Caderno 1 : Domínios de De finição, Limites e …home.iscte-iul.pt/~deam/html/DomLimCont.pdf ·...
Transcript of Caderno 1 : Domínios de De finição, Limites e …home.iscte-iul.pt/~deam/html/DomLimCont.pdf ·...
Instituto Superior de Ciências do Trabalho e Empresa
Curso: Gestão e GEI, 1o Ano
Cadeira: Optimização
Caderno 1 : Domínios de Definição, Limites e Continuidade
(Tópicos de teoria e exercícios)
Elaborado por: Diana Aldea Mendes
Departamento de Métodos Quantitativos
Fevereiro de 2009
Capítulo 1
Noções Topológicas e Domínios deDefinição de Funções
1.1 Tópicos de Teoria
Definição 1: Seja (Rn, d) um espaço métrico com a distância d entre dois pontos x =
(x1, . . . , xn) ∈ Rn e y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn definida por:
d (x, y) =
q(x1 − y1)
2 + . . .+ (xn − yn)2.
Seja a = (a1, . . . , an) ∈ Rn e ε > 0. A bola aberta de centro a e raio ε designa-se por
B (a, ) ou B (a) e é definida pelo seguinte conjunto de pontos
B (a, ε) = {x ∈ Rn : d (x, a) < ε} .
R0 a
a-ε a+ ε
B ola aberta em R
A A
0
B(a,ε)
a
a1
a2 h
B(a,ε)
ah
a1
a2
a3
εε
Bola aberta em R2 Bola aberta em R3
R
R
R
R
R0
Definição 2: Seja (Rn, d) um espaço métrico com a distância d, A ⊆ Rn e a =
(a1, . . . , an) ∈ Rn. Têm-se então que:
1
2CAPÍTULO 1. NOÇÕES TOPOLÓGICAS E DOMÍNIOS DEDEFINIÇÃODE FUNÇÕES
• a é um ponto interior de A se existe pelo menos uma bola aberta de centro a e raio
ε contida em A, isto é
∃ ε > 0 tal que B (a, ) ⊆ A
• a é um ponto exterior de A se existe pelo menos uma bola aberta de centro a e raio
ε contida em Rn\A (ou seja: existe pelo menos uma bola aberta de centro a e raio
ε que não contém pontos pertencentes a A), isto é
∃ ε > 0 tal que B (a, ) ⊆ Rn\A ou seja B (a, ) ∩A = ∅
• a é um ponto fronteiro de A se em qualquer bola aberta de centro a e raio ε existe
pelo menos um ponto de A e existe pelo menos um ponto de Rn\A, isto é
∀ ε > 0 : B (a, ) ∩A 6= ∅ e B (a, ) ∩Rn\A 6= ∅
• a é um ponto de acumulação de A se em qualquer bola aberta de centro a e raio ε
existem infinitos elementos de A, isto é
∀ ε > 0 : B (a, ) ∩Aé um conjunto infinito
• a é um ponto isolado se não é um ponto de acumulação.
h
h
h
h
h
h
0 x
y
A−
−
−
− −
−
2
y = 2
exterior
exteriorisolado
interiorfronteiro
fronteiro1
Definição 3: Seja (Rn, d) um espaço métrico com a distância d e A ⊆ Rn. Designa-se
por:
• Interior de A (IntA) o conjunto dos pontos interiores de A
1.1. TÓPICOS DE TEORIA 3
• Exterior de A (ExtA) o conjunto dos pontos exteriores de A
• Fronteira de A (FrontA) o conjunto dos pontos fronteiros de A
• Fecho ou aderência de A (FechA ou A) à união do interior de A com a fronteira de
A, isto é
FechA = IntA ∪ FrontA
• Derivado de A (A0) o conjunto dos pontos de acumulação de A.
• O conjunto A ⊆ Rn diz-se aberto se IntA = A e diz-se fechado se FechA = A.
Definição 4: Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Se para cada x ∈ A se faz corre-
sponder um e só um y = f (x) ∈ B então tem-se uma função f de A em B (f : A −→ B) .
• f : Rn → R diz-se função real de n variáveis reais.e representa-se por uma expressão
com n variáveis
• f : Rn → Rm diz-se função vectorial de n variáveis reais e representa-se por um
sistema de m funções com n variáveis.
Definição 5: Seja a função f : Df ⊆ Rn −→ Rm. O conjunto Df é o domínio ou
campo de existência da função f e representa o conjunto dos todos os pontos de Rn para os
quais se podem efectuar todas as operações indicadas nasm expressões, isto é, corresponde
à intersecção dos domínios das m funções coordenadas f1, ..., fm..: Df = Df1 ∩ ....∩Dfm .
