Exercícios sobre a Distribuição Binomial de Probabilidadeshttp://www.ruf.rice.edu/~lane/stat_sim/normal_approx/index.html

1) Uma amostra aleatória de 15 pessoas é obtida de uma população em que 40% têm uma determinada posição política. Qual é a probabilidade de exatamente 6 indivíduos na amostra ter essa determinada posição política? Resposta: 0,2066Ctr+Lpdf 6;bino 15 0.4.

2) Estima-se que cerca de 30% dos frangos congelados contenham suficiente número de bactérias salmonelas causadoras de doenças, se forem assados inadequadamente. Um consumidor compra 12 frangos congelados. Qual é a probabilidade do consumidor ter mais de 6 frangos contaminados?Resposta: 0,039Ctr+Lcdf 6 k1;bino 12 0.3.let k2 = 1-k1print k1print k2

3)Refere-se à questão 2 anterior. Suponha que um supermercado compre 1000 frangos congelados de um fornecedor. Encontre um intervalo aproximado (proporção de 95%) referente ao número de frangos congelados que possam estar contaminados.Resposta: 270 a 330(328 e 329)Ctr+Linvcdf 0.975;bino 1000 0.3.invcdf 0.025;bino 1000 0.3.

4) Estima-se que, no máximo, seja de 70% a proporção de peixes capturados, em determinadas regiões dos Grandes Lagos, com câncer de fígado devido aos poluentes presentes. Encontre um intervalo aproximado de 95% para o número de peixes com câncer de fígado em uma amostra de 130 peixes.Resposta: 80 a 102Ctr+Linvcdf 0.975;bino 130 0.7.invcdf 0.025;bino 130 0.7.

5) A probabilidade de uma máquina produzir um item defeituoso é0,20. Se uma amostra aleatória de 6 itens é obtida desta máquina, qual é a probabilidade de haver 5 ou mais em itens defeituosos na amostra?Resposta: 0,0016Ctr+Lcdf 4 k1;bino 6 0.2.let k2 = 1-k1print k2

6)Considere 100 doadores escolhidos aleatoriamente de uma população onde a probabilidade de tipo A é 0,40? Qual a probabilidade de pelo menos 43 doadores terem sangue do tipo A?Resposta: 0,27 aproximadamenteCtr+Lcdf 43 k1;normal 40 4.899.let k2 = 1-k1print k2

7) Suponha que na FOSJC-UNESP, 30% dos alunos vivam em apartamentos. Se 200 alunos forem selecionados aleatoriamente, qual é a probabilidade do número de alunos, que vivem em apartamentos, estar entre 50 e 75, inclusive? Resposta: 0,929 aproximadamenteCtr+Lcdf 50 k1;normal 60 6.481.cdf 75 k2;normal 60 6.481.let k3 = k2-k1print k3

8)A taxa de desemprego em certa cidade é de 10%. É obtida uma amostra aleatória de 100 pessoas. Qual a probabilidade de uma amostra ter, pelo menos, 15 pessoas desempregadas.Resposta: 0,067 aproximadamente (com correção de continuidade).Ctr+Lcdf 14.5 k1;normal 10 3.let k2 = 1-k1print k2

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9)(12.23. EB, p.273). Planejamento de uma pesquisa?Você está planejando uma pesquisa amostral de pequenas empresas em sua área. Você irá selecionar uma AAS (simples amostragem aleatória) de empresas listadas no catálogo telefônico de Páginas Amarelas. A experiência mostra que apenas cerca de metade das empresas que você contata respondem.

a) Se você contatar 150 empresas, é razoável usar a distribuição binomial com n = 150 e p = 0,5 para o número X das que respondem. Explique por quê.

b) Qual é o número médio que responde a pesquisas como a sua?c) Qual é a probabilidade de 70 ou menos responderem? (use a aproximação Normal).d) De que tamanho deve ser a amostra extraída para aumentar o número médio de

respondentes para 100?

Respostas: (a) Há 150 observações independentes, cada uma com probabilidade de resposta p = 0,5. (b) = 75 respostas. (c) 0,2061. (d) n = 200.

