outra forma.

Professora: Muito bem. Pode ser o um meio representado numericamente, por desenho ou escrito por extenso. É isso?

1- Inicia o jogo quem ganhar no “par ou ímpar”

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Alunos concordam.

Professora: E quem vence o jogo?

Alunos: Quem terminar as peças primeiro.

Professora então vamos escrever isso. Na lousa fica:

A professora anuncia que irá anotar na lousa alguns exercícios e que na medida em que forem terminando o jogo deverão resolvê-los.

Na lousa a professora monta uma tabela com a composição das equipes e espaço para anotar os resultados:

Equipes

( ) Fabiana X Ana Paula ( )

( ) Leonardo X Marcos ( )

( ) Vagner X Joel ( )

Enquanto aguarda os alunos a recortarem as peças conversamos sobre a atividade:

A professora diz que a atividade que irá passar na lousa trata-se dos exercícios do livro e que provavelmente ficará como tarefa de casa, mas que faz isso para os alunos não ficarem “enrolando”.

Diz que gosta de dar jogos para eles porque é uma atividade que eles gostam e aprendem brincando além de que os ensinam a respeitar regras.

Questionei-a se já havia trabalhado as formas geométricas com os alunos. O que ela me respondeu que não, mas vêm explorando aos poucos aquilo que eles já sabem, para facilitar o trabalho no terceiro bimestre, quando pretende trabalhar a Geometria.

Enquanto os alunos realizam esta atividade a professora circula pela sala, tirando dúvidas, providenciando materiais como tesoura e cola.

Há bastante conversas paralelas e discussões na sala, porém a professora não se incomoda com estas conversas.

Vânia joga algumas partidas com alguns alunos explicando as regras e as representações das frações.

Na medida em que as equipes terminam o jogo vão até a lousa e anotam o resultado na tabela.

A professora recolhe os envelopes com os jogos e solicita que façam os exercícios do 5 ao 8 da página 145. Porém, assim que os alunos iniciam esta atividade a aula termina. A professora pede então que os exercícios estejam prontos para a próxima aula.

1- Inicia o jogo quem ganhar no “par ou ímpar” 2 - Observar as duas frações que estão dispostas na peça inicial do jogo e encontrar, em suas peças, outra forma de representação de uma delas. 3- Vence o jogo quem terminar as peças primeiro.

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Data: 02/7

5ª série A

Duas aulas de 50 minutos

Tema: Trabalhando com frações.

Ao entrarem na sala a professora aguarda os alunos se ajeitarem, cumprimenta-os e chama a atenção destes quanto ao comportamento durante a oração, solicita que todos fiquem em pé e façam novamente a oração. Ao término, faz a verificação de presença.

A professora lembra o que foi feito na aula passada e que foi solicitado para iniciarem as atividades da página 145.

Passa rapidamente dando visto nos cadernos e alertando para aqueles que não fizeram que devem trazer na próxima aula sem falta.

Pergunta para a sala se tiveram dúvidas nestes exercícios, como a maioria dos alunos disseram que não a professora pega o livro e passa na lousa o seguinte questão:

Aguarda os alunos copiarem para iniciar a resolução, o qual se dá da seguinte forma:

A professora faz a leitura em voz alta com todos os alunos;

Explica que o problema será resolvido de duas maneiras: por desenho e numericamente;

Começa a resolução do item a:

Desenha um relógio na lousa indicando neste os números correspondentes às 12, 3, 6 e 9 horas; subdivide o relógio de 5 em 5 minutos.

Pergunta então para os alunos:

Professora: Se o ponteiro maior estiver no número 12 e o menor no número 3 que horas são?

Alunos: Três horas.

Professora: Se os dois ponteiros estiverem apontando para o número 3, que horas são?

Alunos (nem todos): 3 e 15

Professora: Quando o ponteiro maior percorre o relógio todo, ele percorreu quanto tempo?

Alunos: Uma hora.

Professora: Então vamos colocar o ponteiro menor no 12 e o maior no 6, o ponteiro maior então saiu do 12 e foi percorrendo, percorrendo até chegar no 6, quanto tempo levou isso?

Alunos: 30 minutos

Professora: Os ponteiros assim dispostos dividem o relógio em quantas partes?

Alunos: Duas partes.

Professora: Muito bem! Então da volta toda, que é uma hora, ele percorreu “esta parte” (sombreando sobre a parte percorrida pelo ponteiro). Que fração da volta toda esta parte corresponde?

Alguns alunos: ½

Professora: Muito bem, então podemos dizer que meia hora corresponde a 30 minutos ou seja a metade da hora. Estou certa?

Se 60 minutos correspondem a uma hora, que fração de hora são: a) 30 minutos? b) 15 minutos? c) 45 minutos?

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Alunos: sim.

Os alunos copiam o que ficou registrado na lousa:

A professora solicita, então, que os alunos façam os demais itens do problema.

Aluno 1: Professora, para 15 minutos tem que pintar inteiro?

Professora: Mas se você pintar o relógio inteiro você vai pintar uma hora!!! O problema pede para você representar 15 minutos.

Volta-se para a sala e pergunta: Quantas partes de 15 minutos têm uma hora?

Alunos: 4 partes

Professora volta-se para Aluno 1 e diz: Então uma hora dá para dividir em 4 partes de 15 minutos e você quer?

Aluno 1 completa: Uma parte.

Professora: Então a fração correspondente é?

Aluno 1: ¼?

Professora: Muito bem!

A professora volta-se para a sala e pergunta por que foi dividido em quatro partes e não 5 ou 6 ...

Alunos 2: Porque é de 15 em 15 minutos.

A professora chama então a atenção de todos os alunos para a lousa e explica: Olha só gente, nós temos uma hora, então dentro de uma hora cabem quantas partes de 15 minutos?

Alunos: 4 partes.

Professora: Nós queremos representar quantas dessas 4 partes?

Alunos: Uma parte.

A professora escreve o numerador da fração e pergunta: Dá para tirarmos alguma conclusão do que acabamos de fazer?

Vários alunos tentam responder ao mesmo tempo. Então ela inicia um “bordão” e aponta para Joana.

Joana: O número de baixo é o quanto dividimos o relógio.

Professora: A sala concorda?

Alunos: Sim.

Professora inicia outro “bordão”, e aponta para Carlos.

Professora: Carlos tem alguma outra conclusão que podemos tirar?

Carlos: Não sei.

Professora: Quem sabe?

Vários alunos levantam a mão.

164

Professora: Diz você Wagner.

Wagner: O número de cima é quanto eu tenho de pintar.

Professora: A sala concorda?

Alunos: Sim.

Professora complementa: Tenho que pintar, mas e se no exercício não pedir para pintar, Wagner?

Wagner: É escreve o número aí do mesmo jeito, é... o que tem que escrever?

Professora: Este (apontando para o denominador) representa em quantas partes iguais o todo foi dividido e este (apontando para o numerador) representa quantas dessas partes foram considerada,... tomada, usada... Enfim, a parte que pede o exercício. Vocês entenderam?

Professora: Tem mais uma coisa: na matemática nós não falamos “número de cima” e “número de baixo” nós dizemos numerador e denominador enquanto fala escreve na lousa:

A professora começa então a escrever a solução do exercício na lousa, utilizando o mesmo método anterior, ou seja, canta um ”bordão” para escolher o aluno que vai dizer o que ela deve fazer:

Professora: Marcelo quantas partes eu posso dividir uma hora?

Marcelo: 4 partes.

Professora: E agora o que eu faço?

Marcelo: Pinta uma parte.

A professora faz o que Marcelo diz, mas pergunta à sala se está certo, os alunos concordam.

Professora: E como eu escrevo na forma de fração?

Marcelo: 1 em cima e 4 embaixo

Professora: Classe, está certo?

Alunos: sim

Professora: Como é o nome do termo de “vai em cima”?

Alunos: Numerador.

Professora: E o termo que “vai embaixo”?

Alunos: Denominador.

Professora: Então vamos combinar, nada mais de “número em cima e Número embaixo” vamos falar os nomes correto: Numerador e Denominador.

A professora divide a lousa e escreve, dizendo que os alunos não precisam anotar:

Professora: Ana Claudia olhe para as frações que estão na lousa e me diga o que representam os números 1, 1, 2 e 3.

4

1 NUMERADOR

DENOMINADOR

1

2 ; 1

4 ; 2

3 ; 3

5

165

Ana Claudia: São os numeradores.

Professora: Sim, mas o que eles representam?

Aluna: A parte que vai ser pintada.

Professora: E se fosse uma receita de bolo e dizia: colocar 2/3 de litro de leite. Eu teria de pintar o leite?

Risos na sala

Ana Claudia: Não. Daí era a parte que vai ser usada.

Professora: Muito bem! Carlos, olhe para estas frações e me diga o que significa os números 2,4,3 e 5.

Carlos: A parte que foi dividida?

Professora: Sim e qual o nome que eles recebem?

Carlos: Denominadores?

Professora: Sala, o Carlos está certo?

Alunos: Sim.

A professora convida os alunos a ajudarem a escrever o que vem a ser o denominador e o numerador.

Para isso vai descrevendo os diferentes termos que poderiam ser utilizados na definição e pede que os alunos digam qual eles preferem:

Professora: “o numerador é o total de partes”, ou pode ser “o número de partes” ou ainda a “quantidade de parte” qual vocês preferem?

Alunos: Total de partes.

Professora: “Que foram consideradas” ou “tomadas” ou ainda “usadas”. Qual vocês preferem?

Alunos: Usadas.

Dessa forma na lousa fica escrito:

A professora pede para resolverem o item c do exercício.

A correção deste a professora procura envolver os alunos que ainda não haviam participado, cantando “bordão” e perguntando, cada vez para um aluno:

Professora: Quantas partes serão divididas o relógio? Por quê? Quantas partes eu irei pintar? Quem é o denominador? Quem é o numerador?

A professora pergunta, então, se alguém fez o exercício diferente.

Joana levanta a mão e diz que tinha dividido de 5 em 5, mas que apagou.

Professora: Conta para nós como você fez e eu vou anotando na lousa.

Joana: O relógio pode ser dividido de cinco em cinco também. Que dá 12 partes daí eu peguei 9

41 NUMERADOR

DENOMINADOR

É o total de partes que foram usadas.

É o total de partes iguais que o inteiro foi dividido.

166

partes.

Professora: E você apagou?

Aluna: Sim.

Professora: Por quê? No desenho não dava a mesma coisa?

Aluna: Sim, mas todo mundo falou que era de 15 em 15.

Professora: Mas o seu estava certo também.

A professora chama a atenção da sala para o relato da colega e enquanto ela relata novamente a professora descreve-o um novo desenho ao lado do desenho em que foram representadas as soluções anteriores. Ao terminar chama a atenção da sala novamente. Perguntando:

Professora: (apontando para o desenho dos relógios) Classe! olhem estas representações, o que está diferente?

Alunos: Nada.

Professora (apontando para as frações), agora olhem a fração que deu o exercício da Joana. Está igual também?

Alunos: Não.

Professora: Pode ter duas respostas diferentes para o mesmo exercício?

Os alunos permanecem quietos.

Professora: Pode sim. Sabem por quê? Porque ela dividiu de forma diferente, então a fração numericamente está diferente. Mas representa a mesma quantidade (apontando para o desenho), estão vendo?

Alunos: Sim.

Professora: Estas frações são especiais e recebem nomes especiais, são chamadas as frações equivalentes.

Professora: Equivalentes porque representam a mesma quantidade. Entenderam?

Na lousa fica escrito:

Professora: Depois nós vamos estudar mais sobre as frações equivalentes e vocês vão verificar que elas são muito importantes nos estudos das frações.

Passa na lousa o seguinte exercício retirado do livro:

Frações Equivalentes 12

9 =

4

3

167

Aguarda os alunos copiarem para iniciar a resolução em conjunto.

Faz a leitura em conjunto com os alunos; questiona o significado da palavra “capacidade” e inicia a resolução perguntando inicialmente a sala toda o item a e o item b, os alunos respondem em coro e imediatamente à pergunta. Já o item c, os alunos parecem não saber a resposta. A professora então intervem:

Professora: Vamos pensar, quantos litros têm quando temos meio tanque?

Alunos: 20 litros.

Professora: Como descobrimos esta resposta?

Alunos: Porque é a metade.

Professora: Como calculamos a metade?

Alunos: Dividimos por 2.

Professora (circulando o denominador da fração ½): Dividimos então pelo deno...

Alunos: minador!

Professora: O que temos que fazer para descobrir quanto é ¼?

Alguns alunos: Dividir por 4?

Professora: Exato!!! Quanto dá então?

Alunos: 10 litros.

Professora: E o próximo, quanto dá?

Alunos hesitam. A professora vai até o desenho e escreve sobre cada parte o valor encontrado no item anterior. Pergunta novamente quanto dá.

Alunos: 30 litros.

Professora: Muito bem! Vamos fazer mais exercícios.

Pede para fazerem os exercícios 1, 2, 3, 4, 5 e 6 da página 149.

Enquanto os alunos copiam os exercícios solicitados termina a aula e a professora avisa que para a próxima aula ela quer pelo menos os exercícios 1,2,e 3 resolvidos e os demais eles devem tentar resolvê-los, mas devem trazer pelo menos copiados.

Enquanto nos encaminhamos para a outra sala a professora comenta que os exercícios do 1 ao 3 da página 149 trata-se de representações fracionárias e os alunos resolverão sem dificuldades, pois já estão dominando bem a representação de frações. Já os demais são mais elaborados e eles terão mais dificuldades por isso acredita que ela terá que resolver com eles.

Comento com ela sobre as frações equivalentes se vai retomar o mesmo problema para abordar o assunto.

A professora disse que, provavelmente, só vai comentar e que na verdade não estava planejado falar em frações equivalentes, mas como surgiu a oportunidade ela aproveitou. Comentou ainda que não pretende abordá-lo neste semestre e que vai ficar com resolução de problemas envolvendo frações até iniciar as férias para não ter que retomar depois.

Não houve aula no dia 4/7, pois houve uma mudança no calendário escolar e neste dia os professores se reuniram para procederem ao conselho de classe.

168

Data: 18/6

5ª série C

Duas aulas de 50 minutos

Tema: Revisão

Ao entrarmos na sala a professora organiza o “espelho”3, os alunos que estavam fora dos lugares determinados voltam sob protestos.

A professora me apresenta e inicia verificação de presença lembrando que o aluno que não responder ficará fora da sala.

A sala é extremamente barulhenta, diversos alunos conversam, trocam ofensas e ameaças entre si, aproximadamente 10 dos 30 alunos aparentam estar fora da idade-série.

A sala de aula é apertada para comportar todos os alunos, e assim como a outra sala, conta apenas com a lousa e as carteiras, inclusive a mesa da professora é igual as demais carteiras da sala, porém sua posição é privilegiada com relação ao sol.

Ao término da verificação de presença e entre os diversos pedidos de silêncio, a professora lembra que a aula trata-se da revisão de conteúdos para avaliação a qual é muito importante, pois se ficou dúvidas do decorrer dos estudos esta é a hora se saná-las.

A lista de exercícios apresentada é a mesma apresentada na quinta série e também como lá ela passa-os na lousa para proceder a correção.

Aluno 1: Professora, é para copiar?

Professora: Você veio na aula passada?

Alunos1: Sim

Professora: Então abra seu caderno e dê uma olhadinha no último conteúdo que você tem.

Aluno 1: Nossa!!! Tá aqui. Era para fazer em casa?

Professora: Claro, a orientação foi que vocês resolvessem em casa e anotasse as dúvidas para tirar nesta aula.

Aluno 1 (rindo): Então eu tive dúvidas em todos.

Enquanto conversa com o aluno a professora prossegue passando os exercícios na lousa, a conversa na sala é grande e muitos alunos andam pela sala.

Aluno2: Professora, que página está estes exercícios?

Professora: Estão no seu caderno

Aluno 4: Professora, quantas linhas deixa no exercício 2?

Professora (voltando-se para a sala toda e em tom de voz alterado): Eu quero um minuto de silêncio.

Quero que todos parem de fazer o que estão fazendo agora e olhem para mim!

A sala silencia.

Professora: Agora, por favor. Todos abram os seus cadernos. Olhem o que fizemos na aula anterior. (aguarda todos abrirem os cadernos) vocês estão vendo que estes exercícios estão aí. E se fizerem um pouquinho de esforço vão se lembrar que na aula passada eu passei estes exercícios, pedi para vocês fazerem em casa e trazer as dúvidas por que na próxima aula haverá avaliação. E eu tiro as dúvidas hoje e não na hora da avaliação.

No início da aula eu disse que iríamos corrigir os exercícios, mas alguns de vocês estavam

3 Espelho: distribuição prévia de alunos na sala, normalmente as escolas utilizam este recurso

com o objetivo de separar alunos que juntos costumam tumultuar as aulas.

169

ocupados demais com os colegas para ouvirem o que eu disse. Está claro agora?

Alunos: Sim.

Por alguns instantes a sala fica em silêncio a professora então inicia a correção dos exercícios.

Professora: Quem pode me dizer o que é raiz quadrada?

Camila: A operação inversa da potência?

Professora: Muito bem, Camila! E que pergunta fazemos para calcular a raiz quadrada de 16?

Camila: Que número que multiplicado dá dezesseis?

Professora: Multiplicado por ele mesmo, não é Camila? Porque só multiplicado 8 x 2 também dá 16.

Neste momento a sala já está tumultuada. A professora pede silêncio e retoma o diálogo que teve com Camila.

Professora: Prestem atenção aqui. A Camila me disse que para achar a raiz quadrada de um número nós devemos perguntar "qual o número que multiplicado tem como resultado o número que está na raiz", eu disse a ela que não está totalmente correto. Quem sabe dizer onde está o erro?

Alunos 5: Mas está certo.

Professora: Por que está certo?

Aluno 5: É só fazer 4 x 4 dá 16.

Professora: Mas 8 x 2 também dá 16!! E agora?

Aluno 5: Mas os números têm que ser iguais.

Professora: Muito bem!!! A afirmação que os números devem ser iguais é muito importante, e tem que ser dita. Quem sabe me dizer por que é importante?

Como ninguém responde a professora completa

Professora: É importante porque a raiz quadrada é a operação inversa da potência de expoente dois, e na potência o índice dois indica quantas vezes um número deve ser multiplicado por ele mesmo. Lembram disso?

Alunos: Sim.

Na lousa a professora escreve enquanto indaga os alunos:

Observa-se neste momento que aproximadamente 70% da sala está prestando atenção no que a professora diz, os demais estão conversando e brincando uns com os outros. Porém, na medida em que a professora prossegue com a correção deste exercício a conversa aumenta, a participação fica limitada a uns poucos alunos. Mesmo com a professora chamando a atenção destes várias vezes.

Ao terminar a correção deste exercício a professora pergunta a turma se todos então sabendo fazer este exercício, ou se ficou alguma dúvida. A sala responde que não tem dúvidas.

Segue então para o próximo exercício que é sobre os critérios de divisibilidades

Assinale os números que são divisíveis por 4 e justifique ( ) 300 ( ) 124 ( ) 1111 ( ) 40.000 ( ) 302

4² = 4 x 4 = 16 então 16= 4

170

Professora: Camila o que quer dizer ser divisível?

Camila: A conta de dividir dá resto zero.

Professora: Carlos, quando um número é divisível por 4

Carlos não responde.