• Sejam F e G duas funções quaisquer. Para calcular os domínios de definição temos
que ter em consideração que
—F
G=⇒ G 6= 0
— n√F =⇒ F ≥ 0 se n par
— logF =⇒ F > 0
— FG =⇒ F > 0
— arcsinF ou arccosF =⇒ −1 ≤ F ≤ 1
4CAPÍTULO 1. NOÇÕES TOPOLÓGICAS E DOMÍNIOS DEDEFINIÇÃODE FUNÇÕES
1.2 As equações e os gráficos de algumas curvas no planoreal
• Recta
y − b = m (x− a)
Exemplo 1.2.1 : y = x− 1
oo
o
oo
o
o
o
o
o
o o
o
o
o
o
o y=x-1
x
y
1
-1
y<x-1
o o o
o o oy>x-1
• Circunferência de centro (a, b) e raio r :
(x− a)2 + (y − b)2 = r2
Exemplo 1.2.2 : x2 + y2 = 1
x
y
o
o
o
o
o
o o
o
o
o
o
o oo
o o
o
o
o
o
o
o
o
x2+y2=1
x2+y2<1
o o o
oo ox2+y2>1
1.2. AS EQUAÇÕES E OS GRÁFICOS DE ALGUMAS CURVAS NO PLANO REAL 5
• Parábola: orientada na direcção do eixo dos yy :
y − b = m (x− a)2
e orientada na direcção do eixo dos xx :
x− a = m (y − b)2 =⇒ y = b±r
x− a
m
Exemplo 1.2.3 : y = x2
x
y
o
o
o
o
o
o o
oo
o
o
o
oo
o o
o
o
o
oo
o
o
y=x2y>x2
o o o
oo oy<x2
Exemplo 1.2.4 : x = y2, ou equivalente y = ±√x
x
y
o
oo
o
o
o
o
oo
o
o
o
o
o
o
o
o
o o
oo
o
o
x=y2
o o o
oo o
x>y2
x<y2
• Hipérbole: orientada na direcção do eixo dos xx :
(x− a)2
p2− (y − b)2
q2= 1
6CAPÍTULO 1. NOÇÕES TOPOLÓGICAS E DOMÍNIOS DEDEFINIÇÃODE FUNÇÕES
e orientada na direcção do eixo dos yy :
(y − b)2
q2− (x− a)2
p2= 1
Exemplo 1.2.5 : Hipérbole equilateral: y =1
x
x
y
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
y=1/x
o o o
oo o
y<1/x
y>1/x
1.3 Exercícios Propostos
1. Representa graficamente os conjuntos e indique o interior, o exterior, a fronteira, o
fecho e o derivado. Diga se são abertos e (ou) fechados:
(a) A =©(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 4
ª∪ {(6, 7)}
(b) B =©(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 − 1 ≥ 0 ∧ x− y + 1 > 0 ∧ x2 − y ≤ 0
ª(c) C =
©(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 4 ∧ y > 0
ª∪©(x, y) ∈ R2 : y ≥ x2 − 4 ∧ y < 0
ª(d) D =
©(x, y) ∈ R2 : y ≥ x2 ∧ y ≤ x+ 1
ª∪ {(−2, 1)}
2. Determine e represente graficamente o domínio de definição D de cada uma das
seguintes funções f : D ⊆ R2 → R:
(a) f (x, y) =p1− x2 − y2
(b) f (x, y) = log (x+ y)
1.3. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 7
(c) f (x, y) = log (1− x+ y), com x, y ≥ 0
(d) f (x, y) =log (4− x− y)
4√xy − 3
(e) f (x, y) =1p
4− x2 − y2
(f) f (x, y) = 1 +q− (x− y)2
(g) f (x, y) =√x2 − 4 +
p4− y2
(h) f (x, y) =√1− x2 +
p1− y2
(i) f (x, y) =1
x2 + y2
(j) f (x, y) =1p
y −√x
(k) f (x, y) =x2y2q(x2 + y2)3
(l) f (x, y) = arcsiny
x
(m) f (x, y) = log¡1− x2
¢+ cos (xy)
(n) f (x, y) =
µx+ y
x2 − y
¶1/2(o) f (x, y) =
xy
|x|+ |y|
(p) f (x, y) =¡−x2 − y2 + 4
¢xy3. Determine o domínio de definição das seguintes funções:
(a) f (x, y) =
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩1
log (x+ y), (x, y) : x+ y > 0
√1− x− y , (x, y) : x+ y ≤ 0
(b) f (x, y) =
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩2x3 + 3y4
2x3 − y3, (x, y) 6= (0, 0)
1 , (x, y) = (0, 0)
8CAPÍTULO 1. NOÇÕES TOPOLÓGICAS E DOMÍNIOS DEDEFINIÇÃODE FUNÇÕES
(c) f (x, y) =
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩log (3x+ y) , (x, y) : 3x+ y > 0
1
x+ y, (x, y) : 3x+ y ≤ 0
(d) f (x, y) =
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩px2 + y2
3y2 − x, (x, y) : x 6= 3y
0 , (x, y) : x = 3y
(e) f (x, y) =