10)(12.25. EB, p.273). Tanques de gasolina com vazamento?Vazamentos de tanques de gasolina subterrâneos em postos de gasolina podem prejudicar o meio ambiente. Estima-se que 25% desses tanques apresentam vazamento. Você examina 15 tanques escolhidos ao acaso, independentes entre si.a) Qual é o número médio de tanques com vazamento em tais amostras de 15?b) Qual é a probabilidade de 10 ou mais dos 15 tanques apresentarem vazamento?c) Você agora faz um estudo maior, de âmbito nacional, examinando uma amostra aleatória de 1000 tanques. Qual é a probabilidade de pelo menos 275 desses tanques apresentarem vazamento?

Respostas: (a) 3,75 tanques com vazamento. (b) 0,0008. (c) 0,0336.E(x) = np = 15(0,25) = 3,75 ; Var (x) = np(1-p) = 3,75(0,75) = 2,813 ... daí dp = 1,677Ctr+Lcdf 9 k1;bino 15 0.25.let k2 = 1-k1print k2cdf 274 k1;bino 1000 0.25.let k2 = 1-k1print k2

11)(12.13. EB, p.270). Verificação de erros de pesquisa?Uma maneira de verificar o efeito da subcobertura, não-resposta, entre outras fontes de erro em uma pesquisa amostral, é comparar a amostra com fatos conhecidos sobre a população. Cerca de 12% dos adultos norte-americanos são negros. O número X de negros em uma amostra aleatória de 1500 adultos deveria, portanto, variar tendo a distribuição binomial (n = 1500; p = 0,12).a) Quais são a média e o desvio padrão de X?b) Use a aproximação Normal para achar a probabilidade de a amostra conter 170 negros ou menos. Não deixe de verificar se é possível usar a aproximação com segurança.

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Respostas: (a) = 180 e = 12,5857 negros. (b) P(X170) P(Z-0,79) = 0,2148.

12)a) Quando são lançados dois dados, não viciados, mostre que a probabilidade de se obter um total (soma das faces) igual a 7 é 1/6.b) Um par de dados é lançado 100 vezes e o total é contabilizado em cada ocasião. Qual é a probabilidade de obtermos mais que 25 vezes o número 7? Respostas: (b) p = 0,00889 (com correção de continuidade).c) Quantos lançamentos serão necessários para que a probabilidade de se obter, pelo menos um 7, seja igual ou mais de 0,9?Respostas: (c) n12,63, ou seja, n = 13.

13)Um exame consta de 10 perguntas de igual dificuldade. Sendo 5 a nota de aprovação, qual a probabilidade de que seja aprovado um aluno que sabe 40% da matéria?Resposta: 0,3670Ctr+Lcdf 4 k1;bino 10 0.4.let k2 = 1-k1print k2

14)Oito moedas são lançadas cinco vezes. Calcule a probabilidade de que, em dois desses cinco lançamentos, se obtenham 4 caras e 4 coroas?Resposta: 0,2868Observação: há duas distribuições binomiaisCtr+Lpdf 4 k1;bino 8 0.5.pdf 2 k2;bino 5 k1.print k2K1 0.273438K2 0.286771

15)O Corinthians, agora na série B do Campeonato Brasileiro, tem 4/5 de probabilidade de vitória sempre que joga fora de casa. Se o Corinthians jogar 20 partidas fora de casa, calcule a probabilidade de: a) vencer exatamente 15 partidas; b) vencer ao menos 15 partidas; c) vencer mais da metade das partidas.Ctr+Lpdf 15 k1;bino 20 0.8.print k10.174560

cdf 14 k1;bino 20 0.8.let k2 = 1-k1print k20.804208

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cdf 10 k1;bino 20 0.8.let k2 = 1-k1print k20.997405

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Correção de Continuidade – -Aproximação Normal para a Distribuição Binomial de Probabilidade-

Considere, ao redor do número, um retângulo que pode, ou não, estar incluído na curva de probabilidade, isto é, a área pode ou não estar sendo considerada: - depende do enunciado!

Binomial (enunciado)

na aproximação (Normal) O retângulo é considerado?

P(x3) P(x<3,5) simP(x<3) P(x<2,5) nãoP(x=3) P(2,5<x<3,5) sim

P(x3) P(x>2,5) simP(x>3) P(x>3,5) não

P(x0) P(x>-0,5) simP(x>0) P(x>0,5) nãoP(x=0) P(-0,5<x<0,5) sim

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