Professora: Jonas, quando um número é divisível por 4?

Aline: quando é par?

Professora: Pode até ser, mas tem mais coisas. Mateus, quando um número é divisível por 4?

Mateus: Quando termina em zero.

Professora: Quase isso, mas tem mais uma coisa, qual é?

Mateus não responde.

Professora: Procurem em seus cadernos, nós já escrevemos os critérios de divisibilidade (enquanto fala divide separa um canto da lousa). Vamos escrever todos eles aqui leiam para mim (na medida que os alunos lêem cada critério a professora escreve-os).

Professora: Então vamos ler o critério de divisibilidade por 4

Professora: Agora vamos lá. 300 é divisível por 4?

Alunos: É!

Professora: 124 é divisível por 4

Alunos: É!

Professora: Por quê?

Alunos: 24 está na tabuada do 4.

Professora: A sala concorda?

Este processo se repete para os critérios de divisibilidade por 3, 5, 6, 2 e 10.

Observa-se aqui uma significativa diferença de abordagem com relação a outra 5ª série. Na medida em que a professora percebe que a participação de todos é limitada, que os alunos não se envolvem o suficiente para que os critérios sejam revistos oralmente, a professora opta em escrever os critérios já estudados na lousa.

Para a correção do exercício seguinte a professora faz uma tabela na lousa escrevendo um uma coluna todos os número de 0 até 25 na outra os seus divisores

Para encontrar os divisores dos números da tabela usa o mesmo procedimento que o exercício anterior pedindo para os alunos verificarem quais critérios cada número atende.

Professora: Quanto é zero dividido por 1?

Alunos: Zero.

Professora: Quanto é zero dividido por 2?

Alunos: Zero.

Professora: Quanto é zero dividido por 3?

Alunos: Zero.

Professora: O que podemos concluir?

Alunos e professora: O zero é divisível por todos os números.

Professora: Quanto é 1 dividido por 1?

Alunos: 1.

Professora: Dá para dividir por mais algum?

171

Alunos: Não.

Professora: Quanto é dois dividido por 1?

Alunos: 2

Professora: Quanto é dois dividido por 2?

Alunos: 1

Professora: Dá para dividir mais?

Alguns alunos: Não.

A partir do 4 a professora lança mão dos critérios de divisibilidade para preencher a tabela

Professora: 16 atende quais critérios de divisibilidade?

Alunos e professora: por 1, por 2 porque é par; por 4 porque está na tabuada do 4; por 8 porque está na tabuada do 8.

Professora: 17 é divisível por 1?

Alguns alunos: Sim.

Professora: É divisível por 2?

Alguns alunos: Não.

Professora: Por quê?

Alguns alunos: Não é par.

Assim prossegue até completar a tabela como abaixo

Números Divisores Números Divisores

0 1, 3, 4, 5, 6,... 11 1, 11

1 1 12 1, 2, 3, 4, 6, 12

2 1, 2 13 1, 13

3 1, 3 14 1, 2, 7, 14

4 1, 2, 4 15 1, 3, 5, 15

5 1, 5 16 1, 2, 4, 8, 16

6 1, 2, 3, 6 17 1, 17

7 1, 7 18 1, 2, 3, 6, 9, 18

8 1, 2, 4, 8 19 1, 19

9 1, 3, 9 20 1, 2, 4, 5, 10, 20

10 1, 2, 5, 10 21 1, 3, 7, 21

Professora: Observem a tabela, tem números que são divisíveis apenas por 1 e por ele mesmo que nome recebe estes números?

Alguns alunos: Primos

Professora: E os outros que nome recebe?

Aluno 7: Composto

Professora: Exato !! Agora sabem responder as perguntas?

Alguns alunos: Sim.

172

A professora aproveita ainda os critérios escritos na lousa para resolver o exercício que pede para decompor em fatores primos. Porém apenas inicia o primeiro e a aula termina. Fica combinado que antes da avaliação a professora irá tirar as dúvidas deste exercício.

Ao sairmos da sala a professora pergunta se observei a diferença que há de uma sala para outra, como esta sala é difícil de trabalhar. E a pouca participação dos mesmos.

Comenta que ali há alguns alunos que embora conversem bastante produzem bastante também, mas tem vários que não acompanham e não querem acompanhar, que já tentou diversas abordagens diferentes com eles e nada funcionou.

Não observamos nenhuma situação em que a professora abordasse algumas das tendências em questão.

Data: 25/6

5ª série C

Tema: Introdução ao estudo das frações

A professora entra na sala e organiza o “espelho”4, os alunos que estavam fora dos lugares determinados voltam sob protestos.

Solicita aos alunos para pegaram o livro, muitos deles não trouxeram, a sala está extremamente barulhenta, diversos alunos conversam, trocam ofensas e ameaças entre si.

A professora chama diversas vezes a atenção deles, e entre os diversos pedidos de silêncio, convida-os a conversarem sobre frações.

Da mesma forma que encaminhou na sala anterior escreve bem grande na lousa a palavra fração e pergunta a eles se já ouviram falar em frações?

As repostas são vagas e poucos alunos participam;

Aluno 1: Na quarta série

Aluno 2: Na quinta.

Professora: Sem ser na escola onde vocês já ouviram falar em frações? Na casa de vocês, por exemplo, já ouviram?

Aluno 1: Esse negócio tem nas receitas.

Aluno 2: Acho que tem na conta de água.

Professora: Na conta de água?

Aluno 2: Acho que já ouvi meu pai falando “ta muito caro a fração de água”

Professora: Teu pai fala a fração da água está muito caro, é isso?

Aluno2: Acho que é.

Professora: Quem mais já ouviu. 4Espelho: distribuição prévia de alunos na sala, normalmente as escolas utilizam este recurso com o objetivo

de separar alunos que juntos costumam tumultuar as aulas.

O que é um número primo? O que é um número composto? Escreva todos os números primos de 0 a 20 Qual é o único número primo que é par?

173

Aluno 3: Tem em bolo.

A professora: Então vamos ver o que o livro tem a nos dizer sobre frações.

Distribui da leitura do texto do livro, ao contrário da outra sala, nesta turma os alunos não querem ler, alguns chega a recusar mesmo quando a professora insiste.

Após a leitura a professora pergunta quais daquelas situações os alunos já conheciam?

Poucos respondem (a maioria estão envolvidos em conversas paralelas)

A professora questiona sobre o primeiro quadro, perguntando: o que o freguês quis dizer quando pediu um quarto de carne?

Aluno 3 (com ironia): Ele quer um quarto da casa dele cheio de carne oras!

Professora: O que eles esta querendo dizer? Ele pediu mais ou menos que um quilo de carne?

A professora insiste: O freguês pediu um quarto de carne ele pediu mais ou menos que um quilo de carne?

Leonardo: mais.

Alguns alunos dizem mais outros dizem menos.

Leonardo se destaca ao afirmar que pediu mais porque é 4 quilos

Professora: Gente presta atenção aqui! Vamos analisar a situação juntos

Desenha na lousa uma barra com a indicação de 1kg, e diz: se o freguês fosse comprar um quilo ele levaria o pedaço todo, mas ele quer ¼ Kg. Então o que ele quer menos que um quilo dessa carne, ele quer uma parte deste pedaço do pedaço de carne que no caso pesa um quilo.

Enquanto fala divide-a em 4 partes e reforça com giz de outra cor uma das partes:

1 kg = 1000g

Professora: Vamos ver agora em gramas quantas gramas ele queria. 1kg equivale a quantas gramas?

As respostas são diversas e ao mesmo tempo: 100g; 900g; 1000g

Professora: 1kg equivale a 1000g

Enquanto a professora tenta sistematizar a situação na lousa, diversos alunos tentam se adiantar dando diferentes respostas a questão, tais como:

Aluno 4: Ele quer 400g,

Aluno 2: Ele quer 100g

Aluno 6: 500g

A professora continua:

Professora: Então um quilo de carne é a mesma coisa que 1000g não é? Então dividir 1kg de carne em 4 porções é a mesma coisa que pegar 1000g e dividir em 4 porções. Mas daí, quantas gramas tem cada porção? Ajudem-me aqui, vamos dividir as 1000g em quatro partes.

Vai para um canto da lousa e divide 1000 por 4 pelo processo longo chegando ao valor de 250g (durante o processo de resolução da divisão poucos alunos participam )

Leonardo (Interrompe a professora com o ar de quem fez uma descoberta): Professora, então ele pediu menos!!! Ele pediu 250g!

A aula é interrompida pela supervisão, para recados.

Ao retomar a professora diz: Eu já ouvi o Leonardo concluir que ele pediu menos que um quilo.

174

Os demais entenderam também?

Os alunos que estavam acompanhando o desenvolvimento da professora dizem que sim.

Na lousa fica:

250g 250g

250g

250g

1 kg = 1000g

1kg = 1000g.

¼ kg = 1000:4

1/4kg = 250g

A professora convida os alunos para analisarem o outro quadro onde aparece em uma receita 2/4 de farinha de trigo.

A professora desenha na lousa uma representação de um pacote de farinha de trigo e pergunta: Em quantas partes eu vou dividí-lo?

Alguns alunos: Em 4 partes.

Professora: A receita pede 2/4 de trigo, então no desenho, se eu fosse pintar quantas partes de trigo vou usar eu devo pintar quantas partes?

Alunos: 2 partes.

Professora: Vamos imaginar que eu tenho aqui 1kg de farinha de trigo, na situação anterior nos descobrimos que ¼ do quilo é quantas gramas?

Alunos: 250g.

Professora: Se eu tenho que pegar 2 partes para fazer os bolinhos quantas gramas vou pegar?

Alunos - 500g.

Professora: Exato! Vou pegar duas partes que equivale a 500g, ou seja meio quilo.

Na lousa fica:

Professora: Vocês estão percebendo que quando estamos falando de frações, estamos falando de partes, ou pedaços iguais. Quando dizemos que vamos repartir um bolo em pedaços iguais, queremos dizer que dividimos ele em pedaços poderíamos dizer que fracionamos o bolo.

Enquanto fala acrescenta na lousa as palavras PARTES E PEDAÇOS

Na lousa fica assim:

2

1500

4

2=g=

175

Ao analisar o quadro em que envolve a pizza a professora pergunta: Quando o garotinho disse que cada um pode comer 1/3 da pizza o que ele quis dizer? O que significa 1/3 da pizza? Em quantas partes a Pizza foi dividida?

Alunos: 3 pedaços.

Professora: A pizza foi dividida em 3 pedaços, quantos pedaços cada um poderia comer?

Alunos: 1 pedaço.

Leonardo: Professora vai dar 750g de pizza?

Professora: Aqui eu não sei dizer, porque a gente não sabe o peso da pizza.

Leonardo: Mas se ela pesasse 1 kg?

Professora: Daí também não daria 750g para cada um, você teria que dividir 1000g por 3.

A professora faz a divisão da leitura da página 142 em que apresenta um quadro histórico sobre frações.

A leitura é interrompida várias vezes para a professora pedir silêncio.

Ao término da leitura a professora chama a atenção dos alunos para o fato dos egípcios não conhecerem o sistema de numeração hindu arábicos e a forma em que registravam as quantidades na "forma de desenhos".

Após a leitura procura relacionar

A professora convida ainda os alunos para se colocarem no lugar dos egípcios quando estes colhessem um saco de feijão e precisassem dividir em duas famílias. Como fariam?

Ela mesma responde: Eles pegariam outro saco e colocariam metade para cada um. Então dividam ao meio. Até aí é fácil, não é? Mas eles tinham a necessidade de escrever isso?Hoje nós poderíamos representar de várias formas:

Escrevendo por extenso: meio saco de feijão

Escrever assim: 0,5

Ou ainda na forma de fração ½

Meio = 0,5 = 1/2

A partir daí a professora conclui: Fração surgiu então da necessidade de representar uma parte menos que o inteiro.

Neste momento inicia uma briga na sala, a sala fica tumultuada, a professora intervém e exige que

os alunos sentem. Registra a ocorrência e após muitos pedidos de silêncio a professora consegue

retomar a aula.

A professora entrega a atividade 1 anexo (1M) faz a leitura com a sala, interrompendo para

chamar atenção para os termos partes iguais e relacioná-lo ao que foi discutido durante a aula.

PARTES

FRAÇÕES

PEDAÇOS

176

Após a leitura, resolve também junto com eles, ressaltando sempre as figuras que podem ser

representadas por frações devem ter partes iguais;

A professora entrega a segunda atividade, porém a aula termina.

Observamos que a professora necessitou de mais tempo para trabalhar o mesmo conteúdo que

foi trabalhado na 5ª série A. Naquela turma, neste no mesmo espaço de tempo além do conteúdo

referente a frações a professora corrigiu atividades e retomou parte do conteúdo da avaliação.

Observamos que as constantes interrupções para chamar a atenção dos alunos, contribuíram no

desenvolvimento da aula. Observamos, também, que na outra turma a participação e atenção

dispensadas pelos alunos foram praticamente unânimes enquanto que aqui apenas uma parcela

dos alunos participa da aula e outra estão dispersos, conversando, brincando e até brigando.

Por outro lado, as questões levantadas nesta sala foram bastante ricas e proporcionaram uma

discussão mais aprofundada sobre o tema.

3 - DOMINÓS DE FRAÇÕES

ANEXO C – DOSSIÊ PROFESSORA GLECI

1- TRANSCRIÇÃO DA ENTREVISTA

"Quando eu escolhi ser professora eu não queria ser mais uma professora eu queria fazer a diferença"

Entrevista realizada no dia 28/03/2007 Duração 2h:13min

Como você avalia a sua formação ?

A graduação eu não posso reclamar, foi boa. A única coisa que eu não tive na graduação foi um trabalho melhor e mais eficiente com a metodologia de ensino, porque trabalhar o conteúdo da matemática, aprender os conceitos eu tive bons professores.

Não só na parte da metodologia, mas faltou um despertar no graduando para a criatividade, à reflexão sobre o seu trabalho, apontar um caminho. Porque eu penso que a gente tem que ter uma direção para saber para onde ir após a graduação. Não dá para ficar por conta da ação porque a criatividade não nasce sozinha ela depende de fundamentos, mas onde buscar estes fundamentos? Se a faculdade não dá conta de tudo isso, teria pelo menos que despertar o interesse pela leitura e dar orientações sobre estas leituras. Se a faculdade não dá conta de tudo isso, teria, pelo menos, que despertar o interesse pela leitura e dar orientações sobre estas leituras: Que tipo um professor de Matemática deve fazer? A gente também tem que ter consciência de buscar, mas essa consciência deveria ter sido despertada durante a graduação.

Eu penso que quando a gente se forma se você não tiver consciência que o ser humano nunca sabe tudo e tem que estar sempre buscando pelo conhecimento e por atualizações a gente estaciona. E aí você não vai ser um bom profissional, porque as coisas mudam a sociedade muda o tempo passa. Uma coisa que eu fazia há algum tempo atrás hoje não funciona mais e como eu vou perceber isso no meu dia a dia?...E tem gente que não percebe, ensina do mesmo jeito que ensinava há 10, 15 anos atrás, isso não pode, você tem que mudar tem que acompanhar as mudanças.

Você fez pós Graduação em que?

Eu fiz a pós em Educação Matemática, os trabalhos foram em educação matemática, nela eu tive vários professores bons. E me chamou muito a atenção uma professora da faculdade de Londrina que fez um trabalho com Modelagem, aquelas aulas para mim foi um estímulo muito grande, porque eu vi nas aulas dela a importância da Educação Matemática e a importância da gente estar pesquisando para mudar mesmo a nossa prática, porque não adianta a gente ficar ensinando só por ensinar. Teve umas atividades prática muito interessante, foi bastante prático.

Você considera que os conteúdos da matemática que você estudou na graduação te ajudam enquanto professora do ensino fundamental?

Eu vejo a Matemática que é uma disciplina do cotidiano mas também é uma ferramenta para outros conteúdos e para o desenvolvimento da própria Matemática e os conhecimentos

180

aprofundados da Matemática me dá esta visão para justificar e para selecionar os conteúdos de base. Facilita também no momento de estudar e entender os conceitos a serem ensinados. Quanto mais Matemática a gente aprende mais facilidade a gente tem para lidar com a Matemática, mais habilidades para criar em cima dos conteúdos. Os trabalhos mais elaborados dão segurança de trabalhar com os conteúdos, uma visão melhor para pensar em como trabalhar os conteúdos no momento de ensinar.

Na graduação ou na pos graduação você estudou história, filosofia da matemática ou da Educação Matemática?

Filosofia não. Na graduação foi falado da História da Matemática, mas muito superficialmente, não tínhamos um estudo mais elaborado, uma disciplina. Já na pós graduação uma das primeiras matérias foi sobre a história da matemática, ficou uma coisa muito na leitura, mas deu para gente fazer uma reflexão em cima.

A gente viu que a história é leitura, é pegar um livro de História da Matemática, buscar de que forma foi desenvolvido determinados conceitos, a idéia que eles tinham e transportar para a Matemática de hoje, é muito interessante.

Quando eu fiz a faculdade, por exemplo, quando foi para montar o projeto de estágio eu não conhecia nada da História da Matemática e aí para fazer a pesquisa em que eu trabalhei, (a área das figuras geométrica plana e relacioná-las com as equações do 2º grau) eu tive que estudar bastante, buscar na história como foi o desenvolvimento do completamento dos quadrados, para chegar na fórmula de Báskara.

Eu penso que a História da Matemática a gente vai conhecendo de estudar, de pesquisar, de buscar em livros que abordem a História da Matemática e das Ciências. O que eu sei de História da Matemática e das Ciências é mais por vontade própria do que de ter feito ou visto em cursos.

Poderia citar algum momento ou pessoa que marcaram em sua formação?

Eu tive uma professora de estágio que quando ela contava sobre as aulas delas, eu pensava: será que ela faz isso mesmo? Pois parecia muito fantástico, ela tinha um "jeito" de colocar o aluno para pensar e fazer Matemática. Pois ela me colocou na sala dela para fazer o estágio, eu aprendi bastante com aquela mulher... Gente ela era... Não sei se ela ainda dá aula... Mas ela era magnífica.

Eu lembro que ela pediu para gente um trabalho de geometria, ela queria uma demonstração que não fosse nada livresco e ela era exigente ao extremo, eu demorei uma semana para conseguir fazer, e só consegui relacionando a teoria com o trabalho de meu marido (desenhista projetista), utilizando a planta de uma casa de uma água só. E eu tirei 10 com ela.

Esta professora falava que a gente deveria ser capaz de criar, inventar, você não pode seguir somente o que está no livro, porque o aluno não entende aquela linguagem, ele entende uma linguagem mais simples, então quando você transporta aquilo que está lá para a idéia dele, do jeito que ele pensa daí ele entende. Então esta professora orientava a gente, ela desafiava, ela incentivava a gente a pesquisar a ser criativo, mas muitos dos nossos professores não tiveram a sorte de ter ela como professora ou mesmo os que tiveram nem todos aproveitavam o que ela dizia.

Onde você busca fundamentação para o seu trabalho?

Eu sempre gostei de pedagogia, apesar de não ter feito pedagogia, mas o que eu já li e leio sobre o assunto, me ajudam a refletir e a entender principalmente sobre as dificuldades de aprendizagem e de comportamento... Porque eu acho que não adianta nada eu saber Matemática

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e não saber lidar como os problemas do dia-a-dia. Eu acho que o pedagógico tem que estar junto com todas as disciplinas e é nela que eu busco meus fundamentos.