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩log¡x2 + y2
¢2y − 1 , (x, y) : y 6= 1
1 , (x, y) : y = 1
(f) f (x, y) =
⎧⎪⎨⎪⎩xye
x−yx+y , (x, y) 6= (0, 0)
0 , (x, y) = (0, 0)
(g) f (x, y) =x2 sin2 y + y3 cos2 x
x4 + y4 + 2x2y2
(h) f (x, y) =
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩2y2
3x+ y, (x, y) : y 6= x
1 , (x, y) : y = x
(i) f (x, y) =
⎧⎪⎨⎪⎩xy
x2 − y2, (x, y) : x 6= ±y
0 , (x, y) : x = ±y
(j) f (x, y) =
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x3 + 4y2
x2 − 5y2 , (x, y) 6= (0, 0)
0 , (x, y) = (0, 0)
4. Seja a função f (x, y) = log (xy − 1) +q9− (x− 1)2 − y2.
(a) Determine o seu domínio de definição e represente-o graficamente.
(b) Indique, justificando, se Df é um conjunto aberto e/ou fechado.
Capítulo 2
Limites e Continuidade
2.1 Tópicos de Teoria
• Definição: Seja f : Df ⊆ R2 −→ R uma função real de domínio Df e seja (a, b) um
ponto de acumulação de Df . Diz-se que l ∈ R é o limite de f (x, y) no ponto (a, b)
e escreve-se lim(x,y)→(a,b) f (x, y) = l se e só se"∀δ > 0,∃ ε > 0 :
q(x− a)2 + (y − b)2 < ε ∧ (x, y) ∈ Df \ {(a, b)}
=⇒ |f (x, y)− l| < δ
#
A definição do limite traduz-se no essencial por: ”a proximidade de (x, y) de (a, b) deve
obrigar à proximidade de f (x, y) de l ”.
Geometricamente: O domínio Df é uma região do plano e um ponto (x, y) pode
aproximar-se do ponto (a, b) por uma infinidade da caminhos possíveis (rectas, parábolas,
etc.), como mostra a figura:
h
x
y
a
b
( x , y )( x , y )
( x , y )
( x , y )( x , y )
( x , y )
9
10 CAPÍTULO 2. LIMITES E CONTINUIDADE
A definição de limite de f (x, y) em (a, b) obriga a: para que exista lim(x,y)→(a,b) f (x, y)
é necessário (mas não é suficiente) que existam e tenham o mesmo valor os limites ao longo
de todos os caminhos possíveis (limites relativos).
• Limites relativos
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩1. iterados (ou sucessivos)
2. direccionais
⎧⎨⎩a). direcção = recta
b). direcção = parábola
1. Limites iterados:
⎧⎨⎩l1 = limx→a (limy→b f (x, y))
l2 = limy→b (limx→a f (x, y))
2. Limites direccionais
(a) O caminho é uma recta não vertical de declive m que passa por ponto (a, b) e
a equação da família de rectas é dada por
y = b+m (x− a) , m ∈ R
Nesse caso o limite a calcular é
lr = lim(x,y)→(a,b)
f (x, y) = lim(x,y)→(a,b)y=b+m(x−a)
f (x, y) = limx→a
f (x, b+m (x− a))
(b) O caminho é uma parábola de eixo vertical que passa por ponto (a, b) e a
equação da família de parábolas é dada por
y = b+m (x− a)2 , m ∈ R
Nesse caso o limite a calcular é
lp = lim(x,y)→(a,b)
f (x, y) = lim(x,y)→(a,b)
y=b+m(x−a)2
f (x, y) = limx→a
f³x, b+m (x− a)2
´
• Algumas desigualdades a utilizar em problemas com a definição de limite de funções
de duas variáveis são:
2.1. TÓPICOS DE TEORIA 11
|x| ≤px2 + y2
|y| ≤px2 + y2
|x× y| = |x| × |y| ≤ 12
¡x2 + y2
¢|x± y| ≤ |x|+ |y| ≤ 2
px2 + y2¯
x3 − y3¯≤¡x2 + y2
¢3/2• Definição: Seja f : Df ⊆ Rn −→ Rm uma função definida pelas m funções co-
ordenadas y1 = f1 (x1, ..., xn) , ..., ym = fm (x1, ..., xn) , e seja A = (a1, ..., an) um
ponto de acumulação de Df . Diz-se que o limite de f no ponto A é o ponto
B = (b1, ..., bm) ∈ Rm e escreve-se limx→A
f (x) = B, se cada uma das funções co-
ordenadas fi tem limite no ponto A e esse limite é bi, isto é, limx→A
fi (x) = bi.
• Definição (Continuidade): Seja f : Df ⊆ R2 −→ R uma função real de duas
variáveis reais de domínio Df . A função f diz-se contínua num ponto (a, b) (que seja
ponto de acumulação do Df ) se as seguintes três condições são verificadas
— Existe f (a, b) ou seja (a, b) ∈ Df
— Existe lim(x,y)→(a,b) f (x, y)
— lim(x,y)→(a,b) f (x, y) = f (a, b)
• Definição: Diz-se que uma função f : Df ⊆ R2 −→ R é prolongável por con-
tinuidade ao ponto (a, b) (ou que f tem em (a, b) uma descontinuidade removível)
se
— (a, b) /∈ Df
— Existe lim(x,y)→(a,b) f (x, y)
• Sendo f prolongável por continuidade ao ponto (a, b), a função f∗, prolongamento
de f por continuidade ao ponto (a, b), é definida como segue:
f∗ (x, y) =
⎧⎨⎩f (x, y) , se (x, y) ∈ Df
lim(x,y)→(a,b) f (x, y) , se (x, y) = (a, b)
12 CAPÍTULO 2. LIMITES E CONTINUIDADE
• Definição: Uma função f : Df ⊆ R2 −→ R é descontínua no ponto (a, b) (ponto de
acumulação de Df ) se f não é contínua em (a, b), nem prolongável por continuidade
ao ponto (a, b) .
• Definição: Uma função f : Df ⊆ R2 −→ R diz-se contínua no seu domínio Df ⊆
R2, se fôr contínua em todos os pontos desse domínio.
2.2 Exercícios Propostos
1. Seja a função
f (x) =
⎧⎪⎨⎪⎩1
x+ 1, x ≤ 0
e−x , x > 0
Calcule, se existirem:
(a) limx→1 f (x) ; limx→−1 f (x) ; limx→0 f (x) ; limx→+∞ f (x) ; limx→−∞ f (x)
2. Seja a função: f (x, y) =x+ y
6x− y2. Calcule o seu limite no ponto (1, 2) .
3. Considere a seguinte função
f (x, y) =
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x2y
y + x sinx, (x, y) : y 6= −x sinx
1 , (x, y) : y = −x sinxCalcule o seu limite na origem dos eixos.
4. Seja a função
f (x, y) =
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩xyp
x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0)
1 , (x, y) = (0, 0)
Estude o seu limite na origem dos eixos.
5. Provar pela definição que lim(x,y)→(0,0) f (x, y) 6= 0, para a função
f (x, y) =xyq
(x2 + y2)3
2.2. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 13
6. Dada a função
f (x, y) =
⎧⎪⎨⎪⎩xy
x2 − y2, (x, y) : x 6= ±y
1 , (x, y) : x = ±y
Verifique se a função tem limite em (0, 0) .
7. Calcule α ∈ R\ {0} , ∀ β de modo que a função
f (x) =
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
sin (αx)
x, x < 0
α+ β , x = 0
eαx − cosxβx+ sinx
, x > 0
seja contínua em x = 0.
8. Verifique se a função
f (x) =
⎧⎪⎨⎪⎩(1 + sinx)
1x2 , x 6= 0
1 , x = 0
é contínua em R.
9. Dada a função
f (x, y) =
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x3 + 4y2
x2 − 5y2 , (x, y) 6= (0, 0)
0 , (x, y) = (0, 0)
Verifique se a função é contínua na origem dos eixos.
10. Faça o estudo da continuidade da função
f (x, y) =
⎧⎪⎨⎪⎩y − 2x+ 3
, (x, y) 6= (0, 0)
0 , (x, y) = (0, 0)
14 CAPÍTULO 2. LIMITES E CONTINUIDADE
11. Dada a função f : R2 −→ R2
f :
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩Z1 =
x− 42y + 2
Z2 =y − 3x2 + 1
Estude-a quanto à continuidade no ponto (0, 0).
12. Considere a função
f (x, y) =xyp
x2 + y2
Diga, justificando, se é prolongável, por continuidade, no ponto (0, 0) .