Você trabalha desenvolvendo projetos com seus alunos?

Eu acho que eu não posso descuidar do conteúdo básico, o que eu tenho que ensinar, eu tenho que ensinar mesmo, mas eu sempre coloco uma atividade, algum projeto, alguma coisa diferente para trabalhar e ele adoram trabalhar assim. Agora, eu entendo assim, que eu não posso trabalhar só em função de um projeto, mas sempre com projeto voltado para estimular o ensino de matemática.

Você gosta de ser professora de matemática?

Gosto e muito!

É comum os alunos falarem: "puxa mas você gosta de matemática heim" ... eu tinha uma aluna que falava: "professora quando você esta dando aula, seus olhos brilham" (risos).

Eu dava risada, mas isso é o amor pelo que a gente faz, ele é muito importante, quem tem amor pelo que faz já é meio caminho andado, pois você já pensou: você ir para uma escola de mal humor, ir por obrigação, você fazer aquilo por que é o teu ganha-pão mas você não ama o que você faz? Gente! Deve ser uma tragédia, deve ser horrível!

Eu acho que o amor pelo que a gente faz na profissão da gente é muito importante, principalmente na profissão do professor, porque eu penso assim, o cidadão que você vai formar ali, eu sei que não sou a única, mas sou uma peça na formação deste cidadão, estou ajudando a construí-lo. De certa foram eu tenho responsabilidades para com ele para com o tipo de sujeito que ele vai ser, a minha postura em sala de aula, forma com que me relaciono com meus alunos, tudo é aprendizado para eles, é modelo. Além disso, a Matemática desenvolve o senso crítico o senso de responsabilidade a visão crítica da sociedade. Parece que não, mas a matemática esta diretamente relacionada a formação do homem. Não só para ser ferramenta de trabalho mas como postura mesmo..

Na entrevista anterior, você falou sobre a “falta de afetividade” (ensinar com amor) como fator que contribui para o desinteresse e indisciplina dos alunos. Quando e de que modo você percebeu que a afetividade era importante?

Desde que comecei a trabalhar eu sempre pensei que eu não queria ser mais uma professora, mas queria fazer a diferença e sempre acreditei que tudo o que você faz com amor você faz bem feito. Se fizer por fazer você não faz bem feito. E daí eu fui procurando ler sobre isso, eu li um livro "A pedagogia da Afetividade", na pós-graduação que reforçou esta minha idéia. Então eu fui lendo, buscando vários autores que tratam deste assunto. Eu sempre pensei que o amor deve vir em primeiro lugar e não é só na profissão de professora, mas em tudo que você vai fazer, até numa comida. (risos)

Imagina não ter carinho pelo aluno que está ali? Eu acho que é muito cômodo você amar o aluno bonzinho, mas e aquele aluno que é difícil de comportamento, como fazer? Ele deve perceber que você o ama, porque quando ele percebe que você tem amor por ele, ele muda o comportamento e daí você consegue trabalhar com ele.

Eu tenho um aluno lá na escola, é um aluno que a gente vê que vem de um meio sem amor... O ano passado ele desistiu, aí eu encontrei ele na rua e perguntei para ele porque que desistiu? Ele disse "há porque minha mãe falou que não adiantava mais eu ir porque eu ia reprovar". Daí eu disse a ele: mas como alguém pode saber que vai reprovar? E não importa, você tem que ir até o

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fim não pode desistir, conversei bastante com ele incentivei a voltar a estudar. Aí esse ano ele voltou, não é um aluno fácil, o linguajar dele é difícil, mas ele percebe que eu gosto dele e tudo o que faz vem me mostrar com uma satisfação porque sabe que se fizer bem feito eu vou elogiar.

Então eu percebo que ele precisa de palavras de incentivo e de apoio, eu acho que se a gente percebe isso e consegue dar apoio, demonstrar carinho é muito mais fácil, porque você conquista primeiro e depois atingi a tua sala e consegue trabalhar melhor. Problemas a gente tem, um aluno que responde mal um dia ou outro é comum, mas não é isso que faz a sala ruim e é principalmente esses que precisam de amor.

Quanto as dificuldade de aprendizagem dos alunos o que você pensa disso?

Não existe aluno que não aprende, existe aluno que demora mais que os outros, mas se a gente vai com jeitinho ele consegue. No ano passado eu tive um aluno que não registrava nada, mas era o aluno que mais respondia, mas se você pegasse o caderno dele, ele tinha uma coisa aqui outra ali ele sabia, mas era só no oral e o escrito – nada. Aí eu disse "não, eu vou trabalhar com este aluno e vou insistir que ele tem que escrever", pois senão eu não poderia avaliar, eu precisava do registro dele e foi, foi... Ele conseguiu passar. O mesmo trabalho foi feito com os outros professores, hoje ele está na 6ª série. Dá gosto de o ver escrever, você pergunta ele responde.

Por isso que eu falo, é fácil trabalhar com quem sabe, o desafio é trabalhar com quem não sabe este é o grande desafio do professor, então eu acho que não tem aluno que não consegue, todos eles conseguem.

De que forma você organiza suas aulas?

Quando eu começo o conteúdo, por exemplo, números inteiros na 6ª série, eu não uso muito recursos, mas eu converso muito e o próprio livro de matemática deles, diz assim: "converse com seu professor".

Você viu o material do ano passado no grupo de estudo? Ele falava do professor reflexivo e do professor criativo. Mas, o que é fazer reflexão em matemática? Como você vai refletir matemática com seus alunos? Que conceitos, como você vai fazê-lo entender? Qual a importância de gostar de matemática? E hoje é difícil dar aula. Então eu acho interessante que você começa falando para eles dos números, (se referindo aos números inteiros), como surgiu, porque surgiu, quais necessidades da época levaram o seu desenvolvimento, e eu vou contando para eles, daí quando vou, por exemplo, trabalhar a adição eu coloco lá que o positivo eu tenho e o negativo eu devo... Aí eu trago para a vida deles, se, por exemplo, você vai ao supermercado e tenho tantos reais..., eles fazem tudo de cabeça..., não ficam perdidos.

Eu tenho três 6ª séries este ano, e sabe qual é o problema dele? É a tabuada, aí eu falo para eles vamos encontrar uma forma de vocês construírem a vossa tabuada, vocês vão construir não decorar, porque decorar não resolve, tem que construir. Daí eu começo: o que é a tabuada? É a adição de parcelas iguais, mas o que são parcelas iguais?... Então vamos lá.... Daí nós vamos construindo....

Então eu acredito que se tem que buscar na história, trazer para a sua realidade e o modelo você vai encontrar em situações do seu dia a dia que vai sendo introduzido para poder desenvolver o trabalho com os alunos.

Trabalhar com Modelagem, por exemplo, é construir e identificar modelos para a aplicação dos conceitos matemáticos. Eu acredito que a Modelagem é também trazer uma situação real, uma situação diária, o modelo é a realidade, é uma situação em que o aluno conhece. Para mim é isso.

A História é o fundamento para dizer aos alunos de onde surgiu aquilo que usamos hoje e eles perceberem que aquilo é importante.

Agora, como que eu posso querer, por exemplo, que o aluno aprenda um conteúdo imediatamente. Não é assim. Se para eles o construírem (um determinado conteúdo) levou

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quantos anos? Outro dia eu achei tanta graça, na sexta série, eu tinha colocado um problema em que eles tinham que calcular a idade de Alexandre, ele viveu antes de Cristo, o problema era para aplicar a subtração, mas não existe idade negativa, então como ele faz? Eles percebiam que o valor que dava não fazia sentido, e eles faziam confusão, aí eu estava falando para eles sobre o sistema de numeração e conversando eu falei para eles "gente, sabem quantos anos os matemáticos levaram para sistematizar este sistema de numeração, que está aí para gente?" eles disseram, mas ninguém vive tudo isso, (risos) daí eu falei para eles, mas não é um matemático é um processo... Uma história... Um conhecimento de uma geração foi passando para outra e foi aprimorando até que chegou no que temos hoje.

Então eu acho que é necessário o professor refletir com eles este processo, nós temos que ensinar trazer para a linguagem deles, para eles entenderem, refletir com eles tudo isso, no caso, eu exemplifiquei como se fosse seu avô passando para seu pai e seu pai passando para você e você passando para seu filho e seu filho para o filho dele... Assim por diante e cada um foi aprimorando.

Na entrevista anterior você disse que “sempre que tem oportunidade você cria materiais para trabalhar com os alunos”, que tipo de material é esse? Com que objetivos você os cria?

Por exemplo, produtos notáveis, quando eu fui trabalhar com os alunos da sétima série no projeto Arte e Matemática5, o material dourado poderia ser explorado, mas a escola não tem o suficiente para trabalhar com a sala inteira. No próprio livro já dá uma idéia da construção deste material no plano para utilizá-los no cálculo de áreas com as expressões, então eu aproveitei a idéia e adaptei. Neste caso a gente não cria um material, mas aproveita a idéia daquilo que está aí e que é possível o aluno confeccionar.

Então quando a gente confecciona um material, às vezes da para inventar alguma coisa, mas na maioria das vezes você pega uma idéia que já existe e trabalha em cima daquilo, aproveitando e depois saí do material extrapolando a idéia.

Fale um pouco mais sobre este Projeto

Quando eu montei o projeto o material foi confeccionado na sala, cada um o seu em cartolina, trabalhamos primeiro geometricamente, depois passamos para a formalização montando as áreas e as expressões que as representavam, o inverso também foi feito. O livro deles mostrava desenhos e a partir deles foram montando novas expressões.

Quando estávamos desenvolvendo o projeto eu ouvi de uma professora "onde já se viu pintar telas com alunos isso é um absurdo, eu tenho 49 alunos com a minha turma....", mas não é pintar tela com todos, nós montamos algumas telas porque queríamos apresentá-lo no ComCiência.

O material foi feito com cartolina comum, os desenhos para relacionar com as telas de MONDRIAN foram feitos em sulfite usando giz de cera e lápiz de cor, coisa comum do dia-a-dia. As telas foram montadas depois que o aluno já tinha feito na cartolina, no sulfite e compreendido os conceitos matemáticos, daí para montar a tela cada um fez a sua expressão e montou compondo e decompondo áreas e as transformando em obras de arte. A professora de artes trabalhou os conceitos de cores primárias e as técnicas de pintura e eles se acharam uns artistas. O trabalho final era para mostrar para eles a relação que existe entre a arte e a matemática e para incentivá-los.

Quais as séries que você está trabalhando este ano?

Duas 5ª séries e três 6 ª séries

5 Projeto desenvolvido, em 2006, juntamente com a disciplina de Educação Artística, com alunos da 7ª em que relacionava os Produtos Notáveis com as obras de Mondri. Foi apresentado no II Educação ComCiência – Maringá – Paraná.

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Na 5ª série, o que você acha fundamental o seu aluno saberem ao seu término?

O que é fundamental mesmo eles saberem, são as quatro operações com números naturais e decimais bem certinhos, não precisava nem saber os racionais absolutos, porque na 6ª série a gente vai reforçar as operações com frações. Mas o que é preciso mesmo é compreender a ação das 4 operações no conjunto dos números naturais. Ele tem que saber resolver problemas interpretar o problema e decidir que cálculo matemático ele vai aplicar ali. Isso é fundamental para ele. Se ele não souber tomar essa decisão é complicado.

Tem que saber relacionar os termos usados em matemática com os termos do dia-a-dia. Por exemplo, "Continhas de menos... continhas de mais" eles tem que relacionar com "adição e subtração" as "continhas" são operações matemáticas, mas para eles operação é uma cirurgia!!!!!

E na sexta série

Na sexta a gente começa pelos números inteiros, mas eu acho fundamental que eles saibam também porcentagem, proporção, regra de três, juros, porque estes conteúdos têm relação com o cotidiano deles, a relação com o comércio que da para gente trabalhar numa visão mais crítica discutindo o que é vantajoso ou não. Além disso, apesar de utilizar, estes conteúdos não são retomados nas séries seguintes e é importante para eles. Até mais do que as operações com os racionais.

E a Geometria é estudada?

A geometria assim como os demais conteúdos estruturantes estão contemplados nos estudos dos conjuntos Numéricos, de forma articulada, conforme propõe as diretrizes, mas tem um momento em que a ênfase direcionada a um ou outro conteúdo. Por exemplo, o estudo da Geometria, dos entes geométricos, da planificação de formas geométricas, dos polígonos, o estudo da posição relativa de retas, estudo dos ângulos, isso tudo é trabalhado.

Na sexta série já inicia os estudo com álgebra não é? Como que é essa passagem para eles?

Depende da sala, na verdade é uma pré-álgebra, tem vez que a gente encontra alunos que fala "mas trabalhar números já é difícil imagina trabalhar números com letras". Mas só que se você introduzir a equação como igualdade de expressão questionando - "Olha que número que vou colocar no lugar dessa letra para que essa igualdade seja igual a essa?" aí depois é que você vai explicar o que é uma equação, que a letra pode ser qualquer uma, daí ele compreende o que é o número desconhecido.

Quando chega o estudo de proporção, na regra de três ele aplica isso tranquilamente, porque ele já entende o que é a igualdade e aplica direitinho. Então eu não vejo muitas dificuldades na 6ª série.

Eu acho que a série mais pesada é a sétima, porque é pura álgebra e daí eles ficam inseguros até entenderem...,mas eu penso assim se a gente trabalhar bem caprichado os conceitos de monômio, polinômio, a semelhança, se ele souber compreender direitinho e souber identificar na expressão. Ele trabalha depois as operações.

Por exemplo, produtos notáveis, quando vou trabalhar eu mostro para eles primeiro pela multiplicação, relacionando com o cálculo de áreas e só depois que eu vou trabalhar as regras.

E o qual a sua opinião sobre as propostas das DCE?

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As DCEs da forma que foi apresentada procura dar valor ao conhecimento que o aluno traz por meio da Etnomatemática, trabalhar os aspectos históricos, enfatizar a Resolução de Problemas, que não é resolver os problemas pelo problemas, relacionar a matemática com os aspectos críticos do desenvolvimento da humanidade e ainda fazer uso das tecnologias. Eu acho que a forma que estão tentando fazer é muito boa.

Eu sempre achei que o professor de matemática deveria trabalhar valorizando as tendências da Educação Matemática, independente de DCEs, então na minha concepção estava mesmo na hora de fazer isso. Não sei se os professores vão saber fazer.

O que as DCEs esta propondo é o ideal, se a gente conseguir fazer um trabalho dentro mesmo desta proposta a Matemática vai passar a ter significado. Muda completamente a visão da matemática, porque estudar uma matéria que você não sabe como e nem porque ela surgiu, fica uma coisa que não tem princípio, que parece ter vindo do nada e não é assim. Quando a gente estuda a parte histórica da Matemática a gente passa a ver que a Matemática, ela foi construída a partir de uma necessidade. E agora, qual é a nossa necessidade hoje pra que precisamos aprender matemática hoje? E aí o desenvolvimento histórico mostra esta necessidade e ajuda o aluno ter mais interesse em aprender, pois faz sentido o seu estudo. Eu acho que as tendências nas DCE está muito bem colocada, eu gostei.

Como se deu a seriação dos conteúdos estruturantes em seu estabelecimento?

Primeiro a escola fez a sua seleção de conteúdos e a seqüência a ser trabalhada, depois nós nos reunimos com as demais escolas do município e fizemos as adequações para ficar todas as escolas iguais. Porque isso facilita para os alunos que é transferido e para o professor também, muitos professores trabalham em mais que um estabelecimento.

A escolha do livro também foi feita assim, tanto este que estamos usando, como o que selecionamos para o ano que vem: primeiro os professores da escola se reuniu, analisou e escolheu os livros depois reunimos todos os professores do municípios para escolher juntos,

E como se dá o trabalho com os conteúdos estruturantes, você sente dificuldades em articulá-los?

Eu trabalho tranqüilamente os conteúdos articulados, não vejo dificuldades em fazer isso, inclusive eu procuro não só articulo os conteúdos como procuro articular com outras disciplinas, o trabalho do MONDRIAN, por exemplo, esta articulando muitas coisas.

Por exemplo quando eu trabalho, lá na 5ª série os Números Naturais, eu não fico “montando continhas” descontextualizadas, eu trabalho perímetro, área, formas geométricas, eu trabalho situações problemas clássicos e atuais, trabalho questões de medidas, conversões de unidades de medidas: você pega lá um problema envolvendo a conta de água, pede para eles trazerem suas contas, explora diferentes situações que podem ser resolvidas com as operações que estão aprendendo, explora a questão das unidades de medidas envolvidas, aproveita ainda e explora a questão da possibilidade de faltar água potável, da existência de lugares que a falta d’água já é uma realidade. Então eu estou trabalhando Números, operações, medidas, geometria e tratamento da Informação tudo dentro dos Naturais. Isso é trabalho articulado.

Como você planeja suas aulas?

A escola solicitou o planejamento bimestral, então este ano eu fiz assim: distribui os conteúdos no decorrer do ano e entreguei o planejamento do bimestre. Mas essa distribuição anual sempre acaba sofrendo alterações, porque no desenrolar das aulas podem surgir certas oportunidades que a gente não pode perder e aí acaba entrando em um conteúdo que não estava previsto. Ou então prever um conteúdo e acabar não trabalhando ou trabalhando de forma superficial e ter que retomar.

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Os conteúdos são aqueles determinados pelas diretrizes, não muda, o que pode mudar é a ordem que trabalhamos ele. E também a ênfase que damos em um ou outro conteúdo.

Com relação a preparar as aulas, eu necessito mais estudar o conteúdo, mas eu tenho que preparar as atividades. Se fosse para resolver uma equação simples, um procedimento de cálculo, daí eu não precisaria, mas por mais que você tenha experiência, não tem como não preparar. Quando você elabora ou seleciona uma atividade, você tem que testar o material, ver se vai dar certo, analisar o que pode ser explorado daquilo ali no conteúdo estudado, e fora do conteúdo também. Verificar se dá para explorar de forma critica, para relacionar alguma coisa das artes ou de outras ciências? Tudo isso tem que ser pensado antes. Então eu preparo sim.

Eu não estudo mais o conteúdo, esse eu já sei. Mas se eu quero passar a parte teórica, por exemplo, ou ainda uma parte histórica, eu tenho que sentar e escrever antes, pensar, pesquisar, consultar os livros quanto os termos corretos a serem usados.

Para trabalhar dentro da proposta das diretrizes você tem que preparar e muito bem preparado! Pensar como você vai fazer, o que você pode explorar, que tendência você pode usar na sua abordagem. Então tem que conhecer as propostas, saber o que pede cada uma delas, como pode ser explorado, qual vai surtir um melhor resultado. É de acordo com os conteúdos que você escolhe a abordagem.

Quais os critérios de avaliação que você adota?

Este ano a escola deixou a cargo de cada professor estabelecer o seu critério de avaliação, mas uma vez definido tem que registrar em ata, tanto os critérios adotados como depois das avaliações registrar os conteúdos que foram avaliados.

Mas eu acho assim, o aluno a gente tem que avaliar diariamente, é no dia a dia que a gente vê o desenvolvimento dele os avanços e retrocessos, as avaliações é para legalizar o processo e te dar um parâmetro para as retomadas de conteúdo. Este trabalho de retomar os conteúdos eu faço sempre e depois dou novas avaliações novos trabalhos porque eu acho que não adianta nada dar continuidade nos conteúdos se ficaram lacunas lá atrás, o aluno pode não estar 100% em tudo mas tem que mostrar um certo nível de compreensão do processo.