13. Seja a função
f (x, y) =
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩3x2 + y2
x4 + y4, se x4 + y4 6= 0
0 , se x4 + y4 = 0
Estude a continuidade da função.
14. Dada a função
f (x, y) =
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x sin y + y sinx
2 (x+ y), (x, y) 6= (0, 0)
1 , (x, y) = (0, 0)
Estude-a quanto à continuidade na origem dos eixos.
15. Seja a função
f (x, y) =
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩2y2
3x+ y, (x, y) : y 6= x
1 , (x, y) : y = x
Que pode concluir quanto à continuidade da função? Justifique.
2.2. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 15
16. Seja a função
f (x, y) =
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩3x3 + 2y3
x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0)
0 , (x, y) = (0, 0)
Estude-a quanto à continuidade.
17. Estude a continuidade das seguintes funções:
(a) f (x, y) =
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x2y
x4 + y2, (x, y) 6= (0, 0)
0 , (x, y) = (0, 0)
(b) f (x, y) =
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩xyp
x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0)
1 , (x, y) = (0, 0)
(c) f (x, y) =
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩xy − 2y + 4
, (x, y) 6= (0, 0)
2 , (x, y) = (0, 0)
18. Dada a função f : R2 −→ R2
f :
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩Z1 =
x2y
x4 + y2
Z2 =2xy
x2 + y2
Estude-a quanto à continuidade na origem.
19. Considere a função
f (x, y) =
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x2y
y + x sinx, (x, y) : y 6= −x sinx
1 , (x, y) : y = −x sinx
Prove que a função não é contínua em (0, 0) . Justifique.
16 CAPÍTULO 2. LIMITES E CONTINUIDADE
2.3 Exercícios de Revisão
1. Considere a função f : R2 −→ R2
f :
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩Z1 =
xy sin y
x2 + 2
Z2 =x
x+ y
(a) Estude-a quanto ao limite na origem dos eixos.
(b) Estude-a quanto à continuidade na origem.
2. Considere a função
f (x, y) =
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩px2 + y2 + 2xy
3y − x, (x, y) : x 6= 3y
1 , (x, y) : x = 3y
(a) Determine o seu domínio.
(b) Calcule o limite da função no ponto (3, 1) .
(c) Estude a continuidade da função nesse ponto.
3. Considere a função
f (x, y) =
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩log¡x2 + y2
¢2y − 1 , (x, y) : y 6= 1
1 , (x, y) : y = 1
(a) Calcule o limite da função no ponto (0, 1) .
(b) Verifique se existe uma descontinuidade removível no ponto (0, 1) .
(c) Estude a função quanto à continuidade no seu domínio de definição. Justifique.
4. Para a função
f (x, y) =
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x2y2
x2y2 + (x− y)2, (x, y) 6= (0, 0)
0 , (x, y) = (0, 0)
2.3. EXERCÍCIOS DE REVISÃO 17
(a) Determine o seu domínio.
(b) Verifique se a função tem limite na origem dos eixos.
(c) Estude a continuidade da função. Justifique.
5. Seja a seguinte função
f (x, y) =5xy3q(x2 + y2)3
(a) Determine o seu domínio.
(b) Calcule o limite da função no ponto (0, 0) .
(c) Estude a continuidade da função.
(d) Diga se a função é prolongável, por continuidade, ao ponto (0, 0) . Justifique.
6. Considere a função
f (x, y) =y2 sin3 x+ x3 sin2 y
x4 + y4 + 2x2y2
(a) Determine o seu domínio. Justifique.
(b) Estude a topologia do domínio da função.
(c) Calcule o limite da função na origem dos eixos.
(d) Estude a função quanto à continuidade. Justifique.
(e) Diga se a função é prolongável, por continuidade. Justifique.
(f) Considere a nova função
g (x, y) =
⎧⎨⎩f (x, y) , (x, y) 6= (0, 0)
0 , (x, y) = (0, 0)
Verifique se a função g (x, y) é contínua na origem dos eixos. Justifique.
7. Resolva o exercício anterior para a seguinte função
f (x, y) =y2 cos3 x+ x3 sin2 y
x4 + y4 + 2x2y2
18 CAPÍTULO 2. LIMITES E CONTINUIDADE
8. (Exame 2a Época - 11/09/96) Considere a função f : R2 −→ R, com n natural e p
real, definida por
f (x, y) =
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩xyn + py
x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0)
0 , (x, y) = (0, 0)
(a) Indique o domínio da função, referindo se é um conjunto aberto e/ou fechado.
Justifique.
(b) Mostre que f (x, y) é contínua em (0, 0) se e só se n ≥ 2 e p = 0.
9. (Frequência - 11/06/97) Considere a função definida por:
f (x, y) =
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩2y3 − x3
x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0)
β , (x, y) = (0, 0)
(a) Calcule o domínio da função e verifique se é um conjunto aberto e/ou fechado.
(b) Existe algum valor de β para o qual a função f é contínua em todo o seu
domínio? Justifique.
10. (Exame 1a Época - 09/07/97) Considere a função f : R2 −→ R definida por
f (x, y) =
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x2 + y2
log (x2 + y2),
(x, y) 6= (0, 0)e x2 + y2 < 1
0 , (x, y) = (0, 0)
(a) Calcule o domínio da função e represente-o graficamente. Verifique se o domínio
é um conjunto aberto e/ou fechado.
(b) Estude a continuidade da função na origem.
11. (Frequência - 15/06/98) Seja a função
f (x, y) =
⎧⎨⎩log¡y − x2
¢, se k(x, y)k ≥ 2p
1− x2 − y2 , se k(x, y)k < 2
2.3. EXERCÍCIOS DE REVISÃO 19
em que k(x, y)k =px2 + y2. Represente graficamente o domínio da função e veri-
fique se o conjunto é aberto e/ou fechado.
12. (Frequência - 15/06/98) Considere a função
f (x, y) =x2
|x|+ |y|
(a) Mostre que f é contínua no seu domínio. Justifique.
(b) Verifique que a função tem limite na origem dos eixos.
20 CAPÍTULO 2. LIMITES E CONTINUIDADE
Capítulo 3
Soluções dos Exercícios Propostos
3.1 Noções Topológicas e Domínios de Funções
1. Tem-se
(a)
IntA =©(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 4
ª, FrontA =
©(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 4
ª∪{(6, 7)}
A0 =©(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 4
ª, FechA =
©(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 4
ª∪{(6, 7)}
ExtA = R2\FechA e {(6, 7)} é um ponto isolado em A. A é um conjunto
fechado porque A = FechA.
2
2
-2
-2
6
7
0h
h(6,7)
A
x2 + y2 = 4
x
y
(b)
IntB =©(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 > 1 ∧ y < x+ 1 ∧ y > x2
ª21
22 CAPÍTULO 3. SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FrontB =©(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1 ∧ y ≤ x+ 1 ∧ y ≥ x2
ª∪
∪©(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≥ 1 ∧ y = x+ 1 ∧ y ≥ x2
ª∪
∪©(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≥ 1 ∧ y ≤ x+ 1 ∧ y = x2
ªFechB = B0 =
©(x, y) : x2 + y2 ≥ 1 ∧ y ≤ x+ 1 ∧ y ≥ x2
ªExtB = R2 \ FechB, IntB 6= B =⇒ B não é aberto e FechB 6= B =⇒ B não
é fechado.
(c)
IntC =©(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 4 ∧ y > 0
ª∪©(x, y) ∈ R2 : y > x2 − 4 ∧ y < 0
ªFrontC =
©(x, y) : x2 + y2 = 4 ∧ y ≥ 0
ª∪©(x, y) : y = x2 − 4 ∧ y ≤ 0
ª∪
∪ {(x, y) : y = 0 ∧ − 2 ≤ x ≤ 2}
FechC = C0 =©(x, y) : x2 + y2 ≤ 4 ∧ y ≥ 0
ª∪©(x, y) : y ≥ x2 − 4 ∧ y ≤ 0
ªExtC = R2 \ FechC, IntC 6= C =⇒ C não é aberto. FechC 6= C =⇒ C não é
fechado.