Como você organiza o currículo em sala de aula? Você segue fielmente alguma proposta (apostila ou livro didático) curricular

As Diretrizes Curriculares é que orienta o conteúdo a ser dado. Por exemplo, da 6ª série, é essencial às operações com inteiros as operações com racionais, depois a razão, a proporção, a regra de três. Eu gosto de trabalhar assim.

O que eles têm que saber fazer com os números inteiros: somar, subtrair, multiplicar, dividir, potenciação e radiciação. Então primeiro eu trabalho o conceito, daí eu trabalho o conceito da adição, da subtração e assim por diante..., na seqüência. Só depois eu pego os problemas do livro daí eles resolvem com tranqüilidade.

Mas para fazer isso, eu vou buscar na 5ª série retomar os números naturais, como que a gente fazia a adição? E a subtração, por exemplo, 5 - 3 e 3 - 5 esta última agora vai ser possível, aí eu falo da história dos números, como surgiu, porque foi necessário o seu desenvolvimento, porque que ele tem esse nome, quem foi o matemático que começou a introduzir isso etc. Aí depois a gente começa a fazer os cálculos.

Eu sempre faço assim: pego um conceito anterior e aplico naquilo ali para dar seqüência, porque na matemática não dá para encerrar um conteúdo e iniciar outro sem relacioná-los, isso não existe na matemática.

Eu trabalho todo o livro, as atividades eu procuro trabalhar todas, alias este livro que estamos usando tem atividades boas, mas ele peca na sistematização, na parte teórica ele não traz quase nada, história também ele não traz. Então eu prefiro trabalhar primeiro o conteúdo com eles,

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explorar as propriedades e os procedimento depois eu vou para o livro.

Mas a seqüência que ele trabalha não é a seqüência que eu planejei, então eu vejo a página que esta as atividades relacionadas ao conteúdo que estou trabalhando daí eu trabalho. No final eu trabalho todo o livro, procuro trabalhar todas as atividades que tem lá. Eu acho que esta é a melhor opção.

Eu acho difícil é de um ano para o outro se eu pegasse a mesma turma eu saberia onde parei e daria seqüência, agora outro professor não sabe até onde eu fui, aquela lacuna que fica vai fazer falta para ele na outra série.

Este ano eu consegui pegar uma sexta que foi minha quinta no ano passado, é a primeira vez que isso acontece então eu sei onde eu parei e dar seqüência. Assim como vou ter que reforçar melhor determinados conteúdos porque mesmo que a gente se esforça nem sempre a gente consegue fazer tudo o que prevê, porque depende da turma, depende da atenção deles, e nem sempre a gente consegue o silêncio e atenção necessária para trabalhar. Porque com barulho não dá. Eles não são 100% atenciosos e aí sempre fica alguma coisa que é necessário reforçar.

Com relação à Resolução de Problemas, em que momento faz uso deste recurso e como o aborda?

Eu utilizo tanto para introduzir um conteúdo novo como depois de trabalhar um conceito, como problemas de aplicação. Têm conteúdo que eu acho melhor partir de um problema e tem conteúdo que é melhor partir de um conceito, então eu nunca faço tudo igual. Tem problemas que te leva a formar um raciocínio e leva o aluno a formar um conceito, e tem conteúdo que é melhor ele saber o conceito, aí depois você aplica na situação. Pelo menos eu trabalho assim.

Quando eu passo um problema eu exploro outras possibilidades de resolução além daquela que envolve diretamente o que estamos estudando, pode ser conteúdos já estudados, conteúdos que ainda não foram visto e até mesmo formas de resolução que não envolve um conteúdo específico, por tentativa e erro, desenhos, etc... Eu gosto também de levar folheto de propaganda para eles recortarem e elaborarem os problemas, às vezes eu dou o critério para eles elaborarem, outras vezes, deixo que eles estabeleçam seus critérios. Quando eles conseguem fazer isso eles conseguem depois ler um problema, traduzir para linguagem matemática e distinguir quais os cálculos a serem aplicados.

Por exemplo, um problema clássico que eu sempre dou para eles como desafio, que é aquele do jardineiro que planta tantas roseiras distanciadas tanto uma da outra, daí vem à questão de pegar a água.... então quando você coloca este problema para eles aparece diferentes maneiras de resolução na sala. Tem alunos que calcula indo e voltando..., tem aluno que resolve com desenho, outros apresentam maneiras mais elaboradas... cada um usa uma estratégia. Daí a gente compara.

Este ano eu não fiz ainda, mas eu costumo toda a sexta feira colocar o desafio da semana dando um problema que seja um desafio para eles, daí quando chegava na segunda feira eles aparecem com diferentes modos de resolução mas, chegando na mesma resposta. Daí a gente pede para os alunos explicarem como foi resolvido mostrando para eles que se você fez a interpretação correta é possível encontrar diferentes caminhos para a resolução. E eu acho isso importante porque ai valoriza o que ele faz, é deixar ele construir.

Tem certos problemas que fazemos encenação para eles poderem interpretar corretamente. Discuto muito com eles o que é um problema. Trabalho também aquela metodologia de Resolução de Problemas que está no livro do POLYA e no DANTE. Porque eu penso que a gente tem que ensinar o aluno a pensar de forma lógica, de organizar as suas idéias, principalmente nas séries iniciais.

Apesar do livro que estamos trabalhando ter muitos problemas interessantes e uma variedade bem grande de problemas, eu gosto de pegar problemas do dia-a-dia dos alunos também, ou pelo menos, aproximar estes problemas para a realidade deles. Então antes de resolvermos determinados problemas eu questiono se a situação que está no problema tem alguma coisa haver com a vida da gente? Porque interessa resolver isso? Se fosse na tua vida como você

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resolveria tal situação? Eu acho importante discutir com eles se os problemas estão relacionados com o seu dia-a-dia. Por exemplo, no trabalho com os números inteiros tem situações com débitos e operação bancária, daí a gente tem de aproveitar para discutir com eles como é especificado no extrato bancário qual a relação entre o extrato e os cálculos que estamos aprendendo.

A História da Matemática você disse que procura mostrar aos alunos a contribuição das civilizações e relacioná-las com as necessidades sociais de hoje, com você faz isso?

Em sala de aula tenho que me policiar porque eu falo demais, mas você sabe que os alunos gostam,... Eu falo muito... Mas, de coisas relacionadas ao conteúdo, eu falo da História do conteúdo, de como ele foi desenvolvido, quem desenvolveu, por que... daí volta e meia quando eu estou dando aula eles falam: "professora conta mais um pouco da história da matemática para gente". Eles querem saber porque era daquele jeito? Como foi feito? Quando eu vejo este interesse levo bastante livros paradidático que trabalham alguma coisa sobre a História da Matemática que tenho, e distribuo entre eles - para quem quiser - não é obrigatório - eles lêem e fazem rodízio entre eles, você precisa ver como tem turmas que gosta. Aproveito já falo da importância da gente ler, pesquisar, buscar pelo conhecimento.

E com relação à Etnomatemática, como é "trabalhar a matemática voltada para a realidade social do aluno, aproveitando o conhecimento que o aluno já possui", me dê exemplos

A Etnomatemática vem da etnia. Seria mais ou menos assim: a criança quando ela vem para escola, principalmente de 1ª a 4ª ela vem com uma experiência da convivência social, trazendo conhecimentos informais que às vezes não é considerado. Eu acho que não é proposital que a escola faz isso, mas por desconhecimento. A escola introduzir um outro conhecimento que ela considera o certo, ensinando como se a criança fosse um papel em branco, como se ela não soubesse nada, matando todo o conhecimento informal que ela tem.

A Etnomatemática propõe valorizar isso, principalmente na matemática, ela vai mostrar para o aluno que aquele conhecimento informal é importante, a noção de quantidade, de seriação que ela traz, a escola tem de ir explorando e ir mostrando para ela que aquele conceito pode ser formalizado. Daí ele vai saber que ele não veio uma pessoa vazia que ele tem um conhecimento para ser explorado e ser valorizado.

Quando a gente trabalha de 5ª a 8ª, conforme a escola tem alunos da zona rural, alunos de bairros afastados o que prevalece é uma divisão, um preconceito. Enquanto que na verdade o que existe é uma diversidade muito grande de costumes, que podem ser explorados. Quando você pergunta onde você mora o que você faz é uma forma de valorizar o aluno mostrando que o conhecimento que ele tem e dá para você trabalhar uma matemática em cima daquilo, isso tudo já é Etnomatemática. ... Quando eu trabalhei a criação do bicho da seda, com alunos da zona rural, foi explorado o horário que eles levantavam à quantidade de amora que eles cortavam, o custo da produção do bicho, o lucro etc...Tudo foi colocado em função de equação, proporção, regra de três.... Para eles... nossa! Eles gostaram muito, porque eles estavam aprendendo a Matemática da escola a partir daquilo que eles já conheciam. Eles observaram que aquilo que estava no livro, já usavam, mas sem formalizar.

Então aí eu compreendi a importância da Etnomatemática.

Na entrevista anterior você disse que tem conhecimentos em nível intermediário sobre Mídias Tecnológicas e Resolução de Problemas e ter conhecimentos avançados em Etnomatemática, Modelagem Matemática e História da Matemática. Para você, o que diferencia estes conhecimentos?

Olha eu aprendi como usar o vídeo, explorar o vídeo, mas as mídias como um todo, eu tenho pouco acesso, por exemplo eu até consigo fazer uma atividade e explorar elas com os alunos mas eu não domino todas por isso eu considero intermediário, porque eu sei o que é, eu acredito que

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se eu tiver oportunidade eu vou ter facilidade de aprender como usar, mas eu não uso completamente, sei o que é, faço alguma coisa, mas ainda falta aprender mais.

O avançado é aquela situação em que eu já convivi mais eu pesquisei mais já estudei, tive interesse, comprei livros para ler para entender porque e como fazer.

Na Modelagem, por exemplo, eu consigo elaborar o modelo um material para trabalha em cima daquilo para facilitar o trabalho com os alunos.

Já História da Matemática e a Etnomatemática eu estudei bastante estudo até hoje, exploro sempre, todo conteúdo eu sempre introduzo com a história, procuro valorizar o saber que o aluno traz para a sala de aula.

Com relação ao uso de calculadora você disse “é uma tecnologia que se bem utilizada é um ótimo material pedagógico” o que você quis dizer com o “bem utilizada”?

O bem utilizado que eu falo é ... não pode usar a calculadora por usar.

Tem livros que mostram os passos que deve ser feito, mas o aluno tem que entender os procedimentos que a calculadora faz para chegar no que o aluno quer, então quando ele digita lá uma operação, que podem ser resolvidos com adições, subtração, por exemplo, o que a calculadora está fazendo? Então primeiro é...... Ele tem que entender, saber fazer e saber que quando ele está teclando o que a calculadora esta fazendo?

A boa utilização que eu acho é isso, o aluno entender o processo, porque se você colocar o aluno lá para fazer um cálculo de adição comum, que ele pode fazer por meio de um processo mental aí você vai tirar dele um raciocínio que ele precisa para desenvolver a matemática da vida inteira.

Eu acho que não se pode usar a calculadora como a gente vê, por exemplo, tem gente que usa a calculadora e fica tão viciado que daí quando ele vai fazer 4+5 ele não faz sozinho, precisa de uma calculadora.

Quando eu faço alguma atividade com calculadora, geralmente eu tenho algum critério ou um procedimento que ele vai ter que entender e justificar porque que ele fez aquilo. Primeiro os alunos tem de entender o conceito e o raciocínio de como que ele faria aquilo manualmente para depois utilizar.

Eu não deixo o aluno com calculadora o tempo inteiro e explico para eles que o processo mental e o raciocínio matemático eles tem que ter. Apesar de a calculadora ser considerada na escola como um material pedagógico de apoio num vestibular, num concurso o aluno não vai usar, além disso, ele pode se ver numa situação do dia-a-dia em que se ele não dispõe de uma calculadora e daí como ele faz?

O aluno tem de formar o raciocínio certinho, entender todas as operações. Porque quando a gente trabalha direitinho o aluno sabe a diferença entre a adição, a subtração, a multiplicação, a divisão e potenciação. Mas eu já tive casos em pegar salas em que o aluno não sabia. Neste caso a calculadora nem pensar.

Agora, depois que o aluno compreende todo o processo do cálculo matemático, você pode dar algumas atividades com o uso da calculadora e tem umas atividades bacanas com calculadora. Só que não pode ser assim usada sem responsabilidade porque senão ao invés de ajudar a calculadora estaria prejudicando

Numa 5ª série você já utilizaria a calculadora?

Na 5ª série a criança faz muita confusão, é muito difícil entenderem a diferença entre as operações básicas, este ano eu tenho duas 5ª séries que parece possuírem um pouco mais de conhecimento, mas tem anos em que é preciso refazer o estudo sobre os conceitos de todas as 4 operações, por exemplo, o aluno tem dificuldade de entender o que é operação inversa, neste caso se ele tem uma calculadora que faz para ele, vai achar cômodo deixar a calculadora fazer e

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não se preocupará em compreender. No caso da tabuada, muitos alunos chegam na 5ª série com muitas dificuldades também, com uma calculadora na mão até eu preferiria que ela calculasse para mim. Tem de trabalhar muito para eles diferenciarem uma operação da outra, para absorverem a tabuada... Agora, já na 6ª série é possível utilizar, pois eles já são mais maduros, já dominam melhor estas operações fundamentais.

No trabalho com frações, como você vê a possibilidade de utilizar a calculadora?

Eu já fiz atividade tirada de alguns livros didáticos que achei interessante.Tem uma atividade que primeiro mostra para o aluno a fração como uma divisão, então eles fazem atividade entendendo a fração como uma divisão e depois o resultado obtido, em decimal, transforma em fração novamente, neste caso a gente já trabalha a transformação também.

As atividades sugeridas neste livro possuíam um roteiro e eles tinham que saber o que estavam fazendo, sabendo responder por que eles faziam cada procedimento, eles compreendem bem, nestes casos a calculadora esta sendo um veículo de aprendizagem. É claro que tem alunos que possuem mais dificuldades, mas dá para fazer, o autor mostra que toda a fração é uma forma de representar a divisão. Mas isso também depende do número de calculadoras que a gente consegue disponibilizar na sala, embora seja baratinho, como eu não uso sempre, não exijo que os alunos comprem.

A fração é muito utilizada no meio acadêmico. Como você vê o seu uso no dia-a-dia?

Olha o Ubiratam D'Ambrósio, em um artigo que escreveu para a revista Nova Escola ele critica o ensino da frações e das suas operações, ele dizia no artigo que você não chega em uma loja ou um supermercado e pede me dá ¾ de carne, ou 1/5 de alguma coisa, você pede lá 500g ou 300g no máximo é o 1/2 kg, mas esta já está mais que entendido que são os mesmos 500g. E daí ele fala que no dia-a-dia a fração é uma operação desnecessária, é uma perda de tempo ensiná-la.

Apesar de começar a trabalhar as operações com fração na 5ª série os alunos só vão dominar melhor todos os procedimentos a partir da 6ª série. E quando ele for para o Ensino Médio, para o Terceiro Grau, ele tem que decidir quando é conveniente ele trabalhar com a fração ou com o decimal, e no caso do trabalho com a álgebra a fração ajuda muito a resolver determinadas operações. Então eu acho necessário ainda o ensino das frações, como uma ferramenta matemática mesmo, pois pode ser que no dia-a-dia a fração não é absolutamente necessária, mas para você continuar os estudos, para você chegar numa profissão vai ser necessária, daí não dá para descartar seu ensino.

Eu penso que gente não pode ensinar a matemática apenas para aplicá-la no dia-a-dia a gente tem que ensinar a matemática também para os estudos futuros e para a vida profissional. Se eu fosse ensinar a matemática só para o cotidiano eu até tiraria o ensino das frações, mas para a vida acadêmica do aluno ela é necessária.

Assim eu acho que a gente não tem que dar uma ênfase muito grande no domínio das operações com frações, mas ele tem que aprender, de pouquinho em pouquinho quando o aluno chega na 8ª série ele estará entendendo direitinho o processo de adição e subtração, que são os mais difíceis para eles.

Que conhecimentos você consideraria importantes para o professor ser um profissional bem sucedido?

Olha uma vez eu fui fazer um curso e lá eu disse o seguinte: que todo o professor independente da área de atuação, tinha que ter conhecimentos pedagógicos, porque eu acredito que é na pedagogia que você encontra os fundamentos necessários para ser um profissional bem sucedido em qualquer área. Porque trabalhar na sala de aula não é só você trabalhar o conteúdo, se fosse

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só isso seria fácil, se o aluno estivesse pronto para isso, seria fácil, mas e os problemas que vão surgindo de comportamento, as dificuldades de aprendizagem.

Depois da inclusão ficou mais difícil porque você tem alunos com problema auditivo, problema de visão ou com alguma outra dificuldade que você tem que saber como trabalhar e na nossa formação nós não temos nenhuma disciplina que diz como a gente deve trabalhar com alunos portadores de deficiência. Daí de repente se aparecer algum aluno assim, a gente vai buscar conhecimento aonde?

Então eu acho que primeiro você tinha que ter conhecimentos pedagógicos, ver filosofia, psicologia, porque é aí que você vai trabalhar estas questões, para quando você for dar aulas de matemática estar preparado e não entrar em pânico. O que falta hoje para os professores não é o conteúdo, mas a parte pedagógica.

Outra coisa: para ensinar a matemática eu preciso da atenção dos alunos, mas como eu vou estimular isso? Aonde vou aprender isso, sei que preciso refletir a matemática com meus alunos, mas como é isso? Como e quando vou estimular meu aluno para esta reflexão? Que argumentos eu vou usar? Eu acho que na pedagogia a gente encontra muita coisa boa, então enquanto a gente não tiver um conhecimento legal mesmo da parte pedagógica as coisas ficam difíceis. Tem professor que se virar super bem, ele encontra um meio de trabalhar mesmo sem estes conhecimentos. Agora para mim este conhecimento foi e é fundamental.

Eu converso de e sobre a Matemática com meus alunos, tem sala que a gente conversa bem, eu sei como introduzir isso, mas foi a pedagogia que me deu possibilidades de aprender como fazer isso, já o curso de matemática foi o conteúdo.

No decorrer desta entrevista você deixou claro que você considera importante o professor estudar inovações didáticas, estar constantemente se preparando. Isso dá trabalho, mas o que os professores e os alunos ganham com isso?

Eu acho que quando você busca inovações, necessariamente não precisa ser de buscar novos materiais, só na forma de você introduzir o conteúdo, de trabalhar, de discutir com os alunos de fazer uma proposta de trabalho já faz a diferença. Às vezes a gente acha que o aluno não percebe a diferença entre estar ou não bem preparado, mas ele percebe. Ele percebe e ele te fala, fulano ensina assim. Ele percebe quem é eficiente quem faz a diferença e quem não faz. Então muda a sua relação com o aluno.