2
-2 2
-4
x2+y2=4
y=x2 -4
(d)
IntD =©(x, y) ∈ R2 : y > x2 ∧ y < x+ 1
ª, ExtD = R2 \ FechD,
FrontD =©(x, y) : y = x2 ∧ y ≤ x+ 1
ª∪©(x, y) : y ≥ x2 ∧ y = x+ 1
ª∪{(−2, 1)}
FechD =©(x, y) : y ≥ x2 ∧ y ≤ x+ 1
ª∪{(−2, 1)} ,D0 =
©(x, y) : y ≥ x2 ∧ y ≤ x+ 1
ªIntD 6= D =⇒ D não é aberto. FechD = D =⇒ D é fechado
3.1. NOÇÕES TOPOLÓGICAS E DOMÍNIOS DE FUNÇÕES 23
2. Temos os seguintes domínios de definição
(a) Df =©(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1
ª
-1
-1
1
10
x
y
x2 + y2 = 1
(b) Df =©(x, y) ∈ R2 : y > −x
ª
0
x
y
y = - x
(c) Df =©(x, y) ∈ R2 : y > x− 1 ∧ x ≥ 0 ∧ y ≥ 0
ª
0
x
y
y = x - 1
24 CAPÍTULO 3. SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
(d) Df =
½(x, y) ∈ R2 : y < −x+ 4 ∧ y > 3
x, x 6= 0
¾
(3,1)
y = 4 - x
y = 3 / x
0
(e) Df =©(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 4
ª
-2
-2
2
20
x
y
x2 + y2 = 4
(f) Df =©(x, y) ∈ R2 : y = x
ª(g) Df = {(x, y) : (x ≤ −2 ∧ −2 ≤ y ≤ 2)} ∪ {(x, y) : (x ≥ 2 ∧−2 ≤ y ≤ 2)}
0-2
-2
2
2 x
y
3.1. NOÇÕES TOPOLÓGICAS E DOMÍNIOS DE FUNÇÕES 25
(h) Df =©(x, y) ∈ R2 : (−1 ≤ x ≤ 1) ∧ (−1 ≤ y ≤ 1)
ª
0
x
y
-1
-1
1
1
(i) Df = R2 \ {(0, 0)}
(j) Df =©(x, y) ∈ R2 : y > √x ∧ x ≥ 0
ª
0 x
y
y = x
(k) Df = R2 \ {(0, 0)}
(l) Df =©(x, y) ∈ R2 : − |x| ≤ y ≤ |x|
ª\ {(0, 0)}
nx
y
y = - |x|
y = |x|
0
26 CAPÍTULO 3. SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
(m) Df =©(x, y) ∈ R2 : −1 < x < 1
ª
-1 10 x
y
(n) Df =©(x, y) ∈ R2 :
¡y ≥ −x ∧ y < x2
¢∨¡y ≤ −x ∧ y > x2
¢ª, o domínio está
representado pela região do plano não trasejada
y = x2
y = - x
0
x
y
(o) Df = R2 \ {(0, 0)}
(p) Df =©(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 4
ª
-2
-2
2
20
x
y
x2 + y2 = 4
3.1. NOÇÕES TOPOLÓGICAS E DOMÍNIOS DE FUNÇÕES 27
3. Temos os seguintes domínios de definição
(a) Df =©(x, y) ∈ R2 : y 6= 1− x
ª(b) Df =
©(x, y) ∈ R2 : y 6= 3
√2 xª∪ {(0, 0)}
(c) Df = R2 \ {(x, y) : y = −x ∧ x ≤ 0} ou Df =©(x, y) ∈ R2 : y 6= x
ª(d) Df =
©(x, y) ∈ R2 : x 6= 3y2
ª∪ {(0, 0) , (3, 1)}
(e) Df = R2 \µ½(x, y) : y =
1
2
¾∪ {(0, 0)}
¶ou Df =
½(x, y) : y 6= 1
2
¾\ {(0, 0)}
(f) Df =¡R2 \ {(x, y) : y = −x}
¢∪ {(0, 0)} ou Df = {(x, y) : y 6= −x} ∪ {(0, 0)}
(g) Df = R2 \ {(0, 0)} , IntDf = R2 \ {(0, 0)} , FrontDf = {(0, 0)} , FechDf =
D0f = R2. Df é um conjunto aberto porque Df = IntDf = R2 \ {(0, 0)} .
(h) Df =©(x, y) ∈ R2 : y 6= −3x
ª∪ {(0, 0)} , IntDf =
©(x, y) ∈ R2 : y 6= −3x
ª,
FrontDf =©(x, y) ∈ R2 : y = −3x
ª,D0
f = FechDf = R2,Df não é um con-
junto aberto porque Df 6= IntDf , não é fechado porque FechDf 6= Df .
(i) Df = R2, IntDf = R2, FrontDf = ∅,ExtDf = ∅ e FechDf = D0f = R2, Df
é um conjunto aberto porque IntDf = Df = R2. Df é um conjunto fechado
porque FechDf = Df = R2.
(j) Df =
((x, y) : y 6= ±
√5
5x
)∪{(0, 0)} , IntDf =
((x, y) : y 6= ±
√5
5x
), FrontDf =(
(x, y) : y = ±√5
5x
), ExtDf = ∅ e FechDf = D0
f = R2.
4. Tem-se
28 CAPÍTULO 3. SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
(a) Df =
½(x, y) ∈ R2 : y > 1
x∧ (x− 1)2 + y2 ≤ 9, x 6= 0
¾
h0 1 4
-3
y = 1 / x
( x-1 )2 + y2 = 9
x
y
3.2 Limites e Continuidade
1. (a) l = 1/e; Não existe limite; l = 1; l = 0; l = 0
2. l = 3/2
3. Não existe limite
4. l = 0
5.1p
x2 + y2< δ, logo a definição do limite não é verificada, portanto não existe o
limite.