Por exemplo, eu tenho uma 6ª série a tarde, não é uma turma pacata não, é uma turma bem conversadeira e tem um dia na semana que eu dou três aulas seguidas nesta turma, porque as aulas de ciências também são minhas. E tem alunos, não todos é claro, que fala professora que aula gostosa!!! Isso vem do modo que você trabalhar com os alunos, por exemplo, num exercício eu discuto com eles, por que foi assim, porque eu fiz isso, porque chegamos a esta resposta, então eles perguntam, eu respondo. É diferente do que se eu desse o exercício e corrigia apenas dando: certo ou errado e acabou a questão.

Você precisa ver que interessante quando eu coloco para eles o desafio deles elaborarem os problemas, eu falo para eles: "agora você vão produzirem matemática", "os conceitos que vocês adquiriram é suficiente para produzirem alguma coisa elaborar alguma coisa também", "não é só o que está no livro que está certo, vocês são capazes de elaborar problemas, equações diferentes e corretas também" etc. Você precisa ver como eles trabalham e como saí coisas interessantes!!!

Quando eu ensino equações, ao invés de eu ficar passando um monte de equações para eles resolverem eu ensino os conceitos e eles elaboram as equações e passam para a sala resolver, é desafiante, eles gostam. Os problemas mesmo, você pede para eles elaborarem, daí você reestrutura com eles, corrigi a maneira de escreverem, eles gostam de fazer isso. Já teve sala que os alunos escreveram poesias matemáticas.

Eu percebo que você enfatiza muito a linguagem matemática por quê?

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A linguagem matemática, por exemplo, a maioria dos professores não trabalha linguagem matemática, o vocabulário da matemática é diferente do da língua portuguesa. Quando está lá escrito, por exemplo, a razão entre A e B o que é a razão para o aluno, ele não sabe o significado desta palavra em matemática e de certa forma é diferente da "razão" que ele conhece do dia - a- dia. Eu penso que se a gente ensinar a matemática direitinho (ensinando o significado) de 5ª a 8ª série o aluno que sai da oitava série para o ensino médio ele estuda e aprende sozinho porque é a aplicação de conceitos, não é?

Tem dias que saio da aula e penso: não fiz nada. Mas depois vejo que aquele "tempo que eu perdi" eu ganhei porque a maioria consegue aprender o que estou ensinando.

É claro que isso tem que ser trabalhado aos poucos e sempre relacionando com a linguagem deles, mas não é a gente passar a usar a linguagem deles, mas fazer com que eles passem a utilizar a linguagem correta.

Quais as suas expectativas com relação ao seu trabalho, sua formação e a formação de seus colegas?

Eu gostaria de trabalhar em uma escola onde os professores tivessem mais disposição, mais vontade de estudar, sabe, se modernizar para crescer, porque eu acho que quando a gente trabalha coletivamente a gente cresce junto. Então eu queria ter um grupo de estudo para estudar matemática para desenvolver metodologias, em cima daquilo do que a gente aprende construir um material legal para gente trabalhar, para mudar as aulas de matemática, para não ser aquela coisa sempre do mesmo jeito, igualzinha e tal... e aí eu penso assim: Se eu tivesse um grupo, nossa eu ia gostar muito, mas a gente vê que o colaborativo... Ele não funciona, né... Sei lá.... Mas quem sabe um dia eu consigo.

Aliás eu continuo tentando, quando eu fiz os encontros aos sábado, no ano passado, o material que a gente estudou nossa!!!... Eu fiquei encantada!!! Aí eu falei para o pessoal, eram 5 professoras: "olha a gente pode organizar alguma coisa para gente continuar estudando...". Porque durantes os encontros elas perceberam que a maior dificuldade da gente hoje é a falta de estudos mesmo. No grupo de estudo foi falado, sobre Etnomatemática, a educação, a História da Matemática, sobre como trabalhar, daí... Como eu tinha uns projetos em casa que eu havia desenvolvido eu os levei, falei de como tinha sido desenvolvido, dei uma cópia para elas, tentando incentivá-las para desenvolvermos um trabalho colaborativo, mas infelizmente não é como a gente pensa.

O material do grupo de estudo trazia a necessidade do professor refletir com os alunos, eu achei um material interessante, mas sabe quantos professores fizeram o grupo de estudos? Só cinco professoras, e das cinco que fizeram só uma que a gente percebia que tinha um pouquinho mais de bagagem para fazer, as outras, a gente fez a experiência conforme mandava, mas a gente percebia que elas tinham dificuldades.

A gente não quer criticar o professor, mas o problema nosso é que a formação foi errada, porque essas coisas a gente não aprende sozinho, do nada. Tem que ter uma base para continuar se preparando... Então eu acho que os professores que a gente conhece, fizeram a faculdade e só, não procuraram se atualizar e se preparar mais, quando se propõem a fazer cursos desses (se referindo ao grupo de estudos), é um ou outro que aproveita. Aquilo que ele vê não serve para refletir a prática dele. E daí como é que ele vai pegar, por exemplo o que está nas diretrizes: a Modelagem, o uso de Tecnologia a Etnomatemática e Resolução de Problemas e a História da Matemática, se ninguém nunca leu pelo menos Ubiratam D'Ambrósio, como que vai entender?

O projeto do bicho da seda que eu já te falei, foi desenvolvido em 2002! e é Etnomatemática! Quero dizer: em 2002 eu já trabalhava, a Etnomatemática com os alunos e eles aproveitaram bem, eles produziram textos sobre a Matemática relacionada ao seu dia-a-dia.

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2 - OBSERVAÇÕES DE AULAS

Data: 04/5

5ª série

Duas aulas de 50 minutos

Tema: Correção de atividades

A professora entra na sala, ajuda os alunos a arrumarem as carteiras, cumprimenta-os alunos que respondem em coro e me apresenta como professora de matemática que esta fazendo um trabalho e precisa observar como ela trabalha com os alunos.

Professora: Na aula passada nós estudávamos o que mesmo?

Alunos: multiplicação e divisão com 10, 100, 1000

Professora: Nos aprendemos que tínhamos que “armar as continhas” para calcular este tipo de operação?

Alunos em coro: Não!

Professora: Então como é?

Aluno 1: Faz mentalmente.

Professora: Muito bom, é exatamente assim que se fala: as multiplicações de números decimais por 10, 100 e 1.000, ... 10.0000 e assim por diante, podemos calculá-la mentalmente. E porque?

Aluno 2: Por que é só mudar o lugar da virgula.

Professora: E “esse mudar o lugar da virgula”, que o Vinicius está falando, tem alguma regra?

Luiz: Para a direita se for multiplicação e para a esquerda se for divisão

Professora: Muito bem, vamos iniciar a correção dos exercícios.

Observa-se, que apesar da maioria dos alunos estarem prestando atenção, apenas três alunos respondem aos questionamentos da professora.

A Professora inicia a correção oralmente questionando o procedimento a ser tomado em cada questão. Luiz se sobressai respondendo a quase todas as questões. A professora pergunta então: Só o Luiz sabe?

A professora anda pela sala observando o caderno de alguns alunos, comenta que deveriam ter feito os exercícios.

Os comentários feitos pela professora na medida que percorre a sala: “porque não fez”; porque não trouxe o caderno? “mas como se esqueceu do caderno!”; “ porque você não veio na aula?” São sempre respeitosos e de certa forma carinhosos, questionando mas não repreendendo. Ao retornar a frente diz: “não vou corrigir exercícios que vocês não fizeram, pois não adiantaria nada, vou abrir uma exceção e esperar vocês resolverem, mas não pensem que têm a aula toda.

Solicita aos alunos que fizeram as tarefas para ajudar quem não fez.

A maioria dos alunos se empenha em copiar e fazer as tarefas, alguns alunos no fundo da sala conversam.

Um aluno reclama que não entendeu como se faz, a professora dirige-se até a carteira deste aluno e pede para ele calcular, do modo que ele sabe, a operação: 1,234 multiplicado por 100.

Circula pela sala observando o andamento da aula.

Retorna até o aluno com dúvidas e pergunta se terminou

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Diante da afirmativa diz: Muito bem, este método que você fez é perfeitamente correto. Agora observe onde está a virgula agora e compare com o número de zeros que tem o número 100.

O aluno parece não entender

Professora: Quantos zeros têm o número 100?

Aluno: Dois

Professora: Olhando somente para os números da sua resposta, sem considerar o valor que representam, o que você observa?

Aluno (após alguns instantes): São os mesmos, só a virgula mudou.

Professora: Muito bem! E ela mudou quantas casas?

Aluno: duas

Professora: Quantos zeros tem o 100?

Aluno: Entendi! A virgula pulou duas casas e tem dois zeros!

Professora: Agora você faça os outros exercícios e verifique se isso acontece com os demais.

A sala é silenciosa, salvo algumas conversas e brincadeiras de três alunos que sentam no fundo da sala.

A professora percorre a sala ajudando os alunos em suas dúvidas, juntamente como os três alunos que fizeram as tarefas.

A professora se aproxima e comenta, (em tom de voz baixo): “nesta turma alguns alunos (apontando para um lado da sala) se sobressaem, mas a maioria é muito fraca e desinteressada. Este daí, por exemplo, (apontando para Carlos) é difícil, ele não é de fazer bagunça, mas quando resolve não fazer alguma coisa, não tem quem o faça fazer. E ainda tem aqueles do fundo que são um caso sério, mas não por falta de capacidade, os problemas deles é familiar mesmo.”

Passa então na lousa os exercícios abaixo e pede para os alunos resolverem também.

Calcule:

10000 x 3,71932 =

9,4581 x 10000 =

10000 x 0,023 =

10000 x 4,32 =

Jean (um dos alunos que estava brincando o tempo todo no fundo da sala) se aproxima da lousa para questionar a professora que os valores não se alteram: “não muda nada professora!”

Professora: Os números não se alteram, mas a mudança do local da virgula faz que o valor representado seja diferente. E lê os valores antes e depois da multiplicação.

Professora: Por exemplo, se você vender 10 sorvetes a R$ 1,50, você precisa fazer continha para resolver?

Jean: Não, sei direto que dá R$ 15,00

Professora: E se fosse 100 sorvetes?

Jean: Mesma coisa. Seria, R$ 150,00

Enquanto o aluno fala a professora anota os valores em um canto da lousa.

Professora: Então nestes casos os números não mudaram. Não é mesmo? Mas os valores...

Jean: Mudaram. Hum....

Professora: Agora volte para a sua carteira e termine

O aluno retorna a carteira com um aspecto pensativo. Assim que ele retorna a sua carteira começa a brincar com os colegas, não resolvendo os demais exercícios .

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Na medida em que os alunos vão terminando os exercícios, o tumulto na sala aumenta.

A professora chama a atenção dos alunos, questionando o porquê estão na sala de aula:

Vitor diz que vem porque o Conselho Tutelar o obriga.

Jean diz vir pelo mesmo motivo.

A professora argumenta que as conversas e brincadeira deles não prejudicam somente a deles. Questiona como ficam os demais alunos, Vitor responde que os outros vão passar eles não.

A professora aproxima-se de Vitor e Jean e diz: “Vitor, vocês vão reprovar somente se quiserem, pois já que são “obrigados” a virem às aulas, como vocês mesmo dizem, aproveitem participem das aulas e estudem, assim pelo menos não desperdiçam este tempo que vocês estão aqui, vocês são espertos, basta um pouquinho de força de vontade. Vamos lá, façam os exercícios”.

A professora pergunta se aqueles exercícios estão difíceis, a sala responde que não.

A professora solicita para os alunos acompanharem a correção, primeiramente destes que estão na lousa e depois os exercícios do livro.

Para cada item a professora lê o exercício e pergunta:

Professora: que operação é esta?

Alunos: Multiplicação

Professora: Para que lado é deslocado a virgula?

Alunos: Direita

Professora: Então vamos ler o valor deste número

Alunos: Trinta e sete mil, cento e noventa e três unidade e dois décimos.

O procedimento para resolver os demais exercícios é o mesmo.

Ao término, a professora pergunta quem fez o problema 7 da página 70 do livro?

A professora faz a leitura do problema (trata-se de um problema envolvendo o custo de combustíveis e a possibilidade de compra de determinadas quantidades que podem ser relacionada a multiplicações por 10, 100 ou 1000)

Um dos itens solicitado pede para calcular o custo de 50 litros de diesel sendo que cada litro custa R$ 0,546.

A primeira possibilidade é calculando direto 50 X 0,546

Mas acontece que se nós estivéssemos lá no posto com o nosso pai e nós não tivéssemos nenhum papel e lápis e nem calculadora para fazer estas contas. Será que não tem outro jeito de calcular que facilite os cálculos mentalmente.

Professora: Vou dar uma dica: 50 litros é igual a 5 x 10?

Agora eu gostaria que vocês tentassem resolver.

Os alunos não visualizam como é possível terminar o exercício.

A professora retoma anota na lousa:

50 = 5 x 10

Pergunta aos alunos:

Nós sabemos calcular 0,546 X 10?

Alunos: 5,46

Professora anota na lousa e diz: Ótimo, agora falta pouco.

0,546 x 10 = 5,46

Agora basta descobrir o custo de 50 litros.

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Luiz: multiplica por cinco professora?

Professora: Exato, pessoal olhe aqui, o Luiz disse que é para multiplicar por cinco. Ele esta certo. Vamos ver porque.

Sabemos quanto custa 10 litros certo? (Desenha na lousa)

10 x 0, 546 = 5,46

Professora: Se nós precisamos de 50 litros, quantos barris de 10 litros precisamos?

Alunos: Mais 4

Professora: Então vamos desenhar todos eles (na lousa fica)

Professora: Temos aí 50 litros?

Alunos: Sim.

Professora: Como podemos descobrir o preço?

Aluno1: Soma os 5,46.

Professora: Pode somar sim, mas não são parcelas iguais?

Aluno1: Multiplica por cinco.

Professora: Exato. Todos entenderam? Temos cinco parcelas de 5,46. Então multiplicamos por cinco.

A professora aguarda todos fazerem os cálculos, divide a lousa em duas e chama a atenção dos alunos novamente:

Professora: Olhem aqui pessoal! prestem bastante atenção porque vamos concluir o que fizemos até agora.

Nós queríamos calcular o preço de 50 litros de diesel, não é isso?

Alunos: Sim.

Professora: Nós poderíamos calcular de duas formas:

A primeira seria calculando direto 50 X 0,546

Mas como já dissemos queríamos arrumar um modo de calcular mentalmente, não é isso?

Alunos: Sim

Professora: Sabemos que 50 = 5 X 10 litros, não é isso?

Professora: Sabemos calcular facilmente 10 X 0, 546 = 5,46 é isso?

Alunos: Sim.

Professora: Então basta calcularmos 5 X 5,46 = 27,30, que é um cálculo mais fácil que o nosso primeiro, não é isso?

Na lousa fica:

10

10 5,46

10 5,46

10 5,46

10 5,46

10 5,46

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A professora solicita que os alunos terminem as próximas questões, cuja resolução é semelhante a primeira.

Quando a maioria dos alunos terminaram a professora dá seqüência a correção lendo as questões, anotando os valores envolvidos na lousa e as respectivas respostas dada por alguns alunos.

A professora solicita que os alunos tirem uma folha do caderno e copiem os exercícios que vai passar na lousa que é para entregar.

Aplicando as regras sobre a multiplicação e a divisão por 10, 100, 1000. Calcule:

a) 3,432 x 100=

b) 0,341 x 10=

c) 1,45 x 1000=

d) 2,48 x 100 =

e) 2,43 : 10 =

f) 0,45 : 100 =

g) 1,482 : 1000 =

h) 1,241 : 10 =

Enquanto copiam Everton reclama que não sabe fazer porque estava copiando enquanto a professora explicava; uma aluna reclama que alguém cuspiu em suas costas, alguns alunos pedem para ir ao banheiro; Jean pergunta se vale nota; Carlos parece distante, com olhar perdido no horizonte, sequer pegou a folha para copiar.

Enquanto os alunos fazem os exercício a professora faz a chamada. Há um enorme burburinho na sala que vai aumentando na medida em que alguns terminam de resolver os exercícios.

Everton se aproxima da professora e diz: “não consegui fazer este exercício” apontadando para a folha.

Professora é divisão não é? Então a virgula se desloca para a esquerda, se fosse multiplicação se deslocaria para a direita.

Everton retorna para a sua carteira, quando Luis se aproxima ele pergunta: “Tem de repetir o número aqui?”

Luiz: Sim.

Everton: E essa virgula, fica com duas virgula?

Luiz: Não, ela vem pra cá (apontando na folha a nova posição da virgula).

Carlos termina de copiar os exercícios, porém não fez nenhum. Não chama a professora para tirar dúvidas. E continua parado. No fundo da sala Jean, Vitor e outros dois alunos conversam muito e andam pela sala não fazendo também os exercícios.

Luiz se aproxima de Carlos ele timidamente pergunta como fazer.

Luiz responde: você repete este número aqui, vê quantos números tem de pular pra frente ou pra traz.

Carlos: como eu sei quantos números pular?

Luiz se for 10 é um, se for 100 é dois se for mil é três.

A professora se aproxima e diz que sempre dá estes “trabalhinhos” para os alunos que é para ela perceber se eles estão aprendendo ou se deve retomar o conteúdo. Disse também que acha bom eles se ajudarem pois muitas as vezes na linguagem deles eles entendem melhor.

50 = 5 X 10 10 X 0, 546 = 5,46 5 X 5,46 = 27,30

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Quando todos os alunos entregaram a atividade, a professora solicita silêncio e diz: “estamos aprendendo as operações de multiplicação e divisão de números decimais por 10, 100, 1000. Estes números decimais fazem parte da nossa vida?”.

Alunos em coro: Sim.

Professora: Onde usamos?

Um aluno responde: no posto de gasolina.

Professora: Somente no posto? Quando vocês vão ao mercado os preços das coisas não tem virgula?

Alunos em coro: Tem.

Aqueles folhetos de propaganda das lojas como vêm escritos os preços são somente com valores redondos? (neste momento uma aluna mostra para a professora um folheto que tem em mãos) a professora pega o folheto pedem para os alunos observarem, a maioria dos preços tem valores depois da virgula. O que representa estes valores?

Alunos em coro: Centavos.

Pois bem, na próxima aula eu quero que vocês tragam tesoura, cola e panfletos de preços para fazermos um trabalho e estudarmos os centavos. Está certo?

nós já aprendemos o procedimento e resolvemos problemas com adição e subtração, multiplicação e divisão com números decimais, em muitos casos nós já sabíamos fazer isso naturalmente, na próxima aula nós vamos trabalhar com estas operações mais uma vez.

Termina a aula

Nos dirigimos juntas para a sala dos professores, onde a professora comenta que este ano ela esta mais exigente, parece que esta ficando cansada. Ressalta que tem outras sextas-séries, mas que o trabalho não é tão fácil como naquela que iremos após o intervalo, os alunos são mais dispersos.

Comenta também que é visível a diferença de como ela trabalha com, por exemplo, a quinta série, com as outras quintas, já que esta é uma turma difícil. Os problemas sociais que envolvem aqueles alunos são muitos.

Cita que dois deles só estão indo para escola devido a pressão do Conselho Tutelar, outros dois a família é completamente desestruturada devido ao alcoolismo de um dos pais. Tem ainda uma aluna que já sofreu agressão física dos pais. Conclui que numa turma como esta o professor tem que ser professor, psicólogo e se bobear esta levando as crianças para casa. “Como eu posso cobrar de um aluno com tanto problema atenção e concentração? Deve ter um jeito, mas eu não ainda não descobri”.

Comenta que viu no canal educativo uma discussão entre alguns educadores sobre a indisciplina e suas principais causas. Sabe no que estes educadores chegaram: “que o ensino fundamental esta totalmente desestruturado, que ele não esta dando conta dos problemas que o envolve, e que é preciso tomar providências. Mas sabe qual a providência que eles apontaram? Nenhuma, nem eles sabem...”.

Data: 11/5

5ª série

Duas aulas de 50 minutos

Tema Atividades envolvendo operações com números de cimais

Quando eu cheguei na sala a professora já havia feito a chamada e encontrava-se explicando o a atividade que os alunos deveriam realizar.

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Com muita calma a professora orienta os alunos como eles devem organizar o corpo do trabalho, enfatizando que os problemas devem envolver adição ou subtração e multiplicação ou divisão com números decimais.

A professora esclarece que na medida em que os alunos terminarem o trabalho devem resolver os exercícios 1; 2; 3; e 4 da página 77.

A professora distribui panfletos de supermercados para que os alunos escolham os produtos que querem comprar assim como as sua quantidades.

A sala fica tumultuada a partir deste momento, porém a professora parece ter consciência que este tipo de atividades implica neste tumulto.

A professora passeia pela sala instigando os alunos a elaborarem os problemas e tirando as dúvidas. Todos se envolvem na atividade, mesmo àquele que em observações anteriores se mostravam desinteressados.

Convém relatar a conversa entre duas alunas?

Aluna 1- Vou querer este bombom

Aluna 2 – Vou escolher os produtos mais baratos

Aluna 1 – Porque, você não vai pagar de verdade, deixa pra fazer isso quando for no mercado de verdade

Aluna 2 – É para as contas ficarem mais fácil. Mas você tem razão. Vou gastar a vontade (risos).

Aluna 3 – Mas estas coisas aqui é tudo mais caro, lá onde no mercado XXXX está mais barato.

Aluna 1 – Mas você não vai comprar de verdade!!!!

Aluna 2 – Acho que vou comprar fraudas para minha sobrinha

Aluna 1 – Eu vou comprar 5 sabonetes... não. 4 para arredondar as contas.

Aluna 1 – Professora, até quantos produtos posso comprar?

Professora – A quantia que você quiser.

Aluna 1 – Professora, tem que “armar” as contas?

Professora – Se você não apresentar as operações como vou saber qual operação utilizou?

Aluna 1 – Mas se eu fizer as contas de cabeça.

Professora - Mas é necessário registrar, registre o que fez.

A professora passeia pela sala e é constantemente solicitada pelos alunos, na medida do possível evita dar as respostas prontas para os alunos, preferindo questioná-los de forma que eles mesmos apresentem a solução; dificilmente a professora aponta o erro diretamente para o aluno, prefere instigar a verificação do erro. Quanto a isso, convém ressaltarmos o seguinte diálogo.

O aluno havia gastado R$ 37,75 indicou que pagou com UMA notas de R$ 40,00 e obteve como troco R$ 3,35.

A professora pergunta: Alex, se você têm setenta e cinco centavos, quanto falta para completar um real?

Alex – Vinte e cinco centavos

Professora: Se você tem R$ 38,00 quanto falta para R$ 40,00?

Alex – Dois reais professora, eu sei disso, mas não sei fazer quando armo a conta,

A professora senta-se do lado dele e vai questionando-o quanto ao processo de transformação de unidades, dezenas e centenas (relacionando com o termo empresta 1)

Quando o aluno entende e ela já esta se retirando pergunta ao aluno: “Outra coisa Alex existe nota de R$ 40,00?”.

Imediatamente o aluno percebe o erro.

200

Observamos ainda o procedimento de um aluno que faz seu trabalho sozinho ele verbaliza:

Aluno 3: “9+9 dá 18; 18+18 dá 36; 36 pra 40,00 falta 4, pra cinqüenta mais dez.”

Faz as anotações e levanta-se para mostrar a professora que aprova o resultado.

No trabalho ficou:

Observa-se que as dúvidas dos alunos referem-se mais com relação a organização do trabalho do que ao procedimentos das operações.

O trabalho durou as 2 aulas.

Data: 17/5

6ª série

Duas aulas de 50 minutos

Tema: Radiciação

Antes de iniciar a aula a professora me informou que esta trabalhando com o conjunto dos números Racionais ela começou representando os números decimais na reta numérica, apresentou as frações como uma representação dos números decimais, daí partiu para as operações e comparações

Nesta aula irá trabalhar radiciação com números Racionais e como o livro não traz este conteúdo ela preparou a aula a parte.

Ao entrarmos na sala a turma encontra-se me alvoroço, pois a aula anterior foi de Educação Física. A professora entra na sala, pede para os alunos sentarem, cumprimenta-os e me apresenta como uma aluna do mestrado que esta observando como são as suas aulas.

Inicia a aula perguntando: O que estamos estudando?”

Alunos em coro: Operações com números racionais

Professora: Quais operações com os números racionais que já estudamos?

Alunos em coro: Adição e subtração, multiplicação, divisão e potenciação.

Professora: Como resolvemos adição ou subtração de números racionais quando os denominadores são diferentes?

Alunos em coro: Tira o M.M.C.

Professora: E depois?

Alguns alunos: Divide pelo denominador e multiplica pelo numerador, depois soma

Como fazemos na multiplicação?

Alunos em coro: Multiplica numerador por numerador, denominador por denominador.

O procedimento para efetuar as operações de divisão e potenciação é questionado pela professora também. Em todas as situações enfatiza a questão dos sinais.

Todo este processo de pergunta e resposta é realizado oralmente, sem nenhum registro na lousa.

Na seqüência a professora explica que irão estudar a operação inversa da potenciação, que esta já foi estudada com números inteiros. Aproveita o momento e pergunta:

4X9=36 50,00 – 36,00 = 14,00

201

Professora: Aliás, todo número inteiro é racional?

Alguns alunos dizem sim, outros dizem não.

Professora: Lógico que é, o que é um número inteiro?

Alguns alunos: São números positivos e negativos.

Professora: Isso. Quando agente pega um número decimal, como por exemplo, as divisões que não são exatas eles não são inteiros e aqueles que podem ser escritos na forma de fração são chamados de Números Racionais. Mas todos os números inteiros podem ser escritos na forma de fração?

Alunos: Podem

A professora concorda e pergunta se todos entenderam.

Professora: Agora voltamos à questão da operação inversa da potenciação.

Professora: Vocês se lembram de quando estudamos a extração de raiz de um número inteiro positivo? Quando os números possuíam raízes inteiras eles eram chamados de que mesmo?

Alguns Alunos: positivos?

Professora: Como que chama um número que tem raiz quadrada exata?

Após alguns instantes professora responde: Números quadrados perfeitos

Professora: anota na lousa perguntando, qual é a raiz quadrada de 25?

Alunos em coro: 5

Professora: E a raiz quadrada de 81?

Alunos em coro: 9

Professora: então se queremos: 81

25=

9

5.

Anota outro exemplo solicitando que os alunos calculem: 25

16 os alunos imediatamente

respondem 5

4.

Professora: Então podemos dizer que para calcular a raiz de uma fração, calculamos a raiz do numerador e do denominador?

Alunos concordam.

Professora: Nossa não precisei ensinar nada para vocês, já sabem tudo!

Professora: Será que é sempre assim? E se fosse: 9

4− ?

Alguns alunos: 3

2

Professora: será? Quando que um número elevado ao quadrado tem como resposta um número negativo?

Alunos: Nunca!

Professora: então vamos escrever as regras direitinho.

Na lousa fica:

202

Aguarda os alunos copiarem para iniciar a explicação:

Num canto da lousa a professora desenha um quadrado de lado l

Professora: nós já vimos que o processo de extração de raiz quadrada segue o mesmo processo que nós já fizemos lá na quinta série com os números naturais. Vocês se lembram que a gente relacionou as raízes quadradas com os quadrados perfeitos?

4 = 2 porque 2² = 2 x 2 = 4

Professora: Lembram que tínhamos os quadradinhos recortados e que desenhávamos os quadradinhos também, calculava as áreas e chegava no processo inverso que era a raiz quadrada?. (Enquanto explica escreve na lousa):

Professora: Quando chegamos na sexta série, nós vimos que nem todos os Números Inteiros possuem raiz quadrada, ou seja, só tem raiz quadrada os Números Inteiros Positivos. Porque mesmo?

Aluno1: Porque a potência sempre é positiva.

Professora: Isso. Mas esta regra só vale para raiz quadrada não é isso?

E se fosse raiz cúbica? Vamos calcular para relembrar (enquanto fala escreve):

3 8 =

3 8− =

Professora: Que pergunta temos que fazer aqui (apontando para o primeiro exemplo)?

Alunos: Qual é o número que elevado ao cubo dá oito

Professora: E qual é?

Alunos: 2

Professora: Neste aqui (apontando para o segundo exemplo) que pergunta eu faço?

Alunos: Que número que elevado ao cubo dá menos 8

Professora: Quanto é?

RADICIAÇÃO Para extrair a raiz exata de uma fração, extraímos a raiz do numerador e a raix do denominador.

n

b

a=

b

n

b

a

No entanto, antes de aplicar as regras de extração da raiz, devemos atentar para o fato de o índice ser par ou ímpar: • Índice Impar : as regras podem ser aplicadas sem restrições e a raiz tem o mesmo sinal do radicando. • Índice par : as regras só podem ser aplicadas se o radicando for positivo

índice

a = l x l = l²

l

l

203

Alunos: -2

Na lousa fica:

Professora: Agora nós estamos nos números Racionais relativos, que são os números que podem ser escritos na forma da fração. E aí nós acabamos de ver que é possível encontrar a raiz de números fracionários, mas aqui vale as mesmas restrições que valia para os números inteiros.

Professora: Pelos que acabamos de ver como são estas restrições?

• Quando a fração b

a for positiva, a raiz existe, não é isso?

• Quando a fração for negativa (-b

a ) a raiz existe se o índice for impar, certo?

Aluna: Professora então nunca existe raiz quadrada de números negativos?

Professora: Nos conjuntos dos números Inteiros e Racionais e também nos Reais que vocês não estudaram ainda, não existe. Ela vai existir sob algumas condições, mas vocês só vão estudar no segundo grau no conjunto dos Números Imaginários. Aqui na sexta série não existe.

A professora prossegue perguntando porque existe ou não a raiz, de cada situação abaixo, relacionando a sua existência ao fato do índice ser par ou impar. Instigando os alunos para que calculem e dêem a resposta para que ela anote:

Na lousa fica:

3 8 = 2 porque 2 ³= 2 x 2 x 2 = 8 3 8− = -2 porque (-2)³ = (-2) x (-2) x (-2) = 8

4

81

16= 2 porque

4

3

2

=

3

2 x

3

2 x

3

2 x

3

2 = +

81

16

4

81

16− = não existe porque

4

3

2

− =

−3

2 x

−3

2 x

−3

2 x

−3

2 = +

81

16

3

27

125=

3

5 porque

3

3

5

=

3

5 X

3

5 X

3

5 =

27

125

3

27

125− = - 3

5 porque

3

3

5

− =

−3

5 X

−3

5 X

−3

5 =

27

125−

2³ = 2 x 2 x2 = 8 então 3 8 = 2

24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16 então 4 16 = 2

5³ = 2 x 5 x 5 = 125 então 3 125= 5

204

Constrói com os alunos os quadrados de 1 ao 12 em uma tabela e sugere que façam o mesmo com o cubo, com a quarta potência ou qualquer outra potência.

Passa na lousa 11 exercícios que versavam a aplicação imediata do processo extração de raízes, mais um problema algébrico envolvendo o cálculo de raiz e outro relacionando a área de uma forma geométrica com o respectivo valor de seu lado.

A professora aguarda os alunos resolverem os exercícios, tirando as dúvidas conforme é solicitada.

Há bastante conversa na sala, mas se observa que todos estão fazendo os exercícios.

Na medida em que observa que os alunos estão com dificuldade de entenderem uma determinada situação a professora vai até a lousa e faz uma nova leitura deste.

A professora se aproxima e comenta que estes alunos são bons, ressaltando que: “no ano passado era uma turminha tão difícil quanto a quinta série que estávamos, mas trabalhar com os alunos em séries seguidas ajuda muito, pois eles já me conhecem, qual é o meu jeito e eu também os conheço, sei das dificuldades, como eu devo trabalhar com cada aluno e também já sei até onde fui, o que eu não enfatizei ano passado e estou enfatizando agora, por exemplo a questão de relacionar a raiz quadrada com os quadrados perfeitos eu só puder fazer isso porque eu sei como trabalhei com eles ano passado, outra professora já não poderiam fazer dessa forma.

Data: 18/5

6ª série

Duas aulas de 50 minutos

Tema da aula: Correção de exercícios

A professora aguarda os alunos entrarem e entra na seqüência. Cumprimenta-os e solicita que sentem. Faz a chamada.

Pergunta aos alunos onde pararam na última aula.

Os alunos lembram que tem de corrigir exercícios.

Inicia então a resolução das atividades da aula anterior, para cada exercício, a professora dirige-se a sala toda, e as respostas são dadas pelos alunos ao mesmo tempo.

A professora sempre enfatiza a questão dos sinais e sua relação com os índices do radicando. Para isso normalmente a professora apresenta contra exemplos em um canto da lousa.

No item que pede: 36

25− , os alunos respondem em coro 6

5.

A professora para, pede para lerem o que está escrito no caderno.

Em instantes os alunos dizem que a raiz não existe.

A professora retoma também a leitura e explica novamente o porque que não existe.

E ressalta: Eu não escrevi na teoria? Se eu escrevi é para ler e não só para ocupar espaço do caderno.

A professora chama a atenção dos alunos, para estes cuidados já que pode ser uma boa pegadinha, em provas e concursos.

A professora passa então as seguintes situações problemas, dada na aula anterior:

1- A área de um quadrado é igual ao quadrado da medida do seu lado. Em um quadrado que tem 196m² de área, qual é a medida de seu lado?

205

196= 14

x

Alguns alunos pedem para explicar o problema do terreno.

A professora inicia questionando-os sobre o cálculo de áreas.

Professora: Se pegarmos um quadrado e ele tiver como medida 5 m de lado. Qual vai ser a área dele?

Alunos: 25

Professora: Isso. E se um quadrado tem área igual a 25m² qual é o lado.

Alunos: 5m

Professora: Se a área é 196m² qual é o lado?

Aluno 3: interrompe e responde 14.

Professora: Isso, mas para chegar a esta resposta o que tem que fazer com o 196?

Aluno 2: dividir?

Aluno 1: tira o M.M.M?

Professora: Não! O que estamos estudando?

Alunos: Radiciação

Professora: Então o que temos que achar?

Alunos: Raiz quadrada

Professora: Temos que achar a raiz quadrada de 196 (enquanto fala escreve na lousa):

Uma aluna pede que a professora passe mais exercícios deste tipo. A professora passa então os seguintes exercícios:

Enquanto aguarda que os alunos resolvam a professora circula pela sala, tirando dúvidas quando solicitada. Para isso sempre questiona os alunos antes de dar uma resposta instigando-os a darem a resposta do que perguntavam

196m²

2- Quero construir uma caixa d’água que possa armazenar 343 m³ de água. Qual deve ser a medida de seus lados?

Que operação matemática você utilizou para calcular essa resposta?

3) Responda:

a) Qual é a operação inversa da potenciação?

b) Numa operação de radiciação, o índice é par e o radicando é negativo. Qual deve ser a raiz dessa operação? Porque?

206

Ao perceber que os alunos estão tendo dificuldades em calcular raízes cujo índice seja diferente de dois.

Pede para os alunos pararem de resolver os exercícios e prestarem atenção Dirige-se para a lousa e escreve:

2³

3³

4³

5³

24

34

44

54

Na medida em que vai calculando, com os alunos, estes parecem entender melhor o processo. Conclui estes cálculos sugerindo que façam estas contas sempre que os índices forem diferentes de 2, pois a tendência de errar é grande.

Comenta que os quadrados eles já estão acostumados a fazer porque relacionam ao cálculo de área. Que já foi trabalhado bastante na quinta série E pergunta: onde mesmo pode ser usado, o cálculo de área?

Os alunos começam a citar: na engenharia, arquitetura, para construção de casa, prédios, medir terrenos etc...

Alunos pedem para explicar o problema da caixa d’água.

A professora se dirige até a lousa e coloca outra questão: quero construir uma caixa de água com 27m³ de água. Que tamanho deve medir os lados dessa caixa?

Faz o desenho de um cubo na lousa e indica os lados. Por l

A professora questiona os alunos sobre o que deve ser feito: “o que eu tenho que fazer?”

Diversos alunos respondem: Achar a raiz quadrada?

Professora: Mas eu não tenho um quadrado, tenho um cubo.

Alunos: Tirar a raiz cúbica?.

Professora: Se quisesse calcular a área de um dos lados daquela caixa, como seria o cálculo de área: l x l , mas para calcular o volume será: V= l x l x l = l³

Professora: Que número multiplicado três vezes por ele mesmo dá 27?

Alunos em coro: 3

Professora: Então o lado dessa caixa é?

Alunos: 3 m

Professora: Vai ficar assim: 3 x 3 x 3 = 27 então eu posso relacionar a raiz cúbica com o volume.

Daí podemos escrever: 3 27 = 3

Na lousa fica:

A professora lança mão de mais um exemplo:

Professora: Se agora eu quero construir uma caixa que caiba 125m³ de água. O que eu tenho que fazer?

Área: A = l x l = l² Volume: V= l x l x l = l³

V= 3 x 3 x 3 = 3³ = 27 então 3 27 = 3

207

Vários alunos respondem: 5

Professora: Mas como vocês chegaram ao 5?

Alunos: Calculando a raiz de 125

A professora ressalta: Calculando a raiz “Cúbica” de 125. Vocês têm que tomar cuidado, raiz quadrada, raiz cúbica, tem que saber os nomes, pois são diferentes.

Aluno: Professora sempre que esta calculando com a base cinco o resultado dá final 5?

A professora calcula com ele até a quarta potencia e conclui que sim.

Vanessa Reclama que não entendeu nada de raiz cúbica.

A professora se aproxima dela e diz:

Professora: Vamos lá então Vanessa

Professora: Me diga se você sabe calcular 5 ao quadrado?

Vanessa: Sei é 25

Professora: Você sabe calcular 7 ao quadrado?

Vanessa: Sei é 49

Professora: Se eu inverter a pergunta, eu dou o resultado e você diz qual é o número que elevado ao quadrado dá o número que eu pedi ok?

Vanessa: ok

Professora: Eu digo 16, que numero que elevado ao quadrado dá 16?

Vanessa: (pausa) 8 ... não. É 4

Professora: Eu digo 36, que número que elevado ao quadrado dá 36?

Vanessa: 6

Professora: Você acabou de calcular a raiz quadrada de 16 e de 36.

Vanessa: Acabei?

Professora: Sim, a raiz quadrada é o inverso da potencia dois.

Vanessa: Então quer dizer que o número que está na raiz é a resposta de um número elevado ao quadrado?

Professora: É a resposta de um número elevado ao quadrado se a raiz tiver o índice dois (fala apontando para o índice de um radical)

Professora: Você consegue estender este conceito para raiz cúbica?

Vanessa: O número que está na raiz é a resposta de um número elevado ao cubo?