6. Não existe limite em (0, 0)
7. A função é contínua se β = 0 e α ∈ R\ {0} .
8. A função é descontínua em x = 0
9. É descontínua em (0, 0) , não existe limite
10. A função é contínua em©(x, y) ∈ R2 : x 6= −3
ª\ {(0, 0)}
11. É contínua em (0, 0)
3.3. EXERCÍCIOS DE REVISÃO 29
12. É prolongável por continuidade em ponto (0, 0) , bastaria, para ser contínua, que
f (0, 0) = 0.
13. É contínua em R2 \ {(0, 0)}
14. A função é descontínua na origem
15. A função é contínua para©(x, y) ∈ R2 : y 6= −3x ∧ y 6= x
ª∪ {(2, 2)}
16. É contínua em R2
17. Tem-se
(a) A função é contínua em R2 \ {(0, 0)}
(b) A função é contínua em R2 \ {(0, 0)}
(c) A função é contínua em©(x, y) ∈ R2 : y 6= −4
ª\ {(0, 0)}
18. A função é descontínua na origem
19. Não existe limite (|y + x sinx| ≤ |y|+ |x sinx| ≤ |y|+ |x| |x|).
3.3 Exercícios de Revisão
1. (a) Não existe limite em (0, 0) .
(b) A função não é contínua na origem.
2. Tem-se
(a) Df =©(x, y) ∈ R2 : x 6= 3y2
ª∪ {(0, 0) , (3, 1)}
(b) l =∞
(c) A função é descontínua em (3, 1)
3. Tem-se
30 CAPÍTULO 3. SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
(a) l = 0.
(b) Existe uma descontínuidade removível.
(c) A função é contínua em {(x, y) : y 6= 1/2 ∧ y 6= 1}∪©¡±√e− 1, 1
¢ª\{(0, 0)} .
4. Tem-se
(a) Df = R2
(b) Não existe limite na origem.
(c) A função é contínua em R2 \ {(0, 0)} .
5. Tem-se
(a) Df = R2 \ {(0, 0)}
(b) l = 0.
(c) A função é contínua no seu domínio.
(d) A função é prolongável por continuidade a (0, 0), bastaria, para ser contínua,
que f (0, 0) = (0, 0) .
6. Tem-se
(a) Df = R2 \ {(0, 0)}
(b) IntDf = R2 \ {(0, 0)} , FrontDf = {(0, 0)} , ExtDf = ∅, D0f = FechDf = R2,
não existem pontos isolados. Df é um conjunto aberto, mas não é fechado.
(c) l = 0
(d) A função é contínua no seu domínio, ou seja R2 \ {(0, 0)}
(e) É prolongável por continuidade em (0, 0) .
(f) A função g é contínua em (0, 0), porque existe limite em (0, 0)
7. Tem-se
3.3. EXERCÍCIOS DE REVISÃO 31
(a) Df = R2 \ {(0, 0)}
(b) IntDf = R2 \ {(0, 0)} , FrontDf = {(0, 0)} , ExtDf = ∅, D0f = FechDf = R2,
não existem pontos isolados. Df é um conjunto aberto, mas não é fechado.
(c) Não existe limite em (0, 0) .
(d) A função é contínua no seu domínio, ou seja R2 \ {(0, 0)} .
(e) Não é prolongável, porque não existe limite em (0, 0) .
(f) A função g é descontínua em (0, 0), porque não existe limite em (0, 0) .
8. Df = R2, o domínio é um conjunto aberto e fechado.
9. Tem-se
(a) Df = R2, o domínio é um conjunto aberto e fechado.
(b) Para β = 0 a função é contínua em (0, 0) , logo é contínua em todo o seu domínio
(R2).
10. Tem-se
(a) Df =©(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1
ª, IntDf =
©(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1
ª, FrontDf =©
(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1ª, IntDf = Df =⇒ Df é um conjunto aberto. Df
não é fecahdo.
-1
-1
1
10
x
y
x2 + y2 = 1
(b) A função é contínua na origem.
32 CAPÍTULO 3. SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
11. Df =©(x, y) ∈ R2 : y > x2 ∧ x2 + y2 ≥ 4
ª∪©(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1
ª.O conjunto
Df não é aberto e não é fechado
x
y
0-1
-1
1
1
2
-2 2
-2
y = x2
x2 + y2 = 1
x2 + y2 = 4
12. Tem-se
(a) Df = R2 \ {(0, 0)} . A função é contínua em R2 \ {(0, 0)} e é prolongável por
continuidade ao (0, 0) .
(b) l = 0.