Professora: Exato! Se eu quero calcular, por exemplo, a raiz cúbica de oito, eu pergunto que número que elevado ao cubo da 8, entendeu?

Vanessa: Daí eu posso fazer a "tabelinha"?

Professora: Agora no começo pode fazer sim.

Perguntei para a professora sobre que "tabelinha" a aluna se referiu?

Professora diz que é o quadro que construíram na aula passada.

A professora retoma então às atividades lendo novamente o problema da área do quadrado (agora com a intenção de formalizar a correção com todos os alunos, uma vez que no momento das explicações nem todos estavam envolvidos) ela faz o desenho de um cubo indicando lados iguais.

Faz a leitura do problema do terreno dizendo: então este daqui como fica: A área de um quadrado é igual ao produto de seus lados” então neste daqui temos:

208

Faz a leitura do problema da caixa d’água, assim que termina uma aluna dá a resposta 7.

A professora questiona como ela chegou a esta resposta?

Aluna: Fazendo 7 x 7 x 7

Professora: Mas esta operação como se chama?

Aluna: Potenciação.

Professora: Você calculou a potenciação para achar o que?

Aluna (com voz insegura): Raiz cúbica?

Professora: Exato, e escreve na lousa:

Estão vendo como vocês sabem, é só ter um pouquinho de atenção na hora de ler os problemas.

Na medida em que os alunos terminam as atividades fazem fila para a professora ver e dar visto. Após “vistar” todos os cadernos, acrescenta mais duas situações problemas envolvendo área e volume.

Antes de terminar a aula a professora pergunta aos alunos se estes tem o hábito de ir a feira.

Alguns alunos dizem que sim

A professora solicita aos alunos que vão a feira no domingo e procurem uma barraca de frutas e verduras e possui uma balança de dois pratos e descubram como ela funciona.

Observa-se nesta aula o empenho e interesse dos alunos, participam efetivamente das aulas, mostrando interesse e motivação, solicitam explicações e estão prontamente atentos às explicações.

Data: 01/6

6ª série

Duas aulas de 50 minutos

Tema: Introdução ao estudo das equações

A professora inicia a aula perguntando quem foi à feira?

Vários alunos levantaram a mão.

Professora: vocês viram a balança de dois pratos que eu pedi para verem?

Alunos: sim

Professora: Como ela funciona?

As respostas surgem ao mesmo tempo e de forma desordenada, a professora pede então para Marcos explicar como a balança funciona.

Marcos: em um dos pratos você o que você quer comprar no outro o feirante coloca os pesos. Se ficar equilibrada é porque o que você esta comprando tem o peso que esta no outro prato.

Professora: O que o Marcos quer dizer é que a balança de dois pratos funciona assim: O dono da balança tem blocos, de 1 kg, 500g, 100g. Se você escolher um pé de repolho, você coloca-o em num dos pratos da balança, no outro prato o feirante colocará os blocos até a balança atingir o

196= 14

3 343= 7

209

equilíbrio. Então o feirante vê qual o peso dos blocos que colocou e te diz quanto pesa o repolho. Certo?.

A professora pede para Marcos se aproximar dela e levantar os braços sobre os ombros, pega um caderno e coloca sobre uma das mãos de Marcos, que imediatamente pende para o lado que está o caderno. A professora diz então:

Vamos supor que cada caneta seja um bloco de 100g cada e eu quero descobrir qual é o peso do caderno. Então eu vou colocando os blocos no outro prato até ele atingir o equilíbrio, (enquanto fala vai colocando as canetas sobre a outra mão do aluno)

Quando a professora já havia colocado 6 canetas Marcos atinge o equilíbrio das mãos.

Professora: Estão vendo, foram necessários 6 canetas para a balança atingir o equilíbrio. Qual é a massa do caderno?

Alunos: 600g

Professora: Muito bem, agora eu quero duas coisas de vocês.

Primeiro, observem que eu falei em peso e se vocês repararem a página XXX do livro ele fala em massa. Será que é a mesma coisa? Eu quero que vocês pesquisem para a próxima aula. Ok.

Professora anota na lousa: “pesquisar se há diferença entre peso e massa”.

Começa a distribuir uma folha com atividades sobre ao uso da balança de dois pratos e solicita que façam.

Embora a professora não tenha solicitado que o trabalho formassem equipes, os alunos que ainda não estavam sentados em duplas ou trios tratam que formarem suas equipes.

A professora faz a chamada e começa a passear pela sala. Muitos alunos a chamam ao mesmo tempo, a professora procura atender a todas as solicitações.

Na medida que um aluno entende o que é para ser feito imediatamente repassa para os colegas a sua volta. Reduzindo assim o número de atendimentos da professora.

Na sala se estabelece um grande burburinho, os alunos mostram-se empenhados na resolução das atividades, conversam e trocam informações a todo instante.

Ao verificar que parte dos alunos está terminando a atividade a professora passa na lousa um pequeno texto relatando a época em que se iniciou o uso de letras para representar um termo desconhecido na matemática, segue definindo o que é uma equação e o que é uma raiz de uma equação e os princípios aditivos e multiplicativos como processo de resolução de uma equação

Antes de iniciar as discussões sobre o texto a aula termina.

Data: 07/6

6ª série

Duas aulas de 50 minutos

Tema: Estudo das equações

Enquanto nos encaminhávamos para a sala perguntei a professora se iria corrigir as atividades desenvolvidas na aula anterior, ela disse que não pois já havia olhado as atividades das equipes e estavam certas. Que pretendia trabalhar com as equações.

A professora inicia a aula dizendo: Agora nós vamos começar um conteúdo novo, ele é muito importante na matemática, e gostoso de trabalhar também.

Solicitando que os alunos leiam o texto passado na aula anterior.

210

Idade de Diofante = x

Sexta parte da idade = x/6

Um doze avos da idade= x/12

sétima parte da idade = x/7

Metade da idade = x/2

6

x +

12

x +

7

x + 5 +

2

x + 4 = x

A partir da leitura do texto a professora inicia um diálogo com os alunos exemplificando como eram as sentenças matemáticas antes da introdução do uso das letras, para isso apresenta o poema que supostamente estaria na lápide do túmulo do Diofante.

Passa na lousa a seguinte versão do epitáfio de Diofante:

A professora: Antes do uso de símbolos e letras para representar uma sentenças matemática assim eram os textos matemáticos, por exemplo, a sentença: 2 + 5 = 7 , sem o uso de símbolos escreveríamos:

A professora juntamente com os alunos, concluem que o uso dos símbolos e das letras vieram para facilitar os cálculos. Convida os alunos a traduzir o epitáfio de Diofante para uma sentença matemática.

Professora: nós conhecemos a idade de Diofante?

Alunos: não

Professora: vamos então chamá-la de x

A professora reorganiza o texto na lousa de modo a facilitar a tradução do texto para os termos matemáticos?

Professora: O que quer dizer a sexta parte da vida dele? É a idade dele dividido por 6, não é?

Escreve então na lousa:

Sexta parte da idade = x/6

Continua perguntando e respondendo cada parte do problema e na medida em que os termos são traduzimos para termos algébrico anota na lousa. Desse modo na lousa fica:

Deus lhe concedeu a graça de ser um menino pela sexta parte de sua vida. Depois, por um doze avos, ele cobriu seu rosto com barba. A luz do casamento iluminou-o após a sétima parte e cinco anos depois do casamento ele concedeu-lhe um filho. Ah! Criança tardia e má, depois de viver metade da vida de seu pai o destino frio a levou. Após consolar sua mágoa em sua ciência dos números, por quatro anos, Diofante terminou sua vida.”

Quantos anos viveu Diofante?

O número dois acrescido do número cinco terá como resultado o número sete

211

Professora: Esta é a representação matemática da idade de Diofante.

Professora: Sabemos calcular?

Alunos: Não

Professora: Pelo texto que temos quando uma sentença matemática é expressa por meio de uma igualdade e possui termos desconhecidos ela é denominada de equação. Então a representação que temos da idade de Diofante é uma equação. Não é?

Professora: a palavra equação quer dizer equilíbrio , isto é, o primeiro membro da equação está equilibrado com o segundo membro (enquanto fala identifica o 1º e o 2º membro da equação na lousa:

6

x +

12

x +

7

x + 5 +

2

x + 4 = x

Professora: lembram-se das atividades da balança? Uma equação é como se tivéssemos uma balança de dois pratos, como aquelas das atividades. E esta balança sempre deve estar em equilíbrio.

Então agora nós vamos ver os dois princípios que permitem manipularmos com os números e as letras que estão na equação de modo a não desequilibrar a balança. Prestem bastante atenção. Não precisam copiar agora, depois eu espero.

A professora toma uma equação e encontra o seu resultado aplicando os princípios aditivos e multiplicativos utilizando a idéia da balança para exemplificar que a igualdade não se altera . Na lousa fica:

Professora: Pronto, encontramos o valor do x nesta equação.

Professora: Vamos fazer mais algumas para treinar depois voltaremos na idade de Diofante. As atividades de treino são:

a) x + 2 = 25

b) 2x – 4 = 20

c) x – 7 = 48

d) 3x - 4 = 26

7x + 4 = 39

7x + 4 + (-4) = 39 + (-4) Princípio aditivo (adicionar a mesma quantidade nos dois membros da equação a igualdade não se altera)

7x +4 - 4 = 39 – 4

7x = 35

7x *

7

1 = 39 *

7

1 Princípio multiplicativo (multiplicar ambos os memb ros de uma equação

pelo mesmo valor a gualdade não se altera) x= 5

2º membro 1º membro

212

A professora espera os alunos anotarem tudo o que tem na lousa e iniciar as atividades, circula pela sala atendendo as solicitações dos alunos que ainda encontram-se inseguros nos procedimentos a serem tomados.

Ao termino da atividade a professora corrige-os na lousa utilizando os princípios aditivos e multiplicativos.

Pede para os alunos resolverem as atividades do livro

Fim da aula

Data: 14/6

6ª série

Duas aulas de 50 minutos

Tema: Problemas envolvendo equações

Após todos os alunos se acalmarem, e de ajeitarem em suas mesas, a professora inicia um diálogo sobre equações, sempre num sistema de perguntas e respostas, a professora leva os alunos a concluírem que, conforme já haviam estudado, equação é uma igualdade escreve então na lousa:

Professora: Nesta equação, quem é o primeiro membro e quem é o segundo membro?

Alunos: 2x+3 é o primeiro e 19 é o segundo.

Professora: como posso resolver esta equação utilizando o principio aditivo e multiplicativo?

Os alunos começam a descrever tumultuadamente, o processo onde alguns se referem a aplicação dos princípios outros já falam no processo prático (passar para o outro lado).

A professora interrompe e combina com os alunos para resolverem pausadamente, eque irão resolver primeiro pelo processo aplicando os principio, depois farão pelo processo prático.

Professora: qual o primeiro passo a ser dado?

Alguns alunos: vão descrevendo passo a passo do processo e a professora vai anotando na lousa

A professora escreve na lousa:

Na seqüência resolve a mesma equação pelo que a professora chama de processo prático “passar para o outro membro da igualdade com sinal contrário”.

Os alunos parecem ter dificuldade em entender o processo prático assim como apresentam dificuldades em ler uma equação.

por exemplo: o sinal de igual não é lido pelos alunos. A resolução pelo processo prático é enunciado pelos alunos do seguinte modo:

“dois x mais 3... 19”

2x + 3 = 19

2x +3 – 3 = 19 – 3 2x = 16 2x 2

1∗ = 16 21∗

x = 8

213

“dois x... 19 menos 3 “

“dois x ... 16”

A professora chama a atenção dos alunos para a necessidade de leitura do sinal de igual nas equações, o que os alunos passam a fazer, porém ainda com dificuldades.

A professora passa então os seguintes exercícios na lousa:

Os exercícios são feitos individualmente e com muitas perguntas para a professora.

O objetivo destes exercícios, segundo a professora é que eles aprendam o método de resolução, “a mecanização mesmo” pois segundo ela, se eles sabem o processo de resolução fica mais fácil trabalhar as aplicações e compreensão da utilização das expressões algébricas

Observamos que a professora escolheu exercícios com diferentes graus de dificuldade, iniciando com exercícios que contemplava apenas a aplicação do princípio aditivo, depois que contemplasse o principio aditivo e multiplicativo.

Após a resolução dos mesmos e correção na lousa, a professora inicia o seguinte diálogo com os alunos:

Professora: Se eu disser “um número qualquer” ou “um certo número” como posso representar matematicamente? (enquanto fala anota em um canto reservado na lousa)

Alunos: X

Professora: se eu disser o dobro de um número qualquer?

Alunos: 2x

Professora: se eu disser o tripo de um número?

Alunos: 3x

E assim segue até completar o quadro abaixo, sendo que em sentença que os alunos apresentavam dúvidas a própria professora completava.

Na seqüência a professora continua orientando os alunos a escreverem equações:

Professora: Se eu disser então “um certo número mais 5” como posso escrever?

Alunos: x + 5

Professora: Se disser o “dobro de um número é 4”

Alunos: Dois

Professora: É verdade, mas como posso escrever a sentença matematicamente.

Alguns alunos: 2x = 4

Um certo número_____________ _________ x O dobro de um número_________________2x O triplo de um número _________________3x O quádruplo de um número_____________4x A metade de um número________________1/2x ou 0,5x ou x/2 A terça parte de um número_____________1/3x ou x/3

a) 3x – 5 = 4 b) 3t – 12 = 36 c) 2x – 27 = x d) 7y + 1 = 36

214

Idade de Diofante = x

Sexta parte da idade = x/6

Um doze avos da idade= x/12

sétima parte da idade = x/7

Metade da idade = x/2

Professora: Se eu disser “o dobro de um número adicionado a 3 é igual a 19”?

Alunos (agora todos): 2x + 3 = 19

Professora: Estas equações poderiam ser um problema a ser resolvido, alguns a resposta é imediata como no caso do dobro de um número ser 4, outras podem se configurar em verdadeiros desafios. Como aqueles que a gente já viu. Por exemplo poderia ser:

“o dobro de minha idade mais 3 dá a idade de meu irmão. Se ele tem 19 anos quantos anos eu tenho?”

Alunos: Legal!

Professora: Então vamos lá, peguem os exercícios que acabamos de fazer e invente um desafio deste pra cada um deles.

Os alunos se entusiasmam e rapidamente elaboram os desafios. No momento de por na lousa todos querem apresentar o seu desafio. A professora olha todos no caderno e escolhe aleatoriamente alguns alunos para escreverem o seu desafio na lousa

Em seguida, pede para os alunos observarem que os desafios que estão na lousa é diferentes dos deles, mas que as possibilidades são muitas, pede para mais alguns alunos enunciarem seus desafios.

A aula está terminando e como tarefa ela pede para os alunos resolverem as equações abaixo e para cada uma elaborarem um problema. Além destes devem resolver as atividades da pág. XXX

Resolva as equações abaixo, sendo U=Q

Data: 15/6

6ª série

Duas aulas de 50 minutos

Tema: Estudo das equações

A professora inicia a aula dizendo que não irá corrigir dados na aula anterior.

Alguns alunos a questionam sobre quando ela vai resolver o problema de Diofante.

A professora responde: Agora!

Professora Em um processo de pergunta e resposta a professora e os alunos montam novamente os dados que haviam sido montados em aula anterior

a) 3x + 5 = 26 b) 4x – 16 = 4 c) x - 2 = 10 d) 5x + 27 = 312 e) 2x + 7 = 13

6

x +

12

x +

7

x + 5 +

2

x + 4 = x

215

A resolução é feita passo a passo evidenciando cada procedimento tomado, na lousa fica:

6

x +

12

x +

7

x + 5 +

2

x + 4 = x

+++7126

xxxxxx

x −=+− 92

+++7126

xxx999

2−=−+− x

x

+++7126

xxx9

2−=− x

x

84

756

84

84

84

42

84

12

84

7

84

14 −=−+++ xxxxx

84

756

84

84

84

75 −=−+ xx

)84(84

756)84(

84

9 ∗−=∗− x

7969 −=− x

)1(796)1(9 −∗−=−∗− x

)9

1(796)

9

1(9 ∗−=∗− x

84=x

Princípio Aditivo

A professora explica que neste momento a melhor opção é encontrar o MMC entre 2, 6, 7, 12. O que é feito num canto da lousa juntamente com os alunos.

Princípio Multiplicativo

Princípio Multiplicativo

“Então que Diofante faleceu com 84 anos.”

Na seqüência a professora abre espaço para os alunos enunciarem os problemas formulados das equações dadas na aula anterior,

Para cada equação a professora pede para um aluno diferente ler o enunciado que escreveu.

A professora escreve o enunciado do problema que o aluno elaborou, questiona a sala se tem algum diferente, em caso afirmativo escreve-o também. Porém a diferença encontrada

Os problemas elaborados tratam na sua maioria em determinar a idade de alguém ou saber a quantia de dinheiro que uma pessoa tem, a título de exemplo citamos:

216

A professora resolve cada equação dada utilizando, lado a lado, o princípio aditivo e multiplicativo e o método prático (passa para o outro lado com o sinal invertido).

Na seqüência solicita aos alunos que montem equipes de do máximo três alunos e estes devem:

Cada aluno deveria elaborar um destes problemas e passa para os colegas da equipe resolverem, depois trocarem os problemas com a equipe ao lado.

Houve um pouco de tumulto na sala para se organizarem, porém a atividade foi realizada com bastante entusiasmo.

Ao término a professora solicitou que os alunos socializem os problemas elaborados envolvendo formas geométricas escrevendo-os na lousa. Toda a sala deveria copiar e resolverem também.

Observamos que a quantidade de atividades envolvendo equações é bastante grande, porém a professora utilizou-se de diferentes formas para motivar e envolver os alunos na resolverem equações, a diversidade de problemas, e a preocupação com a elaboração de sentenças que dão sentido às equações montadas. Observamos ainda que o “processo prático” só foi introduzido após perceber que os alunos estavam dominando e compreendendo a aplicação dos princípios aditivos e multiplicativos.

O quíntuplo da idade de minha avó mais a idade de minha mãe somam 312. Se minha mãe tem 27 anos. Qual a idade de minha avó? Um certo número tirando dois dá 10. Qual é este número? O triplo da idade de minha irmã mais 5 somam 26. Qual é a idade de minha irmã? Cinco vezes a minha mesada mais a mesada de meu irmão dá 312. Se a mesada de meu irmão é R$ 27,00, qual é a minha mesada?

1- Enunciar um problema envolvendo a idade de alguém de sua família; 2- Apresentar um problema envolvendo a sua idade; 3- Enunciar e resolver um problema que envolva uma figura geométrica;

ANEXO D – EXEMPLIFICANDO AS ESTRATÉGIAS METODOLÓGICAS

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Resolução de Problemas

A resolução de problemas de álgebra, além das habilidades de leitura e interpretação, requer do aluno a passagem da linguagem corrente para a linguagem algébrica. Exemplificaremos as etapas propostas por Onuchic; Allevato (2004) na resolução do problema "O cavalo e o burro", (p. 34) do livro "Aprenda álgebra brincando" de I. Perelmann, ed. Hemus, que pode ser desenvolvido para iniciar a resolução de sistemas de equações do primeiro grau.

O antes

O professor pode pedir aos alunos que leiam o problema individualmente. Em seguida, encaminha uma exploração da leitura do problema a partir de perguntas para a classe. Solicitando, por exemplo, que contem o que entenderam do problema, sem que leiam novamente, perguntando se encontraram alguma palavra desconhecida. Neste caso provavelmente os alunos apontarão para as palavras "obtemperou" e "doutos". Neste momento, o professor justifica o porquê de se utilizar tais termos, podendo de imediato declarar seus significados ou solicitar que o pesquisem e reescrevam o problema utilizando a linguagem dos dias de hoje.

Também nesta fase, o professor questiona os alunos sobre o assunto do problema e qual a pergunta do problema. Tais encaminhamentos auxiliarão os alunos à compreensão do problema. Tomando o cuidado de não resolver o problema antecipadamente para os alunos.

O durante:

O professor pode solicitar aos alunos que iniciem a resolução do problema construindo o quadro abaixo, analisando a relação existente entre a primeira e segunda coluna.

Se eu tomasse um saco x - 1

minha carga y + 1

passaria a ser o dobro da tua. y + 1 = 2 (x - 1).

Por outro lado, se eu te desse um saco, y - 1

tua carga x + 1

igualaria a minha! y - 1 = x + 1

quantos sacos levava o cavalo, e quantos, o burro? x = ? e y = ?

x = 5 e y = 7

O professor pode ainda fazer outras perguntas como:

O que significa x? E y? Por que cada uma das letras foi escolhida?

O que mudaria na representação de "x - 1" e "y + 1" se o burro tomasse três sacos?

Na 6ª linha da 2ª coluna aparece a frase "y - 1 = x + 1" o que isso significa?

Problema: "O cavalo e o burro"

Um cavalo e um burro caminhavam juntos, levando sobre os lombos pesadas cargas. Lamentava-se o cavalo de seu revoltante fardo, ao que lhe obtemperou o burro: De que te queixas? Se eu tomasse um saco, minha carga passaria a ser o dobro da tua. Por outro lado, se eu te desse um saco, tua carga igualaria a minha!

Dizei-me, doutos matemáticos, quantos sacos levava o cavalo e, quantos, o burro?

218

Verifique se a resposta x = 5 e y = 7 está correta.

Na seqüência, o professo solicita aos alunos que, em duplas, resolvam o problema, tentando chegar aos valores de x e de y sem utilizar a álgebra. Enquanto os alunos resolvem o problema, o professor aproveita para observar quais estratégias eles utilizam na resolução.

O depois

Nesta etapa, o professor organiza junto com os alunos um painel com diferentes formas de resolver o problema. Escolhe duas resoluções e faz uma lista das semelhanças e diferenças entre elas e discute as vantagens dos diferentes tipos de solução. Ao final discute com eles as vantagens e desvantagens da solução algébrica, destacando que ela resolve qualquer problema desse tipo independentemente dos valores de x e y.

Etnomatemática

As possibilidades de desenvolver trabalhos de enfoque etnomatemáticos são inúmeras, porém o desenvolvimento dos trabalhos diferem em função da realidade social dos alunos, tornando difícil apresentar uma sugestão de atividade. A título de exemplo, descreveremos o trabalho desenvolvido por Estélen Wolff Freitas - O resgate dos brinquedos numa perspectiva da etnomatemática6. Tendo em vista a necessidade de brincar das crianças e a realidade vivenciada pela escola, que passando por reformas teve o espaço de lazer das crianças reduzido a uma área equivalente a uma sala de aula. Levando em consideração, ainda, que as brincadeiras violentas faziam parte da realidade cultural dos seus alunos. A professora buscou desenvolver um projeto voltado para o resgate dos brinquedos que foram utilizados pelos pais/avós na sua infância. Procurando incorporar na prática pedagógica a cultura e o cotidiano dos alunos.

O referido trabalho foi desenvolvido com alunos da 1ª série, a matemática envolvida (Seqüência numérica; Identificação de números cardinais e ordinais; Comparação de números; Estimativa; Números antecessores e sucessores; Quantidade; Ordem cronológica; Calendário; Cálculos de adição, subtração, multiplicação e divisão; Unidade e dezenas), contribuiu para levantamento, construção e análise dos dados desempenhando assim, um papel importante, porém não central das atividades.

Descrição do projeto

Objetivo : Resgatar os brinquedos que foram utilizados pelos pais/avós dos alunos na sua infância. Procurando trazê-los para a sala de aula, a fim de suprir a necessidade do brincar e suprimir as brincadeiras violentas que fazem parte da realidade cultural desses alunos.

Descrição das Atividades:

• Levantamento das brincadeiras e brinquedos que as crianças mais gostam;

• Levantamento/discussão sobre brincadeiras consideradas pelas crianças de “mau gosto” ou perigosas;

• Realização de entrevista com uma pessoa da família, contemplando perguntas relacionadas aos brinquedos que utilizavam quando criança; como os obtinham; observando os diferentes tipos de cultura e de vivência, incluindo ainda, a idade de cada pessoa entrevistada;

• Análise das respostas; confecção de gráficos e discussões de questões do tipo: Quantas pessoas colocaram que brincavam com bonecas? Quantas com carrinho? Quantas com pé-de-lata? Quantas pessoas a mais votaram na boneca de pano do que na bola de meia? Desenvolvendo as noções de quantidades e de cálculos de adição e subtração envolvendo dados contidos em gráficos, construído pelos alunos a partir da realidade trazida pesquisada por

6 Disponível em: <http://www.somatematica.com.br/artigos/a11/index.php>. Acessado em 23/11/2007.

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eles;

• Seleção e confecção de brinquedos;

• Elaboração de regras para a execução das brincadeiras;

• Realização de uma campanha de doações de brinquedos usados e confeccionados para uma instituição do bairro;

• Anotação em calendário de todas as etapas de desenvolvimento com o objetivo de registro e contagem do tempo.

Com o desenvolvimento deste trabalho a professora buscou levar para a sala de aula fatos e acontecimentos que fazem parte das necessidades do dia-a-dia de uma comunidade. Não tratando apenas de trazer a “realidade” para a sala de aula, mas construir um conhecimento matemático em sala de aula que tenha seu caminho de retorno para a comunidade.

Uma vez que o brinquedo e a brincadeira estão presentes na vida das crianças de todas as idades e classes sociais, de qualquer tempo, o tema é pertinente a crianças de idade mais avançada modificando apenas o grau de aprofundamento e de conteúdos que poderiam servir de aporte teórico.

História da Matemática

Diante das considerações realizadas até o momento tomemos como exemplo o desenvolvimento dos estudos referentes aos números primos, numa perspectiva histórica.

Os números primos costumam ser apresentado ao aluno durante a 5a série do ensino fundamental e daí para frente é praticamente abandonado. Muitas vezes é repassado para os alunos como uma coleção de números especiais cuja principal (talvez única) utilidade é a decomposição em fatores primos com a finalidade de encontrar frações equivalente de mesmo denominador.

Porém, desde a antiguidade os números primos exercem um enorme fascínio entre matemáticos e não matemáticos, quer seja pela sua aplicabilidade que perpassou por toda a história do desenvolvimento da Matemática e continua até os dias de hoje, principalmente nos sistemas de seguranças computacionais e nos teste de eficiência dos computadores de alta capacidade7. Quer seja pelos desafios que suscitam, devido ao modo completamente caótico que aparecem entre os números naturais dando a impressão de não haver nenhum padrão ou regularidade e aparente regularidade quando agrupados.

A existência de infinitos números primos e o não desenvolvimento, até hoje, de uma única fórmula capaz de gerar números primos; a busca por métodos eficientes e simples de verificação da primalidade de um número; as hipóteses formuladas e até então não comprovadas sobre os números primos8 instigam as mentes mais ambiciosas da matemática a embarcarem na procura de respostas que parece não ter fim9, são argumentos suficientes para imprimir historicidade e dedicar um pouco mais de atenção aos estudos dos números primos.

Um dos primeiros passos que consideramos necessários no desenvolvimento deste tema é o de desmistificar a idéia do termo primo geralmente associada a alguma analogia de parentesco. O

7 Com relação a aplicabilidade dos números primos veja: HELLMEISTER, A. P.; POSE, R. A. Por que Matemática? Revista Ciência Hoje . Rio de Janeiro: SBPC, 1999. v. 8, p. 75-76. 8 Por exemplo: as conjeturas de Goldbach, no século XVIII; a existência de uma harmonia entre primos de

Riemann, no século XIX. 9 DU SAUTOY, Marcus A Música dos Números Primos - A História de um Problema Não Resolvido na Matemática . RJ:Zahar Editores. 2007.

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termo "primo" aí utilizado refere-se à idéia de primeiro e tem sua origem numa velha concepção numérica dos pitagóricos.10

A apresentação e definição do que vem a ser um número primo, pode ser construída juntamente com os alunos e geralmente os livros didáticos apresentam-na. Também é comum nos livros didáticos apresentarem alguns métodos para encontrar os números primos de 1 até um certo número natural n, principalmente o método chamado de Crivo de Eratóstenes , assim como, apresentam métodos de verificação da primalidade de um determinado número. Para enriquecer o desenvolvimento desta aula o professor pode:

Levantar questionamentos quanto a existência do maior primo, a prova da existência de infinitos primos dada por Euclides é relativamente simples e possível de ser apresentada aos alunos.

Discutir as dificuldades de se determinar a primalidade de um número extremamente grande pelos métodos apresentados;

Discutir a importância e a quem interessa a determinação de números primo muito grande;

Se os alunos possuem acesso a Internet o professor pode solicitar aos alunos que acessem sites referentes ao assunto11 e verificar alguns números grandes se são primos ou não, obter informações sobre o maior primo descoberto até o momento, assim como pesquisar sobre matemáticos que desenvolveram estudos relacionados ao tema.

Solicitar que os alunos verifiquem a conjectura de Goldbach até o número 50.

Sob este aspecto os números primo são introduzidos no ensino fundamental, não apenas como uma coleção finita de números a serem decorados e utilizados para encontrar os denominadores de frações equivalentes, mas como números cujo conceito desempenha papel fundamental na teoria de números, mais especificamente no Teorema Fundamental da Aritmética. Esse teorema permite-nos afirmar que todo número inteiro natural, maior do que 1 pode ser escrito como um produto de fatores primos.

Mídias Tecnológicas

Apresentamos, aqui, uma possibilidade de encaminhamento metodológico para a 5ª série no estudo das formas geométricas, no qual os recursos de áudio visuais e de ambientes informatizados contribuem para introduzir, justificar, sistematizar e ampliar os conhecimentos da geometria e de temas relacionados.

Já vai longe o tempo em que a orientação para o ensino da geometria nas séries iniciais se dava a partir da conceituação de ponto, reta e plano, isto porque tais conceitos exigem um nível de abstração que os alunos ainda não possuem. Estudos e pesquisas têm demonstrado que é mais frutífero encaminhar o ensino deste tema a partir da exploração e manipulação de materiais concretos, levando em consideração as noções e idéias geométricas que os alunos já possuem.

Apesar da maioria dos alunos chegarem na 5ª série com várias noções de geometria, reconhecerem e identificarem alguns polígonos e poliedros continua sendo necessário, nesta série, o desenvolvimento de atividades que visem organizar seus conhecimentos por meio de experiências diversas. É necessário também, por meio de representação, de composição e da decomposição provocar nos alunos a necessidade de um vocabulário específico geométrico, perceber propriedades e proposição, enunciar tais propriedades, reconhecer regularidades, perceber a importância do estudo da geometria e deter noções de suas aplicabilidades.

10 No site http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/pqprimo.html o professor encontrará um bom artigo que relata a origem de tal denotação. 11 A titulo de exemplo no site: http://www.numerosprimos.com.br é possível verificar se um determinado

número é primo ou não, caso não seja informa quais são seus divisores.

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Atividades com embalagens e construções de sólidos geométricos a partir de moldes, comumente sugeridas em livros didáticos, oferecem uma variedade de situações em que os alunos exploram simultaneamente os espaços bidimensionais e tridimensionais a partir de objetos de seu entorno. Possibilitam também a observação de regularidades como, por exemplo, a variação do número de vértices, faces e arestas em função da variação do número da base de prismas e pirâmides.

Tais atividades podem ser enriquecidas com a utilização do vídeo. No caso das atividades envolvendo a construção de sólidos geométricos a partir de moldes sugerimos a utilização, em sala de aula, do vídeo da coleção Mão na Forma12 que apresenta de forma bastante atrativa os sólidos de Platão e suas regularidades.

Muitos livros didáticos apresentam situações do dia a dia em que podemos reconhecer formas geométricas, assim como alguns fatos sobre sua origem e desenvolvimento. O item “Formas Geométricas” do vídeo “Conversa de Professor/Matemática”13, no intervalo de 31:39m a 34:39m é apresentado, de forma bastante atrativa, a origem, o desenvolvimento e a aplicabilidade da geometria, em uma linguagem simples e acessível para os alunos. Este vídeo traz também aos professores, uma série de sugestões de atividades envolvendo o tema que podem enriquecer a aula.

Dentre as atividades propostas neste vídeo, sugerimos aqui uma adaptação à atividade “Construção da planta baixa” para ser desenvolvidas com alunos da 5ª série.

Como atividade preliminar é possível solicitar aos alunos o desenho da vista de cima (vista superior) de um objeto, para tanto, diferentes objetos são dispostos no chão e é solicitado aos alunos que observem e desenhem o que vêem.

Na seqüência, os alunos medem os moveis da sala de aula e efetuam as devidas reduções para desenhá-los em seus cadernos. Neste processo, as crianças têm a oportunidade de trabalhar também conceitos relacionados a medidas, escalas e operações com números decimais.

A partir destas atividades, é possível, por exemplo, solicitar aos alunos que façam a planta baixa da sala de aula no computador utilizando para isso a linguagem de programação Logo.

O Logo é um ambiente de programação, com linguagem própria, onde a criança programa o computador, mantendo-se no controle, ensinando o computador a pensar. E neste “ensinar o computador a ‘pensar’, a criança embarca numa exploração sobre a maneira como ela própria pensa. Pensar sobre modos de pensar faz a criança tornar-se um epistemólogo, uma experiência que poucos adultos tiveram” (Papert, 1994, p.35).

Neste ambiente o aluno tem a possibilidade, não somente, de retratar a realidade por meio de desenhos e construção, mas de agir; propor soluções; reagir; modificar ou conservar os resultados de suas experiências.

Para os alunos fazerem suas construções geométricas no ambiente Logo, é possível partir das relações da criança com a sua lateralidade; as rotinas necessárias para as construções dos polígonos que os alunos deverão “ensinar para a tartaruga” faz com que estes revejam as características, regularidades e conceitos que envolvem as formas geométricas envolvidas e contribuem para o desenvolvimento natural das noções de ponto, reta e plano.

Atividades como estas, na qual o computador é utilizado como um instrumento em situações contextualizadas, que possibilita aos alunos visualizar os resultados de suas ações e, sempre que necessário, repesá-las e refazê-las, desempenham um papel significativo na aprendizagem do aluno.

A seqüência de atividades aqui apresentadas como um todo, onde vídeos e computadores estão presentes no processo de aprendizagem, com objetivos delimitados e ações planejadas, promovem maior interação entre alunos e, entre alunos e professor, este último, passa a ser orientador e re-orientador das atividades, sugerindo, encaminhando e questionando de forma que a troca de conteúdos e conhecimentos entre os envolvidos seja permanente.

12 Coleção DVDescola – Vol I 13 Coleção DVDescola – Vol II.

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Modelagem Matemática

As possibilidades de desenvolvimento de trabalhos em um ambiente de Modelagem são inúmeras. Cada vez mais encontramos relatos de experiências bem sucedidas envolvendo Modelagem.

Barbosa (2001b) em seu artigo: Modelagem na Educação Matemática: Contribuições para um debate teórico, apresenta diversas experiências realizadas em diferentes níveis do ensino, todas elas servem como inspirações para o desenvolvimento de trabalhos com os alunos, é claro que a condução e os resultados dependerão da realidade em que estará inserida a escola.

Em uma das experiências relatadas por Barbosa (2001b)14 o professor propõe aos alunos uma situação problema envolvendo a arrumação de tonéis de gasolina. Vislumbramos a partir desta experiência algumas possibilidades de se explorar situações semelhantes em função de nossa realidade local.

Desde meados da década de 80, a agricultura da região de Paranavaí voltou-se ao plantio de laranja e o município conta com duas indústrias de suco concentrado de laranja que são exportados em barris de forma cilíndrica de 200 litros.

O processo de produção de sucos concentrado de laranja pode ser uma possibilidade de desenvolvimento da Modelagem na Educação Matemática. Propomos a seguir, atividades a serem exploradas com as 5ª e 6ª séries, porém é possível desenvolver trabalhos com as demais séries da educação básica.

Sugerimos que inicialmente o professor faça um levantamento prévio sobre o conhecimento dos alunos com relação a produção de laranjas e sobre o processo de produção do suco. É possível combinar uma visita em uma plantação de laranja assim como uma visita a uma das indústrias. Certamente durante estas visitas diversas questões surgirão, tais como:

A quantidade de laranja necessária para produzir um barril de suco; os custos que envolvem a sua produção, os lucros obtidos pelo produtor da laranja; quanto e como recebe o catador de laranja; o custo do transporte; as diferenças de preços no período de safra e de entressafra; os envolvidos no processo de industrialização do suco; o preço que é vendido; etc...

Outra questão que pode ser explorada relaciona-se ao armazenamento dos barris de suco, isto é, o tamanho dos galpões de armazenamento; a forma em que são dispostos os barris; a quantidade máxima de empilhamento; etc...

Adaptando à situação explanada por Barbosa (2001b), tomemos a questão do armazenamento dos barris para exemplificar o trabalho em sala de aula.

O problema poderia ser formulado da seguinte forma: Seria possível estabelecer um modelo que explorasse a capacidade máxima de armazenamento dos galpões?

Para a resolução deste problema os alunos terão que levantar inicialmente:

As medidas externas dos barris: altura e diâmetro;

A capacidade e posição de empilhamento;

O tamanho dos galpões.

Supondo que os barris possam ser armazenados apenas na posição vertical (perpendicular ao chão) as possibilidades de distribuição seriam como na figura abaixo:

14 Relato 2: O caso dos tonéis de Gasolina p. 22-24.

223

Figura 1 – Possibilidades de distribuição dos tonéis

A primeira possibilidade envolve cálculos relativamente simples, cabendo ao professor sugerir apenas a organização dos cálculos e tabelas. Já a segunda possibilidade, dependendo da série em que se encontram os alunos, talvez seja necessário a intervenção do professor para esquematizar melhor a situação (figura abaixo).

Figura 2 - Diagrama de distribuição dos barris – 2ª possibilidade

Na situação acima, o teorema de Pitágoras ajudará os alunos a verificarem a quantidade de barris que poderiam ser armazenados na 2ª possibilidade.

Caso os barris puderem ser armazenados na posição horizontal restariam ainda os estudos desta possibilidade.

De posse deste levantamento, os alunos devem pesquisar o modelo que a empresa adota e quais os fatores que o determinam. Verificando assim, se a capacidade máxima de armazenamento é o fator determinante. Como exemplo de situações em que os fatores que determinam uma dada situação, muitas vezes, não é aquele que matematicamente se apresenta viável, o professor pode sugerir para que os alunos pesquisem por que as latas de óleo de soja são de 900ml e não de 1 litro (medida comumente utilizada).